Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Математическая постановка задачи. 9
1. Определение модели. Выбор параметров термодинамического состояния 9
2. Уравнения состояния 14
3. Условия активного протекания процесса рекристал лизации 17
4. Балансовые соотношения и кинетические уравнения .. 19
5. Условия сопряжения 22
б. Разрешающая система уравнений 25
7. Теорема единственности решения 28
Глава 2. Напряженное состояние при локально равновесной рекристаллизации 32
1. Исходные соотношения в квазистатическом приближении 32
2. Упругий слой при периодическом по времени нагреве 36
3. Упругий слой при растяжении и изгибе 47
4. Весомый стержень под воздействием сжимающей на грузки 67
Глава 3. Напряженное состояние с учетом релаксационного характера процесса рекристаллизации 74
1. Исходные положения. Балансовые соотношения и кинетические уравнения 74
2. Разрешающая система уравнений 81
3. Упругий слой при периодическом по времени нагреве 85
4. Весомый стержень под воздействием сжимающей нагрузки 99
5. Отжиг тонкой пленки, нанесенной на упругое основание 106
Заключение 111
Литература 114
Приложение 129
- Условия активного протекания процесса рекристал лизации
- Балансовые соотношения и кинетические уравнения
- Упругий слой при периодическом по времени нагреве
- Упругий слой при периодическом по времени нагреве
Введение к работе
Параметры прочности и жесткости элементов к узлов современных инженерных конструкций в значительной мере определяются процессами структурных превращений, имеющих место в условиях их изготовления и эксплуатации при воздействии силового нагружения и нагрева. Одним из распространенных видов структурных превращений в металлах и сплавах является рекристаллизация. Явление рекристаллизации состоит в том, что в определенном диапазоне температур (значительно меньших температуры плавления) и силовых нагрузок метастабильная исходная структура материала приходит в соответствие с внешними условиями. При этом имеет место необратимое изменение объема и физико-механических характеристик материала. Такие изменения могут привести к возникновению напряжений значительной величины. Поэтому весьма важными представляются исследования, направленные на дальнейшее развитие модельных представлений и методов количественного описания процесса деформации твердых тел в условиях протекания рекристаллизации. Такие исследования являются теоретической основой расчета и оптимизации режимов упрочняющей термомеханической обработки элементов конструкций, направленной на обеспечение требуемых свойств материала, его структуры, физико-механического состояния в условиях эксплуатации.
Количественное описание механических процессов в твердых телах во взаимосвязи с другими физико-химическими процессами можно производить с использованием методов механики сплошной среды и неравновесной термодинамики. При этом, естественно, модельное описание процесса деформации с учетом рекристаллизации должно согласовываться с известными в этой области экспериментальными данными, а также современными представлениями физики металлов и металловедения.
Основные физические концепции, математический аппарат, необходимый при построении моделей механики сплошной среды с использованием методов неравновесной термодинамики изложены в работах С.де Гроота и П.Мазура [24], А,А,Ильюшина [33-35J, И.При-гожина [77,138], А.И.Седова [81-85], а также в работах [6,10,14-19,23,25,28-30,76,88,92,101,103,104,106,112,124,126,153,155].
Методика построения конкретных моделей, позволяющих осуществить количественное описание деформации твердых тел сложной структуры во взаимосвязи с другими физико-химическими процессами, в частности, с учетом процессов диффузионного типа, содержится в работах Я.С.Подстригача [63-65, 68-74], выполненные на этой основе исследования - в [1,62,66,67,97,98]. Дальнейшее развитие предложенной методики для изучения электропроводных тел осуществлено в [7,8,12,87].
Температурные поля и напряжения в условиях нагрева концентрированными источниками электромагнитного излучения рассмотрены в работах [79,89,90].
Основы математической теории связанных задач термовязкоупру-гости, в частности, с учетом электромагнитных явлений, развиты в работах [35,38-40] .
Разработке методики решения задач оптимального управления напряженным состоянием тел с усложненными физико-механическими свойствами посвящены исследования [95,9б].
Приведем обзор работ, посвященных исследованию процесса рекристаллизации и его влияния на напряженно-деформированное состояние твердых тел.
Экспериментальному изучению процесса рекристаллизации в металлах и сплавах в настоящее время уделяется достаточно большое внимание. Этой проблеме посвящены труды М.Л.Бернштейна [4], С.С.Горелика [2l] , Р.У.Кана [37], Дж.Кристиана [44], Ф.Хесснера [93,94], а также работы [5,11,26,31,51,52,78,99,100,105,107,116, 125,127,131,135,136,139-141,I44,I5l]. Температурные диапазоны протекания рекристаллизации, влияние на этот процесс длительности и скорости нагрева изучались в работах [22,41,43,47,48,57, 75,80,109,113,115,119,129,130,132,133,137,142,143,150,154]. Результаты исследований влияния различных видов силового нагруже-ния на процесс рекристализации имеются в работах [9,36,53,56, 108], Имеются исследования влияния на протекание рекристаллизации примесей [27,100,118] и различных внешних воздействий: электрического [20,42,НО] и магнитного [128] полей, радиационного облучения [50,III]. Многие авторы [21,45,46,54,120-123] считают наиболее удобной и точной характеристикой, количественно описывающей процесс рекристаллизации, степень полноты рекристаллизации, которая определяет содержание рекристаллизованного материала в единице массы. Особенности протекания рекристаллизации в тонких пленках содержатся в работах [32,114,117,152].
В литературе известны математические модели, отражающие основные закономерности кинетики зарождения и роста зерен в процессе рекристаллизации, например [13,49,145].
Изучению рекристаллизации в одномерном случае посвящены работы [146-148]. В работе В.Седлачека [і49] намечены вожможные пути описания процесса рекристаллизации в рамках термодинамики необходимых процессов. В работе [I34J развивается феноменологическая теория процесса рекристаллизации при высоких температурах в пластически деформированных металлах. При термодинамическом описании используется представление деформации в виде суммы упругой деформации, деформации отжига и деформации рекристаллизации, а также свободной энергии в виде суммы упругой и неупругой составляющих. В перечисленных теоретических работах не учитывалось влияние напряженного состояния на протекание процесса рекристаллизации в деформируемых твердых телах, хотя о наличии такого влияния свидетельствуют результаты известных экспериментальных исследований [9,36,53,56,I00,I08j. Не исследовано также влияние рекристаллизации, связанной с перестройкой структуры, на напряженно-деформированное состояние твердых тел, в частности, на остаточные напряжения, при неоднородном силовом нагруже-нии и нагреве.
В настоящей работе дается дальнейшее развитие модельных представлений и методики количественного описания процесса деформации металлических твердых тел, находящихся в условиях протекания рекристаллизации, при одновременном учете процесса теплопроводности; постановка на этой основе соответствующих задач математической физики; исследование на конкретных примерах рассматриваемых процессов в их взаимосвязи. В принятой в основу расчетной модели рекристаллизация рассматривается как процесс перестройки внутренней структуры материала (объемное превращение), протекающий в определенном диапазоне температур и силовых нагрузок и приводящий ее в соответствие существующим внешним условиям. При этом учитывается односторонний характер рекристаллизации. Исходная система уравнений модели получена с привлечением методов механики сплошной среды и неравновесной термодинамики на основе учета известных представлений физики металлов и металловедения.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения.
В первой главе формируются исходные положения модели механики сплошной среды для количественного описания процесса деформации теплопроводных твердых тел с учетом протекания в них рекристаллизации. В общем случае рассматриваемая термодинамическая система в каждый момент времени состоит из трех областей, отделен - 6 ных друг от друга макроскопическими подвижными границами раздела. В области ( v4 ) структура материала является исходной, в области ( V,) активно протекает рекристаллизация, а в области ( \Л), в которой нет условий для протекания рекристаллизации, материал характеризуется определенным стационарным распределением рекристаллизованной структуры. Записаны уравнения состояния для каждой из областей, сформулированы соответствующие балансовые соотношения и условия сопряжения, которые должны выполняться на границах раздела областей ( V) (V ), (Vj). С использованием условия минимума свободной энергии получены условия для определения физически реализуемого структурного состояния при локально-равновесной рекристаллизации. Сформулированы условия активного протекания этого процесса. Записана система разрешающих уравнений модели. Доказана теорема единственности решения этой системы для случая активного протекания рекристаллизации во всей области тела. .
Во второй главе в квазистатической постановке на модельных примерах исследуется напряженное состояние тел, находящихся в условиях протекания рекристаллизации, при внешнем температурном и силовом нагружении, а также с учетом действия массовых сил. Рассмотрены следующие примеры: слой, защемленный по краям, на поверхностях которого поддерживается периодическое по времени изменение температуры; слой, к краям которого приложена силовая нагрузка, статически эквивалентная равномерно распределенным вдоль срединной поверхности усилиям и моментам, и периодически изменяющаяся со временем; весомый вертикально подвешенный стержень, находящийся под действием силового нагружения (сжатия).
В третьей главе дается развитие модельных представлений в связи с учетом релаксационного характера процесса рекристаллизации. Сформулирована соответствующая модели система уравнений.
В рамках принятых представлений на модельных примерах исследуется напряженно-деформированное состояние тел, в которых протекает рекристаллизация. Исследования выполнены для слоя, находящегося под воздействием периодического во времени изменения температуры, и весомого стержня, подвергающегося силовому нагружения (сжатию). Проводится сопоставление результатов с полученными в предыдущей главе без учета релаксационного характера процесса рекристаллизации.
Исследовано также напряженно-деформированное состояние тонкой пленки, нанесенной на упругое основание из другого материала, при отжиге с учетом протекающей при этом рекристаллизации.
В диссертации защищается сформулированная система уравнений механики сплошной среды для количественного описания деформации теплопроводных твердых тел, в которых протекает рекристаллизация при силовом нагружения и теплообмене в предположении о локально-равновесном протекании процесса и с учетом его релаксационного характера; полученные на конкретных примерах результаты количественной оценки влияния процесса рекристаллизации на напряженное состояние тел простейшей формы, находящихся в условиях силового нагружения и нагрева.
Основные результаты работы доложены на У научной конференции молодых ученых Львовского филиала математической физики Института математики АН УССР (г.Львов, 1977 г.), на УІ-ІХ научных конференциях молодых ученых Института прикладных проблем механики и математики АН УССР (г.Львов, 1978-82 гг.), на II Всесоюзной конференции "Термодинамика необратимых процессов и ее применение" (г.Черновцы, 1984 г.), на научных семинарах Института прикладных проблем механики и математики АН УССР и семинарах отдела теории физико-механических полей этого института.
Основные результаты диссертации изложены в публикациях [2,3,58-61].
Автор считает своим долгом выразить признательность и благодарность за постоянный интерес, руководство и ценные советы руководителю работы заслуженному деятелю науки УССР, доктору физико-математических наук, профессору Я.И.Бураку.
Условия активного протекания процесса рекристал лизации
Рассмотрим упругое однокомпонентное теплопроводное тело, занимающее в каждый момент времени определенную область ( V ) евклидова пространства. Тело находится под воздействием силовой нагрузки в условиях теплообмена с внешней средой. Основными процессами, протекающими в теле, будем считать деформирование, теплопроводность и рекристаллизацию. Изменение структуры тела в связи с протеканием процесса рекристаллизации будем характеризовать параметром относительного (по массе) содержания рекристал-лизованного материала. При макроскопическом описании напряженного состояния твердых тел будем исходить из известных положений механики сплошной среды и неравновесной термодинамики [6,10,14,17-19,24,25,29,30, 34,35,76,77,81-85,88,92,106,124,126,138,153], теоретических и экспериментальных данных о закономерностях протекания процесса рекристаллизации в металлах [4,5,11,21,26,31,37,44,51,54,78,91, 93,94,100,105,107,127,141], а также используем методику и подход к построению конкретных моделей, изложенные в работах [бЗ 65,68-74]. В этой связи примем постулат о локальном равновесии в пределах физически бесконечно малого элемента объема тела и введем соответствующие модели локальные параметры термодинамического состояния. В соответствие механическим и тепловым процессам поставим, как обычно [24,63-65, 84J, следующие параметры локального термодинамического состояния: тензор деформаций 6-І 6 I и тен-зор напряжений б = [( ( б р и (эк - компоненты деформаций и напряжений в декартовой системе координат), абсолютную температуру Т и удельную энтропию S. Для введения параметров локального термодинамического со» стояния твердого тела, в котором имеет место также рекристаллизация, остановимся на известных их экспериментов сведениях об этом физическом явлении в материалах при изменении только температуры [4,21,37,41,43,48,80,113,115,132,133,137]. Под рекристаллизацией в широком смысле обычно понимают комплекс явлений перестройки внутренней структуры в металлах и сплавах в определенном интервале температур и силовых нагрузок. В качестве исходного примем естественное состояние тела при некоторой температуре Т ниже температуры рекристаллизации.
В общем случае данная структура материала не соответствует этой температуре, но для прохождения структурного преобразования при Т - Т0 нет термодинамических условий. При равномерном нагреве после достижения определенной температуры Тр (температуры начала рекристаллизации) в теле начинается структурное преобразование. Отметим, что для различных металлов In составляет 30-40 % от температуры плавления. При дальнейшем повышении температуры продолжается процесс перестройки внутренней структуры. При этом имеет место изменение объема и многих физико-механических характеристик материала, таких, как твердость, электросопротивление, термоэлектродвижущая сила и т.д. При некоторой, характерной для каждого материала температуре /к процесс рекристаллизации завершается. Это означает, что структура в основном пришла в соответствие внешним условиям. Предыдущие рассуждения относятся к случаю, когда нагрев происходит со скоростью, позволяющей в модельном рассмотрении принять, что в соответствие каждому значению температуры мгновенно устанавливается соответствующее значение параметра, характеризующего процесс рекристаллизации. Оуществует диапазон скоростей нагрева, для которого это предположение вполне справедливо [21,78J. Если же скорость нагрева очень велика (порядка 100 град/с и больше), то рекристаллизация отстает от изменений температуры и, в связи с этим, заканчивается при значительно более высокой Тк . Если по достижении некоторой температуры Т ( 7Т, Т Т ) прекратить дальнейший нагрев и поддержи-вать в теле постоянную температуру Т0 , то рекристаллизация не останавливается мгновенно, а происходит, затухая, еще в течение длительного времени (порядка 10 ч и более). Это свидетельствует о релаксационном характере процесса. Модельное описание этого явления будет рассмотрено в главе Ш. Отметим, что процесс рекристаллизации носит односторонний характер, т.е. при погашении температуры обратные изменения структуры не происходят. Рекристаллизация зависит не только от температуры, но и от силового нагружения. Экспериментально установлено, что при рекристаллизации объем тела уменьшается, и что сжатие ускоряет протекание процесса. Рекристаллизацию будем характеризовать макроскопическим параметром - степенью полноты рекристаллизации Г , которая представляет собой относительное содержание рекристаллизован-ного материала в единице массы [21,46,54,120-123], и сопряженным параметром - удельным сродством превращения А Сродство превращения А по своему физическому смыслу определяет работу, которую необходимо затратить на изменение степени полноты рекристаллизации на единицу. Экспериментально величину Л можно определить по данным измерений электросопротивления, твердости, размеров зёрен и т.д. ["21,45,46,54,120-123].
Балансовые соотношения и кинетические уравнения
А Сродство превращения А по своему физическому смыслу определяет работу, которую необходимо затратить на изменение степени полноты рекристаллизации на единицу. Экспериментально величину Л можно определить по данным измерений электросопротивления, твердости, размеров зёрен и т.д. ["21,45,46,54,120-123]. В связи с односторонним характером процесса рекристаллизации степень полноты 2 является неубывающей во времени функцией в каждой точке тела. При описании деформирования твердого тела в условиях протекания процесса рекристаллизации принимается, что термодинамическая система в каждый момент времени состоит в общем случае из макроскопических подсистем - областей (VJ), ( V&) ( "Ц ) В области ( V{ ) структура материала является исходной (= =С0Л в области ( ]) активно протекает рекристаллизация, т.е. приращение во времени степени полноты а в области ( V3 ), в которой отсутствуют термодинамические условия протекания рекристаллизации, материал модели характеризуется определенным, не меняющимся во времени, распределением ре-кристаллизованной структуры, т.е.
Области ( VJ), (Ц), (V3 ) разделены подвижными макроскопическими границами ( П2 ), ( Г.3), ( Г ) Таким образом, в областях ( \ ) и ( V3) имеют место только механические и тепловые процессы при исходной и неизменной во времени степени полноты рекристаллизации соответственно, в области ( \ ) - наряду с указанными процессами протекает рекристаллизация. В рамках .рассматриваемой в настоящей главе модели деформирование считаем термодинамически обратимым процессом, теплопроводность - необратимым. Релаксационный характер процесса рекристаллизации пока учитывать не будем. Таким образом, локальное термодинамическое состояние тела в области ( Vp) будем характеризовать следующими параметрами: А і о (Z)\ тензором деформаций « = [ Kg } - тензором напряжений (5 ркі J; температурой TiZs удельной энтропией S ї степенью полноты рекристаллизации - удельным сродством . . Параметрами состояния в области ( Vd )
В качестве функций локального термодинамического состояния в областях ( Vi), ( Vg), ( v ) используем удельную свободную энергию Гельмгольца F,f» F(2; F(3j соответственно. Будем считать здесь, что на введенном расширенном пространстве параметров состояния функция Fm является характеристической функцией параметров Т и в f a F , F - характеристическими функциями параметров Т , в и 2 В соответствии с этим в области () S S0 # в области ( VQ) выполняется условие (I.I), в области ( V3 ) - (1,2). Примем, что граница раздела областей ( ]А ) и ( У ) определяется условием где р - критическое значение свободной энергии, при котором начинается процесс рекристаллизации. Условием прекращения протекания рекристаллизации, т.е. перехода из области ( Vg) в ( V3), будет и одновременно (TS 0 Здесь F - критическое значение свободной энергии, которое достигается на границе раздела ( Vz) и ( V ). Оно зависит от величины S степени полноты рекристаллизации в точках этой границы. Если же (1.4) выполняется одновременно с условием (I.I), т.е. О 09 то имеет место переход от (V3) к ().
Упругий слой при периодическом по времени нагреве
Рассмотрим упругий, однородный в начальный момент времени, слой толщиной , свободный от внешних силовых нагрузок на поверхностях = tri и жестко закрепленный по краям. В начальный момент времени Т= 0 слой характеризуется постоянными значениями степени полноты рекристаллизации S E0и температуры Т Т , причем t!Z0 соответствует TQ ,т.е. 2JO - это та величина степени полноты, которая достигается мерном повышении его температуры от Тр начала рекристаллиза- ции до Т0 . На боковых поверхностях слоя % = iJi при CL 0 поддерживается периодическое по времени изменение температуры: Здесь т - амплитуда колебаний температуры, причем і іК Т0 , СО - круговая частота. Исследуем возникающие при таком нагреве напряжения и изменение в слое степени полноты рекристаллизации. Для определения температурного поля решим уравнение теплопроводности при указанных начальных = ) и граничных условиях. Влиянием термоупругого рассеяния на температурное поле будем пренебрегать. Кроме того, учитывая, что в соответствии с известными экспериментальными данными Г2І,78,9і] для реальных металлов А - ІІ « { , принимаем, что С учетом принятых допущений уравнение теплопроводности в слое запишем следующим образом: В дальнейшем ограничимся значениями сО , достаточно малыми для того, чтобы можно было положить 6 0 и skytI 3? 7$ ytt -gp- Ъ . Например, для железа при температуре Т =800 К % = 7,69 КГ6 м2/с; если толщина слоя к = 0,25 Ю""2 м, то должно быть и) 2,46 10 с . При таких допущениях из (2.II) легко получаем: % Здесь и далее % = -j— - безразмерная координата. Температурное поле (2.13) будем в дальнейшем считать заданным при решении исходной задачи. Исследуем изменение напряженного состояния в слое в зависимости от времени. Рассмотрим ситуацию в некоторый фиксированный момент времени ССІ 0 % очень близкий к ==0. Учитывая заданное температурное поле (2.13) и условия активного протекания рекристаллизации (1.9), (1.10), (I.II), приходим к выводу, что при 2 = область ( Vz)9 в которой протекает рекристаллизация, занимает часть слоя Z 0 » а область ( 1 ), в которой рекрис- таллизация не начиналась, занимает часть слоя % 4 0 Определим распределение степени полноты рекристаллизации и напряжения в слое в момент времени T= t .Из уравнений равновесия и граничных условий следует, что напряжения и деформации являются функциями только координаты Z , В части слоя % у 0 » используя уравнение состояния для 6 г из (1,7), получим: Коэффициент Пуассона Р и модуль упругости Е связаны с исходными характеристиками К и G соотношениями
Воспользовавшись необходимым условием протекания рекристаллизации (1.9) с учетом (2.13), (2.14), получим распределение степени полноты: где Рассмотрим теперь ситуацию в слое при некотором % cLi . Используя полученные для "=ГУ результаты и условия (1.9)-(I.II), убеждаемся, что как и ранее, область ( V2) занимает часть слоя % 0 , а область ( V ) - часть слоя % 40. Таким образом, степень полноты рекристаллизации в слое в рассматриваемом временном интервале представляется в виде (2.16), а напряжения в виде (2.17), Максимального уровня Є и 3 до- стигают при Г= -г-г , когда Sin &)"= і \ Исследуя таким же образом ситуацию в слое при L j—r убеждаемся, что по всей толщине слоя нет условий для протекания ре- с St кристаллизации. Часть слоя % 0 , в которой при 0 і -птт- проходила рекристаллизация, занимает теперь область ( V3 ) а часть слоя %40 по-прежнему относится к области ( Vd). Распределение степени полноты постоянно во времени и соответствует (2.18), а напряжения имеют вид Так как в момент времени = ту слой находится в исходных условиях (Т-Т0) » то из (2.21) видно, что в нем возникли остаточные напряжения, вызванные протеканием рекристаллизации. Действуя далее аналогично предыдущему, получаем, что на промежутке времени 77Г (Г -ф г в тасти слоя % 0 протекает рекристаллизация, а при %&0 распределение 2 постоян-но и соответствует (2.18). В момент "= J-J имеют место следующие распределения степени полноты рекристаллизации и напряжений: где S (%) -единичная функция. Анализируя ситуацию в слое на промежутке времени-—(%( — %0д О) приходим к выводу, что в нем нет условий для протекания рекристаллизации, т.е. весь слой относится к области ( 1). При = -4- получаем распределение степени полноты рекристаллиза-ции в виде (2.22) и следующие остаточные напряжения! вызванные протеканием рекристаллизации:. Очевидно, что при дальнейшем изменении С рекристаллизация в слое протекать больше не будет, и, таким образом, распределение степени полноты (2.22) в дальнейшем не изменится. Для сравнения рассмотрим эту же задачу в предположении, что гапряженно-деформированное состояние не влияет на протекание рекристаллизации. В этом случае условие (1.9) запишется в виде: Используя его вместо (1.9), получим выражения для S и (5 в том же виде, что и ранее, но в рассматриваемом случае При численном анализе полученных результатов принималось f = 7800 кг/м3; = 2 10п Н/м2; dt = 1,2 -КГ5 І/град; =-2 ЧО"4; { = 100; / =-3 м2/с2; К - ОІ /с град, что соответствует значениям характеристик материала для чистого железа [86]. Распределение степени полноты рекристаллизации Зі g = Е Е по толщине сля % в момент времени Е - -jry
Упругий слой при периодическом по времени нагреве
Влияние процесса рекристаллизации на напряженное состояние твердых тел с учетом релаксационного характера этого процесса исследуем на примере упругого однородного в начальный момент времени слоя толщиной 2ть , свободного от внешних силовых нагрузок на поверхностях %h и жестко защемленного по краям. В начальный момент времени (S 0/ распределение температуры и степени полноты рекристаллизации в слое равномерно ( Т= То , — LL0, причем Т 0=Тп ). На боковых поверхностях слоя % = tfl при Т 0 поддерживается периодическое по времени изменение температуры (2.9), т.е. Здесь, как и ранее, принимается, что г ік" i0 (Тк - температура окончания рекристаллизации). Определим изменение степени полноты рекристаллизации и напряженного состояния в слое со временем. При этом ограничимся одним циклом изменения температуры (0 Т4 —г ) Задачу будем решать в квазистатическом приближении. Из граничных условий и уравнений равновесия следует, что недиагональные компоненты тензоров напряжений и деформаций равны нулю, а также Рассмотрим временной интервал # Т - -т- . При данном режиме нагрева верхняя часть слоя, в которой температура повышается, относится к области ( У%), а нижняя, в которой имеет место понижение температуры, - к области ( V. ). Решение задачи на этом промежутке времени будем строить приближенно в предположении, что в области нагрева изменение степени полноты рекристаллизации можно определять, исходя из условий локально-равновесного протекания процесса. При этом, пренебрегая, как и ранее, влиянием термоупругого рассеяния и тепловыделений, связанных с рекристаллизацией, для нахождения температурного поля воспользуемся уравнением теплопроводности (2.10). Ограничиваясь малыми значениями ей , получим распределение температуры в виде В таком приближении степень полноты рекристаллизации в слое будем находить по формуле (2.16), т.е.
Перейдем к рассмотрению промежутка времениg-\ " 7Х Принимаем, что в части слоя % 0 по-прежнему нет условий для протекания рекристаллизации. В части % 0 рекристаллизация будет протекать в связи с учетом релаксационной составляющей этого процесса. Выражение для степени полноты запишем с помощью (3.23), (3.32), полагая S равным (3.34). Имеем: В момент времени Т= -рТї все точки % 0 относятся к области ( 1). С течением времени они будут переходить из облас ти ( V) в область ( \Z). Момент перехода точки в область ( V3) Т=Ф (Z) найдем из условия (3.27), которое с учетом (3.37) преобразуется к виду Достигнув значения (%,%&)) » степень полноты рекристаллизации в дальнейшим остается постоянной. Исследуем напряженное состояние в слое в интервале времени St ЯГ -ртх " - . В части слоя % 0 , относящейся к области ( "[)» напряжения найдем по формуле (2.20), т.е. До момента времени Т= 2 0 » который определяется из условия (3.38) при %-i , все точки % 0 относятся к области ( Т). В дальнейшем в приповерхностной части слоя # возникает область ( Т), а вне этой области ( 0 % % ) сохраняются условия активного протекания рекристаллизации. Положение границы раздела « = % (Т) определяется из (3.38). Система уравнений (3.24) для области ( Vz) в рассматриваемом случае запишется следующим образом: Если пренебречь в уравнении (3.41) вторым слагаемым в правой части, учитывающим термоупругое рассеяние, тов таком приближении температурное поле в области ( И) запишется в виде: i=i eos аг - / (ф Аа-г)а-еЩГ). (3.48.) Найденное температурное поле (3.48) справедливо для области (V0), т.е. для 0 % . Г Z Распределение напряжений в части слоя, относящейся к области ( ]/%), найдем из соответствующего уравнения состояния (1.7), подставив в него выражение для в (3.45) с учетом (3.48): Рассмотрим теперь часть слоя %?% , относящуюся к области ( \). Рекристаллизация здесь не протекает, а распределение сте- it пени полноты "м1 соответствует (3.37) при Т —Ь0(%) : Температурное поле в области ( V3), исходя из (3.48), примем в виде: Для этого выражения удовлетворяются граничное условие при 2=/ и непрерывность температурного поля при #=2 (V). Распределение напряжений в части слоя, относящейся к области ( V3), будет следующим: В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда становится равным нулю для = Тс 4
Начиная с этого момента времени, все точки % 0 относятся к области ( V3 ). На промежутке времени —- С -гг— часть слоя % О относится к области (К), а все точки Z 0 принадлежат к об- ласти ( Vz ). Как и ранее, предполагаем, что в области нагрева имеют место условия локально-равновесного протекания рекристаллизации. Используя (2,22), (2.23), (3.50), (3.52), получим следующие распределения Е и 6 по толщине слоя в момент сг ЗЖ времени = f r В интервале времени pL - Щ. часть слоя % 0 по-прежнему относится к области ( V3 ); в части слоя % 0 рекристаллизация будет протекать в связи е учетом релаксационной составляющей этого процесса до момента времени Т= %j (%) , Значение %(%) определяется из условия, аналогичного (3.38). В произвольный момент " на рассматриваемом промежутке времени точки слоя # _ 2 % 0 относятся к области ( Vz), а точки t к. к области ( \j ). Положение границы раздела % = 2 (?) определяется из условия (3.27), Методика решения задачи для рассматриваемого временного интервала аналогична применяемой для интервала 9с у г у 9L ТТ Л- Z9C тг-г ь г— . При этом для момента Ч. = -— , т.е. после 2од СО со завершения одного цикла изменения температуры, имеем следующие распределения степени полноты Г и напряжений о по толщине слоя
