Содержание к диссертации
Введение
1. Обоснование и постановка задачи исследования 6
1.1. Общая характеристика одаопоясных распорных систем 6
1.2. Анализ теории деформационного расчёта пологих однопоясных распорных систем 9
1.3. Цели и задачи, поставленные в работе 27
2. Деформационный расчёт распорных систем 30
2.1. Основные допущения и предпосылки расчёта 30
2.2. Исходное состояние однопролётной системы 33
2.2.1. Дифференциальное уравнение равновесия исходного состояния гибкого стержня и его аналитическое решение 33
2.2.2. Возможные формы исходного состояния гибкого стержня в системе 38
2.2.3. Связь между искомыми и компоновочными параметрами исходного состояния 42
2.3. Возмущённое состояние однопролётных распорных систем 45
2.3.1. Интегродифференциальное уравнение равновесия гибкого стержня в возмущённом состоянии и его аналитическое решение 45
2.3.2. Основные разрешающие уравнения возмущённого состояния системы 52
2.3.3. Определение искомых параметров в гибком стержне системы 55
2.4.- Исходное состояние многопролётных распорных систем 56
2.5. Возмущённое состояние многопролётных систем 58
2.5.1. Системы основных разрешающих уравнений 59
2.5.2. Возможные схемы сопряжения гибких стержней с опорами и типы опор распорных систем 62
2.5.3. Порядок определения искомых параметров возмущённого состояния 65
2.6. Описание и решение некоторых расчётных схем комбинированных и других распорных систем 66
2.6.1. Описание и решение висячих и арочных систем с балкой жесткости 69
2.6.2. Расчёт ригелей рам и балок 73
3. Алгоритм и программа реализаций деформационного расчёта распорных систем на ЭВМ 75
3.1. дискретная форма аналитического решения распорных систем 76
3.2. Особенности формирования и способ решения систем основных разрешающих уравнений 82
3.3. Общая характеристика алгоритма и ФОРТРАН-программы 86
4. Численные исследования налряжённо-дешрмировабных состояний распорных систем 97
4.1. Оценка точности аналитико-численного метода 98
4.2. Исследование висячих систем 103
4.3. Исследование арочных систем 113
Основные выводы 117
- Анализ теории деформационного расчёта пологих однопоясных распорных систем
- Дифференциальное уравнение равновесия исходного состояния гибкого стержня и его аналитическое решение
- Исходное состояние многопролётных распорных систем
- Особенности формирования и способ решения систем основных разрешающих уравнений
Введение к работе
Одной из основных задач, поставленных ХХУІ съездом КПСС в области капитального строительства, следует считать задачу повышения эффективности капитальных вложений. Её решение связано со снижением стоимости и материалоемкости инженерных сооружений. Последняя в значительной степени определена достоверностью сведений о действительной работе их конструктивных форм, так как только точные знания о возможных напряженно-деформированных состояниях позволяют проектировщикам принять конструктивное решение с минимальными затратами материала.
Создание оптимальной конструктивной формы инженерных сооружений во многом определено выбором конструктивной схемы и соответствующей ей расчётной схемы. Степень соответствия между ними можно считать установленной лишь тогда, когда методы расчёта позволяют принять расчётные схемы такими, что их напряженно-деформированные состояния способны предельно точно отражать основные свойства реальной конструкции.
Достоверность результатов расчёта многих конструктивных схем инженерных сооружений может быть достаточно полной (а иногда и единственно возможной) лишь при учёте в методах их расчёта деформированной схемы. К таким конструктивным схемам следует отнести однослойные висячие и арочные системы различного назначения (трубопроводные переходы, пролётные строения мостов, несущие конструкции покрытий зданий и др.), а также элементы конструкций (сжато-и растянуто-изогнутые балки, ригели рамных систем и др.). Учитывая нелинейный характер уравнений их напряженно-деформированных состояний и значительные трудное-
сти вычислительного порядка, возникающие при их расчёте, важно, чтобы разрабатываемые методы были удобны в реализации на ЭШ, а также универсальны с точки зрения охвата ими возможного многообразия расчётных схем. Кроме того, разработанные методы могут быть внедрены в практику проектирования лишь при условии создания на их основе рабочих программ с целью автоматизации расчета.
Данная диссертационная работа посвящена разработке анали-тико-численного метода расчёта пологих однопоясных распорных систем по деформированной схеме, его реализации в ФОРТРАН - программе DRORS для ЭВМ Минск-32 и ЕС ЭВМ и численным исследованиям их напряжённо-деформированных состояний. Метод расчёта и реализующая его ФОРТРАН - программа позволяют описать и рассчитать большое многообразие расчётных схем однопоясных распорных систем в том числе и решаемых впервые.
Реализация аналитико-численного метода расчёта распорных систем в ФОРТРАН - программе для ЭВМ даёт возможность автоматизировать расчёт, а применение его в проектной практике -снизить материалоемкость и повысить надежность обширной группы конструктивных форм однопоясных висячих и арочных систем различного назначения.
Анализ теории деформационного расчёта пологих однопоясных распорных систем
В висячей системе гибкий стержень обладает устойчивой формой равновесия даже при исчезайте малой величине изгибной жест- кости (Е1"+0), но при этом повышается чувствительность системы к возмущениям с появлением конечных кинематических перемещений, так как система становится геометрически изменяемой. Отсюда, с одной стороны - возможность использования в качестве основных несущих конструкций вант из высокопрочных конструкционных материалов, с другой - необходимость стабилизации системы. Поиски разрешения этих противоречий привели к появлению большого многообразия плоских и пространственных конструктивных решений, многие из которых явились предметом изобретения [9, 5, 46]. В создании разнообразных конструктивных решений висячих систем особо следует отметить роль теории расчета пологой гибкой нити как основного несущего элемента их расчетных схем. История возникновения этой теории связана с исследованиями таких известных учёных, как Лагранж, Эйлер, Бернулли, Лейбниц, Навье. Однако современная теория расчета гибких пологих нитей заложена в работах Р.Н. Мацелинского [40, 41] и В.К. Качурина [21, 22, 19]. В работах [40, 41] на основе принципа Лагранжа впервые были получены решения для гибкой нити (в том числе и нити-струны), загруженной произвольной вертикальной нагрузкой, в виде алгебраических уравнений (квадратного для нерастяжимой и неполного кубического для упругой) относительно распора.
В последующих работах [42, 43] Р.Н. Мацелинским излагается решение задачи о нерастяжимой нити, даётся оценка погрешностей, связанных с принятыми допущениями, очерчивается область её применения. В работе В.К. Качурина [21] основное разрешающее уравнение относительно распора нити получено приравниванием её длины в исходном и возмущенном состояниях с учётом упругих деформаций В уравнениях принято приближенное значение длины дуги, полученное путём разложения подинтегральной функции в ряд Маклорена с удержанием двух первых членов ряда. Такое допущение, существенно упрощающее решение задачи, в настоящее время считается общепризнанным и широко применяется во многих работах по теории пологих висячих систем. В этой же работе, на основе уравнений для однопролётной нити, излагается расчёт многопролётных нитей на подвижных промежуточных и упругих опорах. В своих "последующих работах [22, 19] В.К. Качурин совершенствует и развивает теорию висячих систем. Здесь получены уравнения деформаций нити при температурных воздействиях, горизонтальных и вертикальных смещениях опор, приведено новое решение для расчёта однопролётной нити на разновысоких и упругих опорах. Выполнены теоретические исследования, в которых доказана возможность применения основных разрешающих уравнений теории пологих гибких нитей в вантовнх системах без особых ограничений на пологость и разность отметок опор. Разработаны приближённые способы расчёта гибких нитей с анализом их точности, ориентированные на упрощение ручного счёта. В названных выше работах В.К. Качурина показано также значение теории гибкой нити в формообразовании и расчёте различных радиальных однопоясных и двухпоясных вантовнх систем, некоторых типов ортогональных вантовнх сетей и др. Кроме того, работа [22] содержит главу, в которой изложены основы теории деформационного расчёта жестких нитей (гибких стержней). Поскольку эта глава имеет важное значение в теории расчёта гибких неизменяемых однопоясных висячих систем, мы к ней вернёмся в данной работе несколько ниже. Не касаясь здесь обширных исследований в области двухпоясных, сетчатых, ванто-балочных и комбинированных вантовнх систем, отметим лишь, что в развитии теории расчёта этих эффектив- ных конструктивных решений важную роль сыграла теория расчёта гибкой нити, а в её развитие внесли существенный вклад А.В. Ка-силов [I8J, В.А. Киселёв [25J, А.Ф. Лилеев [35, Зб], Ю.И. Масленникова [38], Н.С. Москалёв [44, 47], В.М. Овсянко [60], Я.С. Рабинович [67], Г.Э. Райнус [68, 69], А.Р. Ржанщын [72], Е.М. Сидорович [75, 76, 77], В.А. Смирнов [81, 82] и др. Одной из особенностей статического расчёта ванты под нагрузкой является допущение об отсутствии напряжений изгиба вследствие предположения её абсолютной гибкости (Е1 0 ). Но ванта (трос, канат, проволочная прядь, арматурный стержень и др.) представляет собой материальный стержень, обладающий пусть малой, но конечной изгибной жесткостью, поэтому в ней неизбежно появление напряжений от изгиба. При достаточно малой высоте пологой ванты и отсутствии больших локальных кривизн в пролёте (как результат приложения отдельных сосредоточенных сил) эти напряжения в сравнении с напряжениями растяжения малы и ими можно пренебречь. Тогда ванта может быть рассчитана по схеме гибкой нити. Однако при выборе конструкции ванты необходимо считаться с возможностью появления локальных напряжений, вычислить значения которых с позиций теории гибкой нити невозможно, а влияние их на несущую способность может быть существенно. По исследованиям В.К. Качурина [22] величиной изгибной жесткости в ванте пренебречь нельзя, если отношение напряжений изгиба к напряжениям растяжения превышает 5% (6U/Sp 005 ) Им же в этой работе указано приближённое решение для такой оценки. Кроме того, возможно конструктивное решение пролётной части однопоясных распорных систем, обладающей конечной изгибной жесткостью, достаточной, чтобы систему считать гибкой неизменя- емой.
Критерием достаточности является удовлетворение условий для I и II групп предельных состояний. Расчетной схемой пролетной части гибких неизменяемых распорных систем мы будем считать такой гибкий стержень, который воздействие внешних нагрузок способен уравновешивать возникающими в нем продольными силами и изгибающими моментами. Очевидно, что гибкая нить есть идеализация гибкого стержня, допускаемая, если это возможно, с целью упрощения расчета системы при Наиболее ранние теоретические исследования, посвященные деформационному расчету гибких неизменяемых однопоясных распорных систем, связаны с конструктивными схемами висячих мостов с балкой жесткости, подвешенной к цепи на жестких вертикальных подвесках. В числе этих исследований необходимо отметить работы Мюллера-Бреслау, Ж. Мелана, Д.Б. Штейнмана, СП. Тимошенко, в которых приведены доказательства необходимости учета геометрической нелинейности системы, указаны возможные пути аналитического решения таких задач [80J. Среди них примененный Д.Б. Штейнманом энергетический метод, а также предложенный СП. Тимошенко способ решения задачи с применением тригонометрических рядов использовались в последующем многими авторами. В работе Н.М. Кирсанова [2б] решение основного дифференциального уравнения равновесия одноцролетного висячего моста относительно функции прогибов балки жесткости, загруженной временной нагрузкой и усилиями в подвесках постоянной интенсивности, выполнено методом начальных параметров. Используя условия деформаций кабеля, составленные на основе принципа Лагранжа, и функцию прогибов балки жесткости, получены зависимости для определения распора способом последовательных приближений. С целью упрощения ручного счёта составлены таблицы значений трансцендентных функций для безразмерных аргументов. Впоследуицем метод начальных параметров для расчёта висячих мостов в аналитической форме использован также в работах В.Г. Беликова [і], В.А. Смирнова [80], С.А. Степкина [88] и др. Работы Дурова И.С. [12, 13, 14] посвящены разработке приближенного метода деформационного расчёта мостов, в основе которого принято допущение о постоянной величине коэффициента дефор-мативности, и являвшегося дальнейшим развитием предложенного Г. Елейхом [ИЗ] приближённого (квазилинейного) решения висячего моста. Такое допущение давало возможность принять линейную зависимость между прогибами и нагрузкой, а, следовательно, использовать для расчёта линии влияния. В работе [і2] даются обоснование и оценка возможностей такого решения, а также приведены фундаментальные функции, позволяющие вычислить ординаты линий влияния. Работа [12] посвящена дальнейшему развитию приближённого метода деформационного расчёта с помощью линий влияния.
Дифференциальное уравнение равновесия исходного состояния гибкого стержня и его аналитическое решение
Допустим, что гибкий стержень с жесткостями на изгиб Е10 и растяжение (сжатие) EFo , закрепленный на упругих разновысоких опорах, под воздействием произвольной вертикальной нагрузки до(х) принял некоторое равновесное состояние (рис. 2.1), Считаем, что опорные части гибкого стержня могут быть соединены с упругими опорами жестко лишь после уравновешивания в нем внутренних усилий и установившихся деформациях системы, вызванных воздействием исходной нагрузки, поэтому опорные моменты равны нулю. Принимаем это состояние за исходное. Цусть в числе компоновочных параметров принятого исходного состояния задан распор Но Составив уравнения равновесия стержня (ZM(2) Oi -У=-0) » определяем вертикальные составляющие реакций его опор: Очевидно, что выражение (2.2) представляет собой левую опорную реакцию простой горизонтальной балки пролетом, равным пролету стержня. Сказанное удобно изобразить на числовой оси Но (рис. 2.4), где значения Р можно рассматривать как границу, за которой возможен качественный скачок форм равновесия. Арочная форма стержня на числовой оси характеризуется значениями //о (PS Р3) , висячая форма - значениями // fP t « /. В висячей системе при Но -(Рэ, О) гибкий стержень будет находиться в сжатоизогнутом состоянии (рис. 2.3,а), а при Но(0, оа) - в растянутоизогнутом состоянии (рис. 2.3,6). Особый случай представляет равновесное состояние гибкого стержня при H0- Q , где после раскрытия неопределенности вида -Q В уравнении (2.19) приходим к уравнению упругой линии простой балки с пролетом, равным пролету стержня. Вторая часть интервала работы гибкого стержня в висячей системе представляет наибольший интерес и поэтому изучена достаточно полно.
Первая же часть интервала обычно в висячих системах не рассматривалась (22J, хотя практически попасть в этот интервал работы стержня достаточно легко (например, при установке стержня-заготовки на неподвижные опоры с наперед заданной стрелкой), а иногда даже и целесообразно [55 J. При 1о- 0 первая часть интервала исчезает, т.к. Р9 0 . а уравнение формы оси гибкого стержня (2.19), вследствие того, что имеет вид Поскольку выражение, стоящее здесь в скобках, есть выражение изгибающего момента в простой балке, то уравнение (2.31) в точности соответствует основной зависимости теории гибкой нити [4]. Следовательно, гибкую нить необходимо рассматривать как гибкий стержень с f/0 = Q . Уравнение (2.31) позволяет описать геометрическую ось пологого криволинейного бруса, у которого кривая его оси совпадает с кривой давления от исходной нагрузки 00 /х) при Но О по уравнению (2.31) будет описана ось арки; при //о 0 ось перевернутой арки (жесткой нити). При Но 0 » но pofx)=0u0 Уравнению (2.19) будет описана жесткая ( ВІфФО ), а по уравнению (2.31) - гибкая (Т0 -О ) нить-струна с натяжением И/ / о . Таким образом, уравнение (2.19) и полученные на его основе зависимости способны описать при заданных значениях компоновочных параметров практически произвольный закон формы равновесного состояния пролетной части пологих распорных систем. При известном значении распора Но форму геометрии пролетной части, а также углов наклона касательной с осью X и значения изгибагацих моментов в исходном состоянии вычисляем по выражениям (2.19) - (2.33). Если же распор Но не входит в число компоновочных параметров, но известна одна из ординат формы оси стержня в пролете У(Хо) t 6 значение тангенса угла наклона касательной к горизонту tg }{ гдY -ф }при 0 Х0 1)% то его величина может быть определена в результате решения трансцендентных уравнений соответственно Здесь AfofXo)- изгибающий момент в стержне при /Г= Хо, значение которого вычисляем по (2.21) или (2.35) в зависимости от знака параметра ИО/ЕІ0 И типа распорной системы. При Е/о-+0 приходим к известным в теории гибкой нити формулам: Длина заготовки гибкого стержня на пролет равна где: Lo- деформированная длина гибкого стержня в исходном состоянии; 6Lo - удлинение стержня за счет его продольной деформации, вызванное исходной нагрузкой. Используя формулу приближенного значения длины дуги, полученную в [22] для пологой гибкой нити на разновысоких опорах, и выражение (2.29), получим Интеграл (2.36) назовем силовой характеристикой исходного состояния.
Очевидно, что при /о-+0 на совпадает с соответствующей характеристикой, принятой в теории гибкой нити. Упругое удлинение гибкого стержня, вызванное исходной нагрузкой, равно 7 После подстановки в полученную формулу функции (2.20) и некоторых преобразований с учетом (2.29) имеем Так как с учетом (2.28) и (2.29) то второе слагаемое выражения (2.37) равно нулю. Тогда принимаем окончательно После подстановки в (2.34) выражений (2.35), (2.38) и учета (2.36), получим: Значения поперечных и продольных сил в сечении стержня вычисляем по выражениям, полученным из условий равновесия внешних и внутренних сил отсеченной его части: где QQ - значение поперечной силы в простой балке пролёта, равного пролёту стержня от исходной нагрузки Q0(x)\ jo - угол наклона касательной с осью X » вычисленный из (2.20). 2.3. Возмущённое состояние однопролётной системы Пусть в распорной системе, геометрия и другие зависимые параметры исходного состояния которого определены выражениями (2.19) - (2.42), опорные части гибкого стержня жёстко соединены с упругими опорами, а его жёсткости на изгиб /0 и растяжение (сжатие) EFo изменены соответственно до величин fr и f1 , после чего система возмущена и переходит в новое равновесное состояние (рис. 2.5), принимаемое здесь за возмущённое (рассчитываемое) . 2.3.1. Интегродифференциальное уравнение равновесия гибкого стержня в возмущённом состоянии и его аналитическое решение.
Исходное состояние многопролётных распорных систем
При разработке метода расчета многопролетных систем остаются справедливыми принятые для однопролетных систем допущения и предпосылки, а также уравнения, описывающие форму очертания оси гибкого стержня в исходном состоянии и его перемещения. Допустим, что каждый из /7 гибких стержней многопролетной системы с жесткостями на изгиб Е10± и растяжение (сжатие) 6-, соединенных шарнирно с {Л+і ) упругими опорами, принял некоторое равновесное состояние (рис. 2.7, пунктир). Рассматривая каждый из /7 пролетов как отдельную однопролетную систему с достаточным числом компоновочных параметров, данное равновесное состояние системы, принятое за исходное, может быть описан выражениями (2.19) - (2.42). Следовательно, любое другое, возможное согласно п. 2.2., равновесное состояние может быть описано также вышеназванными выражениями. При заданных во всех /7 пролетах параметрах /4 ; О А); BF01 і ЕІ0 і; Hoi HCXOBHOe состояние многопролетной распорной системы может быть адекватно одному из следующих трех равновесных состояний: 1. Величины распоров Нос разные во всех /7 пролетах. Такое равновесное состояние системы возможно, если все ее промежуточные опоры обладают горизонтальной жесткостью, достаточной для восприятия величин приращений распоров. 2. Величины распоров А - равны во всех /? пролетах системы. Так как в этом случае воздействие приращений распоров на промежуточные опоры системы отсутствуют, то такое равновесное состояние может быть принято независимо от их горизонтальной жесткости. 3. Величины распоров // разные в/г? пролетах из/2 и равные в оставшихся (/7-/77 ) пролетах. 2.5. Возмущенное состояние многопролетных систем В сравнении с однопролетной системой, многопролетной системе присущи как более сложная структура сопряжения гибких стержней с опорами и связанное с ней разнообразие способов ограничения степеней свободы в узлах (от кратного шарнирного до абсолютно жесткого), так и глобальное перераспределение внутренних усилий и перемещений при возмущении хотя бы одного из пролетов её исходного состояния. Поэтому поиск основных искомых параметров возмущенного состояния связан здесь с необходимостью составления и решения сложных систем нелинейных (трансцендентных) уравнений.
Пусть в многопролетной распорной системе с исходным состоянием, описанным выражениями (2.19) - (2.42), опорные части гибких стержней сопряжены с упругими опорами жестко, а исходные жесткости всех ее гибких стержней на изгиб и растяжение (сжатие) изменены соответственно до величин/! / И EFjІ , после чего система была возмущена и приняла некоторое рассчитываемое равновесное состояние (рис. 2.7). Полагаем, что в качестве возмущающих параметров могут быть приняты: дополнительная нагрузка произвольной интенсивности Q1 l(x) , температурные воздействия 4 горизонтальные &/f и угловые 0J? смещения опор. Очевидно, что функция перемещений оси гибкого стержня U % определенная уравнением (2.56), и другие зависимости, получен- ные на ее основе для однопролетного стержня, справедливы здесь для всех /7 гибких стержней системы и могут быть однозначно определены при известной величине распора НІ С» а также известных значениях опорных моментов Mj ; /V/7- При жестком сопряжении всех гибких стержней с опорами для определения основных искомых параметров системы необходимо иметь Зп уравнений. 2.5.1. Системы основных разрешающих уравнений Горизонтальные деформации упругих опор С пролета системы при воздействии на нее возмущающих параметров равны: где: t -z(ly 2,3t..., fj) - порядковый номер рассматриваемого пролета; j-(l%2t3t.. П+1) - порядковый номер опоры в системе; Cj ; Cj+f - коэффициенты горизонтальной податливости j и (J+t) 0П0Р пролета CtXT t tof/lf - возможные смещения j и (JV/ ) опор как возмущавдие параметры. После подстановки (2.81) в (2.70) и некоторых преобразовав ний получим для t пролета системы следующее трансцендентное уравнение трех распоров и двух опорных моментов: где: J0, - силовая характеристика I пролета, вычисляемая по (2.69); J: - характеристика исходного состояния L пролета, вычисляемая по (2.40). Составив для каждого пролета уравнение (2.82), получим систему трансцендентных уравнений порядка необходимого и достаточного для определения величин распоров Hti» Оставшиеся 2Л уравнений связаны с необходимостью определения опорных момен-тов Mf\ Mi. Рассматривая равновесие J n(j+ij узлов L пролета, можно записать: M -Mf-Milf-. (2.83) С учетом (2.83) уравнения угловых деформаций стержня (2.73) для j и ( j+f ) опор і пролета системы запишем так: где: Q CJ. коэффициенты угловой податливости опор; )) 9" поправочные коэффициенты к первой производной от функции перемещений на исходную кривизну стержня у левой и правой опор I пролета, вычисляемые по (2.78). После подстановки в (2.84) функции (2.74) и определенных преобразований получим для і пролета следущую систему четы-рех опорных моментов: правого опорных участков стержня L пролета, вычисляемые по (2.76); В В; - то же функции угловых перемещений, вызванные возму-щающими параметрами и вычисляемые по (2.78). При известных значениях распоров Hiti функции А і ; А і могут рассматриваться как коэффициенты при искомых опорных моментах; функции Вц В і - как свободные члены. Первое из уравнений (2.85) выражает собой условие равенства суммарной величины угловых деформаций левого опорного участка стержня, вызванных опорными моментами, его угловым деформациям от воздействия в і пролете возможных возмущающих параметров, второе - тоже правого опорного участка гибкого стержня. Система из двух нелинейных уравнений (2.85) составляется для каждого из f\ пролетов; в результате получим систему из 2/7 уравнений, необходимую и достаточную для определения искомых опорных моментов. Таким образом, для определения в общем случае основных искомых ЗЛ параметров Н С ІМЦ М" пологой однопоясной /7- ДРО-летной системы (/7?/ ) необходимо решение системы Ґ) трансцендентных уравнений (2.82) совместно с системой из 2.Ґ) уравнений (2.85). Очевидно, что при /7=/ мы приходим к решению однопро-летной системы.
Системы уравнений (2.82) и (2.85) являются основными раз- решающими уравнениями возмущенного состояния, так как решение этих уравнений дает практически решение поставленной здесь задачи в целом. С другой стороны, эти уравнения пригодны также при решении всех вытекающих из общего решения частных задач и совместно с полученными в данной работе функцией формы очертания оси стержня в исходном состоянии, функцией возмущенного состояния, другими выражениями, полученными на их основе, составляют единый метод расчета пологих однопоясных распорных систем. При выводе систем уравнений (2.82) и (2.85) предполагалось, что опорные участки гибких стержней во всех /7 пролетах распорной системы жестко сопряжены с упругими опорами. Учитывая геометрический смысл и число членов в левых частях каждого из уравнений системы (2.85) і пролета, введем для функций коэффициентов при опорных моментах следующие обозначения: Пусть левый опорный участок гибкого стержня L пролета шарнирно соединен с j опорой {М- =0 ) f а правый - жестко с (J і ) опорой (рис. 2.8). Тогда в системе уравнений (2.88) должно быть исключено первое уравнение і пролета, а из вторых уравнений ( L- f ) и С пролетов должны быть исключены члены, содержащие Aff. Пусть правый участок гибкого стержня і пролета шарнирно соединен с (j+1 ) опорой (М?-0), а левый - жестко с j опорой (рис. 2.9). Тогда в системе уравнений (2.88) должно быть исключено второе і пролета, а из первых уравнений с и (- /) пролетов необходимо исключить члены, содержащие Mf. Пусть в І пролете оба опорных участка гибкого стержня со- единены с J и (i + / ) опорами шарнирно (рис. 2.10). Тогда в системе уравнений (2.88) должны быть исключены оба уравнения І пролета, из второго уравнения {1-1 ) пролета исключен член, содержащий М , а из первого уравнения ( + У) пролета - член, содержащий Мі- Анализируя сказанное в целом для системы разрешающих уравнений (2.82) и (2.88), легко сделать вывод, что если в С пролете распорной системы левая или правая опорная часть гибкого стержня шарнирно соединена с опорой, в матрице функций-коэффициентов необходимо вычеркнуть строку и столбец, содержащие элемент оС izилиоС 2 соответственно, а в силовой характеристике J)f і системы уравнений (2.82) должны быть обнулены соответствующие опорные моменты ( М =0 или М" -О ) Таким образом, шарнирное соединение опорной части гибкого стержня с упругой опорой понижает порядок матрицы функций-коэффициентов, а следовательно, и всей системы уравнений (2.88) на единицу.
Особенности формирования и способ решения систем основных разрешающих уравнений
Рассмотрим структуру записи систем основных разрешающих уравнений (2.82) и (2.88). При конкретных значениях распоров во всех /7 пролётах матрица и столбец функций угловых перемещений системы уравнений (2.88), устанавливающих в ней нелинейную взаимосвязь основных искомых параметров, становятся соответственно матрицей и столбцом констант, а система уравнений (2.88) - линейной относительно опорных моментов. Порядок системы (2.88) определен принятой схемой сопряжения гибких стержней с опорами, исходная информация о которой должна быть задана в каждом і пролёте распорной системы формулой крепления гибкого стержня к опорам (ФКС). ФКС может иметь следующие значения: "101" - если оба опорных участка стержня соединены с опорами жестко; "100" - если левый опорный участок стержня соединён с опорой жестко, а правый - шарнирно; "001" - если левый опорный участок стержня соединён с опорой шарнирно, а правый - жестко; "000" - если оба опорных участка стержня соединены с опорами шарнирно. Каждому из возможных значений ФКС в п. 2.5.2. детермини-рованно указан способ формирования системы уравнений (2.88), порядок которой в целом для распорной системы определён всей совокупностью ФКС в её пролётах. Если ФКС для всех С [/,/?/ распорной системы приняты "000", то все опорные моменты Мі\Мс равны нулю, а уравнения (2.82) содержат в качестве неизвестных лишь величины распоров.Каждое из уравнений (2.82) для 1 є(і,ґі) зависит от трех распоров ( Hit C; ///, і і НІ сн); уравнения для О-і и для і =/? содержат лишь по два значения распоров, так как при их записи должны быть опущены слагаемые, учитывающие горизонтальные смещения крайних опор рассматриваемых пролётов от воздействия приращения распоров соответственно в предшествующем первому и последующим за ft , как отсутствующие в системе. Учитывая вышесказанное, систему /2 уравнений (2.82) запишем так: и последующего решения (3.22) методами нелинейного программирования без ограничений, либо численно-итерационными методами. Среди методов минимизации функционала (3.22) нами были апробированы метод наискорейшего спуска и метод Девидона-Флетчера-Па- уэна [ЮЗ]; среди численно-итерационных методов - метод Ньютона-Рафсона [33].
С точки зрения общих затрат машинного времени на решение системы уравнений (3.21) наиболее эффективным оказался метод Ньютона-Рафсона. Для совместного решения систем уравнений (2,82) и (2.88) на основе метода Ньютона-Рафсона нами предложен и реализован в программе DRORS следующий способ. 1. Вычисляются начальные приближения распоров в про летах системы по формуле 2. В соответствии со значениями ФКС в пролетах формируется система уравнений (2.88). 3. По начальным значениям riit І вычисляются матрица коэффициентов и столбец свободных членов системы уравнений (2.88). Это дает возможность решить ее как линейную относительно опорных моментов и получить начальные приближения М6- , /V6 4. С учетом начальных приближений опорных моментов формируется система линейных уравнений метода Ньютона-Рафсона, которая, применительно к системе уравнений (2.82), имеет вид где І = 1,2,3,..., /7 - число пролетов системы; К = 1,2,3,..., /77 - число итераций; fl- величина поправки к - й итерации. 5. Решение системы уравнений (3.24) относительно величин поправок пI к распорам позволяет определить значения распо ров к - й итерации Вычисление силовых характеристик Л,/ (З.П) и Dfti (3.17) осуществляется по квадратурной формуле Гаусса [7] с числом узлов /і = 5 и проверкой вычислений по уточняющей квадратуре Кронрода. Как показали многочисленные расчеты, принятый нами способ совместного решения систем уравнений (2.82) и (2.88) обладает стабильной и достаточно высокой (5-Ю итераций) сходимостью. 3.3. Общая характеристика алгоритма и ФОРТРАН - программы Программа RO#S предназначена для автоматизации расчета пологих однопоясных распорных систем по деформированной схеме на ЭВМ. Программа написана на языке ФОРТРАН ЭВМ Минск-32 и состоит из головной программы и 29 подпрограмм, работающих под ее управлением. Загрузочный модуль ФОРТРАН-црограммы LRORS получен для ЭВМ Минск-32 и ЕС ЭВМ. Порядок подготовки исходной информации, указания по работе с программой, а также текст ФОРТРАН-црограммы цриведены в приложении. Основу алгоритма программы составляют следующие зависимости аналитико-численного метода расчета пологих однопоясных распорных систем по деформированной схеме: а) аналитическое решение в квадратурах дифференциального уравнения равновесия гибкого стержня в исходном состоянии отно сительно функции формы очертания его оси с функцией нагрузки произвольной интенсивности и построенные на ее основе уравнения взаимосвязи всех параметров исходного состояния; б) аналитическое решение в квадратурах интегродифференци- ального уравнения возмущенных (рассчитываемых) состояний, вы званных воздействием возмущающей нагрузки произвольной интен сивности, относительно функции перемещений оси гибкого стержня с жесткостями на изгиб и растяжение (сжатие), отличными от ис ходных или равными им, а также выражения для внутренних усилий, полученные на ее основе; в) системы основных разрешающих уравнений, нелинейных от носительно основных неизвестных - распоров и опорных моментов в пролетах, полученные из условий равенства угловых и продоль ных деформаций гибких стержней во взаимосвязи с функциями ис ходной формы равновесия и перемещений возмущенного состояния. При реализации в программе вышеназванных решений уравнения и зависимости исходного и рассчитываемых состояний, содержащие интегральные квадратуры с функцией нагрузки произвольной интенсивности, заменены дискретными с эквивалентной ей системой сое- редоточенных сил. Дискретная форма выражений, используемых в алгоритме, приведена в п. 3,1. Единицы измерения компоновочных параметров выбираются подготавливающим задачу по его усмотрению. При подготовке исходной информации необходимо соблюдение знаков компоновочных параметров.
В программе для каждого пролета своя система координат с началом у левого опорного участка стержня (левая опора пролета). Отсчет ординат формы очертания оси стержня производится от линии, соединяющей верхушки опор (вверх от оси - положительные значения; вниз - отрицательные). Нагрузка, действующая вниз, считается положительной. Распор, направленный наружу по отношению к пролету, считается положительным. Информация о нагрузках в исходном и рассчитываемых состояниях может быть задана либо массивами сосредоточенных сил и соответствующих им привязок, либо сплошной нагрузкой, если она может быть описана на двух участках пролета произвольной дайны функцией y(xJ=/4x +3X C Здесь должны быть указаны длины участков и размерность массива сосредоточенных сил, эквивалентного сплошной нагрузке, на каждом из них, как информация для автоматического формирования массива сосредоточенных сил и соответствующих им привязок. Возможно также и смешанное задание информации о нагрузке. В этом случае готовятся общие массивы сосредоточенных сил по возрастающим величинам соответствующих им привязок в пролете ( LiNE ) отдельно для исходной Go,с и возмущающей /, нагрузок. Для каждого из рассчитываемых состояний формируются исходный Q0 ;H результирующий Рс- =Qoi Qf рабочие массивы (рис. 3.2) с общим массивом привязок Тс (L//V, CHAOS,PfiSS ). В исходном состоянии, кроме нагрузки, должны быть указаны величины следующих компоновочных параметров. В пролётах системы: - длина пролёта; Si - превышение опор; Hoi,- величина распора или предварительного натяжения; У - ордината формы очертания оси стержня, либо У/2- тангенс угла наклона касательной к горизонту (принимается, если величина распора не задана); Xoi - соответствующая им абсцисса; BIotr жесткость стержня при изгибе; EF0i продольная жесткость стержня; (ФКС) - формула крепления опорных частей стержня к опорам. На опорах: С - коэффициент горизонтальной податливости опор (перемещение, вызванное единичной силой)] С?- коэффициент угловой податливости опор (угол поворота, вызванный единичным моментом). Считаем, что геометрия и внутренние силовые параметры исходного состояния известны и определены необходимым и достаточным числом компоновочных (независимых) параметров. Зависимые от них вычисляются по выражениям исходного состояния согласно пп. 2.4 и 3.1, отражающим их взаимосвязь с компоновочными параметрами.
