Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Проблемы моделирования динамических процессов, возникающие при проектировании и эксплуатации гидравлических систем 12
Глава 2. Подходы и методы, использующиеся при математическом моделировании динамики гидросистем 20
Глава 3. Математическая модель и анализ динамических свойств гидросистемы произвольного вида 30
3.1, Математическая модель гидросистемы 30
3.2. Исследование устойчивости стационарных режимов и качественной структуры многомерного фазового пространства. Обоснование перехода к однокрнтериальной многомерной задаче безусловной оптимизации при нахождении стационарного потокораспределения 36
Глава 4. Исследование динамики системьг циркуляции теплоносителя ЯЭУ 44
4.1. Математическая модель системы циркуляции 44
4.2. Исследование стационарных режимов. Решение задачи стационарного потокораспределения 48
4.3. Исследование функции Ляпунова 54
4.4. Связь гидромеханических процессов в СЦ теплоносителя с безопасностью ЯЭУ 61
Заключение 67
Список использованных источников 68
Приложение 1 75
- Подходы и методы, использующиеся при математическом моделировании динамики гидросистем
- Исследование устойчивости стационарных режимов и качественной структуры многомерного фазового пространства. Обоснование перехода к однокрнтериальной многомерной задаче безусловной оптимизации при нахождении стационарного потокораспределения
- Исследование стационарных режимов. Решение задачи стационарного потокораспределения
- Связь гидромеханических процессов в СЦ теплоносителя с безопасностью ЯЭУ
Введение к работе
Комплексы сооружений, аппаратов и различных устройств, соединенных между собой транспортирующими жидкость или газообразную среду трубопроводами, которые называют гидросистемами (ГС) (или гидравлическими сетями, инженерными сетями, гидравлическими цепями) являются важной частью многих объектов и систем новой техники. Примерами могут служить системы тепло-, водо- и газоснабжения городов и промышленных центров, системы циркуляции теплоносителя и рабочей среды в энергетике и различных производствах. ГС, как правило, содержит взаимодействующие с потоком элементы, процессы в которых имеют механическую природу. Такими элементами, в частности, являются рабочие колёса насосов, приводящих жидкость в движение, рабочие органы запорно-регулирующей арматуры, перемещаемые за счёт воздействия извне или за счёт действия потока. Серьезные отклонения в работе ГС обычно недопустимы с точки зрения технологического процесса и могут привести к авариям с тяжелыми экологическими, экономическими и социальными последствиями. Большое значение имеет также обеспечиваемое работой ГС экономное, рациональное использование топливно-энергетических и водных ресурсов. В частности, оптимальное проектирование и обеспечение расчетных гидравлических режимов в процессе эксплуатации муниципальных распределительных сетей теплоснабжения и горячего водоснабжения являются одним из наиболее эффективных способов решения проблем надежности, безопасности и рационального потребления ресурсов. Эти системы, применяемые в современной технике, можно назвать гидромеханическими, так как кроме трубопроводов и различных аппаратов и устройств с внутренним потоком жидкости они содержат насосы, клапаны и другие элементы механической природы. Необходимость рассмотрения взаимодействия гидродинамических и механических процессов заметно усложняет исследование.
Для моделирования движения жидкой среды в ГС в большинстве случаев используются упрощенные методы, характерные для прикладной гидромеханики. Уравнение одномерного напорного течения несжимаемой жидкости на каждом из участков системы записывается в виде уравнения Бернулли для неустановившегося течения вязкой жидкости с использованием интегральных характеристик потока и эмпирических зависимостей при описании потерь на трение. Для узлов ГС используются уравнения неразрывности. Теория ГС, сложившаяся к настоящему времени, имеет много общего с теорией электрических сетей, т. к. при указанном подходе к моделированию данные объекты обладают сходством своих расчётных схем, а движение транспортируемой среды в них подчиняется единым законам течения (в электротехнике - законам Кирхгофа) и сетевым законам сохранения массы и энергии. Теория электрических цепей давно определилась как самостоятельная дисциплина. Законы электрических цепей хорошо изучены и широко применяются на практике, что связано, главным образом, с линейностью характеристик элементов, использующихся при построении подобного рода сетей. Однако в области ГС, несмотря на их широкое применение, нет такой общей физико-математической базы, какую представляет для электротехники теория электрических цепей. Это связано с тем, что гидравлические системы существенно нелинейны и имеют ряд присущих только им технических особенностей. При слабо развитой вычислительной технике расчёты таких систем были возможны лишь для простых и, как правило, линеаризованных схем. В настоящее время, в связи с развитием вычислительной техники, появилось немало работ, в которых изложены различные способы изучения и приближённых расчётов гидравлических цепей с использованием методов из различных областей математики, Наибольшие успехи достигнуты при исследовании статических
5 состояний ГС (например, при расчете стационарного потокораспределения) и переходных процессов в ГС не слишком сложной структуры, в то время как универсальных, гарантированно сходящихся методов расчета инженерных сетей и аналитических методов их исследования с достаточно сложной топологической структурой не существует.
В связи с этим разработка адекватных математических моделей стационарного и нестационарного течения рабочей среды в ГС, а также развитие аналитических и численных методов исследования этих моделей актуальны. Результаты, получаемые в результате численного эксперимента, который служит основой для принятия большинства проектно-конструкторских решений, часто не поддаются тщательной количественной проверке и нуждаются в изучении с точки зрения понимания физики протекающих процессов, качественного характера изменения переменных, влияния параметров и возмущений, а также оценки области, где справедливы результаты расчетов. Для такого изучения целесообразно использовать аналитические методы при исследовании и часто упрощенные математические модели, учитывающие только основные факторы.
Целями настоящей диссертационной работы являются; обобщение и развитие основанного на методах аналитической механики и теории нелинейных колебаний нетрадиционного для прикладной гидромеханики подхода к описанию и исследованию динамики гидравлических процессов в сложных ГС; разработка адекватных математических моделей динамического поведения ГС; обоснование принципиально нового способа решения задачи нахождения стационарного потокораспределения в ГС, позволяющего использовать современную методику принятия оптимальных решений.
В работе проведены аналитические и численные исследования динамики гидромеханических процессов в типовой системе циркуляции
6 теплоносителя ядерного реактора, являющейся частным видом ГС, включая исследования возможной многозначности равновесных режимов и их устойчивости, с целью оценки влияния последних перечисленных факторов на безопасность.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Развиты, теоретически обобщены и реализованы результаты применения методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний в прикладной гидромеханике напорных потоков несжимаемой жидкости.
На основании прямого метода Ляпунова получена качественная информация о структуре многомерного фазового пространства и возможных в нем бифуркациях для гидродинамических процессов при изменении параметров и некоторых внешних воздействиях.
Теоретически обоснован новый метод решения задачи нахождения стационарного потокораспределения в ГС.
Практической ценностью диссертационной работы можно считать разработку нового, пригодного для использования в проектно-конструкторских организациях, подхода при математическом моделировании динамики гидромеханических процессов в сложных ГС различного назначения; получение общих качественных представлений о динамических свойствах сложной ГС; обоснование новой методики решения задачи стационарного потокораспределения, отличной от традиционно используемой. Полученные результаты основаны на применении методов аналитической механики и теории нелинейных колебаний, которые практически не используются в инженерных расчетах.
Аналитические и численные результаты изучения динамических процессов в системе циркуляции теплоносителя ядерного реактора, как частного вида ГС, позволяют сделать важные практические выводы и сформулировать рекомендации, необходимые для повышения безопасности проектируемых и эксплуатирующихся ЯЭУ.
Диссертационная работа выполнена в рамках программы Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ России (НШ-1136.2003.8, НШ-6391.2006.8), гранта РФФИ №05-08-50187, фундаментальных и прикладных научных исследований по приоритетным направлениям науки и техники госбюджетных НИР НИИ механики ННГУ им. Н.И. Лобачевского 2001 - 2005 гг. и 2006 - 2010 гг.
Апробация работы. Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на VI научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, ННГУ, 2002); на IV сессии молодежной школы-семинара «Промышленная безопасность и экология» (Саров, РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004); на Десятой междисциплинарной научной конференции «Нелинейный мир» (Н. Новгород, ННГУ, 2005); на VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, ННГУ, 2005); на Тринадцатой Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Дубна, ОИЯИ, 2006); на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006). Результаты исследований в виде составной части в заявке на грант РФФИ послужили основанием для прохождения конкурсного отбора заявок и включения продолжения этих исследований в программу работ по проекту №05-08-50187.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 13 работах: 1, Смирнов, Л.В. Бифуркации и потеря устойчивости по быстрым движениям системы циркуляции теплоносителя ядерного реактора /
8 Л.В, Смирнов, Н.В. Кассина, А.Г. Прохоров // Нелинейные колебания механических систем: VI научная конференция. Тезисы докладов. Н Новгород, 2002 г,-С.138.
Кассина, Н.В. Математическое моделирование динамики напорного течения несжимаемой жидкости в сложных гидравлических системах методами аналитической механик и теории колебаний / Н.В. Кассина // Информационные технологии в науке, проектировании и производстве: Материалы восьмой Всероссийской научно-технической конференции. Тезисы докладов, Н. Новгород: МВВО АТН РФ, 2003 г. - С.12.
Кассина, Н.В. Влияние изменения работы ГЦН на режим работы ядерного реактора/ Н.В. Кассина, Л.В. Смирнов// Вопросы атомной науки и техники. Сер. Физика ядерных реакторов.- 2004. - Вып.З. -С.71-78.
Кассина, Н.В, Математическое моделирование динамики гидравлических цепей / Н.В. Кассина, Л.В. Смирнов // Вестник ННГУ. Сер. Мат. моделирование и опт. управл. (Н. Новг.) - 2004. - Вып. 1(27), СЛ32-138.
Кассина, Н.В. Влияние некоторых гидродинамических процессов на безопасность ядерного реактора / Н.В. // IV сессия молодежной школы-семинара «Промышленная безопасность и экология». Тезисы докладов, РФЯЦ-ВНИИЭФ, Саров, 2004 г. - С.34.
Кассина, Н.В. Влияние нестационарных гидродинамических процессов на безопасность ядерного реактора/ Н.В. Кассина// Нелинейный мир. Десятая междисциплинарная научная конференция. Тезисы докладов, Н. Новгород, 27 июня - 2 июля 2005 г. - ВыпЛО. - С.59.
Динамические проблемы, обусловленные взаимодействием механической и гидродинамической подсистем/ Л.В. Смирнов [и др.] //. Труды VII Всероссийской научной конференции «Нелинейные
9 колебания механических систем», Н. Новгород, 19 - 23 сентября 2005 г.-С. 19-21.
Динамические проблемы, обусловленные взаимодействием механических и гидродинамических процессов в сложных гидросистемах / Л.В. Смирнов [и др.] // Вестник ННГУ. Сер. Меаника (Н. Новг.) - 2006. - Вып. 1(7), С.ЗЗ - 40.
Гидроупругие колебания элементов конструкций энергетических установок / Л.В, Смирнов [и др.] // Вестник ННГУ. Сер. Механика (Н. Новг.) - 2006. - Вып. 1(7), С.41 - 49.
Кассина, Н.В. Математическое моделирование разветвленных гидравлических систем/ Н.В. Кассина, Л.В. Смирнов// Тринадцатая Международная конференция «Математика, Компьютер.
Образование». Сборник научных тезисов, Вып.13, Москва-Ижевск, .
Кассина Н.В. Динамика и устойчивость гидросистем/ Н.В. Кассина, Л.В. Смирнов // IX Всеросссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. Т.1 (Нижний Новгород, 22 - 28 августа 2006). Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2006. - С.64 - 65. Математическое моделирование динамики гидросистем: отчет о НИР (промежуточ.) / Научно-исслед. ин-т мех-ки ННГУ (НИИМ ННГУ); рук. Л.В. Смирнов. - Н. Новгород, 2006. - 29 с; № ГР 01200606854. -Инв.НИИ№543.
Кассина, Н.В. Влияние некоторых гидродинамических процессов на безопасность ядерного реактора/ Н.В. Кассина// Промышленная безопасность и экология: Сборник материалов IV сессии школы-семинара, Саров: ФГУП РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2004. - С.212 - 218.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения с выводами, списка литературы и приложений.
В первой главе обсуждается проблема теоретического изучения динамики гидромеханических процессов в ГС, дается обзор исследований и формулируются основные цели и задачи диссертационной работы.
При этом анализируются постановки задач и методы расчета сложных, разветвленных ГС при изучении режимов их работы. Отмечено, что применение традиционного гидравлического подхода и приближенных численных расчетов при моделировании ГС не дает достаточную для практики информацию о стационарных режимах и нестационарных процессах.
Во второй главе сформулирован новый подход для проведенных при выполнении диссертации теоретических, численных и аналитических исследований динамики ГС. Для применения этого подхода к сложным ГС использован ряд обобщений классического аппарата аналитической механики и методы нелинейной теории колебаний, практически не использующиеся в инженерной практике.
В третьей главе получена математическая модель произвольной ГС в форме уравнений Лагранжа с интегрируемыми связями обобщенных скоростей. С помощью методов теории нелинейных колебаний получена информация об общих динамических свойствах ГС с напорным течением несжимаемой жидкости и их зависимости от параметров и воздействий и дано теоретическое обоснование новой, отличной от традиционной, методики решения задачи стационарного потокораспределения.
В четвертой главе применение указанной методики продемонстрировано на примере исследования динамики системы циркуляции теплоносителя ЯЭУ, являющейся частным видом ГС. Нарушение нормальной, предусмотренной проектом, работы системы циркуляции теплоносителя недопустимо с точки зрения безопасности реактора, изучение её общих динамических свойств является важной задачей, и результаты её решения имеют самостоятельное значение. С точки зрения математического моделирования ГС, рассмотренный в главе пример демонстрирует применение представленного в предыдущих главах общего подхода и даёт наглядное, качественное, геометрическое представление о структуре фазового пространства гидродинамических переменных и его зависимости от параметров.
На защиту выносятся следующие основные положения работы:
Новая методика математического моделирования динамики гидравлических процессов, основанная на методах и подходах аналитической механики и теории нелинейных колебаний.
Полученные на основании аналитического исследования качественные представления о структуре многомерного фазового пространства процессов напорного течения жидкости в ГС и возможных в этом пространстве бифуркаций.
Результаты исследований динамики типовых систем циркуляции теплоносителя водо-водяных ядерных реакторов предложенными методами.
Теоретическое обоснование нового способа нахождения стационарного потокораспределения на основании поиска экстремумов функции Ляпунова специального вида.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю, д.т.н., проф. Смирнову Л.В. и с.н.с. Пригоровскому А.Л. за советы и рекомендации при постановке и обсуждении результатов работы.
Подходы и методы, использующиеся при математическом моделировании динамики гидросистем
Другой, менее разработанный, подход также посвящен рассмотрению главным образом стационарного потокораспределения и связан с использованием тех или иных экстремальных методов, опирающихся на физическую или математическую сущность задачи о потокораспределении для произвольной ГС. Работы М.Я. Квасова, И.С. Панова и некоторых других авторов [13,22,31,35-37] связаны с минимизацией (или максимизацией) некоторой специальной функции, отвечающей тому или иному вариационному принципу. Большинство из них описывают методы, основанные на решении задач нелинейного программирования, в частности нелинейной транспортной задачи [10, 17], либо на применении градиентных или пошаговых методов безусловной минимизации для подбираемых особым образом функций [30,42]. Некоторые авторы из перечисленных (см., например, работы [13, 30]) используют в качестве основы вариационного подхода для расчета ГС теорему Максвелла о принципе наименьшего теплового действия, согласно которому стационарное состояние электрической системы соответствует минимальному выделению тепла. Обобщение этого принципа состоит в том, что потокораспределение в произвольной активной многоконтурной ГС отвечает точке минимума некоторого функционала. В качестве такого функционала выбирают, например, величину энергии, которую система должна затратить для перехода из одного стационарного режима в другой. В частности, в некоторых случаях может быть выбрана величина потенциальной энергии системы. Однако на практике реализация такого экстремального подхода приводит к системам уравнений подобным уравнениям Кирхгофа и практически не дает ничего нового по сравнению с алгебраическим подходом. В работах М.Я. Квасова, И.С. Панова [35,36] рассматривается обобщение этого подхода, имеющее понятный физический смысл - целевым функционалом служит полная механическая энергия системы, а в качестве вариационного принципа выбран вариационный принцип наименьшего действия. Такая постановка задачи позволяет адекватно моделировать течение среды не только в пассивных, но и активных участках системы, а также избежать некоторых упрощений и допущений. Однако в этих работах практически не рассматривается влияние механических элементов системы. Например, узловые напоры и угловые скорости вращения рабочих колес роторов центробежных насосов, положения клапанов запорно-регулирующей арматуры считаются постоянными величинами или наперёд заданными функциями времени. Неоднозначность и устойчивость режимов работы системы в случае немонотонности характеристик также не рассматривается.
Имеются также работы, посвященные итерационным методам расчета нестационарных процессов в сложных ГС [27,29,39,43,62], когда гидравлические или механические характеристики, задаваемые в узлах и на участках, представляют собой функции времени. В общем случае нестационарного процесса изменение течения жидкости происходит непрерывно. В частном случае нестационарного процесса, называемого переходным, рассчитываются параметры гидродинамического процесса при переходе системы из одного стационарного режима в другой стационарный режим. Таким образом, стационарный режим является исходным и конечным этапом расчета ГС в переходных режимах. Математическая модель в этом случае представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений или систему дифференциальных уравнений в частых производных. Затем такая модель преобразуется в систему алгебраических конечно-разностных уравнений и решается численными методами. Важную роль при таких расчетах играет точное задание начальных условий, то есть условий, имевших место в ГС при начале нестационарного процесса. Начальные условия получаются в результате расчета стационарного режима работы ГС, берутся из расчета нестационарного процесса, протекавшего ранее, или приняты нулевыми. Для сложных ГС расчет начальных условий в ряде случаев представляет самостоятельную и порой не менее сложную задачу, чем расчет параметров нестационарных процессов. Кроме того, должны выполняться условия сходимости итерационного процесса. Во многих случаях результаты расчета должны сверяться с результатами эксперимента. Вот что сказано по этому поводу в работе [27]: «Одна из характерных черт численного решения гидродинамических задач для сложных гидросистем состоит в том, что численный расчет во многом похож на эксперимент. Так же, как к результатам эксперимента, к результатам численного расчета следует подходить весьма осторожно».
Таким образом, получаемые с помощью численного счета частные решения не дают необходимой для практики информации об общих динамических свойствах ГС, то есть о качественном и количественном влиянии возмущений, параметров и начальных условий на работу изучаемой системы. Особую роль такая информация играет в атомной энергетике, так как надежность и безопасность ядерных реакторов в значительной мере зависит от работы систем циркуляции теплоносителя в стационарных, переходных и аварийных режимах. Для решения этой проблемы для систем циркуляции, как частного вида ГС, Л.В. Смирновым был предложен и реализован принципиально новый подход [44-46, 48], который позволяет рассматривать ГС как совокупность имеющих одну степень свободы тел переменного состава, обменивающихся массой в узлах соединения и разделения потоков. Математическую модель динамики гидромеханических процессов оказалось возможным представить в виде системы соответствующим образом обобщенных уравнений Лагранжа с избыточными координатами и голономными связями. Такое представление позволило обоснованно применить качественные методы теории нелинейных колебаний для анализа общих свойств решений и получить необходимую для практики информацию, недоступную в результате исключительно численных исследований. Это информация о структуре многомерного фазового пространства гидродинамических переменных и её зависимости от параметров и возмущений. В главе 2 идея предложенного Л.В. Смирновым подхода, называемого автором прикладной аналитической гидромеханикой [48], изложена более подробно.
Применение такой методики к описанию и исследованию произвольных ГС с напорным течением жидкости потребовало ряда обобщений. Этот подход получил развитие в данной работе и использован для получения качественной информации об общих динамических свойствах произвольного вида ГС, а также для разработки новой, отличной от традиционной, методики решения задачи стационарного потокораспределения ГС. Кроме того, представляет интерес и продолжение ранее проведенных исследований по оценке влияния работы системы циркуляции теплоносителя, как частного вида ГС, на безопасность ядерного реактора. Решению этих задач и посвящена настоящая диссертация.
Исследование устойчивости стационарных режимов и качественной структуры многомерного фазового пространства. Обоснование перехода к однокрнтериальной многомерной задаче безусловной оптимизации при нахождении стационарного потокораспределения
Согласно геометрической трактовке прямого метода Ляпунова [14], имеем систему вложенных друг в друга гиперповерхностей R = const. Фазовые траектории пересекают эти гиперповерхности снаружи внутрь, так как производная от используемой функции Ляпунова, вычисленная с учетом уравнений движения, отрицательна всюду, кроме состояний равновесия. При наличии нескольких состояний равновесия имеются неустойчивые состояния равновесия типа седла, и сепаратрисные гиперповерхности, проходящие через эти состояния равновесия, разделяют фазовое пространство на области притяжения устойчивых состояний равновесия.
Таким образом, анализ функции R(Qlt...,)„) дает исчерпывающую информацию о качественной структуре и-мерного фазового пространства. При изменении параметров или медленных переменных a ni = l,N,, приводящих к деформации гидравлических характеристик участков с насосами, происходят бифуркации в виде рождения и исчезновения особых точек с нулевым суммарным индексом векторного поля [41].
Полученные выше результаты исследования позволяют свести задачу нахождения стационарного потокораспределения произвольной ГС без объёмов со свободными уровнями к поиску координат минимумов функции многих переменных R. Для частного вида ГС со свободными уровнями в работе [46] показана возможность автоколебаний, проявляющихся в виде периодического перераспределения жидкости между объемами.
Эти минимумы достигаются в устойчивых состояниях равновесия. Такая задача поиска минимумов функции R{Ql,...,Qll) представляет собой конечномерную многоэкстремальную задачу безусловной оптимизации следующего вида [53]: где величины щ , bh i = \,n, - константы, задающие границы изменения координат вектора Q; целевая функция R(Q) может иметь в допустимой области D несколько локальных экстремумов.
В отличие от предлагаемых в литературе методов решения данной проблемы, описанный в данной работе подход также даёт возможность исследования не только статики, но и динамики ГС, что очень важно для обоснования надёжности их работы. В частности, рассмотрение поверхности R (Q) = const, проходящей через ближайшее неустойчивое состояние равновесия, позволяет грубо оценить область притяжения каждого из устойчивых состояний равновесия, а наиболее удовлетворяющее практику требование обеспечения единственности состояния равновесия, гарантирующая его устойчивость «в целом», может служить критерием выбора гидравлических характеристик оборудования, включая насосы, приводящих в движение жидкость. Обоснование и способы реализации методов, позволяющих находить экстремальные значения функций многих переменных, имеются в литературе по принятию оптимальных решений [9,18,51,53,56-58,64].
Однако решение таких задач при увеличении числа измерений п представляет определенную сложность. Если в одномерной задаче для достижения точности решения s требуется р вычислений функции, то в задаче с размерностью п для решения с той же точностью необходимо осуществить ар" испытаний, где а зависит от свойств целевой функции, допустимой области и используемого метода. Кроме того, при решении многомерных многоэкстремальных задач отдельно возникает проблема поиска всех локальных минимумов целевой функции - необходимо найти для каждого локального минимума зону его притяжения, то есть такую окрестность точки минимума, в которой исследуемая функция одноэкстремальна.
В условиях отсутствия информации об областях притяжения минимумов функции Релея, как в общем, так и в рассмотренном здесь частном случае, множество начальных точек может быть задано автоматически, по схеме метода Монте-Карло или на регулярной сетке во всей области [51,52]. Обзор методов поиска локально-оптимальных точек для решения многоэкстремальных задач имеется, например, в [18, 53, 57].
Несколько проще задача поиска глобального экстремума целевой функции, для решения которой в настоящее время существуют эффективные методы [53, 56-58, 64].
Если в выражении (3.13) все характеристики АР,- монотонны, то функция R(Qt ,...,Q„) имеет только один экстремум (минимум), в этом случае можно использовать обычные градиентные методы поиска локального минимума [9,18, 53].
В данной главе применение описанной выше методики продемонстрировано на примере исследования динамики системы циркуляции (СЦ) теплоносителя ядерной энергетической установки (ЯЭУ), являющейся частным видом ГС. Нарушение нормальной, предусмотренной проектом, работы системы циркуляции теплоносителя недопустимо с точки зрения безопасности реактора. Изучение общих динамических свойств этой системы является важной задачей, результаты её решения имеют самостоятельное значение. Кроме того, приведенные в главе результаты позволяют получить наглядное, геометрическое представление о разработанной и представленной в предыдущей главе методике, о связи качественной структуры фазового пространства и вида функции Ляпунова, а также их зависимости от параметров. Следует подчеркнуть, что приведенные в данной главе результаты являются не обоснованием, а только демонстрацией разработанного общего метода на частном примере.
Исследование стационарных режимов. Решение задачи стационарного потокораспределения
Вид функции Ляпунова, соответствующей фазовой плоскости, изображенной нарис. 4.10 - 4.12, представлен на иллюстрациях 4.7 - 4.9. Рассмотрение этого частного случая СЦ дает наглядную картину качественной структуры фазового пространства и возможных в нем бифуркациях, а также связи этой структуры с функцией R (Qh Q2). Кроме того, оно позволяет получить представление о более общем случае СЦ при произвольном п, и об общем случае произвольной ГС, рассмотренной в главе 3. Области притяжения устойчивых состояний равновесия в многомерном фазовом пространстве разделяются сепаратрисными гиперповерхностями, проходящими через неустойчивые седловые особые точки. Происходящие в результате изменения параметров бифуркации представляют собой только рождение и исчезновение пар особых точек.
Доказанная в главе 3 устойчивость единственного равновесного режима ГС «в целом» позволяет утверждать, что выбором гидравлических характеристик можно добиться выполнения этого условия. Именно единственность состояния равновесия гарантирует устойчивость и установление равновесного режима работы ГС при возмущениях, что наиболее приемлемо для практики.
Однако единственность такого состояния равновесия в основном эксплуатационном режиме работы СЦ ЯЭУ может быть нарушена при изменениях параметров. Такими параметрами являются, например, скорости вращения циркуляционных насосов. В следующем разделе рассмотрен случай такого изменения, связанного с отключением и медленной остановкой одного из насосов. Возникающее при этом возмущение циркуляции теплоносителя рассмотрено с точки зрения безопасности реактора.
В главе 3 проведено исследование качественной структуры фазового пространства QI}...,Q„ для произвольной ГС прямым методом Ляпунова с использованием функции Ляпунова R, аналитическое выражение которой дает формула (ЗЛЗ). Рассматриваемый в данной главе частный случай ГС позволяет наглядно продемонстрировать результаты, представленные в главе 3.
Обобщенная функция Релея для случая п = 2 представляется следующим образом: Важным качественным результатом, представляющим интерес с точки зрения общих динамических свойств СЦ, является возможность существования нескольких состояний равновесия. Проектному расчету на рис. 4.2 отвечает состояние равновесия, соответствующее рабочей точке на участке MN характеристики для калсдой из петель. Работа СЦ в стационарных режимах, соответствующих другим состояниям равновесия, с технической точки зрения недопустима, так как при этом в одной из петель расход теплоносителя либо мал, либо отрицателен.
Исследование типа соответствующих особых точек фазового пространства Qh Q2 проводилось разными способами: путем анализа структуры поверхности R (Q[, Q2) в окрестности особой точки в соответствии с результатами, представленными в предыдущем разделе, путем построения фазовых траекторий на основании численного интегрирования уравнений при различных начальных условиях, а также с помощью анализа возникающих бифуркаций при изменении параметров. Полученные при дискретных значениях со2 результаты могут быть использованы и при рассмотрении медленного изменения этой угловой скорости. В этом случае они наглядно демонстрируют процесс изменения фазового портрета быстрых движений при изменении медленных переменных.
Наиболее часто встречающимся источником возмущения расхода теплоносителя СЦ является отключение и медленный выбег одного или нескольких ГЦН. Это приводит к изменению теплосодержания теплоносителя, а значит, к возмущению коэффициента размножения нейтронов (реактивности) и изменению нейтронной мощности реактора. В этих случаях система автоматического управления должна приводить в соответствие тепловыделение и теплосъем, восстанавливая отклонившуюся от заданного значения мощность реактора и производя соответствующие изменения в работе установки. Рассмотрим только особенности чисто гидромеханических процессов и укажем на их влияние на теплофизические.
При исследовании двухпетлевой СЦ были построены графики нахождения состояний равновесия системы (4.3) и фазовые портреты, соответствующие некоторым дискретным значениям угловой скорости вращения одного из двух ГЦН (а 2 =1, г= 0,92, ш2 = 0,86 и со2 = 0,8) при неизменном значении скорости вращения второго насоса. Расчеты проводились при следующих заданных параметрах характеристик системы (4.3): ах = 1,4; а2 = - 4; Ь = 4; с = 6; d\ = - d2= 0,4.
Основная часть настоящего исследования посвящена рассмотрению случая, когда из-за изменения оборотов ГЦН меняется характеристика одной петли СЦ как результат процесса медленного изменения скорости вращения рабочего колеса одного из насосов при его отключении и выбеге. При этом 6 медленно убывает, и этот процесс может быть определен из последних уравнений системы (4,1) при п = 2, обращении в нуль Мдг и г і = т%= з = 0. Однако качественные представления о характере влияния медленного уменьшения Юг можно получить, задав это изменение в виде аг -a Q-at) и варьируя значение а. Наглядную картину такого возмущения дают иллюстрации 4.14-4.17.
Эти рисунки, а также рис. 4.18 демонстрируют характер влияния медленного изменения частоты вращения одного из ГЦН на число и расположение особых точек системы (4.3), описывающей гидродинамические процессы в двухпетлевой СЦ.
Связь гидромеханических процессов в СЦ теплоносителя с безопасностью ЯЭУ
Вид функции Ляпунова, соответствующей фазовой плоскости, изображенной нарис. 4.10 - 4.12, представлен на иллюстрациях 4.7 - 4.9.
Рассмотрение этого частного случая СЦ дает наглядную картину качественной структуры фазового пространства и возможных в нем бифуркациях, а также связи этой структуры с функцией R (Qh Q2). Кроме того, оно позволяет получить представление о более общем случае СЦ при произвольном п, и об общем случае произвольной ГС, рассмотренной в главе 3. Области притяжения устойчивых состояний равновесия в многомерном фазовом пространстве разделяются сепаратрисными гиперповерхностями, проходящими через неустойчивые седловые особые точки. Происходящие в результате изменения параметров бифуркации представляют собой только рождение и исчезновение пар особых точек.
Доказанная в главе 3 устойчивость единственного равновесного режима ГС «в целом» позволяет утверждать, что выбором гидравлических характеристик можно добиться выполнения этого условия. Именно единственность состояния равновесия гарантирует устойчивость и установление равновесного режима работы ГС при возмущениях, что наиболее приемлемо для практики.
Однако единственность такого состояния равновесия в основном эксплуатационном режиме работы СЦ ЯЭУ может быть нарушена при изменениях параметров. Такими параметрами являются, например, скорости вращения циркуляционных насосов. В следующем разделе рассмотрен случай такого изменения, связанного с отключением и медленной остановкой одного из насосов. Возникающее при этом возмущение циркуляции теплоносителя рассмотрено с точки зрения безопасности реактора.
В главе 3 проведено исследование качественной структуры фазового пространства QI}...,Q„ для произвольной ГС прямым методом Ляпунова с использованием функции Ляпунова R, аналитическое выражение которой дает формула (ЗЛЗ). Рассматриваемый в данной главе частный случай ГС позволяет наглядно продемонстрировать результаты, представленные в главе 3.
Важным качественным результатом, представляющим интерес с точки зрения общих динамических свойств СЦ, является возможность существования нескольких состояний равновесия. Проектному расчету на рис. 4.2 отвечает состояние равновесия, соответствующее рабочей точке на участке MN характеристики для калсдой из петель. Работа СЦ в стационарных режимах, соответствующих другим состояниям равновесия, с технической точки зрения недопустима, так как при этом в одной из петель расход теплоносителя либо мал, либо отрицателен.
Исследование типа соответствующих особых точек фазового пространства Qh Q2 проводилось разными способами: путем анализа структуры поверхности R (Q[, Q2) в окрестности особой точки в соответствии с результатами, представленными в предыдущем разделе, путем построения фазовых траекторий на основании численного интегрирования уравнений при различных начальных условиях, а также с помощью анализа возникающих бифуркаций при изменении параметров. Полученные при дискретных значениях со2 результаты могут быть использованы и при рассмотрении медленного изменения этой угловой скорости. В этом случае они наглядно демонстрируют процесс изменения фазового портрета быстрых движений при изменении медленных переменных.
Наиболее часто встречающимся источником возмущения расхода теплоносителя СЦ является отключение и медленный выбег одного или нескольких ГЦН. Это приводит к изменению теплосодержания теплоносителя, а значит, к возмущению коэффициента размножения нейтронов (реактивности) и изменению нейтронной мощности реактора. В этих случаях система автоматического управления должна приводить в соответствие тепловыделение и теплосъем, восстанавливая отклонившуюся от заданного значения мощность реактора и производя соответствующие изменения в работе установки. Рассмотрим только особенности чисто гидромеханических процессов и укажем на их влияние на теплофизические.
При исследовании двухпетлевой СЦ были построены графики нахождения состояний равновесия системы (4.3) и фазовые портреты, соответствующие некоторым дискретным значениям угловой скорости вращения одного из двух ГЦН (а 2 =1, г= 0,92, ш2 = 0,86 и со2 = 0,8) при неизменном значении скорости вращения второго насоса. Расчеты проводились при следующих заданных параметрах характеристик системы (4.3): ах = 1,4; а2 = - 4; Ь = 4; с = 6; d\ = - d2= 0,4.
Основная часть настоящего исследования посвящена рассмотрению случая, когда из-за изменения оборотов ГЦН меняется характеристика одной петли СЦ как результат процесса медленного изменения скорости вращения рабочего колеса одного из насосов при его отключении и выбеге. При этом 6 медленно убывает, и этот процесс может быть определен из последних уравнений системы (4,1) при п = 2, обращении в нуль Мдг и г і = т%= з = 0. Однако качественные представления о характере влияния медленного уменьшения Юг можно получить, задав это изменение в виде аг -a Q-at) и варьируя значение а. Наглядную картину такого возмущения дают иллюстрации 4.14-4.17.
