Содержание к диссертации
Введение
1. Уникальные свойства сплавов с памятью формы и их феноменологическое описание 13
1.1 Термоупругие фазовые превращения 13
1.2 Диаграммы перехода в координатах параметр фазового состава -температура. Влияние на эту диаграмму действующих напряжений 14
1.3 Изменение некоторых физических характеристик никелида титана при мартенситиых и ромбоэдрических превращениях 16
1.4 Механические свойства сплавов с памятью формы, связанные с термоупругими фазовыми переходами 18
1.4.1. Деформация прямого термоупругого превращения 18
1.4.2. Явление ориентированного превращения 21
1.4.3. Явление монотонной памяти формы 23
1.4.4. Явление реверсивной памяти формы 25
1.4.5. Обратимая память формы 26
1.4.6. Явление фазовой неупругости 27
1.4.7. Явление псевдоупругости 30
1.4.8. Влияние действующих напряжений и предварительно накопленных фазовых деформаций на температуру начала обратного превращения 32
1.4.9. Поведение СПФ при термоциклическом нагружении 33
1.5.Теплофизические свойства сплавов с памятью формы
1.6. Механические определяющие соотношения для сплавов с памятью формы 42
2. Термодинамическое описание механического поведения сплавов с памятью формы, испытывающих одноэтапное термоупругос превращение 48
2.1 Основные гипотезы, принимаемые в известных работах по исследованию свойств СПФ с позиций рациональной термодинамики 48
2.2 Постановка задачи 50
2.3 Вывод диссипативного неравенства и уравнений притока тепла и теплопроводности для СПФ, испытывающих одноэтапные фазовые переходы 51
2.3.1 Диссипативное неравенство и уравнение для притока тепла в терминах различных термодинамических потенциалов 51
2.3.2 Структура потенциала Гиббса сплава с памятью формы 57
2.3.3 Термоупругие превращения в отсутствии напряжений 59
2.3.4 Диссипативное неравенство при прямом превращении нагруженного материала 61
2.3.5 Диссипативное неравенство при обратном превращении нагруженного материала 64
2.3.6 Тепловые эффекты фазовых превращений 72
2.4 Результаты решения некоторых связных задач для СПФ 77
2.4.1. Определение притока тепла к материалу в замкнутом температурном цикле, состоящем из прямого и обратного превращения, происходящих под действием постоянных напряжений 77
2.4.2. Численное решение дважды связной задачи о прямом и обратном превращениях в стержне из СПФ 81
3. Решение краевых задач о двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в стержне из никелида титана 87
3.1 Вводные замечания 87
3.2 Потенциал Гиббса для трехфазной среды 87
3.3 Формулировка диссипативного неравенства 90
3.4 Разрешающее уравнение дважды связной задачи о двухэтапном превращении 104
3.5 Результаты решения простейших дважды связных задач 108
4. Некоторые приложения разработанных термодинамических моделей поведения сплавов с памятью формы 117
4.1 Исследование поведения рабочего тела силовозбудителя в виде стержня или трубки из СПФ, работающих на кручение 117
4.1.1 Вводные замечания 117
4.1.2 Анализ поведения рабочего тела силовозбудителя в несвязной постановке 120
4.1.3 Решение дважды связной задачи о теплопроводности, фазовых переходах и деформировании для тонкостенного цилиндрического стержня, находящегося под действием крутящего момента 129
4.2 Оценка величины коэффициелта полезного действия простейшего мартенситного двигателя 131
5. Экспериментальные исследования механического поведения образцов из никелида титана при прямом и обратном превращении под действием постоянных и кусочно —постоянных напряжений 144
5.1 Вводные замечания 144
5.2 Образцы и методика проведения эксперимента 145
5.3 Последовательность проведения экспериментов 147
5.4 Результаты экспериментальных исследований 148
Заключение
- Диаграммы перехода в координатах параметр фазового состава -температура. Влияние на эту диаграмму действующих напряжений
- Механические определяющие соотношения для сплавов с памятью формы
- Результаты решения некоторых связных задач для СПФ
- Разрешающее уравнение дважды связной задачи о двухэтапном превращении
Введение к работе
Сплавы с памятью формы (СПФ) обладают уникальными механическими свойствами, связанными с происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями. В простейшем случае эти материалы могут состоять из двух фаз — высокотемпературной аустенитной и низкотемпературной мартенсити ой. При охлаждении или росте напряжений происходит прямое превращение аустенитной фазы в мартенситную, при нагреве или разгрузке — обратное превращение мартенситной фазы в аустенитную. При этом наблюдаются такие механические явления, как накопление деформаций прямого превращения, монотонная, реверсивная и обратимая память формы, ориентированное превращение, мартенситная неупругость и псевдоупругость и т.д. Благодаря этим свойствам и явлениям СПФ находят применение в аэрокосмической промышленности, медицине, энергетике, транспорте и других областях техники.
Термоупругие фазовые превращения были открыты Г.В. Курдюмовым и Л.Г. Хандросом. Экспериментальным исследованиям термомеханических свойств сплавов с памятью формы посвящены работы В.Л. Лихачева, В.Г. Малинина, А.Е. Волкова, С.Л. Кузмина, В.Н. Хачина, В.Г. Пушина, S. Miyazaki, К. Tanaka, К. Otsuka, F. Nishimura, N. Watanabe и др.
Различные системы механических определяющих соотношений для сплавов с памятью формы предложены в работах С. Абдрахманова, В.А. Лихачева, В.Г. Малинина, А.А. Мовчана, L.C. Brinson, EJ. Graesser, F.A. CozzarelH, С. Liang, C.A. Rogers, K. Tanaka и др. Здесь под механическими определяющими соотношениями принимаются выражения для параметра (параметров) фазового состава, деформаций и напряжений, связывающие эти величины с температурой. Вопрос об определении распределения температуры по материалу и ее изменения со временем в рамках механических определяющих соотношений не рассматривается.
Анализу механического поведения элементов конструкций и устройств, использующих уникальные свойства сплавов с памятью формы, посвящены работы О.И. Крахина, А.И. Разова, В.Н. Семенова, Чернявского, Д.Б. Чернова, P.P. Ионайтиса и др.
Помимо уникальных механических свойств, сплавы памятью формы обладают особыми теплофизическими характеристиками, которые экспериментально исследовались в работах В. Приб, X. Штаркман, А. Chrysochoos, С. Light, М Lobel, W. Oliferuk, J. Ortin, L. Delaey, A. Planes и др. При прямом превращении эти материалы выделяют достаточно большое количество тепла, а при обратном - поглощают. На практике широко используется способность сплавов с памятью формы к демпфированию механических колебаний, поглощению энергии удара. Следовательно, для них характерны диссипативные явления.
Следует отметить, что все три группы явлений, характерных для сплавов с памятью формы (изменение температуры, изменение фазового состава, и изменение напряженно - деформированного состояния и смещений) взаимосвязаны и не могут рассматриваться независимо. Поэтому актуальной проблемой является разработка связной системы термомеханических определяющих соотношений для сплавов с памятью формы, в рамках которой можно было бы определять не только напряженно-деформированное и фазовое состояние, но и распределение температуры по материалу и ее изменение со временем. Задача эта является тем более важной, что температура является основным управляющим параметром для конструкционных элементов, выполненных из сплавов с памятью формы. Определение температурного режима СПФ на основании классического уравнения теплопроводности, не учитывающего выделение и поглощение латентного тепла, и диссипативные явления приводит к весьма существенным ошибкам.
Для получения такого связного описания термомеханического поведения сплавов с памятью формы естественно привлечение аппарата рациональной термодинамики. С позиций рациональной термодинамики необратимых процессов поведение сплавов с памятью формы исследовалось в работах А.Е. Волкова, С.А. Лурье, С. Lexcellent, D.C. Lagoudas, L.C. Brinson и др.
В большинстве работ, посвященных термодинамическому анализу механического поведения СПФ, принимаются обычно те или иные априорные гипотезы относительно величин диссипации или скорости диссипации. Так, в ряде работ определяющие соотношения для СПФ получают из условия стационарности свободной энергии. Легко видеть, что это условие можно получить исходя из предположения об обратимости термомеханических процессов, происходящих в СПФ (или, точнее, из условия равенства нулю некомпенсированного тепла). Следовательно, в данном случае, так называемая «механическая диссипация» считается равной пулю. В других исследованиях наличие диссипации в СПФ признается, однако, считается, что величина диссипации пренебрежимо мала по сравнению с латентным теплом фазового перехода, и, поэтому, учет диссипативных явлений в уравнениях энергетического баланса не обязателен. Наконец, в работах третьей группы считается, что скорость диссипации является заданной функцией скорости изменения параметров фазового состава, не зависящей ни от действующих напряжений, ни от развивающихся при этом деформаций.
Следует отметить, что экспериментальное обоснование каких-либо гипотез, касающихся диссипации в СПФ весьма затруднительно, т.к., в общем случае, диссипацию чрезвычайно трудно измерить в эксперименте. Автору работы не известны достоверные экспериментальные исследования, которые подтверждали бы эти гипотезы. Более того, некоторые экспериментальные данные для частных термомеханических процессов явно противоречат этим гипотезам. Поэтому актуальной проблемой является формулировка термодинамической модели поведения СПФ, не использующей априорных гипотез относительно величины диссипации или скорости диссипации.
Вторая группа гипотез, используемых, обычно при термодинамическом описании механического поведения СПФ, касается структуры термодинамического потенциала. Предполагается обычно, что потенциал состоит из двух частей - аддитивной и неаддитивной. Аддитивная равна сумме потенциалов для каждой из фаз с весовыми коэффициентами, равными объемными долям этих фаз. Неаддитивную часть связывают, обычно, с «энергией взаимодействия фаз», «энергией несовместности деформаций различных фаз», «энергией межфазной границы» и т.д. Различные авторы наделяют неаддитивную часть потенциала различными свойствами, часто противоречащими друг другу. Автору работы неизвестны какие-либо достоверные экспериментальные свидетельства необходимости введения неаддитивной части потенциала для описания свойств СПФ. С другой стороны, добавление к потенциалу неаддитивной части существенно затрудняет построение модели, поскольку необходимо формулировать то или иное выражение для этой неаддитивной части.
Поэтому актуальной задачей является попытка сформулировать термодинамическое описание механического поведения СПФ без использования неаддитивных добавок к термодинамическому потенциалу. При этом необходимо выяснить условия, при которых предположение об аддитивности потенциала не приводит к противоречиям с законами термодинамики и описать тот круг СПФ, для которых такое описание возможно.
После того, как термодинамическая модель поведения СПФ, свободная от априорных гипотез относительно диссипации будет построена, в ее рамках можно формулировать и решать связные начально — краевые задачи о термомеханическом поведении СПФ. Задачи такого типа являются актуальными с практической точки зрения, поскольку позволяют достоверно анализировать поведение элементов конструкций и устройств, содержащих СПФ. Кроме того, они имеют теоретическое значение, поскольку позволяют оценить достоверность упомянутых выше гипотез относительно диссипации и скорости диссипации в СПФ.
Многие сплавы с памятью формы могут состоять не из двух (аустенитной и мартенситной) а из трех и более фаз и испытывать не одноэтапные, а двух и многоэтапные термоупругие фазовые переходы. В частности, в никелиде титана, кроме мартенситного и аустенитного, возможно еще и ромбоэдрическое фазовое состояние. Экспериментальному исследованию ромбоэдрических и двухэтапных фазовых переходов в СПФ типа никелида титана посвящены работы В.Н. Хачина, В.Е. Гюнтера, Л.А. Монасевича, Ю.И. Паскаля, К. Tanaka, S. Miyazaki, P.G. McCormic и др. Системы механических определяющих соотношений для СПФ, претерпевающих двухэтапные фазовые переходы, предложены в работах А.А. Мовчапа, К. Tanaka. Автору работы не известны публикации, в которых были бы предложены связные термодинамические модели поведения СПФ, состоящих более чем из двух фаз и претерпевающих двухэтапные термоупругие фазовые переходы. Построение таких моделей является актуальной научной проблемой.
Необходимо отметить, что в известных термодинамических моделях поведения СПФ используются в качестве гипотез различные механические определяющие соотношения для скоростей фазовых деформаций. Поэтому актуальной проблемой является экспериментальная оценка достоверности этих определяющих соотношений, с целью выбора такой системы, которая, с одной стороны, не противоречит экспериментальным данным, а с другой стороны - не слишком усложняет постановку и решение начально — краевых задач.
Целью данной работы является
1. Формулировка термодинамических определяющих
соотношений для СПФ, претерпевающих как одноэтапные, так и двухэтапные фазовые переходы, свободных от каких-либо априорных гипотез относительно диссипации и использующих аддитивное представление для термодинамического потенциала.
2. Формулировка необходимых и достаточных условий выполнения законов термодинамики в рамках таких моделей.
3. Формулировка в рамках этой модели и решение связных одномерных по пространству начально — краевых задач термомеханики для СПФ и анализ с позиций полученных решений принимаемых обычно гипотез относительно диссипации в СПФ
4. Анализ термомеханического поведения простейших моделей некоторых элементов конструкций, использующих уникальные свойства СПФ.
5. Экспериментальное исследование механического поведения образцов из СПФ при прямом и обратном термоупругом превращении с целью выбора адекватных определяющих соотношений для скоростей фазовых деформаций, которые используются в качестве основной гипотезы при формулировке термодинамической модели поведения СПФ.
Работа состоит из введения, пяти глав, списка использованных литературных источников и приложения. Первая глава носит, в основном, обзорный характер. В ней кратко описаны основные физико-механические явления, характерные для СПФ. Приведены полная и упрощенная системы механических определяющих соотношений, которые будут использованы для формулировки термодинамической модели поведения СПФ.
Во второй главе сформулированы основные положения термодинамической модели поведения таких СПФ, которые могут состоять из двух фаз (аустенитной и мартенситной) и претерпевают одноэтапные термоупругие фазовые переходы. Установлены необходимые и достаточные условия выполнения в рамках такой модели диссипативного неравенства. Определен круг СПФ, для которых предположение об аддитивности термодинамического потенциала не приводит к противоречиям с законами термодинамики. Сформулировано уравнение энергетического баланса для таких СПФ, учитывающее как явления выделения и поглощения латентного тепла фазового перехода, так и диссипативные явления, а также связные уравнения для притока тепла и связное уравнение теплопроводности. Исследован тепловой режим простейших термомеханических процессов в СПФ. Приведены результаты численных решений одномерных по пространству начально - краевых задач для стержня из СПФ, претерпевающего прямые и обратные мартенситные превращения под действием постоянных напряжений. На основании этих решений рассмотрен вопрос об адекватности известных гипотез, касающихся диссипации в СПФ.
В третьей главе построена связная термодинамическая модель поведения СПФ типа никелида титана, который кроме мартенситных, может претерпевать еще и ромбоэдрические, а также двухэтагшыс термоупругие фазовые превращения. Исследован вопрос о термодинамической состоятельности такой модели, сформулированы и решены одномерные по пространству начально - краевые задачи о двухэтапных прямых и обратных фазовых переходах в стержне из таких СПФ.
Четвертая глава посвящена применению разработанных моделей к анализу поведения простейших моделей некоторых устройств, использующих уникальные свойства СПФ. Описано поведение силовозбудителя с рабочим телом в виде цилиндрической трубки из СПФ для создания крутящего момента. Получены соотношения, позволяющие провести проектировочный расчет этого рабочего тела. Решены связные термомеханические задачи о прямом и обратном превращении в таком цилиндре при условии теплообмена по торцам и теплоизолированных цилиндрических поверхностях,
Получено аналитическое выражение для коэффициента полезного действия простейшего мартенеитного двигателя, цикл действия которого состоит из прямого и обратного мартенситного превращения под действием постоянных напряжений. Исследована зависимость коэффициента полезного действия от действующих в элементе напряжений и параметров материала СПФ.
В пятой главе изложены результаты экспериментального исследования механического поведения образцов из никелида титана при прямом и обратном превращении под действием постоянных и кусочно — постоянных напряжений. На основании этих экспериментальных данных исследован вопрос об адекватности механических определяющих соотношений для скоростей фазовых деформаций, использованных для формулировки термодинамической модели поведения СПФ.
В заключении кратко сформулированы полученные в результате работы выводы. В приложении помещены в фафическом виде полученные в результате работы количественные результаты, которые не вошли в основной текст диссертации из-за ограниченности его объема.
Диаграммы перехода в координатах параметр фазового состава -температура. Влияние на эту диаграмму действующих напряжений
В случае отсутствия механических напряжений процесс прямого мартенситного превращения происходит при охлаждении в интервале температур начала М и конца М прямого перехода. Аналогично, существуют температуры начала и конца обратного превращения при отсутствии напряжений А" и А. Процесс мартенситного превращения задается обычно зависимостями от температуры Т параметра объемной доли мартенситной фазы, который далее будет обозначаться символом q. Диаграмма перехода ненагруженного материала характеризуется следующими параметрами: температурным интервалом осуществления прямого превращения М -М, температурным интервалом осуществления обратного превращения А — А, и, вообще говоря, переменной шириной температурного гистерезиса превращения, значение которого в мартенситном состоянии равно А - М, а в аустенитном состоянии При наличии механических напряжений диаграмма перехода сдвигается, как правило, вправо вдоль оси температур. Изменяются и значения характерных температур фазового перехода М,М, А ,А. Здесь верхний индекс о добавлен в соответствии с тем, что это — характерные температуры при наличии напряжений. Считается установленным, при этом, что температуры М и А растут с ростом приложенных напряжений. Что же касается температур М и А , то их зависимость от напряжений сложнее, они могут, как возрастать с ростом о, так и уменьшаться [30], Тенденция возрастания характерных температур перехода с ростом приложенных напряжений наблюдается, следуя экспериментальным данным [51] для характерных температур ромбоэдрических переходов, однако, скорость роста с ростом напряжений температур ромбоэдрических переходов, как правило, гораздо ниже, чем температур мартенситных переходов. Девиаторные компоненты напряжений значительно сильнее влияют на положение диаграммы перехода, чем гидростатическое напряжение. В случае мартспситного превращения рост гидростатического давления приводит к уменьшению характерных температур превращения, а для ромбоэдрического превращения - к их увеличению [2,29]. Необходимо отметить, что диаграммы перехода некоторых СПФ (например, медно — марганцевых) нечувствительны, или слабо чувствительны к действующим напряжениям. В [34] приведены данные о том, что характерные температуры мартенситных превращений могут зависеть не только от действующих напряжений, но и от накопленных фазовых деформаций, причем с ростом деформаций температуры перехода возрастают.
По-видимому, это утверждение, в основном, относится к температурам Мг и As, соответствующим мартенситному состоянию материала, в котором могут наблюдаться фазовые деформации. Вопрос о зависимости температуры А от действующих при обратном превращении напряжений и предварительно накопленных фазовых деформаций, в силу его важности для данной работы будет рассмотрен отдельно в пункте 1.4.8. Во время термоупругих фазовых превращений многие физические характеристики материала резко изменяются, причем часто эти изменения носят аномальный характер. Так, при нагреве и связанном с этим нагревом обратном мартенситном превращении объем никелида титана уменьшается а при охлаждении и связанном с ним прямом превращении объем возрастает. По данным работы [82] изменение объема при полном мартенситном превращении составляет = 0.22% - 0.32%, а по данным [78] = 0.34%. За пределами зоны превращений наблюдается обычное температурное расширение, однако значения коэффициентов температурного расширения в мартенситном ам и аустенитиом аЛ состояниях различны и составляют для никелида титана ам=6х10"6 1/К, аЛ = 12х10 61/К. Сопоставление этих данных показывает, что скорость изменения объема с изменением температуры в зоне превращения на несколько порядков превосходит скорость обычного температурного расширения того же материала. Следует отметить, что по данным [10] при охлаждении и прямом ромбоэдрическом превращении объем уменьшается, а при обратном ромбоэдрическом превращении — растет. Аномальным же образом меняются при термоупругих превращениях и упругие модули СПФ. Так при охлаждении и связанном с этим охлаждением прямом мартенситном превращении резко (до трех раз) уменьшается модуль Юнга никелида титана. Следуя графику, приведенному в [86] значения модуля Юнга для сплава Ti-55%Ni (проценты массовые) в мартенситном состоянии равно 28000 МПа, а в аустенитиом состоянии — около 80000 МПа. В работе [13] найдено, что у никелида титана в мартенситном состоянии Е=44000 МПа, а в аустенитиом - Е==83000 МПа, В [163] приводятся следующие значения модуля Юнга для никелида титана: в аустенитиом состоянии Е=70000 МПа, в мартенситном - Е=30000 МПа. В работе [26] приводятся следующие значения модуля в аустенитном состоянии Ед -8436 кг/мм2 и в мартенситном состоянии Ем =2812 кг/мм2. Коэффициент Пуассона при прямом превращении меняется от значения VA = 0.3 в аустенитном состоянии до значения VM = 0.48 в мартенситном состоянии. В то же время, в целом ряде других работ используются существенно менее различающиеся значения модулей низкосиметричной и высокосимметричной фаз. Так, в книге [31] расчеты трубы из никелида титана проводятся для значений аустенитного модуля ЕЛ = 74200 МПа и мартенситного модуля - Ем =68000 МПа (ссылки на экспериментальные работы, откуда взяты эти данные отсутствуют). Есть еще ряд работ [14] и др., по данным которых аустенитныи модуль никелида титана превосходит мартснситный примерно на 30%. При ромбоэдрических превращениях изменения упругих модулей не столь резки как при мартенситных.
Модуль Юнга падает при прямом ромбоэдрическом превращении примерно на 30%. Необычные изменения происходят при термоупругих превращениях и со способностью тела поглощать энергию механических колебаний. Декремент затухания никелида титана резко возрастает при прямом мартенситном превращении и столь же резко убывает при обратном. Так же аномально происходит у многих СПФ выделение и поглощение тепловой энергии, что будет подробно изложено в параграфе 1.5. Электрическое сопротивление СПФ в зонах термоупругих превращений также меняется аномальным образом. Так, в никелиде титана за пределами зон термоупругих превращений наблюдается незначительный рост электрического сопротивления при нагреве, В то же время, при нагреве, сопровождающемся обратным ромбоэдрическим превращением R = В2, электрическое сопротивление резко падает, а при охлаждении, сопровождающемся прямым ромбоэдрическим превращением B2= R- резко возрастает [51]. При охлаждении, сопровождающемся переходом из ромбоэдрической фазы в мартенситную электрическое сопротивление аномально резко убывает. Связано такое поведение с тем, что электрическое сопротивление ромбоэдрической фазы существенно превосходит значение электрического сопротивления для аустенитной и мартенситной фаз. Таким образом, при одноименных мартенситных и ромбоэдрических превращениях направление изменения электрического сопротивления противоположно. Поэтому кривые изменения электрического сопротивления с температурой позволяют легко различить области одноименных ромбоэдрических и мартенситных превращений даже в случае их перекрытия. 1.4 Механические свойства сплавов с памятью формы, связанные с термоупругими фазовыми переходами Данный параграф посвящен качественному описанию уникальных механических свойств СПФ, связанных с происходящими в них термоупругими фазовыми переходами. Первые 5 параграфов посвящены процессам изменения температуры под действием постоянных или кусочно-постоянных механических напряжений, последующие параграфы посвящены процессам активного деформирования и разгрузки, происходящим в изотермических условиях при температурах начально - аустенитного или мартенситного состояния. 1.4.1 Деформация прямого термоупругого превращения Прямое термоупругое превращение сопровождается на микроуровне соответствующей кристаллографической деформацией.
Механические определяющие соотношения для сплавов с памятью формы
Под механическими определяющими соотношениями здесь будут пониматься зависимости, связывающие между собой напряжения, деформации, параметр (параметры) фазового состава и температуру, причем в этих соотношениях температура является независимой переменной, изменение которой со временем и распределение по материалу задается априори. Данная система не включает в себя уравнения энергетического баланса, соотношение для притока тепла или уравнение теплопроводности. Различные варианты систем механических определяющих соотношений предлагались в работах В [49,53,54] предложена следующая система механических определяющих соотношений для СПФ, претерпевающих термоупругие мартенситные превращения и учитывающая микромеханические особенности этих превращений: Выше использованы следующие обозначения: Ojj, Ejj.EyjE e 11 -тензоры напряжений, полных, упругих, температурных и фазовых деформаций, штрихом обозначаются компоненты девиатора; G(q), K(q), a(q) - сдвиговой и утроенный объемный модули СПФ а также коэффициент температурного расширения в двухфазном состоянии, Ом,СА,Км,Кл,ам,ал - значения тех же величин в однофазных мартенситном (индекс М) и аустенитном (индекс А) состояниях; q-объемная доля мартенситной фазы; М, М, А, А,М, М, Asa, А -температуры начала (нижний индекс s) и окончания (нижний индекс f) прямого (буква М) и обратного (буква А) мартенситного превращения в свободном от напряжений (верхний индекс 0) или нагруженном (верхний индекс а) состояниях; at- интенсивность напряжений; величины q0»e представляют собой значения параметра объемной доли мартенситной фазы и компонент тензора фазовой деформации в момент начала рассматриваемого этапа обратного превращения; величины BJj=Bjj(q) для обратного превращения вычисляются как В1 =с0о \ где Оу1- компоненты девиатора напряжений в предшествующем процессе прямого превращения для того же значения параметра фазового состава q. Функция f (t), задающая форму диаграммы фазового перехода, должна обладать следующими свойствами: f (t) = возрастает от 0 до единицы.
Этим условиям удовлетворяют, например, функции f(t) = t, f(t) = — (l cos(rct)), соответствующие линейной и тригонометрической аппроксимациям диаграмм перехода (последняя предложена в [138]). Величины с0,а0, 0,к, (5 являются постоянными материала. Приведенная выше система определяющих соотношений качественно правильно описывает следующие характерные для СПФ явления: 1. Изменение упругих модулей в процессе фазовых переходов (за счет формул (1.6). 2. Накопление деформаций прямого превращения, происходящего под действием постоянного напряжения в случае, если полная накопленная фазовая деформация пропорциональна с постоянным коэффициентом девиатору действующего напряжения (за счет зависимостей (1.7), (1.9) при с0 = const). 3. Монотонная память формы (за счет второго слагаемого правой части соотношения (1.12)). 4. Явления мартенситной неупругости и псевдоупругости (за счет зависимостей (1.11), (1.14) характерных температур прямого и обратного превращения от действующих напряжений). 5. Объемный эффект реакции термоупругих превращений (за счет второй формулы (1.7). 6. Явление ориентированного превращения (за счет наличия слагаемого a0ehr в правой части соотношения (1.7)). 7. Явление реверсивной памяти формы (за счет первого слагаемого правой части (1.12)). Следует отметить, что зависимости (1.14) для характерных температур обратного превращения от действующих напряжений качественно правильно описывают соответствующий эффект в случае, если обратное и предшествующее прямое превращение происходили при одинаковых (или, хотя бы одинаково направленных напряжениях), и неправильно, если напряжения при прямом и последующем обратном превращениях направлены противоположно. Действительно, в последнем случае, следуя экспериментальным данным [152,153,189] с ростом интенсивности напряжений, приложенных на этапе обратного превращения, характерные температуры обратного превращения должны убывать, а, следуя (1.14) они возрастают. Необходимо отметить, что вопрос о существовании двух последних явлений (ориентированного превращения и реверсивной памяти формы), несмотря на наличие экспериментальных подтверждений (в основном, в русскоязычной научной литературе) вызывает серьезные дискуссии. В то же время, необходимость описания этих явлений существенно усложняет приведенную выше систему определяющих соотношений для СПФ. Объемный эффект реакции термоупругих мартенситных превращений весьма мал, по сравнению с эффектом фазового формоизменения. Кроме того, этот эффект весьма трудно отделить от обычной температурной деформации, коэффициент которой в СПФ зависит от параметра фазового состава. Поэтому, в первом приближении, тензор фазовых деформаций при термоупругих мартенситных превращениях можно считать девиатором, а коэффициент температурного расширения — постоянной величиной. В упрощенном варианте определяющих соотношений уравнения (1.7), (1.9) и (1.12) заменяются на значительно более простые уравнения Система механических определяющих соотношений для случая ромбоэдрических или дзухэтапных (ромбоэдрических и мартенситных) превращений предложена в [72,73]. Вводится два параметра фазового состава: объемная доля мартен ситной фазы m и степень осуществления ромбоэдрического превращения г, нормированные так, чтобы их сумма с объемной долей аустенитной фазы была равна единице. В простейших случаях последовательно осуществляемых полных ромбоэдрических и мартенситных превращений изменение параметров m и г определяется зависимостями.
Результаты решения некоторых связных задач для СПФ
В данном параграфе приведены результаты решения некоторых задач о фазовых переходах в СПФ в рамках разработанной модели. Всюду ниже считается, что фазовые переходы происходят при постоянных или кусочно - постоянных напряжениях, а = 0 и можно пользоваться соотношением (2.62). 2.4.1 Определение притока тепла к материалу в замкнутом температурном цикле, состоящем из прямого и обратного превращения, происходящих под действием постоянных напряжений Ниже рассматривается процесс охлаждения от температуры М" до температуры М под действием постоянного напряжения о (т.е. полное прямое превращение из аустенитного состояния до значений q„=I, e[jh[0) =c0aj ), изотермическое изменение напряжений до значений ajp, которое, по предположению, не вызывает обратный фазовый переход, связанный с явлением псевдоупругости, последующий нагрев образца до температуры А% соответствующей новому напряжению аУ и не сопровождающийся фазовым переходом и дальнейший нагрев через интервал температур обратного превращения (Л ,А) под действием постоянного напряжения о . Наконец, напряжение изотермически изменяется до значения а и температурная петля замыкается при охлаждении от А" до М (эти действия не сопровождаются фазовыми переходами). Интегрируя уравнение (2.62) по времени от точки начала фазового перехода до некоторой текущей точки можно получить Количество тепла, сообщаемое системе AQ при фазовых переходах, состоит из трех слагаемых. Первое слева слагаемое правой части (2.65) связано с количеством тепла, которое надо сообщить системе (отобрать у системы) для того, чтобы нагреть (охладить) материал до нужной температуры. Слагаемое AU0 связано с выделением (прямое превращение) или поглощением (обратное превращение) латентного тепла. Слагаемые, зависящие от напряжений, связаны с диссипацией. Полный приток тепла к системе за цикл изменения температуры равен Следуя (2.67), при m 1 система за цикл поглощает тепло AQ 0. При m = 1, AQ = 0, т.е. в температурном цикле, состоящем из прямого и обратного превращения, происходящих при одинаковых напряжениях полный приток тепла равен нулю.
При 1 m -1 оба слагаемых правой части (2.67) отрицательны и AQ 0 (система выделяет тепло). При ш —1 слагаемые правой части (2.67) имеют разные знаки, и возможно как выделение тепла системой, так и поглощение тепла (при больших по модулю отрицательных значениях т). Последний вариант, однако, трудно осуществим, поскольку коэффициент с0, входящий в первое слагаемое правой части (2.67) для реальных СПФ более чем на порядок превосходит соответствующий коэффициент, входящий во второе слагаемое. На рис.2.6 приведены графики вычисленных с помощью (2.65) зависимостей AQ (Дж/м3) от Т (К) для сплава Ti-48.7%Ni, со значениями материальных параметров, приведенных в таблице, к которым необходимо добавить М=318, А? =380, С0 =500 Дж/(кг-К). Использовалась тригонометрическая аппроксимация диаграммы фазового перехода. Линия 1 на рис. 2.6 соответствует прямому превращению при охлаждении под напряжением о4" =200МПа. Линии 3, 4 и 5 получены для обратного превращения при нагреве под напряжениями соответственно о" =-200 МПа, 200 МПа и 400 МПа. Прямые линии 2 и 6 соответствуют нагреву и охлаждению в отсутствии фазового перехода. Рис. 2.6 иллюстрирует тот факт, что петля является замкнутой при а =о и незамкнутой в противоположном случае, причем при сГ о+ суммарное количество тепла, сообщенное системе за цикл положительно, а при сГ 0, а+ 0 отрицательно. Рис. 2.7 иллюстрирует влияние учета латентного тепла и диссипации на процессы выделения и поглощения тепла материалом. Незамкнутая петля 3 получена с учетом, как латентного тепла, так и диссипации для прямого превращения под действием напряжения а+=30ОМПа и обратного под действием напряжения а = 400 МПа. Замкнутая петля 2 получена в той же задаче при учете латентного тепла и неучете диссипации. Как видно, в данном случае учет диссипации приводит к росту ширины петли вдоль оси ординат как за счет снижения ее нижней, прямолинейной границы (дополнительное выделение тепла системой при прямом превращении) так и за счет повышения верхней, прямолинейной границы (дополнительное поглощение тепла системой при обратном превращении). Наконец, прямая линия 1 получена при решении задачи с пренебрежением, как латентным теплом, так и диссипацией. Следуя рис. 2.7 вклад диссипации в ширину петли гистерезиса существенен, хотя и уступает вкладу латентного тепла, Уравнение теплопроводности (2.62) для прямого и обратного превращений, происходящих под действием постоянных напряжений а+ = о = 400 МПа (одноосное растяжение) решалось численно с помощью алгоритма, в рамках которого с помощью конечноразностной аппроксимации по пространственной координате задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для температур узловых точек, которая решается методОхЧ Рунге Кутта. Ниже приведены некоторые результаты решения задачи для стержня цилиндрической формы и единичной длины, боковые (цилиндрические) поверхности которого теплоизолированы, а теплообмен происходит только по торцам. Первоначально температура всех точек стержня одинакова и превосходит температуру начала прямого мартенситного превращения.
Нейтральная линия стержня расположена вдоль оси х. На торцах, перпендикулярных этой оси для процесса охлаждения и соответствующего прямого превращения задана равномерно распределенная по поверхности торцов и постоянная по времени температура, более низкая, чем температура окончания прямого превращения. При переходе к процессу нагрева температура торцов скачком увеличивается до значений, превосходящих температуру окончания обратного превращения, оставаясь при этом по-прежнему равномерно распределенной по поверхности торцов и неизменной (после перехода к нагреву) по времени. Левый торец стержня (при х-0) закреплен от смещений и вдоль оси х; u(t,0) = о (t,0) = axe(t,0) = 0 и поворотов вокруг всех трех осей, к правому (при х = 1) приложено неизменное по времени и равномерно распределенное по сечению растягивающее напряжение о : ax(t,0) = a,о (t,0) = oxz(t,0) = 0. Можно показать, что в этом случае всем уравнениям краевой задачи можно удовлетворить, считая, что стержень находится в одноосном напряженном состоянии при не зависящем ни от времени, ни от координат значении напряжения ах =о; температура зависит только от координаты х и времени t. Начальные условия температурной задачи для прямого превращения: Т(0,х) = 400К. Граничные условия для задачи о прямом превращении есть T(t,0) = T(t,l) = 300K (охлаждение с торцов). Прямое превращение происходит до момента времени t, =5х104 сек. Далее для того же стержня рассматривается процесс обратного превращения при граничных условиях T(t,0) = T(t,l) — 450 К (нагрев через торцы). В качестве начального условия для решения задачи об обратном превращении используется распределение температуры, полученное при t = tt из решения задачи о прямом превращении. Решения получены для диаграммы перехода (2.60). Необходимо отметить, что полученное выше связное уравнение теплопроводности при постоянных напряжениях (2.62) в случае линейной аппроксимации диаграммы перехода f(t) = t, f (t) = l превращается в обычное уравнение теплопроводности с измененной, но постоянной при постоянных напряжениях Это уравнение может быть решено аналитически в рядах методом разделения переменных. Поэтому задачи с линейной аппроксимацией диаграммы перехода использовались как тестовые. Они решались как численно, так и аналитически. Сравнения численных и аналитических решений, примеры которых приведены на рис. 2.8 и 2.9, позволили выбирать количество разбиений по пространственной координате и шаг по времени в численном алгоритме таким образом, чтобы разница между численным и аналитическим решением для значений температуры не превосходила 1%. В соответствии с этим анализом величина шага по времени была выбрана равной 1 сек., а количество точек по длине стержня было равно 81.
Разрешающее уравнение дважды связной задачи о двухэтапном превращении
В случае, когда потенциал Гиббса является функцией двух параметров фазового состава г, m но не зависит от фазовых деформаций, связные уравнения для притока тепла и связное уравнение теплопроводности вместо (2.22) принимают вид Подставляя в (3.30) выражения (3.12) и зависимость полученную путем дифференцирования по времени выражения (2.38) для энтропии с учетом выражения (3.13) для S0 в трехфазном материале, можно получить Далее рассматриваются только такие процессы, когда при фазовом переходе действующее напряжение не меняется Пусть происходит прямое превращение. Подстановка (3.14) в (3.31) дает Сначала рассматривается случай небольших действующих напряжений, когда участки прямого ромбоэдрического и прямого мартенситного превращения не перекрываются по оси температур: М + М + R+ R +. При этом охлаждение из аустенитного состояния сначала приводит к прямому ромбоэдрическому превращению, при котором вся аустенитная фаза переходит в ромбоэдрическую, далее следует участок уменьшения температур без фазового перехода, далее - превращение, при котором ромбоэдрическая фаза переходит в мартен ситную. Предполагается, что диаграммы прямого ромбоэдрического и мартенситного превращения при постоянных напряжениях могут быть описаны зависимостями вида Здесь fp f2 - некоторые функции, задающие форму диаграмм перехода. Выражению f (t) = t соответствуют линейные диаграммы перехода, формулам f(t) = диаграммы перехода, предложенная в [138], формулам 2t2 при 0 t 1/2 кусочно-квадратичная аппроксимация диаграммы перехода. При Oij = 0 следуя (3.34) В результате для участка ромбоэдрического превращения R T R происходит переход В2 = R, т = 0,г = -а 0 и уравнение (3.33) принимает вид Пусть теперь участки прямого мартснситного и ромбоэдрического превращения перекрываются М" R+ М+ R"+. В этом случае при снижении температуры от R+ до М+ происходит ромбоэдрическое превращение и справедливо уравнение (3.38). Если же температура снижается в интервале М+ Т Ms+ то, следуя [72,73], параметры фазового состава будут меняться в соответствии с зависимостями г = г0м (і - f(t2)), m = f(t2). Здесь r0M - значение параметра ромбоэдрической фазы, соответствующее моменту достижения температурой значения М + и переходу от ромбоэдрического к мартенсити ому превращению: В [72,73] предложен следующий алгоритм определения параметров г и m при обратном переходе.
В координатах (oifT) уравнения (3.16) и такие же соотношения для температур окончания соответствующих переходов изображают две полосы обратного мартенситного и ромбоэдрического превращений M"" T Mf", R" T R . Если изображающая точка пересекает «ромбоэдрическую» полосу» и не пересекает «мартенситную», то .здесь и ниже r00,m00, r00 - значения параметров фазового состава в момент начала движения изображающей точки через ромбоэдрическую (верхний индекс R) или мартенситную (верхний индекс М) полосы. При пересечении «мартенситной» полосы без пересечения «ромбоэдрической» Характер изменения параметра г в таком процессе зависит от расположения изображающей точки относительно «ромбоэдрической» полосы. Если изображающая точка находится выше «ромбоэдрической» полосы, то г = г = 0. Если же ниже, то r = r0"+m (l-f(t2)), Если же изображающая точка одновременно пересекает и «мартенситную» и «ромбоэдрическую» полосы, то величина г изменяется в соответствии с (3.42), а величина m в соответствии с (3.43). Подстановка найденных выражений для скоростей изменения параметров фазового состава в (3.41) позволяет получить разрешающее уравнение для процесса обратного двухэтапного превращения. Рассматривается краевая задача о стержне постоянного поперечного сечения и единичной длины, расположенного вдоль оси х. Левый конец стержня закреплен от смещений вдоль оси х и всех поворотов, а к правому, свободному, приложена постоянная осевая растягивающая сила, создающая напряжение а. Боковые поверхности стержня теплоизолированы, теплообмен происходит через торцы. Материал стержня — СПФ типа никелида титана, способный претерпевать двухэтапные фазовые превращения. Фазовые диаграммы аппроксимировались кусочно -квадратичной зависимостью (3.35). Задачи решались численно методом, основанным на конечно — разностной дискретизация по пространственной координате. В результате задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений по времени для каждой узловой точки. Во всех приведенных ниже решениях этой системы шаг по времени составлял 1 сек. На рис. 3.8 приведены графики зависимости от времени температуры средней точки стержня в процессе двухэтапного прямого превращения. Материал - сплав типа ТН-1 с содержанием никеля на 0.2% превышающим содержание титана (проценты атомные). По оси абсцисс отложено время в секундах, по оси ординат — температура в градусах Кельвина.
При расчете использовались следующие значения параметров: AU2/p = 4500Дж/кг, Mj+=243K Rf =319K, Rj+=311K. Величины AS2 и AS"3 определялись исходя из соотношений (3.23) как верхние границы соответствующих величин, при которых диссипативное неравенство не нарушается. Задача решалась при следующих начальных и граничных условиях: Т(0,х) = 403К, T(t,0) = Т(0,1) = 200 К . Напряжение, приложенное к правому концу стержня, считалось равным о+ = 172.8 МПа. Эта величина подобрана таким образом, чтобы выполнялось условие М+ - Rf+, т.е. сразу по окончании ромбоэдрического превращения начинался бы прямой мартенситиый переход. Кривая 1 на рис. 3.8 соответствует решению с учетом, как выделения латентного тепла, так и диссипации. Кривая 2 получена с учетом выделения латентного тепла, но без учета диссипации. Как видно, в масштабе рис. 3.8 оба графика сливаются, что говорит о весьма незначительном влиянии диссипации при выбранных значениях напряжений. Наконец, кривая 3 получена путем решения классического уравнения теплопроводности в пренебрежении как диссипацией, так и латентным теплом. Эта кривая сравнивалась с аналитическим решением соответствующей задачи в рядах. Совпадение в пределах ошибки менее 1% получено при численном решении задачи на сетке из 41 точки вдоль оси х. Поэтому именно такое количество узлов для конечноразностной аппроксимации использовалось при численном решении задачи для случаев учета латентного тепла и диссипации. На рис. 3.9 крупным планом изображен фрагмент графика рис. 3.8, соответствующий интервалу времен [і0 ,2.5x104J сек., на протяжении которого оба фазовых перехода проходили особенно интенсивно. На кривых 1 и 2 явно видны два волнообразных участка, соответствующие ромбоэдрическому и мартенситному превращениям. В масштабе рис. 3.9 различие между кривыми 1 и 2 уже заметно, что позволяет визуально сравнить между собой влияние диссипации (разница между кривыми 1 и 2) и влияние выделения латентного тепла (разница между кривыми 2 и 3). Как видно из рис. 3.9, влияние диссипации более заметно для мартенситного превращения, чем для ромбоэдрического. На рис. ЗЛО для той же задачи изображены графики распределения температуры по продольной координате стержня, соответствующие моменту времени t = 25000 сек. когда как ромбоэдрическое, так и мартенситное превращение завершились. Максимальная разница значений температуры, получаемых при решении задачи в различных постановках, наблюдается в центральной точке стержня. Учет диссипации приводит к увеличению температуры примерно на 2 К, учет выделения латентного тепла - на 20 К.
