Содержание к диссертации
Введение
1. Основные уравнения моделей динамически деформиру емой изотропной нелинейно-упругой среды 18
1.1 Система определяющих соотношений динамически деформируемой упругой среды 18
1.2 Модели изотропных упругих сред 22
1.2.1 Несжимаемая упругая среда 22
1.2.2 Изотропная упругая среда с различным сопротивлением растяжению и сжатию 24
1.2.3 Модель разномодульной упругой среды для случая сферической симметрии 28
1.2.4 Изотропная несжимаемая упругая среда со сдвиговой разномодульностью 31
1.3 Соотношения на поверхностях разрывов 33
1.4 Ударные волны при одномерном деформировании несжимаемой упругой среды 40
1.5 Классификация возможных разрывов при одноосном деформировании разномодульной упругой среды 44
2. Автомодельная задача о взаимодействии ударных волн в несжимаемой упругой среде 51
2.1 Одномерные автомодельные движения точек несжимаемой среды. Удар по деформированному упругому полупространству 51
2.2 Одномерное столкновение плоских ударных волн 55
2.2.1 Отражение четырех ударных фронтов 57
2.2.2 Возникновение в отраженном пакете простой волны Римана 66
2.2.3 Отражение простых волн Римана 70
3. Задачи одноосного ударного деформирования разномо-дульной упругой среды 76
3.1 Возникновение ударной волны при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства 76
3.2 Возникновение области постоянных перемещений при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства 84
3.3 Отражение плоской одномерной волны от жестко закрепленной границы разномодульного упругого слоя 88
3.4 Отражение плоской одномерной волны сжатия от свободной границы разномодульного упругого слоя 94
3.5 Отражение плоской одномерной волны разрежения от свободной границы разномодульного упругого слоя 100
3.6 Одномерные задачи об ударном сдвиге на границе полупространства в несжимаемой разномодульной среде 105
3.6.1 Одномерное сдвиговое ударное деформирование разномодульного упругого полупространства. Возникновение недеформированной области 106
3.6.2 Возникновение ударной волны при одномерном сдвиговом ударном деформировании разномодульного упругого полупространства 108
4. Возникновение сферических волн в упругой среде, по-разному сопротивляющейся растяжению и сжатию 112
4.1 Возникновение сферического слоя постоянной плотности 112
4.2 Возникновение расходящихся волн 120
Заключение 124
Литература 126
- Изотропная несжимаемая упругая среда со сдвиговой разномодульностью
- Одномерные автомодельные движения точек несжимаемой среды. Удар по деформированному упругому полупространству
- Возникновение области постоянных перемещений при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства
- Возникновение сферического слоя постоянной плотности
Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Соотношения классической теории упругости, основанные на постулате о нормально-изотропном поведении упругих сред и линейной зависимости между напряжениями и деформациями, являются результатом идеализации реальных свойств деформируемых материалов. Такие допущения позволяют упростить не только построение определяющих соотношений теории, но и методы решения соответствующих краевых задач. Но для большинства природных и конструкционных материалов такие условия принципиально неприемлемы. Примером здесь могут служить образцы, изготовленные из различных грунтовых фракций, которые могут выдерживать значительные сжимающие нагрузки и практически не сопротивляться растягивающим усилиям. Учет подобных специфических механических свойств (нелинейной связи между напряжениями и деформациями, разномодульности) приводит к неклассическим моделям упругих сред. В настоящее время построен ряд таких моделей при разных вводных предположениях. Нелинейность, наличие сингулярности в реакции на направление воздействия, отраженные в этих моделях, вносят новые качественные особенности в свойства модельных уравнений и выводят их за рамки классической математической физики. Диссертация посвящена изучению особенностей постановок краевых задач ударного нагру-жения несжимаемых нелинейно-упругих сред, материалов с различным сопротивлением растяжению и сжатию, сред с различной сопротивляемостью сдвигу вдоль выбранной оси. Сведения о свойствах ударных волн при нестационарных условиях нагружения перечисленных нелинейных и разномодульных сред, зависимостях положения и скоростей движения волновых фронтов в каждый момент времени от характера воздействия помогают осуществить постановки соответствующих краевых задач. Поэтому вышеизложенное позволяет сделать вывод об актуальности выбранного направления исследований.
Целью работы является изучение условий существования и закономерностей распространения различных типов поверхностей разрывов деформаций в нелинейных упругих средах с неклассическими свойствами (нелинейная несжимаемость, неодинаковое сопротивление растяжению-сжатию и разнонаправленному сдвигу), необходимыми для постановки и получения обобщенных решений краевых задач динамики их деформирования.
К основным научным результатам диссертации относятся:
– сведения о типах и количестве сильных и слабых одномерных плоских и сферических волновых фронтов, распространяющихся при ударных воздействиях на несжимаемые нелинейно-упругие среды и материалы с объемной и сдвиговой разномодульностью;
- аналитические обобщенные решения нестационарных краевых задач
ударного деформирования о движении одномерных плоских и сферических
волн в несжимаемых нелинейно-упругих и сжимаемых кусочно-линейных сре
дах.
Научная новизна результатов, полученных в диссертации, определяется новыми постановками краевых задач нелинейной динамической теории упругости несжимаемых и разномодульных сред за счет указания возможности возникновения в них нелинейных эффектов: плоских одномерных поверхностей сильных разрывов (ударных волн нагрузки и волн круговой поляризации), простых волн Римана, сферических одномерных ударных волн и сферических слоев постоянной плотности.
Достоверность полученных результатов обоснована применением общепринятых подходов механики деформирования, условий совместности разрывов теории особых движущихся поверхностей, сходимостью полученных результатов в предельном случае к известным соотношениям классической теории упругости.
Применение и практическая ценность работы. Изучение свойств поверхностей разрывов деформаций в нелинейных упругих средах с неклассическими свойствами (нелинейной несжимаемостью, неодинаковым сопротивлением растяжению и сжатию, разнонаправленным сдвигам) являются неотъемлемой частью решения нестационарных краевых задач ударного деформирования упругих сред, позволяет провести корректную постановку и разработать методику их решения. Кроме самостоятельного значения, полученные аналитические решения задач динамики материалов со сложными механическими свойствами могут служить в качестве тестовых при создании специальных численных методов решений обобщенных динамических задач и при отлаживании численных расчетных схем.
Апробация результатов диссертации.
Отдельные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:
- Региональная научно-техническая конференция «Вологдинские чтения»
(Владивосток, 2006);
- Дальневосточная математическая школа-семинар имени академика
Е.В. Золотова (Владивосток, 2010, 2012);
Региональная научно-техническая конференция «Молодежь и научно-технический прогресс» (Владивосток, 2011, 2012);
Международная школа-семинар «Современные проблемы механики и прикладной математики» (Воронеж, 2004);
Всероссийская конференция «Фундаментальные и прикладные вопросы
механики и процессов управления», посвященная 75-летию со дня рождения академика В.П. Мясникова (Владивосток, 2011).
Диссертация в целом докладывалась на семинаре отдела механики деформируемого твердого тела ИАПУ ДВО РАН под руководством чл.-корр. РАН, д.ф.-м.н., профессора А.А. Буренина.
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (152 наименования). Общий объем работы — 146 страниц, в том числе 45 рисунков, включенных в текст.
Публикации.
Изотропная несжимаемая упругая среда со сдвиговой разномодульностью
Рассмотрим динамическое деформирование несжимаемой упругой среды, по-разному сопротивляющейся сдвиговвім нагрузкам, приложенным в противоположных направлениях [43]. Разномодульные механические свойства изотропной упругой среды определим упругим потенциалом W (аналог потенциала Муни) [84]:
Знаки перед слагаемыми в (1.40) выбраны так, чтобы упругие модули /Зі , /32 были положительными. Первый упругий модуль /Зі остается постоянным, второй упругий модуль /32 меняет скачком свое значение при изменении направления сдвиговой нагрузки вдоль выбранной оси. Инварианты L\ , L2 определяются главными значениями тензора деформаций (іі и имеют одинаковую степень малости по деформациям:
Систему модельных соотношений в адиабатическом приближении для несжимаемой среды (р = ро ) со сдвиговой разномодульностью составляют соотношения (1.3), (1.5), (1.10), (1.18) и (1.40).
Рассмотрим одномерное сдвиговое движение точек среды, когда поле перемещений во всей области деформирования удовлетворяет условиям
Тензор деформаций в данном случае имеет только три ненулевые компоненты е\\ = -—и\ , Є21 = Єі2 = -Мд . Тогда из формулы Мур-нагана (1.18) для несжимаемой среды с потенциалом (1.40), сохраняя только нулевые и первые степени по компонентам тензора деформаций, для компонент тензора напряжений получим
Положим, что коэффициент /32 = /32 ПРИ е21 0 (сдвиговое движение точек среды в отрицательном направлении выбранной оси ОХ2), /32 = $2 при Є2і 0 (сдвиг в положительном направлении Охъ). Значение Є21 = 0, как и в случае объемной разномодульности, является особой точкой зависимостей компонент напряжений от деформаций. Для определенности будем считать, что f32 fi2
Уравнение движения (1.10) с учетом соотношений (1.42) примет вид: Р = р-1Р. Из первого равенства (1.43) можно вычислить функцию добавочного гидростатического давления Р при известном поле перемещений. Второе уравнение (1.43) служит для определения поля перемещений и является первостепенным при решении краевых задач. Константы с\ и C2 в этом случае принимают значения различные при противоположных направлениях сдвига.
Очевидно, что всюду в области деформирования решение второго уравнения (1.43) также можно представить в форме д Аламбера (1.33) при с = С2 . Для скорости С2 (ведем о)значения:
Согласно принятой гипотезе сплошности среды, перемещения Щ должны быть непрерывными функциями пространственных координат и времени во всем объеме, занимаемом сплошной средой. Однако при определенных граничных воздействиях на деформируемые тела в них возникают поверхности, на которых производные перемещений щ могут претерпевать разрыв первого рода. Если разрыв терпят первые производные, то такие поверхности называют ударными волнами (или поверхностями сильного разрыва), которые являются передними фронтами деформаций, распространяющихся по среде. Если же на поверхности скачком меняют свои значения вторые производные, то поверхность называют слабой волной.
Рассмотрим в декартовой системе координат некоторую движущуюся поверхность Е , которая изменяется в пространстве с течением
Введем вектор нормали п к поверхности разрвіва, которвій является функцией координат точки поверхности, п = п(хі,Х2,X2.it) , \п\ = 1 . Положим, что вектор нормали направлен в сторону движения . Волноввім лучом назвівают кривую, в каждой точке которой к ней касателвная ортогоналвна вектору нормали п . Ввіберем поверх-ностнвіс координатві у\ и у так, чтобві они не измснялисв вдолв луча (рис. 2). Векторві (3k , расположеннвіе в касателвной плоскости к по дх верхности , имеют координатві Х{ а = —— , не обязателвно являются единичнвіми векторами и направленві по касателвнвім к фиксирован-НВІМ координатнвім линиям уа . Таким образом, в каждвш момент времени і ив каждой точке М движщейся поверхности можно ввести систему координат с ортами п , -- , -- . Такая система координат в бщем случае не является прямоуголвной.
Пуств поверхноств разрвівов распространяется со скороствю G = G(xi,X2,Xs,t) . Функция G определена только на T,(t) . Тогда вектор скорости движения точек поверхности можно записать в виде
В общем случае скорость G отлична от скоростей движения точек среды.
Положим, что поверхность Е() разбивает рассматриваемый объем V на две части: V+ - объем перед фронтом и V - за ним (рис. 2).
ПуСТЬ В Деформируемом Объеме V Определена фуНКЦИЯ f(x\,X2,X3,t), зависящая от декартовых координат Х{ и времени t, которая непрерывна и дифференцируема в каждой точке V+ и V , но имеет разрыв на Е() . Значение функции f(x{,t) при подходе к поверхности Е() в V+ обозначим через f+(xi,t) , а непосредственно за Е() в объеме V - через f (x{,t) . В точках поверхности Е() значение функции определяется через поверхностные координаты зависимостью
Одномерные автомодельные движения точек несжимаемой среды. Удар по деформированному упругому полупространству
Рассмотрим одномерное движение в несжимаемом упругом полупространстве при наличии предварительных деформаций. Следствием несжимаемости в одномерном случае является то, что из компонент тензора градиента перемещений ІІІД = 0 , a U2,i(xi,t) и it3,i( i,t) отличны от нуля. Предположим, что до начала какого-либо воздействия на границу всюду в полупространстве
Пусть в момент времени t = 0 на границу упругого полупространства Х\=0 начинает действовать сдвигающе-сжимающая нагрузка Cy(w2,i,мзд) = const. Под действием нагрузки постоянные /о, Яо и Ро скачкообразно изменяются до значений ІІ2,І _0 = /І = const, щ 11 „ = Si = const, РІ „ = Р\ = const.
Постоянство приложенной на границу полупространства нагружающих усилий Gij позволяет провести решение задачи в автомодельном виде. Введем автомодельную переменную = x\/cb (с2 = /J,p l ) и функции Ц) = — и С(0 = —
Перепишем уравнения движения несжимаемой упругой среды (1.22), учитывая выражения (1.21) для компонент тензора напряжений а , через автомодельную переменную . Получим для функций w() и () систему двух обыкновенных дифференциальных уравнений:
Система уравнений (2.2) в силу своей однородности имеет тривиальное решение w" = 0 , (" = 0 , если се определитель нс равен нулю. Тривиальное решение существует в областях между поверхностями разрывов. В этом случае функции w() и () можно записать в виде где / , д , q , z - произвольные константы интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2), которые различны для каждой зоны между волнами.
Согласно соотношениям (2.4) можно получить следующие соотношения для градиентов компонент вектора перемещений и компонент скорости перемещений:
Нетривиальное решение существует, если определитель системы 2.2) равен нулю:
Учитывая введенные обозначения (2.3), соотношение (2.6) обращается в тождество, если только и т связаны зависимостью
Подстановка (2.5) в (2.2) приводит к тому, что всюду в области нетривиального решения необходимо выполняется условие
Решение (2.7) уравнения (2.6) при условии (2.8) задает плоскопо-ляризованную волну Римана. На такой волне, как и на ударной волне сдвиговой нагрузки (1.69)—(1.70), не может меняться направленность предварительного сдвига, а изменяется только его интенсивность.
Положение переднего и заднего фронтов простой волны задаются соответствующими значениями переменной :
Из (2.9) следует, что центрированная волна распространяется только в случае, когда т\ то , являясь, таким образом, центрированной волной разгрузки. Когда же т\ TTIQ , в среде распространяется ударная волна, меняющая значение переменной т скачкообразно от значения то до значения т\ , то есть происходит дополнительный сдвиг в направлении предварительных деформаций. Это поперечная волна нагрузки, на которой необходимо выполнение условия (1.69). Скорость такой волны может быть вычислена согласно (1.70), если положить т = то .
Имеется еще одно решение уравнения (2.6):
Подстановка (2.10) в (2.2), аналогично предыдущему решению, приводит к тому, что в области нетривиального решения необходимо выполнение условия т = 0 . В этом случае существует только одно значение , при котором деформированное состояние может измениться. Сравнивая (2.10) с (1.73), можно сделать вывод, что полученное значение соответствует положению ударной волны круговой поляризации, распространяющейся следом за ударной волной нагрузки при ті то , или центрированной волной, если т\ то . Действительно, значение , следующее из (2.10), оказывается меньшим _ , вычисленному согласно второму равенству из (2.9). Таким образом, изменение направленности предварительных сдвиговых деформаций может происходить в рассматриваемом случае только скачкообразно на данной ударной волне в соответствии с производимым воздействием на границы упругого слоя. Скорость распространения данной ударной волны можно вычислить из (1.73), если положить в нем т = то .
Неизвестная функция Р добавочного гидростатического давления во всей деформированной области за ударной волной нагрузки или центрированной волной разгрузки согласно (1.21), (1.66) вычисляется зависимостью
В области центрированной волны Є [ , +] функция Р меняется непрерывно от значения Ро при = + до значения Р при = , следующего из (2.11). На ударной волне круговой поляризации функция добавочного гидростатического давления непрерывна.
Возникновение области постоянных перемещений при одноосном ударном деформировании разномодульного упругого полупространства
Зададим теперь функцию перемещений точек граничной плоскости х = 0 разномодульного упругого полупространства х 0 таким образом, чтобы начиная с момента времени t = 0 полупространство сначала подвергалось сжатию, а затем с момента t = t\ - растяжению. Точки граничной плоскости движутся по закону u(0,t) = tp(t) . Функция (p(t) , аналогично предыдущей задаче, гладкая, дважды непрерывно дифференцируемая и удовлетворяет следующим условиям (рис. 21): Функции перемещений и скорости перемещений точек границы упругого разномодульного полупространства Волновая картина, возникающая при одноосном сжатии разномодулвного упругого полупространства при 0 t t\ В момент времени t = 0 от границы х = 0 отделяется фронт с координатой х = ct. В области 0 х ct (зона I на рис. 22) справедливо уравнение движения (1.31), где с = а . Решение д Аламбера (1.33) в этом случае будет иметь вид Неизвестные функции j\ и (j\ в решении д Аламбера (3.18) определим из граничного условия (3.3) и условия непрерывности перемещений на плоскости разрыва Е() Подставляя (3.18) в граничные условия (3.3) и (3.19), получим систему уравнений, аналогичную (3.5), из которой следует решение задачи при 0 t t\ : Таким образом, в момент времени t = 0 от границы полупространства отделяется быстрый полусигнотон /?() - волна сжатия, которая со скоростью с = а несет в недеформированное полупространство сжимающие граничные возмущения (рис. 23). В момент времени t = t\ изменяется поведение функции нагру-жения - (fi (t) 0 , т. е. деформации меняют знак с отрицателвного на положителвнвш. Таким образом, как показано в 1.5, в момент времени t = t\ возникновение ударной волнві невозможно. Согласно введенной в 1.5 классификации разрвівов, при данном режиме нагрузки на границе х = 0 могут возникнутв толвко два проствгх разрвіва: бвістрвій g1(t) со скороствю а и координатой фронта х = a(t — t\) и мед-лсннвш 52() со скороствю Ь и координатой фронта х = b(t — t\) (рис. 24). Посколвку скороств бвістрого простого разрвіва оказвівастся болвше скорости медленного, то между ними образуется слой, ширина которого увеличивается с течением времени при на рис. 24). В области 0 х b(t—t\) (зона III на рис. 24) выполняется уравнение движения (1.31), где с = Ь . В решении д Аламбера неизвестные функции /з ((#,)) и дз( ,(х )) определяются из граничных условий
Подставляя (3.21) в граничные условия (3.22), получим систему уравнений, аналогичную (3.5), в результате решения которой можем записать функцию перемещений точек разномодульной упругой среды в зоне III:
Подставляя в систему (3.24) решения в зонах I (3.20) и III (3.23), получа-
Отражение плоской одномерной волны от жестко закрепленной границы разномодульного упругого слоя
В рамках модели (1.23) рассмотрим разномодульный упругий слой толщиной Н , находящийся в свободном состоянии до момента времени
Прямоуольную декартову систему координат, аналогично предыдущим задачам, привяжем к нагружаемой границе слоя х = 0 . С момента времени t = 0 слой подвергается одноосному ударному нагружению таким образом, что точки граничной плоскости х = 0 начинают двигаться по закону it(0, t) = (p(t) : (р(0) = 0 , ip {t) 0 при t 0 . Вторая граница слоя х = Н при этом жестко закреплена: и(Н, t) = 0 .
Пусть функция (p(t) задана положительной монотонно возрастающей (рис. 26), т.е. на границу действует сжимающая нагрузка, тогда с момента времени t = 0 в слой от границы х = 0 начинает распространяться быстрый полусигнотон /?() - волна сжатия со скоростью с = а (рис. 27).
В области 0 х at справедливо уравнение движения (1.31} где с = а. Решение д Аламбера для него имеет вид (3.18). Согласно условию непрерывности перемещений на полусигнотоне и заданной на границе х = 0 функции (p(t) , можем определить неизвестные функции в решении д Аламбера fi((x,t)) и gi((x,t)) . Решение задачи при — строится аналогично предыдущей задаче до момента смены а типа нагрузки и имеет вид (рис. 28)
Граничные возмущения достигают посредством полусигнотона /?() закрепленной границы слоя х = Н в момент времени t\ = — и отражаются от нее в виде волнового фронта () с координатой х = Н — c(t — t\) . Поскольку функция нагружения (p(t) монотонно возрастающая, то в области Н — c(t — t\) х Н за отраженным волновым фронтом — остается отрицательным. Согласно описанной в главе 1 классификации разрывов, от жестко закрепленной границы слоя отражается сигнотон 7() , который не меняет характер процесса деформирования, т. с. за фронтом отраженной волны 7() происходит дальнейшее сжатие среды. Скорость отраженного сигнотона оказывается равной а . В области II (рис. 29) выполняется уравнение движения 1.31), в котором фазовая скорость с = а .
Возникновение сферического слоя постоянной плотности
В заключение приведем основные результаты диссертации.
- исходя из законов сохранения, описывающих динамическое деформирование изотропной упругой среды в адиабатическом приближении, получены зависимости напряжений и деформаций для упругих сред с усложненными механическими свойствами (несжимаемая нелинейно-упругая среда, разномодульная среда Мясникова-Олейникова, разномодульная среда без эффекта дилатации, разномодульная среда с различным сопротивлением сдвигу вдоль выбранной оси);
- в рамках модели несжимаемой нелинейно-упругой среды получено аналитическое решение автомодельной задачи о взаимодействии двух идущих навстречу друг другу плоских сдвиговых ударных волн, поляризованных в различных плоскостях; показано, что при их отражении формируется две группы волновых фронтов - ударных и простых волн Римана; указаны критерии для определения на этапе постановки задачи типа возникающих волновых фронтов (ударный или слабый) исходя из начальных параметров задачи (интенсивности и направленности сдвигов на взаимодействующих волнах);
- в рамках математической модели разномодульной упругой среды Мясникова-Олейникова на основе введенной классификации обобщенных решений одномерного уравнения движения получены аналитические решения нестационарных краевых задач динамического одноосного деформирования разномодульной упругой среды: о возникновении ударной волны и области постоянных перемещений со слабыми волнами в качестве переднего и заднего фронтов при ударном нагружении границы упругого полупространства, об отражении плоской одномерной волны от жестко закрепленной границы разномодульного упругого слоя, об отражении плоских одномерных волн сжатия и разряжения от свободной границы разномодульного упругого слоя; указаны принципиальные отличия полученных решений от известных результатов аналогичных задач классической теории упругости;
- получено решение нестационарной краевой задачи об ударном сдвиге на границе полупространства в несжимаемой разномодульной среде, показана возможность возникновения в обобщенном решении уравнения движения ударных волн, областей недеформированного материала;
- в рамках математической модели разномодульной среды, свободной от эффекта дилатации (взаимного влияния объемных и сдвиговых деформаций при распространении граничных возмущений) получено решение нестационарных краевых задач о сходящихся и расходящихся одномерных сферических волнах; показана возможность возникновения сферического слоя постоянной плотности при нагружении сферической границы по типу «растяжение-сжатие» и «сжатие-растяжение», при этом момент возникновения слоя в первом случае отстает от момента смены знака граничный нагрузки (эффект «запаздывания») и наоборот, опережает во втором случае.
