Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Интегральные представления внутренних усилий и моментов для пологих ортотропных оболочек, ослабленных системой криволинейных разрезов 15
I.I. Постановка задачи о напряженно-деформированном состоянии ортотропной оболочки с разрезами 15
1.2. Преобразование Фурье кусочно-непрерывных функций двух переменных 24
1.3. Фундаментальные решения статики пологих ортотройных оболочек 31
1.4. Интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонких оболочек с разрезами 35
1.5. Вычисление ядер и неинтегральных добавок в интегральных представлениях внутренних усилий и .
моментов 45
ГЛАВА II. Система граничных интегральных уравнений задачи о напряженном состоянии ортотропной оболочки с криволинейными разрезами 55
2.1. Метод построения системы граничных интегральных уравнений 55
2.2. Условия единственности решения системы ГИУ 65
2.3. Условие отсутствия контакта берегов криволиней ных разрезов 69
2.4. Распределение усилий и моментов вблизи концов разрезов 71
2.5. Приближенно-аналитическое решение для тонкой оболочки с дугообразным разрезом 74
ГЛАВА II. Упругое равновюие ортотропных оболочек произ вольной кривизны с прямолинейными разрезами 87
3.1. Интегральные уравнения для оболочки с произвольно/ориентированными прямолинейными разрезами 87
3.2. Исследование напряженного состояния оболочек с трещиной вдоль линии кривизны 94
3.3. Взаимное влияние двух параллельных трещин в ортотропных оболочках произвольной кривизны 127 3.4. Исследование КИН в оболочке с двумя коллинеарными разрезами 146
Заключение 165
Литература
- Преобразование Фурье кусочно-непрерывных функций двух переменных
- Интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонких оболочек с разрезами
- Условие отсутствия контакта берегов криволиней ных разрезов
- Исследование напряженного состояния оболочек с трещиной вдоль линии кривизны
Введение к работе
Тонкие оболочки различного очертания широко применяются в современном машиностроении, авиа- и ракетостроении, промышленном и гражданском строительстве.
Научно-технический прогресс предъявляет все более высокие требования к прочности конструкционных материалов. В настоящее время широко используются композиты, получаемые путем армирования (укрепления) материала ориентированными прочными и жесткими волокнами; металлы, обработанные давлением, и другие высокопрочные материалы, обладающие ортогональной анизотропией. Эффективное конструирование изделий из таких материалов возможно лишь при учете и правильном использовании их упругих свойств. Так как высокопрочные материалы склонны к хрупкому разрушению, наличие микродефектов, конструктивных разрезов и остроконечных полостей существенно влияет на прочность конструкций и может привести к их полному или локальному разрушению. Поэтому исследования напряженно-деформированного состояния около разрезов в тонких ортотропных оболочках представляют теоретический и практический интерес.
Разработке теории и методов решения двумерных задач механики хрупкого разрушения посвящено большое количество работ советских и зарубежных авторов, достаточно полный анализ которых приведен в монографиях Г.П.Черепанова / 82 /, В.З.Партона, Е.Н.Морозова / 60 /, В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /, В.З.Партона, П.И.Перлина / 61, 62 /, Л.Т.Бережницкого, М.В.Деляв-ского, В.В.Панасюка / 5 /, А.Н.Гузя, М.Ш.Дышеля, Г.Г.Кулиева, О.Б.Миловановой / 65 /, обзорных статьях Г.И.Баренблатта / 4 /, Париса, Си / 59 /, Г.Н.Савина, В.В.Панасюка / 67 /.
Анализ перечисленных исследований показывает, что в настоящее время существует два подхода к решению задач о напряженно-деформированном состоянии вблизи разрезов в пластинах и оболочках:
1) метод комплексных переменных с решением задачи сопряжения, связанный с предельным переходом к разрезу в задаче о концентрации напряжений около эллиптического отверстия. Этим методом, например, была решена задача о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с продольным, поперечным и произвольно ориентированным разрезами в работах К.РЛао, Л К. Нею / ш, иг /, // і/, lakshmi -пагеи/сьпа f M.V. MuztUu / юэ/;
2) метод граничных интегральных уравнений (ГЙУ), которым получены наиболее существенные результаты при исследовании распределения напряжений около трещин в пластинах и оболочках.
Основными достоинствами метода ГИУ являются уменьшение размерности задачи, применение аналитических и численных методов решения интегральных уравнений, возможность сразу определять неизвестные величины на границе, не вычисляя их во всей области.
Для построения системы интегральных уравнений обычно используется один из следующих методов:
- метод, основанный на теории функций комплексного переменного и интегралов типа Коши (в работах Л.М.Линькова, Н.И.Мусхе-лишвили, М.П.Саврука, Л.А.Филынтинского);
- метод интегральных преобразований (в работах/.А/, S ned-don E.5.Fo&aSJ J.G. Slmn\Ond i М.П.Саврука, В.П.Шевченко);
"" метод потенциалов (в работах В.А.Осадчука, J. Z.Satiag2 В.П.Шевченко, Л.А.Фильштинского). Близко к теме настоящего исследования примыкают задачи механики оболочек с тонкими включениями, для решения которых также используется метод ГИУ. В работах Д.В.Грилицкого,В.К.Опанасовича, И.П.Шацкого / 17-19 / предельным переходом к разрезу в задаче о напряженно-деформированном состоянии цилиндрической оболочки с тонким включением получены коэффициенты интенсивности усилий и моментов, характеризующие напряженное состояние вблизи вершин разреза (КИН) для цилиндрической оболочки с прямолинейным разрезом.
Ряд авторов / 14, 115 / приводят исходную краевую задачу к системе интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода, которая затем решается численно. Однако этот метод технически гораздо сложнее, чем широко применяемые в настоящее время прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений (СИУ) / 27, 30, 61, 96 /.
Изотропные и анизотропные пластины с прямолинейными и криволинейными разрезами, находящиеся под воздействием различных нагрузок, рассмотрены в работах / 3, 5-8, 13-15, 35, 36, 56-58, 68, 73 /.
Как показывают экспериментальные исследования, прочность оболочек с трещинами ниже, чем тонких пластин. Однако из-за трудностей математического и вычислительного характера исследования концентрации напряжений около трещин в оболочках начали развиваться только в последние два десятилетия.
Первые решения были получены для оболочек частного вида: цилиндрической и сферической.
В 1965-67г.г. E.$.Foh& рассмотрена симметричная задача о находящейся под давлением сферической оболочке с меридиальной трещиной / 102 / и цилиндрической оболочке с продольной / ЮЗ / или поперечной / 101 / трещиной. Автор свел задачу к двум СИУ, Решение системы уравнений для трещин "малой" длины (3 = о (I), где уб =\IJ2(J-J2 j /Ик 0 - коэффициент Пуассона; Ял
/ - радиус кривизны и толщина оболочки; - длина трещины) при постоянной нагрузке на трещине представлялось в виде ряда. КИН были вычислены в первом приближении.
Полученные E.S. FottdS интегральные уравнения позже были численно решены F. В. EzdoQtbn, j J. J% kU$P&Z / 97 / и F. f. BzdoOjCbnj M fccuvSAni / 99 / для сферической и цилиндрической оболочек с продольной или поперечной трещиной "средней" длины. В работах / 105, 106 / проводится сравнение решений CLS с численными результатами.
В работе / 104 /с.S, rOudS обобщает полученные им результаты. Наряду с рассмотренным ранее методом решения системы интегральных уравнений, он предлагает еще один метод - разлагать искомые функции в ряд по функциям Бесселя 1-го рода. В этой работе также получены решения для конической и тороидальной оболочек и показано какое влияние оказывает упругое основание на КИН.
В.Т.Сапунов и Е.М.Морозов / 69 / на основе работы / 102 / исследовали характер напряжений в тонкостенной сферической оболочке с исходной сквозной трещиной, нагруженной равномерным внутренним давлением.
В І9бб-б7г.г. С.Я.Ярема и М.П.Саврук / 89 / независимо от C.SFOKACL рассмотрели симметричную задачу о напряженном состоянии цилиндрической оболочки с продольной или поперечной трещиной.- Этими же авторами рассмотрена цилиндрическая оболочка с произвольно ориентированной трещиной / 90 / и пологая изотропная оболочка произвольной двоякой кривизны с разрезом "малой" длины вдоль линии кривизны / 86-88, 91 /. В 1969 г. /. 6. Cop@W, J.l.SCLfic/eZS / 92 / получили СИУ симметричной задачи.для цилиндрической.оболочки с продольной трещиной, находящейся под равномерным внутренним давлением (отличные от уравнений
ES.Foiias і юз/).
В 1976 г. J. G. Zi d$, M.R.Bb&dPey /in/
рассмотрели находящуюся под произвольным давлением изотропную оболочку двоякой кривизны, содержащую "короткую" трещину, ориентированную вдоль линии кривизны срединной поверхности оболочки. В первом приближении ими получены формулы для КИН при растяжении и изгибе оболочки. Авторы показали влияние исходной кривизны оболочки на КИН и связь полученных ими результатов с результатами /. Q. Сор , Л/. SayidezSt B.S.FokaS для цилиндрической и сферической оболочек.
Позднее Л $ 1ГУ Г» ОПС/Я , МЛ. &гах10е ;
Oh, / 118 / рассмотрели пологую изотропную оболочку, подверженную произвольной самоуравновешенной нагрузке и содержащую "короткую" прямолинейную трещину, составляющую произвольный угол с направлениями кривизны срединной поверхности.
Наиболее полно результаты исследований напряженно-деформированного состояния пологих изотропных оболочек с трещинами отражены в монографии В.В.Панасюка, М.П.Саврука, А.П.Дацышин / 58 /. Для цилиндрической и сферической оболочек с "малыми" трещинами приведены КИН во втором приближении, а для оболочек двоякой кривизны с произвольно ориентированной трещиной - в первом приближении.
В монографии М.П.Саврука / 68 / предложена методика сведения основных задач для пологих оболочек с криволинейными трещинами к ГИУ и получены в первом приближении коэффициенты интенсивности мембранных усилий для оболочки с дугообразной трещиной, находящейся под воздействием равномерного внутреннего давления.
Во всех перечисленных выше работах рассматривались только изотропные оболочки. В связи с широким использованием композитов актуальными являются исследования влияния анизотропии на напряженное состояние оболочки вблизи трещины.
В статье Г. с. ЕЪ-ЦОС/Я-П- / 95 / описан метод решения для ортотропной цилиндрической оболочки с продольной трещиной в предположении, что модуль сдвига 6г не является независимым параметром, а выражается через модуль Юнга и коэффициент Пуассона как и в случае изотропии
Это позволяет свести задачу к решению системы интегральных уравнений, соответствующих изотропной оболочке. Симметричная задача рассмотрена F.EldoQCLh, И. RoAwunLj U.useog« / 100/, антисимметричная - # VuSeOflht, RBzdogan. / 121 /.
Исследованию напряженно-деформированного состояния изотропных, трансверсально-изотропных и специально ортотропных оболочек частного вида с прямолинейной трещиной посвящены работы / 34, 51, 54, 63, 93, 94, 108, НО, ИЗ, 115, 116, 120 /.
Отсутствие решений для общего случая ортотропии материала оболочки было вызвано трудностями получения ядер ГИУ.
В работах В.П.Шевченко, В.К.Хижняка / 75-77,83,84 / методом двумерного интегрального преобразования Фурье от обобщенных функций получены интегральные представления решений уравнений теории пологих ортотропных оболочек с разрезами,найдены фундаментальные решения в виде, пригодном для дальнейшего использования, и разработан общий метод.построения ГИУ.
В.А.Цвангом, В.П.Шевченко / 78-81 / получена система интегральных уравнений для ортотропной оболочки, ослабленной криволинейной трещиной, и проведены численные расчеты для ортотропных и изотропных оболочек с прямолинейной трещиной.
Замкнутая по одной из координат и бесконечная по другой анизотропная оболочка, ослабленная системой поперечных трещин, рассмотрена В.АЛюбчаком, Л.А.Филыитинским / 40, 74 /. В качестве примера исследована ортотропная цилиндрическая оболочка с поперечной трещиной, рассмотрено влияние подкрепляющего ребра на КИН.
Зти результаты получены для общего случая ортотропии материала.
Большой теоретический и практический интерес представляют исследования взаимного влияния нескольких трещин на величину КИН, которые начали проводиться сравнительно недавно.
Симметричная задача для подверженной внутреннему давлению цилиндрической оболочки, содержащей две осевые коллинеарные трещины равной длины, рассмотрена г. Еъаод&П / 95 / и F. Etdoga.hj М. Яа.і апі / 98 /.
Наиболее существенные результаты при исследовании взаимовлияния прямолинейных трещин получены методом дисторсий для тонких упругих оболочек с разрезами, разработанным, в работах Я.С.Под-стригача, В.А. Осадчука, Е.М.Федюка, М. М.Никол ишина / 44, 45, 64 /. Этот метод позволяет свести исходную краевую задачу к системе СИУ типа Коши.
В работах В.А.Осадчука, Е.М.§едюка рассмотрены пологие изотропные цилиндрические оболочки с продольными и поперечными кол-линеарными трещинами / 52, 53, 71 /. Е.М.іедюком / 72 / исследовано взаимовлияние двух коллине-арных.и четырех.крестообразно расположенных трещин в пологой изотропной сферической оболочке.
В работах В.А.Осадчука и М.М.Николишина / 46, 49, 50 / рас-мотрены замкнутые изотропные и трансверсально-изотропные цилиндрические оболочки с использованием уравнений общей моментной теории оболочек и установлены пределы применимости результатов, полученных на основе теории пологих оболочек.
В перечисленных выше работах Я.С.Подстригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка и М.М.Николишина использовались уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. В работах В.А.Осадчука и И.С.Костенко (Ярмощук) / 31, 32, 47, 55 / исследовано упругое равновесие изотропных и специально ортотропных (при тех же ограничениях на модуль сдвига Ст , что и в работах г. В. С ёао -Q.H ) оболочек с использованием комплексного преобразования Новожилова, позволяющего вдвое понизить порядок исходных дифференциальных уравнений и тем самым упростить процедуру построения аналитических решений.
Из-за трудностей получения в явном виде ядер СИУ для оболочек произвольной гауссовой кривизны исследования взаимного влияния нескольких трещин ограничивались изотропными и специально-ортотропными оболочками частного вида (сферической и цилиндрической) .
Во всех перечисленных выше исследованиях решение строилось в предположении, что в процессе деформирования оболочки отсутствует контакт берегов разреза. Контроль выполнения граничных условий на контуре трещины осуществлялся в работах В.А.Осадчука, М.М.Николишина, Е.М.Федюка, И.С.Костенко, а также в работах В.П.Шевченко, В.А.Цванга и Л.А.Филыптинского, В.А.Любчака. При решении симметричной задачи эти авторы ограничивались случаем растягивающей нагрузки на линии разреза или комбинации растяжения р и изгиба рUZU-JZ) /к / 53 /, когда в аналогично загруженной тонкой пластине отсутствует контакт берегов.
Целью настоящей работы является развитие методики применения теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье к решению задачи о напряженном состоянии ортотропной оболочки произвольной кривизны с системой разрезов; исследование влияния кривизны оболочки, ортотро-пии материала, размеров трещин, а также их взаимного влияния на КИН в оболочках, подверженных комбинированному воздействию растяжения и изгиба; определение области нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разреза.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность рассматриваемых задач, приведен обзор методов и основных результатов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек с трещинами, кратко изложены цель и основные результаты таботы.
В первой главе дана постановка задачи о напряженном состоянии тонкой оболочки произвольной кривизны с системой криволинейных разрезов и приведены основные соотношения, необходимые для ее решения.
При помощи теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье получены интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонкой ортотропной оболочки с криволинейными разрезами. Ядра интегральных представлений построены с помощью фундаментальных решений уравнений статики пологих ортотропных оболочек, полученных в работах В.П.Шевченко. В.К.Хижняка / 75, 77, 84 /.
Во второй главе построена система ГИУ задачи о напряженном состоянии пологой ортотропной оболочки произвольной гауссовой кривизны с криволинейными разрезами. Комбинированием интегралов от граничных условий задача сведена к решению системы 4f\/ СИУ типа Коти с неинтегральными добавками. Ядра ГИУ получены в замкнутом виде и состоят из суммы сингулярной и регулярной частей. Неинтегральные члены регулярны или имеют на концах отрезка интегрирования логарифмическую особенность. Приведены 4N дополнительных соотношений, обеспечивающих единственность решения системы ГИУ в классе функций, неограниченных на концах отрезка и 3/v дополнительных условий для определения постоянных интегрирования. Получено условие для проверки отсутствия контакта берегов разреза.
Разработанная методика решения задач механики оболочек с криволинейными разрезами конкретизирована применительно к пластинам и оболочкам с дугообразными разрезами. Получено приближенно-аналитическое решение для изотропной оболочки при равномерно распределенной нагрузке (растяжение и сдвиг). Для тонкой пластины, находящейся под воздействием растяжения, сдвига и изгиба, определена область нагрузок, при которых имеет место контакт берегов разрезов.
В третьей главе для произвольно ориентированных прямолинейных трещин наряду с рассмотренным ранее для криволинейных разрезов предложен другой вариант выбора неизвестных функций, позволяющий избавиться от неинтегральных добавок в СИУ, упростить проверку граничных условий на берегах разрезов и уменьшить количество неизвестных постоянных интегрирования в четвертом уравнении. Рассмотрена симметричная задача для ортотропной оболочки с одной и двумя (параллельными и коллинеарными) трещинами вдоль линий главных кривизн. Исследовано влияние ортотропии материала, кривизны оболочки, взаимного расположения и длины разрезов на поведение их берегов и на КИН у вершин разрезов при комбинированном воздействии растяжения и изгиба.
Определены пределы применимости результатов для специально ортотропных материалов к вычислению КИН в ортотропных оболочках произвольной кривизны, изготовленных из различных реальных ортотропных материалов.
В заключении сформулированы основные результаты работы и выводы.
В приложении приведены основные свойства специальной функции by, (2 J интегралы, использующиеся при построении аналитического решения задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин и оболочек с дугообразными разрезами; метод механических квадратур для сингулярных интегралов типа Коши; квадратурные формулы для вычисления интегралов от осциллирующих функций (метод §айлона); интерполяционные полиномы по Чебышев-ским узлам и интегралы от них.
На защиту выносятся:
- методика построения системы ГИУ задач механики пологих ортотропных оболочек произвольной кривизны, ослабленных системой разрезов;
- выводы о пределах применимости соотношений для специально ортотропных материалов при вычислении КИН в оболочках, изготовленных из реальных ортотропных материалов;
- результаты численного исследования влияния упругих и геометрических параметров оболочки, величины и взаимного расположения разрезов на КИН в ортотропных оболочках с разрезами вдоль линий главных кривизн при комбинированном воздействии растяжения и изгиба. достоверность основных научных положений и полученных результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и применяемого математического аппарата, использованием для решения системы ГИУ теоретически обоснованных численных методов, сопоставлением некоторых решений с известными результатами, полученными различными авторами другими методами.
Практическая ценность. Диссертационная работа выполнена в рамках госбюджетной темы В-8І.Г7/6.І6 "Разработка асимптотических методов решения статических и динамических задач для тонкостенных изотропных и неоднородных тел при наличии концентраторов напряжений" (номер государственной регистрации 0181.400999), разрабатываемой на кафедре теоретической и прикладной механики Донецкого госуниверситета согласно плану научных исследований по естественным наукам на І98І-І985 годы (Постановление Президиума АН УССР № 587 от 30.12.81г.).
Полученные результаты имеют теоретическое и прикладное значение и могут быть использованы в НИИ и КБ,занимающихся расчетом и проектированием оболочечных конструкций из композитных материалов. Они позволяют оценить влияние различных упругих и геометрических параметров на прочность оболочек с разрезами.
Материалы диссертационной работы внедрены в учебный процесс в Донецком государственном университете.
Апробация работы. Отдельные результаты, изло- женные в диссертационной работе, докладывались на П Всесоюзной конференции "Смешанные задачи механики деформируемого тела" (Днепропетровск, 1981г.), на Ш Республиканской конференции "Вычислительная математика в современном научно-техническом прогрессе" (Канев, 1982г.)» на Республиканском симпозиуме "Концентрация напряжений" (Донецк, 1983г.), на ХШ Всесоюзной конференции "Теория пластин и оболочек" (Таллин, 1983г.) и на ежегодных научных конференциях профессорско-преподавательского состава Донецкого государственного университета.
Диссертационная работа в целом обсуждалась на объединенном семинаре Донецкого государственного университета и Института прикладной математики и механики АН УССР по механике сплошных сред под руководством члена-корреспондента АН УССР, профессора А.С.Космодамианского (Донецк) и на научном семинаре отдела механики неоднородных тел Института прикладных проблем механики и математики АН УССР под руководством докт. физ.-мат. наук В.А.Осадчука (Львов).
По результатам работы опубликовано семь научных статей.
Преобразование Фурье кусочно-непрерывных функций двух переменных
В работах В.А.Осадчука и М.М.Николишина / 46, 49, 50 / рас-мотрены замкнутые изотропные и трансверсально-изотропные цилиндрические оболочки с использованием уравнений общей моментной теории оболочек и установлены пределы применимости результатов, полученных на основе теории пологих оболочек.
В перечисленных выше работах Я.С.Подстригача, В.А.Осадчука, Е.М.Федюка и М.М.Николишина использовались уравнения равновесия цилиндрической оболочки в перемещениях. В работах В.А.Осадчука и И.С.Костенко (Ярмощук) / 31, 32, 47, 55 / исследовано упругое равновесие изотропных и специально ортотропных (при тех же ограничениях на модуль сдвига Ст , что и в работах г. В. С ёао -Q.H ) оболочек с использованием комплексного преобразования Новожилова, позволяющего вдвое понизить порядок исходных дифференциальных уравнений и тем самым упростить процедуру построения аналитических решений.
Из-за трудностей получения в явном виде ядер СИУ для оболочек произвольной гауссовой кривизны исследования взаимного влияния нескольких трещин ограничивались изотропными и специально-ортотропными оболочками частного вида (сферической и цилиндрической) .
Во всех перечисленных выше исследованиях решение строилось в предположении, что в процессе деформирования оболочки отсутствует контакт берегов разреза. Контроль выполнения граничных условий на контуре трещины осуществлялся в работах В.А.Осадчука, М.М.Николишина, Е.М.Федюка, И.С.Костенко, а также в работах В.П.Шевченко, В.А.Цванга и Л.А.Филыптинского, В.А.Любчака. При решении симметричной задачи эти авторы ограничивались случаем растягивающей нагрузки на линии разреза или комбинации растяжения р и изгиба рUZU-JZ) /к / 53 /, когда в аналогично загруженной тонкой пластине отсутствует контакт берегов.
Целью настоящей работы является развитие методики применения теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье к решению задачи о напряженном состоянии ортотропной оболочки произвольной кривизны с системой разрезов; исследование влияния кривизны оболочки, ортотро-пии материала, размеров трещин, а также их взаимного влияния на КИН в оболочках, подверженных комбинированному воздействию растяжения и изгиба; определение области нагрузок, при которых имеет место частичный или полный контакт берегов разреза.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность рассматриваемых задач, приведен обзор методов и основных результатов исследования напряженно-деформированного состояния оболочек с трещинами, кратко изложены цель и основные результаты таботы.
В первой главе дана постановка задачи о напряженном состоянии тонкой оболочки произвольной кривизны с системой криволинейных разрезов и приведены основные соотношения, необходимые для ее решения.
При помощи теории обобщенных функций и двумерного интегрального преобразования Фурье получены интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонкой ортотропной оболочки с криволинейными разрезами. Ядра интегральных представлений построены с помощью фундаментальных решений уравнений статики пологих ортотропных оболочек, полученных в работах В.П.Шевченко.В.К.Хижня
Во второй главе построена система ГИУ задачи о напряженном состоянии пологой ортотропной оболочки произвольной гауссовой кривизны с криволинейными разрезами. Комбинированием интегралов от граничных условий задача сведена к решению системы 4f\/ СИУ типа Коти с неинтегральными добавками. Ядра ГИУ получены в замкнутом виде и состоят из суммы сингулярной и регулярной частей. Неинтегральные члены регулярны или имеют на концах отрезка интегрирования логарифмическую особенность. Приведены 4N дополнительных соотношений, обеспечивающих единственность решения системы ГИУ в классе функций, неограниченных на концах отрезка и 3/v дополнительных условий для определения постоянных интегрирования. Получено условие для проверки отсутствия контакта берегов разреза.
Разработанная методика решения задач механики оболочек с криволинейными разрезами конкретизирована применительно к пластинам и оболочкам с дугообразными разрезами. Получено приближенно-аналитическое решение для изотропной оболочки при равномерно распределенной нагрузке (растяжение и сдвиг). Для тонкой пластины, находящейся под воздействием растяжения, сдвига и изгиба, определена область нагрузок, при которых имеет место контакт берегов разрезов.
Интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонких оболочек с разрезами
Решение системы (1.24) получено В.П.Шевченко, В.К.Хижняком / 75 / с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье. Так как все преобразования, связанные с получением интегральных представлений усилий и моментов, удобнее производить в прост 32 ранстве трансформант, при решении задачи понадобятся не оригиналы фундаментальных решений, а их трансформанты
Применяя к соотношениям упругости (1.7) преобразование Фурье, получим следующие выражения для трансформант компонент, фундаментального тензора усилий, моментов и перерезывающих сил:
Компоненты фундаментального тензора усилий, моментов и пере резывающих сил на кривой /л для направлений, характеризуемых р нормалью Ир и касательной Тр , выражаются по формулам (1.9) и (1.10). Так как в случае криволинейного разреза направляющие косинусы единичного вектора внешней нормали У1р являются функциями длины дуги "Гл » обобщенная перерезывающая сила определяется следующим образом: Воспользовавшись формулами (I.I) и (I.IO), получим Соотношение (1.28) в пространстве трансформант примет вид
Фундаментальные тензоры перемещений, усилий, моментов и перерезывающих сил используются при построении интегральных представлений решений задач механики тонких оболочек с разрезами. Интегральные представления внутренних усилий и моментов для тонких оболочек с разрезами.
В работе / 76 / из уравнений статики пологих ортотропных оболочек (1.8) получены интегральные представления перемещений для оболочек с разрезами, которые с учетом граничных условий В пространстве трансформант соотношения (I.30) запишутся следующим образом: Подставляя (І.ЗІ) в (1.23), получим интегральные представления трансформант внутренних усилий и моментов
Наиболее существенные результаты при решении задач о трещинах в оболочках получены путем сведения исходной краевой задачи к системе СИУ типа Коши. Для того, чтобы ядра интегральных представлений усилий и моментов и, следовательно, ядра системы ГИУ имели в пространстве оригиналов особенность типа Коши, в качестве неизвестных функций выбираются производные скачков перемещений и углов поворота по длине дуги "to , имеющие на концах разреза особенность О ((со - То J J в комбинации со скачками перемещений, углов поворота и интегралов от них. Дополнительные слагаемые, не влияющие на характер поведения неизвестных функций при Ър - г І ср , позволяют получить в замкнутом виде ядра интегральных представлений внутренних усилий и моментов для оболочек с криволинейными разрезами.
Подставив по формулам (1.35) скачки перемещений и углов поворота Vjp в соотношения после интегрирования по частям получим интегралы, содержащие У)р&Хр(Ц$0Ір + 1 Рр))ъ произведении с комбинацией Q и их производных я Q?. , Л9 Q», .В выражении для СПЛУП » п0 мимо таких интегралов, появятся дополнительные слагаемые, которые обозначим как добавки
Таким образом, Следовательно, после введения неизвестных ifJjp трансформанты внутренних усилий и моментов примут вид
Благодаря введению дополнительных слагаемых в неизвестных функциях Yip трансформанты ядер интегральных представлений получены в замкнутом виде. При этом они существенно упростились по сравнению с Ол , так как не содержат кривизны кривых Кр и произведения направляющих косинусов внешней нормали ftp . Трансформанты добавок /Vgp не зависят от параметра Ъп ,
Интеграл, стоящий в правой части (I.4I), можно записать как интеграл от Ц $р » т4Р Р Применяя к соотношениям (1.38) обратное преобразование Фурье (I.I8), в пространстве оригиналов получим интегральные представления внутренних усилий 1-і z » 3 и моментов которые позволяют построить систему ГИУ рассматриваемой задачи, а также исследовать распределение внутренних силовых величин в окрестности концов разрезов. 1.5. Вычисление ядер и неинтегральных добавок в_интегральных представлениях внутренних усилий и моментов
При решении задач с помощью интегральных преобразований болыпиа трудности возникают при вычислении оригиналов функций по их трансформантам. Для того, чтобы упростить вид трансформант ядер и неинтегральных.членов г , перейдем от системы координат к системе Это вызовет деформацию системы координат в пространстве оригиналов: а сами оригиналы функций увеличатся в. раз.
Условие отсутствия контакта берегов криволиней ных разрезов
Исследование напряженно-деформированного состояния оболочки в окрестности вершины трещины, где создается высокая концентрация напряжений, представляет большой теоретический и практический интерес.
Применение метода ГИУ позволяет определять поле напряжений вблизи вершин разрезов, не вычисляя его на всей поверхности оболочки.
Из свойств функции 6"Л т (%) следует, что ядра 0 интегральных представлений (1.43) непрерывны при любых значениях аргументов. Поэтому содержащие их интегралы, а также неинтегральные добавки гg , имеющие особенность более низкого порядка, чем Wg. , не влияют на сингулярную часть поля напряжений и могут быть исключены из дальнейшего рассмотрения. Тогда анализ распределения усилий и моментов вблизи концов трещин совпадает с построением асимптотических формул для интегралов что соответствует задаче о.напряженном состоянии тонкой орто-тропной пластины,, ослабленной системой разрезов. Следовательно, неизвестные функции Шір для .тонкой, .оболочки имеют ту же особенность, что и соответствующие функции для пластины, то есть
Асимптотические формулы для перерезывающих сил можно получить, подставляя (2.24) в (1.3) и оставляя слагаемые, имеющие особенность самого высокого порядка.
Сингулярное поле напряжений представимо в виде суммы возмущений, вносимых каждым разрезом, поэтому ограничимся анализом распределения усилий, моментов и перерезывающих сил вблизи вершин разреза Ар .
Введем локальную полярную систему координат ( /О , G ) с началом в рассматриваемом конце разреза С и полярной осью, направленной вдоль оси ОХ (рис. 2.1)
Распределение усилий, моментов и перерезывающих сил в окрестности конца криволинейного разреза в тонкой ортотропной пластине изучено в работах / 8, 39, 78 / и имеет вид угол меаду касательной и кривой д« в точке С и осью ОХ і Dp- - непрерывные ограниченные функции, не завися-щие от конфигурации оболочки, формы разреза и внешней нагрузки.
Величины К:р называются коэффициентами интенсивности усилий и моментов. Они вычисляются по формуле после решения системы ГИУ. Коэффициенты интенсивности усилий.и моментов зависят от геометрии оболочки, ее упругих свойств, формы разреза и внешней нагрузки. Приближенно-аналитическое решение для тонкой оболочки с дугообразным разрезом
Исследование напряженного состояния оболочек с разрезами сводится к решению системы СИУ. Получить точное аналитическое решение этой системы практически невозможно. Поэтому для ее решения используются численный метод механических квадратур или приближенно-аналитические методы.
Целью данного параграфа является реализация разработанной в настоящей главе методики при построении приближенно-аналитического решения задачи упругого равновесия пологой изотропной оболочки неотрицательной кривизны с дугообразным разрезом, находящейся под воздействием равномерно распределенной нагрузки.
Регулярные части ядер К л: и неинтегральные члены rg включают параметр который для коротких разрезов можно считать малым. В задачах теории оболочек с трещинами широко применяется разложение ядер интегральных уравнений и неизвестных функций в ряды по степеням что приводит к бесконечной системе интегральных уравнений. Из-за значительных аналитических трудностей, связанных с решением этой системы, ограничиваются получением решения в первом или втором оболочечном приближении. Наиболее полно результаты решения задач механики изотропных оболочек с прямолинейным разрезом методом малого параметра отражены в монографии / 58 /. Этот же метод использовался М.П.Савру-ком / 68 / при. получении .приближенно-аналитического решения для пологих изотропных оболочек с криволинейным разрезом, находящихся под воздействием равномерного внутреннего давления.
Рассмотрим пологую изотропную оболочку с разрезом "малой" длины по дуге окружности радиуса К (рис. 2.2), отнесенную к системе ортогональных координат, ориентированных вдоль направлений ее главных кривизн. Начало системы координат находится в центре окружности, вдоль которой разрезана оболочка.
Следовательно, Y\i OOS(0+X)9 Пг = St +JfJ/ / = /Г. (2.29) Использование теории функций комплексного переменного позволяет вдвое понизить порядок разрешающих уравнений и упростить процедуру построения аналитических решении. Неизвестные функции Ц будем искать в виде Ядра и неинтегральные добавки системы ГИУ в первом приближении запишутся следующим образом:
При решении задачи о напряженно-деформированном состоянии пластин и оболочек с дугообразными разрезами соотношения, полученные в этой главе для произвольных гладких криволинейных контуров, существенно упростятся.
Для функций Г , введенных в 2.1 имеют место следующие соотношения на линии разреза Подставляя разложения ядер (2.36) и неизвестных функций (2.35) в систему ГйУ (2.14) и приравнивая выражения при одинаковых степенях у и in В , получим реккурентную систему СИУ
Исследование напряженного состояния оболочек с трещиной вдоль линии кривизны
отрицательной считается кривизна той линии, вдоль которой ориентирована трещина, а в случае поперечного разреза (кривые 2 и 4) -кривизна линии, ортогональной трещине.
Псевдосферические оболочки, получающиеся в результате изменения минимальной кривизны при постоянной максимальной в случае продольной и поперечной ориентации разреза, отличаются противоположным направлением оси OZ. последовательно, противоположными знаками углов поворота нормали, моментных нагрузок и коэффициентов
На основании проведенных расчетов и построенных графиков можно сделать следующие выводы о влиянии геометрических параметров оболочки и разреза на КИН:
В оболочке растягивающая нагрузка вызывает появление не только коэффициента усилий Ji , как в случае пластины, но и коэффициента интенсивности моментов Л$ . Напряжения в оболочке больше соответствующих напряжений в пластине, подверженной той же нагрузке, причем максимальные напряжения возникают в сферической оболочке, а минимальные - в оболочках отрицательной кривизны ( = -0,1) с поперечным разрезом. Коэффициент интенсивности усилий Jrj монотонно возрастает с увеличением длины разреза. Основной коэффициент Jlj на порядок выше, чем Jisi .
Для оболочек положительной кривизны с увеличением длины трещины и кривизны оболочки наблюдается перегиб берегов разреза и вблизи его концов / С?2 J О , в то время как в центральной части разреза [ 2.} остается положительным и увеличивается с ростом р , На рис. 3.12 приведен график изменения скачка угла поворота вдоль разреза на срединной поверхности для сферической изотропной оболочки, находящейся под воздействием растягивающей нагрузки. Кривые 1-3 соответствуют значениям параметра 3=1; 2; Ч.
Для оболочек отрицательной кривизны перегиб берегов наблюдается при значительно меньших кривизнах оболочки и длинах разрезов, чем для оболочек положительной кривизны. Скачок становится отрицательным сначала только вблизи концов разреза, а с ростом В и по всей его длине» В центральной часии разреза / монотонно убывает с ростом Д . На рис. 3.13 приведен график измененияДля псевдосферической оболочки (кривые 1-3 соответствуют
Перегиб берегов вблизи концов разреза приводит к тому, что 7і2 і меняет знак и становится отрицательным.
2. В случае моментной нагрузки изгибные напряжения в оболоч ке меньше соответствующих напряжений в идентично нагруженной тон кой пластине и убывают с ростом параметра В . Коэффициент ин тенсивности усилий J//J возрастает лишь до некоторого значения
3 . Для псевдосферической оболочки Jjfa начинает убывать при В = I и быстро становится отрицательным ( для имеет место тот же эффект, что и для случае растягивающей нагрузки). При малых но с увеличением длины разреза для оболочек положительной кривизны с продольным или поперечным разрезом и цилиндрической оболочки с продольным разрезом, несмотря на то, что JIJU И остается меньше Jr , однако они становятся величинами одного порядка. ной, чем при поперечной ориентации разреза. Кривизна оболочки сильнее влияет на коэффициент интенсивности усилий uifi в случае поперечной ориентации разреза и на коэффициент интенсивности моментов JI$$ - в случае продольной.
Эффективные способы повышения прочности материала (армирование жесткими волокнами, обработка металлов давлением и т.д.) приводят к резко выраженной ортотропии материала. Ортотропные материалы, в отличие от изотропных, характеризуются четырьмя независимыми упругими постоянными tj , t% $ iz # У і .
На рис. 3.14-3.17 показано влияние кривизны оболочки на КИН при В = 2. Кривые 1и2;3и4;5и6 соответствуют оболочкам с продольным и поперечным разрезами, изготовленным из следующих материалов: материал I - композиционный материал на эпоксидном связующем, армированный однонаправленными графитовыми волокнами Ь = = 14,9 х КГ4 МПа; Е% = 0,6 х Ю 4 МПа; QiSL = 0,4 х Ю"4 МПа; = 0,31); материал 2 - однонаправленный волокнистый намоточный стеклопластик, нить 19 из волокна BM-I С hi = 5,7 х 10 МПа;
