Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Приближенные методы решения интегральных уравнений 17
1. Интегральные уравнения задач вязкоупругости 17
2. Модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром 25
3. О схемах, позволяющих использовать модифицированный метод последовательных приближений в задачах вязкоупругости . 35
4. Метод неопределенного множителя для интегральных уравнений Фредгольма 41
5. Приближенный метод решения систем интегральных уравнений Вольтерра 50
Глава II. Применение приближенных методов к решению задач вязкоупругости 58
6. Флаттер вязкоупругой пластинки 56
7. Устойчивость колебаний вязкоупругой трубы с протекающей в ней жидкостью . 72
8. Исследование свободных колебаний линейной вязкоупругой системы 101
Заключение 115
Литература 116
- Модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром
- О схемах, позволяющих использовать модифицированный метод последовательных приближений в задачах вязкоупругости
- Устойчивость колебаний вязкоупругой трубы с протекающей в ней жидкостью
- Исследование свободных колебаний линейной вязкоупругой системы
Введение к работе
Представление о вязкоупругом поведении материалов возникло давно, однако лишь в последнее время оно завоевало широкое признание и обширное применение. Активность исследований в этой области связано с тем, что учет наследственных эффектов деформируемых материалов все более необходимым при проектировании в связи с эксплуатацией различных элементов и узлов современных инженерных конструкций в условиях высокой температуры и давления. Вяз-коупругими свойствами обладают различные полимерные материалы при любых температурах. Поэтому проблемы теории вязкоупругости привлекают большое внимание исследователей, в особенности с появлением новых композитных и других материалов.
Наряду с разработкой и обоснованием теории вязкоупругости [1-4, 12, 20, 40, 34, 35 J , не менее важное значение имеет развитие достаточно общих и эффективных методов решения прикладных задач. Наибольшее развитие получили методы решения статических и квазистатических задач вязкоупругости, использующие связь интегрального преобразования решения задачи вязкоупругости с решением соответствующей задачи упругости (метод аппроксимаций, метод однородных решений, метод последовательных приближений, метод упругих решений [3, 4]). Для динамических задач вязкоупругости такой связи нет, поэтому прямое приложение методов интегральных преобразований в динамических задачах всегда приводит к значительным математическим трудностям, связанным с задачами обращения. Задачи обращения особенно усложняются для сложных форм соотношений между напряжениями и деформациями. Следовательно, возникает необходимость разработки методов решения динамических задач, позволяющих избежать эти трудности.
Одним из таких методов является метод усреднения в применении к интегродифференциальным уравнениям, который впервые был
предложен в работах 41, 42 1 . На возможность исследования динамических задач вязкоупругости методом усреднения было указано в ІІЗІ. В І2І, 22І этим методом впервые удалось решить ряд практически важных задач динамики вязкоупругих систем.
За последние десятилетия появилось много работ, в которых задачи, важные как с теоретической точки зрения, так и для приложений, решаются с помощью интегральных уравнений ІІ, 10, 14, 16-16, 26, 32, 33, 36, 37 . Интегральные уравнения являются одним из наиболее плодотворных средств математического исследования как в чистом, так и в прикладном анализе. Это относится, в частности, к задачам теории механических колебаний, встречающихся в соответствующих областях техники и теоретической физики,где интегральные уравнения не только полезны, но зачастую даже совершенно необходимы для численных исследований.
Настоящая работа посвящена дальнейшему развитию приближенных методов решения интегральных уравнений и их приложению к решению динамических задач вязкоупругости.
Диссертация состоит из введения, двух глав и списка цитируемой литературы.
В I первой главы дается постановка динамических задач линейной теории вязкоупругости. Показано, что известными методами, динамическая задача вязкоупругого тела сводится к решению интегральных уравнений либо систем интегральных уравнений.
Во втором параграфе рассматриваются интегральные уравнения
Вольтерра второго рода
Х(*)ш/(*)+/Шг)Х(г№у (O^i^h) (і)
с вырожденным ядром -^( %/ и функцией f(i) , представлении-
ми в виде: "
где функции J і (і)\ оі(І) . - непрерывны, а Qi(i) - непрерывны и дифференциируемы на рассматриваемом отрезке. Для данного класса интегральных уравнений для нахождения решения предложен модифицированный метод последовательных приближений.
Согласно представления функции и ядра (2), уравнение (I) запишется в виде: .
* 0 ' t # (і) [?< 0) ф(Г)Х(гЩ. (3)
1=1
В качестве начального приближения к решению этого уравнения возьмем Х0(tj ~ jS yL \zj , где J- ft] являются решения-ми интегральных уравнений:
if- «(/jfc(^/wf(H- (4)
Уравнения (4) имеют решение \-L \і)~іі\]) */ \t) » где \(i)- решения дифференциальных уравнений
Аналогично начальному строятся последующие приближения. В качестве tt -го приближения к решению уравнения (I) возьмем
и*)"2 2 %w(i) . ^ if;(# пл-,п,
j=o 1-і удовлетворяют интегральным уравнениям
t V
^:^^ (5)
к*1 Q)
Решения уравнений (5) определяются видом %-L \t] ~
ii\tj %i (t]7 где |. - решения дифференциальных
уравнении с нулевыми начальными условиями:
- б -
Х+і
Точное решение уравнения (I) определяется в виде сходящегося д/
ся ряда Х() = 2d 2* Ті (^ Доказана теорема су-
ществования и единственности решения уравнения (I), полученного с помощью модифицированного метода последовательных приближений. Для предложенного метода также доказана следующая теорема:
Если функции J-(t) и fi(tj t) уравнения (I) непрерывны при { ^ О , имеет место представление (2) и выполнены условия:
mgА Т: (О
t
тах\ 7} (t) Є
где ос >(Ы - i)J?3 » тогда для любого /7 уС ({)- Х„(1)\*~0 при і —— со.
Из этой теоремы следует, что по начальному приближению к решению уравнения (I), определяемому модифицированным методом последовательных приближений, мы можем судить о качественном поведении решения исходного интегрального уравнения; в то время как известный метод последовательных приближений не позволяет сделать вывод о качественном поведении решения по начальному приближению. Это свойство позволяет успешно использовать модифицированный метод при исследовании динамических задач на устойчивость, т.к. в этом случае нам достаточно построить начальное приближение.
Однако, часто в задачах вязкоупругости мы встречаемся с интегральными уравнениями у которых ядро и функция не представиш в виде (2). В связи с этим, в 3 рассмотрены схемы,позволяющие
_ 7 -
приближенно заменять эти уравнения уравнениями,для которых ядро и функция представиш в виде (2).
Известно, что любое непрерывное ядро может быть разложено (и притом бесконечным множеством способов в сумму /f(r, P)=K(i,t)+ + Н(i? р) , где К(t} t) - некоторое вырожденное ядро, а
H(i} р) таково, что его норма может быть сделана меньше любого наперед заданного б . Таким образом, задача сводится к тому, что мы, не меняя функции У( 6) у в уравнении заменяем ядро близким вырожденным.
В случае, если J(t) - произвольная непрерывная функция, ядро А (ї, Р) - вырожденное, то решение уравнения Вольтерра (I) определяется X(i) *f(/ *f(t) » где д'() - решение интегрального уравнения
У г* *
і'і
которое решаем модифицированным методом последовательных приближений.
Для жестких полимеров и армированных пластиков ядра, характеризующие вязкоупрутие свойства материала, пропорциональны малому параметру <5 . В связи с этим, рассмотрены интегральные уравнения
t і а \
X (6) =/(0 + 6 J A ( r)x(r)dr, (й* */?);
для которых ядро А (V, Г) и функция J-0) представиш в
виде:
№ 2 К Wgi (О,
Ы " (7)
r a t) - S к соя w * M(t, с).
В качестве приближенного решения уравнения (6) берется решение уравнения
1-і
(8)
которое совпадает с классом уравнений рассмотренных в 2. В (\/
(7) Л (V, С) удовлетворяет условию:
-J-J Я (t, z)p(r)dr—~- О при і—-оо.
Относительно близости решений уравнений (б) и (8) доказана теорема.
Многие задачи механики сводятся к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода:
ё>
и методе непо-
А.Н. Филатовым |43, 45| был предложен метод замораживания для приближенного построения решения уравнения (9), если А - малый параметр. Термин "замораживание" употребляется в том смысле, что в интегральном слагаемом X(f*J заморожена при Идея метода замораживания была впоследствии использована в ме-
тоде приближенного операционного исчисления
средственного решения |25|. В \7\ был предложен метод неопределенного множителя для интегральных": уравнений Вольтерра. В четвертом параграфе этот метод распространен на интегральные уравнения Фредгольма. Согласно метода неопределенного множителя, уравнение (9) эквивалентно уравнению:
х (О *(*) \f(t) +ЛІЛ a t)x (t)dr\
и,следовательно, решение уравнения (9) запишется в виде:
r(0-
т.е. X"(V/ является функцией неизвестного параметра Ic(i) Jc() - неопределенный множитель, который ищется в виде сходящегося ряда по степеням Л . В данном параграфе показано, что метод неопределенного множителя является обобщением методов замораживания и приближенного операционного исчисления и может быть использован для построения высших приближений.
Как показано в I, различные динамические задачи вязкоупру-гости сводятся к решению систем интегральных уравнений Вольтерра второго порядка
для которых ядро и функция J(:і) представиш в виде
здесь К, (Г, ХЮ), К& (?, X(f))7 <^(% ^ *CV) - вектор-функции
второго порядка, причем <Г(~, V, Х(Р))—— О при zf —*~оа ,
<5 >0 - малый параметр.
Для данного класса систем интегральных уравнений в 5 предложен приближенный метод построения решения, который основан на идее модифицированного метода последовательных приближений, и дано его обоснование.
В качестве приближенного решения системы (10) возьмем
где "Т( v и 2\^' ~ Решения следующих систем интегральных уравнений:
T(t) - %() [Л (У +Ф< (f> Т(гЩ; Ш) 69 - ^ 0 [Л $+Ф fa ^ФЧ <«)
Решения систем (II) и (12) определяется в виде:
Т(М(*)Ш 2<*>№Ш
где T(i) и {?( V - решения систем дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами:
т(і)*Ш+кХіЛ(і)Ш J (РИМ; «з)
еУ)-Ш+*ЛЪШ)), в()-Ш- <*»
Системы (13) и (14), в случае если они не интегрируются в явном виде, можно решать известными приближенными методами, в частности, методом усреднения [43, 44J .
Доказана теорема обеспечивающая близость XOt) и X(i) Вторая глава посвящена применению приближенных методов к решению задач вязкоупругости. В б приведено исследование флаттера вязкоупругои пластинки методом, предложенным в пятом параграфе. Колебания пластинки описываются уравнение 4. - ~4
эх-
= ы(х,{)
х*о
і Зі
_дгит(х,і)
Х=о
х-{
= ur(xj)
Х*1
'0;
- II -
Здесь ІГ - скорость пластинки, Е - мгновенный модуль упругости, у - коэффициент Пуассона, R(i) - функция релаксации, Р - плотность материала пластинки, р0 и С0 - давление газа и скорость звука в газе на со , 96 - показатель политропы газа, и h соответственно длина и толщина пластинки.
Рассмотрим случай, когда аэродинамическим демпфированием можно пренебречь, т.е. К& - 0.
Решение (15) ищем в виде:
lorQC, і) V/ (і)5ШЖХ +Jz(t)sin2TX.
Применяя метод Бубнова-Галеркина, относительно^//) ^ fsM получим следующую систему интегро-дифференциальных уравнений:
\l -6f< - a*h ~tajr(i -t)ft (r)dr, здесь а і =т\ аг =/6jfj & = &ird -^-
Эта система сводится к системе интегральных уравнений, которую решаем методом, приложенным в предыдущем параграфе.Задача,таким образом, сводится после усреднения к исследованию решения следующих систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
сиб JL
4)=t брЛРг-pf) & ^({J~2p*(pW г m-(I7)
-Решение систем (16) и (17) устойчиво при
7 п *
где О - значение, характеризующее критическую скорость уп]
Л**
гой пластинки. Величина О определяет критическую скорость
**
флаттера вязкоупругой пластинки
23Є-
Таким образом, учет вязкого сопротивления приводит к снижению критической скорости пластинки, в сравнении с решением аналогичной задачи в упругой постановке. Полученный результат согласуется с выводом полученным в [27J . Однако, в отличие от этой работы, где автору необходимо было исследовать систему четвертого порядка, при данном подходе пришлось исследовать две независимые друг от друга системы второго порядка, что намного упрощает решение задачи.
В 7 этим же методом исследуются на устойчивость колебания вязкоупругой трубы с протекающей жидкостью, которые описываются уравнением [39J :
{
- ІЗ -
/А
где іґ = V~jT\ С
з J* = \f>*+Jz%J " безразмерные параметры скорости и плотности. Получено, что колебания устойчивы при tr < / . Однако, как и в работе [5], нам не удалось найти аналитического выражения для критической скорости с учетом вязкого сопротивления. Это связано с тем, что при решении мы усредняли полученные системы дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, а это ведет к потере некоторых членов порядка <5 . Поэтому данная задача решается методом эквивалентного соответствия |8І 9 так как этот метод может быть использован в тех случаях, когда методы, использующие усреднение, не дают результата.
Согласно метода эквивалентного соответствия в первом приближении рассмотрим систему дифференциальных уравнений:
J-U + е}кШ(- і)сСз) J- &Jk(s) ff(t-s)cts?.,
где У() " фундаментальная матрица системы у * jft^y
(16)
J-
0 10 0 -Jp&)0 0 #&* 0 0 0 1
, т-
о о о
J*f(s) ооо
ооо
О 4ф
о о /біЩ о
Параметр д~ входящий в систему (18) считаем неопределенной величиной и находим из условия, что действительная часть корней характеристического уравнения, соответствующего однородной части системы (18), меньше, либо равна нулю. Рассмотрены случаи изменения скорости потока в окрестности значения критической скорости, определяемого в упругой случае [39,29] -*-/ . Найдено аналитиче-
ское выражение для критической скорости.
Здесь oCip Jd>і - величины,зависящие от вязкоупругих свойств материала трубы. Из выражения &-а следует, что fep < 2г.
Рассмотрено как влияют параметры ядра на критическую скорость
жидкости на примере слабосингулярного трехпараметрического ядра
Ржаницына-Колтуно ва . Составлена
программа для подсчета критической скорости в зависимости от различных значений параметров -л7 сС, ^5 . Полученные результаты приведены в таблицах.
Завершается диссертация исследованием свободных колебаний линейной вязкоупругой системы с одной степенью свободы, поведение которой во времени описывается уравнением
t X + со&х = соА/г(і ~ r)x(r)dr
Х(о)~-а7 х(о)*б,
где СО - собственная частота колебаний; <5 >0 - малый параметр; Г() - непрерывная медленно убывающая функция, характеризующая вязкоупругие свойства среды.
С точностью до членов порядка б , это уравнение эквивалентно следующему интегральному уравнению с вырожденным ядром
Г t *
U-
- бсо
rcJsLnco5X(.s)ds + rsfcoscosx(s)c/s xsinoJt\^5
-czooJcosoL>s +
t v -r
+ a>\&fcoscosx(s)
L О о ~J
(19)
где Га =Jeosoo&r(V)d&, Л =Jstnco&r(&)d&3
о о
t
Решая (19) модифицированным методом последовательных приближений, получим:
x(t) = e
-сс{,
> +
і-
-et(i-t)
au)l(f) +63(r)\sLnco(-6 -?)atV;
здесь
ct =
SodPs
p(V-
FcStn^i *-g-s^«2a>*j
Наличие интегрального слагаемого в решении свидетельствует о том, что свободные колебания вязкоупругой системы происходят около положения, которое с течением времени стремится к нулевому, что подтверждает известные выводы,сделанные в [35]для частной мо-
=-16-
дели и экспоненциального ядра. Найденное решение является более точным, чем решение этой задачи, полученное методом усреднения [21] и методом эквивалентной линеаризации [9J.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [48 - 5Ї] .
Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю благодарность научному руководителю член-корреспонденту АН УзССР, доктору физико-математических наук, профессору А.Н. Филатову, а также кандидату физико-математических наук, доценту Э.И. Гегелю за постоянное внимание и помощь в работе.
Модифицированный метод последовательных приближений для интегральных уравнений Вольтерра с вырожденным ядром
Граничные условия могут быть заданы различным образом. Например: на границе заданы только перемещения; или только напряжения; или когда на одной части границы заданы перемещения, а на другой - напряжения и т.д.
Из (I.II) следует, что динамические уравнения линейной теории вязкоупругости получаются из динамических уравнений теории упругости, заменой констант Ляме Л и JU на операторы Л - Л и JU -Ji , определяемые формулами (1.9) и (1.10). Пользуясь этим замечанием, из соответствующих уравнений колебаний упругих стержней, балок, плит, оболочек и т.д. легко получить соответствующие уравнения колебаний вязкоупругих стержней, балок, плит, оболочек и т.д. Так, например, уравнения продольных колебаний вязкоупругого стержня и поперечные колебания однородной вязкоупругой балки, у которых постоянное поперечное сечение t_jT2. имеют вид:
Здесь 7(X,{) , Wfeyi) - соответственно продольные и поперечные перемещения; Е - мгновенный приведенный модуль; J? - плотность материала; Q - нагрузка на единицу длины балки; Jrf - масса единицы длины балки; M=J)S2, ; 3 - приведенная изгибная жесткость: д Е » У/ =J? dF , Ґ (і) = Я (t)IЕ » причем Я (і) - универсальная функция релаксации материала при растяжении.
Теория, базирующаяся на соотношениях (1.2) и (1.6)f называется линейной теорией вязкоупругости. Приведенные уравнения колебаний вязкоупругого стержня и балки (I.13) и (I.I4), как и динамическая система линейных уравнений вязкоупругости CI.II), могут быть сведены к конечной или бесконечной системе обыкновенных по времени интегро-дифференциальных уравнений различными методами, которые используются при решении динамических задач теории упругости. Например, методом представления вектора if через фундаментальную систему координатных функций однородной задачи, методом Бубнова-Галеркина и др. Так система (I.II) и уравнения (І.ІЗ), (I.I4) могут быть приведены к системе линейных интегро-дифференциальных уравнений вида: где А/ - число координатных функций; J-» (і) - амплитудные функции времени; Рщ - известные действительные величины; Гні - линейные функции всех входящих в исходные уравнения ядер Г с действительными коэффициентами; Fn(i) - амплитуды внешних нагрузок. Таким образом, решение линейных задач динамики вязкоупругих тел приводится к исследованию линейных систем интегро-дифферен-циальных уравнений. В [ I2J указывается, что в силовых конструкциях из полимерных материалов всегда применяется армирование. Армирующая структура практически является вполне упругой и несет основную нагрузку, связующий же материал позволяет сохранять пространственную неиз меняемость конструкции, воспринимая на себя относительно малые нагружения, и одновременно повышает вязкость конструкции и влия ет на ее колебания. Для таких конструкций ядра, входящие в опера тора Л и JH , пропорциональны некоторому малому пара метру. Поэтому в системе (I.I5) в дальнейшем будем считать, что интегральные слагаемые пропорциональны малому параметру S О С учетом этого замечания, переходя к матричной записи, система уравнений (I.I5) может быть представлена в следующем виде.
О схемах, позволяющих использовать модифицированный метод последовательных приближений в задачах вязкоупругости
Важным типом колебаний являются автоколебания. Под ними понимаются незатухающие колебания, которые могут существовать в системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, причем амплитуда и период колебаний определяются свойствами самой системы. Энергию для поддержания автоколебаний доставляет некоторый внешний источник.
Одним из наиболее важных видов автоколебаний в технике являются вибрации типа флаттера. Колебания такого вида возникают в случае воздействия на деформируемую систему потока жидкости или газа. Особенность таких колебаний состоит в том, что они поддерживаются за счет энергии, доставляемой набегающим потоком. При обтекании конструкции поток оказывает различное действие на нее в зависимости от положения системы. Деформация конструкции приводит во время подобных колебаний к тому, что она непрерывно меняет свою ориентацию по отношению к потоку. При этом происходит возрастание или уменьшение давления в различных точках, что приводит к изменению подъемной силы и момента. Следовательно, мы получаем связанную систему "упругая конструкция - газовый поток", непрерывно меняющую свои характеристики. При некоторых параметрах этой системы амплитуды перемещений, имеющие колебательный характер,резко возрастают.
Флаттер - многообразное явление, наблюдаемое в различных областях техники. Развивающиеся в системе колебания типа флаттера представляют собой при некоторых условиях серьезную опасность для общей и местной прочности конструкции. В связи с этим, изучение всего круга вопросов в области теории упругости, а также гидро- и аэродинамики, относящихся к явлению флаттера, составляет большой научный и практический интерес.
Если при обсуждении явлений флаттера нас интересуют лишь критические параметры, например критическая скорость, то задачу можно изучать в линеаризированной постановке. В условиях плоской зада Постановка задачи о колебаниях упругой пластинки обтекаемой сверхзвуковым потоком газа дана в чи в этой работе была найдена связь между характеристиками собственных колебаний пластинки и скоростью движущегося потока газа. Позднее задачи о флаттере рассматривали многие исследователи и у нас, и за рубежом б, 31 . Флаттер вязкоупругой пластинки, в линейной постановке, впервые был рассмотрен в 27 , где с помощью метода усреднения было показано, что учет вязкости приводит к снижению критической скорости потока газа. В работе 23 исследован нелинейный флаттер вязкоупругой пластинки с учетом геометрической и аэродинамической нелинейности. В данном параграфе приведено исследование линейного флаттера вязкоупругой пластинки методом предложенным в предыдущем параграфе. Подход к решению поставленной задачи отличается от примененного в работах [23, 27, 4б]. Рассмотрим малые колебания плоской вязкоупругой пластинки бесконечной ширины, толщиной , длиной с , движущейся прямолинейно с большой сверхзвуковой скоростью и в некоторой газовой среде. Движение рассматриваемой пластинки относительно газа происходит без угла атаки. Введем в плоскости пластинки ось координат ОХ , направление которой совпадает с направлением движения пластинки. Полагая, что зависимость между напряжением и деформацией материала пластинки следует линейной теории вязкоупругости, а силы аэродинамического воздействия учитываются согласно поршневой теории [I5J, получим для описания малых прогибов пластинки , следующее уравнение: где _ мгновенный модуль упругости; у - коэффициент Пуассона; R(i) - функция релаксации; J - плотность материала пластинки; Р0 ТА С - давление газа и скорость звука в газе на 2о , as - показатель политропы газа. Запишем уравнение колебаний (6.1) в безразмерной форме, принимая, что координата X отнесена к длине С , перемещение UX - к толщине ft , а время zf, Т - к отношению , получим: Рассмотрим случай, когда края пластинки шарнирно оперты и будем искать решение уравнения (6.2) в виде: Ядро Г (сJ , входящее в (6.2), характеризует скорость процесса релаксации. Это положительная, монотонно убывающая до нуля функция, причем / ( ) и г/(С/ интегрируются в интервале ( О2 оо ). Вязкое сопротивление большинства жестких полимеров и армированных пластиков мало по сравнению с их основным сопротивлением. Поэтому, имея в виду указанные материалы, будем предполагать, что интегральное слагаемое входящее в (6.2) пропорционально малому параметру Рассмотрим случай, когда аэродинамическим демпфированием можно пренебречь, Т.Е. Kz = 0. Применяя метод Бубнова-Галеркина, относительно 7v (tj и J# (і) получим следуклцую систему ин-тегро-дифференциальных уравнений:
Устойчивость колебаний вязкоупругой трубы с протекающей в ней жидкостью
Таким образом, учет вязкого сопротивления приводит к снижению критической скорости пластинки по сравнению с аналогичной задачей в упругой постановке. Данный вывод согласуется с результатом полученным в работе [27] , где эта задача исследовалась методом усреднения. В [27] для нахождения критической скорости авто- ру пришлось исследовать сложную систему четырех уравнений. В отличие от этой работы, для нахождения критической скорости мы исследуем лишь две системы второго порядка, что намного упрощает решение задачи.
Представим себе круговую цилиндрическую оболочку с протекающей внутри ее жидкостью. При изменении скоростей точек жидкости во времени и пространстве имеет место перераспределение давления; следовательно, оболочка будет подвергаться нагрузке, изменяющейся во времени, вдоль образующей и по окружности. Одной из важных задач динамики таких систем "оболочка-жидкость" является изучение автоколебаний. Здесь источником энергии является поток жидкости и движение трубы сочетает в себе различные типы собственных колебаний. При этом труба может рассматриваться в одних случаях как балка, а в других - как тонкостенная оболочка. Эта задача возникает при изучении элементов гидроприводов в летательных аппаратах, магистральных и технологических трубопроводах и т.д.
Первое решение задачи, в которой рассматривалась устойчивость оболочки с протекающей жидкостью, принадлежало В.И. Феодосьеву. Им в [39] была найдена связь между характеристиками собственных колебаний упругой трубы и скоростью движущегося потока жидкости. Задача об устойчивости трубы решена методом Галеркина. В J g] эта задача была решена прямым методом Ляпунова без предположения о представимости прогиба в виде произведения функции координат на функцию времени. Показано, что полученное в [39] значение критической скорости является точным. В [ 5] методом усреднения были рассмотрены свободные колебания вязкоупругой трубы с протекающей жидкостью.
В данном параграфе исследуем устойчивость колебаний вязко-упругой трубы при протекании через нее жидкости. Колебания трубы с протекающей жидкостью в упругой постановке описываются уравнением[39] : где ы - прогиб трубы; X - координата вдоль оси трубы; Е J - изгибная жесткость трубы; и / - массы трубы и жидкости соответственно приходящиеся на единицу длины трубы; V - скорость жидкости в направлении оси X ; СХ - длина трубы. Второй член уравнения (7.1) соответствует центробежной силе, сообщаемой жидкостью трубе при кривизне потока jf , третий член-это инерционная сила кориолисова ускорения - tr cfzw/cPX&o, четвертый - инерционная нагрузка поперечного ускорения трубы и жидкости. В прикладной теории вязкоупругости [12]динамические уравнения получаются из соответствующих уравнений упругих колебаний,заменой модуля Е по. Е -Е , где - мгновенный модуль упругости; К (ІJ - универсальная функция релаксации материала. Уравнение колебаний вязкоупругой трубы после введения безразмерных переменных запишется в виде; В 47J , где исследуется на сходимость метод Бубнова-Галеркина, показано, что ограничение решения уравнения (7.2) двухчленный аппроксимацией по собственньм функциям колебаний в виде (7.3) раскрывает механику рассматриваемого явления и дает практически приемлемые результаты. Предполагая, что интегральное слагаемое, входящее в (7.2) пропорционально малому параметру , и,применяя метод Бубнова-Галеркина, относительно /// KjJij} получим следующую - 75 систему интегро-дифференциальных уравнений; t Как показано в I, система (7.4) сводится к системе интегральных уравнений
Исследование свободных колебаний линейной вязкоупругой системы
Для таких ядер была составлена программа подсчета критической скорости в зависимости от различных параметров J/;Ot;J0 . Подсчет произведен на ЭШ EC-I022. Полученные результаты приведены в таблицах. Из таблиц видно, что с увеличением значения параметра Ji при неизменных оС и j величина критической скорости уменьшается. Причем, чем меньше оС , тем быстрей это изме нение. С ростом П изменения значений критической скоро сти незначительны, т.к. О - безразмерный параметр плотно сти. При одинаковых значениях параметров Л и J5 больше му оС соответствует и большая величина критической скоро сти. Таким образом, найденное значение сГкр характеризует зависимость критической скорости жидкости от вязкоупругих свойств материала трубы. 8. Исследование свободных колебаний линейной вязкоупругой системы Рассмотрим продольные колебания линейного вязкоупругого стержня. В упругой постановке уравнение колебаний имеет вид Зі] где tl(Xj с/ - продольные перемещения поперечного сечения стержня» Е - модуль упругости; П - плотность стержня. Уравнение (8.1) будет описывать продольные колебания линейного вязкоупругого стержня, если в этом уравнении заменить модуль упругости Е на Е Е , где здесь 5/(т) - ядро релаксации материала стержня; f О - малый параметр. Следовательно, продольные колебания вязкоупругого стержня описываются интегродифференциальным уравнением:Э « .eCD Jr(i-r)3-! dr. (8.2) К уравнению (8.2) необходимо присоединить соответствующие граничные и начальные условия. Полученное уравнение допускает разделение переменных и,следовательно, его решение можно искать методом Фурье. Частные решения (8.2), не равные тождественно нулю, будем искать в виде произведения: Подставляя (6.3) в (8.2), получим: Откуда для определения функций Т(Х) nX(i) имеем два независимых уравнения Решая уравнение (8.4) с граничными условиями, найдем координатные функции/лг (X) г и собственные значения J рЛ рассматриваемой краевой задачи. В частности, полагая, что стержень имеет свободные концы, т.е. где 0 - длина, получим для определения -ІРлгІ уравнения; и,следовательно,координатные функции имеют вид При = О исследуемая задача вырождается в задачу о продольных колебаниях соответствующего упругого стержня. Отметим, что уравнение (8.4) не зависит от величин, характеризующих вязкое сопротивление стержня. Если и граничные условия не зависят от этих величин, то краевые задачи для упругого и вязкоупругого стержней тождественны. При этом собственные значения \рЛ входящие в уравнение (8.5), - частоты собственных колебаний соответствующего упругого стержня. Таким образом, общее решение уравнения (8.2) записывается в виде ряда: где Тк (X) - координатные функции найденные при решении соответствующей упругой задачи, а Хк () - функции, являющиеся решением интегродифференциального уравнения (8.5) и удовлетворяющие начальным условиям.
Таким образом, задача свелась к исследованию интегродифференциального уравнения, которым,как известнор,30], описываются свободные колебания вязкоупругой системы с одной степенью свободы: где СО - собственная частота колебаний; б О - малый параметр; Г (iJ - непрерывная, медленно убывающая функция характеризующая вязкоупругие свойства среды. Для исследования решения уравнения (8.6) запишем данное уравнение в интегральной форме:
