Содержание к диссертации
Введение
1 Состояние вопроса и постановка задачи 6
1.1 Условия работы штанговой колонны глубинной насосной установки 6
1.2 Расчетная схема 14
1.2.1 Учет гидростатического давления 17
1.2.2 Сила, действующая на нижний конец колонны . 20
1.2.3 Силы, распределенные по длине колонны 21
1.2.4 Уравнение движения 25
1.3 Обзор методов решения задач при наличии нелинейностей, описываемых многозначными соотношениями 26
2 Разработка математической модели 31
2.1 Постановка задачи о продольных колебаниях стержня в форме динамического вариационного неравенства 31
2.2 Дискретизация динамического вариационного неравенства во времени и пространстве 36
2.3 Решение вариационной задачи путем минимизации негладкого функционала 40
3 Реализация алгоритма 46
3.1 Структура программы 46
3.2 Тестирование алгоритма 48
4 Расчет напряженно-деформированного состояния штанговой колонны в условиях эксплуатации 54
4.1 Определение параметров откачиваемой жидкости в НКТ 55
4.2 Влияние длины колонны, режима работы установки и вязкости откачиваемой жидкости на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн в вертикальных скважинах 57
4.3 Влияние кулонова трения на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн в наклонных и искривленных скважинах 69
4.4 Влияние асфальто-парафиновых отложений (АСПО) на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн 82
4.5 Влияние продольного изгиба при сжатии на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн 87
4.6 Расчет реальных штанговых колонн 92
5 Оценка прочности штанговых колонн 103
Заключение 115
- Обзор методов решения задач при наличии нелинейностей, описываемых многозначными соотношениями
- Дискретизация динамического вариационного неравенства во времени и пространстве
- Влияние длины колонны, режима работы установки и вязкости откачиваемой жидкости на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн в вертикальных скважинах
- Влияние асфальто-парафиновых отложений (АСПО) на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн
Введение к работе
Для проектирования, оценки прочности, долговечности и других эксплуатационных механических свойств конструкций необходимо уметь определять их напряженно-деформированное сосчтояние в любой момент времени. В связи с этим, актуальной является задача построения механических моделей и методов их решения.
Современное состояние вычислительной техники и численных методов позволяет исследовать задачи, изучение которых до этого было чрезвычайно трудоемким. К их числу относятся задачи исследования динамических систем, в которых граничные условия описываются многозначными соотношениями. Такие задачи не могут быть решены в классической постановке. Для их исследования необходимо применение специальных подходов, например, использование вариационных неравенств.
Одной из таких задач является исследование продольных колебаний штанговой глубинной насосной установки, используемой для добычи нефти. Для этой системы имеют место следующие многозначные соотношения: - зависимость между силой, прикладываемой к нижнему сечению ко- лонны и скоростью этого сечения, обусловленная работой клапанов глубинного насоса; - кулоново трение штанг о стенки насосно-компрессорной трубы.
Исследование таких систем имеет большое практическое значение, поскольку использование штанговых глубинных насосных установок явля ется наиболее распространенным при добыче нефти. Одной из наиболее частых причин выхода из строя является обрыв штанг, приводящий к необходимости проведения дорогостоящего подземного ремонта, стои- мость которого возрастает из-за того, что месторождения могут быть расположены в труднодоступных местах. Поэтому актуальной является задача увеличение срока службы колонны между ремонтами, для чего, в частности, необходимо знать ее напряженно-деформированное состояние в любой момент времени.
Целью настоящей диссертации является разработка алгоритмов решения задач о колебаниях упругих систем с граничными условиями, описываемыми многозначными соотношениями, создание программ, реализующих этот алгоритм, проверка их работоспособности и использование их для исследования продольных колебаний штанговых колонн.
Диссертационная работа состоит из семи глав, включая введение и заключение.
Во введении (первой главе) обоснована актуальность рассматриваемой задачи, сформулирована цель работы и изложено краткое ее содержание.
Во второй главе рассмотрены условия работы исследуемой конструкции. Задача исследования динамического поведения штанговой колонны поставлена как задача механики деформируемого твердого тела с граничными условиями и распределенными нагрузками описываемых с помощью многозначных соотношений. Дан обзор методов решения таких задач.
В третьей главе дана математическая формулировка поставленной в предыдущей главе задачи в виде квазивариационного неравенства, произведена дискретизация неравенств во времени и пространстве, получен численный алгоритм решения рассматриваемой задачи.
В четвертой главе приведена структура составленной программы, про изведено тестирование численного алгоритма на системе с одной степе- нью свободы.
В пятой главе полученный алгоритм применяется для расчета штанговых колонн в реальных и приближенных к реальным условиях. Рассмотрено влияние различных факторов на динамическое поведение штанговой колонны.
В шестой главе производится оценка усталостной прочности штанговой колонны. Оценивается влияние собственных колебаний и сжатия на усталостную прочность.
В заключении (седьмой главе) даны основные результаты диссертационной работы и выводы.
Результаты, изложенные в работе, докладывались на
10-й Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1995),
Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1996), - 11-й Международной зимней школе по механике сплошных сред (Пермь,
1997), - 12-й Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь, 1999).
По теме диссертации опубликованы работы [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8].
Обзор методов решения задач при наличии нелинейностей, описываемых многозначными соотношениями
Замкнутое аналитическое решение задачи о движении упругого стержня, на боковой поверхности которого действуют силы кулонова трения, могут быть получены только в том случае, когда абсолютная величина силы трения изменяется только по длине и не зависит от времени [27].
Большая часть работ, в которых рассматриваются колебания систем с кулоновым трением, посвящены системам с одной [28, 29, 30, 31, 32, 33], или малым числом степеней свободы [34, 35, 36, 37]. В [31, 35] даже получены замкнутые решения для систем с одной степенью свободы.
Вопросы нахождения периодических решений и исследования их устойчивости для систем с разрывными нелинейностями и произвольным числом степеней свободы рассматриваются в работах [38, 39, 40, 41]. В этих работах фазовое пространство системы разделяется на ряд подобластей, внутри которых уравнения, описывающие поведение системы, непрерывны. Этот подход подразумевает построение границ раздела между подобластями, определение точек пересечения фазовой траектории с этими границами, что для систем с большим числом степеней свободы затруднительно. Кроме того, задача нахождения периодических решений и исследования их устойчивости сводится к построению больших несимметричных плотнозаполненных матриц, решению систем уравнений с такими матрицами и нахождению их собственных решений [42]. Все это требует больших вычислительных затрат.
В работе [43] сильно нелинейные системы исследуются с помощью асимптотических рядов. Однако, в этой книге рассмотрение ограничивается виброударными системами, в которых сильные нелинейности являются позиционными, то есть обусловленными многозначной зависимостью усилий от перемещений.
Следовательно, естественным было бы попытаться решить задачу о колебаниях системы с трением как краевую динамическую задачу, взяв в качестве начальных условий решение для линейной системы, близкой к исходной, и проследив за решением на протяжении нескольких периодов.
В последнее время появилось много работ, посвященных решению статических и динамических краевых задач с кулоновым трением. Одним из наиболее распространенных является подход, основанный на последовательной проверке и коррекции условий трения, который представлен в работах Рогового А.А., Иванова Б.П., Сурсякова В.А., Ибрагим-беговича А.и др. [44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53]. Первая итерация при таком подходе выполняется из предположениния, что скольжение отсутствует. Иногда при этом подходе применяется регуляризованная форма закона трения.
Использованию этого подхода препятствуют следующие особенности рассматриваемой задачи: во первых, типичным состоянием для контактирующей поверхности является скольжение, а не прилипание; во вторых, для данной расчетной схемы контактными являются все узлы конструкции. Предположение об отсутствии скольжения по всей контактной повехности для таких задач неприменимо, так как оно делало бы невозможным какое-либо движение системы.
Среди других формулировок задач динамики систем с кулоновым трением можно отметить формулировку, использующую сведение исходной задачи к задаче дополнительности [54, 55, 56]. Постановка двумерной задачи с трением в рамках этого подхода рассмотрена в статье [54], а постановка соответствующей пространственной задачи - в статье [55]. Некоторые обобщения задачи дополнительности можно найти в статьях [57, 58], а обзор методов решения- в статье [57]. Этот подход обычно используется в сочетании с методом суперэлементов (конденсации). К сожалению, в настоящее время этот подход не обладает достаточной гибкостью для его применения в более общем классе задач исследования систем с разрывными нелинейностями (трение с несимметричной характеристикой, задачи возникающие в динамике насосных систем, и.т.д.).
Одной из наиболее универсальных и корректных в математическом смысле является постановка краевой задачи с нелинейностями типа трения в виде вариационных и квазивариационных неравенств. Теория этих неравенств весьма подробно изложена в работах Дюво Г., Лионса Ж.-Л., Гловински Р., Панагиотопулоса П., Главачека И., Гаслингера Я., Нечаса И., Ловишека Я., Байокки К., Капелло А. [59, 60, 61, 72, 62], а их приложения в механике рассматрены в работах Кравчука А.С, Вовку-шевского А.В., Няшина Ю.И., Чернопазова С.А., Аларта П., Курнье А., Гаслингера Я. и др. [63, 64, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 65, 73].
Дальнейшая схема действий такова. Динамическое квазивариационное неравенство с помощью какой-либо разностной схемы сводится к квазивариационному неравенству, аналогичному статическому. Решение квазивариационного неравенства сводится затем к последовательному решению вариационных неравенств, соответствующих краевой задаче с трением и заданным контактным давлением. Полученное вариационное неравенство решается путем минимизации эквивалентного негладкого функционала энергии. В настоящей работе будет использована именно эта схема.
Минимизация негладких функционалов представляет собой серьезную вычислительную проблему. Пути решения этой проблемы можно найти в работах [74, 75, 76, 77, 78, 79]. Однако, методы, представленные в этих источниках,плохо приспособлены для решения задач большой размерности, возникающих в динамике конструкций. С вычислительной точки зрения, наиболее рациональными для данного класса задач являются методы, сводящие задачу нахождения минимума негладкого функционала к последовательности задач для гладких функционалов.
Наиболее простым является метод релаксации [60]. Однако, поскольку он требует последовательной релаксации по всем контактным узлам, то скорость его сходимости для некоторых случаев может быть недостаточной.
Одним из наиболее распространенных является подход, основанный на методе двойственности. В нем задача минимизации негладкого функционала сводится к задаче нахождения седловой точки гладкого функционала, которая затем решается методом Удзавы или Эрроу-Гурвица [60].
Более общим является подход, использующий модифицированные (в англоязычной литературе-augmented) лагранжианы. Метод модифицированного лагранжиана, иначе называемый методом множителей, был предложен Хестенсом [80] и Пауэллом [81]. Этот метод нашел широкое применение при решении задач нелинейного программирования [82, 83, 84, 85, 86, 87, 88] и механики деформируемого твердого тела [89, 90]. Д.Бертсекасом было предложено использовать метод множителей для минимизации негладких функций и решения плохо обусловленных задач оптимизации [82]. Последние получаются при минимизации функций близких к негладким. При этом исходная задача сводится к последовательности гладких хорошо обусловленных задач безусловной минимизации модифицированных лагражианов при фиксированных значениях множителей. При этом, существуют численные схемы, в которых задачу безусловной минимизации не обязательно решать точно. Упомянутый выше метод Удзавы можно рассматриать, как частный случай метода множителей. Алгоритм пересчета множителей Лагранжа основывается на максимизации двойственной функции, или, что эквивалентно, на нахождении седловой точки модифицированного лагранжиана.
Дискретизация динамического вариационного неравенства во времени и пространстве
Для решения поставленной задачи была составлена программа на языке С. Ядро этой программы составляют функции, которые собственно и реализуют рассмотренный в предыдущей главе алгоритм. Эти функции применимы для всех задач, описываемых неравенствами типа (49), не зависят от типа возмущающего воздействия, конкретной конечноэле-ментной аппроксимации и внутреннего представления матриц жесткости, масс, демпфирования и приведенной матрицы жесткости. К ним относятся: функция, осуществляющая общую организацию всего процесса в рассматриваемом интервале времени; функция, выполняющая начальные действия, необходимые для работы численной схемы Ньюмарка; функция, реализующая конкретный временной шаг, согласно численной схемы Ньюмарка; функция, осуществляющая решение статического вариационного неравенства относительно поля скоростей путем минимизации негладкого функционала энергии методом Удзавы; и функция, осуществляющая минимизацию модифицированного лагранжиана относительно скоростей при фиксированном значении вектора множителей.
При работе алгоритма также используются функции, область применения которых ограничивается конкретным видом функционала Ф(У), такие, как функции, определяющие верхние и нижние границы опорных множеств К І и осуществляющие проецирование Аг- + rvi на эти множества.
Используемые при решении задачи функции, реализующие процедуры линейной алгебры зависят от внутреннего представления используемых матриц.
Остальные функции зависят от конкретной задачи. К ним относятся функции, реализующие метод конечных элементов (вычисление жесткости, масс и демпфирования, формирование вектора внешних сил); функция, задающая возмущающее воздействие; функция вычисляющая силы прижатия стержня к стенкам канала; функции пересчета матриц при учете продольного изгиба и.т.д.
С целью проверки работы алгоритма желательно провести сравнение численного решения, полученного с помощью этого алгоритма, с аналитическим. Замкнутое решение для задач динамики, включающих в себя разрывные нелинейности типа кулонова трения, может быть сравнительно легко получено для систем с малым числом степеней свободы.
Анализ таких систем проводится путем решения системы уравнений динамики на временных интервалах, на протяжении которых точка приложения сил типа кулонова трения не меняет направления движения. На рассматриваемых интервалах либо вышеупомянутые силы постоянны, либо точки приложения этих сил неподвижны. Уравнения динамики на каждом из таких интервалов будут непрерывными, а если других не-линейностей нет, то, кроме того, и линейными. Решая эти уравнения, проверяя условия прилипания-скольжения и используя свойство непрерывности перемещений и скоростей, можно получить решение для любого момента времени.
В данной работе численное решение для системы, полученной дискретизацией исходной задачи при числе элементов пе\ = 1, без учета кривизны, вязкого сопротивления, давления, трения, действующего по длине штанги, сравнивается с аналитическим решением для соответствующей одномассовой системы. Эта система представляет собой груз массой т, подвешенный на пружине жесткостью к. Точка подвеса движется по косинусоидальному закону с амплитудой Ua и круговой частотой ш: На груз действует внешняя сила Р, которая равна Рир при движении груза вверх и Pdown -при движении груза вниз. Если груз неподвижен, ТО Соответствующая Сила находится В Интервале Между Pdown и Pup Эта одномассовая система будет эквивалентна рассматриваемой выше одноэлементной модели, если амплитуда и частота возбуждения будут теми же самыми, параметры подобраны следующим образом.
Влияние длины колонны, режима работы установки и вязкости откачиваемой жидкости на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн в вертикальных скважинах
В данной работе принимается предположение, что эмульсия не образуется. В этом случае, согласно РД-39-1-289-79 [97], используется правило смесей для кинематического коэффициента вязкости: Динамический коэффициент вязкости рассчитывается по формуле: где рж.сеп-плотность сепарированной (без газа) жидкости. Зависимость коэффициента вязкости от температуры учитывается с помощью эмпирической формулы: где t-температура жидкости по шкале Цельсия, -вязкость жидкости при 20С, /З -эмпирический показатель степени. Распределение температуры по длине скважины в данной работе считается линейным. Влияние длины колонны, режима работы установки и вязкости откачиваемой жидкости на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн в вертикальных скважинах В данном параграфе будет рассмотрено динамическое поведение штанговых колонн в скважинах, оси которых практически не отклоняются от вертикали. Для таких скважин усилия трения штанг о стенки НКТ пренебрежимо малы и не учитываются. Расчеты проводились для трех длин колонн: L = ЮООж, L = 170СЫ, L = 2500м. Колонны брались одноступенчатыми с диаметром штанг равным 19 мм. Модуль Юнга и плотность материала штанг равны, соответственно: Усилия на нижнем конце колонны вычислялись согласно формулам ($-@. Давление на выходе из насоса pout рассчитывалось согласно методике РД-39-1-289-79 [97], давление на входе насоса бралось равным 4,1 МПА. Расчеты давления pout проводились при следующих значениях параметров (берется нефть без газа): Суточный дебит нефти 14,17 м3 /сут Объемная обводненность жидкости 0,02 м3/м3 Плотность дегазированной нефти 940 кг/м3 Плотность пластовой воды 1180 кг/м3 Кинематическая вязкость нефти при 20С 88,83 мм2/с Кинематическая вязкость воды при 20С 1,Ь6мм2/с Устьевое давление 0,7 МПа Температура откачиваемой жидкости 10 С Диаметр плунжера насоса был взят равным 32 мм, внутренний диаметр НКТ —62 мм. Сила трения в плунжере насоса вычислялась по эмпирической формуле [22]: где dpi—диаметр плунжера, м; S —зазор, м; Р/Г,рі —в Н. В данной задаче зазор был взят равным 0,1 мм. В результате были получены следующие значения давления на выходе из насоса и действительных и эквивалентных усилий, действующих на нижнем конце стержня: Динамическое поведение штанговых колонн рассматривалось при ко-синусоидальном законе перемещения верхнего конца. Значения длины хода S брались равными 1 м и 3,5 м. Число ходов в минуту п бралось в интервале от 6 до 12. Рассматривались варианты с учетом и без учета гидродинамического сопротивления откачиваемой жидкости движению штанг. Численный расчет проводился при разбиении штанговой колонны по длине на 80 элементов. Шаг по времени брался равным 5t = Т/400, где Т — 60/п-период возмущения, с. Значения коэффициентов Ньюмарка выбирались равными: (5 = 0,276 7 = 0,55. При таком выборе коэффициентов, искусственное затухание достаточно велико, для того, чтобы численный процесс был устойчивым и для погашения собственных колебаний, возникающих в начальный момент времени (установления периодического режима) через разумное число периодов. В то же время, искажения, вносимые искусственным затуханием в картину колебаний, при этих значениях достаточно малы. В качестве начальных условий брались перемещения и скорости, возникающие в колонне при колебаниях в том случае, когда сила , действующая в нижнем сечении постоянна и равна Рир. Результаты расчета представлены в виде графиков на рис.7-14. Для каждого варианта выведены перемещения и скорости нижнего конца штанговой колонны, а также продольные усилия в серединах 1-го, 20-го, 40-го и 80-го элементов, что соответствует, сечениям с координатой х равной приблизительно 0 , \L, \L , L И L. На графиках перемещений и скоростей, для сравнения, штриховой линией показаны соответствующие величины для верхнего конца. Поскольку для рассматриваемой системы принято положительное направление оси координат вниз, то таким же, для наглядности, выбрано направление осей перемещений и скоростей.
Все рассматриваемые величины выводились на 9-м и 10-м цикле. К этому времени система практически выходит на установившийся периодический режим.
Из рисунков видно, что движение нижнего конца штанговой колонны происходит с остановками (горизонтальный участок диаграммы рис.7,10) во время которых усилие, действующее на нижний конец, изменяется от Pdown до Рир и наоборот (см. рис.9,12).
Для систем без вязкости период остановки может разрываться: происходит небольшая подвижка нижнего конца (рис.106). Усилие, действующее на нижний конец колонны, при этом изменяется в интервале [Pdown, Рир], но перехода от Pdown к Рир (от Рир к Pdown) не происходит (рис.126). Это явление имеет место даже для одномассовой системы из тестового примера (см. рис.6). Для штанговых колонн с большой вязкостью откачиваемой жидкости данное явление выражено гораздо слабее.
Наряду с колебаниями с частотой возмущающего воздействия, имеют место и собственные колебания, которые возбуждаются два раза за цикл при изменении направления движения.
Влияние асфальто-парафиновых отложений (АСПО) на напряженно-деформированное состояние штанговых колонн
В процессе эксплуатации колонна насосных штанг глубинной насосной установки подвергается действию циклических нагрузок в течении длительного периода времени. Число циклов за период эксплуатации превышает 106.
Напряженно-деформированное состояние штанг является как правило однородным по каждому отдельно взятому сечению. Неоднородность имеет место только в области сжатия вследствие продольного изгиба. Деформации в штанговой колонне являются упругими: наличие пластических деформаций для однородного по сечению состояния означало бы мгновенную потерю несущей способности, то есть немедленный обрыв штанги.
Из всего вышесказанного видно, что основным фактором, ограничивающим работоспособность колонн и приводящих их к разрушению является многоцикловая усталость.
При работе штанги находятся в агрессивной среде (сероводород, минерализованная вода), что приводит к снижению усталостной прочности колонны, ускорению ее разрушения. При этом предел усталости может резко снижаться, или даже исчезать и оценка прочности конструкции по пределу усталости становится невозможной или нецелесообразной. В этом случае необходима оценка долговечности штанговой колонны.
Если изменение напряжений во времени происходит по синусоидальному закону, то усталостное нагружение характеризуется двумя величинами: (ттах -максимальное напряжение цикла;сгтгП -минимальное напряжение цикла. Однако, при исследовании усталости чаще используют другую пару величин: -амплитуда напряжения цикла; -коэффициент асимметрии. Сопротивление материала разру-шению при этих условиях может быть представлено с помощью кривых усталости, то есть с помощью зависимостей долговечности N от амплитуды напряжений, построенных при различных коэффициентах асимметрии:
Подобным же образом можно охарактеризовать сопротивление усталости для циклов, близких к синусоидальным, то есть для циклов, имеющих один локальный максимум и один локальный минимум.
Для штанговых колонн закон изменения напряжений во времени носит более сложный характер. В подобных конструкциях на процесс усталости должны оказывать заметное влияние собственные колебания, возбуждаемые при изменении направления движения плунжера насоса. Благодаря этим колебаниям в каждом рабочем цикле имеется несколько пиков напряжений. Амплитуда составляющей, связанной с собственными колебаниями сравнима с общей амплитудой.
Для интерпретации подобных процессов нагружения необходимо использовать какой-либо метод подсчета циклов. Наибольшее распространение среди них имеет метод стока [21]. Схематически этот метод может быть представлен следующим образом. Процесс деформирования во времени изображается так, что ось времени направлена вертикально вниз, а линии, связывающие пики деформаций представляют собой как бы крыши пагод. Вода с этих крыш стекает в соответствии с некоторыми правилами. Сток начинается последовательно с внутренней стороны каждого пика деформации. Сток, начавшись в минимуме (максимуме), прекращается в точке, противоположной той, где деформация достигает минимального значения меньше (больше) начального пика. Сток также останавливается, если он встречает на своем пути поток, стекающий с выше расположенной крыши. Каждый сток рассматривается, как полуцикл. Многие полуциклы встречаются парами, образуя полные циклы. Если необходимо подсчитать число циклов для периодического режима, то следует учесть один полный цикл между наибольшим и наименьшим пиками и учесть все другие меньшие по амплитуде циклы. Обработка начинается с наибольшего максимума или наименьшего минимума и ведется на интервале времени, равном периоду нагружения. В этом случае все циклы будут полными. Таким образом, в результате использования метода стока получается спектр нагружения, состоящий из т простых циклов. Каждый такой цикл характеризуется амплитудой напряжений аа{ и коэффициентом асимметрии R{. Каждому из этих циклов соответствует долговечность JVj, значение которой получается согласно формуле (94). Здесь г = 1... т. Поскольку кривые усталости получаются при синусоидальном нагру-жении и постоянных параметрах цикла, необходимо иметь гипотезу, позволяющую получать оценки в условиях действия спектра нагрузок. Основное допущение, применяемое при анализе циклов сложной формы, заключается в том, что воздействие циклических напряжений приводит к усталостному повреждению. Далее предполагается, что возникшие повреждения остаются неизменными и воздействие циклов с различными параметрами приводит к их накоплению. Поэтому, эти гипотезы называются гипотезами накопления повреждений. Наиболее простой, наиболее ранней и наиболее часто используемой является гипотеза Пальмгрена -Майнера, называемая также правилом линейного суммирования повреждений. Согласно этой гипотезе, воздействие спектра различных уровней напряжений приводит к поврежденно-стям Д для каждого уровня.
