Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Общая плоская задача
1. Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для неоднородного материала 10
2. Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для однородного материала 18
3. Плоская задача теории идеальной пластичности для неоднородного материала 21
4. Численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи. 24
Глава II. Задача о вдавливании плоского штампа в идеальное жесткопллстическое полупространство
1. Общая плоская задача о вдавливании плоского штампа в однородное идеальное жесткопластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения 30
2. Плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство 36
3. Общая плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство 41
Глава III. Двумерное пластическое течение в сферических координатах
1. Общая сферическая задача теории идеальной пластичности для неоднородного материала 47
2. Соотношения общей сферической задачи теории идеальной пластичности для однородного материала 56
3. Сферическая задача теории идеальной пластичности для не однородного материала 59
4. Характеристические соотношения для скоростей перемещений в случае общей сферической задачи 62
5. Численные методы расчета поля напряжений для общей сферической задачи 66
Глава IV. Задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в идеальное жесткопластическое полупространство
1. Задача о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное идеальное жесткогошстическое полупространство при действии контактного касательного напряжения с учетом сдвигающих усилий 69
2. Сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полу пространство 79
3. Общая сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство 85
Приложение 91
Основные результаты и выводы 94
Литература 96
- Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для однородного материала
- Плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство
- Соотношения общей сферической задачи теории идеальной пластичности для однородного материала
- Сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полу пространство
Введение к работе
Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, объема и размеров, что приводит к необходимости использования неоднородных композитных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить предельные прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.
На основе экспериментов Треска, Сен-Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связаны с именами Леви, Хаара, Кармана, Мизеса, Прандтля, Гей-рингер, Генки, Рейсса, АЛО. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Хилла, Прагера, Койтера и др.
Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены работы СЕ. Александрова, М.А. Алимжанова, Б.Д. Аннина, М.А. Арте-мова, В.И. Астафьева, В.А. Баскакова, И.А. Бережного, М.Я. Бровмана, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Л.А. Галина, Гартмана, Г.А. Гениева, А.А. Гвоздева, Б.А. Друянова, В.В. Дудукаленко, М.И. Ерхова, Л.В. Ершова, М.А. Задояна, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, Р.А. Каюмова, В.Л. Колмогорова, В.Д. Коробкина, Е.В. Ломакина, Л.А. Максимовой, А.А. Маркина, Н.М. Матченко, Б.Г. Миронова, М.В, Михайловой, С.Г. Мих-лина, Е.М. Морозова, Ю.М. Мяснянкина, Надай, Ю.В. Немиров с ко го, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Р. Ржаницина, Т.Д. Семыкиной, СИ. Сенашова, В.П. Тамужа, А.Д. Томленова, Л.А. Толо-конникова, Ф. Ходжа, А.И. Хромова, Г.П. Черепанова, А.Д. Чернышова,
Г.С. Шапиро, А.И. Шашкина, С.А. Шестерикова, Е.И. Шемякина, СП. Яковлева и ряда других отечественных и зарубежных ученых.
Д.Д. Ивлев, Л.А. Максимова, Р.И. Непершин сформулировали соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и установили гиперболический характер уравнений общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Развиты численные методы решения общих плоских задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дано решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство при действии поперечных и продольных контактных касательных напряжений.
Точные и приближенные аналитические решения, получаемые в рамках теории идеальной пластичности, широко используются при расчетах технологических процессов обработки металлов давлением и др. Актуальной является задача учета свойств неоднородности материала, а также развитие методов решения подобных задач.
Неоднородность пластических свойств материалов может быть вызвана рядом причин. Неоднородность свойств материалов может возникнуть в результате неоднородного деформирования упрочняющегося материала при прокатке, штамповке, волочении и т.п. К неоднородному распределению пластических свойств может привести воздействие различных динамических нагрузок. Неоднородность пластических свойств материала может возникнуть в результате поверхностной обработки изделия, например, вследствие закалки и т.п. Пластическая неоднородность может быть вызвана воздействием радиационного облучения, а также в результате воздействия различных температурных градиентов, возникающих при литье и т.д.
В настоящей работе рассматривается неоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точек пластического материала. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после замены постоянной предела текучести к на функцию, зависящую от координат точек пространства, называемую обычно пластической неоднородностью.
Целью настоящей работы является исследование двумерных статически определимых соотношений теории идеальной пластичности в декартовых и сферических координатах для однородного и неоднородного материала, развитие численных методов решения.
Работа состоит и четырех глав.
В первой главе, посвященной общей плоской задачи, определяются характеристические соотношения для определения поля напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида то трех координат точек пространства. Далее приводятся численные методы расчета поля напряжений с учетом особенностей построения поля характеристик в расчете поля напряжений для случая неоднородности материала, а также переменного контактного касательного напряжения.
Во второй главе рассматриваются общая плоская и плоская задачи теории идеальной пластичности о вдавливании плоского штампа в жест-копластическое полупространство. Приводятся численные решения общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии переменного контактного касательного напряжения для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства. Также приводится, полученное при апро-
бации численных методов и характеристических соотношений, приве
денных в первой главе численное решение плоской задачи о вдавлива
нии плоского штампа в жесткопластическое полупространство с вы
бранной произвольно неоднородностью вида к(х,у) =
- к0 sin(3 яг/4)(1 + у)/2 + 1.1.
Третьей глава посвящена общей сферической задаче. Определяются в сферической системе координат рв<р характеристические соотношения для напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида. Также приводятся характеристические соотношения для определения поля скоростей перемещений для случая однородного материала. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений применительно к системе координат рО(р.
В четвертой главе рассматриваются общая сферическая и сферическая задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в жесткопластическое полупространство. Получены численные решения общей сферической и сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянного и переменного контактного касательного напряжения для случае пластической неоднородности экспоненциальной вида. Аналогично второй главе, приводится численное решение сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство с отличной от экспоненциального вида пластической неоднородностью к = к{9, <р) = sin(3^/4)(l - 0)/2 + 1.1.
На защиту выносятся следующие результаты:
Численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений;
Численное решение общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;
Численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий;
Численное решение задачи сферического деформированного состояния и общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая пластической неоднородности экспоненциального вида.
Научная новизна Получены характеристические соотношения для напряжений и развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс общих плоских и общих сферических задач для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе.
Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, матема-
тических методов исследований и непротиворечивостью и сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов.
Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин.
Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались:
на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г,);
на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002);
на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004);
на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003);
на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах.
Соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности для однородного материала
Затем находим в точке Р неизвестные значения функций а, 4 из системы уравнений (1.4.5), (1.4.6) и значение функции у/ - из уравнения (1.4.7). Неизвестные координаты х, у точки Р и значения функций ег, у/, 4 в этой точке находим, применив итерационную процедуру, аналогичную [35]. Задаем начальные значения &х =сг, и углов 4\ 4\- W\ —W\ на а -характеристике 1-Р\ а2=сг21 4г 4г- Wi Vi на /?-характеристике 2-Р. Вычисления проводятся по следующему алгоритму. 1. По уравнениям (1.4.1), (1.4.2) вычисляем координаты х, у точки Р. 2. По уравнениям (1.4.3), (1.4.4) вычисляем координаты х3,у3 точки 3. Значения уъ, у/ъ, 4ъ в точке 3 находим линейной интерполяцией между точками 1 и 2. 3. В точке Р по уравнениям (1.4.5), (1.4.6) вычисляем а, 4 и из уравнения (1.4.7) определяем значение у/. 4 Вычисляем средние значения а,4- между точками 1-Р, 2-Р, 3-Р и переходим на шаг 1Q. Абсолютная разность последовательных значений у/, 4 в точке Р порядка 10 5 достигается за 4-5 итерации. Граничная задача для случая переменного контактного касательного напряжения. Координаты х, у узловых точек на границе ОА основания штампа (фиг. 2) и значения среднего давления а в них находятся из уравнений а - характеристик и соотношений вдоль них. При этом функции у/, 4 на контактной границе штампа считаются известными. При действии переменного контактного касательного напряжения под штампом, значения функций у/, будут меняться вдоль него. Поэтому для нахождения значений среднего давления а в узловых точках построим следующую итерационную процедуру. Используя в качестве начальных средних значений у7,% значения щ функций у/ в начальной узловой точке М0 вычисляем координаты х, у узловой точки М границы штампа ОА по уравнению а-характеристики со средними значениями функций цТ ,, и уравнению границы ОА. Определив значения функций цг , в полученной точке М на границе ОА находим средние значения — (0 + )/2, цг = (у/0 +(/)/2. Повторяем вычисления с использованием найденных в точке М средних значений у?,% . Точность определения положения точки М на границе ОА задается абсолютной разностью последовательных значений у/, , в точке М.
Определив по описанной выше схеме координаты х, у точки М находим значение функции а из соотношения вдоль а -характеристики, заменив в нем значения функций ег, у/, их средними значениями между точками М и MQ.
Построение поля характеристик. Для оптимизации численных расчетов и, в частности, оптимизации определения длины зоны пластического состояния на свободной границе, следует проводить построение поля характеристик рядами, начиная от края штампа точки А до жестко-пластической границы ODBC (фиг. 2). В этом случае ряды узловых точек будут лежать на одном семействе а -характеристик.
При таком подходе придется последовательно решать для каждого ряда три задачи: задачу Коши в области ABC, задачу Гурса в области ADB и смешанную задачу в области OAD, не переходя к расчету следующего ряда, постепенно приближаясь рядами к жесткопластической границе пластического полупространства.
Последний ряд необходимо подобрать таким образом, чтобы он попал в начало координат. Для этого ряд, который приблизится к началу координат ближе, чем на определенное расстояние ОЕ, будем считать завершающим. Для определения абсциссы точки С границы пластической зоны (начало завершающего ряда) построим интерполяционный многочлен, образованный точками, координатами которых возьмем абсциссы точек пересечения «-характеристик (подбираемого ряда) с границей штампа ОА (первые координаты) и со свободной границей АС (вторые координаты) соответственно. Абсцисса точки С границы пластической зоны в этом случае будет равна значению полученного интерполяционного многочлена взятого в нуле. При таком методе длина интервала ОЕ и количество точек, задающих интерполяционный многочлен, являются параметрами, определяющими точность нахождения абсциссы точки С начала завершающего ряда (жесткопластической границы ODBC). При решении задачи Коши с точностью порядка 10" , длиной ОЕ = 0.1 и пятью точками, задающими интерполяционный многочлен, абсцисса точки С края пластической зоны на свободной границе определяется с точностью порядка 10"5-10"6.
Плоская задача о вдавливании плоского штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полупространство
Вид характеристических соотношений для напряжений и скоростей перемещений, приведенный в первой и третьей главах, является общим для общих плоской, сферической [5], а также осесимметричной [7] задач теории идеальной пластичности.
Приведенные ниже характеристические соотношения определяют напряженное состояние для случаев общих плоской, осесимметричной и сферической задач теории идеальной пластичности для неоднородного материала. Они сводимы к известным характеристическим соотношениям и являются их обобщением на пластическую неоднородность материала, учет воздействия массовых сил, а также учет сдвигающих усилий в общих двумерных задачах теории идеальной пластичности.
Характеристические соотношения для напряжений имеют вид: уравнения а,/3 -характеристик: {du,dw,dv\ для общей осесішметричной задачи, (dv,dw,du), для общей сферической задачи, компоненты SltS2jS3 определяются для каждой задачи свои, причем для общей плоской задачи 5(- - 0. Основные результаты и выводы Получены характеристические соотношения, определяющие напряженное состояние плоской и общей плоской, сферической и общей сферической задач теории идеально пластического тела, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала с пределом текучести произвольного вида от трех координат точек пространства; Получены характеристические соотношения для скоростей перемещений общей сферической задачи теории идеально пластического тела; Развиты и обобщены численные методы расчета поля напряжений для общей плоской задачи на сферическую систему координат рв(р для общей сферической задачи, учет пластической неоднородности материала, а также действие переменного контактного касательного напряжения под штампом;
Получено численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений; Получены численные решения плоской и общей плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства;
Получено численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений; 7. Получено численное решение сферической и общей сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной пластической неоднородности материала.
Соотношения общей сферической задачи теории идеальной пластичности для однородного материала
Современная техника предъявляет повышенные требования к прочностным свойствам машин, их деталей, а также различных конструкций и сооружений, уменьшению их веса, объема и размеров, что приводит к необходимости использования неоднородных композитных материалов. Нахождение критериев, позволяющих определить предельные прочностные характеристики элементов конструкций, инженерных сооружений является одной из актуальных задач механики деформируемого твердого тела.
На основе экспериментов Треска, Сен-Венан сформулировал соотношения плоской задачи теории идеальной пластичности. Дальнейшее развитие фундаментальных соотношений теории идеальной пластичности связаны с именами Леви, Хаара, Кармана, Мизеса, Прандтля, Гей-рингер, Генки, Рейсса, АЛО. Ишлинского, С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Хилла, Прагера, Койтера и др.
Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены работы СЕ. Александрова, М.А. Алимжанова, Б.Д. Аннина, М.А. Арте-мова, В.И. Астафьева, В.А. Баскакова, И.А. Бережного, М.Я. Бровмана, А.А. Буренина, Г.И. Быковцева, Л.А. Галина, Гартмана, Г.А. Гениева, А.А. Гвоздева, Б.А. Друянова, В.В. Дудукаленко, М.И. Ерхова, Л.В. Ершова, М.А. Задояна, Д.Д. Ивлева, Л.М. Качанова, Р.А. Каюмова, В.Л. Колмогорова, В.Д. Коробкина, Е.В. Ломакина, Л.А. Максимовой, А.А. Маркина, Н.М. Матченко, Б.Г. Миронова, М.В, Михайловой, С.Г. Мих-лина, Е.М. Морозова, Ю.М. Мяснянкина, Надай, Ю.В. Немиров с ко го, Р.И. Непершина, Ю.Н. Радаева, А.Ф. Ревуженко, А.Р. Ржаницина, Т.Д. Семыкиной, СИ. Сенашова, В.П. Тамужа, А.Д. Томленова, Л.А. Толо-конникова, Ф. Ходжа, А.И. Хромова, Г.П. Черепанова, А.Д. Чернышова, Г.С. Шапиро, А.И. Шашкина, С.А. Шестерикова, Е.И. Шемякина, СП. Яковлева и ряда других отечественных и зарубежных ученых.
Д.Д. Ивлев, Л.А. Максимова, Р.И. Непершин сформулировали соотношения общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и установили гиперболический характер уравнений общей плоской задачи теории идеальной пластичности при условии полной пластичности. Развиты численные методы решения общих плоских задач теории идеальной пластичности при условии полной пластичности и дано решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в жесткопластическое полупространство при действии поперечных и продольных контактных касательных напряжений.
Точные и приближенные аналитические решения, получаемые в рамках теории идеальной пластичности, широко используются при расчетах технологических процессов обработки металлов давлением и др. Актуальной является задача учета свойств неоднородности материала, а также развитие методов решения подобных задач.
Неоднородность пластических свойств материалов может быть вызвана рядом причин. Неоднородность свойств материалов может возникнуть в результате неоднородного деформирования упрочняющегося материала при прокатке, штамповке, волочении и т.п. К неоднородному распределению пластических свойств может привести воздействие различных динамических нагрузок. Неоднородность пластических свойств материала может возникнуть в результате поверхностной обработки изделия, например, вследствие закалки и т.п. Пластическая неоднородность может быть вызвана воздействием радиационного облучения, а также в результате воздействия различных температурных градиентов, возникающих при литье и т.д. В настоящей работе рассматривается неоднородность пластических свойств материала, выражаемая зависимостью предела текучести от координат точек пластического материала. Уравнения неоднородного идеального жесткопластического тела получаются после замены постоянной предела текучести к на функцию, зависящую от координат точек пространства, называемую обычно пластической неоднородностью.
Сферическая задача о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное идеальное жесткопластическое полу пространство
Третьей глава посвящена общей сферической задаче. Определяются в сферической системе координат рв р характеристические соотношения для напряжений, учитывающие массовые силы и пластическую неоднородность материала произвольного вида. Также приводятся характеристические соотношения для определения поля скоростей перемещений для случая однородного материала. Предлагаются численные методы расчета поля напряжений применительно к системе координат рО(р.
В четвертой главе рассматриваются общая сферическая и сферическая задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в жесткопластическое полупространство. Получены численные решения общей сферической и сферической задач о вдавливании клинообразного в плане штампа в однородное и неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянного и переменного контактного касательного напряжения для случае пластической неоднородности экспоненциальной вида. Аналогично второй главе, приводится численное решение сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство с отличной от экспоненциального вида пластической неоднородностью к = к{9, р) = sin(3 /4)(l - 0)/2 + 1.1.
На защиту выносятся следующие результаты: Численное решение общей плоской задачи о вдавливании плоского штампа в однородное жесткопластическое полупространство при действии переменных контактных касательных напряжений; Численное решение общей плоской и плоской задач о вдавливании плоского штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая экспоненциальной зависимости предела текучести материала от координат точек полупространства; Численное решение общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа с плоским основанием в однородное жесткопластическое полупространство с учетом сдвиговых усилий; Численное решение задачи сферического деформированного состояния и общей сферической задачи о вдавливании клинообразного в плане штампа в неоднородное жесткопластическое полупространство при действии постоянных и переменных контактных касательных напряжений для случая пластической неоднородности экспоненциального вида. Научная новизна Получены характеристические соотношения для напряжений и развиты численные методы расчета поля напряжений, позволяющие решать класс общих плоских и общих сферических задач для неоднородного материала с пределом текучести произвольного вида, описываемых системами уравнений и соотношениями, приведенными в настоящей работе. Достоверность результатов обеспечивается использованием фундаментальных представлений теории идеальной пластичности, математических методов исследований и непротиворечивостью и сводимостью результатов данной работы к результатам других авторов. Практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы при расчетах предельного состояния жесткопласти-ческих неоднородных сред, для более полного исследования ресурсов прочности, и, следовательно, более рационального проектирования сооружений и машин. Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались: на Международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики и информатики» посвященной 80-летию со дня рождения профессора Л.А. Толоконникова (Тула, ноябрь 2003 г,); на школе-семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2002); на семинарах по механике деформируемого твердого тела (Чебоксары, ЧГПУ, 2001-2004); на ежегодных итоговых конференциях научных сотрудников, докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003); на ежегодных итоговых конференциях преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева (Чебоксары, ЧГПУ, 2002, 2003). Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 6 работах.
Похожие диссертации на Общие двумерные задачи теории идеальной пластичности
