Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор материалов с усложненными свойствами и состояние современной теории деформирования этих материалов. обзор метода конечных элементов 14
1.1. Особенности моделей определяющих соотношений первой группы 24
1.2. Особенности моделей определяющих соотношений второй группы 2 9
1.3. Особенности моделей определяющих соотношений третьей группы 38
2. Уравнения состояния для начально-изотропных материалов с усложненными свойствами 60
2.1. Пространства нормируемых напряжений 60
2.2. Варианты потенциальных соотношений между деформациями и напряжениями 64
2.3. Определение констант потенциала 70
2.4. Основные законы деформирования. Замечание о разгрузке 8 6
3. Выбор теории деформирования железобетонных оболочек. построение математической модели гибридного конечного элемента 92
3.1. Выбор исходной модели теории оболочек 92
3.2. Построение математической модели гибридного конечного элемента 115
4. Расчет напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций из армированных материалов с усложненными свойствами 131
4.1. Изгиб железобетонных оболочек 132
4.2. Алгоритм решения задачи об определении НДС железо-бетонных оболочек различной геометрической конфигурации 146
4.3. Результаты расчета прикладных задачи анализ полученных результатов 150
Заключение 173
Литература 177
- Особенности моделей определяющих соотношений второй группы
- Варианты потенциальных соотношений между деформациями и напряжениями
- Построение математической модели гибридного конечного элемента
- Алгоритм решения задачи об определении НДС железо-бетонных оболочек различной геометрической конфигурации
Введение к работе
Инженерная практика постоянно требует повышения точности расчета элементов строительных конструкций, деталей машин и аппаратов. Очевидно, что решение данной задачи невозможно без совершенствования определяющих соотношений, достаточно надежно описывающих процессы упругопластического деформирования конструкционных материалов, а также без совершенствования методик расчета конструкций с использованием этих соотношений. В настоящее время многие конструкций и детали изготавливаются как из новых, так и из традиционных материалов, которые не подчиняются классическим законам упругопластического деформирования. Механические характеристики материалов активно проявляют чувствительность к виду напряженного состояния, проявляются такие эффекты как дилатация и разносопротивляемость. К материалам, обладающим подобными свойствами, относят бетоны, керамику, серые и ковкие чугуны, некоторые марки конструкционных графитов, ряд полимеров и большинство композитов. Следует заметить, что дилатационные свойства и разносопротивляемость проявляется не только в мгновенных упругопластических характеристиках, в скоростях деформаций, но и в длительностях до разрушения при ползучести и в пределах прочности. В общем случае, эти материалы можно рассматривать как материалы с «усложненными» механическими свойствами.
Зависимость деформационных характеристик от вида напряженного состояния для рассматриваемых материалов достаточно сложна и не сводится только к неодинаковому их поведению при одноосных растяжении и сжатии. Так, экспериментально установлено, что жесткость большинства разносопротивляющихся материалов может зависеть не только от знаков возникающих напряжений, но и от их количественных соотношений. Термин «разносопротивляе-мость» более емкий, так как подразумевает проявление специфических свойств, для пластических и реономных деформируемых тел.
Систематические экспериментальные исследования [б, 7, 40, 50, 78, 88, 89, 94, 99, 101, 104, 150, 159, 170, 171, 175] показали, что механические свойства разносопротивляющихся материалов не только различны при растяжении и сжатии, но и плавно меняются в самом широком диапазоне видов напряженного состояния. Кроме того, обнаружена тесная связь свойств разносопротивляемости с пластическим разрыхлением и дилатацией. В частности установлено, что практически все дилатирующие материалы оказались разносопротивляющиеся. В общем случае, механической разносопротивляемостью могут обладать изотропные и анизотропные материалы.
Классические теории, базирующиеся на гипотезах существовании однозначной зависимости между напряжениями и деформациями и пропорциональности девиаторов двух соос-ных тензоров, очевидно, не могут правильно оценить напряженно-деформированные состояния сплошных сред, обладающих указанными особенностями.
Для более точного аналитического представления экспериментальных зависимостей напряжений от деформаций при выходе за пределы упругости необходимо использовать нелинейные аппроксимации. Эти аппроксимации могут учитывать как наличие общего начального модуля упругости, так и отсутствие единой кривой деформирования при растяжении, сжатии и других видах напряженного состояния. - б -
Анализ экспериментальных данных показывает, что зависимость механических характеристик многих материалов от вида напряженного состояния в большей мере проявляется при достаточно высоком уровне напряжений в нелинейной области деформирования. Естественно, что наиболее чувствительны к виду напряженного состояния характеристики пластичности и прочности.
Отметим, что существенные эффекты, возникающие в работе конструкций, связанные с явлением разносопротив-ляемости материалов, обнаруживаются при сложном напряженно-деформированном состоянии, которое отличается от простого растяжения или сжатия.
Теория деформирования материалов с усложненными свойствами относительно молодая ветвь механики деформируемого твердого тела. Ее становление можно отнеси к началу пятидесятых годов двадцатого столетия. За этот период был предложен ряд моделей определяющих соотношений для разносопротивляющихся и дилатирующих материалов. Однако большинство этих моделей обладают существенными недостатками, базируются на отдельных грубых гипотезах и могут иметь ограниченное применение к реальным материалам.
Несмотря на сравнительно большое число предложенных моделей определяющих соотношений сред с усложненными свойствами, прикладные исследования эффектов, вызванных механической спецификой рассматриваемых материалов конструкций, сдерживаются недостаточным для решения данного класса задач развитием численных методов, а также недостаточной ориентацией этих моделей на их дальнейшее использование в приложениях. Кроме того, большинство известных моделей определяющих соотношений имеют существенные недостатки, ограничивающие их применения.
Следует заметить, что при формировании и отработке конструкций из рассматриваемых материалов проектировщики, во многих случаях, стремятся улучшить прочностные и деформационные свойства отдельных зон, в которых наиболее негативно сказывается специфика разносопротивляемо-сти и дилатации. Это достигается путем армирования слабо сопротивляющихся зон конструкций высокопрочными волокнами или стержнями (железобетон, боро- и стеклопластики и т. д.). Подобные структурные преобразования разносопротивляющихся и дилатирующих материалов на порядок повышают сложность решения краевых задач.
Таким образом, для решения задач об определении напряженно-деформированного состояния различных конструкций, например оболочек, изготовленных из материалов с усложненными свойствами, в которых используются армированные элементы, необходимо совершенствовать процедуры получения решения, так как существующие варианты методов решения задач механики деформируемого тела не позволяют эффективно решать такие задачи.
Развитие вычислительной техники и увеличение мощности ЭВМ обусловили широкое внедрение в расчетную практику численных методов. Наиболее эффективным применительно для задач расчета НДС оболочечных элементов различного рода конструкций встречающихся в инженерной практике следует признать метод конечных элементов.
МКЭ - один из основных методов решения задач строительной механики, механики деформируемого твердого тела, теплопроводности, гидромеханики и т.д. Для МКЭ характерны: широкий диапазон применимости, инвариантность по отношению к геометрии конструкции и механическим характеристикам материалов, простота учета взаимодействия с окружающей средой (механические и температурные нагрузки, граничные условия и т.д.), высокая степень приспособленности для автоматизации всех этапов расчета. Кроме того, метод обладает простой физической интерпретацией и очевидной математической связью с методами Ритца и Бубнова-Галеркина широко используемыми в механике деформируемого твердого тела.
Таким образом, целью диссертационной работы является построение уравнений метода конечных элементов для учета напряженно-деформированного состояния армированных пространственных оболочечных конструкций, в рамках подхода Н.М.Матченко, А.А. Трещева [69-73} для нелинейных определяющих уравнений механики деформируемых изотропных материалов, свойства которых зависят от вида напряженного состояния, а также решение ряда прикладных задач упругопластического деформирования железобетонных и графитовых цилиндрических оболочек, оболочек положительной гауссовой кривизны, опертых на фермы.
Для этой цели необходимо: проанализировать систему инвариантов напряжений, позволяющую получить уравнения состояния изотропных ди-латирующих материалов, деформирование которых зависит от вида напряженного состояния; на основе полученных в работах Матченко Н.М., Толо-конникова Л.А. и Трещева А.А. форм потенциала деформаций сформулировать уравнения состояния разносопротив-ляющихся дилатирующих материалов, проанализировать форму основных законов деформирования; из простейших экспериментов определить константы уравнений состояния для ряда конструкционных материалов; определить характерные матрицы плоского треугольного гибридного конечного элемента с компонентами, учитывающими вид напряженного состояния, в рамках подхода связанного с нормированными пространствами; сформулировать математическую модель многослойного конечного элемента для определения напряженно-деформированного состояния оболочечных конструкций, с учетом продольных усилий и поперечных сдвигов, имеющую возможность учета работы анизотропных материалов; разработать алгоритм пошагово-итерационного метода решения задачи определения напряженно-деформированного состояния конструкций с учетом физически нелинейной работы материала и реализовать его программную интерпретацию; используя разработанную математическую модель и программную реализацию алгоритма расчета решить ряд задач деформирования оболочек различного вида из материалов с усложненными свойствами:
1. Решить задачу о чистом кручении трубчатых элементов из железобетона с учетом трещинообразования, упругопластических свойств арматуры, разносопротив-ляемости; 2.Определить напряженно-деформированное состояние железобетонной оболочки двоякой гауссовой кривизны на квадратном основании, опертой на типовые фермы ФКБ-24, при точечном опираний по углам и под действием равномерно распределенной нагрузки с учетом усложненных свойств материала, трещинообразования и упругопластических свойств арматуры; 3.Рассчитать напряженно-деформированное состояние жестко защемленной вдоль образующих цилиндрической оболочки из разносопротивляющегося материала графита АРВ, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки. 4.Определить напряженно-деформированное состояние двух цилиндрических оболочек различных размеров в плане, жесткозащемленных вдоль образующих находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки; - сравнить результаты решения задач по деформированию железобетонных и графитовых элементов, где возможно, с аналогичными данными, полученными на основе наиболее апробированных и применяемых моделей, а также с известными экспериментами.
Новыми научными результатами, которые выносятся на защиту, являются: матрица жесткости плоского треугольного гибридного конечного элемента с компонентами, учитывающими вид напряженного состояния; математическая модель многослойного конечного элемента для определения НДС пространственных оболочечных конструкций, с учетом продольных усилий и поперечных сдвигов, имеющая возможность учета работы анизотропных материалов; вариант алгоритма пошагово-итерационного метода решения задачи определения НДС пространственных конструкций с учетом физической нелинейности работы материала и его программная реализация; результаты расчетов, демонстрирующие новые количественные эффекты НДС армированных оболочечных конструкций из разносопротивляющихся материалов с учетом трещинообра- зования, деформаций поперечного сдвига и пластических деформаций в арматуре.
Достоверность представленных в работе положений и выводов подтверждается получением теоретических результатов строгими математическими методами, хорошим соответствием полученных решений и моделей имеющимся экспериментальным данным, сравнением расчетных данных с классическими и с результатами исследований на основе наиболее апробированных теорий.
Полученные в работе результаты решения задач имеют важное практическое значение для построения моделей анализа напряженно-деформированного состояния однородных и неоднородных (железобетонных) элементов конструкций, выполненных из материалов, поведение которых не описывается классическими теориями. Данные модели могут быть использованы как для проектных, так и для проверочных расчетов конструкций.
Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы и приложений.
В первом разделе дается обзор экспериментальных исследований по упруго-пластическому деформированию изотропных разносопротивляющихся материалов различной структуры, проведен анализ основных направлений в моделировании нелинейных свойств материалов с усложненными свойствами, проявляющиеся в зависимости от напряженного состояния. Кроме того, приводится обзор метода конечных элементов (МКЭ) , применяемого при моделировании НДС пространственных оболочечных конструкций.
Во втором разделе рассматривается пространство нормированных напряжений, связанное с октаэдрическими площадками и с главными осями тензора. В рамках теории Н.М.Матченко, А.А.Трещева, рассмотрены подходы к построе- нию определяющих соотношений для материалов с усложненными свойствами, анализируются три типа потенциала деформаций. Приводятся определяющие соотношения структурно изотропных разносопротивляющихся материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, описывающие их упругопла-стическую работу при простом нагружении. Рассматриваются условия пропорциональной разгрузки. Начало пластических деформаций определялось известными условиями пластичности. В частности для чугуна принято условие Друккера - Прагера, для графита - обобщенный критерий пластичности, для бетона - условие П.П.Баландина. Рассмотрены принципы определения констант потенциалов деформаций. Рассмотрены законы изменения объема и формы, приведено сравнение определяющих соотношений с результатами экспериментальных исследований, которое показывает адекватность предложенных теоретических зависимостей реальным напряженно-деформированным состояниям ряда конструкционных материалов, что подтверждает их достоверность.
В третьем разделе в рамках общей теории оболочек на основе выбранных определяющих соотношений построена модель плоского треугольного конечного элемента произвольной формы с 5 степенями свободы в узле, учитывающая продольные усилия и деформации поперечного сдвига. Такой вариант можно использовать во многих случаях, благодаря чему можно добиться существенного упрощения модели при хорошей точности получаемых результатов. Элементы треугольной формы подходят больше, поскольку они лучше аппроксимируют кривую поверхность. Неизбежные ошибки аппроксимации геометрии конструкции легко устранимы путем уменьшения размера КЭ в дискретизации конструкции до необходимого и приемлемого уровня, причем это не приводит к существенному увеличению временных затрат при использовании современных базовых аппаратных конфигураций персональных ЭВМ.
В четвертом разделе строится математическая модель для определения НДС оболочечных конструкций с учетом разносопротивляемости бетона, трещинообразования, пластических деформаций в арматуре. Приводится алгоритм решения задачи. Приведены результаты расчета некоторых конструкций представляющих особый интерес для исследования, в частности рассмотрена задача об определении НДС железобетонной оболочки двоякой гауссовой кривизны на квадратном основании, опертой на типовые фермы ФКБ-24, при точечном опираний по углам и под действием равномерно распределенной нагрузки.
Заключение содержит основные результаты и общие выводы, сформулированные на основе проведенных исследований.
В приложениях приведены отдельные результаты решения задач и текст разработанного программного обеспечения.
Особенности моделей определяющих соотношений второй группы
Модели данной группы строятся так, чтобы учесть различие в жесткости материала не только от одноосного растяжения и одноосного сжатия, но и от других напряженных состояниях в самом широком диапазоне их изменения. Наиболее очевидным для разносопротивляющихся материалов является положение об изменении их механических характеристик в зависимости от фазы напряжений или де формаций. Такая зависимость естественным образом вытекает из общей связи двух соосных тензоров [81]. Впервые, по-видимому, влияние фазовых инвариантов на жесткость изотропных разносопротивляющихся материалов рассмотрено в работах Л.А. Толоконникова и Н.М. Матчен-ко [67, 68, 130, 131, 133]. Авторы этих работ исходили из существования потенциалов деформаций [67, 68] или напряжений [130, 131, 133] . Для линейно-упругих материалов потенциалы предлагались в виде квазиквадратичных форм по универсальным инвариантам напряжений или деформаций. Коэффициенты квадратичных форм представлялись линейными либо экспоненциальными функциями от COs3(p или cos3j5 , где р и Р - соответственно фазы напряжений и деформаций. Рассмотрен вариант соотношений, согласно которому постулируются гипотезы о независимости законов изменения объема и формы, а также функциональной связи фаз напряжений и деформаций.
Считалось, что изменение объема не зависит от вида напряженного состояния, откуда вытекает ограничение на механические характеристики: (\ + 2v )/Е = (\ + 2v+)/Е+ . Это предположение может быть принято только для несжимаемых материалов. Другой вариант соотношений учитывает влияние фазы деформаций на изменение формы и взаимосвязь объемных деформаций и деформаций формоизменения. При этом считается, что изменение объема пропорционально гидростатическому давлению лишь при отсутствии сдвигов. В результате полученные уравнения состояния приводят к противоречивому выводу об изменении формы при всестороннем равном сжатии или растяжении. Независимо от варианта соотношений константы потенциалов рекомендуется определять из опытов по осевому растяжению и сжатию. В рамках этих же гипотез был построен потенциал деформаций для физически нелинейных разносопротивляющихся материалов вида где At= В С оъЪф, / = 3,4; Л,, Л2, q - константы. Из (1.9) получены зависимости деформаций от напряжений Заметим, что модели, учитывающие зависимость механических свойств материала только от фазы напряжений, недостаточно точно аппроксимируют диаграммы деформирования при сложных напряженных состояниях. Это объясняется тем, что фазовый инвариант не позволяет различить качественную картину одноосного растяжения от двухосного сжатия и одноосного сжатия от двухосного растяжения и так далее. Объединение в одной модели подходов Г.С.Шапиро [154] и Толоконникова-Матченко позволили Ю.И.Цвелодубу [152] избавиться от ограничений на константы упругости, характерных для соотношений [68, 130, 133] . Принято, что изменение объема тела определяется средним напряжением и его знаком, т. е. модуль объемных деформаций имеет только два значения и не зависит от соотношения действующих нормальных напряжений. Удельная энергия формоиз менения представлялась в виде квадратичной формы произведения интенсивности напряжений на полином второй степени по фазовому инварианту. Для определения констант введенного потенциала деформаций, кроме опытов по одноосному растяжению и сжатию, требуется использовать экспериментальные данные по чистому сдвигу. Н.Г.Тамуров и Г.В.Туровцев предприняли попытку учесть влияние вида напряженного состояния на изменение объема разносопротивляющихся сред [105-108, 14 6]. Однако полученный ими потенциал деформаций практически сводится к виду [152] и не имеет самостоятельного значения.
В нелинейной постановке уравнения состояния постулируются по аналогии деформационной теории пластичности [147], которые для активных деформаций имеют вид: где g(z) = ClTn; С((р)- функция, определяемая комбинацией полиномов Чебышева; А, В- константы линейной упругости. Встречается ряд работ, в которых в качестве функции, определяющей влияние вида напряженного состояния, принимается отношение среднего напряжения = о7сг. [7, 13, 53, 54, 58, 59, 99] или отношение средних деформаций к интенсивности деформаций X = elei [12, 85, 86]. Такой выбор функции вида напряженного состояния может привести к математической неопределенности уравнений состояния, проявляющейся при гидростатическом сжатии или растяжении. Кроме того, отдельные модели, в которых используются параметры Е, , Л, [12, 59, 57], накладывают достаточно жесткие ограничения на константы материалов.
Построение подобных моделей разносопротивляющихся сред базируется, в основном, на единых принципах. Для физически нелинейных материалов потенциал деформаций представляется как сумма квазилинейной (или линейной) и нелинейной частей, каждая из которых является функцией параметра f. Эти принципы положены в основу определяющих соотношений предложенных Е.В.Ломакиным, Ю.Н.Работновым [53-59] , строящихся на основе потенциала деформаций, представленного в виде где функции (), ( f) и функция упрочнения g(cr) определяются обработкой экспериментальных диаграмм деформирования (в простейшем случае принята степенная зависимость g(cr) = Ccrn), причем у материалов, имеющих небольшую протяженность участков упрочнения при некоторых видах напряженного состояния, не возможно достаточно точно провести аппроксимацию. Поэтому данные соотношения совершенно не пригодны для описания поведения бетонов, сопротивление которых при сжатии в 10 - 20 раз выше, чем при растяжении. Модель определяющих соотношений, предложенная Д.А.Гавриловым [12, 13], базируется на тех же принципах. Различие заключается в выборе функций, аппроксимирующих экспериментальные зависимости свойств материалов от параметра %, а также в способе определения этих функций. Если Е.В.Ломакин для этой цели рекомендует иметь широкий набор экспериментальных кривых «гДе,) при различных видах напряженного состояния, то Д.А.Гаврилов
Варианты потенциальных соотношений между деформациями и напряжениями
В работах [3, 42, 69, 70, 134, 136] в разных вариантах предложено проводить построение определяющих потенциальных соотношений для нелинейных разносопротивляю-щихся материалов в двух нормированных пространствах напряжений. При этом рекомендовано представлять потенциал деформаций по типу уравнений теории малых упругопласти-ческих деформаций в виде суммы квазилинейной и нелинейной частей: где We— квазилинейная часть потенциала; W - нелинейная часть потенциала. Изначально, используя характеристики нормированного пространства №1 для описания упругопластического деформирования материалов, чувствительных к виду напряженного состояния, формы квазилинейной We и нелинейной Wp частей представлялись одинаково, а нелинейность материала учитывалась показателем степени п : п - не обязательно целое число. Для определения функций Фе, Ф применяются полиномиальные разложения по степеням качественных характери стик напряженного состояния до третьей степени включительно. Кроме того, в разложении рекомендуется пренебречь одновременным влиянием на механические характеристики трех нормированных напряжений (аха2а3) , что обосновано рядом исследований [3, 42, 69, 70, 134, 136] . В результате приходим к потенциалу деформаций вида где А{, Вх, С,, Dx - константы квазилинейной части; А2, В2, С2, D2 - константы нелинейной части. В нормированном пространстве №2 составляющие потенциала (2.12) следует представить следующим образом: Тогда, переходя во второе нормированное пространство и используя уравнения связи между рассмотренными пространствами (2.10)-(2.11), потенциал деформаций (2.14) можно преобразовать к форме
Очевидно, что форма потенциала деформаций (2.16), представленная через параметры второго пространства имеет ряд несомненных преимуществ по сравнению с формой (2.14), записанной в функциях первого пространства. В общем случае зависимости между деформациями и напряжениями для разносопротивляющихся материалов, описываемых потенциалом Wx (2.16) можно получить, применив к нему формулы Кастильяно: Тогда, продифференцировав потенциал (2.16), согласно (2 .17), получим где Ty=Ty+Tif - нелинейная составляющая уравнений состояния, в которой слагаемое Т отражает чувствительность механических характеристик материала к виду напряженного состояния на линейных участках деформирования, а слагаемое Тур отражает как свойство разносопро тивляемости материала, так и криволинейный характер диаграммы деформирования: Очевидно, что полученные уравнения состояния (2.18) имеют тензорно-нелинейный вид. Формы представления этих уравнений может быть различной в зависимости от выбранного метода решения прикладной физически нелинейной задачи. Очевидно, что наличие тензорно-нелинейных зависимостей между деформациями и напряжениями (2.18) существенно усложняет дальнейшее применение этих выражений при получении аналитических решений краевых задач.
В связи с этим, в работах [42, 135] предприняты попытки упростить полученный потенциал деформаций (2.16). При этом исследованы две частные формы общего потенциала деформаций (2.16). При построении первой формы упрощенного потенциала принималось во внимание тот факт, что фаза подобия де-виаторов напряжений и деформаций для широкого класса разносопротивляющихся материалов близка к нулю [42] : 00 « 1. В частности, на рис. 2.3 представлены зависимости tgco от cos3# для графита АРВ (кривая 1) и ВПП (кривая 2) .
Построение математической модели гибридного конечного элемента
Сложные механические явления, наблюдающиеся при изгибе оболочек из материалов с усложненными свойствами, представляют собой серьезный барьер для применения традиционного метода конечных разностей и накладывают определенные ограничения на возможности использования метода граничных элементов. Кроме того, подробные математические иссле дования показали, что при не гладких входных данных наиболее удобен и обладает достаточно, быстрой сходимостью метод конечных элементов [82,157,155]. Условимся представлять исследуемую оболочку в виде сети плоских конечных элементов с разбивкой по толщине на ряд однородных фиктивных слоев внутри реальных армированных и неармированных зон. Параметры жесткости будем определять в центре каждого фиктивного слоя конечного элемента, и распространять их на весь объем этого слоя. Очевидно, что по мере сгущения сетки конечных элементов и увеличения числа фиктивных слоев приближенное конечно-элементное решение будет асимптотически приближаться к точному, сводя на нет все геометрические погрешности аппроксимации. Анализ задачи изгиба оболочек из материалов с усложненными механическими свойствами показывает, что для них характерно более сильное влияние деформаций поперечного сдвига, чем для аналогичных однородных изотропных плит и оболочек [18]. Кроме того, физическая нелинейность материала, приводит к появлению ярко выраженных деформаций в срединной плоскости [18]. Рассмотрим упругое равновесие малого плоского элемента оболочки толщиной h, находящейся под действием поперечной нагрузки интенсивностью q .
Ориентируем этот участок в локальной декартовой системе координат так, чтобы ось хъ была направлена вертикально вверх. Перемещения любой точки участка поверхности оболочки представим следующим образом: При получении зависимостей между напряжениями и деформациями будем считать, что нормальные напряжения сг33 достаточно малы и ими можно пренебречь. Тогда имеем Переходя от напряжений (3.87) к их интегральным характеристикам с учетом расширения количества силовых параметров за счет усилий Заметим, что интегральные жесткостные характеристики Ckm, Kkm, Dkm не могут быть получены непосредственно, так как параметры Вкт не являются наперед заданными функциями от х3 г и зависят от напряженного состояния. Однако интегралы можно вычислять приближенно, разбив малый плоский элемент оболочки по толщине на ряд фиктивных слоев. В целях упрощения фиктивные слои можно принять одинаковыми по толщине. зобетонных оболочек была предпринята попытка использовать треугольные изопараметрические элементы типа [98] . Как показали численные эксперименты на примере однородных по толщине пластин и оболочек из упругого изотропного линейного материала при уменьшении их толщины использование изопараметрических элементов, учитывающих деформации поперечного сдвига, приводит к прогрессирующему возрастанию изгибной жесткости (явление «паразитных жесткостей») по сравнению с данными классической теории изгиба тонких пластин и оболочек [18]. В железобетонных плитах и оболочках уменьшение толщины непременно происходит по мере углубления трещин, что усугубляет погрешности расчета. Весьма экономичными и свободными от «паразитных жесткостей» элементами представляются гибридные конечные элементы [17 6] . В работе [160] R.D. Cook получены две модификации гибридных конечных элементов с тремя степенями свободы в узле. Различие между двумя модификациями заключалось в степени точности.
Прямое применение конечных элементов R.D. Cook [160] к расчету железобетонных оболочек невозможно, так как они не учитывают продольные усилия и перемещения срединной плоскости. Кроме того, эти элементы не позволяют определить вектор обобщенных сил {М} в центре треугольного элемента непосредственно и достаточно точно. Поэтому была разработана более рациональная модификация гибридных конечных элементов с пятью степенями свободы в узле и матрицей жесткости, полученной непосредственно для произвольного плоского треугольного элемента.
Алгоритм решения задачи об определении НДС железо-бетонных оболочек различной геометрической конфигурации
Общий алгоритм решения задачи об определении НДС железобетонных оболочек различной геометрической конфигурации условно расчленим на следующие подалгоритмы: 1. Формирование задания на расчет оболочечной конструкции . 2.Формирование матрицы связи узлов конечных элементов. 3. Формирование граничных условий. 4. Задания нагружения оболочки. 5. Формирование матриц жесткости конечных элементов. 6. Расчет вектора узловых перемещений. Такое расчленение алгоритма решения задачи позволяет повысить помехозащищенность вычислительного процесса и дает возможность искусственно прервать ход решения, оценить динамику сходимости, корректировать дальнейшие вычислительные процессы, начиная их с прерванной операции. Решение задачи предполагалось методом пошаговых нагруже-ний в сочетании с методом «переменных параметров упругости» - вариантом метода последовательных приближений [15, 20] . Формирование задания на расчет оболочки представляет собой процесс определения следующих исходных данных: задание геометрических параметров оболочки; определение толщины неармированной и армированной частей оболочки; вычисление количества фиктивных слоев в армированной части; определение констант потенциала деформаций Wx , характеризующее напряженно-деформированное состояние бетона; задания модуля упругости и предела текучести материала арматуры армированных элементов; определение коэффициентов армирования в направлении осей хрх2; задание величины допустимой погрешности для расчетных значений прогибов в качестве критерия сходимости решения.
Формирование матрицы связи узлов конечных элементов реализует следующие функции: а) производит автоматизированное разбитие конструкции на треугольные конечные элементы, создавая ансамбль конечных элементов; б) выполняет нумерацию конечных элементов; в) определяет связь номеров узлов в ансамбле элементов с нумерацией узлов, принятой внутри конечного элемента и формирует матрицу связи узлов. Формирование граничных условий представляет собой присвоение нулевых значений заданному подмножеству вектора узловых перемещений \q\ ансамбля элементов. Это подмножество перемещений генерируется в ответ на указание последовательности узлов ансамбля (если узлы последовательности лежат на одной прямой, достаточно задать только номера его первого и последнего узлов) и номеров перемещений согласно принятой их нумерации внутри узла. Операция задания нагрузки формирует вектор узловых сил для заданной области ансамбля, которая, в частности, может быть сведена к одному узлу (сосредоточенная сила в точке). При начальном формировании матриц жесткости конечных элементов рассматриваются всего два типа фиктивных слоев: бетонные слои без трещин и железобетонные слои без трещин. Для этих слоев матрицы упругости рассчитываются по формулам (4.3) и (4.6). При этом коэффициенты начальной матрицы податливостеи бетона вычисляются по правилам (4.2) для случая нулевых компонент тензора напряжений. Расчет матрицы жесткости конечного элемента представляет собой последовательность следующих операций: расчет матрицы [D] интегральных жесткостных характеристик по формулам (3.8 9); расчет матрицы []=[D] ; расчет матрицы [Я] по формулам (3.97); расчет матрицы [Н] [Т] ; непосредственное вычисление элементов матрицы жесткости конечного элемента [К] по формулам (3.101). Если формирование матриц жесткости не является начальным, то вычислительный процесс усложняется. В этом случае необходимо хранить в памяти векторы узловых перемещений \q\ для каждого конечного элемента и матрицы упругости их фиктивных слоев [В]. {г = \,2,...пс, где пс - количество фиктивных слоев), рассчитанные на предыдущей итерации. Тогда расчет вектора обобщенных сил [М] для центра конечного элемента ведется в следующем порядке: расчет матрицы [//] [Г]; определение вектора коэффициентов {/?} по формулам (3.102); вычисление компонент вектора {М} при х, =0 и х2=0, т.е. в центре конечного элемента;
Вектор обобщенных деформаций для центра элемента рассчитывается непосредственно из решения уравнения (3.103), после чего определяются компоненты тензоров деформаций и напряжений для каждого фиктивного слоя с использованием выражений (3.85) и (3.87). Дополнительно для армированных слоев вычисляются напряжения в бетоне и в арматуре в соответствии с принятыми техническими гипотезами. Фиктивные слои без трещин анализируются на появление трещин, а слои с трещинами - на появление вторичных трещин пересекающих первые. В результате анализа устанавливается класс фиктивного слоя конечного элемента, в соответствии с которым корректируется матрица упругости. По
Похожие диссертации на Напряженно-деформированное состояние оболочечных конструкций, выполненных из материалов с усложненными механическими свойствами
