Содержание к диссертации
Введение
І. Задачи моделирования конструкции рефлектора 20
1.1. Характеристика процессов деформирования трансформируемых конструкций рефлекторов 20
1.2. Декомпозиция сложной модели 28
1.3. Типы формулировок задач для моделирования конструкции 30
1.4. Кинематика деформирования односвязной области 34
1.5. Описание деформации и меры деформации 37
1.6. Силы внутренних напряжений 39
1.7. Лагранжевы формулировки слабой формы 40
1.8. Конечно-элементная дискретизация слабой формы 45
1.9. Типы постановок задач для моделирования рефлектора 47
2 Нелинейная конечно-элементная аппроксимация упругого движения тела 50
2.1. Дискретизация модифицируемой лагранжевой формулировки 50
2.2. Элементные координаты 56
2.3. Матрица масс 60
2.4. Матричная форма уравнений модифицируемой лагранжевой формулировки 61
2.5. Численное интегрирование 62
2.6. Уравнения полной лагранжевой формулировки 64
2.7. Дискретизация полной лагранжевой формулировки 66
З. Алгоритмы решения дискретной задачи 69
3.1. Формулировка задачи с начальными условиями 69
3.2. Алгоритм метода неявного интегрирования 70
3.3. Линеаризация дискретных уравнений 73
3.4. Матрицы тангенциальной жесткости 76
3.5. Алгоритмы решения дискретных уравнений 83
3.6. Критерии сходимости итерационных процедур 86
3.7. Автоматический контроль длины шага 88
3.8. Моделирование интерфейсов 89
3.9. Формирование многосвязной области 91
4. Размерно-редуцированные модели компонент рефлектора 95
4.1. Представление конечных поворотов 95
4.2. Модель мягкой оболочки зеркала рефлектора 99
4.3. Модель балки в трехмерном пространстве 113
5.Результаты численного моделирования 129
5.1. Крупногабаритный рефлектор как объект моделирования 129
5.2. Проектная геометрия офсетного рефлектора 130
5.3. Модель формообразующей структуры рефлектора 134
5.4. Модель силовой конструкции рефлектора 141
5.5. Реализации алгоритма отыскания равновесной конфигурации на модельных задачах 143
5.6. Определение монтажных напряжений в опорных сетях 148
5.7. Базовое напряженно-деформированное состояние рефлектора 163
Заключение 170
Список использованной литературы
- Кинематика деформирования односвязной области
- Матричная форма уравнений модифицируемой лагранжевой формулировки
- Линеаризация дискретных уравнений
- Модель мягкой оболочки зеркала рефлектора
Введение к работе
Прецизионные трансформируемые крупногабаритные конструкции
антенных рефлекторов становятся ключевыми компонентами технологии
современной спутниковой связи, однако их создание представляет собой
сложную техническую задачу. В ряде практических случаев гладкая
поверхность зеркала из тонкой металлической сетки аппроксимируется
предварительно-напряженной фермой из гибких элементов - тонких нитей,
Ь лент и т.п., обеспечивающих трансформируемость конструкции рефлектора -
его развертывание из сложенной конфигурации в рабочую.
Такая аппроксимация зеркала приводит к образованию фасетов (многоугольников) с криволинейными границами. Достижению высокого качества отражения электромагнитных волн от зеркала рефлектора препятствуют в первую очередь эффекты седлообразования формы отражающей сетки внутри границ фасетов, которые носят устойчивый характер и характеризуются как систематические отклонения поверхности, т.е. являются присущими самой природе конструкции рефлектора, и, следовательно, подлежат коррекции в процессе проектирования.
Обеспечение качества поверхности зеркала вместе с другими техническими требованиями требуют адекватного прогнозирования эксплуатационных характеристик конструкции рефлектора в силу того, что их экспериментальная отработка затруднительна. Механическое поведение полностью ассемблированной системы рефлектора невозможно спрогнозировать рассмотрением изолированного поведения отдельной ее компоненты, каждая из которых, физически представляет собой определенное объединение тел.
Целями работы настоящей работы являются:
1) разработка математической модели механического поведения крупногабаритного трансформируемого рефлектора на основе его
5 представления в виде совместной системы деформируемых твердых тел различной пространственной размерности;
разработка алгоритма пошагового расчета процесса деформирования конструкции рефлектора, включающего генерацию односвязных субдоменов размерно-редуцированных моделей конструктивных элементов рефлектора и их связывания в совместную систему;
исследование напряженно-деформированное состояние конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора при воздействии внутренних и внешних нагрузок;
определение формы зеркала крупногабаритного трансформируемого рефлектора для различных деформированных конфигураций конструкции
Формулировки задач механики деформируемого твердого тела для вантово-мембранных систем принято считать нелинейными, поскольку для гибких тел являются характерными малые удлинения и сдвиги, а также большие относительные повороты волокон материалов [1]. Наряду с учетом нелинейности геометрических соотношений, необходимо принимать во внимание и появляющиеся при этом нелинейности определяющих соотношений физического состояния материала. Кроме того, в нелинейных задачах текущая конфигурация системы не отождествляется с ее отсчетной конфигурацией.
В механике деформируемого твердого тела конструкция рассматривается как многосвязное сплошное тело, объединенное из отдельных односвязных областей. Характеристики деформирования многосвязного тела могут быть получены с помощью методов анализа односвязных тел (областей) [2,3]. Тогда вопросы, связанные с деформацией конструкции в целом, сводятся к определению внутренних сил, возникающих в интерфейсах компонент и точках закрепления конструкции.
Прогнозирование формы тонкой мембраны зеркала подкрепленной вантовой сетью формулируется как обратная задача механики деформируемого
твердого тела по отысканию равновесной формы тонкой напряженной мембраны в многосвязной системе. Эта задача эквивалентна отысканию минимальной поверхности [4]. С механической точки зрения, минимальные поверхности определяются изотропным полем напряжений. Математически эта задача формулируется как отыскание оптимального распределения поля перемещений тонкой мембраны при заданном распределении поля напряжений. Для технических приложений этот подход является более предпочтительным, поскольку он непосредственно формулируется в терминах напряжений, которые предопределяют конфигурацию мембранной конструкции.
При описании напряженного состояния гибких элементов в текущей конфигурации с помощью тензора напряжений Копій с возникают определенные сложности, связанные с отсутствием априорной информации об актуальной конфигурации. В связи с этим в механике деформируемого твердого тела используются альтернативные описания напряженного состояния с использованием отсчетной конфигурации [2,3,5-15], которая входит в число известных данных. В некоторых случаях это позволяет упростить постановки и решение нелинейных задач.
Традиционно различают два основных подхода к рассмотрению задач механики деформируемого твердого тела как сплошной среды: лагранжев и эйлеров [2,5-15]. Известным преимуществом лагранжевой формулировки является неизменность области изменения пространственных переменных. В таких задачах также крайне необходимой является информация о деформированной конфигурации. При этом уравнения движения являются обычно нелинейными.
Промежуточное положение между двумя приведенными типами подходов занимает текущая лагранжева формулировка [5], которая является непосредственным развитием аналогичных подходов в теории малых деформаций.
Для данной формулировки характерным является:
разбиение всего интервала нагружения на ряд достаточно малых этапов по некоторому параметру нагружения (например, времени);
в начале каждого этапа конфигурация считается известной;
для каждого этапа система уравнений записывается однотипно;
отсчетная конфигурация известна в начале каждого этапа.
Мерой скорости изменения напряженного состояния является субстанциональная (материальная) производная о-тензора напряжений Коши [5,6], которая не удовлетворяет свойству индифферентности (хотя сам тензор Коши а является индифферентным). Поэтому непосредственное использование д в определяющих соотношениях может привести к нереалистичному описанию поведения среды вследствие зависимости параметров состояния среды от движения ее как жесткого целого. В связи с этим в геометрически нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела широко применяются относительные скорости изменения тензоров напряжений, которые позволяют исключить изменение последних вследствие движения среды как жесткого целого.
В качестве относительных скоростей могут использоваться коротационные производные. Не единственность представления движения сплошной среды совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения порождает разнообразие коротационных производных.
В терминах скорости изменения тензора напряжений Коши а уравнение равновесия занимает одно из центральных мест в общей скоростной постановке начально-краевой (нестационарной) задачи конструкции. Решение задачи в нестационарной постановке, по сути, сводится к отысканию вектор-функции скорости v(t) точек среды, а вектор перемещений u(t) и тензор напряжений
Обычно, вектор перемещений u(t) отсчитывается от положения, в котором материал исследуемой области находится в естественном
(ненапряженном и недеформированном) состоянии. Если момент времени t = О соответствует естественному состоянию, то и0 = 0, (т0 = 0. Данная постановка позволяет формулировать задачи, в которых состояния материала могут отличаться от естественного, т.е. и0 Ф 0, а0 Ф 0 в момент времени t = 0, которые имеют место во многих технологических процессах [5,14,15].
Альтернативной к приведенной выше является постановка нестационарной задачи процесса деформирования конструкции в терминах тензоров напряжений, деформаций и т.д., определяемых относительно отсчетной конфигурации [5,6,10-15]. Деформированная конфигурация тела определяется полем перемещений. Тогда задача состоит в определении полей перемещений, скоростей перемещений, тензоров напряжений и деформаций и их скоростей изменения, удовлетворяющих Mt є (0,оо) системе определяющих уравнений.
Получить классическое решение краевых задач в перечисленных выше общих формулировках в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим рассматривается обобщенное (слабое) решение задачи определения напряженно-деформированного состояния для различных постановок, упомянутых выше [5,6]. Для получения обобщенного решения широкое распространение получили вариационные принципы [2,5-16].
Обычно предполагается, что в обобщенном решении ряд уравнений выполняются точно, а остальные - в обобщенном смысле [5,6]. К числу точно выполняющихся соотношений обычно относят определяющие соотношения физического состояния материалов, меры деформаций, начальные и статические граничные условия. Граничные условия в скоростях удовлетворяются за счет выбора класса функций, на котором ищется решение. Уравнение сохранения количества движения (или статического равновесия) удовлетворяются в обобщенном (или слабом) смысле.
Для слабой формы различают два вида граничных условий, которые известны как существенные граничные условия (условия Дирихле) и естественные граничные условия (условия Неймана), естественным образом вовлекаемые в слабую форму [3,6]. Одним из преимуществ обобщенного
решения является понижение порядка входящих в него производных искомых функций [5,6]. Слабая форма в скоростной постановке использует интегралы по деформированной (текущей) конфигурации [5,6].
Для численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела исходят из линеаризации нелинейной слабой формы, а для решения линеаризованной задачи применяются численные методы, сводящие исходную задачу к системе алгебраических уравнений [5,6].
Исходным пунктом для приближенного решения краевых задач является дискретизация континуума, т.е. переход от бесконечного числа степеней свободы, которым он обладает, к конечному числу степеней свободы. В последнее время чрезвычайно широкое распространение в механике сплошной среды получил предложенный Р. Курантом метод конечных элементов, теоретические аспекты и вопросы реализации которого достаточно подробно изложены в монографиях, например, [2,6-10].
В настоящее время метод конечных элементов обладает весьма мощным программным обеспечением, ориентированным на решение сложных краевых задач механики деформируемого твердого тела; в данном случае он трактуется именно как специфический метод аппроксимации искомого решения кусочно-непрерывными функциями [6,7-10].
Если уравнения сохранения выразить в терминах лагранжевых мер напряжений и деформаций в отсчетной конфигурации, то такие формулировки в литературе по механике деформируемого твердого тела принято считать лагранжевыми, в то время как в литературе по конечным элементам такие формулировки считаются полными лагранжевыми формулировками [6].
В лагранжевых сетках узлы и элементы перемещаются вместе с материалом. Границы и интерфейсы совпадают с краями конечных элементов. Точки квадратуры конечных элементов также перемещаются с материалом, поэтому уравнения физического состояния материала всегда оцениваются в одних и тех же материальных точках. Конечно-элементные дискретизации на
10 основе лагранжевых сеток классифицируются на модифицируемую лагранжеву и полную лагранжеву формулировки [6].
В модифицируемой лагранжевой формулировке для слабой формы используются интегралы по деформированной (текущей) конфигурации, а производные берутся по пространственным (эйлеровым) координатам. Слабая форма использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях, условия внутренней непрерывности сил напряжений, которые составляют совместно обобщенный баланс количества движения в терминах текущей конфигурации деформируемого твердого тела. При этом, выражение для слабой формы будет соответствовать принципу виртуальной мощности [6,15].
В полной лагранжевой формулировке слабая форма использует интегралы по отсчетной (недеформированной) конфигурации и производные берутся по материальным координатам [6-9]. Слабая форма полной лагранжевой формулировки использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях и условия внутренней непрерывности в напряжениях, которые совместно выражают обобщенный баланс количества движения в терминах отсчетной конфигурации тела. Выражение для слабой формы соответствует принципу виртуальной работы.
С фундаментальной точки зрения модифицируемая и полная лагранжевы формулировки являются идентичными [6]. Каждая из формулировок может иметь преимущества для определенных уравнений физического состояния материала или нагружений за счет сокращения числа необходимых преобразований.
Для численного интегрирования по времени уравнений движения совместной системы обычно привлекается /3 -метод Ньюмарка [6]. В результате применения неявного метода интегрирования по времени получаются дискретные уравнения, которые являются нелинейными алгебраическими уравнениями, определяющие нестационарный отклик системы в дискретных точках временного интервала.
В связи с этим описание процедуры решения статических задач часто комбинируют с описанием неявных процедур решения динамических задач. При решении статической задачи внешние нагрузки и другие условия, рассматриваемые как функции времени в динамической задаче, получают приращения (инкременты) в квазивременном интервале, время при этом не имеет физического смысла и часто заменяется монотонно возрастающим параметром [6-10].
В такой постановке статический или квазистатический анализ совместной системы охватывается посредством псевдо-временного параметра эволюции системы. При этом, для квазистатического процесса стандартная задача с начальными условиями будет включать значения напряжений в точках интегрирования конечных элементов и перемещения на границах совместной системы, известных в некоторый начальный момент времени t = 0, определяющего начальную конфигурацию совместной системы.
Время в данном процессе установления статического равновесия представляет собой некий псевдо-временной параметр эволюции системы. Если при этом математическая модель используемых материалов не включает в себя зависимостей от скорости деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях.
В большинстве случаев начальная, отсчетная и недеформированная конфигурации совпадают. Здесь важно отметить, что при рассмотрении итерационного решения системы алгебраических уравнений конечно-элементной дискретизации отсчетная геометрия модели обычно выступает в качестве начального приближения к текущей конфигурации.
Во избежание сильных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечения сходимости алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений в общем случае многосвязную область разбивают на систему непересекающихся субдоменов (подобластей) [17]. По соображениям удобства и с учетом особенностей
12 процесса деформирования при трансформировании конструкции рефлектора границы этих субдоменов могут совпадать с границами соответствующих моделей компонент конструкции, при этом односвязные области отдельных многосвязных компонент могут быть также разбиты на субдомены по указанным выше причинам.
Такое разбиение конечных односвязных областей позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния многосвязной области, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы [18].
Многосвязная модель конструкции рефлектора состоит из размерно-редуцированных моделей с разным порядком редуцирования пространственной размерности. Например, зеркало рефлектора представлено дискретной моделью из оболочечных (мембранных) конечных элементов и связывается с моделями стержней (телами меньшей размерности).
Используются два основных типа математически корректного связывания моделей тел смешанной пространственной размерности [18]:
1) объединение моделей тел различной геометрической размерности с
одинаковым количеством степеней свободы;
2) объединение моделей тел различной геометрической размерности с
использованием уравнений связей, обеспечивающих переходы между
различными типами конечных элементов.
Вычислительная эффективность обычно связывают с расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели [19]. Очевидно, что соображения по расщеплению квазивременного интервала не исчерпываются только обеспечением вычислительной эффективности, но и необходимостью адекватного учета «начальных» напряженных состояний отдельных односвязных областей в результирующее напряженное состояние многосвязной области в конце каждого этапа квазивременного интервала посредством изменения статуса границ текущих односвязных областей модели.
В конце квазивременного интервала текущая геометрия, напряженно-деформированные состояния односвязных областей, а также системы внутренних и внешних сил определяют равновесную форму (конечное состояние) совместной системы для заданных граничных условий. Полученная равновесная форма многосвязной области может далее рассматриваться как базовое состояние [6] дискретной модели, определяемое ненулевыми перемещениями и поворотами в узлах конечно-элементной модели.
На каждом этапе эволюции многосвязной области отыскивается приближенное решение нелинейной системы алгебраических уравнений равновесия с невязкой, представляющей дисбалансные силы в системе. Приближенное решение нелинейной системы уравнений равновесия многосвязной области отыскивается в результате итерационного решения последовательности линейных моделей с требуемым уровнем точности. Линейная модель является тангенциальной к нелинейной функции невязки нелинейных уравнений [6,7-10].
Соответствующая матрица линейной модели называют системной матрицей Якоби, которую также называют эффективной матрицей тангенциальной жесткости [6], а вклады инерционных, внутренних и внешних узловых сил линеаризуются отдельно. При этом матрица масс в лагранжевой сетке оказывается постоянной по времени. Численные значения матриц в полной и модифицируемой лагранжевой форме являются идентичными [6].
Матрицу Якоби внутренних узловых сил или матрицу тангенциальной жесткости представляют в виде суммы матрицы жесткости материала и матрицы геометрической жесткости («начальных напряжений») [6].
В статической задаче время заменяется монотонно возрастающим параметром, а соответствующие решения процессов равновесия представляют собой инкрементальные решения [6-Ю]. В схеме реализации алгоритма неявного интегрирования матрица Якоби оценивается и инвертируется на каждой итерации процедуры, что соответствует полному алгоритму Ньютона [6,7,10]. Существует модифицированный алгоритм Ньютона [6], более
быстрый, но менее надежный, в котором матрица Якоби собирается и триангулируется только в начале шага или внутри шага.
Главным недостатком интегратора Ньюмарка [6] является возникновение высокочастотного шума в решении. С другой стороны, когда добавляется линейное демпфирование или искусственная вязкость, то точность заметно деградирует. Расширением метода Ньюмарка является метод Hilber-Hughes-Taylor (ННТ или а-метод), с помощью которого можно ввести численную диссипацию (демпфирование) без деградации порядка точности, и оно поддается непрерывному контролю. Такое демпфирование слабо влияет на низкочастотные моды и сильно влияет на высокочастотные моды. Оно зависит от отношения шага по времени к периоду колебаний [6].
Метод Ньюмарка имеет второй порядок точности [6]. При большом шаге стартовая итерация может быть далекой от решения, поэтому сходимость метода Ньютона становится проблематичной. Для улучшения сходимости алгоритма Ньютона требуются малые шаги по времени [6,7]. Для статических задач существует множество алгоритмов по автоматическому контролю величины шага, реализованных в современном программном обеспечении метода конечных элементов.
Прерывание итерационной процедуры при неявном и равновесном решениях с использованием метода Ньютона определяется критериями сходимости [6,7]. Эти критерии относятся к сходимости дискретного решения для уравнений равновесия, а не к сходимости дискретного решения к решению дифференциальных уравнений в частных производных.
Скорость сходимости итераций в методе Ньютона является квадратичной [6], если матрица Якоби удовлетворяет определенным условиям. Одним из условий для обеспечения квадратичной сходимости является непрерывная дифференцируемость и однородная ограниченность в окрестности решения невязки, и существование матрицы, обратной матрице Якоби. Эти условия обычно не выполняются в технических задачах. Проблемы со сходимостью наиболее часто встречаются в задачах статического равновесия, поэтому часто
15 квазивременной интервал расщепляется на ряд шагов с тем, чтобы
конфигурация совместной системы в конце предыдущего шага была хорошим
приближением для конфигурации системы в начале следующего шага. При
этом на каждом шаге число субдоменов многосвязной области уменьшается
как минимум на единицу, а в конце квазивременного интервала достигается
требуемая конфигурация равновесной формы.
Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые разработана математическая модель мембранно-вантовых конструкций рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния в ее элементах с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов. Предложен новый алгоритм оценки равновесной формы зеркала рефлектора и необходимых усилий в конструкции для реализации данной формы при заданных уровнях напряженного состояния элементов конструкции. Разработан метод многоуровневого моделирования совместной системы, позволяющей охватить многообразие возможных конфигураций и эволюцию
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная модель и алгоритм решения задачи о деформации конструкции крупногабаритного рефлектора позволяет решать широкий спектр задач проектирования, связанных с технологиями сборки рефлектора, настройки и регулировки формы зеркала, что, в конечном счете, позволяет повысить качество и оперативность проектных работ и достигать требуемых значений технических характеристик рефлектора. Разработанные математические модели и алгоритмы использованы при проведении проектных работ по созданию реального изделия в НПО прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева (г. Железногорск Красноярского края).
В первой главе рассматриваются задачи проектирования трансформируемых антенных рефлекторов - ключевых компонент технологии современной спутниковой связи. В конструкции рефлектора применение тонкостенных элементов (мембран, вантовых структур, ферм) представляет
собой стратегию натуральной оптимизации с целью уменьшения массы материала. Физически, каждая компонента рефлектора представляет собой объединение (ансамбль) тел одной пространственной размерности, например, ансамбль стержней силовой конструкции, вантовая структура и т.п.
При изготовлении и в условиях эксплуатации на орбите (воздействия температур, инерционных нагрузок и т.п.) отражающая поверхность рефлектора испытывает отклонения [20] от проектной формы, которые считаются подушкообразной дисторсией [21,22] в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности, создающие препятствия для поддержания требуемой амплитуды и фазы электромагнитных полей на апертуре антенны [23], вызывая деградацию всех ее характеристик.
Во второй главе с единых позиций на основе лагранжевого подхода и
законов сохранения рассматривается формулировка адекватного представления
движения обобщенной компоненты конструкции как твердого деформируемого
твердого тела на основе метода конечных элементов.
В модифицируемой лагранжевой формулировке текущая область Q. разбивается на элементы Qg так, что П = 1|Ое, а движение x(X,i)
аппроксимируется выражением x(X,t) = N](X}xl(t), где Nj(X) интерполяционные функции , х, - радиус-вектор 7-го узла [6].
Для дискретной модели текущей области Q деформируемого твердого
тела формулируется стандартная задача с начальными условиями для
дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях в
точках квадратуры конечных элементов. Начальные условия в узлах и точках
квадратуры конечных элементов являются исходными данными [6].
В квазистатических задачах определяющие уравнения примут вид уравнений равновесия [5-13]. Если уравнения не зависят от скоростей деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях [6].
В третьей главе рассматривается применение алгоритмов неявных методов интегрирования по времени уравнений движения для задач с
17 начальными условиями для численного решения нелинейных уравнений равновесия.
Для решения нелинейных алгебраических уравнений равновесия используется метод Ньютона-Рафсона, идентичный методу Ньютона [6]. В качестве стартового значения обычно используется решение с последнего шага по времени.
Предложено рассматривать конструкцию рефлектора как многосвязное сплошное тело [3] в виде системы непересекающихся субдоменов (подобластей) для того, чтобы избежать существенных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечить сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений. Рекомендовано совмещать границы этих субдоменов с границами соответствующих односвязных областей.
Такое разбиение многосвязной области позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы. При этом вычислительная эффективность обычно обеспечивается расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели.
Тогда поиск равновесной конфигурации совместной системы будет представлять своего рода процесс преобразования начальной конфигурации в конечную конфигурацию, в результате которой совместная система будет претерпевать некоторую эволюцию. В начале каждого этапа конфигурация совместной системы считается известной.
Предложено связывать модели различной пространственной размерности в многосвязную систему на основе математически корректных типов объединений моделей тел с одинаковым количеством степеней свободы и с использованием уравнений связей, а также их сочетанием.
В четвертой главе рассматриваются вопросы представления моделей механического поведения тонкостенных гибких тел (мембран и стержней).
Движение гибкого тела представляется совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения. Для представления напряженного состояния используются встроенные (коротационные) системы координат, которые поворачиваются вместе со стержнем или элементом оболочки.
В пятой главе приводятся результаты численного моделирования напряженно-деформированного состояния офсетного крупногабаритного трансформируемого рефлектора, у которого две идентичные параболоидные триангулированные сети крепятся к развертываемой ободной ферме. Эта сборка нагружается растяжками (тонкими нитями), присоединенными к зеркальным узлам двух сетей. Нижние значения нормальных напряжений в элементах фронтальной сети предложено определять необходимостью формирования жестких границ фасетов отражающей поверхности. Чем жестче граница фасета, тем меньше будет прогиб вовнутрь ее натянутой границы от результирующей поперечной нагрузки натянутой мембранной оболочки внутри каждого фасета.
На ряде простых модельных задач рассматриваются реализация алгоритма пошагового отыскания равновесной формы для предварительно-напряженной мембраны и модификация ее формы при взаимодействии с предварительно-напряженной тонкой нитью. Представлены результаты исследований напряженно-деформированного состояния крупногабаритного рефлектора и определение равновесной формы его зеркала.
Автор выражает свою искреннюю благодарность руководству ФГУП «Научно-производственное объединение прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева» (НПО ПМ) (г. Железногорск Красноярского края) за предоставленную возможность участвовать в техническом проекте по разработке «Инженерной модели параболической трансформируемой крупногабаритной антенны S-диапазона» и В.И. Халимановичу, Главному конструктору и Директору Отраслевого Центра трансформируемых механических систем, д.т.н. Е.Н. Головенкину, руководителю технического
»
проекта, д.т.н. А.К. Шатрову, а также всем своим коллегам за их поддержку, обсуждение результатов исследований и высказанные полезные замечания, без которых было бы невозможно достичь целей настоящей работы.
Автор выражает свою искреннюю признательность всем сотрудникам ОСП НИИПМ ТГУ (г. Томск) к.ф.-м.н. СВ. Пономареву, д.ф.-м.н. В.Г. Бутову, к.ф.-м.н. В.А. Солоненко, а также сотрудникам кафедры механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ, работы которых оказали большое влияние на ход проведенных исследований.
Автор выражает свою огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Скрипняку, заведующему кафедрой механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ (г. Томск).
Кинематика деформирования односвязной области
Трансформируемые антенные рефлекторы становятся ключевыми компонентами технологии современной спутниковой связи. Параболическая рефлекторная антенна используется для создания электромагнитного излучения в узком луче [23]. В соответствии с принципами геометрической оптики [23] электромагнитные лучи, исходящие из фокуса рефлектора, преобразуются в плоские волны. Длины оптических путей от фокальной точки до апертуры антенны с отражением от зеркала рефлектора являются одинаковыми для всех лучей. Отраженные лучи от зеркала рефлектора являются параллельными оси рефлектора. Таким образом, параболоидный рефлектор преобразует радиально исходящие лучи из точечного источника, расположенного в фокусе, в параллельные лучи на плоскости апертуры рефлектора. Конструкция крупногабаритного рефлектора включает силовую опорную конструкцию (пространственно-стержневую систему), тонкие мембраны и другие гибкие элементы (ленты, ванты), поэтому для нее является характерным процесс деформирования с большими перемещениями и поворотами, но с малыми деформациями.
Антенна как радиотехническое устройство имеет полосу пропускания электромагнитных волн [23]. Верхнее значение частоты полосы пропускания антенны ограничено гладкостью рефлекторной поверхности, которое в случае трансформируемых рефлекторов создается трикотажным полотном из тонкой металлической проволоки [21,22]. При изготовлении и эксплуатации на орбите (воздействия температур, инерционных нагрузок и т.п.) отражающая поверхность рефлектора испытывает отклонения от проектной формы, которые принято считать подушкообразной дисторсией в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности [20,21,22], которая зависит от натяжения отражающей поверхности, ее габаритов и кривизны. Такие отклонения отражающей поверхности создают препятствия для поддержания требуемой амплитуды и фазы электромагнитных полей на апертуре антенны, вызывая деградацию всех ее характеристик [23]. Поэтому актуальной задачей проектирования конструкций трансформируемых рефлекторов является обеспечение требуемой точности формы зеркала рефлектора [20,21-23].
Если номинальная форма зеркала рефлектора является параболоидом, то в результате отражения номинальная поверхность волнового фронта, имеющего плоскую форму, будет преобразована в сферическую форму [23]. Реальная конструкция будет всегда содержать определенный уровень отклонений (или погрешностей) от номинальной формы как показано на рисунке 1.1.
Рисунок 1.1- Основные поверхности зеркала рефлектора Для одного и того же луча не будут совпадать точки падения лучей на идеальную и фактическую поверхности. Кроме того, угол падения и угол отражения для данных поверхностей также не будут равны между собой. Поэтому, при наличии отклонений реальной отражающей поверхности от проектной (идеальной) возникнут погрешности в оптической длине пути луча, которые отсчитываются в номинальном направлении луча к центру сферы. Для аппроксимации требуемой формы зеркала рефлектора используются опорные сети различной топологии, изготовленные либо из тонких нитей (шнуров), либо из тонких лент с конечной изгибной жесткостью, которые формируют эластичные границы фасетов отражающей поверхности. Примерами таких конструкций являются рефлекторы антенн типа AstroMesh [24] и ETS-VIII [22] диаметрами 6, 8, 9, 12 и более метров. Описание концепции конструкции рефлектора AstroMesh (рисунок 1.2) и ее механических характеристик содержится в работе [22,24,25].
Рисунок 1.2- Конфигурация рефлектора Astromesh [22]: I-общий вид; 2- пояса триангулированной сети зеркала
В работе [22] отмечается, что рефлекторы антенн типа AstroMesh основаны па концепции tensegrity. Данный термин образован из двух слов ensile и integrity, изобретение которого связывают с именем известного архитектора, изобретателя, ученого Р.Б. Фуллера. Данный термин выражает сущность пространственных конструкций с предварительным натяжением, хотя смысл образованного термина достаточно расплывчат, и его можно трактовать по-разному. Сам Фуллер описывал конструкцию tensegrity как «...сборку, компоненты которой находятся под растяжением и сжатием, объединенную в дискретную систему, находящуюся в состоянии сжатия...» [22].
Идея аппроксимации куполообразных поверхностей многоугольниками не нова. Однако новизна концепции ферм с предварительным натяжением, разработанной Миура в 1986 г. [22], заключалась в том, чтобы использовать гибкие элементы в качестве сторон треугольников для обеспечения многократного трансформирования (складывания и раскладывания). В этой концепции триангулированная предварительно-напряженная сеть (ферма) входит в состав опорной конструкции (формообразующей структуры) зеркала из радиоотражающей тонкой трикотажной сетки. Для натяжения триангулированной сети, аппроксимирующей радиоотражающую поверхность зеркала, требуется система сил из плоскости (рисунок 1.3).
Матричная форма уравнений модифицируемой лагранжевой формулировки
Типы постановок соответствующих задач механики деформируемого тела для сложной конструкции трансформируемого рефлектора должны охватывать широкий круг задач проектирования такой конструкции. При этом возможны различные конфигурации модели совместной системы с учетом того, что все компоненты могут быть представлены независимыми дискретными вычислительными моделями, а их объединение в совместную систему для многосвязного тела должно осуществляться математически корректным образом. Такое объединение обеспечивает гибкость процесса моделирования и аккуратность представления геометрии различных компонент для практически возможных конфигураций совместной системы.
Для численного решения нелинейных уравнений равновесия системы привлекаются алгоритмы неявных методов интегрирования по времени уравнений движения [6-8]. Если при этом математическая модель используемых материалов не включает в себя зависимостей от скорости деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях.
В такой постановке статический или квазистатический анализ совместной системы охватывается посредством псевдо-временного параметра эволюции системы. При этом, для квазистатического процесса стандартная задача с начальными условиями будет включать значения напряжений в точках интегрирования конечных элементов и перемещения на границах совместной системы, известных в некоторый начальный момент времени t = 0, определяющего начальную конфигурацию совместной системы. Время в данном процессе установления статического равновесия не имеет физического смысла, а представляет собой некий псевдо-временной параметр эволюции системы.
В большинстве случаев начальная, отсчетная и недеформированная конфигурации совпадают. Здесь важно отметить, что при рассмотрении итерационного решения системы алгебраических уравнений конечно элементной дискретизации отсчетная геометрия модели обычно выступает в качестве начального приближения к текущей конфигурации.
Во избежание сильных искажений [6] конечных элементов в геометрически нелинейной задаче и обеспечения сходимости алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений в общем случае многосвязную область разбивают на систему непересекающихся субдоменов (подобластей). По соображениям удобства и с учетом особенностей процесса деформирования при трансформировании конструкции рефлектора границы этих субдоменов могут совпадать с границами соответствующих моделей компонент конструкции, при этом односвязные области отдельных многосвязных компонент могут быть также разбиты на субдомены по указанным выше причинам.
Такое разбиение конечных односвязных областей позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния многосвязной области, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы [18]. При этом вычислительная эффективность обычно обеспечивается расщеплением задачи [5,22] по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели.
Напряженно-деформированное состояние и текущая геометрия многосвязной области в конце каждого этапа считаются начальными приближениями для последующего этапа итерационного решения задачи статического равновесия или будут представлять собой начальные условия для дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях.
Очевидно, что соображения по расщеплению квазивременного интервала не исчерпываются только обеспечением вычислительной эффективности, но и необходимостью адекватного учета «начальных» напряженных состояний отдельных односвязных областей в результирующее напряженное состояние многосвязной области в конце каждого этапа квазивременного интервала посредством изменения статуса границ текущих односвязных областей модели.
В конце квазивременного интервала текущая геометрия, напряженно-деформированные состояния односвязных областей, а также системы внутренних и внешних сил определяют равновесную форму (конечное состояние) совместной системы для заданных граничных условий. Полученная равновесная форма рассматривается как базовое состояние дискретной модели [6], определяемое ненулевыми перемещениями и поворотами в узлах конечно-элементной модели.
При проектировании конструкций бортовых рефлекторов приходится сталкиваться с проблемами вибрации конструкций, в которых имеется определенный уровень напряженно-деформированного состояния, принимаемый в качестве базового состояния конструкции [6,27]. Тогда малые колебания конструкции можно рассматривать относительно ее базового состояния. При этом для численного решения задачи на собственные значения требуется формирование симметричных матриц масс и жесткостеи совместной системы.
Линеаризация дискретных уравнений
После соответствующей пространственной дискретизации компоненты конструкции как односвязной области на основе метода конечных элементов уравнениями движения являются полудискретные уравнения для конечно-элементной аппроксимации:
Соотношения (1.176)-(1.177) определяют стандартную задачу с начальными условиями, состоящую из дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях vu (t) и напряжениях CTAXQ, . Начальными условиями для этой задачи являются vtf(0) = vj, (1-179) o-,(jvHJ( e) (1Л8) которые определяются с помощью выражений
Для решения задачи с начальными условиями используются алгоритмы прямого численного интегрирования во времени для получения временной зависимости нестационарного отклика конструкции. Перед интегрированием не проится никаких преобразований уравнений. Прямое численное интегрирование основано на двух идеях [6]:
1) выполнение условий (1.176) требуется не в любой момент времени t, а только на отдельных коротких отрезках времени At, т.е. условия динамического равновесия рассматриваются в дискретных точках временного интервала;
2) учитывается изменение перемещений, скоростей и ускорений внутри каждого временного интервала At. Именно способ учета этих изменений определяет точность, устойчивость и экономичность процедуры численного решения.
Если математическая модель материала не включает в себя зависимости от скорости деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях. Таким образом, статический или квазистатический анализ охватывается посредством псевдо-временного параметра эволюции системы.
В большинстве случаев начальная, отсчетная и недеформированная конфигурации совпадают. Если в момент времени t=0 произвольное деформируемое твердое тело представляет собой односвязную область Q0, то такую область можно определить как отсчетную конфигурацию односвязнои области.
Для численного решения нелинейных уравнения равновесия системы привлекаются алгоритмы неявных методов интегрирования по времени уравнений движения [6]. Поэтому описание процедуры решения статических задач часто комбинируется с описанием неявных процедур для динамических задач.
Алгоритм метода неявного интегрирования Пусть момент времени t соответствует номеру шага по времени п, а момент времени t + At- номеру шага п +1. Дискретное уравнение количества движения на п +1 -шаге по времени в форме, приемлемой как для статической, так и для динамической задачи (без демпфирования) будет иметь вид [5]: Ма„+/-/-( і+/,ґл+/) + Г1( +/) = ,( +;5 ), (1.183) при sD=0 - задача статическая, при sD l- задача динамическая.
Матрица-столбец r(dll+!,tn+1) представляет собой невязку [6]. При sD=0 выражение (1.183) представляет собой уравнение равновесия на следующем шаге. Граничные условия по перемещениям могут быть представлены как совокупность пс нелинейных алгебраических уравнений в общей форме вида G,K+;) = g;, l,...,nc. (1.184)
В случае нулевых или малых ускорений система находится в равновесии, соответствующие уравнения определяются из (1.183) при sD - О: Ґ(Л -Г{й і уг(й і (1.185) решение которых называется равновесным [6].
В задачах статики невязки r(dn+1,tn+1) соответствуют дисбалансным силам. В задачах равновесия, когда материалы не зависят от скорости деформирования, параметр t не рассматривается как реальное время, а считается любым монотонно возрастающим параметром, соответствующий изменяющейся силе.
Дискретные уравнения, представляющие собой нелинейные алгебраические уравнения относительно неизвестных dn+1, получаются в результате применения метода неявного интегрирования по времени. С этой целью привлекается популярный класс интеграторов по времени, называемых (З -методом Ньюмарка [6-8], используемого для решения дифференциальных уравнений конечно-элементных динамических систем.
Модель мягкой оболочки зеркала рефлектора
В большинстве случаев для решения нелинейных задач используется метод Ньютона. В некоторых случаях используется его точная реализация в том смысле, что матрица Якоби системы определяется точно, а квадратичная сходимость достигается, когда оценка решения осуществляется внутри радиуса сходимости алгоритма. В других случаях матрица Якоби аппроксимируется так, что итерационный метод является не совсем точным методом Ньютона, например, как в случае моделей материалов с кулоновским трением, которые создают несимметричную матрицу Якоби, аппроксимируемую симметричной частью. Многие задачи проявляют дискретное (разрывное) поведение, например, как в случае контактных задач.
Прерывание итерационной процедуры при неявном и равновесном решениях с использованием метода Ньютона определяется критериями сходимости. Эти критерии относятся к сходимости дискретного решения для уравнений вида r(d",t")-0, а не к сходимости дискретного решения к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Используются три типа критериев сходимости [6]: - критерии на основе величины вектора невязки г; - критерии на основе величины инкрементов перемещений Ad; - критерии на основе ошибки по энергии. Для первых двух критериев используется /2-нормы векторов. В этом случае критериями являются следующие нормы:
Норма /2 является самой удобной величиной для случаев, когда должна контролироваться средняя ошибка по всем степеням свободы. Также может быть использована и максимальная норма, которая будет ограничивать максимальную ошибку в любом узле. Члены в правой части (1.244) и (1.245) являются масштабными факторами. Без них, критерий зависел бы от параметров задачи.
Масштаб ошибок є определяет точность, с которой вычисляются перемещения перед завершением итерационной процедуры. Если задать є - КГ5, то средняя точность узловых перемещений будет определяться пятым знаком при использовании нормы /2. Масштаб сходимости определяет скорость и точность вычислений. Если критерий слишком грубый, то решение может быть недостаточно точным. С другой стороны, если критерий слишком высокий, то это может привести к избыточным вычислениям.
Критерий энергетической сходимости, который похож на ошибку по энергии и измеряет поток энергии, поступающий в систему в результате невязки, согласно AdTr\ = \Мага є max (wext, WM, Wkin). (1.246) Левая часть (1.246) представляет собой ошибку по энергии, поскольку ненулевая невязка является ошибкой по силам в системе. Скорость сходимости итераций в методе Ньютона является квадратичной [6], если матрица Якоби А удовлетворяет определенным условиям: А должна быть достаточно гладкой функцией d, регулярной (инвертируемой) и хорошо обусловленной во всей области пространства перемещений. Квадратичная сходимость означает, что /2-норма разности между решением и итерацией dv снижается квадратично на каждой итерации: \\dv+l-d\\ c\\dv+l-df, (1.247) где с - константа, которая зависит от нелинейности задачи, a d - решение для системы нелинейных алгебраических уравнений.
Одним из условий для обеспечения квадратичной сходимости является непрерывная дифференцируемость и однородная ограниченность в окрестности решения невязки, и существование матрицы, обратной матрице Якоби. Эти условия обычно не выполняются в технических задачах. Проблемы со сходимостью наиболее часто встречаются в задачах статического равновесия.
Автоматический контроль шага по времени для динамических задач часто основывается на величине невязки, получаемой в промежуточной точке внутри шага интегрирования [6,10]. Концепция выглядит несколько интуитивной. Для оценки качества решения в конце шага необходимо вычислить погрешность невязки в некоторой промежуточной точке времени (выбираемой как t + At/2) и оценить погрешность в динамическом отклике по величине этой ошибки. Невязка в промежуточной точке основана на предположении, что ускорения меняются линейно по временному интервалу (базис формул Ньюмарка) так, что для любой компоненты перемещений или поворотов и:
