Введение к работе
Актуальность
В настоящее время математическая теория пластичности является одной из хорошо разработанных частей механики деформируемого твердого тела. Первые работы по математической теории пластичности относятся к семидесятым годам XIX века и связаны с именами А. Треска, Б. Сен-Венана, М.Леви.
Система дифференциальных уравнений двумерной идеальной пластичности является важной основой, как для механиков, так и для инженеров, потому что служит моделью для расчета различных технологических процессов.
Систематическое исследование двумерных полей напряжений при пластическом состоянии было начато в 20-х годах XX века. В его основе лежит метод, основанный на изучении характеристик гиперболической системы пластичности. Эти характеристики, известные как линии скольжения, обладают рядом замечательных свойств и позволяют построить решения многих практических задач. Развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связано с именами Г. Гейрингер, Г. Генки, В. Койтера, Е. Ли, А. Надай, Е. Оната, В. Прагера, Л. Прандтля, Р. Хилла и др. Вопросам и задачам теории идеальной пластичности, упругопластичности посвящены многочисленные работы отечественных авторов: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, Ю.Н. Радаева, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, С.А. Христиановича, А.И. Хромова, В.М. Садовского и
др.
Однако до настоящего времени уравнения теории пластичности не исследованы в полной мере. Вся сложность заключается в нелинейности системы дифференциальных уравнений, как в двумерном, так и в
пространственном случаях. Точные решения в замкнутом виде приведены в работах Л. Прандтля, А. Надай, Д.Д. Ивлева, В.В. Соколовского, Б.Д. Аннина, СИ. Сенашова и др.
Для системы двумерных уравнений пластичности известно несколько точных решений позволяющих анализировать механические процессы. Точные решения используются для тестирования численных методов; оценки надежности несущих конструкций и т.п. Поэтому каждое новое точное решение представляет несомненный теоретический и практический интерес.
Одним из современных методов поиска точных решений дифференциальных уравнений механики является групповой анализ, базой которого являются группы непрерывных преобразований (или точечные симметрии), допускаемые уравнениями. Симметрии позволяют искать различные виды решений, получать новые решения из известных и т.п. В данной работе продолжаются исследования в этом направлении, начатые Б.Д. Анниным, СИ. Сенашовым для двумерных уравнений идеальной пластичности.
Целью работы является построение новых точных решений уравнений анизотропной теории пластичности с применением методов группового анализа, а также использование законов сохранения для нахождения аналитического решения задачи о волне нагрузки в упругопластическом стержне.
Методика исследования. В основу исследования положены: методы группового анализа, а также методы уравнений в частных производных.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
Основные элементы новизны в диссертации:
предложена методика построения решений уравнений идеальной пластичности с помощью высших симметрии;
найдены новые точные решения уравнений анизотропной пластичности в двумерном случае с помощью группы непрерывных преобразований;
решена задача о распространении продольной плоской волны нагрузки в однородном полубесконечном упругопластическом стержне с помощью законов сохранения.
Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений анизотропной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов. Найденные решения могут быть использованы как тестовые при численных расчетах.
Апробация. Результаты, полученные в работе на разных этапах ее выполнения докладывались и обсуждались на:
-
LXV Международной конференции «Герценовские чтения-2012» (Санкт-Петербург, 2012 г.);
-
II Всероссийской конференции "Деформирование и разрушение структурно-неоднородных сред и конструкций", посвященной 85-летию со дня рождения профессора О.В. Соснина (Новосибирск, 2011 г.);
-
XIV Международной научной конференции, имени академика М. Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2010 г.);
Полученные результаты докладывались на научных семинарах СибГАУ.
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять печатных работ. Из них две статьи в изданиях из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, списка литературы из 67 наименований и занимает 129 страницы машинописного текста.
Для удобства ссылок, нумерация формул здесь соответствует нумерации, приводимой в диссертации.
