Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Изотермические методики 12
1.1 Обобщение формулы Бэкофена-Филдса на случай кручения толстостенного образца 14
1.2 Восстановление свойств материала по измерениям, связанными с напряжениями интегральным соотношением 18
1.3 Модельный пример идентификации линейно-упрочняющейся диаграммы 26
Глава 2. Идентификация термовязкопластических свойств материала с учетом температурных изменений в образце 33
2.1 Восстановление диаграммы материала по средней температуре 37
2.2 Локально-адиабатическое предположение. Расшифровка "быстрых" экспериментов 42
2.3 Модельный пример восстановления диаграммы сдвига при кручении в рамках локально-адиабатического предположения 49
2.4 Идентификация специальной линейной по температуре модели материала при теплопроводности 59
2.5 Численный метод восстановления свойств термовязкопластического материала с учетом распространения тепла 62
2.6 Расчет диаграмм сдвига алюминиевого сплава АА2024 70
Заключение 75
Приложение 76
Литература...
- Восстановление свойств материала по измерениям, связанными с напряжениями интегральным соотношением
- Модельный пример идентификации линейно-упрочняющейся диаграммы
- Локально-адиабатическое предположение. Расшифровка "быстрых" экспериментов
- Идентификация специальной линейной по температуре модели материала при теплопроводности
Введение к работе
Нахождение механических свойств материала является актуальной задачей, возникающей при расчетах технологической обработки материалов, проектировании, диагностики индивидуального остаточного ресурса элементов конструкций.
Как на этапе разработки, так и в процессе эксплуатации зачастую необходимо иметь полную картину возможного поведения материала, на основе которой может выбираться оптимальный режим работы конструкций из исследуемого материала, оцениваться ее устойчивость по отношению к внешним воздействиям, например, температурным перепадам.
Для обнаружения мест возможных неполадок, вычисления прочностных характеристик, таких как долговечность и срок службы, надежность и уровень безопасности участков системы, также необходима разработка комплекса экспериментов, позволяющего получить информацию о внутренних механических свойствах материала.
С точки зрения теории пластичности задача об определении механических свойств материалов решается посредством построения определяющих соотношений, соответствующих реальному поведению материала.
Вопрос о выборе определяющих соотношений, наиболее достоверно отражающих свойства материала, возник на заре развития теории пластичности. Еще в первой половине XIX века выходят работы Коши, Пуассона, А. Сен-Венана, А. Треска, М. Леви, закладывающие ее основы. В 60-х годах Треска проводит серию экспериментальных работ, сыгравших большую роль для построения первых уравнений, удовлетворительно описывающих пластическое поведение металлов. В 70-х годах XIX века, определяющие соотношения и основные уравнения были написаны сначала Сен-Венаном для случая плоской деформации, а затем Леви для трехмерного случая. В 1910-1915 годах выходят работы, строго формулирующие условия пластичности: Треска-Сен-Венана, Р. Мизеса. Построенная теория течения будет названа в последствии теорией жестко-идеально-пластического тела. Для плоской деформации в рамках этой теории Г.Генки определил свойства характеристических линий - "линий скольжения", использованные Л. Прандтлем для решения конкретных задач, а также написал определяющие соотношения в виде связи тензоров напряжений и деформаций. В 20-х годах XX века эта связь выделением упругой области была уточнена Прандтлем для условия Сен-Венана и Э. Рейссом для условия Мизеса, что привело к созданию теории упруго-идеально-пластического течения. Построенные определяющие соотношения были подвергнуты широкой экспериментальной проверке А. Эйхингером, М. Рошем, В. Лоде, Дж. Тейлором, X. Квинни, Р. Шмидтом, Э. Шмидом на тонкостенных трубчатых образцах.
В последствии новые виды поверхности текучести были предложены Тейлором, В. Прагером, Г. Хандельманом, В.Т. Койтером, Д.Д. Ивлевым, В.В. Новожиловым, Н.К. Снитко и др. [24, 26,29,31].
В силу многообразия различных материалов в природе, некоторые из которых обладают уникальными свойствами, описать эти свойства одной системой определяющих соотношений без каких-либо предположений или ограничений - архисложная задача. Кроме того, характер процесса нагружения тоже оказывает значительное влияние на поведение материала.
Чтобы определить наиболее широкие классы материалов были выделены основные свойства: однородности, склерономности, не старения, изотропности и различного специального вида анизотропии, не сжимаемости, идеальности и др. [9, 10, 27]. В зависимости от принятых предположений о материале и процессе нагружения были построены различные виды определяющих соотношений [7,25,31].
Помимо проверенной годами теории течения в середине XX века стали активно развиваться и другие теории пластичности. В работах В.Т, Койтлера установлена связь со структурными теориями, отталкивающимися от поведения материала на уровне кристаллической решетки.
А.А. Ильюшиным был предложен новый подход к построению теории пластичности [8, 11], создана теория малых упругопластических деформаций. В его работах проведена систематизация определяющих соотношений, указаны границы применимости различных видов связи между тензорами напряжений и деформаций. Введенная Ильюшиным гипотеза макрофизической определимости (механический процесс в любой точке тела может быть независимо от механического процесса в других точках тела, физически воспроизведен, как однородный механический процесс в некотором однородном теле), экспериментально проверенная B.C. Ленским, является математической основой возможности определять свойства материала в сложном теле, проводя эксперименты, например, на цилиндрических образцах из этого материала. На основе нее Ильюшиным был сформулирован постулат макроскопической определимости [8-11], который при рассмотрении общего функционального вида определяющих соотношений:
упрощенного с помощью принципов детерминированности и причинности: a{x2,t) = F{[(xhT\%lt) = Q, хьх2еПтела, t eR,r
позволил рассматривать свойства материала в точке:
&{xj) = Fi[s(xyT\x\t) = 0> хєПтела, teR,r
(Здесь х~ другие параметры как температура, доза облучения и т.п.)
Частные случаи функционалов пластичности возникают в термовязкопластичности, ползучести и др. известных теориях.
Для решения задачи нахождения функционала пластичности разработаны различные методики, важную часть которых составляют методики проведения экспериментов на тонкостенных цилиндрических образцах. В этих экспериментах к образцу раздельно или совместно прикладывают крутящий момент, внутреннее или внешнее давление, осевую силу. Благодаря малой толщине в образце возникает однородное напряженно-деформированное состояние (НДС), которое делает связь между напряжениями в образце и измерениями пропорциональной. Такие эксперименты приведены в работах Ильюшина А.А., Коровина И.М., Ленского B.C., Зубчанинова В.Г., Ohashi Y., Tanaka Е. и других авторов [48-50]. Методики определения функционалов пластичности из экспериментов на тонкостенных цилиндрических образцах рассмотрены в работах Ильюшина А.А., Васина Р.А., Дегтярева В Л. и др. [5].
Основным недостатком тонкостенного образца является быстрая потеря устойчивости. Его лишены более простые в изготовлении сплошные и толстостенные образцы, позволяющие достигать больших деформаций (например, больший угол закручивания в эксперименте на кручение). Но, возникающее в ходе эксперимента неоднородное НДС существенно усложняет определение свойств материала образца. Использование толстостенного образца, в сравнении со сплошным, позволяет увеличить размерность возможных реализуемых в эксперименте траекторий деформаций за счет подачи внутреннего давления, ликвидировать технологическую не качественность материала в центре образца, уменьшить неоднородность. Кроме того, дополнение установки на растяжение насосом для подачи внутреннего давления - не слишком сложная доработка экспериментальной установки и вполне реализуемая в лабораторных условиях, в отличии, например, от попытки сделать из этой установки машину на совместное растяжение с кручением.
В работах Максака В.И., Дощинского Г.А., Васина Р.А., Ильюшина А.А., Моссаковского П.А. создана методика "условной тонкой трубки1' [6, 15, 16], позволяющая определять функционал пластичности в экспериментах на парах толстостенных образцов (условная разность НДС в двух "близких" по радиусам толстостенных образцах представляет НДС в воображаемой тонкой трубке). Недостатки: удвоенное число экспериментов, возможный технологический разброс свойств в образцах, составляющих "условную тонкую трубку".
Другим подходом к проблеме неоднородности является построение функционалов пластичности, взятых в виде функции нескольких переменных, из серии экспериментов на образцах одинаковой геометрии. Наиболее общий случай рассматриваемой в диссертации материальной функции представляет функцию трех аргументов: деформации, ее скорости, температуры.
В настоящей работе остановимся на построении свойств термовязкопластических материалов из экспериментов при неоднородном
НДС, возникающем в сплошных и толстостенных цилиндрических образцах круглого поперечного сечения.
К другим схожим экспериментам по определению свойств материалов можно отнести изгиб балок, где помимо неоднородности, при решении температурной задачи возникает проблема изменения области, занимаемой материалом.
Данная работа направлена на развитие теории экспериментов на кручение, растяжение, внутреннее давление, в которых реализуются простые процессы с заданной кинематикой. Разработанные подходы могут быть также применимы к совместным экспериментам с траекториями деформаций в виде двухзвенных или трехзвенных ломаных [5, 13, 49-51].
В этих экспериментах за счет стандартных предположений, таких как гипотеза плоских сечений, не сжимаемость в экспериментах с внутренним давлением, большая в сравнении с диаметром длина, в рабочей части образца реализуется плоское деформированное состояние [8, 12,24,31].
Нахождению свойств материала с учетом нелинейного изменения объема и влияния изменения объема при сдвиге (дилатансии) посвящены работы К.А. Агахи, С.А. Шестерикова, В.Н. Кузнецова, В.К. Ковалькова и др., например [1].
При выбранных предположениях и заданной кинематике система уравнений равновесия и соотношения Коши существенно упрощаются (подробнее в части 1.1).
Граничные условия, выполняющиеся интегрально, дают в рассматриваемых задачах интегральные уравнения схожего вида относительно неизвестных свойств материала — зависимости напряжений от деформаций, а также скоростной деформации и температуры, в случае если материал имеет скоростную или температурную чувствительность.
Первые работы по идентификации свойств упру го пластического материала в форме зависимости напряжений от деформаций в виде функции одного аргумента, использующие образцы с неоднородным НДС при кручении сплошного цилиндрического образца кругового поперечного сечения принадлежат П. Людвигу в 1925 г. [58].
Им была получена дифференциальная форма связи материальной зависимости касательных (сдвиговых) напряжений т от удвоенных касательных деформаций (сдвига) у с экспериментальной зависимостью
измеряемого момента М от крутки СО (угла закручивания на единицу длины).
т(у) = {зМ + со
до) )
у , R - радиус образца.
Эта формула позволяет строить диаграммы сдвига данного упруго пластического материала.
Развитием методики Людвига для вязкопластичности (зависимость напряжений от деформаций и их скоростей в виде функции двух
аргументов) является методика Бэкофена-Филдса. Проведя серию экспериментов по кручению сплошных цилиндрических образцов кругового сечения радиуса R с разными скоростями крутки бЬ (постоянными для каждого конкретного эксперимента) и взяв из этих экспериментов зависимость крутящего момента от крутки и скорости крутки М\й),б)), по формуле Бэкофена-Филдса [4, 34] находим зависимость сдвигового напряжения от сдвиговой деформации и скорости сдвиговой деформации на поверхности образца:
(г.г)=
ЗМ + О) + а> .,
I d
R R
которая и будет являться материальной функцией, описывающей сдвиговые свойства данного вязкопластического материала.
Методику Бэкофена-Филдса будем считать отправной точкой настоящей работы. Экспериментаторы активно используют ее в своих прикладных задачах [35, 37, 38, 42, 44, 46, 47], хотя многие из них по-прежнему предпочитают упрощенные формулы: пропорциональную, возникающую из предположения о постоянстве напряжений по поперечному сечению образца [3] или из степенной модели зависимости
напряжений от деформаций и их скоростей (7 — Ає є .
В настоящей работе за счет изучения более общего соотношения связи измеряемой величины с искомыми материальными функциями удается выработать новый единый подход к определению свойств термовязко пластического материала.
Первая глава посвящена изотермической задаче и, по аналогии с методикой Бэкофена-Филдса для кручения сплошного образца, рассматривает эксперименты на толстостенном образце с конкретизацией для кручения и внутреннего давления.
Это приводит к уравнениям с отклоняющимися аргументами относительно функции неизвестных свойств материала, которые при использовании сплошного образца не возникают:
т(у,у)-а т(аууау) = Ч'(у,у)
Теорию уравнений с отклоняющимися аргументами, а также схожими с ними дифференциально-разностными уравнениями можно найти в книгах Р. Беллмана, К. Кука, Норкина, Эльсгольца, Мышкиса А.Д. и других авторов [2,22,23, 33].
Наиболее обширная ее часть получена в области дифференциально-разностных уравнений 1-го порядка вида:
u'(t) + au(t-h) = f{t\ t>0, u{t) = g{t), /є [-Л,0]
u'(t) = a(t)u{b(t)\ b(t)>0.
Принципиальная возможность построения материальных функций для толстостенного образца показана в работе А.В.Муравлева [18] с помощью разложения исходного интегрального соотношения в ряд Тейлора по параметрам, определяющим внутреннюю геометрию траектории деформации, в рамках теории упругоготастических процессов.
В настоящей диссертации указано решение уравнения с отклоняющимися аргументами в виде ряда по степеням параметра толстостенности образца (отношения внутреннего радиуса к внешнему, изменяющегося от 0 до 1). Исследована сходимость этого ряда. Показано, что ряд является быстросходящимся и при значении параметра толстостенности равным 0.5 для достижения хорошей точности достаточно взять 2-4 члена ряда. При наличии у диаграммы деформирования материала упругого линейного участка остаток ряда является остатком геометрической прогрессии и оценивается точно.
Восстановление свойств материала по измерениям, связанными с напряжениями интегральным соотношением
Соотношения аналогичные (1.1.2) для кручения возникают также в экспериментах с внутренним давлением, а также в совместных экспериментах кручения с растяжением, внутренним давлением и т.п.. Поэтому интерес представляет построение общей методики определения свойств материала для различных экспериментов на толстостенных цилиндрических образцах. Для этого рассмотрим более общее соотношение по отношению к соотношению (1.1.2) связи измеряемой величины и подынтегральных искомых свойств.
Кроме того, предложенная в параграфе (1.1) методика, основанная, в своем начале, на стандартном доказательстве формулы Бэкофена-Филдса требует чрезмерно жесткие условия на входящие в соотношение (1.1.2) функции. Так, например, дифференцирование соотношения (1.1.2) приводит к требованию дифференцируемости свойств материала. Это влечет за собой неприменимость к идентификации идеально-пластической диаграммы или же диаграмм с "зубом текучести". В тоже время, как будет показано в параграфе (1.3) на примере диаграммы в форме двухзвенной ломанной, формальное применение методики приводит к правильному результату.
В связи с указанными обстоятельствами, далее будет рассмотрена некоторая математическая модель эксперимента, со слабыми ограничениями на измерения и искомые механические свойства материала. Итак, пусть проводится n-параметрическая серия экспериментов по параметрам й)[9...уй)п, в ходе которых получают измерения Х(й5), где ёд-вектор параметров. Зависимость внутреннего напряжения X от параметров деформации у = cor берется в виде функции. Необходимо определить эту зависимость по полученным экспериментальным данным Х( у), если они связаны соотношением.
Прежде чем переходить к построению самой методики хочется отметить некоторые практически важные частные случаи экспериментов, в которых возникают соотношения вида (1.2.1). Эксперименты на кручение сплошного цилиндрического образца; (У- крутка, М(ш) - функция момента в зависимости от крутки, R- радиус образца, г - касательное напряжение, возникающее в образце в зависимости от сдвига у. Одноосное нагружение толстостенного образца осевой силой Р до значения продольной деформации во всех точках = 6» а» за тем кручение моментом М при постоянной деформации Q при различных (постоянных в каждом эксперименте) скоростях крутки СО.
Следует отметить, что рассмотрение п- мерного векторного соотношения сделано для получения более широкого математического утверждения и возможности применения более кратких векторных обозначений. Для реальных экспериментов автору не удалось найти пример с п больших 2, так как рассмотрение зависимости от вторых производных по у, например, означает появление ускорений, что недопустимо в квазистатической задаче. Утверждение IV. Если оператор D j применим к функции измерений Х(й)) в параллелепипеде / и непрерывен (например, Х(й5) -непрерывно-дифференцируемая на / функция), а также ряд (1.2.5) с К в виде (1.2.4) сходится (например, выполнено одно из достаточных условий а)-в) утверждения III), тогда существует и единственно непрерывное г, определенное на 1у, подчиняющееся соотношению (1.2.1) с заданной функцией Х(й ). Это Т определяется выражением (1.2.6).
Здесь первый член имеет вид формулы Бэкофена-Филдса для сплошного образца радиуса Ь, а остальные члены можно рассматривать как поправку на толсто стенность. Разумеется, выражение для свойств материала (1.2.12) в точности соответствует выражению (1Л Л 0).
В случае экспериментов с внутренним давлением на толстостенных цилиндрических образцах из вязкопластического материала (параметры: с и его скорость с, n = 2, 5 = 0) внутреннего радиуса R\ и внешнего R2 с дифференцируемой зависимостью внутреннего давления р\с,с), имеем аналогично соотношению (1.2. 1.3).
Таким образом, выражение (1.2.6) позволяет разрешить функциональное уравнение (1.2.1) относительно неизвестных механических свойств материала т(у) по заданным измерениям X(ft ). В случае эксперимента на кручение толстостенного образца, оно приводит к нахождению диаграммы сдвига по формулам (1.2.12); в случае внутреннего давления, дает формулу (1.2.15) для нахождения о" — диаграммы.
Модельный пример идентификации линейно-упрочняющейся диаграммы
Решим сначала прямую задачу о нахождения момента по известной зависимости О" = (у) в эксперименте на кручение толстостенного образца для линейно-упрочняющегося пластического материала. Будем считать, что эксперимент проводится медленно, скорость крутки и температура постоянны по всему образцу и являются неизменяемыми параметрами эксперимента. Затем, "забыв" про исходную диаграмму, применим рассмотренную в 1.1 ив 1.2 процедуру ее восстановления по моменту, полученному как решение прямой задачи.
В силу утверждения I из (1.2) он должен быть применим к функции момента, так как момент получен из непрерывной диаграммы, т.е. момент должен быть дифференцируемой функцией О). Убедимся в этом, сначала формально продифференцировав каждую часть выражения (1.3.3),а затем, проверив условия равенства левых и правых производных в точках слияния: dM(a) do). Графики момента и его производной представлены на рисунках 2 и 3 соответственно. Видно, что момент - непрерывно-дифференцируемая положительно определенная функция для всех ненулевых значений (О. Таким образом, по моменту вида (1.3.3), применяя изложенный в 1.2 механизм восстановления механических свойств вязко-упруго-пластического материала, получена, ему соответствующая, двухзвенная диаграмма сдвига (1.3.1) линейно-упрочняющегося материала. Глава 2. Идентификация термовязкопластических свойств материала с учетом температурных изменений в образце.
Постараемся описать полную картину, происходящую в образце в ходе каждого (из серии по скоростям и начальной температуре) эксперимента. Толстостенный цилиндрический образец внутреннего радиуса R\ и внешнего .#2 0R\ R2 помещается в печку, заполненную средой (воздухом) при температуре TQ. В этой печке его прогревают длительное время, чтобы в каждой его точке установилась окружающая температура. Далее, его нагружают с постоянной скоростью параметра нагружения (Ь. В каждый момент времени t величина этого параметра составит 0) tu) и в каждой точке образца за счет работы напряжения г выделяется тепло. Это тепло распространяется внутри образца, а также выделяется с его поверхности, взаимодействуя с окружающей средой. В зависимости от набора б) = [й),6)) и начальной температуры TQ производят измерения Х\й) Т)= X\t,d),T). Будем считать, что задача осе симметричная, г однозначно определяет интенсивность напряжений, 7 взаимно однозначная гладкая функция радиуса /% переводящая отрезок [ 1,-] в [a,b\, 0 а Ь, выбранная так, что у = сот определяет интенсивность деформаций, а измерения связанны с напряжениями интегральным соотношением из (1.2).
Оно выполнено как в опытах на кручение, так, в силу формул (2.1.2), и в опытах с нагружением внутренним давлением. Из сказанного выше ясно, что г, хотя и должно представлять собой материальную функцию, но выбор ее находится в руках экспериментатора и не вполне однозначен. Важно, чтобы по ней можно было восстановить зависимость интенсивности напряжений от интенсивности деформаций, ее скорости, температуры. Так в случае кручения в качестве т естественно взять касательные напряжения, а в случае внутреннего давления саму интенсивность напряжений. Соотношение (2.1.9) накладывает ограничение на такой выбор. Впрочем, может быть рассмотрено и более общее выражение для свертки (2,1.9).
Запись всей работы в уравнение теплопроводности, соответствующая, строго говоря, вязкой жидкости, может быть подправлена для термовязкопластических материалов, умножением на известный экспериментаторам коэффициент, составляющий для металлов типа алюминия около 0.85. Этот коэффициент разделяет всю работу на обратимую и необратимую часть и его введение, позволит произвести простейший учет диссипации. При необходимости такой учет может быть произведен добавлением этого коэффициента в получаемые далее соотношения.
Эта система уравнений является математическим представлением задачи о пагружении толстостенного цилиндрического образца с учетом распространения тепла. Дальнейшее рассмотрение будет направлено на получение решения данной системы. Для "медленных" и "быстрых" экспериментов в правой части уравнения теплопроводности один член может быть пренебрежен по сравнению с другим. Среди "медленных" экспериментов могут быть выделены такие, в которых температура успевает выровняться по образцу, но не с температурой окружающей среды. Кроме того, задание конкретной модели материала может тоже упростить уравнение теплопроводности.
Локально-адиабатическое предположение. Расшифровка "быстрых" экспериментов
Наряду с изотермическими экспериментами, рассмотренными в первой главе, включающими в себя как "медленные" эксперименты (температура в образце успевает выровняться с температурой окружающей среды), так и эксперименты над материалами с малой температурной чувствительностью, важный класс составляют "быстрые" эксперименты.
Рассмотрим их более подробно. Проведем серию экспериментов с различными начальными температурами и скоростями. В них температура резко изменяется в ходе эксперимента, меняя при этом свойства материала, но можно сделать следующее упрощающее предположение: температура Т данной точки является функционалом предшествующей истории деформирования в данной точке тела, который может быть представлен в виде функции Зх аргументов Т = Т\у у То).
Тогда диаграммы соответствующие материальной функции т — т{у,у,Т), описывающие свойства данного термовязкопластического материала, могут быть построены, как параметрические графики по параметру TQ.
Здесь, по измерениям температуры на границе определяется распределение температур в образце, а напряжения, полученные по формуле (2.2.6) относятся не к начальной температуре, а к этому распределению. Сделаем локально-адиабатическое предположение: в каждый момент времени в элементарной частице внутренняя необратимая работа формоизменения переходит в тепло, которое не успевает рассеяться и полностью идет на повышение температуры в данной частице. На основе этого предположения упростим задачу (2.1.11) о нахождении свойств т по измерениям X и получим распределение температур без использования измерений температуры на границе образца. Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности и формула (2.1.9) дают. Формулы (2.2.14)-(2.1.19) представляют собой конечные соотношения для нахождения термовязкопластических свойств материала в рамках сделанных предположений. Выражение для температуры в них взято с учетом постоянной теплоемкости с. Если теплоемкость не постоянна, и проводятся два соседних в серии по начальным температурами TQ\ И 7Q2 эксперимента, так, что в первом эксперименте.
Так как теплоемкость растет с ростом температуры, то величины дробей в правой части выражений (2.2.26) и (2.2.27) не отрицательны. Это гарантирует положительность дискриминантов уравнений (2.2.24) и (2.2.25). Эти формулы могут использоваться при обсчете экспериментальных данных с учетом зависимости теплоемкости от температуры. Они представляют собой аналог формулы (2.2.13) для теплоемкости, заданной своими значениями в зависимости от начальных температур экспериментов, участвующих в серии и линейной аппроксимацией между ними.
Действовать будем также, как и в п. 1.2. Зададим диаграмму сдвига в виде (Уф = т(у,у,Т). Из уравнения теплопроводности, записанного для локально-адиабатического случая в виде (2.2.9) или (2.2.11), найдём распределение температуры Т\у,у,То) в серии экспериментов (по скоростям и начальным температурам) на кручение толстостенного цилиндрического образца из материала с данной диаграммой. Подставим полученное распределение температуры в формулу (2Л.4.1) и определим зависимость крутящего момента М от крутки а , ее скорости 6) и начальной температуры 7Q в экспериментах этой серии. Далее, будем считать, что этот крутящий момент измерен в экспериментах и что требуется определить свойства материала ему соответствующего. Для нахождения этих свойств воспользуемся методикой, описанной в 2.2. Убедимся в том, что восстановленная диаграмма в точности соответствует исходной. Тем самым, на конкретном примере будет получен явный вид и поведение, используемых в методике функций.
Это и есть исходная диаграмма. Таким образом, по заданному моменту (2.3.6) определена диаграмма сдвига, ему соответствующая, по локально-адиабатической методике, выраженной формулами (2.2.18). (Экспериментальные графики момента при различных скоростях и начальных температурах для алюминиевого сплава можно найти, например, в [3, 35-47].) 2.4 Идентификация специальной линейной по температуре модели материала при теплопроводности. Другим способом упростить задачу (2.1.11) является сужение класса искомых функций. В отличие от гипотез, рассмотренных в предыдущей части, ограничения такого рода вытекают не из природы явления, а из некоторой априорной информации о материале. Ценность методик, полученных с помощью подобных упрощений, ниже, так как они не могут использоваться для произвольного материала. Рассмотрим пример, в котором, за счет ограничения на произвольность неизвестных свойств материала, удается получить аналитическое решение задачи идентификации при наличии всех членов в уравнении теплопроводности.
Идентификация специальной линейной по температуре модели материала при теплопроводности
Среднее может браться методом наименьших квадратов или еще каким-либо иным способом, а по отклонению функции A\t) в какой-то паре можно судить о справедливости гипотезы линейности по температуре (2.4.1). Тем самым все параметры модели материала определены. Следует отметить, что решение задачи (2.1.11) в данном случае удалось получить, используя интегральное соотношение баланса распределения тепла по образцу, не прибегая к непосредственному решению уравнения теплопроводности. Это удалось сделать исключительно из-за специального вида линейности по температуре в рассматриваемой модели. Обратим свое внимание на уравнение теплопроводности (2.1.10). Описанные в первой главе "медленные" эксперименты соответствуют малости источника тепла по сравнению с теплообменом. Приведем это уравнение к безразмерному виду, что позволит по безразмерным коэффициентам сделать заключение о характере процессов теплообмена в образце. Выше были изучены решения задачи идентификации в условиях распространения тепла (2.1.11) при различных упрощающих предположениях. Так использование предположения локальности дало возможность перехода от координат и времени к параметрам процесса деформирования. Тем самым структура аргументов подынтегральной функции приняла вид, позволяющий выполнить обращение интеграла аналогично методике Бэкофена-Филдса. Это позволило по найденной зависимости напряжений от деформаций и их скоростей при различных начальных температурах решить (упрощенное) уравнение теплопроводности с уже известным источником. Далее, эта зависимость напряжений была перенесена с начальной температуры на реальную, что и дает неизвестную материальную функцию. Если попытаться поступить подобным образом при решении не упрощенной задачи, то видно, что вся последовательность действий после обращения интеграла, может быть проделана и для нее.
Правда, решение полного уравнения теплопроводности (2.1.10) или (2.5,1) заметно усложнится. Из примера восстановления диаграммы сдвига в рамках локально-адиабатического предположения (2.2) видно, что, даже в этом случае, получение явного аналитического решения достаточно трудоемкая задача. Впрочем, численный расчет решения уравнения теплопроводности с известным источником на существующей уже вычислительной технике принципиальных сложностей не представляет.
Тем самым, воплощая в жизнь план действий из локально-адиабатической методики, отталкиваясь от свойств материала в некотором нулевом приближении, можно получить следующее приближение для них.
Перейдем к построению численного метода более детально. Для выбора начального приближения нам понадобится выражение для действующих напряжений, аналогичное рассмотренным ранее, но без упрощающих предположений, а следовательно, при наличии всех аргументов у температуры. Итак, запишем выражение для измерений из формул (2.1.11) и проведем с ним действия, рассмотренные в частях (1.1) или (1.2), по преобразованию к виду, аналогичному формуле Бэкофена-Филдса. Выпишем, основные формулы, полагая, для краткости, дифференцируемость измерений и искомых свойств материала. Разумеется, можно, аналогично части (1.2), рассматривать непрерывные искомые свойства по деформациям и скоростям деформаций и дифференцируемые по температуре.
Следует отметить, что при отсутствии температурной чувствительности материала производная по температуре от напряжений нулевая, и интеграл J обращается в нуль. При этом разностное соотношение принимает вид (1.2.2) для изотермических экспериментов, что согласуется с результатами первой главы. Отличие от изотермической формулы составляет "плывущая" согласно рекуррентной формуле температура. Обычно, температура на внутреннем приведенном радиусе 7 меньше чем на внешнем из-за меньших деформаций внутри, а, следовательно, и меньшей работы напряжений. Поэтому в случае кручения г = г, s 3 следует ожидать убывания последовательности {7 J что приводит к некоторому приросту функции Ф (имеющей смысл напряжений в изотермических процессах) по сравнению с изотермической формулой. Впрочем, не на тонком образце, вклад от множителя а и уменьшения деформации на множитель а в сходимость ряда должен быть больше чем вклад от "ухода" температуры с ТЬ на Та. На всех этих графиках видно, что кривая, соответствующая самой большой скорости деформирования є —Юс и температуре 400 С, в конце диаграммы начинает резко падать. Это связано с чрезмерным убыванием момента, что дало заметно отрицательную производную в выражении (2,6.5). По-видимому, следует полагать, что момент здесь измерен с некоторой ощутимой погрешностью, так как ожидать столь аномального поведения от алюминия вряд ли стоит. Напряжения по Бэкофену-Филдсу на этой кривой стали ниже, чем для той же скорости, но большей начальной температуре. Это дало положительную производную свойств материала по температуре и сделало сомнительными результаты расчета этого участка кривой по методикам с учетом изменения температуры в образце. При отсутствии возможности проверить точность экспериментальных данных, с одной стороны, и необходимости строить реальную конструкцию на их основе, с другой, здесь можно было бы посоветовать выровнять каким-нибудь способом момент на этом участке. Например, для этого участка заменить кусок полученной кривой участком, рассчитанным по пропорциональной методике. В настоящей работе будем считать этот участок участком недостоверности и далее рассматривать не будем.
Значения напряжений, рассчитанные по средней температуре, всегда превышают значения, рассчитанные по методике Бэкофена-Филдса. Средняя температура постоянно возрастает за счет работы касательных напряжений в образце, и была получена по формуле (2.1.22) для граничного условия теплоизоляции. График разности Тср — 7Q приведен на рисунке П7. В методике определения свойств материала по средней температуре, считается, что изотермические напряжения, рассчитанные по формуле Бэкофена-Филдса, на самом деле соответствуют не начальной, а реальной температуре на границе образца, которая, полагается, совпадает со средней. Разумеется, локально-адиабатическая температура выше средней, так как в точках границы наибольшие сдвиги, а следовательно и большие напряжения, больше выделение тепла, которое при локальной адиабатичности полностью идет на повышение температуры. Эта верхняя оценка возможной температуры на границе, как видно из рисунка П8, не превышает среднюю температуру более чем на 13С. В тоже время отличие средней температуры от начальной доходит до 40С. Это говорит о том, что даже если бы данные эксперименты оказались "быстрыми", а расчет производился бы по средней температуре, то, в сравнении с изотермической методикой, большая часть тепловыделения была бы учтена.
Похожие диссертации на Определение термовязкопластических свойств материалов в опытах с цилиндрическими образцами
