Содержание к диссертации
Введение
ЧАСТЬ 1 Основные положения
Глава 1. Определяющие соотношения для сплавов с памятью формы 18
1.1. Конечное соотношение для параметра фазового состава 19
1.2. Дифференциальное соотношение для параметра фазового состава 25
Глава 2. Различные подходы к анализу устойчивости элементов из сплавов с памятью формы 28
2.1. Возможные постановки задач для анализа элементов СПФ 28
2.2. Различные подходы к анализу статической устойчивости элементов из СПФ .. 29
ЧАСТЬ 2 Потеря устойчивости при прямом термоупругом фазовом превращении
Глава 3. Устойчивость стойки Шенли с опорными стержнями из сплава с памятью формы 34
3.1. Система определяющих соотношений 36
3.2. Устойчивость идеальной стойки Шенли в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава» 38
3.3. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости сжатой стойки Шенли в несвязной постановке 40
3.4. Устойчивость идеальной стойки Шенли в связной постановке. Концепция «продолжающегося фазового превращения» 50
3.4.1. Концепция «упругой разгрузки» 50
3.4.2. Решение, учитывающее вариации внешних воздействий. Концепция «продолжающегося нагружения» 59
3.5. Применение метода начальных несовершенств к исследованию
устойчивости сжатой стойки Шенли в связной постановке 66
Глава 4. Устойчивость стойки Шенли при мартенситной неупругости 73
4.1. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости стойки Шенли в связной постановке под действием возрастающей сжимающей нагрузки 73
4.2. Анализ результатов 79
Глава 5. Устойчивость сжатого стержня 87
5.1. Система определяющих соотношений 89
5.2. Задача устойчивости идеального стержня в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава» 90
5.3. Применение метода начальных несовершенств к исследованию устойчивости сжатого стержня в несвязной постановке 95
5.3.1. Постановка задачи 96
5.3.2. Решение однородного уравнения 98
5.3.3. Решение неоднородного уравнения 100
5.3.4. Анализ результатов 101
5.4. Задача об устойчивости идеального стержня в связной постановке. Концепция «продолжающегося фазового превращения» 107
5.4.1. Устойчивость стержня при полном наборе варьируемых параметров 107
5.4.2. Решение в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава» ПО
5.4.3. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке стержня 112
5.4.4. Решение в рамках концепции «упругой разгрузки» 114
5.4.5. Анализ результатов 116
5.4.6. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения и наличии вариаций нагрузки 122
5.4.7. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 125
Глава 6. Устойчивость равномерно сжатой в двух направлениях прямоугольной пластины 131
6.1. Система определяющих соотношений 132
6.2. Анализ докритического состояния 134
6.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров 134
6.4. Решения в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава».. 139
6.5. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке пластины 141
6.6. Простейшее решение в рамках концепции «упругой разгрузки» 142
6.7. Анализ результатов 145
6.8. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 152
Глава 7. Устойчивость равномерно сжатой сплошной круглой пластины 157
7.1. Система определяющих соотношений 158
7.2. Анализ докритического состояния 160
7.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров 161
7.4. Решения в рамках гипотезы «фиксированного фазового состава».. 165
7.5. Решение в рамках концепции «продолжающегося нагружения», когда дополнительный фазовый переход имеет место в каждой точке пластины 167
7.6. Простейшее решение в рамках концепции «упругой разгрузки» 169
7.7. Сопоставление решения на основе концепции «продолжающегося нагружения» и простейшего решения в рамках «упругой разгрузки» 175
7.8. Обзор различных вариантов решений при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 178
7.9. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 192
Глава 8. Различные замечания относительно потери устойчивости
при прямом мартенситном превращении 203
8.1. Альтернативные варианты определяющих соотношений 203
8.2. Учёт деформации сдвига 206
8.2.1. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения и наличии вариаций нагрузки 207
8.2.2. Сравнение результатов для разных моделей стержня 210
ЧАСТЬ З Потеря устойчивости при обратном термоупругом фазовом превращении
Глава 9. Устойчивость равномерно сжатой в двух направлениях прямоугольной пластины 214
9.1. Система определяющих соотношений 216
9.2. Анализ докритического состояния 219
9.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров 221
9.4. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 227
9.5. Анализ результатов 230
Глава 10. Устойчивость равномерно сжатой сплошной круглой пластины 242
10.1. Система определяющих соотношений 244
10.2. Анализ докритического состояния 245
10.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров 246
10.4. Анализ результатов 248
Глава 11. Устойчивость сжатого стержня 252
11.1. Система определяющих соотношений 253
11.2. Анализ докритического состояния 254
11.3. Решение при полном наборе варьируемых параметров 255
11.4. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 257
11.5. Анализ результатов.. 260
Глава 12. Устойчивость стержня при действии реактивных сжимающих напряжений 265
12.1. Анализ докритического состояния 266
12.2. Решение при полном наборе варьируемых параметров 267
12.3. Решение при неизменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 268
12.4. Анализ результатов 272
12.5. Решение при переменной толщине зоны дополнительного фазового превращения 277
Заключение 285
Литература
- Дифференциальное соотношение для параметра фазового состава
- Различные подходы к анализу статической устойчивости элементов из СПФ
- Устойчивость идеальной стойки Шенли в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава»
- Задача устойчивости идеального стержня в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава»
Введение к работе
Актуальность темы. В последнее время во всём мире ощущается интерес к использованию так называемых умных материалов (smart materials) или адаптивных материалов, которые могут менять нужным образом свои свойства. Об этом свидетельствует большое количество публикаций на эту тему, число которых постоянно растёт. К числу таких материалов относится большое количество различных сплавов, композиционных материалов, даже некоторых жидкостей и т.п. К этому же разряду, несомненно, относятся сплавы с памятью формы (СПФ), обладающие уникальными механическими свойствами.
Уникальные свойства СПФ объясняются происходящими в них термоупругими фазовыми превращениями. Для сплавов типа никелида титана это, прежде всего, открытые Г.В. Курдюмовым и Л.Г. Хандросом термоупругие мартенситные превращения, т.е. переход из высокотемпературной аустенитной фазы с объемно-центрированной кубической кристаллической решеткой в моноклинную с искажениями низкотемпературную мартенситную фазу и обратно. Механические свойства СПФ, связанные с мартенситными превращениями достаточно подробно изучены экспериментально и описаны в работах В.А. Лихачева, А.Е. Волкова, В.Г. Малинина, А.А. Мовчана, О.И. Крахина, С.А. Абдрахманова, И.Н. Андронова, С.А. Лурье, С.А. Rogers, К. Tanaka, D. Lagoudas, и др.
Изделия из СПФ находят всё более широкое применение в авиации, ракетостроении, атомной промышленности, промышленном и гражданском строительстве, других областях техники, а также медицине. На основе материалов с эффектом памяти формы предложено большое количество схем различного вида силовозбудителей или активаторов. Изделия, выполненные из СПФ, часто испытывают сжимающие напряжения достаточно большой величины. Известно, что жёсткость конструктивных элементов из СПФ существенно меняется при термоупругих фазовых превращениях, как за счет изменения упругих модулей, так и за счет развития фазовых деформаций. В результате этого возникает опасность потери устойчивости исходной формы равновесия элемента из СПФ в процессе развития фазового перехода. Действительно, экспериментальные исследования показывают, что элемент из СПФ не теряющий устойчивости ни в низкотемпературном (мартенситном) ни в высокотемпературном (ау-стенитном) состояниях может, тем не менее, потерять устойчивость в процессе самого фазового превращения. Более того, полученные в экспериментах значения критических нагрузок потери устойчивости, вызванной мартенситными превращениями} 'ідоікздадоюнкяі&явИ раза меньшие,
БИБЛИОТЕК \
чем изотермические критические нагрузки в мартенситном состоянии при наименьшем значении упругого модуля. Следовательно, правильная оценка устойчивости элемента из СПФ может иметь решающее значение, что позволяет считать тему диссертационной работы весьма актуальной.
В целом, несмотря на большое количество публикаций, посвященных СПФ, число работ, анализирующих потерю устойчивости элементов, изготовленных из СПФ, значительно меньше. Представленная работа посвящена именно этому направлению исследований.
Цель работы состоит в изучении явления потери устойчивости сжатых элементов из СПФ, вызванной термоупругими фазовыми превращениями.
Научную новизну представленной работы определяют следующие результаты:
-
Предложенная для анализа устойчивости элементов из СПФ концепция «продолжающегося фазового превращения», сводящаяся к тому, что при выпучивании следует учитывать дополнительный фазовый переход, вызванный изменением напряжённо-деформированного состояния. Эта концепция противоположна гипотезе «фиксированного фазового состава», предполагающей, что при выпучивании не следует учитывать дополнительное превращение, которое просто не успевает развиться.
-
Применённые в рамках концепции «продолжающегося фазового превращения» к исследованию устойчивости элементов из СПФ подходы на основе гипотез «упругой разгрузки» (в случае обратного превращения её уместнее назвать гипотезой «неполного фазового превращения»), «продолжающегося нагружения», а также предположений, занимающих промежуточное положение. Установлено, что наиболее опасные критические характеристики всегда получаются исходя из гипотезы «продолжающегося нагружения».
-
Полученные точные аналитические решения ряда краевых задач об устойчивости стержней и пластин из СПФ, претерпевающих прямое или обратное превращение на основе подходов, указанных в двух первых пунктах. В более сложных случаях удалось получить результаты при помощи численных методов. Особый интерес представляют решения на основе концепции «упругой разгрузки» с переменной вдоль элемента из СПФ границей зоны дополнительного фазового превращения и отсутствием каких-либо вариаций нагрузки.
Достоверность результатов работы подтверждается строгостью и обоснованностью исходных физико-математических подходов, применением различных методов исследования устойчивости элементов из СПФ, приводящих к хорошо согласующимся между собой результатам. Кроме
того, имеет место качественное соответствие с экспериментальными данными. Следует отметить, что некоторые из используемых подходов, ранее были с успехом применены к исследованию устойчивости упруго-пластических тел, что косвенно подтверждает надёжность результатов.
Практическая ценность работы. Представленные в работе подходы к анализу устойчивости элементов из СПФ могут быть без каких-либо существенных изменений применены к изучению любых элементов конструкций из СПФ. На их основе могут быть построены процедуры численного анализа устойчивости, а в некоторых случаях и точные аналитические решения конкретных задач не нашедших отражение в работе.
Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались на следующих научных конференциях и семинарах:
Международном семинаре «Современные проблемы прочности» им. В.А. Лихачева. (1999, 2003 гг.);
Юбилейном школе-семинаре «Композиционные материалы» к 80-летию академика И.Ф. Образцова (Москва, 2000 г.);
Международном семинаре «Актуальные проблемы прочности» (Витебск, 2000, 2004 гг.);
Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Москва-Ярополец, 2000,2002,2003, 2004, 2005 гг.);
Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001);
Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (США, Blacksburg, 2002 г.);
Международной конференции «Микромеханизмы пластичности, разрушения и сопутствующих явлений» (Тамбов, 2003);
Международной конференции «Физика прочности и пластичности материалов» (Тольятти, 2003 г.);
Семинаре кафедры «Теория пластичности» МГУ (Москва, 2004 г.).
Семинаре «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» кафедры «Сопротивление материалов, динамика и прочность машин» Московского авиационного института (Москва, 2005г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 26 работ. В автореферате приведен список основных публикаций из 22 наименований.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трёх частей, содержащих 12 глав, заключения и списка литературных источников из 229 наименований. Общий объём диссертации изложен на 312 страницах формата А4, включая 80 рисунков.
Дифференциальное соотношение для параметра фазового состава
Для того чтобы было возможно сравнение решений рассматриваемых в последующих главах задач устойчивости полученных исходя из (1.12) и (1.13), в данной работе при использовании выражений (1.13) скаляры кх и к2 будут определяться по формуле (1.14), хотя и очевидно, что комбинация (1.13), (1.14) неприменима для случая нулевых, или близких к нулю начальных фазовых деформаций.
Если же на этапе прямого превращения действовало напряжение, равное по величине напряжению, приложенному при обратном превращении, но направленное противоположно, то из (1.13) вместо (1.12) получается А = Al-kcri, Л% = А2-к т., то есть с ростом действующих напряжений температуры обратного перехода будут не увеличиваться, а уменьшаться, как это и наблюдается в экспериментах [209, 224].
Следуя данным [123-130, 155, 156], при анализе устойчивости элементов из СПФ существенное значение имеет изменение фазового состава связанное с изменением действующих напряжений. В рамках соотношений (1.12) в изотермических условиях, следуя последнему неравенству (1.4), обратное превращение может происходить лишь при уменьшении интенсивности напряжений (эффект «псевдоупругости» при разгрузке). Изотермическая догрузка (рост интенсивности напряжений) приводит к прекращению обратного превращения. В то же время, для соотношений (1.13), обратное превращение возможно как при разгрузке, так и при догрузке, в зависимости от знака вариации свёртки сг-є . Если имеет место 6{а е\р ) 0, то обратный переход прекращается, если d{ 7,ij8\f) ) 0—продолжается.
Часто используется вариант определяющих соотношений, формально следующий из представленных выше уравнений (1.1)-(1.4), если в них отбросить величину — я0 = 0 в третьей формуле (1.2), что эквивалентно пренебрежением эффекта, названного ориентированным фазовым превращением. В этом случае, конечно, необходимо скорректировать нужным образом значения оставшихся констант. С точки зрения рассматриваемых в работе задач устойчивости, как это станет ясно из основного текста, указанное пренебрежение не оказывает на результаты существенного влияния.
Наконец кратко опишем изменения, которые необходимо внести в описанные ранее определяющие соотношения в случае использования дифференциальной зависимости для q взамен конечных формул (1.3), (1.4).
При этом скорректированные определяющие соотношения будут удовлетворять термодинамике двухфазной сплошной среды [120]. При подсчёте Ву ввиду малости не будут учитываться объёмный эффект от термоупругих превращений — /3 = 0. Естественно при этом не учитывать также температурную деформацию є\р, поскольку её учет сказывается даже меньше чем уже отброшенный объёмный эффект от фазовых превращений. В случае обратного превращения, кроме того будет положено — AQ = 0, что не позволит учитывать так называемый реверсивный эффект памяти формы при обратном превращении. Правда, при рассматриваемых в работе видах нагрузки он и без того равен нулю.
Применительно к прямому мартенситному переходу, помимо указанных только что уточнений, вместо конечного соотношения (1.3) в работе [120] предлагается использовать дифференциальное соотношение
Кроме того, в (1.15) применена функция r(q), являющаяся обратной для некой функции q(r), в качестве которой может, например, рассматриваться одна их функций (1.5)-(1.7), если формально считать в них в качестве аргумента величину (М — Т)1(М -М%) = т. Понятно, что для течения прямого термоупругого фазового превращения, помимо нахождения СПФ в нужном интервале температур прямого превращения, должны быть выполнены условия dq 0, (0 q \). Температурой начала прямого перехода М в рамках рассматриваемого подхода предлагается считать величину
Что касается температуры конца прямого превращения М, то она может быть определена только в результате решения задачи, как температура, при которой объёмная доля мартенситной фазы q станет равной единице.
Для моделирования обратного мартенситного превращения с использованием дифференциальной зависимости для q, вместо конечного соотношения (1.4) предлагается использовать другое
Здесь ASQ— разница удельных энтропии аустенитного и мартенситного состояний СПФ при некой температуре термодинамического равновесия 7І, при которой СПФ может существовать как в чисто мартенситном, так и в чисто аустенитном состояниях (для материалов с широкой петлёй гистерезиса это всегда возможно), причём в отсутствии фазовых деформации, р— плотность сплава, которая считается неизменной в процессе мартенситных превращений, что в достаточной мере согласуется с экспериментом. Функция z(q) является обратной для некой функции q(j), в качестве которой может выступать одна из зависимостей (1.9)-(1.11), если считать в них в качестве аргумента величину (Т-АП/(Л!-АП = т.
Различные подходы к анализу статической устойчивости элементов из СПФ
Все рассматриваемые подходы можно условно классифицировать по тем ограничениям и предположениям, которым подчиняется рассматриваемый элемент из СПФ в процессе своего выпучивания. Поскольку процесс выпучивания, очевидно, может считаться достаточно быстрым по сравнению с докритическим деформированием, то возникает вопрос: «Имеет ли место в процессе выпучивания дополнительное фазовое превращение, обусловленное изменением напряжённо-деформированного состояния, или нет?» Если предположить, что в процессе выпучивания дополнительного превращения нет, то мы приходим к концепции «фиксированного фазового состава» [123]. Указанный подход, без каких либо пояснений применим для СПФ типа CuMn, поскольку для него дополнительный переход, связанный с изменением напряжённо-деформированного состояния, невозможен по определению (см. п. 2.1). Если же полагать, что при выпучивании дополнительное превращение просто не успевает развиться, то концепция «фиксированного фазового состава», по крайней мере, гипотетически, применима и к элементам из СПФ в связной постановке. Далее будет особо отмечено, что к обоснованию решений на основе концепции «фиксированного фазового состава» можно подойти более строгим образом.
В противовес концепции «фиксированного фазового состава», для случая, когда полагается, что в процессе потери устойчивости элемента из СПФ, дополнительное превращение обязательно разовьётся, используется концепция «продолжающегося фазового превращения» [123]. Понятно, что последняя концепция применима к СПФ у которых параметр состояния q зависит как от температуры, так и от величин, характеризующих напряжённо-деформированное состояние. В рамках гипотезы «продолжающегося фазового превращения», в свою очередь, можно выделить ряд подходов. В соответствии с первым из них предполагается, что при выпучивании элемента не происходит никаких изменений (в отношении внешних воздействий, условий закрепления и т. д.) по сравнению с докритическим деформированием. Применительно к потере устойчивости элементов из СПФ при прямом мартенситном превращении указанный подход назван концепцией «упругой разгрузки» [124-128], поскольку, на основании (1.3), (1.8) или (1.15) ясно, что при выпучивании материал с памятью формы упруго деформируется именно в зоне разгрузки, а дополнительный фазовый переход имеет место в догружаемой области. Используемое название имеет также историческое обоснование. Действительно, применительно к анализу потери устойчивости при упруго-пластических деформациях этот термин используется в сходной ситуации, когда соответствующий элемент пластически деформируется в догружаемой области, и упруго — в разгружаемой. Это соответствует решениям на основе так называемого приведённого модуля [19, 26, 39, 44, 137]. В случае же обратного мартенситного превращения рассматриваемый подход естественно назвать концепцией «неполного фазового превращения» [156]. Смысл этого названия по существу соответствует смыслу концепции «упругой разгрузки» и состоит в том, что указывает на то обстоятельство, что при выпучивании элемента, часть его испытывает дополнительное фазовое превращение, а часть — нет. Другое дело, что если в случае прямого перехода ясно, что дополнительный фазовый переход всегда имеет место в догружаемой области, то применительно к обратному превращению ситуация оказывается несколько сложнее. Она существенным образом зависит от используемого варианта определяющих соотношений, например, в случае традиционных определяющих соотношений (1.4), (1.12) дополнительное превращение, очевидно, всегда развивается в зоне разгрузки. Для других определяющих соотношений (1.13), (1.14) или (1.17), как показывает анализ указанных формул, дополнительное фазовое превращение может иметь место и в зоне разгрузки, и в зоне догрузки (точнее зависит от знака приращения величины 2)V ). Следующий подход, названный концепцией «продолжающегося нагружения» впервые также был применён при анализе устойчивости упруго-пластических тел [143, 216, 217] и использовался в решениях на основе так называемого «касательного модуля». Он сводится к тому, что в противовес гипотезе «упругой разгрузки», при выпучивании допускаются различные малые вариации величин, характеризующих нагрузку, условия закрепления и т.д. Естественно, наибольший интерес представляют такие малые изменения, которые приводят к наиболее опасным значениям искомых критических величин. Последние получаются в том случае, когда весь объем исследуемого элемента переходит в наиболее склонное к деформированию состояние. Для СПФ это имеет в случае, когда весь элемент находится в условиях дополнительного фазового превращения [124-128], для упруго-пластических тел — когда зона пластического деформирования также распространяется на весь объём изучаемого элемента. В работе под гипотезой «продолжающегося нагружения», если не оговорено другое, понимается подход, при котором весь изучаемый конструктивный элемент находится в условиях дополнительного фазового превращения.
Далее показано, что концепция «фиксированного фазового состава» всегда приводит к наименее опасным значениям искомых критических величин, концепция «продолжающегося нагружения» — к наиболее опасным. В рамках гипотезы «упругой разгрузки» реализуются промежуточные значения.
Следует иметь ввиду, что не следует полностью противопоставлять друг другу концепции «упругой разгрузки» («неполного фазового превращения») и «продолжающегося нагружения». Действительно, совершенно очевидно могут иметь место случаи, когда реализуется «продолжающееся нагружение» (присутствуют некоторые малые вариации нагрузки), но, тем не менее, не все сечения, скажем, стержня из СПФ испытывают дополнительное фазовое превращение.
Устойчивость идеальной стойки Шенли в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава»
В то же время, следуя (3.18), при Р РЕ(\) (т.е.5 (1) 1) возмущение в процессе фазового перехода p(q) пропорционально начальному возмущению Ф0, причем коэффициент пропорциональности является ограниченной функцией q на отрезке [0, 1], т.е. в классическом понимании прямолинейную форму равновесия можно считать устойчивой, а величину РЕ(1) — соответствующей критической силой. Можно заметить, однако, что коэффициент пропорциональности между (p{q) и % является весьма быстро возрастающей функцией q. Так, для значений постоянных материала а0 = 0.718, J{X) = 4.199 10 кгс/см , Ех = Ег = 8.571 10 кгс/см характерных для никелида титана, при Р = 0.8/ (1) начальное возмущение в процессе полного прямого мартенситного превращения возрастает на 24 десятичных порядка, так что в практическом плане такие нагрузки вряд ли можно считать допустимыми. Связано столь резкое возрастание с наличием под знаком экспоненты в правой части (3.19) множителя rS/(l-S), пропорционального величине г, которая для значений постоянных материала, характерных для никелида титана достаточно велика (величина г имеет порядок отношения податливостей СПФ, соответствующих полному фазовому переходу и упругому деформированию).
Таким образом, решения линеаризованных задач устойчивости в рамках концепции фиксированного фазового состава для идеальной системы и системы с начальной неправильностью дают формально одинаковые результаты. Однако анализ поведения неидеальной системы свидетельствует о неадекватности этих результатов.
Интересно отметить, что в результате практических расчетов выявилось, что без существенной потери точности вместо линеаризованного уравнения (3.16), зачастую, достаточно ограничиться рассмотрением соответствующего однородного уравнения при начальном условии (3.17), которое в отличие от (3.18) имеет существенно более простое решение
Если в качестве модуля упругости E{q) используется вторую зависимость (3.3), все формулы требуют модификации. Так, например, вместо уравнения (3.14) можно получить формально такое же уравнение но, где под параметром а (см. (3.15)) теперь понимается зависящая от q функция Естественно меняется и смысл S{q).
Линеаризация этого нелинейного уравнения в указанном выше смысле (с учетом, что рассматривается лишь соответствующее однородное уравнение) приводит к уравнению формально повторяющему (3.21) (смысл a,S(q) другой). Решение указанного уравнения дается формулой
Независимо от конкретного вида функции/(3.1), вида зависимости E(q) (3.3), способа решения нелинейных дифференциальных уравнений (3.9), (3.14) либо его аналога для второй зависимости E(q) (3.3), для нагрузки Р из определенного интервала значений (он будет оговорен ниже) существует некоторое значение параметра объемной доли мартенситной фазы q , которое естественно назвать критическим, при котором обращается в бесконечность производная dcpl dq. Очевидно, это условие оказывается выполненным, когда в ноль обращается величина cos3 q соответствующих формул. Понятно, что при рассмотрении прямого термоупругого превращения, для q должны быть выполнено условие (0 q 1). Следовательно, только при нагрузке Р, обеспечивающей выполнение этого условия в процессе термоупругого мартенситного превращения, стойка Шенли в принципе может оказаться неустойчивой. Именно этой оговоркой и определяется указанный выше интервал нагрузок.
Заметим, что можно дать и противоположную трактовку. Для некоторого значения параметра 0 # 1 можно найти такую силу P {q) (ее естественно назвать критической), которая обеспечит обращение в бесконечность d p/dq при заданном q. Кстати, это позволяет более определенно высказаться об интервале нагрузок из предыдущего абзаца, обеспечивающей выполнение условия (0 q 1). Очевидно, значения указанной нагрузки должны принадлежать интервалу (Р(1) Р\\) Р Р\0) РЕ(0)).
Что касается приближенных решений (например (3.22), (3.23)), полученных исходя из линеаризованных уравнений, то на их основе невозможно логичным образом ввести понятия «критическое значение параметра объемной доли мартенситной фазы» q или «критической нагрузки» Р , отличное от того, что дает формула (3.6). При этом, как показывают вычисления, для значений нагрузки значительно меньших указанной, наблюдаются недопустимо большие значения угла (р. Все это позволяет сделать вывод о том, что полноценное решение задачи об устойчивости стойки Шенли в несвязной постановке, может быть произведено лишь в нелинейном виде.
Задача устойчивости идеального стержня в несвязной постановке. Концепция «фиксированного фазового состава»
Неидеальная стойка Шенли (изначально левый опорный стержень несколько длиннее правого), нагруженная квазистатической возрастающей «мертвой» сжимающей силой Р (см. рис 3.2), переводится из аустенитного состояния в мартенситное. Ради простоты рассмотрен случай, когда материал стержней может находиться лишь в условиях прямого мартенситного фазового превращения. Таким образом, либо в стержнях стойки идет прямое превращение, вызванное изменением нагрузки, либо в них отсутствуют фазовые превращения. Тем самым из рассмотрения исключается более сложный }) случай, когда в левом опорном стержне (разгружаемом при отклонении стойки Шенли от вертикали) сложатся такие условия, что на смену прямому превращению в какой-то момент, наступит обратное превращение.
Для СПФ, из которого изготовлены опорные стержни стойки, приняты определяющие соотношения (3.1), причем, чтобы мартенситный переход имел место, должны выполняться условия (3.2). Используется первая зависимость (3.3) для модуля упругости от параметра объемной доли мартенситной фазы q.
Чтобы, как отмечено выше, ради простоты исключить возможность развития в СПФ левого стержня стойки обратного термоупругого перехода (в правом такой возможности нет), следует наложить на температуру Т ограничение МХ Т АХ, где Ах— температура начала реакции обратного превращения в свободном от напряжений материале.
Присвоим, как и в предыдущей главе, левому опорному стержню номер 1, правому — 2 и используем введённые там же параметры: 1) линейный размер а— среднее арифметическое длин опорных стержней «стойки Шенли» а = (а1 + а2)/2; 2) её начальный наклон от вертикали q Q (см. рис. 3.2; q Q = arcsin(Aalb)), когда опорные стержни находится в аустенитном состоянии, а нагрузка — отсутствует Р = О. Тогда, для шарнирной цепи, образованной стержнями 1, 2, а также нижней частью блока длиной Ъ (см. рис. 3.2), справедливо кинематическое уравнение (3.7).
Чтобы полностью описать рассматриваемую механическую систему, помимо указанного геометрического соотношения, следует дополнительно привлечь третье уравнение (3.1), записанное применительно к опорным стержням стойки Шенли, когда они находятся в условиях прямого перехода, и рассмотреть нужные начальные условия, налагаемые на угол р, а также на фазовые составляющие деформаций. Усилия в стержнях стойки Шенли в отклоненном состоянии могут быть найдены исходя из очевидных формул статики (3.5).
Решение проблемы может быть сведено к серии задач Коши для систем двух или трех обыкновенных дифференциальных уравнений, в зависимости от того, оба ли опорных стержня или один находятся в данный момент в условиях термоупругого превращения. Причем, достигнутые значения искомых функций на предыдущем этапе численного решения соответствующей системы (а иногда и на более ранних) рассматриваются в качестве начальных для следующей системы.
Когда оба опорных стержня стойки испытывают термоупругое превращение, ее поведение описывается системой трех обыкновенных дифференциальных уравнений мартенситной фазы qp{P)(P = 1,2) в опорных стержнях, выбираются исходя из используемой аппроксимации диаграммы прямого перехода (см. (3.29), (3.33), (3.36)). Это же относится и к функциям y/(q). В качестве начальных условий рассматриваются величины (р, єх2\ є22)—полученные на предыдущих этапах.
