Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор современного состояния исследований в механике композитов 14
Глава 2. Многоуровневая модель стохастического структурно-неоднородного материала . 27
2.1. Физико-математическая модель 27
2.2. Уровни формирования механических свойств композиционного материала 29
2.3. Структурные уровни композиционного материала 33
2.3.1. Уровень элементарных объемов 33
2.3.2. Мезоуровень 34
2.3.3. Уровень эффективных свойств 35
2.4. Физико-математическая модель механического поведения композиционного материала со стохастической структурой 35
2.4.1. Механическое поведение элементарных объемов материала 36
2.4.2. Мезоуровень 42
2.4.3. Определение эффективных свойств композита 43
Глава 3. Методика определения эффективных механических свойств од нонаправленного композиционного материала 46
3.1. Учет вклада структуры материала в формирование его механических свойств 47
3.2. Имитационное моделирование 52
3.2.1. Геометрическая имитационная модель композиционного материала со стохастической структурой 52
3.2.2. Основные элементы алгоритма формирования геометрической имитационной модели композита 55
3.2.3. Метод случайных испытаний 60
3.2.4. Генерация последовательностей псевдослучайных чисел 61
3.3. Определение локальных свойств модельного структурно-неоднородного материала 64
3.3.1. Расчетная схема фрагмента структуры модельного структурно-неоднородного материала 65
3.3.2. Вычисление параметров напряженно-деформированного состояния ограниченного фрагмента модельного материала 66
3.3.3. Основные соотношения метода конечных элементов 67
3.3.4. Вычисление эффективных механических характеристик для фрагмента структуры модельного материала 71
3.4. Определение эффективных свойств модельного материала на макроуровне 74
3.5. Локальная представительность объема материала 78
3.5.1. Оценка локальной представительности по объемному соотношению компонентов 79
3.5.2. Оценка локальной представительности по виду закона распределения локальных значений механических характеристик материала 82
3.5.3. Оценка локальной представительности по степени корреляционной связи локальных значений механических характеристик материала 89
Глава 4. Численное исследование влияния структуры на эффективные упругие свойства стохастических композиционных материалов 94
4.1. Влияние локальных особенностей структуры на развитие полиморфных твердофазных превращений в структурно-неустойчивой матрице композита 94
4.2. Определение параметров расчетных сеток при моделировании на-гружения композитов 98
4.3. Оценка достоверности результатов расчета эффективных упругих свойств композиционных материалов, полученных с использованием разработанной модели 104
4.4. Оценка размеров локально-представительного объема материала со строго периодической структурой 107
4.5. Оценка размеров локально-представительного объема материала со случайной структурой 109
4.6. Анализ эффективных упругих свойств биокомпозитов на основе Ті и TiNi с использованием предложенной модели стохастически армированного композита 111
4.7. Анализ влияния объемного соотношения компонентов на условия накопления микроповреждений в биокомпозите на основе пористого титана 119
Заключение 124
Список литературы 126
Приложение 142
- Обзор современного состояния исследований в механике композитов
- Уровни формирования механических свойств композиционного материала
- Геометрическая имитационная модель композиционного материала со стохастической структурой
- Определение параметров расчетных сеток при моделировании на-гружения композитов
Введение к работе
В основе технологий создания многих современных конструкционных материалов лежит идея объединения в единый комплекс компонентов, обладающих разными физико-механическими свойствами. В результате такого подхода стало возможным создание материалов (композитов), наилучшим образом приспособленных для работы в определенных условиях, способных удовлетворять именно тем требованиям, которые предъявляются к ним при эксплуатации.
Характерной особенностью композиционных материалов является наличие четко выраженной структуры, образованной границами раздела компонентов. В работе рассматриваются композиты, образованные матрицей, непрерывно распределенной в объеме материала, и дискретными включениями, выполняющими роль армирующих элементов. По типу армирования различают дисперсно-упрочненные, армированные частицами и армированные волокнами композиты. Дискретные элементы (волокна, включения) обычно обеспечивают такие свойства материала, как прочность, жесткость, износостойкость, а матрица должна придавать ему податливость, вязкость. Матрица композита часто выполняет формообразующую роль, в то время как элементы армирования придают ему особые свойства. Матрица также обеспечивает передачу и перераспределение внешних воздействий на все элементы структуры композиционного материала.
Отличительной особенностью таких материалов является существенная неоднородность их строения, что делает их, в общем случае, анизотропными. Физико-механические свойства этих материалов во многом определяются не только свойствами компонент, но и характером образованной ими структуры наполнения (армирования). Наличие случайной (в общем случае) структуры армирования композита и ее особая роль в формировании свойств материала
обуславливают актуальность и практическую значимость развития методов механики гетерогенных сред.
Широкое использование в современной технике композиционных конструкционных материалов, развитие перспективных технологий их получения, появление новых типов таких материалов обуславливают необходимость развития методов прогнозирования их свойств и механического поведения в процессе изготовления и эксплуатации. Создание надежных методик прогнозирования механических свойств композитов позволит сократить затраты времени и средств при проектировании изделий из таких материалов, а также оценить эффективность и работоспособность готовых конструкций.
Размеры изделий из композиционных материалов обычно значительно (на несколько порядков) превосходят размеры, характерные для их компонентов (размеры дискретных элементов, толщина прослоек матрицы между элементами армирования). Существенное изменение внешних нагрузок также происходит на расстояниях, значительно превышающих эти размеры. Эти обстоятельства служат основанием для широкого использования в качестве одного из подходов механики композитов теории эффективных свойств. Согласно этой теории, структурно-неоднородный материал отождествляется с однородной (гомогенной) средой, обладающей некоторыми приведенными физико-механическими свойствами, которые называют макроскопическими или эффективными. Такой подход позволяет использовать при расчете изделий и конструкций из структурно-неоднородных материалов математический аппарат механики деформируемого твердого тела.
Основная проблема при определении эффективных свойств структурно-неоднородных материалов связана с тем, что на их механические свойства (эффективные) накладывают свой отпечаток как собственные механические свойства компонентов материала, так и особенности механического* взаимо-
действия этих компонентов между собой. Дополнительной проблемой является возможность протекания в компонентах материала в условиях внешнего нагружения физических процессов диссипативного характера. К числу таких процессов можно отнести пластическое деформирование, полиморфные твердофазные превращения мартенситного типа, накопление микроповреждений и т.д. Развитие подобных процессов определяет нелинейный характер деформирования материала компонентов. Таким образом, композиционный материал может рассматриваться как сложная механическая система, отклик которой на внешнее воздействие зависит от ее конфигурации и механического поведения составляющих ее структурных элементов.
Анализ поведения и проектирование таких систем является достаточно сложной задачей. В связи с этим, одним из приоритетных направлений развития материаловедения и механики материалов становится разработка методов численного моделирования и компьютерного конструирования композитов [60,82].
Применение теории эффективных свойств оправдано в тех случаях, когда выполняется условие эффективной (эквивалентной) гомогенности [48]. Согласно этому условию, может быть выделен такой объем гетерогенной среды, величина которого значительно меньше характерного размера тела, и в пределах которого может быть выполнено осреднение свойств компонентов. Основная проблема при решении задач моделирования механических свойств гетерогенной среды состоит в том, чтобы определить условия, при которых процедура осреднения является корректной с точки зрения прогнозирования эффективных свойств идеализированной гомогенной среды на основании данных о механических свойствах и геометрических характеристиках компонентов реальной гетерогенной среды.
Таким образом, задача оценки и прогнозирования физико-механических свойств композиционных материалов имеет важное прикладное значение.
Применение новых композиционных материалов в различных областях техники делает актуальной разработку математических моделей, позволяющих получать адекватные оценки их механического поведения, а также пригодных для использования при проектировании таких материалов и изделий из них.
Цель работы.
Целью диссертационной работы является разработка метода прогнозирования механического поведения стохастических композиционных материалов с учетом возможности реализации в компонентах материала различных физических механизмов деформирования (пластическое течение, фазовое превращение мартенситного типа) и связанных с ними процессов.
Исследование проводится на основе физико-математической модели структурно-неоднородной среды, построенной с использованием представлений о многоуровневом характере формирования физико-механических свойств материалов. Модель среды включает в себя три уровня рассмотрения свойств.
Микроуровень. Данный уровень соответствует элементарному объему отдельного структурного компонента материала, удовлетворяющему постулатам механики сплошной среды. Полагается, что механические свойства такого объема известны.
Мезоуровень. Под данным структурным уровнем понимается уровень формирования локальных свойств структурно-неоднородного материала. Рассматривается некоторый объем материала, включающий в себя ограниченное количество армирующих элементов. Свойства такого объема определяются по результатам численного эксперимента с учетом как свойств составляющих его структурных компонентов, так и их механического взаимодействия.
3. Макроуровень. На макроуровне гетерогенная среда рассматривается как квазиоднородный материал, характеризующийся эффективными физико-механическими свойствами.
Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие конкретные задачи:
Построение иерархической трехуровневой физико-математической модели структурно-неоднородного материала.
Разработка методики численного моделирования механического поведения стохастического структурно-неоднородного материала с учетом возможности реализации в его компонентах различных физических механизмов деформирования.
Исследование с применением разработанной методики эффективных упругих свойств композита TiNi-TiC, а также биокомпозитов «Ті — костная ткань», «TiNi — костная ткань».
Научная новизна работы заключается в следующем: - предложен метод оценки и прогнозирования эффективных механических свойств структурно-неоднородного материала со стохастической структурой на основе представлений о многоуровневом характере формирования механических свойств, включающий в себя следующие элементы:
1) разработка имитационной модели стохастического структурно-
неоднородного материала;
определение размеров локально-представительного объема стохастического структурно-неоднородного материала;
расчет локальных механических свойств структурно-неоднородного материала;
оценка эффективных значений механических характеристик структурно-неоднородного материала по репрезентативной выборке их локальных значений;
разработана численная методика имитационного моделирования механического поведения стохастических композитов при объемном содержании армирующих элементов от 10% до 70%, учитывающая возможность реализации в компонентах полиморфных фазовых превращений мартенситного типа;
предложен критерий оценки представительности объема стохастического структурно-неоднородного материала, учитывающий связь характерных размеров исследуемого объема с масштабом корреляции локальных механических параметров;
показано наличие корреляции между размерами представительного объема стохастических композитов и характерными размерами их армирующих элементов;
показано, что локальная морфология объемов композитов со структурно-неустойчивой матрицей оказывает существенное влияние на долю объема матрицы, испытывающей мартенситное превращение при деформации;
получены оценки эффективных значений упругих модулей биокомпозитов «Ті — костная ткань», «TiNi — костная ткань» в диапазоне содержания костной ткани 10%—50%. Показано, что эффективные упругие свойства биокомпозитов на основе никелида титана в меньшей степени зависят от параметров структуры по сравнению с материалами на основе титана. Показано также, что для рассмотренных биокомпозитов зависимость дисперсии локальных значений модуля упругости от объемного содержания компонентов является немонотонной, при этом максимальное значение дисперсии наблюдается при объемном содержании костной ткани « 30%.
Научная и практическая значимость диссертационной работы заключается в следующем:
- разработана физико-механическая модель стохастического композици
онного материала, которая применима для получения оценок модулей упру
гости композитов (в том числе, биокомпозитов на основе титана и никелида
титана) с различными геометрическими параметрами случайной структуры армирующих элементов, необходимых при проектировании новых композиционных материалов и развитии технологий их получения.
разработанные прикладные программы, реализующие предложенную методику имитационного моделирования механического поведения представительных объемов композитов, для оценки механических характеристик волокнистых композиционных материалов при нагружениях в направлениях, поперечных направлению армирования.
результаты диссертационной работы, методики и программы используются при подготовке специалистов на физико-техническом факультете в Томском государственном университете по направлениям 55.31.00 «Техническая физика», 55.33.00 «Прикладная механика» и по специальностям 12.10.00 «Конструирование и производство изделий из композиционных материалов», 07.11.00 «Динамика и прочность машин»;
- результаты диссертационной работы и прикладные программы внедрены
в ряде научных и производственных организаций: ИФПМ СО РАН (г. Томск),
ГНПП «Технология» (г. Комсомольск-на-Амуре), ШГОСНИИХП (г. Шостка,
Украина).
На защиту выносятся следующие положения и результаты:
многоуровневая модель стохастического структурно-неоднородного материала;
численная методика оценки размеров локально-представительного объема стохастического структурно-неоднородного материала;
результаты моделирования механического поведения композитов ( в т. ч., на основе структурно-неустойчивой матрицы), свидетельствующие о реализации существенно разных механизмов деформирования в локальных объемах материала для разных локальных конфигураций структурных элементов;
- результаты исследований влияния объемного соотношения компонентов и характера структуры композитов на их эффективные механические свойства.
Обоснованность и достоверность результатов, представленных в работе, подтверждается корректностью математических постановок задач; сходимостью численных решений; хорошим согласием полученных результатов с теоретическими и экспериментальными результатами других авторов, опубликованными в печати.
Апробация работы. Материалы конференции представлялись на 14
межрегиональных, всероссийских и международных конференциях:
1-st International Seminar-Exhibition «Computer-Aided Design of Advanced Materials and Technilogies (CADAMT'92)», Tomsk, Russia, June 21-26, 1992.
Межрегиональная научно-техническая конференция, Пермь, 1993 г.
Международное совещание-семинар «Сопряженные задачи физической механики и экология», Томск, 1994 г.
Международная научная конференция «Использование результатов конверсии научных исследований в вузах Сибири для международного сотрудничества» (СИБКОНВЕРС'95), Томск, 1995 г.
Международная конференция «Material Instability under Mechanical Loading», Ст.-Петербург, 1996 г.
Международная конференция «Компьютерное конструирование передовых материалов и технологий» (CADAMT'97), Байкальск, 1997 г.
Конференция молодых ученых «Физическая мезомеханика материалов», 1-3 декабря 1998 г., Томск.
Всероссийская научная конференция «Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах», г. Улан-Удэ, 1999 г.
9. II Всероссийская конференция молодых ученых «Физическая мезоме-ханика материалов», г. Томск, 1999 г.
VI Всероссийская научно-техническая конференция «Механика летательных аппаратов и современные материалы», г. Томск, 1999 г.
VII Всероссийская научно-техническая конференция «Механика летательных аппаратов и современные материалы», г. Томск, 2000 г.
II Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики», г. Томск, 2000 г.
II Всероссийская научная конференция «Байкальские чтения по математическому моделированию процессов в синергетических системах», г. Улан-Удэ, 2002 г.
III Всероссийская научная конференция «Фундаментальные и приклад-
ные проблемы современной механики», г. Томск, 2002 г. Результаты диссертационной работы опубликованы в 14 статьях.
Автор выражает свою благодарность В.И. Масловскому, В.А. Скрипня-
ку, Б.А. Люкшину, С.Н. Кулькову за их советы по содержанию и оформле
нию диссертации; В.Н. Лейцину за его критические замечания, послужившие
основой для разработки многих вопросов, нашедших свое отражение в дис
сертационной работе; Т.М. Платовой, В.В. Каракулову, А.А. Коняеву, М.М.
Немировичу-Данченко, А.В. Передерину, Н.А. Шевченко за сотрудничество
при подготовке материалов диссертации к опубликованию; Е.А. Емельяновой
и Ю.П. Вознюк за участие в разработке и отладке методики моделирования и выполнение наиболее трудоемких расчетов; В.Г. Бутову, СВ. Пономареву, Р.В. Юдахину, А.А. Матолыгину, М.А. Дмитриевой, Т.В. Колмаковой, И.. Кобраль за участие в обсуждении материалов диссертации и помощь в подготовке к ее представлению. Особую признательность автор выражает своему первому научному руководителю В.А. Колдунову, без влияния которого по-явление данной работы было бы невозможным.
Обзор современного состояния исследований в механике композитов
Многообразие имеющихся типов композитов обуславливает разнообразие используемых моделей и подходов к определению их эффективных свойств. Можно выделить два основных направления, по которым ведется разработка моделей механического поведения композитов: а) исследование и описание физических механизмов, сопровождающих де формирование твердого тела; б) исследование структурных особенностей строения композитов и их вли яния на механические свойства. К числу работ первого типа можно отнести ставшие классическими модели упругого деформирования (Гук) и пластического течения (Рейсе, Мизес); многочисленные более поздние теории пластичности, появление которых было вызвано стремлением отразить эффекты, наблюдающиеся при неупругом деформировании тел при различных путях нагружения (обзор таких теорий можно найти, например, в [5,78]); активно разрабатывавшиеся в последнее время модели твердофазных превращений мартенситного типа, интерес к которым был вызван особенностями поведения под нагрузкой материалов типа AuCd, TiNi, Zr02 и им подобным ( [11,52,59,60,142,145] и др).
Результатами работ во втором направлении являются такие широко используемые модели композиционных материалов как модель механической смеси, модели слоистых материалов, модели материалов, упрочненных волокнами с разным типом армирования, модели дисперсно-упрочненных материалов и т.д. К данному направлению можно отнести также работы, посвященные исследованию влияния различных типов упаковки компонент композита (регулярных и стохастически неоднородных) на его механические свой-ства [12,17,44,48,134] и др.
Широкое распространение применительно к армированным материалам получила идея «сглаживания» структурных неоднородностей. При этом в качестве эффективной используется модель однородной (в общем случае анизотропной) среды. Теория упругости таких сред глубоко разработана в работах С.Г. Лехницкого [57,58]. К числу первых работ по определению свойств материалов с учетом их строения и свойств их структурных компонентов, можно отнести работы Фойгта [153] и Рейсса [148]. Фойгт предложил вычислять параметры структурно-неоднородных сред путем осреднения параметров их компонентов по объему и ориентациям.
Расхождение между двумя способами осреднения тем больше, чем больше разница между упругими свойствами компонентов. Позднее Хиллом [137] было показано, что для упругих свойств композитов метод Фойгта дает оценку сверху, а метод Рейсса — оценку снизу. Недостатком такого рода моделей является отсутствие всякого учета особенностей структуры материала и, как результат, плохое соответствие прогнозов, сделанных на их основе, с результатами испытаний для многих композиционных материалов.
Методы расчета эффективных характеристик армированных материалов, основанные на идее «сглаживания неоднородностей», рассматриваются в работах Н.А. Алфутова [2], С.А. Амбарцумяна [3], В.В. Болотина [12], Г.А. Ванина [18], В.В. Васильева [21], Р. Кристенсена [48] и др. К недостаткам такого подхода можно отсутствие информации о поведении материала на уровне элементов его структуры.
Вместе с тем, как отмечается в работах Б.Е. Победри [89], Ю.Н. Работно-ва [71,92,93], Дж. Си [98] и др., учет структуры материала на уровне армирующих элементов является центральным моментом в механике композитов. Именно на этом уровне создаются механические свойства материала. Управляя структурой (за счет выбора технологических режимов изготовления материала), можно в определенных пределах управлять свойствами материала, «подстраивая» их под действующие нагрузки [111]. Необходимость исследования и прогнозирования поведения композиционных материалов на уровне элементов их структуры стала причиной появления многих работ, в которых развивались различные подходы к моделированию гетерогенных сред с явным учетом их внутреннего строения.
Одной из первых моделей, учитывающих характерные особенности армирующих элементов материала, была модель упругой среды с упругими сферическими включениями. Для случая малой объемной доли включений задача определения эффективных характеристик такой среды была решена Дьюи (J.M. Dewey) [129]. Для произвольной объемной доли включений Ха-шином (Z. Hashin) была предложена полидисперсная модель композита, содержащая некоторые допущения относительно распределения размеров частиц [133]. Несколько позже им же вместе с Розеном (W. Rosen) полидисперсная модель была развита для случая цилиндрических включений [134]. Данная модель позволила получить оценку для объемного модуля композита, но в отношении модуля сдвига она оказалась применимой только для случаев очень малых и очень больших долей включений. Гораздо большей предсказательной способностью обладает трехфазная модель композита, идея которой была предложена в работах Кренера [139] и Ван-дер-Поля [152]. Согласно этой модели сферическое включение, окруженное слоем матрицы, помещается в эквивалентную гомогенную среду, которая подвергается однородной деформации. Трехфазная модель композита эквивалентна эффективной гомогенной среде, при условии, что энергия деформирования обеих систем одинакова при равенстве усредненных деформаций. Решение задачи о нахождении эффективных упругих свойств композита на основе трехфазной модели было получено Кристенсеном (R.M. Christensen) и Ло (К.Н. Lo) [128]. Как отмечается в монографии Р. Кристенсена [48], трехфазная геометрическая модель композита представляет собой многофазный аналог модели однофазной среды в сочетании с использованием метода самосогласования. Данный метод был предложен Хершеем [136] и Кренером [140] для описания поведения поликристаллических материалов. Согласно этому методу, единичный анизотропный кристаллит рассматривается как сферическое или эллиптическое включение, внедренное в бесконечную изотропную среду с неизвестными свойствами. Условие равенства среднего напряжения (или деформации) во включении значению напряжения (или деформации), приложенного к среде на бесконечно большом удалении от включения, позволяет получить уравнения для определения эффективных изотропных свойств.
Наглядность метода делает его привлекательным для оценки эффективных свойств многофазных материалов. Непосредственное развитие расчетной схемы метода самосогласования в этом случае заключается в том, что каждая фаза композита поочередно рассматривается в виде отдельного включения в бесконечной матрице с неизвестными свойствами. Уравнения для определения эффективных свойств записываются исходя из требования равенства деформаций во включении их средним значениям по соответствующей фазе [24,46,64]. Как отмечено в [48], такой подход к моделированию свойств многофазных материалов приводит к большому произволу в отношении геометрических характеристик фаз. Следствием этого произвола являются, например, неудовлетворительные результаты, полученные для случаев жестких включений и полостей, когда эффективный модуль сдвига материала может становиться равным нулю либо бесконечности для некоторых значений объемного соотношения компонент [127].
Уровни формирования механических свойств композиционного материала
Имеются различные варианты иерархии структурных уровней, предложенные разными авторами, например, в работах [13,110]. Все они опираются на систему масштабных размеров, соответствующих характерным размерам физических объектов, принимаемых в качестве основных для данного структурного уровня носителей деформации: вакансии, дислокации, границы зерен, группы зерен, элементы армирования, фрагменты образца, образец в целом. Представляется естественным положить в основу выделения уровней иерархической модели гетерогенного материала принцип определяющего вклада тех или иных факторов, влияющих на формирование его механических свойств.
Следует отметить, что под свойствами материала понимается некоторая совокупность параметров, характеризующих отклик выбранного по определенным правилам элемента его объема на пробные воздействия. В механике сплошной среды элемент объема выбирается таким, чтобы его размеры на несколько порядков превышали межатомные расстояния. При этом условии становится справедливым постулат о сплошности среды, а рассматриваемый элементарный объем может быть отождествлен с материальной точкой пространства. В результате, для совокупности параметров (свойств) множества материальных точек становятся применимы математический аппарат теории непрерывных функций, а также методы дифференциального и интегрального исчислений.
Композиционный материал представляет собой совокупность компонентов с разными свойствами, ради объединения которых он, в конечном счете, и создается. Известным фактом является наличие зависимости свойств композитов от структуры, образованной его компонентами. В работах многих авторов (например, [75, 89]) указывается на то, что именно на уровне этой структуры происходит формирование свойств композита как нового материала. Столь важная роль структуры объясняется тем, что структурно-неоднородный материал можно рассматривать как своего рода механическую систему, состоящую из многих взаимодействующих (в механическом смысле) компонентов, каждый из которых имеет свои собственные физико-механические свойства и геометрическую конфигурацию. Важная роль геометрической формы компонентов в формировании меха-нических свойств материала объясняется тем, что именно форма границ раздела и степень различия механических свойств материалов по разные стороны этой границы во многом определяют количество и мощность концентраторов напряжений, действующих в единице объема структурно-неоднородного материала. В связи с этим можно, видимо, говорить о такой характеристике структуры структурно-неоднородного материала, как «плотность концентраторов напряжений». Именно наличие концентраторов напряжений приводит к появлению под действием внешних нагрузок неоднородностей в полях напряжений и деформаций, которые, в свою очередь, являются очагами зарождения и развития зон пластического течения, накопления микроповреждений, зарождения макротрещин и т.п. явлений, которые в конечном счете и определяют вид отклика материала на внешнее воздействие.
Известные аналитические решения [16, 76, 79] показывают, что по мере удаления от концентратора напряжения в материале резко падают. Следовательно, можно полагать, что в каждый концентратор напряжений обладает некоторой «зоной влияния» на напряженно-деформированное состояние материала. Величина такой зоны влияния и должна быть тем самым фактором, исходя из которого можно определять размеры объема, отвечающего за формирование свойств структурно-неоднородного материала на уровне элементов структуры, образованной его компонентами. Существование такого объема позволяет принять принцип локальности формирования свойств структурно-неоднородных материалов [113].
С точки зрения инженерной практики композит удобно рассматривать как сплошной однородный или квазиоднородный материал, для описания и моделирования которого применимы обычные методы механики сплошной среды. Вместе с тем, в композиционных материалах или их компонентах можно выделять элементы неоднородности, относящиеся к более глубокому структурному уровню. Такой процесс дискретизации целесообразен, пока удается на основе механики сплошной среды количественно связывать наблюдаемые (эффективные) значения физико-механических характеристик для среды в макрообъеме с геометрическими и физическими параметрами компонентов. Как отмечено в [68] , «механические свойства макроскопического объема материала, законы его деформирования и разрушения нельзя основывать лишь на представлениях о микростроёнии вещества и элементарных механизмах образования микродеформаций без дополнительных существенных гипотез и теорий статистической природы о взаимодействии частиц и структурных образований». Цель микромеханики композиционных материалов — установить эффективные физико-механические характеристики среды и внутренние поля, используя минимальное число исходных констант, определяющих свойства, геометрию и структуру компонент, несовершенства в структуре композиционной среды [19].
Важно отметить, что в каждом случае, когда речь идет о свойствах композиционного материала, совершенно необходимым является четкое определение того элемента объема материальной среды, которому эти свойства сопоставляются. Только наличие критериев выбора такого рода элементов объема позволяет выполнять адекватный отбор средств исследования и описания их свойств.
Таким образом, возможности выбора уровней иерархической модели гетерогенного материала, справедливой в рамках допущений механики сплошной среды, ограничены с одной стороны объемами, размеры которых должны превышать характерные размеры элементов неоднородности структурных компонентов материала, а с другой стороны — объемами, позволяющими получать надежные оценки эффективных свойств композита. Учитывая наличие указанных границ, а также особую роль структуры, образованной компоцентами композита, предлагается ввести в рассмотрение следующие уровни формирования механических свойств гетерогенного материала [55,56]: - уровень элементарных объемов компонентов (микроуровень); - уровень элементов структуры (мезоуровень); - уровень эффективных характеристик (макроуровень).
Геометрическая имитационная модель композиционного материала со стохастической структурой
Принимая во внимание особую роль в формировании механических свойств гетерогенного материала, которую играет его структура, в рамках разрабатываемой модели основным объектом исследования является геометрическая имитационная модель стохастической структуры гетерогенного материала [53,88]. Имитационная модель фактически представляет собой идеализированное представление плоского сечения материала, аналогичное изображениям, получаемым при непосредственном фотографировании шлифов натурных образцов. Включения имитируются геометрическими объектами по возможности наиболее простой формы (круг, эллипс и т.п.). Распределения включений по размерам и ориентации в пространстве (на плоскости) могут быть заданы в виде функций координат либо стохастическими зависимостями. Сама имитационная модель структуры представляет собой ограниченную плоскую фигуру (круг, квадрат, прямоугольник), заполненную элементами, имитирующими включения, с учетом заданных для них параметров (размеры, форма, ориентация и т.д.). Подобный подход при моделировании волокнистых композитов использован, например, в [65, 66, 72, 108, 114]. Схожие подходы находят также применение в других областях механики сред со структурой, например, при исследовании напряженного состояния сред со множественными дефектами [132].
Основным требованием к имитационной модели структуры композита является ее геометрическая представительность. Под этим термином понимается полнота представления в модели геометрических параметров реальной (или проектируемой) структуры материала. Основным приемом обеспечения геометрической представительности является увеличение размеров имитационной модели и подбор параметров алгоритмов, отвечающих за генерацию включений с заданными законами распределения размеров, формы, расположения и т.п. геометрическими параметрами. Полагается, что при использовании имитационного подхода при моделировании реальных материалов для оценки достоверности геометрической модели структуры может быть использован критерий совпадения с необходимой точностью статистических харак-теристик распределения ее геометрических параметров с параметрами реальной структуры. В работе [108] в качестве такого параметра использовались нормированные корреляционные функции, построенные по растровым изображениям микрошлифа реальной структуры порошкового пористого материала и его конечно-элементной модели. В общем случае достоверность построенной таким образом геометрической модели должна означать, что величина спектра вариаций деталей ее структуры в данном объеме сопоставима с тем же параметром для реальной структуры-прототипа.
Использование имитационной модели позволяет естественным образом решить проблему описания случайной структуры применительно к численным методам исследования: на этапе формирования при размещении включений используются генераторы случайных чисел, что обеспечивает ее случайный (строго говоря, квазислучайный) характер, в то же время при дальнейших исследованиях построенная модель используется как источник надежных (т.е., определяемых с необходимой степенью точности) данных о геометрических параметрах структуры. Принципиальные особенности имитационной модели по сравнению с фотографиями реальных структур как источника геометрической информации — возможность генерации модельных структур с любым набором требуемых геометрических характеристик, наличие полной и точной информации о всех структурных элементах, возможность извлечения из модели точных данных о любых ее геометрических параметрах. Следует подчеркнуть, что размеры имитационной модели могут варьироваться в весьма широких пределах без каких-либо серьезных ограничений, связанных с объемом хранимых в памяти ЭВМ данных, либо трудоемкостью их обработки. Данные качества обеспечивают принципиальное преимущество метода имитационного моделирования при проведении численных исследований; реша ющее значение они могут иметь в системах компьютерного проектирования новых материалов.
В качестве исходных данных при построении имитационной модели используются объемное соотношение компонент (С); набор параметров, характеризующих форму, размеры включений и их ориентацию в пространстве (Аг); количество включений в имитационной модели (iVj); распределение включений по размерам (фг) и т.п. Совокупность параметров {Аг, iVj, ,...} позволяет определить линейные размеры имитационной модели. В том случае, когда характеристики включений должны иметь статистический разброс, с помощью генераторов случайных чисел формируется выборка параметров требуемого объема с заданным распределением.
Сформированный набор включений размещается в пределах объема, ограниченного размерами имитационной модели. Для каждого очередного включения случайным образом выбирается пара координат, для которой проверяется условие непересечения вновь размещаемого включения с включениями, размещенными ранее. В случае неуспешного исхода проверки процедура случайного размещения повторяется. Для избежания бесконечного повторения неуспешных попыток размещения для плотно заполненных модельных структур допускается конечное (обычно около 100) число таких попыток.
Как показывает практика, применение изложенного алгоритма позволяет достичь максимальной величины объемного содержания включений С « 55%. На рис. 3.1 приведен характерный вид модельной структуры со случайно размещенными круговыми включениями для С = 50% (модельная структура «N»Hna). Дальнейшее увеличение объемного содержания включений требует применения специальных (неслучайных) стратегий размещения (см., например, [114]).
В качестве алгоритмов, позволяющих генерировать модельные структуры с более высоким [С 55%) объемным содержанием включений, используются вариации алгоритма генерации регулярных модельных структур. Сам по себе алгоритм генерации регулярных модельных структур является весьма простым: квадратная плоская область построения модельной структуры разбивается на iV2 квадратных элементарных ячеек («трансляционных ячеек»), в центре каждой элементарной ячейки помещается включение; соотношение размеров включения и элементарной ячейки выбирается таким, чтобы обеспечивалась заданная величина объемного содержания включений С = Si/Stc = Ц/Vtc (УІ, Vtc объемы включения и трансляционной ячейки, Si,Stc — площади поперечных сечений включения и трансляционной ячейки). Фрагмент модельной структуры такого типа («і?»-структура) с круговыми включениями для С = 40% приведен на рис. 3.2.
Некоторое отклонение от строгой регулярности в расположении включений обеспечивается при использовании алгоритма построения «квазирегулярных» структур, когда каждое включение по-прежнему размещается строго в пределах отведенной ему элементарной ячейки, но уже случайным образом («фй»-структура).
Определение параметров расчетных сеток при моделировании на-гружения композитов
Задача получения оценок статистических параметров распределений локальных свойств связана с необходимостью проведения многочисленных повторных расчетов напряженно-деформированного состояния модельного материала в окрестностях случайным образом выбираемых точек при заданных параметрах расчетной схемы. В связи с этим особую остроту приобретает один из главных недостатков метода конечных элементов, а именно, значительные затраты времени на подготовку исходных данных для расчета, в особенности - на построение конечно-элементных сеток.
В связи с этим при проведении расчетов, предназначенных для получения статистических оценок, предлагается использовать упрощенное конечно-элементное разбиение расчетной области. При построении упрощенной конечно-элементной модели для той ее части, которая соответствует фрагменту модельного материала, используется регулярное разбиение на конечные элементы квадратной формы, а для той, которая соответствует окружающей среде с эффективными свойствами, применяется обычное нерегулярное разбиение. Пример типичной конечно-элементной сетки такого рода представлен на рис. 4.3.
Построенные таким образом упрощенные конечно-элементные модели для любых двух точек модельного материала различаются лишь распределением физико-механических свойств между.конечными элементами, принадлежащими внутренней («регулярной») части сетки. Тем самым достигаются две цели: во-первых, появляется возможность полностью автоматизировать процедуру распределения механических свойств для элементов в «регулярной» части конечно-элементной сетки; во-вторых, использование нерегулярного разбиения для «эффективной» среды (которое выполняется всего один раз для всей серии расчетов на сетках данного типа) позволяет эффективно использовать все приемы повышения качества конечно-элементных сеток, доступные при подготовке данных вручную. Таким образом, использование упрощенных конечно-элементных моделей позволяет почти полностью автоматизировать процесс подготовки данных для расчета. Вместе с тем, сохраняется естественный недостаток регулярных конечно-элементных сеток, имеющий место в случае моделирования структурно-неоднородных материалов и заключающийся в весьма ограниченной возможности описания с их помощью криволинейных границы раздела областей материала с разными свойствами (границ раздела компонент).
Для оценки качества решений, получаемых с использованием частично регулярных конечно-элементных сеток, а также для выбора параметров таких разбиений были проведены тестовые расчеты, в которых сравнивались решения, полученные при разбиении расчетной области конечно-элементной сеткой, учитывающей криволинейную форму границ между компонентами структуры материала, и при использовании упрощенных (квази-регулярных) конечно-элементных сеток.
В качестве объекта исследования был выбран фрагмент модельного материала ограниченных размеров. В качестве характеристик матрицы задавались свойства никелида титана TiNi в аустенитной фазе (Е = 64ГПа, и = 0,3), характеристики включений принимались равными свойствам карбида титана TiC (Е = 460 ГПа, v = 0,22). Включения модельного материала имели форму эллипсов с соотношением размеров полуосей 0,6. Граничные условия соответствовали случаю одноосного нагружения (п. 3.3.4.). Граничные условия соответствовали макродеформации ё= 0,1%.
Как видно из таблицы (столбец Eeff/Em), различие относительных значений локально-эффективного модуля упругости для всех разбиений, кроме наиболее грубого (схема №1), составляет менее 3%. Столь же малым является различие эквивалентных напряжений (столбец сгі/сг 9). Приведенные результаты показывают, что результаты вычисления локальных эффективных характеристик (Eefj, а{) мало зависят от вида разбиения расчетной области.
На рис. 4.4 и 4.5 представлены графики, характеризующие распределение интенсивности напряжений oeq вдоль сечений расчетной области x/L .= 0,5 и y/L = 0,5. На рисунках представлены результаты, имеющие наиболее характерный вид, которые получены для схем №№2, 6, 8, 9.
Значения aeq рассчитывались вдоль каждого сечения в равноотстоящих точках с постоянным шагом 0,2L (L — линейный размер «регулярной» части конечно-элементной модели). Сглаживание полученных данных не проводилось. Скачки на графиках соответствуют разрывам поля напряжений на границах между соседними элементами.
Можно отметить, что на участках, принадлежащих матрице ((y/L, x/L) 0,5) решения практически совпадают, независимо от степени разбиения. Также независимо от разбиения, имеет место резкое возрастание величины Ощ на границе «матрица — включение» (участок 0,3 (y/L, x/L) 0,4). Величина максимума aeq варьируется в пределах 20% для регулярных разбиений (схемы №№2, б, 8), тогда как решение, полученное с учетом формы внутренних границ (схема №9) дает существенно более гладкое решение. Интервал 0,0 (y/L, x/L) 0,3 в обоих случаях принадлежит включениям. Наличие резкого возрастания aeq в пределах отдельных элементов на этом участке можно объяснить тем, что данные элементы граничат с конечными элементами, принадлежащими матрице. Высокие значения aeq на рис. 4.5 при x/L = 0,0 вызваны наличием контактной границы «включение - эффек-тивная среда».
Результаты, представленные на рисунках, показывают, что распределение вычисленных локальных характеристик напряженно-деформированного состояния в расчетной области, в отличие от локально-эффективных (см. табл. 4.1), существенно зависит от вида разбиения на конечные элементы. Как показал анализ результатов, полученных на расчетных сетках №№1-8, их сходимость при вычислении эффективных механических характеристик обеспечивается при использовании разбиений с параметром d/A 0,1.
Таким образом, представленные результаты позволяют полагать, что использование упрощенных расчетных схем с учетом указанного ограничения на величину конечных элементов (d/A 0,1) позволяет получать как надежные оценки локально-эффективных характеристик структурно-неоднородного материала, так и приемлемые оценки распределения локальных параметров НДС.
Похожие диссертации на Прогнозирование механических свойств стохастических композиционных материалов
