Содержание к диссертации
Введение
1. Введение
1.1. Характеристики вытеснительных баков двигательных установок 11
1.2. Анализ основных достижений в области расчета напряженно-деформированного состояния тонких непологих оболочек в упруго-пластической постановке при больших перемещениях и поворотах 18
1.3. Постановка задачи 23
2. Основные соотношения расчета напряженно-деформированного состояния гибких мембран вытеснительных емкостей двигательных установок 25
2.1. Постановка задачи 25
2.2. Уравнения нелинейной теории неосесимметрично нагруженных оболочек вращения при больших перемещениях и поворотах 27
2.3. Уравнения связи напряжений и деформаций 31
3. Алгоритмы решения задач на ПЭВМ 36
3.1. Обзор известных решений задач сильного изгиба тонких оболочек.. 36
3.2. Формулировка нелинейной краевой задачи 38
3.3. Численный метод решения 45
3.4. Программа для ПЭВМ расчета напряженно-деформированного состояния вытеснительных мембран 55
4. Долговечность тонких оболочек в условиях циклического деформирования , 61
4.1. Характеристика области малоцикловой усталости материала 61
4.2. Обзор гипотез накопления повреждений при малоцикловой усталости 65
4.3. Выбор рабочей гипотезы накопления повреждений 74
4.4. Алгоритм определения повреждаемости 75
4.5. Блок-схема определения повреждаемости при малоцикловом нагружении 83
5. Решение прикладных задач по расчету мембран вытеснительных систем 86
5.1. Решение тестовых задач сильного изгиба тонких оболочек 86
5.2. Расчет процесса выворачивания мембран различных типоразмеров 91
5.3. Расчет мембран вытеснительных систем на долговечность 105
6. Основные выводы и результаты 121
7. Список использованной литературы
- Анализ основных достижений в области расчета напряженно-деформированного состояния тонких непологих оболочек в упруго-пластической постановке при больших перемещениях и поворотах
- Уравнения нелинейной теории неосесимметрично нагруженных оболочек вращения при больших перемещениях и поворотах
- Формулировка нелинейной краевой задачи
- Алгоритм определения повреждаемости
Анализ основных достижений в области расчета напряженно-деформированного состояния тонких непологих оболочек в упруго-пластической постановке при больших перемещениях и поворотах
При математическом моделировании процесса выворачивания вытесни-тельных мембран необходимо сосредоточить внимание на решении следующих основных задач.
Как правило вытеснительная мембрана представляет собой тонкостенную оболочку вращения, существенно меняющую свою форму в процессе деформирования. Прогибы оболочки при этом достигают величин, соизмеримых с размерами оболочки, а углы поворота нормалей могут достигать 180 . Несколько упрощает постановку задачи тот факт, что в процессе функционирования деформации, возникающие на внешних поверхностях мембраны, не превышают нескольких процентов и в основном определяются изменением формы оболочки, в то время как удлинения поверхности приведения существенно ниже и ими вполне можно пренебречь по сравнению с единицей, то есть оболочка относится к классу гибких оболочек. Очевидно, что удовлетворительное описание НДС вытеснительной мембраны возможно как минимум в рамках геометрически нелинейной теории оболочек.
Геометрически нелинейная теория оболочек получила интенсивное развитие, начиная с середины прошедшего столетия. Это объясняется тем, что в условиях, описываемых ею, работает большое количество оболочечных конструкций, применительно к которым линейная теория оказывается неправомочной. Ряд работ, имеющих принципиальное значение для геометрически нелинейной теории оболочек, выполнил И.И.Ворович [ 19 ], [ 20 - 25 ]. В них рассмотрены вопросы существования решений, разрешимость и методы решения нелинейных уравнений. Нелинейной теории оболочек посвящены статьи В.Т. Койтера [ 87 ], Дж.Л. Сандерса мл. [ 93 ].
Одной из первых публикаций отечественных авторов, посвященных геометрически нелинейной теории оболочек и методам решения ее задач, была книга В.И. Федосьева [ 76 ], где даны общие уравнения гибких оболочек вращения и рассмотрено их применение к расчету сильфонов, гофрированных и хлопающих мембран.
Обобщения собственных, а также работ других авторов в области геометрически нелинейной теории оболочек содержится в монографии А.С.Вольмира [ 16 ]. В монографии Х.М.Муштари и К.З. Галимова [ 58 ] представлены оригинальные результаты исследования авторов в области геометрически нелинейной теории оболочек. Следует отметить также книги А.С.Вольмира [ 17 ], [ 18 ] и М.С.Корнишина [ 52 ]. Геометрическая нелинейность рассматривается в работах М.С. Корнишина [ 53 ], В.В. Петрова [ 62 ], В.И. Климанова и С.А. Тимашева [ 43 ].
Проблема геометрической нелинейности отражена в ряде обзорных статей, специально ей посвященных, например : М. Штейн [95 ], Х.М. Муштари [ 73, стр. 7- 15 ], [ 75, стр. 840-845 ], А.С.Григорьев [ 75, стр. 779-787 ], [ 72, с. 119-125], В.И. Феодосьев [ 74, стр. 971-976 ].
Большой обзор по нелинейной теории оболочек принадлежит А. Либаи и Дж. Симондсу [ 88 ]. Из 157 обсужденных работ 52 работы принадлежат пяти авторам ( 19 - Э.Рейсснеру, 13 - Дж.Симондсу, 9 - В.Т. Койтеру, 6-А. Либаи и 5-К. By).
Весьма перспективным с точки зрения рассматриваемой задачи являет ся подход к построению геометрически нелинейной теории осесиммет-рично деформируемых оболочек вращения, предложенный Э. Рейсснером [91, 92].
В книге Ч. Возняка [ 97 ] рассмотрены основы общей нелинейной теории, некоторые современные теории и избранные задачи. Использован тензорный формализм. В книге Л. Дж. Эрнста [ 84 ] обсуждается и доводится до подробно и тщательно разработанного алгоритма формализм метода конечных элементов (МКЭ ) в случае геометрически нелинейной теории оболочек.
А.А.Березовский и Ю.И.Жария в [ 12 ] привели вывод нелинейных интегральных уравнений теории гибких оболочек, а также оболочек вращения и дали решения геометрически нелинейных краевых задач изгиба и устойчивости методами Ритца, Бубнова - Галеркина и возмущений. В книге К.З.Галимова [ 28 ] рассмотрены основные соотношения теории тонких оболочек при конечных перемещениях и деформациях.
В книге Л.М.Зубова [ 39 ] представлена кинематика конечных деформаций движущейся поверхности с помощью координат отсчета в текущей конфигурации.
В статье П.М. Нагди и П.И. Танга [ 90 ] обсуждаются конечные деформации, возможные в изотропной упругой мембране, рассматриваемой как тонкая оболочка. Решение получено путем использования энергии деформации, зависящей от вида определяющих уравнений и метрического тензора деформированной срединной поверхности.
Сложной проблемой является исследование закритического поведения оболочек. Одной из первых посвященных ей работ стало исследование Н.А. Алумяэ [ 8 ]. В нем автор исходит из следующих четырех предположений : первое - напряженное состояние основной исходной формы равновесия безмо-ментно, второе - деформации в оболочке малы, несмотря на конечность перемещений в закритической стадии, третье - справедливы гипотезы Кирхгофа-. Лява, четвертое - уравнения равновесия удовлетворяются после учета поворотов.
Уравнения нелинейной теории неосесимметрично нагруженных оболочек вращения при больших перемещениях и поворотах
В заключение решение исходной системы квазилинейных алгебраических уравнений ( 3.19-3.20 ) определяется подстановкой значений Z,- и а в
На втором этапе решения исходной нелинейной краевой задачи решается задача Коши по соотношениям ( 3.15 ). При этом используются неявные схемы интегрирования, связанные с использованием метода Ньютона. После нахождения решения уравнений (3.30) и расчета скоростей изменения всех компонент разрешающих переменных и параметра нагрузки по календарному параметру в соответствии с методом Ньютона процесс повторяется до тех пор, пока относительная разность между двумя последовательными приближениями не достигнет заданной величины.
Сходимость итерационного процесса Ньютона существенно зависит от выбора начального приближения векторов разрешающих переменных, осуществляемого по явным формулам метода прогноза-коррекции. Поэтому при прогнозе значений векторов разрешающих переменных для текущего значения календарного параметра X используется метод третьего порядка точности, а при коррекции - метод второго порядка точности [ 90 ]. Такая постановка решения задачи Коши позволяет не только с достаточной точностью использовать в качестве начального приближения решение, полученное на предыдущем шаге по параметру продолжения решения, но и обосновать выбор шага по скорости сходимости итерационного процесса. В качестве критерия сходимости при реализации алгоритма использовалось число итераций до достижения заданной разницы между последовательными приближениями неявного метода решения задачи Коши по параметру продолжения решения. Максимальное число итераций, при котором приходится из соображений эффективного проведения численных расчетов дробить шаг нагружения пополам, для ньютоновского процесса не превышает обычно 10. При снижении числа итераций до 4 следующий шаг нагружения может быть вдвое увеличен.
Алгоритм оптимизации шага нагружения в настоящей работе связывается также с точность интегрирования соотношений теории пластического течения, представленных дискретно по соотношения раздела 2. Здесь величиной шага интегрирования управляет "поворот" тензора напряжений. Превышение этой величиной некоторого максимального порога вызывает дробление шага, а снижение ниже минимального позволяет увеличить следующий шаг по нагрузке, естественно, если это позволяет сделать критерий сходимости итерационного процесса.
Задача определения напряженно-деформированного состояния вытесни-тельных мембран обладает той особенностью, что ее решение неоднозначно зависит от внешней нагрузки или ее параметра. В таких случаях удается тем не менее получить решение, несколько изменив постановку работы [ 90 ], комбинируя подход , развитый в работах [15 ], [ 90 ], и уменьшая размерность окаймления в матрице разрешающей системы алгебраических уравнений. Для разрешимости системы ( 3.19 - 3.20 ) необходимо чтобы ее определитель был отличен от нуля. Предполагается, что выбором номера блочного вектора в нижней строке окаймления в этого всегда можно добиться.
Для осуществления этого выбора был реализован следующий алгоритм : а) задается приращение АХ и из общих соображений выбирается номер блочного вектора ( практически нет необходимости рассматривать все неиз вестные уравнений ( 3.19 - 3.20 ), а достаточно остановить свой выбор на но мерах, соответствующих перемещениям последнего из блочных векторов ); б) производится первый шаг итерационного процесса. При этом среди най денных значений перемещений в качестве ведущих переменных выбираются переменные того блока, у которого на этом предыдущем шаге выявлена наи 55 большая норма приращения; г) производится дальнейший итерационный процесс до сходимости с использованием в соотношениях ( 3.19 - 3.20 ) номера блока с наибольшей нормой приращения перемещения на первом шаге.
Следующий шаг нагружения начинается с выбора номера ведущего блока, получаемого по результатам расчетов на предыдущем шаге. Таким образом могут быть получены все решения системы ( 3.19 - 3.20 ) при условии, что они образуют в пространстве неизвестных гладкую несамопересекающуюся линию. Отметим, что используемая модификация известных подходов позволяет эффективно проводить расчеты при большой размерности системы алгебраических уравнений (3.19 - 3.20 ), с одной стороны в основном снимая проблемы усложнения решений, связанных с окаймлением системы уравнений в отличие от работы [ 90 ], а с другой стороны позволяет избежать самозацикливания алгоритма решения задач Коши неявным методом в отличие от работы [ 15 ].
3.4. Программа для ПЭВМ расчета напряженно-деформированного состояния вытеснительных мембран
На основе постановки задачи и метода решения, описанных в предыдущих разделах была разработана программа для ПЭВМ расчета напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек вращения с малыми начальными несовершенствами формы поверхности приведения , деформирующихся под действием равномерно распределенного по поверхности давления.
Программа состоит из двух файлов: файла LOAD. EXE - собственно программы, и файла исходных данных, который в данном описании имеет имя DANN.EXE.
После запуска программы LOAD. EXE она запрашивает имя входного файла и пользователь должен ввести имя предварительно подготовленного файла исходных данных. На запрос имени выходного файла пользователь вводит имя нового, несуществующего файла, в который будут записаны результаты расчета. Исполняемый файл LOAD. EXE получен трансляцией программы, написанной на а.лгоритмическом языке ФОРТРАН - 1У, имеет объем около 160 Кб и предназначен для IBM совместимых компьютеров. Исходные модули фортран ной программы представляют собой файл основной программы и набор нескольких десятков файлов-подпрограмм, что при необходимости дает возможность использовать их на других вычислительных машинах, естественно, при наличии ФОРТРАН - транслятора.
Общая структура программы в виде блок-схемы представлена на рис. 3.2. Входной файл DANN.EXE представляет собой набор чисел определенного формата, снабженных комментариями для пользователя. Так как для написания программы LOAD.EXE использовался ФОРТРАН, то при создании или редактировании входного файла важен как формат, так и место расположения числа. В DANN.EXE расположение чисел размечено запятыми, а их формат должен совпадать с форматом прототипа.
Целые числа во входном файле должны располагаться таким образом, чтобы между последней значащей цифрой и запятой не оставалось пробелов. Расположение вещественных чисел внутри отмеченного запятыми пространства произвольно.
Формулировка нелинейной краевой задачи
Резюмируя вышесказанное, можно утверждать, если требуемая долговечность более 2000 циклов, то следует выбирать " твердый " материал, а если менее 2000, то " пластичный ". В случае же " сложного " нагружения, когда нельзя сказать определенно о характере нагружения и числе циклов, следует выбирать " оптимальный " вариант -" упругий " материал, то есть использовать не приближенное представление диаграммы а - є , а истинное.
Влиянием отличной от нуля средней деформации цикла в условиях малоцикловой усталости в отличие от этой проблемы для многоцикловой усталости занималось сравнительно немного исследователей, в числе которых надо отметить Мэнсона, Сесслера, Вейсса, Сахса, Латорре [ 97 ]. Ими было показано, что влияние сжимающей средней деформации цикла на долговечность при малоцикловой усталости по существу такое же, как и влияние растягивающей средней деформации цикла, если их величины одинаковы. Причем влияние средней деформации существенно только в области, когда долговечность меньше переходного значения для данного материала (точка А на рис.4.3 ).
Влияние отличного от нуля среднего напряжения цикла существенно, когда преобладает упругая составляющая деформации, то есть для значения долговечности больше переходного значения для данного материала, вправо от точки А на рис. 4.3. Для учета средней деформации цикла было предложено следующее эмпирическое соотношение между размахом полной деформации As и долговечностью N f (числом циклов до разрушения) [ 64 ] : - коэффициент усталостной пластичности, определяемый как деформация при первой смене знака, то есть после завершения первой половины цикла (рис. 4.4); а - постоянная материала, равная обратной величине наклона прямой с противоположным знаком, которая описывает зависимость размаха полной деформации от числа циклов до разрушения в логарифмических координатах при симметричном циклическом нагружении. Например, для алюминиевого сплава ( отожженного ) типа АД-1М а = 2,5 1. Известно, что при реверсе нагрузки наблюдается уменьшение предела текучести, которое называют эффектом Баушингера. Однако для различных материалов он играет различную, более или менее значительную роль.
Как видно из этой формулы, эффект Баушингера в ней не учитывается. В.В. Москвитиным была предложена следующая формула, учитывающая этот эффект: - деформация, соответствующая пределу текучести при статическом нагружении. При т =2 эта формула переходит в формулу Мазинга. Полная деформация в условиях малоцикловой усталости согласно трудам ИМаша [64 ], определяется соотношением : При этом первая составляющая определяет пластическую составляющую, а вторая - упругую составляющую, вызывающую усталостное повреждение.
Эксплуатационное число циклов нагружения для мембран вытеснительных емкостей обычно не превышает 10J, что позволяет при вычислении повреждаемости не учитывать упругую составляющую и использовать для подсчета числа циклов метод полных циклов. Для мембран вытеснительных емкостей чаще всего используются материалы, диаграмму растяжения которых можно без особых погрешностей представить в координатах а как полигональную кривую ( рис. 4.5 ).
Подсчитываем, пользуясь методом полных циклов, количество полуциклов для отрицательных и положительных деформаций. Если обозначить деформации в точках в точках экстремумов функции є(t) 1,2,3... (рис. 4.6а) через &, где "і" соответствует номеру точек, то каждой деформации, записанной определенным образом, ставится в соответствие один полуцикл, которые затем суммируются по всему временному процессу.
Разобьем деформацию в диапазоне [т - Єв ], где Єв - истинная предельная деформация разрушения при статическом нагружении, на интервалы с помо щью некоторой равномерной сетки с шагом
Весь процесс разобьем на положительные и отрицательные полуциклы, которые определяются точками, в которых є = 0 (точки 1,3,5,13,15,17,25). В каждом полуцикле выбирается максимальная по абсолютной величине деформация ( полуцикл 3-4-5 ).Таким образом, выбираются деформации которые заносятся в диаграмму с соответствующим разрядом " ек" ( табл. 4.1. ), то есть соблюдается условие : ек st ek+l, с увеличением на единицу числа, соответствующего этому разряду полуциклов " ш".
Для каждой деформации ек рассчитываются циклы до разрушения по соотношению (4.3). Локальные экстремумы в полуциклах, которые рассмотрим на примере " гребенки" 5 - 6 - 7...13 на рис.4.6, учитываются следующим образом: составляется таблица 4.2, в которой отсутствует максимальная деформация єіо.
Алгоритм определения повреждаемости
Оболочка мембраны представлялась состоящей из двух частей : сферической радиуса 300 мм с максимальным диаметром 550 мм и круглой плоской пластины диаметра 290 мм. Форма образующей оболочки до деформации представлена на рис. 5.6. При имитации кольцевого подкрепления предполагалось, что оболочка имеет два слоя : - изотропный толщиной 1 мм и конструктивно ортотропный толщиной 3 мм. Для учета конструктивной анизотропии материала оболочки физические соотношения ( 2.25 - 2.26 ) корректируются введением в подинтегральные функции коэффициентов заполнения с/=сг(а1,а2 з) определяемых по обычным для расчета приведенных характеристик анизотропных материалов формулам [ 41 ].
Геометрические коэффициенты заполнения для второго слоя рассчитываемой мембраны принимались : в меридиональном направлении Сі = 0, в окружном направлении Сг = 0,21. Коэффициент сі представляет собой среднее отношение диаметра проволоки к шагу навивки. Принятая в расчет диаграмма деформирования материала, также как и для первой из оболочек, использована в кусочно-линейном виде.
Оболочка считалась жестко защемленной по своему максимальному диаметру. Нагружение проводилось двумя этапами : на первом этапе постоянным по образующей перепадом давления Р оболочка выворачивалась таким образом, чтобы прогиб в ее полюсе составил 250 мм. Эта величина приблизительно равна удвоенному расстоянию от полюса оболочки до плоскости ее максимального диаметра. На втором этапе полюс оболочки аналогичным образом возвращался в исходное состояние.
В процессе расчета анализировались вся сопутствующая информация о процессе деформирования, и в частности также зависимость перепада давления Р от прогиба в полюсе Wо{ рис. 5.14 ).
Аналогично она представляет собой единую кривую в виде петли, начинающейся из начала координат. Верхняя часть кривой соответствует деформации мембраны на первом этапе нагружения, а нижняя часть - деформации на втором этапе. Процесс нагружения развивался в соответствии с обходом петли по часовой стрелки из начала координат. Первый максимум на верхней кривой также соответствовал моменту начала выворачивания. Характерно появление в диаграмме выворачивания колебаний на кривых, что является обычным признаком наличия дискретных подкреплений оболочки [ 55 ]. Отметим, что получение таких результатов без учета пластических свойств материала оболочки и подкрепления невозможно, так как выворачивание подкреплений при приближении к ним гофра сильного изгиба приводит к столь сильной изменяемости решения по координате, что численный расчет останавливается из-за недостижимости сходимости итераций. Аналогичная остановка расчетов происходит и при стремлении вывернуть непологую оболочку к значению безразмерного прогиба, большем двух. Интересно отметить, что по мере приближения гофра в области сильного изгиба оболочки к периферии оболочки его кривизна увеличивается, увеличивается при этом и амплитуда колебаний верхней кривой. В конце нижней кривой имеется участок, на котором перепад давления меняет знак без смены направления движения полюса. На этом участке мембрана отдает запасенную упругую энергию и деформируется без потребления внешней энергии.
Закономерность изменения кривизны гофра в области сильного изгиба такая же, как и для первой оболочки. Интенсивность накопленных пластических деформаций также возрастает к концу первого этапа нагружения на цикле прямого и обратного выворачиваний. Причем так как при деформировании оболочки преобладает изгиб, пластические деформации на внешних поверхностях приблизительно одинаковы. Их максимальное приращение на первом этапе составляет порядка 10%; а на втором - 5%. Интенсивность накопленных пластических деформаций в подкреплении приблизительно в два ржа меньше чем в оболочке и она более или менее равномерно распределена по ее толщине (имеется в виду толщина имитирующего конструктивно ортотропного слоя). Следует отметить, что желание иметь минимальную кривизну гофра в данной задаче кроме вышеупомянутых причин наталкивается также и на противоречие, связанное с требованием минимальности деформаций навивки. Оптимум в данной конструкции лежит, по-видимому, в некотором снижении жесткости окружного подкрепления, что приводит к снижению кривизны гофра в зоне сильного изгиба за счет увеличения пластических деформаций в навивке. 0 характере напряженного состояния в мембране можно судить по графикам, представленным на рис. 5.15-5.18.
В третьей из рассматриваемых в данном разделе работы мембране емкости жидкости химического зажигания (ЖХЗ) установлена вытеснительная мембрана, изготовленная из алюминиевого сплава АД1М. Мембрана представляет собой половину сферической оболочки радиуса 74 мм и толщиной 1мм. Для того, чтобы оболочка при выдавливании жидкости деформировалась осесимметрично, в ее полюсе предусмотрена конструктивная вмятина, с которой начинается деформация мембраны. Ради упрощения расчетной схемы при расчете деформирования оболочки по методике раздела 3 настоящей работы конструктивная вмятина в полюсе в связи с ее пологостью представлялась плоской круглой пластиной радиуса 26 мм. Форма образующей оболочки до деформации изображена на рис. 5.7.
Оболочка, как и в предыдущих расчетах, предполагалась защемленной по контуру максимального диаметра. Диаграмма деформирования материала представлена также кусочно ломаной, но двухзвенной линией с изломом в точке, соответствующей деформации 6% и напряжению 6 кГ/ мм2. Материал считался жестко пластическим с двумя звеньями упрочнения, так как он существенно ( почти на порядок ) мягче стали, используемой в двух предшествующих оболочках.
