Содержание к диссертации
Введение
1. Разрешающие соотношения напряженно-деформированного состояния цилиндрической рулонйрованной оболочки . 20
1.1. Постановка задач 20
1.2. Построение разрешающей системы уравнений . 26
1.3. Решение системы интегральных уравнений методом коллокации 37
1.4. Проскальзывание слоев 41
1.5. Начальная погибь 46
1.6. Предварительный натяг'витков оболочки 55
1.7. Предварительная опрессовка оболочки 58
1.8. Оболочка с витком,ослабленным щелевым разрезом 60
2. Интегральные уравнения смешанной задачи плоской теории упругости для изотропного тела 63
2.1. Система интегральных соотношений,связывающих граничные значения напряжений и перемещений 63
2.2. Особенности решений на концах участка интегрирования 68
2.3. Алгебраизация системы интегральных уравнений для кусочно-прямолинейной границы 72
2.4. Алгебраизация интегральных соотношений для кусочно-круговой границы 88
2.5. Формирование системы линейных алгебраических уравнений
2.6. Определение компонентов напряженно-деформированного состояния в области 102
3. Численная реализация прочностных задач 111
3.1. Алгоритмизация расчета напряженно-деформи рованного состояния оболочки 111
3.1.I.Математическое обеспечение
3.1.2.Апробация численно-аналитической методики расчета 120
3.2. Алгоритмизация смешанной задачи плоской теории упругости для изотропного тела 135
3.2.1. Программная реализация метода граничных интегральных уравнений.Вычислительный комплекс K0NTAKT 135
3.2.2.Решение тестовых задач 142
4. Напряженно-деформированные состояния многослойных рулонированных оболочек 152
4.1. Исследование влияния трения и толщины листового проката на напряженное состояние оболочки 152
4.2. Влияние не целого числа витков на напряженно -деформированное состояние 158
4.3. Учет технологической погиби 160
4.4. Предварительный натяг витков рулонированной стенки 164
4.5. Опрессовка оболочки 167
4.6. Рулонированная стенка,ослабленная щелевым разрезом 170
4.7. Расчет ловушки I?5
4.8. Определение коэффициентов интенсивности напряжений
Заключение 183
Литература 185
Приложение 199
- Решение системы интегральных уравнений методом коллокации
- Алгебраизация системы интегральных уравнений для кусочно-прямолинейной границы
- Программная реализация метода граничных интегральных уравнений.Вычислительный комплекс K0NTAKT
- Исследование влияния трения и толщины листового проката на напряженное состояние оболочки
Введение к работе
Одной из важнейших задач народного хозяйства в одиннадцатой пятилетке является снижение материалоемкости и повышение надежности и эффективности сооружений и конструкций.
"В области естественных и технических наук сосредоточить усилие на решении следующих важнейших проблем: развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях...". (Из материалов ХХУІ съезда КПСС,стр.146).
Решение этих задач предусматривает использование современных конструктивных форм, учет реальных условий эксплуатации и физических свойств материала конструкций, что приводит к необходимости рассмотрения более сложных математических моделей, описывающих работу конструкций или их элементов.
К числу наиболее распространенных конструкций в различных отраслях техники относятся тонкостенные трубопроводы. Те из них, которые работают в условиях высоких внутренних давлений,как правило, изготовляют из многослойных труб,имеющих ряд преимуществ перед однослойными с монолитной стенкой
В Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 г.г. и на период до 1990 года, принятых ХХУІ съездом КПСС, перед производственниками и учеными поставлена задача по увеличению объема добычи и транспортировки природного газа. Решение этой задачи связано с созданием магистральных трубопроводов большого диаметра (1022 мм и более),способных работать в условиях высоких рабочих давлений.
Один из конструктивных вариантов таких труб предложен в Институте электросварки им.Е.О.Патона АН УССР. Это многосекционная конструкция,состоящая из спирально-свернутых четырех-,пяти-слойных оболочек с внутренним диаметром 1420 мм и общей толщиной
стенки 16-20 мы, сваренных между собой кольцевыми швами [П . Разработаны варианты и однослойных труб с многослойными рулони-рованными вставками С Ш1т Работы по повышению надежности маги-стальных трубопроводов из рулонированных оболочек проводит и ВНЙИСТ по строительству магистральных трубопроводов.Опытные партии таких труб уложены в Западной Сибири и на Украине [10] .
В химической, нефтехимической,нефтеперерабатывающей и ряде других отраслей промышленности в технологических процессах,связанных с применением оборудования,работающего при высоких давлениях и температурах,применяются сосуды высокого давления,изготовленные с применением рулонирования. Их внутренний диаметр достигает 5000 мм, а рабочее давление 500-700 МПа U 42.13.
Многослойные рулонированные конструкции имеют ряд преимуществ перед однослойными. Их отличает сравнительно простая технология, возможность изготовления изделий практически любых размеров, существенное сокращение трудозатрат и снижение материалоемкости. Наиболее важными с точки зрения практических приложений являются такие качества рулонированных конструкций как большая стойкость к хрупкому разрушению и развитию магистральных трещин.
Применение таких оболочечных конструкций в технике требует исследования их прочностных свойств и изучения влияния различных факторов на них.
Обширный круг идей и практических результатов по общей теории многослойных оболочек и пластин нашел отражение в работах С.А.Амбарцумяна [?] ,[81 , А.Я.Александрова 31 , В.В.Боло-тинаШ], И.А.Буякова [ЛИ , А.Т.Василенко ЛЛ1 38] , В.В.Васильева [31, А.С.Вольмира [Л71» И.И.Воровича [й] » А.Л.Гольденвейзера І30] 9[ъ\] , Э.И.Григолюка и П.П.Чулкова \Ъ?1 , А.М.Григоренко, А.Н.Гузя СзЭ] , Л.Либреску [?41 , Н.А.Кильчевского, Г.М.Куликова [691 , В.Н.Москаленко и
- 7 -Ю.Н.Новичкова C?9l, Ю.Н.Новичкова 861 , Ю.В.Немировского и А.Н.Андреева [91 , В.Г.Пискунова М10Л1 , А.П.Прусакова1(В1, А.О.Рассказова [4051, А.Ф.Рябова 11Q91,[Ц0 3 , А.С.Сахарова [1161, А.Г.Терегулова [1481, В.Й.Феодосьева [42/П, Л.П.Хорошуна ft^l, В.Е.Чепига Ы1] , Ю.Н.Шевченко [-(281,Г551, В.М.Шопа tyA] и др.
Непосредственное применение теории и методов расчета слоистых оболочек к расчету спирально-свитых, т.е. замена рулонированной стенки слоистой не позволяет выявить характерные особенности деформирования рулонированной оболочки. Существенное отличие между слоистой и рулонированной оболочками состоит в том,что в многослойной стенке рулонированной конструкции из-за несимметричности слоев (их неконцентричности) и наличия концентраторов в местах крепления навивки при нагружении внутренним равномерно распределенным давлением,кроме нормальных сил контактного взаимодействия между слоями,возникают также и касательные. Между слоями действуют силы кулоновского трения [681, при этом вдоль линии контакта возможны участки как со сцеплением,так и с проскальзыванием, причем положение и размеры этих зон заранее неизвестны. При отсутствии трения в такой системе внутренний пакет слоев не напряжен и работает как заполнитель,что,естественно,не свойственно многослойным в традиционном смысле оболочкам.
Кроме того,за счет смятия микро-,макрошероховатостей поверхностей контакта,а также за счет опрессовки неплотно свитых участков,деформативность оболочки в процессе нагружения увеличивается, что сказывается и на ее напряженном состоянии. Зависимость контактной нормальной податливости от сжимающих нормальных напряжений, действующих между слоями,нелинейна и определяется,как правило, экспериментально [711^761.
Проявляется влияние и ряда других факторов,влияющих на напряженно-деформированное состояние оболочки: лреднапряжения
навивки, начальной погиби, щелевых дефектов,температуры.
В ряде известных теоретических исследованиях,посвященных расчету рулонированных конструкций,авторы принимали различные расчетные модели с привлечением упрощающих гипотез. Упрощения расчетной модели продиктованы сложностью взаимодействия между слоями и недостатками применяемого расчетного аппарата.
Из-за сложности замеров деформаций в промежуточных слоях не получили развития и экспериментальные работы. Так,в работах, описанных в [№, С36] ,[12.5], замеры деформаций проводились по свободным торцам слоев и наружной поверхности внешнего слоя.
Ю.М.Сагидаевым [1141 проведены экспериментальные исследования эволюции напряженно-деформированного состояния модели руло-нированного сосуда вплоть до его разрушения,опирающееся на данные тензометрирования наружных слоев.
М.И.Бураком [2.01 напряженное состояние слоев оболочки оценивалось по данным замеров деформации на поверхности небольшого сквозного круглого отверстия в стенке оболочки расположенного вдали от продольных сварных швов и закрытого накладкой со стороны внутренней поверхности оболочки.
В работе В.Я.Баш, В.А.Коваленко и В.В.Пискуна №2Л экспериментально исследовалась модель рулонированной оболочки в виде тонкой трубы, скрепленной фольгой, на поверхности которой наносилась сетка и впоследствии по ней измерялись деформации. Полученные авторами результаты сопоставлялись с результатами решений по методике расчета тел вращения Ю.Н.Шевченко, М.Е.Бабешко В.В.Пискуна [1281 без учета проскальзывания.
Исследованию напряженного состояния спирально-многослойных оболочек поляризационно-оптическим методом на моделях из оптически чувствительного материала ЭПСА посвящены работы В.И.Савченко, Т.Ю.Кепича, А.М.Нуркиянова и К.И.Мазура [501 ,[sil , [8?! ,
*- -* . Получены экспериментальные зависимости для контактного сближения поверхностей слоев из этого материала за счет макрошероховатостей и величины коэффициентов трения ГААЗІ. Определены усредненные кольцевые напряжения в слоях навивки для трех-,пяти-слойной моделей при некоторых значениях коэффициента трения [51І, [8?]. Рассматривалась и концентрация напряжений возле технологических сквозных отверстий в трехслойной оболочке и коэффициенты интенсивности напряжений в устьях щелевых дефектов №1
Результаты экспериментальных исследований рулонированных оболочек носят частный характер. Даже в совокупности они не дают возможности сформулировать какие-либо общие количественные закономерности.описывающие наиболее важные стороны процесса деформирования этих конструкций.
В ряде исследований к расчету рулонированных конструкций применен приближенный подход, не позволяющий учесть ряд факторов, существенно влияющих на напряженное состояние. Так,в работах А.Ф.Безвербного [1] , Г.С.Писаренко и О.Е.Богинича Cioo], Ю.М.Сагидаева [ЦБ] , Б.В.Яблонского \да"3 , а также [891 , С90І рулокированная оболочка заменяется многослойным длинным цилиндром. Контактное сближение поверхностей слоев за счет макрошероховатостей не учитывается. В такой модели силы трения между слоями отсутствуют, и поэтому радиальные и кольцевые напряжения расчитывались по формулам Ламе ГААЗ] , а в [Ш применялась и теория замкнутых тонкостенных оболочек. Аналогичная модель руло-нированной оболочки исследовалась авторами Л.И.Гурьевой 401 , М.А.Нетребским, Ю.М.Сагидаевым и Г.В.Раевским [83], Д.Драгое \_\Ъ7,,с.167-180 ] , с учетом предварительного натяга навивки.
Г.С.Писаренко и А.Е.Бабенко [981 ,[99], П.А.Вислобицким 1^ рассмотрена безмоментная плотно свитая бесконечная спиральная оболочка, работающая на растяжение. Касательные силы взаимодействия предполагаются равными кулоновским силам трения на
границах контакта всех слоев,что возможно при малых коэффициентах трения, когда в контакте имеет место проскальзывание. В расчетной модели не учитывается контактная податливость слоев. Для получения разрешающих уравнений используются уравнения без-моментной теории цилиндрической оболочки, толщина слоев полагается пренебрежимо малой по сравнению с радиусом кривизны витков. П.Г.Пимштейн №1 также рассматривает расчетную модель сосуда высокого давления в виде безмоментной спиральной оболочки,в которой в пределах всей зоны контакта имеет место проскальзывание. Напряженно-деформированное состояние внутренней обечайки определяется как для замкнутого кольца по формулам Ю.А.Шиманского, а для расчета навивки используются уравнения равновесия элемента цилиндрической оболочки в форме Б.Б.Новожилова. В расчете учитывается контактная податливость микро-,макронеровностей поверхностей слоев. Аналогичный подход к расчету рулонированной оболочки имеет место в исследованиях П.П.Бородавкина и А.М.Синю-кова i? , C.I48-I561 .
Исследованию влияния величины нормальной контактной податливости микро-,макронеровностей поверхностей слоев на напряженное состояние многослойной оболочки в целом посвящены исследования П.Г.Пимштейна и В.Н.Жуковой [95"3 , Е.Г.БорсукаСэ?] . Зависимость контактного сближения поверхностей от нормальных усилий для листового проката толщиной 6 мм, полученная экспериментально, и эмпирическая зависимость контактной теплопроводности от контактного давления приведены в [95І . Напряженное состояние оболочки от действия внутреннего давления и температуры определено для многослойного цилиндра по формулам Ламе. В работе І9?2 приводятся экспериментальные данные о сближении поверхностей слоев и изменении объема межслойного пространства на единичной площади в зависимости от контактного давления и величины
- II -
силы натяга навивки.
Модель рулонированной оболочки в виде плотной многолистной цилиндрической поверхности с постоянным радиусом кривизны и пренебрежимо малой толщиной слоев рассмотрена в работах Л.А.Ильина и Н.АДобковой \М51 ,[^6 3 ,№"1 , А.Р.0динца[881 в предположении упругой работы материала витков. Контактная податливость микро-, макрошероховатостей поверхностей контакта в работах не учитывается. Применены уравнения безмоментной теории,на основе которых задача сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Л.А.Ильин и Н.А.Лобкова рассмотрели вопрос о влиянии величины коэффициента трения и угла перехлеста краев навивки на напряженное состояние пятислойной оболочки.
А.Р.Одинцом [883 в разрешающие уравнения введена кусочно-постоянная функция приведения,позволяющая ограничить величину касательных сил взаимодействия и рассмотреть влияние частичного проскальзывания в зоне контакта. Значение этой функции определяется из условий минимума потенциальной энергии деформации.
Рулонированная оболочка,наружные слои которой представлены тонкими трубами,а промежуточные - косослоем, рассмотрена В.Н.Гор-деевым, М.А.Микитаренком и В.В.Перельмутером в работе \_Ъ2.1 . Напряженно-деформированное состояние оболочки определялось методом конечных элементов (МКЭ) в упругой и упруго-пластической стадиях работы.с учетом одностороннего характера связей между витками и кулоновских сил трения. Как и в 881, введено предположение, что проскальзывание имеет место на тех участках,где касательные силы взаимодействия выше кулоновских сил трения.
Н.П.Мельниковым и Н.М.Потаповым в работе С?71 пакет слоев представлен трансверсально изотропной средой с приведенными характеристиками. Решение построено по МКЭ.
Анализ литературных источников показал, что теория расчета многослойных рулонированных оболочек в настоящее время находится на этапе разработки математической модели, дающей возможность выявить наиболее важные особенности процесса деформирования этих существенно нелинейных объектов.
Из сказанного следует,что разработка методики расчета многослойных рулонированных цилиндрических оболочек,учитывающей особенности взаимодействия слоев, является актуальной с точки зрения теории и практики проблемой.
В настоящей диссертационной работе предложена,развита и использована для расчетов реальных объектов численно-аналитическая методика,основанная на исследованиях Г.Б.Ковнеристова [5Z] в области механики деформирования многослойных систем. При этом подходе деформации наружной поверхности слоя оболочки представлены деформацией упругого слоя толщиной,равной половине толщины витка оболочки, сложенной с деформацией срединной поверхности витка, в результате чего контактная задача оказывается сведенной к интегральному уравнению относительно неизвестных сил контактного взаимодействия между слоями. На основе такого подхода открывается возможность учесть контактную податливость макрошероховатостей поверхностей контакта,учесть проскальзывание и другие факторы, влияющие на напряженно-деформированное состояние рулокированной оболочки.
В настоящей работе принята модель многослойной рулонирован-ной бесконечно-длинной оболочки в виде гибкой растяжимой нити 7 упругой вдоль длины и свернутой в спираль, концы которой надлежащим образом закреплены,образовав замкнутые крайние витки.На вогнутой и выпуклой поверхностях витков спирали имеют место микро-, макронеровности. Оценка общего напряженного состояния на основе введенных технических гипотез рассматривается в качестве
- ІЗ -
первого этапа расчета оболочки. На втором этапе полученные результаты корректируются путем наложения данных расчета напряженного состояния в областях,содержащих концентраторы и щелевые дефекты. С этой целью развита,предложенная Г.Б.Ковнеристовым,методика построения решений для составных кусочно-однородных многосвязных областей с позиции смешанной плоской задачи теории упругости путем сведения задачи к интегральным уравнениям Г561.
Замена краевой задачи для системы уравнений в частных производных интегральным или интегро-дифференциальным уравнением является одним из наиболее эффективных приемов в математической физике. В рамках круга проблем теории упругости этот способ понижения размерности функциональных уравнений успешно применяется, начиная с работ Буссинеска и Герца.
Применительно к двумерным задачам теории упругости значительные успехи этого направления связаны с именами М.А.Садовского [85] , Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили tSOl ,[Sll и большого числа их последователей,с высокой эффективностью использовавших аппарат теории функций комплексного переменного.
В пространственных задачах теории упругости и термоупругости вопросы получения и исследования интегральных уравнений получили освещение в трудах В.Д.Купрадзе [?0] , посвященных распространению на эту область математической физики идей теории потенциала.
Другой путь к получению интегральных уравнений теории упругости указали работы С.М.Белоносова [і4] , И.й.Воровича [91 , Я.С.Уфлянда [122] и др.ученых,предложивших использовать различного рода интегральные преобразования.
В основе работ А.Я.Александрова [51 , Ю.В.Верюжского [25], Н.А.Кильчевского [5^1 , Г.Б.Ковнеристова [56] , Т.Круза Ш1
и других ученых, посвященных получению разрешающих интегральных уравнений,лежит идея использования для этой цели теоремы Бетти о взаимности работ. Этот подход применяется и в настоящей работе. К достоинствам этого подхода следует отнести ярко выраженный физический смысл уравнения и наглядность его получения.
Для решения интегральных уравнений задач теории упругости разработано большое количество методов. Каждый из них учитывает специфику рассматриваемой области, необходимую точность результата и,иногда, доступность применяемой методики.Сначала,в работах Герца [?2Л , Н.М.Беляева [15] , И.Я.Штаермана [430] применялись и развивались аналитические идеи теории потенциала. Усложнение задач связано с применением аппарата теории аналитических функций, где основное интегральное уравнение для области,ограниченной простой замкнутой линией,ищется в виде комплексных рядов с привлечением свойств аналитических функций,как описано в монографиях Н.И.Мусхелишвили [81] , Г.И.Савина [HI], А.С.Космода-мианского [66] , С.Г.Лехницкого [?3] , Э.И.Григолюка и Л.А.Фильш-тинского№] , с привлечением методов неопределенных коэффициентов, малого параметра, сведения к задаче линейного сопряжения с помощью метода Карлемана и других методов. С другой стороны,применялись численные методы решения смешанных задач,где неизвестные плотности представлялись кусочно-постоянными функциями [5] , [2.5] , [56] . Подход Б.Н.Жемочкина и А.П.Синицына[4] , давал, в свое время, наглядное представление решения интегрального уравнения смешанной задачи в виде кусочно-постоянной функции. Кусочно-линейные представления плотностей имеются в работе t5"6] , естественное развитие численных методов привело к сплайновой аппроксимации плотностей
Представление плотностей в виде полиномов Чебышева характерно для монографий В.В.Панасюка, А.П.Дацышина и М.П.Саврука
C91] ДШЗ, Н.И.Васильева, Ю.А.Клокова и А.Я.ШтерстенаШ!, и др. Классический подход Фредгольма положен в основу численного решения задач в исследованиях В.З.Партона и П.И.Перлина И92І.
Следует также упомянуть обзор по контактным задачам, решаемых методом теории функций комплексной переменной и теории потенциала, под общей редакцией Л.А.Галина [40*П.
В разработку аппарата решения краевых задач на основе численной реализации интегральных уравнений теории упругости значительный вклад внесла большая группа зарубежных ученых: П.Бенерджи, Р.Баттерфилд, С.А.Бреббия, Т.Крузе, Э.О.Оливейра, Ф.Риццо и др.
[433], 1ВЦ],Г1351Д1^],[43П-[Ш01.
Из всех существующих численных методов решения интегральных
уравнений в настоящей работе принят метод Мультона-Каландия [^9], где неизвестные и известные функции плотностей в интегральном уравнении, составленном для одного прямолинейного или кругового участка интегрирования, представляются в кусочно-полиномиальном виде при помощи тригонометрических интерполяционных полиномов Лагранжа и полиномов специального вида.по Чебышевским узлам интерполяции с возможными особенностями решений в узловых и угловых точках контура. Забегая вперед, следует отметить,что такой вычислительный алгоритм приводит к исключительно точным результатам.
Целью настоящей работы является разработка практической численно-аналитической методики расчета многослойных рулониро-ванных цилиндрических оболочек на внутреннее равномерное давление, анализ на ее основе напряженно-деформированного состояния оболочки,а также областей содержащих концентраторы. На первом этапе расчета определяется напряженное состояние оболочки в целому использованием метода сведения к интегральным уравнениям контактной задачи теории оболочек; на втором - на основе ин-
тегральных соотношений для напряжений и перемещений на контуре исследуемой области уточняется напряженно-деформированное состоя-ние вблизи концентраторов и щелевых дефектов оболочки в постановке смешанной плоской задачи теории упругости.
Разработка методики расчета предусматривает решение следующих вопросов:
построение разрешающих уравнений задач статики многослойных рулонированных оболочек;
разработку численных алгоритмов прочностных задач рулонированных оболочек;
развитие метода граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на основе кусочно-полиномиального представления функций плотностей с учетом возможных особенностей их поведения в узловых и угловых точках контура исследуемой области;
разработку численно-аналитических алгоритмов расчета составных кусочно-однородных многосвязных областей в постановке смешанной плоской задачи теории упругости на основе интегральных уравнений;
исследование достоверности численно-аналитической методики на решении ряда контрольно-тестовых задач;
- применение разработанной методики к решению задач,представляю
щих практический интерес.
Диссертация выполнена в соответствии с общим планом научных исследований,выполняемых на кафедре строительной механики и Проблемной научно-исследовательской лаборатории тонкостенных пространственных конструкций Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института под руководством профессора, доктора технических наук Г.В.Йсаханова. Значительная помощь в разработке теоретических вопросов была оказана доцен-
том,кандидатом технических наук Ковнеристовым Г.Б.
Диссертация состоит из введения, четырех глав,заключения, списка использованной литературы и приложения.
В первой главе описана модель оболочки,приводится постановка рассматриваемых в диссертации прочностных задач. Построены системы интегральных уравнений относительно сил контактного взаимодействия между витками. Системы дополнены уравнениями равновесия.Решения строятся методом коллокации. Описан учет ряда факторов технологического и эксплуатационного характера, влияющих на напряженное состояние оболочки.
Построены соответствующие алгоритмы.
Во второй главе получены интегральные соотношения для напряжений и перемещений на контуре расчетной области. Рассмотрен учет особенностей поведения решений на концах участка интегрирования. Проведена алгебраизация системы интегральных уравнений для кусоч-но-прямолинейной и кусочно-круговой границ и алгоритм составления системы линейных алгебраических уравнений. Рассмотрены варианты контактного взаимодействия между телами и учет условий контакта в разрешающих уравнениях. Получены основные интегральные соотношения для решения внутренней задачи и их алгебраические аналоги.
Третья глава посвящена численной реализации прочностных задач. Рассмотрено программное обеспечение численно-аналитической методики определения напряженного состояния оболочки в целом и оценка ее достоверности на решении тестовых задач.
Описано математическое обеспечение метода граничных интегральных уравнений и исследована его эффективность на решении ряда контрольных примеров.
В четвертой главе приведен анализ результатов решения модельных и новых задач.
Решены задачи статики для многослойной рулонированной трубы. Выявлено влияние на напряженно-деформированное состояние рулонированной трубы величины коэффициента межслойного трения, толщины полосы навивки, угла перехлеста краев навивки,предварительного натяга и олрессовки, учета технологической погиби и продольных разрывов слоев. Поставлены и решены новые задачи:
расчет ловушки;
о напряженно-деформированном состоянии оболочки с предварительно опрессованной навивкой;
расчет рулонированной оболочки с учетом начальной погиби;
о напряженно-деформированном состоянии оболочки ослабленной продольным разрывом витка;
определение коэффициентов интенсивности напряжений и напряженное состояние вблизи концентраторов и щелевых дефектов оболочки.
Полученные результаты могут быть использованы при расчетах на прочность рулокированных труб и сосудов высокого давления,применяемых в строительстве магистральных трубопроводов,химическом и атомно-энергетическом машиностроении.
Основные результаты диссертации содержатся в работах №1 » l№ , t591 ,[6(Л ,1611 , [G5] , доложены на ХХХХШ, ШХІУ, ХХШ" научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и студентов Киевского ордена Трудового Красного Знамени инженерно-строительного института (Киев,1982, І983,І984г.г.), на I Республиканской конференции по повышению надежности и долговечности машин и сооружений (Киев,1982г.), на шестой тематической конференции "Практическая реализация численных методов расчета инженерных конструкций" (Ленинград,1983г.), на ХХШ научно-технической конференции молодых ученых и специалистов ЦНИИ им.А.Н.Крылова (Ленинград,1984т.), на ХУ научно-тех-
нической конференции молодых ученых и специалистов ЦНИИСК им.В. А.Кучеренко "Экспериментальные исследования и расчет строительных конструкций" (Москва,1984-г.), на третьей научно-технической конференции "Совершенствование эксплуатации и ремонта корпусов судов" (Калининград,1984г.), на X Международном конгрессе по вопросам применения математики в технических науках (ГДР,Веймар,
1984г.).
Решение системы интегральных уравнений методом коллокации
Замена краевой задачи для системы уравнений в частных производных интегральным или интегро-дифференциальным уравнением является одним из наиболее эффективных приемов в математической физике. В рамках круга проблем теории упругости этот способ понижения размерности функциональных уравнений успешно применяется, начиная с работ Буссинеска и Герца.
Применительно к двумерным задачам теории упругости значительные успехи этого направления связаны с именами М.А.Садовского [85] , Г.В.Колосова, Н.И.Мусхелишвили tSOl ,[Sll и большого числа их последователей,с высокой эффективностью использовавших аппарат теории функций комплексного переменного.
В пространственных задачах теории упругости и термоупругости вопросы получения и исследования интегральных уравнений получили освещение в трудах В.Д.Купрадзе [?0] , посвященных распространению на эту область математической физики идей теории потенциала.
Другой путь к получению интегральных уравнений теории упругости указали работы С.М.Белоносова [і4] , И.й.Воровича [91 , Я.С.Уфлянда [122] и др.ученых,предложивших использовать различного рода интегральные преобразования.
В основе работ А.Я.Александрова [51 , Ю.В.Верюжского [25], Н.А.Кильчевского [5 1 , Г.Б.Ковнеристова [56] , Т.Круза и других ученых, посвященных получению разрешающих интегральных уравнений,лежит идея использования для этой цели теоремы Бетти о взаимности работ. Этот подход применяется и в настоящей работе. К достоинствам этого подхода следует отнести ярко выраженный физический смысл уравнения и наглядность его получения.
Для решения интегральных уравнений задач теории упругости разработано большое количество методов. Каждый из них учитывает специфику рассматриваемой области, необходимую точность результата и,иногда, доступность применяемой методики.Сначала,в работах Герца [?2Л , Н.М.Беляева [15] , И.Я.Штаермана [430] применялись и развивались аналитические идеи теории потенциала. Усложнение задач связано с применением аппарата теории аналитических функций, где основное интегральное уравнение для области,ограниченной простой замкнутой линией,ищется в виде комплексных рядов с привлечением свойств аналитических функций,как описано в монографиях Н.И.Мусхелишвили [81] , Г.И.Савина [HI], А.С.Космода-мианского [66] , С.Г.Лехницкого [?3] , Э.И.Григолюка и Л.А.Фильш-тинского№] , с привлечением методов неопределенных коэффициентов, малого параметра, сведения к задаче линейного сопряжения с помощью метода Карлемана и других методов. С другой стороны,применялись численные методы решения смешанных задач,где неизвестные плотности представлялись кусочно-постоянными функциями [5] , [2.5] , [56] . Подход Б.Н.Жемочкина и А.П.Синицына[4] , давал, в свое время, наглядное представление решения интегрального уравнения смешанной задачи в виде кусочно-постоянной функции. Кусочно-линейные представления плотностей имеются в работе t5"6] , естественное развитие численных методов привело к сплайновой аппроксимации плотностей
Представление плотностей в виде полиномов Чебышева характерно для монографий В.В.Панасюка, А.П.Дацышина и М.П.Саврука C91] ДШЗ, Н.И.Васильева, Ю.А.Клокова и А.Я.ШтерстенаШ!, и др. Классический подход Фредгольма положен в основу численного решения задач в исследованиях В.З.Партона и П.И.Перлина И92І.
Следует также упомянуть обзор по контактным задачам, решаемых методом теории функций комплексной переменной и теории потенциала, под общей редакцией Л.А.Галина [40 П.
В разработку аппарата решения краевых задач на основе численной реализации интегральных уравнений теории упругости значительный вклад внесла большая группа зарубежных ученых: П.Бенерджи, Р.Баттерфилд, С.А.Бреббия, Т.Крузе, Э.О.Оливейра, Ф.Риццо и др. [433], 1ВЦ],Г1351Д1 ],[43П-[Ш01.
Из всех существующих численных методов решения интегральных уравнений в настоящей работе принят метод Мультона-Каландия [ 9], где неизвестные и известные функции плотностей в интегральном уравнении, составленном для одного прямолинейного или кругового участка интегрирования, представляются в кусочно-полиномиальном виде при помощи тригонометрических интерполяционных полиномов Лагранжа и полиномов специального вида.по Чебышевским узлам интерполяции с возможными особенностями решений в узловых и угловых точках контура. Забегая вперед, следует отметить,что такой вычислительный алгоритм приводит к исключительно точным результатам.
Целью настоящей работы является разработка практической численно-аналитической методики расчета многослойных рулониро-ванных цилиндрических оболочек на внутреннее равномерное давление, анализ на ее основе напряженно-деформированного состояния оболочки,а также областей содержащих концентраторы. На первом этапе расчета определяется напряженное состояние оболочки в целому использованием метода сведения к интегральным уравнениям контактной задачи теории оболочек; на втором - на основе интегральных соотношений для напряжений и перемещений на контуре исследуемой области уточняется напряженно-деформированное состоя-ние вблизи концентраторов и щелевых дефектов оболочки в постановке смешанной плоской задачи теории упругости.
Разработка методики расчета предусматривает решение следующих вопросов: - построение разрешающих уравнений задач статики многослойных рулонированных оболочек; - разработку численных алгоритмов прочностных задач рулонированных оболочек; - развитие метода граничных интегральных уравнений плоской теории упругости на основе кусочно-полиномиального представления функций плотностей с учетом возможных особенностей их поведения в узловых и угловых точках контура исследуемой области; - разработку численно-аналитических алгоритмов расчета составных кусочно-однородных многосвязных областей в постановке смешанной плоской задачи теории упругости на основе интегральных уравнений; - исследование достоверности численно-аналитической методики на решении ряда контрольно-тестовых задач; - применение разработанной методики к решению задач,представляю щих практический интерес.
Алгебраизация системы интегральных уравнений для кусочно-прямолинейной границы
Для обеспечения равнопрочной работы витков и для уменьшения зазоров в контакте оболочку изготовляют с предварительным натяжением навивки постоянной или переменной силой То Ilfctl .
В настоящей работе принята следующая идеализированная технология изготовления оболочки с натяжением полосы навивки постоянной силой Т0 . Внутренний виток,заваренный в точке Л т подвергается равномерному растяжению радиальными перемещениями, создаваемыми наружной поверхностью барабана наматывающего устройства. При этом радиус обечайки R0 увеличится и станет равным фв+Дя) А в контакте между поверхностью барабана и поверхностью 3 первого витка возникнут нормальные усилия Р0 . Не изменяя радиуса первого витка (Яо+Д ) производят наматывание рулона из полосы натянутой силой То (рис. ik ). При накладывании второго витка на первый во избежание проворачивания первого замкнутого витка по барабану, что возможно при равенстве касательных сил взаимодействия кулоновской силе трения,необходимо соблюдать условие
После намотки последнего витка конец навивки закрепляется сваркой к предпоследнему слою в точке В . Внутреннее давление на барабане L » которое в результате обжатия наружными растянутыми слоями стало больше начального Рс , снимается и оболочка остается преднапряженной за счет обжатия более растянутыми внешними слоями внутренних слоев. В дальнейшем эта преднапряженная конструкция подвергается эксплуатационным нагрузкам. В соответствии с идеализированной технологией изготовления и эксплуатации следует рассматривать работу рулокированной преднапряженной оболочки на трех этапах: - оболочка изготовлена с натягом навивки без уменьшения внутреннего радиуса R„+AR ; - оболочка после снятия опрессовочного давления 2± ; - нагружение преднапряженной оболочки эксплуатационным давлением. Для применения полученных разрешающих уравнений п.1.2 к решению задач прочности преднапряженной натягом оболочки (задача 3, п.1.1) сохраним ранее рассмотренное вспомогательное состояние системы. В правой части (I.2I) величина А характеризовала равное изменение радиусов кривизны всех витков, полагая постоянным нормальное давление в контакте в первом приближении,а величина &4ГД являлась окружным перемещением соприкасающихся точек витков.Поэтому, для получения разрешающих уравнений,описывающих напряженно-деформированное состояние оболочки образованной с натягом навивки, необходимо вместо величины 2/tfA в правой части (I.2I) положить соответствующие основному состоянию системы значения окружных перемещений соприкасающихся точек в контакте. В конце первого витка от растяжения его опрессовочным давлением Р тангенциальное перемещение равно Второй виток с усилием Т0 накладывается на первый обжимая его нормальными напряжениями To/(Re+n) , на которые увеличилось давление на барабане. Дополнительное несовпадение точек контакта в конце первого стыка будет Из (I.41) имеет смысл такое натяжение навивки,при котором иначе первый виток после разгрузки отстанет от последующих.Относительные деформации витков в первом приближении одинаковы и несовпадение точек в контакте характеризуется величиной SiffiTo/fEfj). После намотки спирали и закрепления конца последнего витка в точке В внутреннее давление на барабане стало больше первоначального Р0 » однако радиус первого витка (R0+AR) остался неизмененным. Для определения напряженно-деформированного состояния оболочки на первом этапе изготовления следует в правой части системы (I.2I) вместо 2ith положить величину: Ed 1 i Решая (I.21) по приведенной в п.I.3 схеме с учетом проскальзывания получим некоторое напряженное состояние и на поверхности первого витка напряжение Р 1 ?0
Для определения напряженно-деформированного состояния соответствующего второму этапу изготовления оболочки,моменту снятия опрессовочного давления Pi. , необходимо от полученного напряженного состояния перейти к остаточным напряжениям путем снятия давления Р4 на барабане. Вычислительный процесс строится следующим образом. Полученное напряженное состояние на первой стадии работы оболочки запоминается. Решается система (I.21),полагая в правой части ее вместо ZrtL величину -2 іґДк » где Дк. Величина К подбирается в ходе экспериментальных расчетов.Полученные таким образом компоненты напряженного состояния от на-гружения оболочки внутренним отрицательным давлением складываются с соответствующими компонентами напряженного состояния первой стадии работы конструкции. После этого применяется алгоритм проскальзывания. Окончательно полученное напряженно-деформированное состояние запоминается на месте старого и если внутреннее давление Р± 0 , то вычислительный процесс повторяется. На каждом этапе расчета задачу снятия давления можно считать линейной, что дает возможность перейти на последнем этапе от Ак к остаткам от Р4 0 .
Программная реализация метода граничных интегральных уравнений.Вычислительный комплекс K0NTAKT
Алгоритмы решения прочностных задач для многослойных рулони-рованных оболочек реализованы в виде комплекса программ ЯШдОИ для ЕС ЭВМ. Все программы комплекса составлены на алгоритмическом языке ФОРТРАН-ЕС 1181,обеспечившего простоту программирования и универсальность полученных программ.
Принципиальная идея вычислительной системы состояла в создании весьма общего и гибкого инструмента исследования,позволяющего выполнять машинное формирование уравнений и сочетать ряд итерационных процессов: - определение усилий и перемещений оболочки; - алгоритм учета проскальзывания; - учет изменения механических свойств материала витков; - снятие опрессовочного давления. Вычислительный комплекс ориентирован на использование только оперативной памяти ЭВМ. Обеспечен диалог комплекса с пользователем,например, при неправильном задании исходных данных задачи,в случаях,когда невозможно достижение запланированной точности вычислений в итерационных процессах,а также при переполнении счетчиков циклов проскальзывания и циклов изменения параметров материала витков оболочки,циклов снятия опрессовочного давления.
В зависимости от номера варианта задания,задаваемым пользователем в исходной информации,на печатающее устройство во время счета, а также в конце решения задачи,выдается промежуточная информация, характеризующая состояние численных итерационных процессов, например, информация о матрице разрешающей системы,решение системы (I.2I) на каждом шаге численного процесса,номера точек проскальзывания и значения поправок изменения контактной податливости в них юдули упругости в каждой точке коллокации на каждом шаге изменения параметров материала,значения счетчиков циклов по каждому из итерационных процессов и др. Программа RJJLOM состоит из нескольких самостоятельных блоков, выполняющих отдельные логические и арифметические операции, которые могут быть условно разделены на три взаимосвязанные части: - первая часть обеспечивает ввод исходных данных задачи и подготовку необходимой информации для дальнейших вычислений, обнуляются рабочие массивы; - во второй части реализуется алгоритму процессе работы которого определяется напряженно-деформированное состояние оболочки ; - . третья часть обеспечивает вывод результатов счета и другой необходимой информации на печатающее устройство. В первой части подпрограмма &AHQ вводит исходную информацию, характеризующую расчетную схему оболочки, вычисляет - из безразмерные координаты точек коллокации, координаты концов и середин участков интегрирования,определяет величины,характеризующие систему разрешающих уравнений. Исходными данными для решения задач являются: - номер варианта задания; - толщина первого витка (внутреннего) и толщина последующих витков оболочки; - средний радиус кривизны срединной поверхности первого витка; - количество витков (или участков интегрирования) и число точек коллокации на них; - угол перехлеста краев навивки; - индексы решения задачи: учета проскальзывания,учета погиби, учета предварительного натяга или опрессовки; - модули упругости и коэффициент Пуассона материалов первой и последующих обечаек; - коэффициент кулонова трения; - коэффициент тангенциальной податливости микро-,макронеровностей в слоях контакта; - постоянные материала для определения закона изменения нормальной контактной податливости; - опрессовочное давление и величина силы предварительного натяжения навивки; - модуль текучести и соответствующая ему деформация или экспериментальная зависимость E-fc .Эксплуатационное нагружение оболочки создается радиальными перемещениями внутренней поверхности первого витка. Подпрограмма СО OR вычисляет и сохраняет в массивах координаты начал,середин и концов участков интегрирования. В дальнейшем эта информация используется подпрограммой-функцией C0R.2. - 114 для определения координат точек коллокаций,количество которых может быть ЇЇІ - 3,5,7,У,II на одном участке интегрирования. Если задача решается с учетом начальной погиби, то подпрограммой (JRAF считывается из перфокарт таблица значений Ё , или такая зависимость строится при помощи подпрограммы ТЕ EPS , которая реализует вычисление главного вектора усилий, растягивающих виток,по формулам (1.30), (1.34), (1.36), (1.37) или (1.39). При решении технологических задач предварительного натяга или опрессовки рулона подпрограмма BUPHIO формирует компоненты правой части системы уравнений (I.2I) по алгоритму п.п.1.6 или 1.7, соответственно. Вторая часть вычислительного комплекса обеспечивает решение системы (I.21),вычисление поправок контактной тангенциальной податливости в точках проскальзывания,организует шаговый численный процесс изменения модуля деформаций материала витков методом Биргера, процесс шагового снятия опрессовочного давления. В третьей части вычислительного комплекса подпрограмма ОТВЕТ 2 определяет компоненты напряженного состояния в промежуточных точках на участках интегрирования,путем полиномиальной аппроксимации тригонометрическими полиномами Лагранжа соответствующих решений в точках коллокаций и выводит на печатающее устройство результаты решений по каждому витку.Выводимая цифровая информация сопровождается графическим изображением результатов на АЦПУ при помощи подпрограммы (=»RAFlK . Одновременно в поле печатающего устройства строится четыре графика: усилий t , , Т и перемещений ЛХ
Исследование влияния трения и толщины листового проката на напряженное состояние оболочки
Подпрограммой FORH&P формируется правая часть системы уравнений (I.2I). Модуль МІ7Ш организует умножение обратной матрицы коэффициентов $Г на вектор правой части. В результате этого получается вектор решений t , элементы которого записываются в первый столбец двумерного массива TAU а предыдущее содержание массива ТАХТ переписывается в рабочий массив TAVW . Подпрограмма TAYTP по значениям tr организует вычисления продольных усилий в витках (1.24), напряжений сжатия между витками (I.I2), относительные радиальные перемещения (I.I3) и хранит эти значения в первых столбцах двумерных массивов TN , РН , U , соответственно. После этого ЕОТІТ определяет наибольшую относительную величину изменения значений f на данном шаге вычислений по сравнению с соответствующими значениями , полученными на предыдущем шаге. Если эта величина окажется не больше заданной EPS , то система уравнений (I.2I) считается решенной. В противном случае организуется новый цикл, управление передается модулю F0RM.&P , который формирует правую часть системы уравнений (I.2I) по новым значениям U и р , полученным на предыдущем шаге. Таким образом определяется напряженно-деформированное состояние оболочки с учетом контактного сближения поверхностей слоев, но без учета проскальзывания.
Итерационный процесс реализации алгоритма учета проскальзывания является внешним по отношению рассмотренному выше итерационному процессу и организуется при задании параметра IrR O # При этом подпрограммой PR0C проверяется условие (1.3) в каждой точке коллокации и,в случае его невыполнения,намечаются точки проскальзывания и вычисляются в них поправки податливости (1.26), на которые изменяются значения диагональных элементов матрицы $ , полученной на предыдущем шаге процесса проскальзывания. Этот массив переписывается в рабочий и управление головная программа передает модулю R$TJ& . Итерационный процесс считается окончен,если условие (1.3) выполняется в каждой точке коллокации.
При ІІт О расчет оболочки производится с учетом начальной погиби и изменения модулей деформаций в сечениях навивки по методу Биргера. При этом вычислительный процесс ка каждом шаге нагружения считается линейным и является внешним по отношению к итерационному процессу учета проскальзывания.
В начале счета определяется количество шагов нагружения и нагрузка на них. Проведенные численные исследования показали,что при нагружениях оболочки перемещениями A=Ro/ 1000 происходит незначительное изменение модулей деформаций (не более 15$). Поэтому при задании перемещений Д на поверхности & первого витка больших величин Ro / 1000 они разбиваются на части, принимая на каждом шаге нагружения величину Aw = Ro / 1000, а на последнем шаге - Дп= Д-К А,.. Каждый шаг численного процес-са изменения модулей деформаций материала витков представляет итерационный цикл.На первой итерации первого шага по нагрузке определяется напряженно-деформированное состояние в предположении упругой работы материала витков, с учетом проскальзывания. По полученным продольным усилиям Т определяются соответствующие модули деформаций в сечениях витков подпрограммой ТЖ0 по заранее построенной таблице значений Е-Є.-Т . Если новые значения Е отличаются от предыдущих более чем на заданную величину ЕЕР , характеризующую максимальную невязку итерационного процесса, то вычисления повторяются с принятыми новыми значениями Е . Управление головной программой передается подпрограмме FОRKS6 .Обнуляется счетчик вычисления поправок податливости и сами коэффициенты, строится новая правая часть и вычисляются коэффициенты матрицы & с новыми модулями Е
Вновь решается система уравнений (I.2I) и используется алгоритм проскальзывания (1.25). По полученным значениям Т определяются новые модули Е . Если разница модулей деформаций предыдущей и данной итерации по абсолютной величине не превышают заданной, то итерационный процесс считается законченным.Полученное решение на данном шаге по нагрузке суммируется с значениями предыдущих шагов вычисления и запоминается во вторых столбцах массивов TAV, TN , PN , V . Вычислительный процесс переходит на новый шаг по нагрузке,на котором решение строится по выше описанной схеме. На каждом шаге нагружения итерационный процесс изменения модулей деформаций сходится за 3 5 циклов и зависит от величины заданной невязки.
Следует отметить,что поправки касательной податливости в точках проскальзывания и модули деформаций в сечениях витков определяются по напряженному состоянию,полученному путем сложения решений всех предыдущих и рассматриваемого шагов нагружения.
При задании в исходных данных ї 0 или 4k 0 используются алгоритмы п.1.6 или п.1.7. На первом этапе решения задачи получается напряженно-деформированное состояние системы соответствующее начальному этапу создания оболочки с предварительным натягом или опрессовкой навивки без снятия давления на барабане наматывающего устройства. Такое напряженное состояние запоминается во вторых столбцах массивов TAX/, TN , PN , "U и используется при определении остаточного напряженного состояния оболочки после снятия давления на барабане.
