Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Действие нагрузки на трансверсально изотропное тело 19
1 1 Задача о действии сосредоточенной силы на трансверсально изотропное полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны его границе 19
1.1.1. Постановка задачи 19
1.1.2. Метод интегральных преобразований
1.2. Расчет перемещений поверхности полупространства 24
1.3. Выводы по главе 1 33
ГЛАВА 2. Методы расчета контактного напряжения при конечных областях контакта 34
2.1. Контактная задача для заданной эллиптической области кон- 34
такта
2.1.1. Эллипс контакта вытянут вдоль оси z 34
2.1.2. Эллипс контакта вытянут вдоль оси y 40
2.1.3. Эллиптический в плане штамп с полиномиальным основанием
2.2. Контактная задача при заранее неизвестной области контакта. Численные эксперименты 46
2.2.1. Контактная задача 47
2.2.2. Численные эксперименты 52
2.2.3. Взаимодействие штампов 60
2.3. Выводы по главе 2 65
ГЛАВА 3. Методы расчета контактного напряжения при полубесконечных областях контакта 66
3.1. Контактная задача для полосовой области контакта 66
3.1.1. Постановка задачи и регулярный асимптотический метод
3.1.2. Сингулярный асимптотический метод 74
3.1.3. Замкнутое решение 79
3.1.4. Метод ортогональных функций 82
3.2. Контактная задача для клиновидной области контакта 86
3.2.1. Постановка задачи 86
3.2.2. Метод преобразования Меллина и метод Галеркина 87
3.3. Выводы по главе 3 98
Выводы по работе 99
Список использованных источников 102
- Метод интегральных преобразований
- Эллипс контакта вытянут вдоль оси z
- Контактная задача при заранее неизвестной области контакта. Численные эксперименты
- Сингулярный асимптотический метод
Метод интегральных преобразований
Примеры изотропных материалов: железо, сталь (кубическая кристаллическая решетка). Пионерскими в области трансверсально изотропного упругого тела можно считать известные работы Эллиота [92,93]. В случае полупространства ранее обычно предполагалось, что плоскости изотропии параллельны границе полупространства [10,28,57,66-73,89,91,94]. При рассмотрении контактных задач для такого полупространства ядро интегрального уравнения оказывается совпадающим с ядром контактной задачи для изотропного полупространства [57]. Исследована осесимметричная контактная задача [69], оценено влияние сдвигающей силы и опрокидывающего момента на цилиндрический штамп, сцепленный с полупространством [67]. Рассматривалась осесимметричная контактная задача термоупругости для трансверсально изотропного полупространства [28]. Было получено точное решение осесимметричной контактной задачи для штампа, сцепленного с трансверсально изотропным полупространством [94]. Вопросам взаимодействия нескольких штампов на трансверсально изотропном полупространстве уделено место в монографии [10]. Изучались различные ва-16 рианты смешанных задач для трансверсально изотропного полупространства [68,70,71,73]. Отметим, что связь между контактными задачами для полупространства и задачами о трещинах (математических разрезах) в пространстве, известная для изотропного материала [34], сохраняется и для трансверально изотропного материала [99,100,118,119].
Задача Буссинеска и контактная задача для анизотропного полупространства (общий случай анизотропии) исследовалась в [117]. Однако в [117] не были получены выражения для всех компонентов тензора напряжений и вектора перемещений. Для трансверсально изотропного полупространства, когда плоскости изотропии параллельны границе полупространства, это было сделано в [95]. Контактные задачи для трансверсально изотропного полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства, названы «нетрадиционными» [99], поскольку здесь, вообще говоря, неосуществим случай осевой симметрии. Перемещения и напряжения в «нетрадиционном» полупространстве под действием заданной сосредоточенной силы были получены [99] в виде однократных квадратур, затем были найдены точные решения нескольких контактных задач для заданной или неизвестной эллиптической в плане области контакта. Показано [99], что параболоид вращения может приводить к эллиптической площадке контакта, а круговая область контакта может возникать при внедрении несимметричного эллиптического параболоида. Изучалась [100] задача об эллиптической трещине в «нетрадиционном» трансвер-сально изотропном пространстве (плоскость трещины перпендикулярна плоскостям изотропии). Символ ядра интегрального уравнения этой задачи является взаимно обратным к символу ядра интегрального уравнения соответствующей контактной задачи [99].
Задача о тонком включении в трансверально изотропном теле изучалась в [102]. Принцип соответствия между упругими и пьезоэлектрическими краевыми задачами для трансверально изотропного тела сформулирован в [105].
Контактные задачи для частных случаев ортотропии рассматривались в работах [20,61]. В [21] получено точное решение задачи о вдавливании круго-17 вого в плане штампа с полиномиальным основанием в ортотропное полупространство. Там же высказано утверждение о том, что аналогичный результат (теорема типа теоремы Галина) может быть получен для случая произвольной анизотропии. Краевые задачи для ортотропного слоя изучены в монографии [60]. Контактным задачам для ортотропного слоя посвящены работы [19,36,37]. Контактная задача со сцеплением для ортотропного слоя исследовалась в статье [18].
Существенный вклад в развитие смешанных задач для трансверсально изотропного тела внес Валерий Исаакович Фабрикант [66-73,94-102], бывший советский ученый, эмигрировавший во времена СССР в Канаду, а затем совершивший убийство нескольких сотрудников университета в Канаде за то, что его не избрали по конкурсу (об этом тогда писала газета «Правда», теперь можно прочесть в интернете). Приговоренный к пожизненному заключению, отсидев уже около 25 лет, подорвав здоровье, он не был сломлен духом и написал множество великолепных статей и монографий, в которых местом его работы указана тюрьма в Канаде. В определенном смысле, это уже маленький научный подвиг.
Эллипс контакта вытянут вдоль оси z
Как уже было установлено в главе 1, для случаев упругого материала 1, 4 и 5 поверхность полупространства менее «податлива» в направлении оси z. В случаях же 2 и 3 поверхность менее «податлива» в направлении оси у. Этим объясняются результаты, приведенные в таблице 9: в случаях 1, 4 и 5 труднее вдавить штамп, вытянутый вдоль оси z, в случаях 2 и 3 труднее вдавить штамп, вытянутый вдоль оси у.
Известен следующий результат Л.А. Галина [25,39] для эллиптического в плане штампа с полиномиальным основанием, вдавливаемого в изотропное упругое полупространство. Решение интегрального уравнения контактной задачи для изотропного полупространства с упругими характеристиками G (модуль сдвига) и v (коэффициент Пуассона) полином степени m с неопределенными коэффициентами, которые можно найти после подстановки (2.66) в (2.64), взятия интегралов, тождественно удовлетворяя уравнению (2.64). Способ взятия возникающих интегралов указан в [34,78] и реализован в [2,22].
Результат (2.66) получен Л.А. Галиным при помощи введения эллипсоидальных координат и рассмотрения задачи Дирихле для внешности эллиптического диска [25].
В случае рассматриваемой в настоящей диссертации контактной задачи для трансверсально изотропного упругого полупространства для эллиптического в плане штампа с полиномиальным основанием можно доказать теорему, обобщающую указанный выше результат Л.А. Галина. Именно, имеет место
Идея доказательства состоит в сравнении ядра (2.65) с ядром (2.68). Заметим, что возникающие интегралы (после подстановки (2.69) в (2.67) или (2.66) в (2.64)), как в изотропном, так и в трансверсально изотропном случае, можно брать при помощи обобщения техники, описанной в подразделе 2.1.1 (используя почленное дифференцирование известных интегралов типа (2.14)). Сперва берется интеграл по области контакта W. Затем после перехода к полярным координатам r, j по формулам в ядре (2.68) оказывается не зависящим от переменной r. Это является ключевым моментом доказательства теоремы. Ясно, что поскольку для изотропного случая доказываемый факт имеет место, он будет иметь место и в трансверсально изотропном случае. 2.2 Контактная задача при заранее неизвестной области контакта. Численные эксперименты
Исследуется трехмерная контактная задача для упругого трансверсально изотропного полупространства (пять упругих постоянных), когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. В связи с этим «податливость» границы полупространства зависит от направления. Ядро интегрального уравнения контактной задачи ранее было получено в виде двойного интегрального преобразования Фурье [99]. Затем при помощи теории обобщенных функций удалось представить это ядро в виде свободном от квадратур [29]. Такой вид ядра, в связи с простотой его регуляризации в особых точках, сделал возможным применить для решения контактной задачи с неизвестной областью контакта метод нелинейных граничных интегральных уравнений, развитый Галановым [23,24]. Заметим, что при непосредственном применении указанного метода к интегральному уравнению с ядром в виде интеграла [99] возникают трудности: неясно, как выделить из ядра главный внеинтегральный член и провести регуляризацию в особых точках. Для отладки компьютерной программы метода Галанова, включающей численный метод Ньютона решения нелинейного уравнения, использовано точное решение контактной задачи для штампа в форме эллиптического параболоида [99]. Хорошее совпадение результатов подтверждает достоверность формул для ядра и точного решения (важно для измерения твердости по Бринеллю). Сделаны расчеты для разных материалов, в том числе при внедрении штампа в форме четырехугольной пирамиды (применяется для оценки твердости по Виккерсу). Определены области контакта, давления и значения вдавливающей силы при заданной осадке штампа.
Контактная задача при заранее неизвестной области контакта. Численные эксперименты
Величины (3.78), (3.79) совпадают соответственно с величинами (g32uxy )-1, (g32uxz )-1, см. (1.56), (1.57), определяющими, в каком из направлений поверхности полупространства, y или z, упругий материал является менее «податливым». Поэтому, ясно, что при достаточно больших l (для относительно узких (менее волнистых) полосовых штампов) сила P0 (3.76) будет больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность полупространства менее «податливая», см. таблицы 16, 17.
Для достаточно малых l ситуация меняется на противоположную. Как следует из формул (3.74), (3.75) при l0 Формулы (3.80)-(3.82) объясняют численные данные, приведенные в таблицах 19, 20. Именно, при достаточно малых l (для относительно широких (более волнистых) полосовых штампов) сила P0 (3.80) будет больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность полупространства более «податливая».
Здесь получим замкнутые решения интегральных уравнений (3.10), (3.23) соответственно контактных задач А и Б для полосового в плане штампа при специальной аппроксимации символов ядра. Именно, с учетом асимптотических свойств символов используем аппроксимацию на действительной оси вида
Аппроксимация (3.83) позволяет свести интегральное уравнение к известному интегральному уравнению контактной задачи для изотропного полупространства, имеющему замкнутое решение [58].
Входящие в (3.83) величины E1n для задач А (n=1) и Б (n=2) определяются по формулам (3.78), (3.79). В соответствии с формулами (3.81) и (3.82) имеем для задачи А 11 2 1 3 Видно, что величины (3.84), (3.85) взаимно обратные. Нетрудно показать, что аппроксимации (3.83) для задач А и Б всегда имеют одинаковую погрешность. В таблице 21 для задач А и Б дана относительная погрешность аппроксимации (3.83) q и значения величин (3.84), (3.85) для случаев упругих материалов из таблицы 1. Таблица 21 Погрешность аппроксимации (3.83)
Погрешность полученного замкнутого решения не превышает погрешности аппроксимации (3.83). Ясно, что эта погрешность будет удовлетворительной только для ограниченного числа частных случаев упругого материала. Для вычисления функций Матье, входящих в формулы (3.89)-(3.91), полезно использовать книгу [108].
Здесь изложим метод ортогональных функций [3], позволяющий свести интегральные уравнения (3.10), (3.23) к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений, для которых метод редукции сходится при любых значениях безразмерного параметра X.
Именно, вместо аппроксимации (3.83) с учетом асимптотических свойств символов представим символы в виде {п=\ для задачи А; п=\ для причем на основании (3.93) можно утверждать, что функция (3.95) экспоненциально убывает на бесконечности, а в нуле ведет себя как t2 In 11 , т.е. m(t)e a(-oo;oo) (a = l-e) [3]. Пусть функция Д ) в (3.10), (3.23) четная и /(лг)є //f (-1;1) (1/2 (3 1). Тогда для уравнений (3.10), (3.23) с ядрами (3.94), (3.95) справедлива теорема 2.13 [3] об однозначной разрешимости в L (—1;1) (1 р 2).
Поэтому оператор, стоящий в правой части (3.107), действует вполне непрерывно из l2 в l2 при любом l 0. Это означает, что данный оператор может быть аппроксимирован конечномерным, что обеспечивает сходимость метода редукции в применении к системе (3.107)-(3.108).
Изложенный метод может применяться для контроля точности решений, получаемых по регулярному и сингулярному асимптотическим методам, приведенным в этой главе. 3.2 Контактная задача для клиновидной области контакта
Исследуется пространственная контактная задача о действии клиновидного в плане штампа на трансверсально изотропное упругое полупространство, когда плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства. Получено интегральное уравнение контактной задачи. Упругие нормальные перемещения границы полупространства под действием заданной сосредоточенной силы существенно зависят от выбранного направления на этой границе [99]. В связи с этим рассмотрены два случая расположения клиновидной области контакта: она может быть вытянута вдоль первой или второй оси декартовой системы координат на границе тела. Решение ищется по схеме метода интегрального преобразования Меллина и метода Галеркина, предложенной ранее для изотропного полупространства [12]. Основное внимание уделяется выделению особенности контактного давления в угловой точке области контакта.
Сингулярный асимптотический метод
Вернемся к анализу значений безразмерных нормальных перемещений точек поверхности полупространства, лежащих на координатных осях на равных расстояниях от нормальной сосредоточенной силы, приложенной в начале координат (см. значения величин uxy и uxz , приведенные в главе 1, формулы (1.56), (1.57)). Расчет отношений величин uxy и uxz позволяет сделать вывод, что в случаях y1, y2 поверхность полупространства менее «податлива» в направлении оси y, чем в направлении оси z соответственно 1,59 и 1,81 раз. Для случаев z1, z2 поверхность полупространства менее «податлива» в направлении оси z, чем в направлении оси y соответственно 1,27 и 1,43 раз. Расчеты позволяют сделать следующие выводы. Пусть ось симметрии клиновидного штампа ориентирована в направлении координатной оси меньшей «податливости» поверхности полупространства (случаи y1, y2 в задаче А; z1, z2 в задаче Б). Тогда для острых углов b значения e больше (а для тупых углов b значения e меньше), чем для изотропного полупространства. Пусть упругая поверхность существенно менее «податлива» в направлении оси симметрии штампа, чем в перпендикулярном направлении (случай y2 в задаче А, жестче в 1,81 раз; случай z2 в задаче Б, жестче в 1,43 раз). Тогда существует тупой угол b, начиная с которого контактное давление уже не имеет особенности порядка r-e , e(0;1). Заметим, что аналогичный вывод об исчезновении особенности при увеличении скорости движения тупоугольного штампа был получен в задаче о движущемся клиновидном штампе на изотропном полупространстве [12]. Пусть теперь ось симметрии штампа направлена по оси большей «податливости» поверхности полупространства (случаи z1, z2 в задаче А; y1, y2 в задаче Б). Тогда для острых углов b значения e меньше (а для тупых углов b значения e больше), чем для изотропного полупространства.
Построены асимптотические решения (регулярное и сингулярное) задач о взаимодействии полосового в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта. Найдено замкнутое решение при специальной аппроксимации ядра интегрального уравнения. Для контроля точности асимптотических решений предложен метод ортогональных функций. Показано, что при достаточно больших l (для относительно узких (менее волнистых) полосовых штампов) вдавливающая сила P0 будет больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность полупространства менее «податлива». При достаточно малых l (для относительно широких (более волнистых) полосовых штампов) сила P0 будет больше для штампа, расположенного в направлении, в котором поверхность полупространства более «податлива».
Построены численно-аналитические решения задач о взаимодействии клиновидного в плане штампа с трансверсально изотропным упругим полупространством, когда плоскости изотропии перпендикулярны заданной области контакта, исследованы особенности контактного напряжения в кончике клиновидного штампа. Показано, что если упругая поверхность существенно менее «податлива» в направлении оси симметрии штампа, чем в перпендикулярном направлении, то существует тупой угол b полураствора штампа, начиная с которого контактное давление уже не имеет особенности порядка r-e , e(0;1). Выводы по работе
Развиты методы расчета контактного напряжения при контакте трансверсально упругого тела, моделируемого полупространством, со штампами различной формы в плане. При этом плоскости изотропии перпендикулярны границе полупространства (осевая симметрия невозможна).
Получен не содержащий квадратур компонент фундаментального решения (нормальное перемещение на границе полупространства под действием заданной нормальной силы) для трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Значение этого решения в том, что оно является ядром интегрального уравнения контактной задачи. Именно отсутствие квадратур в ядре и позволяет в дальнейшем провести простую регуляризацию этого ядра при численном решении контактной задачи с неизвестной областью контакта (метод Галанова, см. главу 2). Ранее [99] ядро было получено в квадратурах.
Исследовано нормальное перемещение поверхности трансверсально изотропного упругого полупространства, когда плоскости изотропии перпендикулярны его поверхности. Расчеты проведены как для абстрактных, так и для реальных практически важных материалов (титан, кобальт, графит, угле-волокно, сапфир, керамика, бетоны и др.). Свойства поверхности характеризуется нормальным перемещением точек поверхности при действии на поверхности (в начале системы координат) нормальной сосредоточенной силы. Это перемещение может быть больше на одной или другой координатной оси на поверхности, может иметь экстремум не только на координатных осях. Чем меньше это перемещение, тем поверхность менее «податлива».
