Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка задачи исследования напряженно- деформированного состояния породного слоистого массива 11
1.1. Исследование напряженно-деформированного состояния неоднородного массива горных пород 11
1.2. Основные математические модели, описывающие физические состояния массива горных пород 20
1.3. Обзор основных численных методов определения НДС слоистого массива 26
1.4. Выводы 30
2. Разработка численного алгоритма на основе метода конечных элементов 31
2.1. Алгоритм численного решения краевых задач геомеханики на основе метода конечных элементов 31
2.2. Решение плоских краевых задач механики горных пород методом конечных элементов 45
2.3. Выводы 52
3. Постановка и решение важных прикладных геомеханических задач в условиях пологих месторождений на основе численных и вариационных методов 53
3.1. Постановка задачи напряженного состояния неоднородного массива горных пород при разработке пологих месторождений 53
3.2. Расчет напряженного состояния основної! кровли соляного пласта при оптимальном выборе рациональных параметров технологических схем методом конечных разностей и вариационным методом В.З. Власова 79
3.3. Выводы 92
Заключение 93
- Основные математические модели, описывающие физические состояния массива горных пород
- Решение плоских краевых задач механики горных пород методом конечных элементов
- Расчет напряженного состояния основної! кровли соляного пласта при оптимальном выборе рациональных параметров технологических схем методом конечных разностей и вариационным методом В.З. Власова
- Выводы
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Многообразие горно-геологических условий (ГГУ) залегания пологих пластов и продолжающийся рост глубин разработки месторождений полезных ископаемых приводят исследователя к необходимости анализа напряженно-деформированного состояния (НДС) массивов горных пород вокруг подземных горных выработок всевозможного назначения и различного очертания.
Знание механики горных пород и массивов в этом случае имеет главенствующую роль и необходимо специалистам в области подземной разработки месторождений полезных ископаемых при составлении количественных прогнозов развития различных геомеханических процессов, обосновании надежности подземных сооружений в определенных ГГУ и, кроме того, позволяет решать ряд теоретических вопросов, связанных с формированием и природой прочности горных пород.
Разработка месторождений полезных ископаемых вызывает в массиве горных пород целый комплекс различных механических процессов: перераспределение деформаций и напряжений, прорывы подземных вод и плывунов, динамическое разрушение пород в форме вывалов, внезапных выбросов, горных ударов и многие другие. Изучение указанных явлений, протекающих в массиве горных пород при отработке различных месторождений, является ответственной задачей, так как они предопределяют не только экономическую часть разработки и безопасность работ, но во многих случаях и практическую целесообразность эксплуатации месторождения или какой-нибудь его части. Поэтому решение проблемы по определению прочности и надежности подземных сооружений при воздействии на них статических и динамических нагрузок имеет важное экономическое и социальное значение.
В последние годы наметилась тенденция увеличения глубины отработки пластовых месторождений (свыше 1000 м), которая характеризуется необходимостью применения дополнительных мер по охране выработок. Для пре-
дотвращения аварийных ситуаций при эксплуатации подземных горных выработок необходим правильный выбор способов охраны, который соответствует ожидаемым смещениям пород, вмещающих данную выработку. В различных горных выработках в зависимости от положения очистного забоя и способа управления горным давлением выделяют несколько характерных периодов их поддержания, в каждом из которых горное давление проявляется с различной интенсивностью. Практика показывает, что ведение очистных работ является одним из главных факторов, определяющих интенсивность деформации породного контура горных выработок. Различными научно-исследовательскими институтами и Санкт-Петербургским горным институтом постоянно ведутся исследования по анализу состояния выработок и разработке предложений по улучшению их поддержания и охраны в условиях угольных шахт Печорского бассейна.
При разработке калийных месторождений следует учитывать специфические физико-механические свойства соляных пород в том числе, их растворимость в воде и способность к вязкопластическому течению, существенно влияющие на устойчивость выработок в течение всего времени эксплуатации. На калийных рудниках Старобинского месторождения накоплен значительный опыт по эксплуатации и поддержанию горных выработок. Однако без выявления механизма развития деформации невозможно правильно определить устойчивое состояние выработок и способы поддержания их в безопасном состоянии. В настоящее время на месторождении калийных солей специалистами РУП ПО «Беларуськалий» и ОАО «БелГОРХИМПРОМ» совместно с Санкт-Петербургским горным институтом и ВНИИГалургии ведутся работы по разработке принципиальных технологических схем, и обосновываются способы управления кровлей и необходимая несущая способность забойной крепи.
Неоднородное объемное напряженное состояние вокруг горных выработок, возникающее вследствие ведения горных работ на больших глубинах,
подтверждает необходимость дальнейшего совершенствования методов оценки НДС массива горных пород с последующей проверкой результатов в лабораторных и шахтных (натурных) условиях, так как существующие методы расчета еще далеко не совершенны и не всегда дают точные ответы на весь спектр вопросов, выдвигаемые горной геомеханикой. Методы, основанные на шахтных наблюдениях и физическом моделировании достаточно эффективны и наглядны, однако, в последнее время приобретают все большее значение и широкое применение методы численного моделирования.
Эти интенсивно развивающиеся методы, на основе которых решаются многие важные прикладные задачи, являются достаточно простым и доступным средством решения задач геомеханики. Это связано, прежде всего, с наличием быстродействующих персональных компьютеров (ПК) и в силу высокой разрешающей способности приближенных численных методов, позволяющих эксплуатировать и поддерживать горные выработки на базе прогнозного расчета параметров НДС вмещающего их массива. Обеспечение надежных механических состояний массива, в том числе параметров полей напряжений, деформаций и перемещений, адекватно соответствующих ГГУ и учитывающим временной фактор, является ответственной научно-технической задачей. Решение указанной задачи за счет применения универсальных методов численного математического моделирования и создания на их основе программных продуктов позволяет своевременно предотвращать опасные проявления горного давления в подготовительных выработках и позитивно решать вопросы безопасности ведения горных работ и минимизации затрат на проведение и эксплуатацию горных выработок. Вышесказанное говорит как о научной, так и практической актуальности решения рассмотренной задачи.
Цель диссертационной работы - повышение безопасности проходки и поддержания подземных горных выработок в условиях неоднородного слои-
стого массива горных пород при разработке пологих месторождений полезных ископаемых.
Методы исследования. При решении поставленных задач применялись как аналитические методы, например, вариационный метод в форме В.З. Власова, так численные методы. На основе метода конечных элементов, разработана вычислительная программа. Ряд результатов получен с помощью программного продукта конечно-разностного анализа FLAC.
Основная идея диссертационной работы — математическое моделирование напряженно-деформированного состояния слоистого неоднородного массива вокруг выработок в пологих пластах необходимо проводить на основе разработанного численно-аналитического метода, включающего комбинацию различных аналитических (вариационных) и численных (метод конечных разностей, метод конечных элементов) методов.
Научная новизна диссертационной работы:
установлены закономерности изменения напряженного состояния неоднородного породного массива, вмещающего выработки, в рамках физически линейного процесса деформирования горных пород;
сформулирован и разработан численно-аналитический метод моделирования процесса деформации массива горных пород, вмещающего подземные горные выработки различного назначения и очертания.
Прикладная новизна работы заключается в разработке методики моделирования опорного давления около очистных выработок, позволяющей выполнить прогноз осадок кровли в очистных выработках и расчеты напряженно-деформированного состояния массива горных пород, включающего поло-гозалегающие одиночные выработки.
Достоверность научных положений и выводов диссертационной работы достигается:
- строгостью математической постановки исследуемых задач и широким
сопоставлением авторских решений важных прикладных задач геомеханики
с решениями подобных задач другими исследователями, полученными на основе различных методов;
получением решений с высокой степенью точности за счет внутренней сходимости результатов;
сходимостью результатов, полученных на основе применения вычислительной программы FLAC v.4.0 и созданного программного продукта, с результатами натурных (шахтных) исследований, проведенных на Воркут-ском и Старобинском месторождениях.
Практическое значение результатов исследований: результаты исследований по оценке НДС неоднородного слоистого породного массива с вмещающими выработками могут быть использованы на шахтах ОАО «Воркута-уголь» и на рудниках РУП ПО «Беларуськалий» при разработке схем и способов управления горным давлением, в том числе и на глубоких горизонтах.
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы были доложены на III и V научной конференции «Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела» (СПбГУ, 2004 г., 2006 г.), на ежегодном симпозиуме факультетов геотехники и горного дела Фрайбергской горной академии (Германия, 2005 г.), на ежегодной сессии студенческих докладов, посвященных горному делу, в Краковской горной академии (Польша, 2005 г.), на всероссийской научной конференции-конкурсе студентов выпускного курса (СПГГИ, 2006 г.), на международном форуме молодых ученых (СПб, 2006 г.), на международной научной конференции по механике (СПбГУ, 2006 г.), на ежегодной научной конференции молодых ученых «Полезные ископаемые России и их освоение» (СПГГИ, 2003 г., 2006 г., 2007 г.), на всероссийской молодежной научно-практической конференции по проблемам недропользования (Екатеринбург, 2008 г.), на 6-й межрегиональной научно-практической конференции (Воркута, 2008 г.). Диссертация в целом была доложена на научных семинарах кафедры «Вычислительных методов механики деформируемого твердого тела» Санкт-Петербургского государст-
венного университета и кафедры «Разработки месторождений полезных ископаемых» Санкт-Петербургского государственного горного института.
Публикации. В результате исследований по теме диссертации опубликованы 15 печатных работ, из которых в 14 статьях [12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,29,30,74] и одном тезисе доклада [31] конференции отражено основное содержание работы. Статья [29] опубликована в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК на момент публикации. В статье [12], изданной совместно с Господариковым А.П. и Васильевым СВ., Господариков А.П. предложил алгоритм расчета, а Васильев СВ. подобрал соответствующую технологическую схему. В работе [13], опубликованной совместно с Господариковым А.П. и Беспаловым Л.А., Гос-подарикову А.П. принадлежит постановка задачи, Беспалову Л.А. принадлежит сбор материалов по теме исследований. Статья [14], написана совместно с Господариковым А.П., Васильевым СВ. и Беспаловым Л.А., в которой Господариков А.П. предложил метод решения задачи, Васильев СВ. построил диаграммы растяжения, Беспалов Л.А. собрал материал о месторождении. Работы [15,20], опубликованных совместно с Васильевым СВ., Господариковым А.П. и Мансуровой С.Е., Васильеву СВ. принадлежит сбор материала о месторождении, Господариков А.П. сформулировал задачи и предложил методы их решения, Мансурова СЕ. участвовала в отработке постановки задачи. В публикации [16], написанной совместно с Господариковым А.П. и Мелешко А.В., Господарикову А.П. принадлежит идея о возможности применении численно-аналитического алгоритма, основанного на методе Власова, а Мелешко А.В. принадлежит обзор основных численных методов, используемых в геомеханике. В публикациях [17,18,19], написанных совместно с Господариковым А.П., Господариков А.П. сформулировал задачи, предложил методы их решения, обсуждал промежуточные результаты. Статьи [21,22], написаны совместно с Господариковым А.П. и Сиренко Ю.Г., в которых Господарикову А.П. принадлежит постановка задачи и идея о возможно-
сти использования аналитического метода решения, Сиренко Ю.Г. принадлежат идеи о внедрении на месторождении различных технологических схем. Кроме того, в результате исследований были получены 2 патента на изобретение.
Основные результаты, выносимые на защиту:
решена задача об определении НДС массива горных пород, вмещающего подземную горную выработку кругового сечения, при этом горные породы рассматривались как однородная и изотропная среда;
при помощи программного продукта FLAC построена модель слоистого массива горных пород, вмещающего подземную горную выработку прямоугольного сечения в начальный момент работы лавы, и определено НДС данного массива;
разработан алгоритм численно-аналитического моделирования напряженно-деформированного состояния неоднородной слоистой среды при решении важных прикладных задач геомеханики.
Объем и структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы, включающего 82 наименования, и изложена на 101 странице машинописного текста, содержит 24 рисунка и 4 таблицы.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется основная идея диссертационной работы, обосновывающая ее научную новизну и практическую значимость, формулируются цели и задачи, указываются методы исследования, приводится краткая аннотация всех глав диссертации, перечисляются основные научные положения, выносимые на защиту.
В первой главе сделан краткий обзор основных исследований напряженно-деформированного состояния слоистого пологозалегающего породного массива. Рассмотрены основные математические модели, описывающие физические состояния массива горных пород и приводится обзор основных
численных методов определения параметров полей напряжений, перемещений и деформаций для пологого слоистого массива горных пород.
Во второй главе раскрывается концепция одного из эффективных численных методов решения задач механики сплошной среды - метода конечных элементов. Показано, что метод может быть достаточно эффективным для получения численных решений задач механики горных пород и массивов. Приводится расчет некоторых важных прикладных геомеханических задач, на основе разработанной вычислительной программы, в случае плоской деформации. В главе также проводится широкое сопоставление результатов, полученных расчетов по численным и аналитическим методам в случае одиночной выработки кругового сечения.
Третья глава посвящена вопросам, связанным с приложением вариационного метода В.З. Власова в рамках упругой модели для исследования двумерного напряженно-деформированного состояния пологозалегающего массива горных пород. Приводится расчеты напряженного состояния основной кровли отрабатываемого пласта в начальный период работы лавы и в режиме установившегося движения. Третья глава также содержит примеры численного решения краевых задач горной геомеханики при помощи вычислительной программы FLAC, основанной на методе конечных разностей.
В заключении приводятся основные выводы по результатам исследований в соответствии с поставленными задачами и рекомендации по применению разработанного метода расчета для обеспечения безопасности разработки пологих пластовых месторождений полезных ископаемых.
Автор выражает глубокую благодарность и признательность научному руководителю профессору, доктору технических наук А.П. Господарикову за внимание, помощь и поддержку, оказанные в процессе выполнения работы.
Основные математические модели, описывающие физические состояния массива горных пород
В методах расчета распределения напряжений и вызываемых ими деформаций механика горных пород и массивов широко используют модели и схемы, применяемые в строительной механике [26]. В зависимости от конкретных особенностей массива горных пород для анализа его НДС используют различные методы механики сплошной среды. Таким образом, среда, в которой происходят различные механические процессы, представляется сплошной, то есть непрерывной по своей структуре, обладающая также и непрерывностью свойств. Реальные породы с их сложным строением заменяются некоторой идеализированной моделью, часто сплошной, однородной, упругой. Конечно, представление о массиве горных пород как о сплошной непрерывной среде является абстракцией, однако опыт практических расчетов НДС подобных сред показывает, что это вполне оправданно. Сегодня наиболее широко представлены следующие модели горных пород: упругая, вязкоупругая, жесткопластическая, упругопластическая [5,45,46]. Если связь между напряжениями и деформациями можно считать линейной, то для расчетов используются модель линейно-деформированной среды, в которой компоненты тензоров напряжений и деформаций [39] связаны линейными зависимостями (закон Гука в форме Ламе [48]): где ju и Л - упругие константы Ламе, которые выражаются через модуль Юнга (упругости) Е и коэффициент Пуассона v по следующим формулам: Следует отметить, что в этом случае упругая среда обладает свойствами однородности и изотропности. Упругая модель массива горных пород является в геомеханике базовой, хотя она и не учитывает многих свойств пород, например, пластичность и ползучесть. В случае, если имеет место обобщенный закон Гука, соотношения между напряжениями и деформациями (1.1) примут следующий вид [42]: где коэффициенты CijM в этих уравнениях суть упругие постоянные данного материала и зависят как от декартовых координат, так и от направления. Из этого ясно, что последние формулы относятся к случаю анизотропного и неоднородного тела. Модели анизотропных линейно-деформируемых тел широко используются в геомеханике, например, для описания поведения сланцеватых тонкослоистых пород.
Среди них наибольшее распространение получила транверсально-изотропная среда, характерной чертой которой является постоянство свойств в различных направлениях в плоскости изотропии и различие в свойствах в направлении, перпендикулярном к этой плоскости. В настоящее время в связи с проходкой и поддержанием выработок (на глубоких горизонтах) по предельным состояниям широко применяются положения раздела механики, занимающегося течением сплошных и изотропных тел - реологии, рассматривающей связь между напряжениями и деформациями или скоростью деформации, изменяющимися во времени. Для описания деформирования массива горных пород в реологии разработан ряд теорий таких, например, как теория упрочнения, старения и наследственной ползучести. При этом широко применяются механические модели, в которых любое тело может рассматриваться как совокупность упругих и вязких элементов, связанных некоторым образом. Широко известны два упруговязких тела с параллельным соединением (тело Кельвина - нерелаксирующее) и последовательным соединением упругих и вязких элементов (тело Максвелла -релаксирующее). Упруговязкая модель Кельвина-Фойгта имеет следующее уравнение состояния [59]: где Е - модуль упругости, ju - коэффициент вязкости. На практике, однако, данная модель мало применима, т.к. она не описывает ослабления напряженного состояния со временем при є = const (релаксация напряжений) и, кроме того, эта модель не учитывает начальных деформаций. Уравнение состояние модели Максвелла имеет следующий вид: Широко известно, что горные породы деформируются во времени при постоянной нагрузке (ползучесть). В этом случае для описания устойчивости подземных сооружений успешно применяется наследственная теория ползучести, в соответствии с которой деформация горной породы в момент времени t определяется из уравнения Больцмана-Вольтерра: где K(t-r) ядро ползучести типа Абеля. Если ядро ползучести содержит множители, зависящие от напряжений, или деформации в рассматриваемом интервале существенно меняются, то для описания деформации ползучести применяется теория нелинейной наследственности [28]. Упругопластическая модель применяется используется в случае, когда до определенного предела напряжений наблюдается линейная зависимость между напряжениями и деформациями, а выше этого предела начинается пластическое течение материала при действии постоянного напряжения [35]. Пластические деформации проявляются в изменении формы при постоянстве объема и без нарушения его сплошности.
Пластические деформации рассматриваются как остаточные деформации сдвига с нарушением линейной зависимости между напряжениями и деформациями. Для описания поведения таких тел используется теория пластичности, в которой чаще всего рассматривают две модели среды: Сен-Венана и Мизеса-Генки. Согласно А. Сен-Венану, материал переходит в пластическое состояние, когда наибольшее касательное напряжение тпт достигает некоторого предельного значения Г (предела текучести сдвига), то есть Г=гпмх. Р. Мизес и Г. Генки предположили, что появление пластических деформаций характеризуется вполне определенным значением касательных напряжений: т, = const. Установлено, что обе модели довольно близки между собой и достаточно корректно определяют начало пластических деформаций, однако модель Мизеса-Генки лучше отвечает результатам экспериментов [26]. Если пластические деформации пород значительно превосходят упругие, то возникает жесткопластическая модель. В рамках этой модели породы остаются абсолютно жесткими вплоть до достижения некоторого уровня напряжений, а затем деформируются пластически. Обычно при расчетах по схеме жесткопластической модели пластичность считают идеальной, хотя эта модель включает и упрочнение, при котором рост пластических деформаций требует увеличения уровня напряжений. Во многих задачах жесткопластиче-скую среду связывают с заданием условия пластичности в виде условия где к - коэффициент сцепления; х„ - нормальные напряжения на площадке скольжения; р - угол внутреннего скольжения. Отметим, что помимо приведенных выше моделей механики сплошных сред, рассматриваются также модели, в которых среда рассматривается как дискретная. Строго говоря, массив горных пород является дискретным, и именно такие среды должны быть приняты в качестве основных. Механика дискретных сред, в настоящее время разработана еще недостаточно, и процесс деформирования таких сред изучается в значительной степени экспериментально. Приложение методов механики сплошной среды к решению горных задач осуществляется на основе различных гипотез, которые отличаются между собой по совокупности исходных допущений и предположений. Классификация основных гипотез приведена в работе А.А. Борисова [1]. Укажем здесь основные из них, достаточно полно освещенные в литературе, и имеющие наибольшее распространение. Гипотеза свода (М.М. Протодьяконов, М. Файоль), предполагает образование разгружающего свода давления и широко используется при расчете подземных сооружений различного очертания. Правомочность использования этой гипотезы при различных ГГУ исследованы в работах А. А. Борисова. По мере расширения и углубления познаний о законах горного давления выяснилось, что гипотеза свода не может претендовать на всестороннее объяснение механизма его проявления.
Решение плоских краевых задач механики горных пород методом конечных элементов
В настоящее время решение важных прикладных задач осуществляется в основном численными методами при помощи современных вычислительных средств [56]. Математическая постановка таких задач, в том числе и по геомеханике, сводится к формулировке соответствующих краевых задач для систем дифференциальных уравнений. Используя такую постановку для задач теории упругости, удалось построить целый ряд относительно простых (точных и приближенных) аналитических решений и проделать анализ полученных полей напряжений, деформаций и перемещений. Этот весьма важный этап развития механики в некоторой степени себя исчерпал. Современные вычислительные средства позволяют эффективно использовать численные методы и перейти к численному решению нелинейных задач механики горных пород, для которых решения по аналитические методам представляют значительные математические трудности, зачастую непреодолимые. В последние годы разработан и интенсивно совершенствуется целый ряд мощных вычислительных программных комплексов для решения больших классов задач механики численными методами на современных ПК. Эти программные комплексы, наряду с универсальностью, обладают сервисом -весьма удобны для пользования как при построении решений, так и при наглядном анализе полученных результатов. От пользователя программными комплексами, интересующегося НДС различных конструкций, сегодня не требуется детального знания всех математических, вычислительных и компьютерных проблем. Однако ему необходимо иметь представление о том, как математически формулируются задачи и что представляют собой численные методы их решения. Без этого трудно рационально выбрать расчетную схему и правильно оценить достоверность окончательных результатов. МКЭ, используемый для решения ряда прикладных задач в данной работе, является одним из наиболее универсальных методов решения краевых за- дач механики сплошных сред. В нем реализуется простая и очевидная идея исследования поведения тела на основе поведения отдельных его частей — конечных элементов. С этим связаны наглядность метода, простота учета неоднородности материала, постановка граничных условий и изменяемости геометрии формы тела, что обусловило широкое распространение метода.
Само понятие метода конечных элементов было в I960 году впервые введено Р. Клафом [70,80]. Основные аспекты метода были разработаны в 40-70 годах прошлого века в работах А. Хренникова, Р. Куранта, Дж. Аргириса и его сотрудников [63,64,65,66]. Современная концепция МКЭ изложена в работе американских исследователей М. Тернера, Р. Клафа и других, где с целью анализа плоского напряженного состояния они ввели элемент треугольного вида, для которого сформулировали матрицу жесткости и вектор напряжений в узлах [80]. В последующие годы появились многочисленные работы, посвященные использованию конечных элементов для решения практических задач, а также вопросам точности аппроксимации. Большой вклад в развитие метода и в его применение к задачам механики сплошных сред внесли работы О. Зенкевича [32,33,34,82], И. Чанга [34,81] и Дж. Одена, последний из которых построил классическую теорию этого метода [50, 77,78,79]. Среди отечественных работ, посвященных методу конечных элементов, отметим монографии В.А.Постнова и И.Я.Хархурима [53], Л.А.Розина [54,55,56]. В настоящее время МКЭ применяется для решения пространственных задач с учетом физической и геометрической нелинейностей, как статических, так и динамических, широко используется для решения задач гидродинамики, теплопередачи и теории поля. Одной из первой реализацией МКЭ на ЭВМ стала программа «ASKA», разработанная в 1960 г. проф. Дж. Аргири-сом. В монографии О. Зенкевича, приведенной выше, и являющейся по сути первой и основной монографией по МКЭ, приводится исходный код на языке Фортран программы «FESS». На методе конечных элементов основаны универсальные зарубежные пакеты программ Ansys, Abaqus, Nastran и другие. Решению конкретных задач теории упругости с помощью МКЭ и оптимизации метода посвящены многочисленные отечественные и зарубежные публикации, например [25,32,33,34,50,53,54,55,56,63,64,65,66,69,70,72,73,77,78,79]. Достаточно полная библиография книг и монографий по МКЭ приведена в работе [76].
В предлагаемой диссертационной работе МКЭ используется для решения ряда задач механики горных пород, среди которых важное место занимают исследования НДС кровли и пластов в условиях Воркутского месторождения каменных углей и Старобинского месторождения калийных солей. Такие задачи геомеханики рассматривались многими исследователями в линейной или нелинейной постановках (имеется в виду физическая линейность и нелинейность). Задачи нелинейные геометрически по существу до настоящего времени в геомеханике не решались и получение решений для таких задач является актуальной проблемой. При решении задач деформирования твердого тела приходится иметь дело со сплошной средой, для которой число степеней свободы бесконечно. ПК, на которых можно получать численные решения поставленных задач, имеют конечную оперативную память и конечную скорость выполнения операций, поэтому необходима дискретизация непрерывной задачи, сведение ее к алгебраической форме. Одним из методов дискретизации и является метод конечных элементов (МКЭ). При использовании данного метода рассматриваемая область заменяется совокупностью подобластей — конечных элементов, на каждом из которых производится аппроксимация параметров НДС исследуемого объекта. Основные принципы МКЭ изложены в [32,53]. Численный способ решения требует постоянного контроля достоверности полученных данных. Одним из вариантов такого контроля является срав- нение полученных результатов с решениями аналогичных задач другими методами. В заключении отметим, что основными задачами данной диссертационной работы являются следующие: - анализ решенных важных прикладных геомеханических задач, в том числе и нелинейных; - обоснование и применение метода решения краевых задач механики сплошных сред - метода конечных элементов, и решение важных прикладных геомеханических задач с использованием разработанной вычислительной программы; - использование вычислительной программы FLAC v4.0 для решения некоторых прикладных задач геомеханики; - применение известного в строительной механике вариационного метода в форме В.З Власова для получения решений ряда важных задач горной геомеханики. Таким образом, математическое моделирование напряженно-деформированного состояния пологозалегающего массива горных пород приводит исследователя к необходимости разработки некоторого универсального вычислительного алгоритма решения соответствующих геомеханических задач с реализацией последнего на ПК.
Расчет напряженного состояния основної! кровли соляного пласта при оптимальном выборе рациональных параметров технологических схем методом конечных разностей и вариационным методом В.З. Власова
В настоящее время постановка важных прикладных геомеханических задач усложнилась и поэтому требует введения новых понятий, направлений и методов для их решения. Для того, чтобы приблизить расчетную схему к реальному объекту исследования уже недостаточно рассмотрения только аналитических методов, в которых приходится прибегать к идеализации свойств среды и схематизации геометрических форм сооружений. Необходимо также знать приемы решения задач различными численными методами. В результате такого подхода и получил широкую известность среди механиков-прикладников метод конечных элементов. Этот метод относится к числу вариационно-разностных методов [38]. В нем осуществляется разбиение области, занимаемой телом, на конечные элементы. Для плоских фигур, чаще всего, это треугольники и параллелограммы, а для пространственных — тетраэдры и параллелепипеды. Внутри каждого элемента задаются функции формы, которые определяют перемещения произвольной точки внутри элемента по перемещениям узловых точек (точки стыковки конечных элементов). Координатные функции, в этом случае, будут всюду равны нулю, кроме конечного элемента, внутри которого они будут совпадать с функциями формы. В качестве неизвестных коэффициентов берутся узловые перемещения. Далее задача сводится к чисто алгебраической форме, а именно после минимизации функционала энергии получается алгебраическая система уравнений (основная система). То есть, при решении МКЭ возникает ситуация такая же как и при исследовании других вариационно-разностных методов, в которых для получения разностной системы уравнений применяются различные вариационные принципы. В МКЭ существенную роль играют интерполяционные свойства функций формы, что является основным отличием МКЭ от вариационно-разностных методов. В этом отношении метод близок к сплайн-аппроксимации, хорошо разработанной в прошлом веке. Метод конечных элементов, хотя и является в настоящее время эффективным методом исследования НДС конструкций разнообразных форм, разумеется, не является единственным численным методом. Главным недостатком является то, что проверку его надежности пока можно осуществлять только апробированием каждой программы на точных решениях.
По своей же сути метод сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (или элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Затем между этими элементами каким-либо способом устанавливается взаимосвязь. То есть, МКЭ представляет собой попытку преодолеть трудности, связанные с бесконечным числом точек связи в сплошном теле (получение численного решения задач теории упругости, в этом случае, затруднительно), путем его разбиения на отдельные элементы, взаимодействующие между собой только в выбранных (узловых) точках. В этих точках вводятся фиктивные силы, эквивалентные поверхностным напряжениям, распределенные по границам элементов. Если такая идеализация допустима, то любая задача сразу приводит исследователя к стандартной задаче строительной механики, а техника решения таких задач хорошо известна многим инженерам. Как уже указывалось ранее, в любой задачи теории упругости число связей между любыми конечными элементами, ограниченными некоторыми поверхностями, и соседними элементами бесконечно. В некоторых случаях возникают трудности в осуществлении дискретизации таких задач. Для иллюстрации успешного преодоления этой трудности МКЭ трактуется как систематический способ аппроксимации непрерывной функции F(X) дискретной моделью, представляющую собой множество значений заданной функции в некотором конечном числе точек из области ее определения R и множество кусочных аппроксимаций этой функции на некотором конечном числе подобластей. Схема метода определяется следующим образом: I) в области определения функции фиксируют конечное число точек, на зываемых узлами разбиения; II) область определения функции представляют в виде совокупности ко нечного числа непересекающихся подобластей, называемых конечными эле ментами. Конечные элементы предполагаются взаимосвязанными в конеч ном числе узловых точек, расположенных на их границах; III) заданную функцию локально аппроксимируют на каждом конечном элементе непрерывными функциями, однозначно определяемыми через ее значения в узловых точках, принадлежащих этим элементам. При использовании МКЭ различают глобальные величины, то есть величины, которые относятся ко всей рассматриваемой области в целом (всей совокупности конечных элементов) и локальные, которые относятся к отдельному конечному элементу (рис. 1). Важной особенностью МКЭ является то, что первоначально при локальной аппроксимации функции конечные элементы можно рассматривать независимо друг от друга. При этом конечный элемент считается изолированным от всей области и функция аппроксимируется на этом элементе с помощью ее значений в узлах независимо от того, какое место занимает элемент в связанной модели.
Построение дискретной модели состоит из двух частей: построения дискретной модели области R - то есть разбиение исходной сплошной области на конечные элементы, и построения дискретной модели функции F(X), где X є R, то есть собственно аппроксимации. Разбиение области определения на конечные элементы производится следующим образом: I. В R фиксируется конечное число точек X ,Х ,...,Х которые называются глобальными узловыми точками. Конечное множество этих точек обозначим через Rx = [хк },к = 1,2,...,К . И. Область R приближенно представляется областью R , которая содержит все узловые точки R. Разность R\R = R называется областью отклонения. Если R = ф, то R = R . III. Рассмотрим конечное число Е не связанных между собой подмно жеств ге области R, называемых конечными элементами. На данном этапе все конечные элементы считаются замкнутыми и непересекающимися: Объединение называется несвязанной областью. IV. Рассмотрим отдельный конечны элемент ге, который считается пол ностью изолированным от всей остальной совокупности. В ге фиксируется конечное число Ne точек x\e),xle),...,x . Эти точки называются локальными узловыми точками. Множество локальных узлов элемента обозначим через R M = k J п = V. Связыванием элементов называется отображение R - R , преобра зующее несвязную область R в связанную R . Если предположить, что су ществует соответствие между узлами подобласти ге и глобальными узлами в R, то связность модели достигается с помощью отображения (для фиксиро ванного элемента ё) Л: R x - Rx следующим образом: где оператор Л (е) имеет вид [О, в противном случае. Поскольку задание узловых точек R и R произвольно, требуется, чтобы соответствие обеспечивало связность, то есть существовало для всех точек в R и R . VI. Процедура, обратная связыванию элементов в модель, называется разбиением. Процесс разбиения R на конечные элементы представляет собой перенумерацию глобальных узлов, связанных с конечным элементом, по схеме, принятой для локальных узлов элемента. Это достигается с помощью отображения Q: Rx -» R"x, которое задается формулой: [О, в противном случае. Функция ЛАи(е) обеспечивает объединение непересекающихся конечных элементов в дискретную модель области R. Очевидно, что существование этой функции зависит от расположения узлов в конечных элементах и на их границах и от соответствия между локальными и глобальными узлами. Рассмотрим два конечных элемента ге и гр с границами дгв и дг соответственно.
Выводы
Многие прикладные задачи геомеханики связаны с определением напряженно-деформированного состояния (НДС) массива горных пород, вмещающего выработки прямоугольного сечения [4,7,8,9,10]. Подобные задачи решались многими исследователями различными аналитическими и численными методами. Так, например, хорошо известны результаты численно-аналитических расчетов оседания многослойного массива над выработанным пространством и опорного давления впереди очистного забоя на основе вариационного метода В.З. Власова в рамках линейного закона Гука (Н.Н. Кай-далов, В.Г. Лабазин и др.), а также примененного в работах А.П. Господари-кова для нелинейного закона деформирования горных пород [6]. Если же массив горных пород ослаблен выработками не прямоугольного сечения, то использовать в явном виде уравнения равновесия, полученные В.З. Власовым, не представляется возможным. В этом случае необходимо получить основные соотношения в полярной системе координат, базируясь на идеях технической теории В.З. Власова [3]. Для решения подобных геомеханических задач при помощи разработанной вычислительной программы, необходимо знать не только конструктивные особенности выработки (схемы I-IX), механические свойства массива горных пород {Е, v), но и вид потенциала П (работу деформации), определяющего связь между напряжениями ау и деформациями єц. Критерием выбора вида упругого потенциала является адекватность математического описания процесса деформирования реальному поведению массива горных пород. При малых деформациях построенный упругий закон должен соответствовать закону Гука.
Предпочтение при выборе отдается потенциалам наиболее простых форм. Чаще всего используют разложение потенциала П по степеням его инвариантов Формулы для сжимающих подземную горную выработку напряжений известны и являются широко применяемыми в геомеханике характеристиками напряженно-деформированного состояния массива в приконтурной зоне выработки где ах,ау,аху - компоненты тензора напряжений; у - объемный вес массива пород; Л - коэффициент бокового распора (давления); Н - глубина заложения выработки. Сразу укажем, что для простоты расчетов иногда Л принимается равной единице и это условие равносильно равномерности распределения напряжений вокруг круглой выработки, хотя на практике чаще рассматриваются другие его значения, и даже Л 1. Укажем здесь также, что можно рассматривать выработку незакрепленной и закрепленной жесткой или податливой крепью. В последнем случае на ее породном контуре Г или на части может -действовать подкрепляющее (активное) нормальное давление Р0, в общем случае зависящее от величин смещения контура Г. Таким образом, на контуре выработки Г формируются достаточно сложные граничные условия. Выпишем простейшие из них, которые нашли свое отражение в данной работе: х„ = ро cos(n,x), Yn = -Р0 cos(n,y), где X„,Yn - проекции давления Р0 на оси координат; cos(n,x),cos(n,y) - направляющие косинусы, образуемые нормалью к контуру Г с осями координат. Уравнения равновесия для случая плоской деформации имею вид а компоненты вектора деформаций {є}={єх,єу,єху\ определяются соотношениями (при сохранении бесконечно малых только первого порядка) Метод конечных элементов позволяет рассматривать напряжения и перемещения в неоднородных средах, исследовать взаимодействие крепи с окружающим массивом горных пород, учитывая при этом реальную форму исследуемой области и отдельно деформационные показатели крепи и массива. Массив, окружающий незакрепленную или закрепленную выработку, в свою очередь, может иметь участки с различной жесткостью, связанные с особенностями его структуры и неоднородности состава горных пород [24,30]. Строгое решение задач теории упругости показывает, что полное рассеивание напряжений в упругой среде происходит на бесконечном удалении от места приложения нагрузки. В реальных средах полная стабилизация поля напряжений, а, следовательно, «затухание» перемещений наступают значительно быстрее. Поэтому расчет напряжений и перемещений в геомеханических задачах сводится к определению этих величин в некоторой ограничен- ной области.
Граница области исследования устанавливается так, чтобы за ее пределами возмущение естественного поля напряжений дополнительной нагрузкой было бы относительно невелико, то есть не приводило бы к заметным деформациям. Это обстоятельство сыграло ключевую роль для ограничения области, в которой определяется НДС массива горных пород. Для проверки эффективности вычислительной программы была решена классическая задача по определению НДС неподкрепленной выработки круглого сечения в однородном и изотропном массиве, физико-механические свойства, которого заранее определены. Поскольку указанная задача является осесимметричной, рассматривается четверть выработки, расположенная в первом квадранте. После задания входных параметров вычислительная программа автоматически разбивает область на конечные элементы и выводит разбиение на экран. Выходными параметрами программы являются компоненты вектора смещений, тензоров деформаций и напряжений слоев, прилегающих к выработке массива (рис. 6). Последние, в конечном итоге, определяют как безопасность ведения горных работ, так и необходимые мероприятия по закреплению подземных горных выработок. Следует отметить, что решение подобной задачи для пластинки с круглым отверстием выполнено Г.Киршем с помощью функций напряжений и Г.Н. Савиным для весомой среды на основе комплексных преобразований [58]. Решение задачи о деформации массива горных пород, включающего одиночную горную выработку круглого сечения по численно-аналитическому методу было проведено в работе [30]. Последние результаты и были взяты за основу в качестве критерия оценки результатов, полученных от применения разработанной вычислительной программы. Приведем результаты численного расчета при следующих значениях числовых параметров: = 2-104МПа; Л = 1,5м; / = 2-104Н/м3; # = 100м; v = 0,45; Л = 0,65.
