Содержание к диссертации
Введение
1 Напряженно - деформированное состояние сферической оболочки при осесимметричной краевой нагрузке . 18
1.1 Осесимметричный изгиб сферической оболочки. Уравнения равновесия 18
1.2 Функции Лежандра и их асимптотические приближения 22
1.3 Асимптотическое решение 25
1.4 О комплексном преобразовании уравнений равновесия 27
1.5 Моделирование циркляжа как краевой нагрузки. Постановка задачи. Основные уравнения 28
1.6 Циркляж по экватору. 33
1.7 Циркляж в плоскости, параллельной экватору . 38
2 Контактное взаимодействие сферической оболочки с абсолютно жестким и упругим кольцом . 42
2.1 Постановка одномерных контактных задач теории оболочек. 42
2.2 Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом 45
2.3 Контакт сферической оболочки с упругим кольцом 57
2.4 Результаты и выводы 64
3 Контактное взаимодействие сферической оболочки с абсолютно жестким эллипсоидальным штампом. 65
4 Конструирование упругого потенциала склеральной ткани. 73
4.1 О нелинейности физических свойств склеры 73
4.2 Нелинейная модель оболочки глаза 73
4.3 Симметричное двухосное растяжение при малых деформациях 76
4.4 Одноосное растяжение при больших деформациях 79
4.5 Результаты и выводы 85
Литература
- Функции Лежандра и их асимптотические приближения
- Циркляж в плоскости, параллельной экватору
- Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом
- О нелинейности физических свойств склеры
Введение к работе
Актуальность исследования.
В данном исследовании обсуждаются некоторые задачи теории оболочек в приложении к определению напряженно-деформированного состояния глаза при хирургических операциях по лечению отслоек сетчатки.
Отслойка сетчатки является тяжелой патологией и нередко приводит к значительному снижению зрения и слепоте. По некоторым оценкам, среди причин инвалидности по зрению отслойка сетчатки составляет до 9%, причем 84% страдающих этим недугом - лица трудоспособного возраста. Основная причина возникновения отслойки - разрыв сетчатки с последующим проникновением под нее жидкости. В 1953 г. E.Custodis предложил пломбировать зону разрыва сетчатки с помощью экстрасклеральных имплантатов, позже стали применять круговое сдавливание - циркляж. С тех пор методы хирургического лечения постоянно совершенствуются, для изготовления имплантатов применяются различные материалы.
Применение методов механики для изучения напряженно-деформированного состояния глаза при экстрасклеральных методах лечения позволяет оценить риск и причины возможных послеоперационных осложнений, эффективность применения имплантатов различной формы и с различными механическими характеристиками.
Исследования механических свойств тканей глаза позволяют усовершенствовать методы расчета глазной оболочки при различных нагрузках, а развитие методов прижизненной оценки биомеханического статуса глазной оболочки делает перспективу внедрения результатов расчетов в клиническую практику вполне реальной.
Структура глаза.
Глаз человека представляет собой сложную биомеханическую структуру. Оболочка глаза (Рис. 1 ) состоит из трех основных слоев переменной толщины: корнеосклеральной оболочки (склеры, сопряженной с роговицей), сосудистой оболочки и сетчатки. Сетчатая оболочка, в свою очередь, также представляет собой многослойную (до 10 слоев) оболочку. Кроме того, к склеральной оболочке присоединены глазодвигательные мышцы и оптический нерв. Внутриглазная структура также сложна: она состоит из цилиарного тела, хрусталика, стекловидного тела, внутриглазной жидкости и др.
оптический внутричерепная
нерв полость
Рис. 1. Сечение глазного яблока.
Склера вместе с роговицей являются самыми жесткими оболочками глаза и выполняют каркасную функцию. Б.А.Зиминым в лаборатории прочности полимеров НИИ математики и механики СПбГУ были проведены эксперименты по определению модуля Юнга склеральной ткани человека [12], на образцах, вырезанных в экваториальной области в меридиональном направлении. Максимальный срок хранения ткани с момента энуклеации не превышал 3 часов. Испытания проводились в условиях одноосного растяжения. Результаты вычисляли, как средние арифметические не менее, чем по восьми образцам. Были получены следующие значения: модуль Юнга склеры Е = 14.3 МПа, условный предел прочности на растяжение — 4.3 МПа, предел прочности при сдвиге — 2.2 МПа, коэффициент Пуассона /і = 0.4 ~ 0.45. Данные параметры используются в дальнейших расчетах.
По данным J. Battaglioli, R. Kamm [90] величина модуля Юнга может изменяться в пределах 107 - 109 дин/см2 (1 - 100 МПа). Согласно исследованиям Е. Н. Иомдиной [47], величина Е, а также предел прочности, меняются не только по областям склеральной оболочки, но и в зависимости от возраста в диапазоне 5.0 — 40.0 МПа, причем модуль упругости склеры в передней области выше, чем в области заднего полюса глаза. Аналогичный возрастной разброс этого параметра, 53 — 208 кГ/см2 (5.2 — 20.4 МПа) отмечается в работе A. Arciniegas с соавт. [88], а также Д. Ф. Иванова, Е. Э. Кагана [46], которые обнаружили весьма существенную разницу в механической прочности склеры новорожденных и взрослых в переднем сегменте 2.6 кГ/мм2(25.5 МПа) и 3.1 кГ/мм2 (30.4 МПа) и в области заднего полюса глаза 0.246 кГ/мм2 (2.4 МПа) и 0.552 кГ/мм2(5.4 МПа). Т. Friberg, J. Lace [108] приводят более узкие пределы изменений модуля упругости - 1.8 — 2.9 МПа.
Эти и другие исследования [1] - [4], [76, 77,102,103,111, 121,135,151] показали, что склера характеризуется выраженной неоднородностью ме-
ханических свойств. Также имеются данные и об анизотропии склеры, так, например в [47], отношение меридионального модуля упругости к модулю Юнга в направлении параллелей в норме составляет 1.1, а при миопии достигает 1.5, а величина радиального модуля упругости на два порядка меньше, чем меридионального и поперечного [48, 90].
Сосудистая оболочка (хориоидея) обеспечивает кровоснабжение глаза и принимает участие в механизме аккомодации [101, 112, 142]. Во время аккомодации хориоидея способна сдвигаться на расстояние до 0.3 мм [146]. Благодаря изменению своей толщины, хориоидея может изменять рефракцию глаза, сдвигая сетчатку вперед или назад [144,145]. Возможно, хориоидея участвует также в механизме регуляции оттока водянистой влаги, и, следовательно, внутриглазного давления (ВГД) [130]. Модуль упругости этой ткани выше в меридиональном направлении (477.2 кПа), чем в экваториальном (193.1 кПа) [128]. Исследования, проведенные J. Saulgozis et al. [132,133], выявили, что при одноосном нагружении цилиарная мышца и хориоидея здоровых глаз человека характеризуются нелинейной зависимостью между напряжением и деформацией. При увеличении нагрузки жесткость ткани возрастает, при этом максимальный тангенциальный модуль упругости изменяется в среднем от 519.6 кПа до 555.3 кПа. В целом сосудистая оболочка, как и склера, характеризуется в норме неоднородностью механических свойств, поскольку биомеханические показатели различных ее участков (в частности, зоны цилиарного тела и области заднего полюса глаза) существенно отличаются друг от друга.
Сетчатка - мягкая оболочка, состоящая из зрительных клеток, она плотно соединена с сосудистой оболочкой у диска зрительного нерва и у зубчатой линии. К сожалению, в медицинской литературе отсутствуют сведения об ее механических характеристиках.
Внутри глаз заполнен, в основном, стекловидным телом, которое пред-
ставляет собой оформленный гель. В некоторых источниках, например в [40], упоминается, что поскольку стекловидное тело состоит в основном из воды, то можно считать его практически несжимаемым. Отслойка сетчатки и методы ее лечения.
Отслойка сетчатки - это такое патологическое состояние, при котором сетчатка теряет контакт с сосудистой оболочкой и отходит от нее. Основными факторами, вызывающими отслойку, являются травмы глаза, в том числе и хирургические, образование задней отслойки стекловидного тела (например, при падении, ушибах головы, поднятии тяжести), воспаление сосудистого тракта. Ведущим механизмом в развитии отслойки является образование разрыва сетчатки с последующим проникновением под нее жидкости (Рис. 2 ).
тт Разрыв сетчатки
Проникновение г г
жидкости ^-ч. ^V^Mfc^S. Отслойка сетчатки
Рис. 2. Отслойка сетчатки.
Подавляющее большинство отслоек сетчатки в случае ее неполного прилегания подлежат хирургическому лечению с вдавлением оболочек в области разрыва с помощью пломбы, с эвакуацией жидкости [7, 98, 115, 134] или без пункции [120,122,147]. Данный метод называется склеральным пломбированием.
Основная идея склерального пломбирования — закрыть разрыв сетчатки, сближая сосудистую оболочку с отслоенной частью сетчатки в зоне разрыва. Однако это слишком упрощенное объяснение механиз-
ма склерального пломбирования. В механизме прилегания играют роль уменьшение объема глаза, снижение подвижности стекловидного тела, не исключена также возможность "внутреннего" пломбирования, т.е. сближение сетчатки в зоне разрыва с корковым слоем стекловидного тела, имеющего малую проницаемость для жидкостей.
Величина пломбы определяется размерами разрыва или расстоянием между разрывами в случае их множественнсти. Вал вдавлення должен быть шире зоны разрыва на 1,5 - 2 мм. Ширина вала вдавлення может быть изменена как увеличением размеров самой пломбы, так и совмещением двух и более пломб, а также растягиванием швами сегмента силиконовой губки по склере - "аппланирующее" пломбирование.
Для изготовления пломб используются различные биологические материалы [52, 54, 55, 84, 85].
Использование силиконовой резины в качестве материала для вдавлення оболочек глаза резко повысило эффективность хирургического лечения отслоек сетчатки. Преимуществами силиконовых имплантатов являются их эластичность, простота стерилизации, нетоксичность, отсутствие антигенных свойств, легкость моделирования во время операции [72,97,99]. Преимущества силиконовых имплантатов перед всеми остальными стали наиболее очевидны после введения Lincoff [97, 123, 148] губчатых материалов (силиконовые губки). Эластичность губок практически исключает некроз склеры, и даже в случае выраженного вдавлення наблюдается незначительное истончение склеры.
Самостоятельное локальное пломбирование проводят, в основном, при единичных разрывах с хорошим контактом сетчатки с валом вдавлення в области разрыва. Во всех остальных случаях рекомендуется накладывать дополнительно циркляжную нить.
Круговое вдавление, или так называемый циркляж, который появился исторически позже локального пломбирования и был введен в практи-
ку двумя выдающимися офтальмологами (Скепенсом - вдавление полиэтиленовой трубкой - 1954 г. и Арруга - с использованием циркулярного шва на склеру - 1958 г.), занимает особое место среди способов пломбирования. Операция стала очень популярна не только из-за способности закрывать множественные разрывы, но и из-за относительной легкости выполнения и обоснованности с точки зрения биомеханики глаза, так как круговое вдавление уменьшает подвижность стекловидного тела в плоскости вдавлення за счет уменьшения диаметра глазного яблока в этом месте [84, 99J.
Циркляж с применением силиконовых эластичных имплантатов обыч
но проводится силиконовой лентой (Рис. 3 ), или полуцилиндрическим
сегментом трубки, образующимся при рассечении вдоль пористого сили-
конового жгута (Рис. 4 ).
Рис. 3. Циркляж силиконовой лентой.
Расчет укорочения ленты обычно проводят по известным методикам [37, 71], учитывая растяжимость ленты под влиянием внутриглазного давления.
Рис. 4. Циркулярное "аппланирующее" пломбирование склеры.
Также важную роль в проведении таких операций играет изменение объема внутриглазной среды, и, как следствие, изменение внутриглазного давления(ВГД). Изменение внутриглазного объема происходит из-за деформации глаза вследствие наложения циркляжной ленты или пломбы, и из-за удаления субретинальной жидкости.
Иногда, особенно при тотальных отслойках сетчатки, в полость глаза вводят газы или физиологические растворы, частично или полностью замещая ими стекловидное тело. Введение газа или жидкости обычно заканчивают когда ВГД повышается до 35 мм.рт.ст. [81], но если в зоне операции были повреждены кровеносные сосуды, то для того, чтобы кровь не затекала вовнутрь глаза, введение продолжают пока ВГД не достигнет 50 мм.рт.ст. [45]. Такой способ проведения операции называется операцией "на сухом глазу".
Чрезмерное затягивание циркляжной ленты или швов над пломбой является одним из важнейших факторов, вызывающих операционные и послеоперационные осложнения в хирургии отслойки сетчатки [7, 40, 53, 83, 86, 100, 136] :
- выпадение через разрезы в склере стекловидного тела, при этом прорываются также сосудистая оболочка и сетчатка;
чрезмерное повышение внутриглазного давления;
синдром сдавления, возникающий при пережатии цилиарных артерий или вортикозных вен;
продавливание циркляжной ленты или пломбы сквозь склеру в полость глаза — синдром "бельевой веревки";
отслойка сосудистой оболочки;
потеря устойчивости формы, возникновение дополнительных складок;
Математическое моделирование операций по лечению отслоек сетчатки.
Математическое моделирование операций по лечению отслоек сетчатки, направленное на определение напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, позоляет оценить риск возникновения осложнений и играет важную роль при определении показаний к таким хирургическим вмешательствам.
Проблема построения математической модели операции, вероятно, впервые была поставлена офтальмохирургами А.Б. Качановым и В.В. Волковым, в результате совместного сотрудничества с которыми в 1991 г. была предложена первая простейшая модель операции [12]. В этой работе оболочка глаза рассматривается как тонкая однослойная изотропная сферическая оболочка постоянной толщины. Циркляж моделируется как краевая нагрузка, приложенная по экватору. В работе [57] результаты были обобщены на случай циркляжа в плоскости, параллельной экватору. При расчете оболочки были использованы решения линейной теории тонких оболочек В.В.Новожилова [69]. Уравнение состояния внутриглазной среды (зависимость между давлением и объемом) было принято в виде pV = const, что, однако не вполне адекватно соответствует несжимаемости стекловидного тела.
Дальнейшим развитием моделирования склеропластических
операций занимались Товстик П.Е., Бауэр СМ., Павилайнен В.Я., Мишина Э.Н., Кныш Т.П., Зимин Б.А.
В работе Т.П. Кныш [50] применялся простейший вариант геометрически нелинейной теории для заданного распределения циркляжной нагрузки. В работах Э.Н.Мишиной [64, 65], С.М.Бауэр и П.Е.Товстика [13] - [21], [24, 26], [91] - [94], [96], [119] были проведены расчеты с использованием решения уравнения нелинейного краевого эффекта [82, 42], асимптотических методов [25], по геометрически нелинейной теории [39], по линейной анизотропной теории [75], по трехмерной теории упругости [56], также, в диссертации Э.Н.Мишиной [65] приведены расчеты с учетом ор-тотропии и асферичности оболочки. Кроме того, был решен и ряд смежных задач: об отслойке сосудистой оболочки, об устойчивости облочки при циркляжной нагрузке [18]. Напряженно-деформированное состояние оболочки с учетом переменной толщины было исследовано в работе [80].
В [65] рассматривается случай наложения под лентой жесткой пломбы цилиндрической формы, расположенной симметрично относительно экватора. Определение взаимодействия между штампом и оболочкой проводится в предположении о симметрии соответствующих контактных напряжений относительно оси штампа при неизвестной функции распределения. Впоследствии, предлагается итерационный алгоритм для определения распределения контактных напряжений.
Очевидно, что более точное моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза нужно проводить на основе рассмотрения нелинейной динамики многослойных анизотропных оболочек и при этом учитывать такие факторы, как сопряжение склеры с роговицей, взаимодействие оболочки не только с нитью или пломбой, но и с внешними тканями и внутриглазной средой, приток и отток внутриглазной жидкости и др. Также важную роль в этом вопросе играет точное опре-
деление геометрии оболочек и их механических свойств.
Однако, поскольку многие аспекты биомеханики глаза еще недостаточно изучены, для определения наиболее важных факторов, влияющих на количественное описание напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, целесообразно использовать простейшую модель - изотропную упругую тонкостенную сферическую оболочку постоянной толщины. Применение линейной теории для расчета оболочки, несмотря на относительно большую погрешность для толстых оболочек и оболочек средней толщины, также представляется оправданным, поскольку линейная теория позволяет получить замкнутое аналитическое решение, удобное для последующего анализа.
Целью данной работы является построение моделей противоотслоечных операций, таких как циркляж и локальное пломбирование; исследование нелинейности физических свойств склеральной ткани. Обьем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая и вторая главы посвящены моделированию циркляжа, а третья — моделированию локального пломбирования. В заключительной, четвертой главе обсуждается вопрос о физической нелинейности склеральной ткани.
В первой главе циркляж рассматривается как краевая нагрузка, наложенная по параллели на основное безмоментное состояние оболочки глаза, обусловленное действием ВГД. Выведены уравнения равновесия непологой изотропной сферической оболочки в перемещениях для осесимметричной нагрузки. Приведено асимптотическое приближение функций Лежандра, являющихся точным решением уравнений равновесия. Найденное асимптотическое решение совпадает с решением В.В. Новожилова [69], полученного интегрированием уравнений второго порядка в комплексных усилиях, при этом уточнено значение тангенциального перемещения, влияющего в большой степени на вычисление объе-
ма оболочки. Приведен сравнительный анализ численных результатов с результатами, полученными другими авторами. Отмечено, что ширина ленты является важным фактором, существенно влияющим на результаты.
Во второй главе рассматриваются контактные задачи, возникающие при моделировании циркляжа. Предполагая, что напряжения и перемещения оболочки в окрестности циркляжной ленты являются быстро изменяющимися функциями одной из координат, рассматривается постановка контактной задачи с использованием уравнений пологих оболочек; циркляжная лента моделируется как абсолютно жесткое цилиндрическое или тороидальное кольцо. Найдено асимптотическое приближение функции Грина, и асимптотическое решение контактной задачи. Полученные при этом уравнения совпадают с уравнениями, описывающими контакт бесконечной цилиндрической оболочки с жесткой насадкой [10]. Рассмотрен также контакт двух оболочек, моделирующий циркляж упругой силиконовой лентой.
В третьей главе рассмотрена задача об одномерном контакте оболочки и жесткого штампа, имеющего форму эллипсоида. Данная задача моделирует случай эписклерального пломбирования. Получено распределение контактных напряжений.
В четвертой главе рассмотрена задача конструирования нелинейного упругого потенциала склеральной ткани. Склера рассматривается как трансверсалыго-изотропная несжимаемая оболочка, деформационное изменение площади срединной поверхности которой мало. Для получения функции и констант упругого потенциала используется эмпирическая зависимость. Положения, выносимые на защиту:
1. Построен ряд математических моделей, описывающих некоторые варианты эписклеральной противоотслоечной операции — циркляжа. Мо-
дели позволяют описать напряженно - деформированное состояние оболочки глаза для случая, когда циркляж выполнен в "обычном" варианте (когда известен обьем внутриглазной жидкости) или осуществляется на "сухом глазу", то есть с откачкой внутриглазной жидкости и поддержанием постоянного внутриглазного давления.
Построены решения контактных задач, уточняющие модели цирк-ляжа.
Построена математическая модель локального пломбирования глаза.
Предложен способ построения нелинейного упругого потенциала склеральной ткани с использованием эмпирической зависимости. Апробация работы.
Результаты, постановка и методы решения задач обсуждались на семинарах кафедр теоретической и прикладной механики и гидроупругости мат-мех ф-та СПбГУ,
на конференции молодых ученых мех-мат ф-та МГУ (Москва, 1994), на II, III и V Всеросийских конференциях по биомеханике (Нижний Новгород, 1994, 1996, 2000),
на Всероссийской научной конференции "Первые Поляховские чтения" (СПб., 1997),
на XIII Международном конгрессе исследователей глаза (Париж, 1998), на II семинаре по биомеханике глаза в Московском НИИ глазных болезней им. Гельмгольца (Москва, 2001 г.),
на XIII Европейской конференции по биомеханике (Вроцлав, 2002), на объединенном семинаре СПбГУ и ПГУПС "Компьютерные методы в механике сплошной среды" (СПб, 2006). Список публикаций.
Основные результаты диссертации опубликованы в статьях и тезисах докладов [12, 22, 23, 28], [57] - [63], [89, 95, 127]. В статье [12] автором по-
лучены численные результаты. Экспериментальные данные, используемые в работах, получены Б.А.Зиминым. В совместных работах [12, 60, 89] медицинские аспекты изучаемых проблем представлены врачами - офтальмологами В.В. Волковым, А.Б. Качановым, О.В. Светловой, Л.В. Багровой; постановка задач в работах [58, 59, 127] принадлежит Семенову Б.Н., в работах [22, 23, 28, 95] - Бауэр СМ.
Модели, представленные в работах [12, 58, 59] также вошли в учебные пособия по математическому моделированию в биомеханике [27, 31] и в монографии [18, 30].
Результаты работ [22, 57] включены в книгу [29].
Функции Лежандра и их асимптотические приближения
В работе Т.П. Кныш [50] применялся простейший вариант геометрически нелинейной теории для заданного распределения циркляжной нагрузки. В работах Э.Н.Мишиной [64, 65], С.М.Бауэр и П.Е.Товстика [13] - [21], [24, 26], [91] - [94], [96], [119] были проведены расчеты с использованием решения уравнения нелинейного краевого эффекта [82, 42], асимптотических методов [25], по геометрически нелинейной теории [39], по линейной анизотропной теории [75], по трехмерной теории упругости [56], также, в диссертации Э.Н.Мишиной [65] приведены расчеты с учетом ор-тотропии и асферичности оболочки. Кроме того, был решен и ряд смежных задач: об отслойке сосудистой оболочки, об устойчивости облочки при циркляжной нагрузке [18]. Напряженно-деформированное состояние оболочки с учетом переменной толщины было исследовано в работе [80].
В [65] рассматривается случай наложения под лентой жесткой пломбы цилиндрической формы, расположенной симметрично относительно экватора. Определение взаимодействия между штампом и оболочкой проводится в предположении о симметрии соответствующих контактных напряжений относительно оси штампа при неизвестной функции распределения. Впоследствии, предлагается итерационный алгоритм для определения распределения контактных напряжений.
Очевидно, что более точное моделирование напряженно-деформированного состояния оболочки глаза нужно проводить на основе рассмотрения нелинейной динамики многослойных анизотропных оболочек и при этом учитывать такие факторы, как сопряжение склеры с роговицей, взаимодействие оболочки не только с нитью или пломбой, но и с внешними тканями и внутриглазной средой, приток и отток внутриглазной жидкости и др. Также важную роль в этом вопросе играет точное определение геометрии оболочек и их механических свойств.
Однако, поскольку многие аспекты биомеханики глаза еще недостаточно изучены, для определения наиболее важных факторов, влияющих на количественное описание напряженно-деформированного состояния оболочки глаза, целесообразно использовать простейшую модель - изотропную упругую тонкостенную сферическую оболочку постоянной толщины. Применение линейной теории для расчета оболочки, несмотря на относительно большую погрешность для толстых оболочек и оболочек средней толщины, также представляется оправданным, поскольку линейная теория позволяет получить замкнутое аналитическое решение, удобное для последующего анализа.
Целью данной работы является построение моделей противоотслоечных операций, таких как циркляж и локальное пломбирование; исследование нелинейности физических свойств склеральной ткани. Обьем и структура диссертации.
Диссертация состоит из введения и четырех глав. Первая и вторая главы посвящены моделированию циркляжа, а третья — моделированию локального пломбирования. В заключительной, четвертой главе обсуждается вопрос о физической нелинейности склеральной ткани.
В первой главе циркляж рассматривается как краевая нагрузка, наложенная по параллели на основное безмоментное состояние оболочки глаза, обусловленное действием ВГД. Выведены уравнения равновесия непологой изотропной сферической оболочки в перемещениях для осесимметричной нагрузки. Приведено асимптотическое приближение функций Лежандра, являющихся точным решением уравнений равновесия. Найденное асимптотическое решение совпадает с решением В.В. Новожилова [69], полученного интегрированием уравнений второго порядка в комплексных усилиях, при этом уточнено значение тангенциального перемещения, влияющего в большой степени на вычисление объема оболочки. Приведен сравнительный анализ численных результатов с результатами, полученными другими авторами. Отмечено, что ширина ленты является важным фактором, существенно влияющим на результаты.
Во второй главе рассматриваются контактные задачи, возникающие при моделировании циркляжа. Предполагая, что напряжения и перемещения оболочки в окрестности циркляжной ленты являются быстро изменяющимися функциями одной из координат, рассматривается постановка контактной задачи с использованием уравнений пологих оболочек; циркляжная лента моделируется как абсолютно жесткое цилиндрическое или тороидальное кольцо. Найдено асимптотическое приближение функции Грина, и асимптотическое решение контактной задачи. Полученные при этом уравнения совпадают с уравнениями, описывающими контакт бесконечной цилиндрической оболочки с жесткой насадкой [10]. Рассмотрен также контакт двух оболочек, моделирующий циркляж упругой силиконовой лентой.
Циркляж в плоскости, параллельной экватору
При этом результаты, расчитанные по линейной модели и с использованием уравнения нелинейного краевого эффекта различаются на 6-8%.
В современной хирургии отслоек сетчатки нерастяжимые нити уже практически не используются, поскольку риск прорезывания склеры и других осложнений при их использовании выше чем при применении растяжимых лент.
Циркляж растяжимой лентой. При циркляже силиконовой лентой шириной Н = 2.5 мм, если известно значение V\, величина А определяется из соотношений остальные параметры нетрудно получить по формулам (1.25), а их значения приведены в таблице 3 при толщине ленты hc = 0.6 мм, Sc = Н hc, Vi = 0. В скобках указаны данные, полученные С.М.Бауэр [18, 26] при интегрировании уравнения нелинейного краевого эффекта.
Удлинение передне-задней оси и давление, полученные по линейной модели практически совпадают с результатами, приведенными в монографии [18] и полученными по уравнению нелинейного краевого эффекта и уравнениям трехмерной теории упругости. Разница в определении величины прогиба обьяспяется прежде всего тем, что модель циркляжа как краевой нагрузки не учитывает ширину ленты.
Линеаризованное соотношение для определения максимального значения обьема удаленной внутриглазной жидкости, при котором ВГД в деформированной оболочке будет совпадать с начальным значением ВГД, имеет вид Результаты, расчитанные по линейной модели и с использованием уравнения нелинейного краевого эффекта различаются на 4-6%.
Линейная модель циркляжа как краевой нагрузки позволяет получить соотношения, характеризующие удлинение передне-задней оси, изменение ВГД и вала вдавлення - основных величин используемых при контроле проведения операций, дает результаты сопоставимые с результатами полученными по другим теориям, и соответствующие данным клинической практики, описанным в пособиях [45, 87].
Толщина оболочки глаза - переменная величина, и в среднем увеличивается от зрачка к зрительному нерву, а модуль Юнга уменьшается [48]. Для получения точного решения переменные параметры следует включать в дифференциальные операторы уравнений равновесия [82]. Однако, поскольку закон распределения параметров по меридиану неизвестен, можно построить лишь приближенное решение. Так как моментные деформации локализованы в малой окрестности во, можно учесть изменение толщины оболочки глаза, расчитывая безмоментное состояние для средней толщины h по формулам (1.20), а моментное - для ho - толщины оболочки в плоскости во, используя соотношения (1.18); будем считать при этом, что модуль Юнга не меняется.
Как видно из таблицы, при смещении циркляжа в сторону зрачка и уменьшении толщины оболочки, вал вдавлення, удлинение передне-задней оси и давление увеличиваются. Значения величин при смещении циркляжа в сторону заднего полюса оказываются весьма близки значениям при циркляже по экватору.
На представленных ниже рисунках показаны распределения прогиба и тангенциального перемещения, распределения напряжений на лицевых поверхностях оболочки при циркляже нерастяжимой нитью.
Рассмотрим осесимметричное обжатие оболочки глаза циркляжным кольцом (рис. 14). В силу осевой симметрии напряженно-деформированные состояния оболочки и кольца будут зависеть только от координаты 9. Найдем распределение контактного напряжения а(в).
Наиболее простой и физически непротиворечивый способ постановки одномерных контактных задач теории оболочек состоит в уравнивании смещений контактируемых тел с учетом сжатия их по нормали [8, 9, 10, 33, 73, 74]. Выполняя условия контакта по равенству прогибов контактируемых объектов, получим следующее интегральное уравнение Фредгольма второго рода («і + а2Нв) + / (Gi (в, 0 + G2 (Є, fl)
Контакт сферической оболочки с абсолютно жестким кольцом
На рисунке 23 показано распределение контактной нагрузки для упругого силиконового кольца толщиной /i2 = 0.6 мм, шириной Н = 2.5 мм, радиусом RK : 11.5 мм (кривая 1); 11.0 мм (кривая 2); 10.5 мм (кривая 3); 10.0 мм (кривая 4); 9.5 мм (кривая 5); граница области контакта = arctg ( —-), внутреннее давление отсутствует р = 0.
Как видно из рисунка, характер распределения напряжений аналогичен случаю обжатия жестким цилиндрическим кольцом (рис. 17): середина оболочки загружена небольшим контактным давлением, максимальное контактное напряжение достигается на кромке кольца и растет по мере уменьшения радиуса кольца. При этом зона отрыва появляется при RK № мм, а максимальные значения напряжений на границе зоны контакта оказываются существенно меньше.
На рисунке 24 представлено изменение контактной нагрузки для кольца радиусом RK = 11.5 мм при повышении давления, кривая 1 построена при р = 0, кривая 2 - при р = 70 мм.рт.ст. Изменение давления в физиологическом диапазоне (10 - 70 мм.рт.ст.) не оказывает существенного влияния на распределение контактной нагрузки. При уменьшении радиуса кольца кривые, соответствующие различным значениям давления в указанном диапазоне, практически совпадают.
Рассчитаны распределения контактных напряжений при обжатии сферической оболочки абсолютно жесткими цилиндрическим и тороидальным кольцами, и упругой лентой. Для жесткого цилиндрического и упругого колец максимальные напряжения концентрируются на кромках кольца. В случае обжатия тороидальным кольцом максимум напряжений смещается от центра кольца к границам области контакта по мере уменьшения радиуса кольца.
Пережатие волокон склеры в областях максимума контактной нагрузки при чрезмерном затягивании циркляжного кольца по видимому является основной причиной изменения оптических свойств склеральной ткани, ее "помутнения" — так называемого синдрома "бельевой веревки".
Применение упругих имплантатов и жгутов позволяет перераспределить нагрузку и существенно уменьшить максимальные значения напряжений, тем самым снизить риск пережатия волокон и их прорезывания.
Одним из способов лечения отслоения сетчатки глаза является пришивание к склере пломбы. В этом случае наружные слои оболочки глаза продавливаются вовнутрь до совмещения их с отслоившейся сетчаткой. Материал пломбы жестче материала оболочки глаза, слоистой структурой которой можно в первом приближении пренебречь и считать ее однородной по толщине. Пломба обычно пришивается П-образными швами. Будем считать, что их расположение таково, что усилие У, возникающее при затягивании швов, распределено равномерно по параллели в = 0о(рис.25).
Ограничимся случаем, когда пломба представляет из себя осесим-метричный абсолютно жесткий штамп гладкой формы [58, 59]. Сила Р, приложенная к штампу, компенсируется усилием Y. Слизистая оболочка глаза рассматривается как тонкий слой смазки, поэтому касательными напряжениями в зоне контакта можно пренебречь. Кроме того предполагаем, что расстояние от параллели крепления до оси симметрии и размер зоны контакта малы по сравнению с радиусом оболочки. Поэтому, разделив оболочку по параллели 9 = во на две, будем считать оболочку 1 пологой (рис.25).
О нелинейности физических свойств склеры
Симметричное двухосное растяжение рассматриваемой оболочки происходит при повышении внутреннего давления. В офтальмологической литературе величину, связывающую изменение внутриглазного давления (ВГД) с соответствующим ему изменением объема глазного яблока, принято называть коэффициентом ригидности (КР) глаза. Friedenwald [109] предложил для вычисления КР формулу, определяющую изменение ВГД как показательную функцию от изменений обьема глаза или, для бесконечно малых Ар, AV,
В дальнейшем был предложен ряд соотношений [114, 125, 137, 143], а McEwen и St.Helen [126] предложили унифицированную формулу для человеческих, кошачьих и кроличьих глаз. Для глаза человека, а = 0.015 - 0.027мм"3 и Ь = 0.03 - 0.31 мм.рт.ст./мм3 (4.0 - 41.36Па/мм3). Данные исследования подтверждаются и другими результатами, = 0.016;? + 0.13, [152]; - = 0.02р + 0.24, [113].
Экспериментально установлено наличие четкой отрицательной корреляции между КР и объемом глаза [5]. Связь же КР с механическими показателями склеры оказалась слабой и статистически незначимой вследствие высокой погрешности измерения КР, а также потому, что на его величину, помимо биомеханических свойств корнеосклеральной капсулы, оказывают влияние размеры глаза, уровень внутриглазного давления и реакция внутриглазных сосудов [5, 66, 106]. Несмотря на вышеуказанные ограничения, измерение ригидности в течение длительного времени оставалось практически единственным (хотя и косвенным) методом исследования биомеханических характеристик склеральной капсулы в клинических условиях.
Как использование самого термина "ригидность глаза", так и то, что это понятие основано исключительно на эмпирическом подходе вне связи с фундаментальными законами механики, было предметом критики некоторых ученых [117, 150]. Применение эмпирических зависимостей при построении напряженно-деформированного состояния оболочки глаза было рассмотрено в работе [131] на примере изотропной линейной сферической модели. Упрочнение материала оболочки при растяжении рассматривалось как изменяющийся модуль Юнга, а для построения зависимости изменения модуля Юнга от радиуса оболочки было использовано уравнение (4.2).
Следует иметь в виду, что эмпирическая зависимость (4.2) была получена при усреднении экспериментальных данных и поэтому не является "точной". Так, формула изменения объема, которая следует из (4.2) не зависит явно от размеров оболочки, что, в свою очередь, противоречит результатам других исследований. Таким образом, нужно подразумевать что коэффициенты a nb должны зависеть от размеров глазного яблока. Формула (4.2) была получена при изменении ВГД в физиологическом диапазоне - 10 -100 мм.рт.ст (0.013 - 0.133 МПа). Изменение объема при таких нагрузках составляет до 100 мм3, что соответствует изменению А до 1.005.
Данные биомеханических исследований склеральной ткани, подкрепленные результатами биохимических и морфологических исследований приведены в докторской диссертации Е.Н. Иомдиной [48].
Для определения механических характеристик склеральной ткани проводились испытания полосок шириной Ь = 4 мм и длиной а = 10 мм в режиме одноосного нагружения вплоть до разрыва. Кривую напряжение - деформация" [48] условно можно разделить на 3 участка.
Начальный нелинейный участок, на котором напряжение с увеличением деформации меняется по экспоненциальному закону (как считают некоторые исследователи 44, 112), соответствует физиологическому диапазону функционирования мягких биологических тканей. Как подчеркивает Е.Н. Иомдина [48], этот участок возникает не из-за неточности установки или проскальзывания образца в зажимах испытательной машины, а вследствие особенностей строения склеральной ткани, состоящей из переплетенных фибриллярных структур. Такой эффект значительных деформаций при небольших растягивающих напряжениях связан, по мнению Г. Бранкова [34], с распрямлением S-образных групп молекул. Чем выше степень извитости волокон, чем больше выражена хаотичность и рыхлость их взаиморасположения, тем протяженнее данный участок диаграммы. С увеличением степени деформации возможность смещения волокон относительно друг друга снижается, и на. про цесс макродеформации образца существенное влияние начинает оказывать деформация самих волокон склеры. Этот этап деформирования на диаграмме растяжения характеризуется линейным участком (1е). Как показывает эксперимент, в данной области нагрузок деформации склеральной ткани являются обратимыми, т.е. снятие нагрузки через некоторое время, сравнимое со временем растяжения, приводит склеру в исходное состояние. Необратимая деформация начинается в окрестности второй точки перехода, т.е. там, где с увеличением нагрузки начинается третий протяженный нелинейный участок диаграммы (1р). Затем, с увеличением деформации, в некоторой точке напряжение достигает максимума (Р ) и происходит разрыв структурных элементов. Для образцов, вырезанных из экваториальной области были получены следующие данные: величина предельной продольной деформации — 85.3 ± 5.8%, предел прочности и = 14.1 ± 0.9 МПа.
