Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Построение математической модели решения плоской задачи теории пластичности . 15
1.1. Постановка задачи и модель изотропно упрочняющегося вязко-пластического мате -риала 15
1.2. Численный метод решения задачи 17
1.3. Построение численной схемы 21
1.3.1. Построение системы уравнений 21
1.3.2. Алгоритм решения уравнений пластичности. 27
1.3.3. Доказательство единственности решения 32
1.3.4. Исследование сходимости решения 41
Глава 2. Задача о кристаллизации стального двутаврового профиля 44
2.1. Кристаллизация в свободном пространстве. 46
2.2. Кристаллизация в замкнутом пространстве . 47
2.3. Кристаллизация в частично замкнутом пространстве 50
Глава 3. Задача о деформации стальной полосы в неоднородном температурном поле наклонными штампами 53
3.1. Деформация однородной по структуре поло-
3.2. Деформация полосы, имеющей дефектные образования 57
3.3. Деформация полосы штампом сложной конфигурации 63
Глава 4. Задача о деформации стальной неоднородной полосы под действием системы плоско параллельных штампов 66
4.1. Деформация полосы под действием несим -метрично приложенной нагрузки 66
4.2. Внедрение штампов различной конфигурации в ограниченное полупространство 70
4.3. Деформация биметаллической полосы под действием системы штампов 77
Глава 5. Применение полученных решений к анализу некоторых технологических процессов . 80
Заключение 25
Литература 97
Приложение 105
- Постановка задачи и модель изотропно упрочняющегося вязко-пластического мате -риала
- Кристаллизация в замкнутом пространстве
- Деформация полосы, имеющей дефектные образования
- Внедрение штампов различной конфигурации в ограниченное полупространство
Введение к работе
При проектировании современных строительных конструкций, при расчете элементов машин и механизмов, при создании лета -тельных аппаратов очень важным вопросом является определение напряжений и деформаций, возникающих в материале при действии на него внешних нагрузок. Стремление наиболее полно использовать несущую способность материала, выявить наилучшую форму конструкции, определить необходимые усилия для осуществления процессов пластического деформирования металлов обусловили по вышенный интерес к теории нелинейной упругости и теории пластичности, эффективные методы решения задач которых успешно разрабатываются советскими и зарубежными учеными.
Большой вклад в развитие теории упругости и теории пластичности внесли А.А.Ильюшин f28], Д.Д.Ивлев [ 5], Л.С.Лейбен-зон [50], Н.И.Мусхелишвили [64], А.И.Лурье [51], А.Надай [55], [56], В.В.Новожилов [9,52], В.Прагер [4,57], Ю.Н.Работнов [8], Л.И.Седов [53,54j, В.В.Соколовский [7], Р.Хилл [3], Ф.Ходж [4] и другие ученые.
Развитию эффективных методов решения задач теории упру -гости и пластичности, а также расширению круга решенных практически важных задач способствовало привлечение для этих целей быстродействующих электронно-вычислительных машин.Универсальность их применения для решения любых сложных задач дало толчок к развитию таких методов, которые поддаются большей алгоритмизации и оказываются наиболее удобными для реализации на ЭВМ.
Одним из первых методов, с помощью которого были решены многие важные практические задачи, был метод характеристик или линий скольжения. Он был разработан для решения задач пластического течения при использовании модели жестко-пластического тела. Основные теоретические положения метода разра -ботаны Г.Генки и Л.Прандтлем [ 1,2]. Большой вклад в разви -тие метода внесли Р.Хилл [3], В.Прагер [4], Ф.Ходж [4І, А.Фрейденталь [II], Х.Гейрингер fllj и другие ученые. Общее решение плоской задачи получено С.А.Христиановичем (10]. В случае плоской деформации, напряженное состояние в точке полностью определено, если известно направление линий скольжения и величина среднего напряжения. Для частных задач, учиты -вая свойства линий скольжения и граничные условия, можно оп -ределить поля линий скольжения, которые являются характерне -тиками дифференциальных уравнений плоской деформации. Сравнительная легкость, с которой существующие методы анализа могли быть применены в этом случае, послужила широкому внедрению метода линий скольжения к решению двумерных технологических задач. Одной из первых была рассмотрена задача о начальном те чении при вдавливании плоского жесткого штампа в полубеско -нечное тело. Полученные Л.Прандтлем и Р.Хиллом решения [2,3] отличаются полем скоростей, но дают одинаковое значение дав -ления штампа. В работах В.Прагера [4І и Г.И.Быковцева [13] по строены решения, являющиеся комбинацией решений Л.Прандтля и Р.Хилла, Это говорит о том, что при использовании схемы идеального жесткопластического тела возможна неоднозначность решения.
В дальнейшем метод линий скольжения получил развитие при исследовании таких технологических процессов как листовая вытяжка, выдавливание, прокатка, ковка, волочение в работах Г.И. Быковцева [6,14,15,25,26], Б.А.Друянова [16,17,19-23], Д.Д. Ивлева [5,6], Р.И.Непершина [24], В.Прагера [4], В.В.Соколов- ского [7,18], Р.Хилла [3], Ф.Ходжа [4], А.Д.Томленова [ 27J и других ученых.
Здесь наибольший интерес представляет предсказание усилий, необходимых для осуществления данного процесса обработки, и анализ происходящих деформаций. Экспериментальные данные подтверждают достаточную точность результатов, получае -мых методом линий скольжения, по крайней мере, при определении усилий. Однако необходимо отметить, что большие деформации, которыми сопровождаются указанные технологические процессы, вызывают упрочнение материала. Для процессов холодной обработки металлов, при незначительном упрочнении совпадение теоретических и экспериментальных результатов хорошее,.и отклонения рассчитанных усилий от опытных не превышают 10%.
В процессах горячей обработки металлов значительное вли яние оказывает температура, и здесь экспериментальные данные могут заметно отличаться от теоретических.
В указанных выше работах получены решения для начального, установившегося и неустановившегося пластических течений, для однородного и неоднородного материала, с учетом и без учета трения на границе инструмента с деформируемым материалом. Основными и наиболее простыми методами применяемыми для построения полей линий скольжения, являются численные, основанные на переходе к конечно-разностным соотношениям и использовании свойств линий скольжения. Различные варианты таких построений приведены в работах Р.Хилла [з], В.Прагера [4І В.В.Соколовского [7]. Несмотря на широкое развитие, метод имеет ряд допущений при рассмотрении поведения реальных материалов: не учитываются действительные свойства материалов--температура, степень и скорость деформации; большие затруд - нения вызывает построение линий скольжения при исследовании сложной деформации.
Изучение деформации материала с отражением его действительных свойств может быть осуществлено с применением вариационных методов. Основоположниками их применения к задачам теории пластичности и упругости являются А.А.Гвоздев [75І, А.А.Ильгошин [28], А.А.Марков [29], С.Г.Михлин [30], В.В.Но -вожилов [9], В.Драгер и Ф.-Ходж [4], Р.Хилл [з] и другие ученые.
Вариационные методы основаны на экстремальных принципах механики сплошной среды. Согласно этим принципам интегриро -вание дифференциальных уравнений при заданных краевых уело -виях можно заменить нахождением функции, которая сообщает минимальное значение некоторому функционалу, соответствующему данной системе дифференциальных уравнений. В механике сплошной среды, в частности, в теории пластичности,этот функ ционал выражает диссипацию энергии деформации.
Решение вариационной задачи представляет большие мате -матические трудности, в связи с чем применяют так называемые прямые (приближенные) методы. Эти методы сводят задачи тео -рии дифференциальных и интегральных уравнений к конечным системам алгебраических уравнений.
Из существующих прямых методов наибольшее распространение получил метод Ритца. Этот метод состоит в том, что решение для перемещений отыскивается в виде ряда, состоящего из подходящих функций, одна часть которых удовлетворяет граничным условиям, другая - нулевым условиям на границе области деформирования. Коэффициенты при координатных функциях находятся из условия минимума функционала. При достаточно боль - шом количестве членов ряда можно получить решение близкое к точному, однако трудности, возникающие при выборе координат -ных функций, громоздкость математических выкладок ив то же время бурное развитие вычислительной техники заставили обратить внимание исследователей на дискретные методы решения задач пластичности.
Развитием вариационного метода в этом направлении является метод локальных вариаций,предложенный Ф.Л.Черноусько [Зі] и развитый в работах [32-35]. Идея этого метода заключается в том, что область, ограниченная контуром, разбивается на прямоугольные ячейки.Уеловия на контуре переносятся на граничные точки полученной прямоугольной области. Интеграл по области переписывается в виде суммы интегралов по каждой ячейке. Этот интеграл приблизительно определяется через усредненные по ячейке значения функций скорости перемещения и ее производных, представленных в конечно-разностном виде. При варьировании функции скорости в узле изменяется не вся сумма интегралов, а только те интегралы, которые включают эту функцию. Поэтому варьирование носит локальный характер.
Этот метод, в отличие от вариационного, прост,экономичен, не связан с выбором координатных функций. Метод локальных вариаций получил распространение в основном при решении задач теории упругости. При использовании этого метода необходимо учитывать, что удовлетворительные результаты получаются тогда, когда уравнения связи между параметрами сводятся к граничным условиям. В противном случае обеспечивается только частичная локальность вариаций и при разработке алгоритма решения задачи необходимо учитывать влияние каждого параметра в исследуемой области.
Дня решения дифференциальных уравнений в частных производных был разработан метод конечных разностей - работы В.Ва зова и Дж.Форсайта Г 38], Ш.Е.Микеладзе [37], Л.Коллатца [Зб1 А.А.Самарского [39] и других ученых. Наибольшее распростра -нение этот метод получил при решении плоских задач [40-42І . Внимание к этому методу в последнее время обусловлено внед -рением в практику расчетов ЭВМ и успешным использованием аппарата матричной алгебры. Это привело к упрощению записи алгоритма задач и возможности решения задач, имеющих боль -шой объем вычислений.
Идея метода состоит в замене обыкновенных и частных про изводных, входящих в дифференциальные уравнения и соотноше -ния, их приближенными выражениями, в которых дифференциалы заменены конечными приращениями. Для этого на исследуемую область наносится сетка, чаще всего прямоугольная. При этом действующую нагрузку и правые части дифференциальных уравнений представляют в виде факторов, отнесенных к узлам сетки. Для реализации граничных условий они переносятся на аппрок -симирующий контур. В случае криволинейного контура исследуемой области граничные условия удовлетворяются путем последовательных приближений, так как для переноса их на контур сеточной области необходимо знать значения функций во внутренних точках области, а последние известны после решения задачи. После аппроксимации получается линейная или нелинейная система алгебраических уравнений и задача состоит в отыскании эффективных методов решений системы. На создание компакт ных, универсальных,экономичных по затрате машинного времени алгоритмов и сосредоточено внимание исследователей.
К недостаткам метода следует отнести неоднородность ко- - ю - нечно-разностной схемы и то, что его применение к сложным по конфигурации областям связано с индивидуальным подходом к каждой из них.
В последнее время, наверное, основным численным методом решения прикладных задач стал метод конечных элементов. Возникший в начале 30-х годов, как инженерный метод расчета на прочность металлических конструкций, он получил математиче -ское обоснование в трудах Дж.Аргириса [44,65], О.Зенкевича [43,45,46], Р.Клафа [47], В.Г.Корнеева [58,67]. Согласно это му методу, область, занимаемая телом, разбивается на элементы простой формы. Для плоского случая это чаще всего тре -угольники, а для пространственного - тетраэдры. По каждому элементу задаются некоторые функции, позволяющие определить перемещения внутри элементов по перемещениям в узлах. Определяя затем деформации и напряжения, получают выражение для энергии, как функцию узловых смещений, при вариации ко -торых формируется система алгебраических уравнений. Из ее ре шения определяются искомые перемещения узлов. Необходимо отметить, что распределенная нагрузка заменяет^ГэквившентнЙ узловой. Метод конечных элементов часто трактуется как метод Ритца. Различие между ними заключается в выборе системы ко -ординатных функций. В методе Ритца эти функции задаются для всей рассматриваемой области, а в методе конечных элементов-для каждого элемента и через множество этих функций опреде -ляется состояние всей системы. В первом случае варьируют по параметрам, имеющимся в каждом члене ряда, а во втором - по перемещениям узлов. Необходимо отметить, что метод конечных элементов хорошо разработан для решения упругих и упруго-пла стических задач - работы В.Г.Корнеева [59], Л.А.Розина [60], - II -
Дж.Аргириса [44], О.Зенкевича [46], Р.Клафа [47І Особенности постановки и конечно-элементной аппроксимации для задач с жестко-пластической и вязко-пластической средами рассмотрена в работах В.Н»Сегала и Г.П.Свирида 48,49 , В.Г.Корнеева и С*.Пономарева 68 .
К достоинствам метода надо отнести свободу расположения узлов внутри исследуемой области, возможность использования физических предпосылок,что позволяет корректировать задачу в процессе счета. В отличие от аналитических методов он поэво ляет значительно приблизить расчетную схему к реальной, дает возможность учитывать такие свойства объекта,как анизотропия и слоистость, наличие трещин,а также реальную геометрию тела
Но возможности метода ограничены необходимостью решения систем алгебраических уравнений высокого порядка, что явля -ется, даже при наличии мощных ЭВМ, существенным фактором.Кро ме того, иногда на границах элементов нарушаются условия совместности из-за несоблюдения условий непрерывности пере -мещений между смежными элементами. И, наконец, сосредоточи -вая усилия в узлах, мы удовлетворяем уравнения равновесия в среднем по всему телу, но не по каждому элементу*
Эти недостатки отсутствуют в численном методе решения дифференциальных уравнений пластического течения,предложен -ным В.И.Одиноковым Г6ІІ# Суть его состоит в следующем. Рас -сматриваемая область делится на элементы конечных размеров, для каждого элемента записывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения в конечно-разностной форме через значения скоростей перемещений и напряжений по граням элемента. При записи полной системы уравнения состояния получаются из условия коаксиальности девиаторов напряжений и скоростей деформаций,на наклонных площадках, примыкаю- щих к поверхности области течения, записываются уравнения Ко-ши. С учетом граничных условий получается замкнутая опреде -ленная система алгебраических уравнений. Данный метод позво -ляет построить такие рекуррентные соотношения, при которых значительно уменьшается количество неизвестных (в 6-7 раз). В полученной эквивалентной системе коэффициенты вычисляются численным методом. Весь процесс состоит из нескольких итераций. В каждой из них коэффициент пропорциональности между девиато-рами напряжений и скоростей деформаций, который является функ цией от температуры тела, степени и скорости деформации, принимается постоянным. Для решения системы линейных уравнений используется метод Гаусса. Результат решения - поля напряже -ний и скоростей перемещений по граням элементов. Решение этим методом ряда модельных и прикладных задач показывает соответствие полученных результатов экспериментальным - работы В.И. Одинокова, Б.Г.Каплунова, Е.И.Макеранца [63, 69-74].
В отличие от метода конечных элементов данный метод прост и при этом количество неизвестных при решении линей -ных уравнений меньше, чем при использовании метода конечных элементов при одинаковой степени дискретизации рассматривав -мой области. Отсюда меньше затраты машинного времени.
Кроме этих достоинств, необходимо отметить возможность единого подхода к различным классам задач, простоту формали -зации для программирования, независимость постановки и алго -ритма задачи от использования различных моделей физического состояния исследуемой среды.
Целью данной работы является разработка на основе чис -ленногометода решения дифференциальных уравнений численной схемы решения широкого класса плоских прикладных задач теории - ІЗ - пластичности. Эти задачи включают в себя определение напря -женно-деформированного состояния в неоднородных телах, находящихся под действием неоднородных нагрузок и температурных полей с учетом свойств упрочняющейся среды.
Решение такого класса задач является актуальной проблемой.
В первой главе приведено построение математической модели решения плоской задачи теории пластичности.Для этого за писывается полная система дифференциальных уравнений пластического течения,с учетом граничных условий и уравнения Стефана-Бол ьцмана, на границе двух сред с разным агрегатным состоянием; выбирается модель деформируемой среды, описывающая поведение изотропно-упрочняющегося вязко-пластического материала. На основе численного метода решения дифференциальных уравнений пластического течения строится численная схема, в которой дается конечно-разностная аппроксимация основопола -гающих уравнений и приводится алгоритм решения. В конце главы на численных примерах рассматривается вопрос о сходимости решения. Доказывается единственность решения при использовании применяемой разностной схемы.
Во второй главе рассматривается задача о кристаллизации стального двутаврового профиля в свободном, замкнутом и ча -стично-замкнутом пространствах. Результаты решения приведены в виде эпюр напряжений и скоростей перемещений в области деформирования.
В третьей главе рассматривается задача о деформации стальной неоднородной полосы наклонными штампами. Приводятся решения для деформации полосы с учетом неоднородности температурного поля и физических свойств материала. Рассматрива - ется случай, когда штамп имеет сложную форму.
В четвертой главе рассматривается задача о деформации стальной полосы под действием системы плоскопараллельных штампов. Здесь приводятся решения в случаях, когда нагрузка приложена несимметрично и когда свойства по какому-либо направлению неодинаковы (биметалл). Дается решение задачи о внедрении штам пов различной конфигурации в ограниченное полупространство.
В пятой главе обсуждаются вопросы применения полученных решений к анализу некоторых технологических процессов, связанных с изготовлением изделий способом непрерывного литья и с оп ределением усилий и формоизменения при горячем деформировании стальных изделий, что определяет практическую важность результатов, полученных в диссертации.
В приложении представлены акты о внедрении результатов теоретических исследований и программа решения задач на языке Фортран.
Постановка задачи и модель изотропно упрочняющегося вязко-пластического мате -риала
Рассмотрим следующую краевую задачу. Область.D , кон -тур которой описывается ортогональной системой координат, находится под действием внешних нагрузок X; , заданных на контуре S и неравномерного поля температур & . Определим воз никающие в рассматриваемой области напряжения 6ij и скорости перемещения /j в начальной стадии деформации ( / =1,2), если в области выполняются уравнения равновесия и неразрывно-сти, деформируемый материал принимается изотропно-упрочняющий ся, а при записи уравнений состояния используется ассоцииро -ванный закон течения. В целях упрощения массовыми и инерционными силами будем пренебрегать. 2-- коэффициент линейного температурного расширения; Т - интенсивность касательных напряжений; /"/ - интенсивность скоростей деформации сдвига; С - степень деформации, которую получила область к рассматриваемому моменту течения, Граничные условия на контуре S задаются в смешанном виде. где Зу - часть контура, на которой задаются скорости пе -ремещения инструмента Vj ; б - часть контура, на которой известны напряжения. При этом в областях возможного контакта материала с инструментом деформации границы Sy и $& определяются из решения задачи. Для решения системы (I.I) необходимо задаться некоторыми начальными условиями. Зависимость , как правило, определяется путем статистической обработки экспериментальных данных, полученных при простом нагружении. При этом используется гипотеза единой кривой, согласно которой вид функциональной зависимости между девиаторами напряжений деформации зависит от материала, но не от вида нагружения. Определенный эксперимен тально-теоретический материал позволяет считать применимой эту гипотезу при условиях кратковременного нагружения и неизменяемости вида напряженного состояния вдоль траектории движения частиц материала.
Из достаточно большого многообразия моделей физического состояния среды известных в литературе [83,84,76] выбрана мо дель нелинейно-вязкой среды с ограниченным упрочнением [76] где ic t Tf - коэффициенты, зависящие от марки стали (МПа), 60- Ю00С, /6=1 сек"1; В0 В, ео- безразмерные коэффициенты, зависящие от марки стали. Формула (1.3) построена по экспериментальным данным, полученным при =0,1 0,6; = 0,01 100 сек"1; д = 900 - І200С. В работе f76]показано до статочно высокое совпадение расчетных значений с экспериментальными данными. Для задач,рассматриваемых ниже, температура материала выше верхней границы диапазона применимости зависимости (1.3). Поэтому была проведена проверка на соответ ствие формулы (1.3) экспериментальным данным [ 77], полученным при деформации низкоуглеродистых сталей при температурах близ ких к температуре солидуса. Проверка показала удовлетвори тельное соответствие.
Отметим, что среда с уравнением состояния (1.3) является нелинейно вязкой жидкостью, обладающей упрочнением. Пусть в некоторый) момент времени значение е известно в каждой точке области Т . Тогда при заданной температуре систему уравнений (I.I) при краевых условиях (1.2) можно рассматривать как краевую задачу для &cj и 7ҐІ в этот момент времени.
Для решения этой задачи применяется численный метод решения дифференциальных уравнений пластичного течения, разра -ботанный В.И.Одиноковым [бі]. В соответствии с данным мето -дом рассматриваемая область 3 разбивается на элементы конечных размеров. Для каждого элемента записывается система (І.І) в конечно-разностной форме через значения скоростей перемещений и напряжений по граням элемента.
Кристаллизация в замкнутом пространстве
Из записей (1.22) следует, что система уравнений, запи -санная по каждому элементу К -го столбца, состоит из конеч -ного множества уравнений пк , включающих неизвестные, при -надлежащие только К -му столбцу (1.22,а,б); из конечного мно жества уравнений Ак , включающих неизвестные ( -/)-го столбца (1.22,в) - это (2/j) ( СJ -/j\ из конечного множества уравнений Ак і включающие неизвестные (/Г-// )-го столбца (1.22,г)-это неизвестные Следова -тельно, множество уравнений по К -му столбцу лк ,можно за -писать в виде
Покажем, что система линейных уравнений, составляющая множество п к является линейно независимой. Рассмотрим систему .01.22), записанную для элемента т хг-го столбца. Докажем, что данная система линейно независимая. Преобразуем уравнения (1.22,а). Решая совместно первое и третье уравнения относительно б , и б у и подставляя в них значения 6j , найденные из уравнения второго, запишем (1.22а) Рассмотрим систему (1.22) с учетом преобразования (1.23), полагая, что (1.22,6) подставлены в (1.23), а четвертое ра -венство (1.23) по (2 Л подставлено в (1.22,в). Тогда уравнения (1.22) будут линейно независимыми, так как каждое из уравнений содержит неизвестное, не входящее ни в одно другое. Так, например, одна из последовательностей следует, что системы уравнений, составляющие множества Ли п/ , 4 линейнонеза-висимы как сами по себе, так и между собой. Рассмотрим множество уравнений \п \ , состоящее из уравнений (1.22) в К -ом столбце по элементам Ы /) и ( )— А , Ли UA-j Докажем, что система линейных уравнений,со ставлягощая множество п, . , линейнонезависима. Система уравнений множества "/ состоит из системы уравнений (1.22) для элемента ( ), системы (1,22,а), (1.226) элемента и равенств для и соответственно си стем (1.22,в), (1.22,г) элемента (Т У) с учетом, что точки о и а для ) есть точки & и С элемента (" ). Таким образом, системы (1.22,в) и (1.22,г) дают для элементов ( ) и Ы / ) шесть уравнений. Эти уравнения будут линейнонезависи мы как между собой, так и относительно уравнений (1.22,а) для элементов (Ї ) и (г -/), так как содержат неизвестные, вхо -дящие только в эти уравнения. Так, если рассмотреть последо -вательность точек Є ,CL, О\г\с , У, то соответствующие не известные будут ty)i-0-f . (rf )-6-/, »(Vf %/?+ /» fy ) -, У (Vf )4+0 dVf )4+/7+/ 3Десь следует учесть, ч (tf/) = (% ЬЛтт/ и так Далее. Следовательно, для того чтобы доказать линейную незави -симость системы уравнений множества л, , достаточно установить, что системы уравнений (1.22,а) для элементов (" ) и (-/-/ ) - линейнонезависимы. Перепишем систему уравнений в виде. Значит доказано, что система линейных уравнений множест линейнонезависима. , . Система линейных уравнений множества At4 - линейно -независимая, так как системы (1.22,а) для (zf-J6/ ) элемента и (г -/ ) элемента не содержат общих переменных и, следователь но, являются линейнонезависимыми. Касательные же напряжения в точках, как было показано ранее, содержат переменное по каждо му уравнению, не входящее ни в одно из других уравнений систе мы, записанной для /С -го столбца. , Рассмотрим систему уравнений множества ftj„/ в случае, когда элемент (х-/ ) находится в углу области К /-0 Хг=0\ примыкая с двух сторон к внешней поверхности; элемент (" ) при мыкает к внешней поверхности со стороны - = 0. Положим, что внешняя поверхность 3Zf= 0, = 0 является свободной. При -мем т = 2, тогда Для того, чтобы доказать линейную независимость уравнений множества Af примыкающих к внешним свободным поверхностям, достаточно показать линейную независимость уравнений (1.22,а) с учетом (1.22,6) для элемента (I) и элемента (2). Уравнения (1.22,в), (1.22,г) в множестве "/ - это уравнения по точкам С и а , которые являются линейнонезависимыми относительно других уравнений, так как включают параметры, входящие только в эти уравнения: соответственно (&/ Х/ (ч J +n Уравнения (1.22,а), записанные для элементов (І) и (2), являются линейнонезависимыми, так как выражаются через пара -метры каждое из которых содержится только в одном из уравнений:
Деформация полосы, имеющей дефектные образования
Результаты решения с учетом ферростатического давления в виде эпюр бц приведены на рис.2.4. За исключением верхней торцевой части профиля по всему сечению преобладают сжимающие напряжения, так как здесь также получается схема всестороннего сжатия. Эпюры скоростей перемещений не приводятся в виду незначительной информативности. Скорости перемещений имеют место на поверхности S3 и достигают величины 0,15 мм/сек.На остальных поверхностях у близки к нулю. При решении задачи с Р = 0 получается схема напряженно-деформированного состояния аналогичная приведенной на рис.2.3.
Рассмотрены три случая кристаллизации двутаврового про -филя: с полностью свободной от.инструмента наружной поверхностью, частично свободной (на Sj ) и с наличием контакта с инструментом по всему наружному контуру. Результаты решения при ведены в виде эпюр &и и у Определено влияние на напряженно-деформированное состояние двух основных факторов: неоднородного температурного поля и ферростатического давления
Рассматривается задача о деформации стальной полосы наклонным штампом, который совершает сложное движение вследствии имеющегося эксцентриситета f у приводного вала (рис.3.I). Исследуемая область состоит из двух блоков &f и . Плос -кость Sf является плоскостью симметрии. Исследуется процесс деформации полосы при повороте эксцентрикового вала на угол J5 = 90, при этом весь процесс разбивается на стадии: Р -(04-20; 20440; 40+60; 60 80; 80-90/. История процесса учитывается согласно методике, приве -денной в главе I.
Поле температуры 6 задается следующим образом: в плоскости S5 от 1400С на $f до 900С на S2 , по линейному за кону, на Ss - П00С, между плоскостями S3 и S? также по линейному закону. Результаты решения задачи-поля напряжений 6h и скоро -стей перемещений получены при следующих исходных данных: / = 100 мм, fif = 35 мм, /= 7,5, = 44U мм, 4 = б0 ./= 15 мм, If = 157 мм/сек. При повороте эксцентрикового вала от 0 до 90 размеры об ласти деформирования будут изменяться и при J5 = 80 соста -вят: L0 - 620 мм, = 90 мм, / = 20 мм. Материал полосы - сталь IXI8H9T. Значения коэффициентов в модели среды (1.3) для данного материала: = 278,2 МПа, //= 101,7 МПа, 4= 0,405, /, = 0,264, Є0 = 1,95. При решении задачи разобраны три случая: деформация одно родной по структуре полосы, деформация полосы, имеющей дефекты и деформация полосы с дефектом штампом сложной формы.
На рис.3.2 приведены результаты решения задачи в виде эпюр на различных стадиях перемещения штампа. Приведенные эпю ры отнесены к первоначальному состоянию. Как видно из графи -ков, скорость Щ на контактной поверхности металла и штампа равномерно уменьшается до нуля при повороте эксцентрика от О до 90. От контактной поверхности к оси симметрии скорость Р& также уменьшается монотонно до нуля. В отличие от скорости 2 скорость Wf распределяется как по длине области, так и по высоте далеко неравномерно. На большой длине области деформирования наблюдается течение металла как в направлении к по -верхности S , так и в направлении Jj . На расстоянии /у от Sg- располагается нейтральная поверхность, где " = 0. Эта поверхность по данным расчета имеет сложную форму, меняющуюся по высоте полосы. Но эти "колебания" весьма незначитель ны, поэтому нейтральная поверхность на рис.3.I показана линией. Отношения расстояния нейтральной поверхности от поверхности Sg- ко всей длине области - =0,22 для fi {04-20,
Внедрение штампов различной конфигурации в ограниченное полупространство
Задача решалась в плоском варианте. Весь процесс прослеживался с помощью шагов по времени. В определенный момент кри сталлизации толщина корочки определялась по формуле (2.2). На рис.5.3,а представлена зависимость наибольших растя -гивающих напряжений в сечениях 1,2,3 соответствующих рис.2.3, для заготовок форм 1-4 по длине кристаллизатора.
На рис.5.3,6 и рис.5.4 приведены зависимости напряжений по длине вторичной зоны охлаждения для заготовок форм I и 4 ( (сечения І-УІ на рис.3.2). По данным теоретического исследо -вания при выбранном критерии оценки форм заготовок предпочтение было отдано заготовке формы 4. Акт о внедрении результа -тов работы приведен в приложении. Деформация полосы, имеющей дефектные образования
Решение данной задачи позволило провести теоретическое исследование процесса деформации непрерывнолитого сляба из нержавеющих сталей сечением 200x1000 мм с дефектным поверхностным слоем наклонными бойками.
В настоящее время существующая технология производства не обеспечивает получения непрерывнолитых слябов без поверх -ностных дефектов, поэтому их подвергают различным видам зачистки. При этом потери металла составляют до 1Ь%. Кроме того, нержавеющие стали обладают пониженной пластичностью, деформация их сопровождается образованием разрывов на поверхности. Для того чтобы избежать нарушения сплошности металла и для раздробления поверхностных дефектов необходима повышенная степень деформации. Она может быть получена на агрегате периодической деформации [78], который позволяет деформировать сляб с Є = 0,8 за один проход в условиях, близких к всестороннему сжатию.
Применение полученных решений при использовании схемы плоского деформированного состояния к анализу деформации сляба допустимо, так как ширина сляба в пять раз больше его высоты. Оценка влияния дефектов на напряженно-деформированное состояние производилась из сравнения результатов расчетов деформации сляба, не имеющего дефектов. Из графиков на рис.3.5 следует, что величина деформации дефектного слоя в несколько раз меньше величины деформации однородного металла.
Теоретический анализ также показал, что в месте входа по лосы в область деформирования (поверхность S6 ) наблюдаются растягивающие напряжения, которые при наличии дефектов могут привести к возникновению трещин и рванин на поверхности.сляба. Для полного устранения или снижения величины растягивающих на пряжений при входе в область деформирования следует создавать усилие подпора в направлении движения заготовки. Изменение на пряжений и скоростей перемещений на поверхности $6 в зависимости от величины усилия подпора приведено на рис.5.5.
Теоретический анализ показал, что для снижения объема зачистки непрерывнолитых слябов из нержавеющей стали и, соответственно, увеличения выхода годного, необходимо изменить су ществующее температурное поле по сечению сляба, которое при -ведено в главе 3.
Необходимо, чтобы температура дефектного слоя была на 150-200 С выше температуры осевой зоны сляба, после чего сляб деформируется в агрегате Є = 0,8. Это позволит увеличить выход годного на 20%. Деформация полосы под действием несимметрично приложен -ной нагрузки.
Решение данной задачи было применено для исследования процесса резания сляба ножницами с параллельными ножами. Ма -тематическое моделирование данного процесса дает возможность определить усилия резания, что в свою очередь позволяет уже на стадии проектирования правильно выбрать параметры механи -ческого оборудования, а при эксплуатации назначить режимы резания с целью получения наивысшей производительности и долговечности работы ножниц. Использование схемы плоской деформа -ции достаточно обоснованно, так как ширина сляба 3 значитель но больше его высоты к . В этом случае значение получаемых
чу и Vj необходимо отнести к центру разрезаемой заготовки, так как именно здесь выполняется схема плоской деформации
Анализ процесса резания сляба производился методом последовательных нагружений (ШН) при Л {20,60,100,140 мм] , $ЄІЬ,І0,ІЬм], k = 250 мм, = 200 мм/сек.
В результате решения получены зависимости полных усилий резания от внедрения Л нижнего ножа (рис.5.б,а) и от осевого зазора 5" между ножами (рис.5.6,б). Исследовано также вли яние д на величину осевых усилий, действующих на инструмент и способствующих его износу (рис.5.б,в). Определена величина утяжки на торце разрезаемой заготовки (рис.5.6,г).
