Введение к работе
Актуальность. Теория пластичности изучает основные закономерности пластических деформаций материалов, устанавливает связь между напряжениями и деформациями или скоростями деформаций в пластически деформируемой области.
Как известно, твердые тела являются упругими лишь при малых нагрузках; при воздействии более или менее значительных сил тела способны проявлять пластические свойства, поэтому наиболее широкое практическое применение теория пластичности получила в тяжелой промышленности, в частности, в металлургии и машиностроении, а также строительной механике, горном деле и т.д. Важнейшие технологические процессы - штамповка, прокат и волочение металла, ковка, - описываются дифференциальными уравнениями пластичности.
Исследованию систем уравнений теории пластичности для плоского случая посвящены труды Б. Сен-Венана, М. Леви, Р. Мизеса, Л. Прандтля, А. Надай, Р. Хилла, X. Треска, С. А. Христиановича, В. В. Соколовского, Б. Д. Аннина, Д. Д. Ивлева, С. И. Сенашова и др.
Выведенные более сотни лет назад уравнения пластичности до настоящего времени исследованы недостаточно. Традиционно такие дифференциальные уравнения решаются численно или аналитически. На сегодняшний день при массовом распространении ПЭВМ широкое применение находят численные методы решения, которые обладают общеизвестными недостатками. За всю историю исследования системы двумерных уравнений пластичности было получено лишь несколько точных её решений, каждое из которых описывает реальный физический процесс. Аналитические решения позволяют описывать реальное напряженно - деформированное состояние пластической среды; они также широко используются для тестирования численных методов и программ.
Таким образом, получение новых точных решений двумерной системы уравнений идеальной пластичности является актуальной задачей.
Целью работы является построение новых точных решений двумерных уравнений идеальной пластичности с помощью исследования этих уравнений методами группового анализа.
Научная новизна:
Найдены новые точные решения системы двумерных уравнений идеальной пластичности, которые, в частности, могут быть использованы для описания сжатия полуплоскости жесткой плитой.
Найдены новые двумерные поля скоростей деформаций идеальной пластической среды, которые совместно с решением Прандтля могут быть использованы для решения задачи о сжатии пластического слоя жесткими плитами.
Найдены высшие симметрии и законы сохранения уравнений, описывающих двумерное поле скоростей деформаций идеальной пластической среды.
Найдены симметрии второго порядка для системы уравнений, описывающих одномерный поток гранулированного материала.
Теоретическое и практическое значение работы заключается в построении новых точных решений системы уравнений идеальной пластической среды, которые найдут применение в теоретических и практических исследованиях при изучении поведения материалов при пластических деформациях, установлении законов деформирования материалов, могут быть использованы как тестовые.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинарах СибГАУ и ИВМ СО РАН и обсуждались на конференциях: Международной конференции, посвященной 105-летию со дня рождения академика М.А. Лаврентьева «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике (Новосибирск, 2005 г.), IX Всероссийской научной конференции с международным участием, посвященной 81-летию со дня рождения генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева «Решетневские чтения» (Красноярск, 2005 г.), Международной
конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика И.Н. Векуа «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения» (Новосибирск,
г.), The Seventh International Conference «Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics» (Киев, 2007 г.), Всероссийской научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых специалистов «Актуальные проблемы авиации и космонавтики» (Красноярск, 2007 г.), Всероссийской научной конференции «Герценовские чтения. Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования» (Санкт-Петербург,
г.), Международной научной конференции «Современные проблемы математического моделирования и вычислительных технологий-2008» (Красноярск, 2008 г.), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений» (Новосибирск, 2008 г.).
Исследования, проводимые по данной работе, были поддержаны следующими грантами:
Красноярский краевой фонд науки 2007, 2008 гг.;
Российский фонд фундаментальных исследований 2007 г.;
По результатам исследований автору была присуждена государственная премия Красноярского края в области профессионального образования в 2008 г.
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 11 печатных работ. Из них 2 статьи опубликованы в научных изданиях из Перечня ВАК.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографического списка, включающего 69 наименований. Общий объем диссертации составляет 138 страниц и включает 4 рисунка.
