Содержание к диссертации
Введение
1. О соответствии между ядрами релаксации разных типов в динамических задачах линейной вязкоупругости 13
1.1. Постановка динамической задачи для линейно-вязкоупругого тела и форма представления ее решения 13
1.2. Соотношения, выражающие соответствие между ядрами релаксации разных типов 18
1.3. Построение простейшего экспоненциального ядра по заданному ядру произвольного вида 19
Основные результаты 24
2. Проявление наследственных свойств материала в одномерных переходных процессах 25
2.1. Задача о распространении волны сдвига в поперечном сечении бесконечного цилиндра 25
2.2. Задача о распространении продольной волны в поперечном сечении бесконечного цилиндра 35
Основные результаты 41
3. Проявление наследственных свойств материала в неодномерной динамической задаче для цилиндра конечной длины 43
3.1. Постановка задачи 43
3.2. Построение решения в пространстве изображений Лапласа 49
3.3. Построение решения в оригиналах 54
3.4. Результаты расчетов 58
Основные результаты 68
Заключение 70
Список литературы
- Соотношения, выражающие соответствие между ядрами релаксации разных типов
- Построение простейшего экспоненциального ядра по заданному ядру произвольного вида
- Задача о распространении продольной волны в поперечном сечении бесконечного цилиндра
- Построение решения в пространстве изображений Лапласа
Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Во многих отраслях современного производства широко используются конструкции, элементы которых выполнены из материалов, проявляющих ярко выраженные наследственные свойства, в том числе, линейно-вязкоупругих материалов. В процессе эксплуатации, а также в аварийных ситуациях такие элементы могут подвергаться разного рода динамическим воздействиям, поэтому исследования переходных волновых процессов в вязкоупругих телах приобретают все большую актуальность. Результаты подобных исследований играют важную роль при оценке прочности и надежности различных технических сооружений. Они находят широкое применение в машиностроении, авиационной промышленности, строительстве, а также в геофизике и сейсмологии.
Необходимость изучения как динамических, так и квазистатических процессов деформирования вязкоупругих твердых тел вызвала появление в прошедшем столетии и в последние годы множества публикаций на эту тему. Фундаментальный вклад в решение проблем, касающихся построения математических моделей и разработки методов исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругих тел был внесен работами Вольтерра [102], Ю.Н. Работнова [58-60], А.А. Ильюшина, Б.Е. Победри [22], М.А. Колтунова [27], П.М. Огибалова [21], В.В. Москвитина [37], Н.Х. Арутюняна [4,5], Д. Бленда [9], Р. Кристенсена [29], А.Р. Ржаницына [62], В.П. Майбороды, В.Г. Зубчанинова [28], и других авторов.
Исследованиям волновых процессов в вязкоупругих телах посвящены работы В.Г. Гоголадзе [13, 14], Е.И. Шемякина [81, 82], М.И. Розовского [63-65], У.К. Нигула [39],И.Г. Филиппова, О.А. Егорычева[75], И.А. Кийко [25], Ф.Г. Максудова[34], М.Х. Ильясова [23,24], А..А.
Локшина, Ю.В. Суворовой [31],Ф.Б. Бадалова [6], В.И. Желткова [18, 19], И.М. Хайковича [80], СИ. Мешкова, В.Г. Чебана, А.В. Чигарева[10], П.Ф. Сабодаша [67], Б.Р. Нуриева [40], С.Г. Пшеничнова [44 ], Е. Мамедгасанова [24], М.Б. Расулова [61], В.И.Козлова, Н.К. Кучера [26], І. Abubakar [84], J.D. Achenbach [85], R. Arenz [86], D.S.Berry, S.C. Hunter [88], B.D. Coleman, M.E. Curtin [89,90], O.W. Dillon [91], H. Kolsky [94,95], L. Songnan, G. Ping [101] и других ученых.
Помимо разработки новых моделей, постановки экспериментов и развития численных методов, одним из важных направлений в изучении нестационарных процессов в вязкоупругих телах являются аналитические исследования, основанные на различных способах построения решений начально-краевых задач линейной вязкоупругости. Кроме самостоятельной ценности подобного рода исследований, последние могут служить основой эффективных вычислительных методик. Так, в работе [81] был предложен способ построения решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела с одним наследственным ядром с помощью решения соответствующей нестационарной упругой задачи и решения некоторой одномерной вспомогательной задачи с таким же ядром. Этот метод был в дальнейшем развит в трудах [23, 25, 34] для неоднородных тел, наследственные свойства которых определяются двумя различными функциями времени.
Работы [63-65] посвящены распространению принципа Вольтерра на динамические линейно-вязкоупругие задачи.
В монографии [31] исследуются общие свойства интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории упругости и асимптотическое поведение их решений с применением теории обобщенных функций и преобразования Фурье-Лапласа.
Одной из наиболее распространенных процедур при построении решений нестационарных вязкоупругих задач является применение к
исходной системе уравнений и граничным условиям интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением изображений в пространство оригиналов. На сегодня известно множество работ, в которых обращение решения нестационарной задачи линейной вязкоупругости в изображениях проводится различными способами. Иногда возможно непосредственное табличное обращение после предварительного разложения изображений в ряды [25]. Во многих случаях оригиналы строятся приближенно с помощью асимптотического обращения либо при малой вязкости, либо в ограниченном диапазоне изменения времени [26,42,61,67,75,95]; используются также приемы численного обращения [6, 43]. В работах [44-48] на основе исследования свойств решений нестационарных задач линейной вязкоупругости в изображениях разработана методика построения их оригиналов с использованием приемов контурного интегрирования и теории вычетов, приводящая в
случае регулярных экспоненциальных ядер к разложению нестационарного решения в ряд по собственным формам свободных колебаний рассматриваемого вязкоупругого тела.
Для исследования динамических задач линейной вязкоупругости весьма эффективен метод модального разложения, разработанный в трудах [18,19]. Его сущность заключается в разложении решения нестационарной задачи для вязкоупругого тела в ряд по собственным формам свободных колебаний соответствующего упругого тела. При этом отыскание зависящих от времени неизвестных модальных коэффициентов проводится с применением преобразования Фурье по времени и последующим обращением.
В рамках рассматриваемой проблемы изучения волновых процессов в линейно-вязкоупругих телах естественно возникает следующий вопрос: возможно ли в конкретной нестационарной задаче так заменить
изначально заданные ядра объемной или сдвиговой релаксации одного типа на соответствующие ядра некоторого другого (выбранного) типа при сохранении всех прочих условий (формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.), чтобы это не оказало существенного влияния на нестационарный процесс? И, если да, то как это сделать? В числе прочего, указанная замена ядер могла бы быть проведена, например, в целях упрощения предварительных динамических расчетов элементов конструкций с использованием наследственных ядер, наиболее удобных в вычислительном плане. В свете обсуждаемого вопроса в работах [49,50] были предложены в качестве гипотезы некоторые общие соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций. При этом предполагалось, что такие ядра при прочих равных условиях проявляют себя в нестационарных процессах схожим образом, что и подтвердилось в некоторых простейших задачах. Однако, предложенные соотношения требуют дальнейшей проверки и установления пределов их применимости как в одномерных задачах о распространении волн разных типов, так и в задачах неодномерных. Следует отметить, что вопрос о замене в нестационарных задачах одних ядер на другие, более удобные, поднимался также в работах [18, 51]. Там предлагалось заменить исходный материал с переменным коэффициентом Пуассона на материал, у которого он постоянен, а параметры нового ядра вычислять определенным образом через параметры исходных ядер объемной и сдвиговой релаксации. Кроме того, в работе [72] исследована задача о приближении слабосингулярного ядра конечной суммой функций типа Миттаг-Леффлера на конечном отрезке, левая граница которого находится как угодно близко к нулю.
Подводя итог краткому обзору известных работ, заметим, что, несмотря на достигнутые успехи в области исследования динамики вязкоупругих тел, многие задачи ввиду их математической сложности
даже в рамках малых деформаций до сих пор остаются не решенными или решенными не полностью. К ним относятся, прежде всего, неодномерные начально-краевые задачи для линейно-вязкоупругих тел с переменным во времени коэффициентом Пуассона при ядрах разных типов в широком диапазоне изменения времени. Кроме того, даже для одномерных задач влияние ядер разных классов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные процессы во всем диапазоне изменения времени от начального момента до полного затухания возмущений исследовано не достаточно. Так, например, по-прежнему вызывает интерес вопрос о том, в какой мере влияет на характер нестационарного процесса во всем его временном диапазоне принадлежность наследственных ядер тому или иному классу функций, а также о том, какие именно параметры наследственных ядер при этом наиболее существенно проявляются.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Основной целью предлагаемой работы является исследование влияния ядер релаксации разных типов (как регулярных, так и сингулярных) на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах.
С помощью определенных соотношений предполагается установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.
Указанное соответствие в определенных границах изменения физических и геометрических параметров предполагается продемонстрировать как на одномерных задачах с участием только поперечных или только продольных волн, так и на неодномерной начально-краевой задаче для тел цилиндрической формы.
Одновременно с этим ставится цель построить решение неодномерной осесимметричной нестационарной задачи для линейно-
вязкоупругого цилиндра конечной длины и исследовать особенности
переходных процессов в его характерных областях.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Доказано существование и единственность
ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое
является достаточно близким к изначально заданному ядру общего вида
согласно предложенным условиям этой близости - соотношениям
соответствия. Получено алгебраическое уравнение с одним неизвестным,
решение которого определяет параметры указанного
двухпараметрического экспоненциального ядра.
Путем исследования конкретных одномерных и неодномерных волновых вязкоупругих задач установлено, что в определенных границах изменения физических и геометрических параметров более сложные ядра можно заменить с помощью соотношений соответствия более простыми (в частности, двухпараметрическими экспоненциальными ядрами) при сохранении всех прочих условий задачи без существенных изменений в ее решении.
Проведено построение решения осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины, находящегося под действием неравномерно распределенного вдоль образующей внутреннего давления. Решение не предъявляет специальных требований к виду наследственных ядер, кроме общепринятых и условия ограниченной ползучести. На основе этого решения подробно исследованы волновые процессы в различных областях цилиндра, начиная от начального момента до практически полного затухания возмущений. При этом варьировались геометрические и физические параметры, а также характер нагрузки. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Проведенные теоретические исследования во многих случаях дают возможность упрощения динамических расчетов элементов конструкций из вязкоупругого материала путем замены соответствующих этому материалу
ядер релаксации, найденных экспериментально, на более удобные для вычислений.
Кроме того, построенное решение неодномерной динамической задачи для цилиндра конечной длины и проведенные с его помощью исследования волновых процессов могут быть использованы при расчетах трубопроводов, орудийных стволов, шахт, а также разнообразных элементов конструкций цилиндрической формы, работающих в нестационарных режимах или при аварийных ситуациях.
Построенные в данной работе решения можно использовать для тестирования алгоритмов каких-либо численных методов или в качестве составной части сложных вычислительных процедур, предназначенных для динамических расчетов разного рода технических объектов. ОБОСНОВАННОСТЬ И ДОСТОВЕРНОСТЬ полученных результатов обеспечивается выбором известной математической модели, адекватно отражающей переходные процессы в линейно-вязкоупругих телах при малых деформациях, использованием строгого математического аппарата на всех этапах исследования и сравнением отдельных полученных результатов с уже известными результатами других авторов. КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, дан краткий обзор известных публикаций в исследуемой области, сформулирована цель данной работы, определена ее научная новизна и практическая значимость, установлена ее обоснованность и достоверность, представлено краткое содержание всех ее глав.
В первой главе приводится математическая постановка нестационарных задач для линейно-вязкоупругих тел с учетом малости деформаций. Кратко излагается методика исследования таких задач с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени и
последующего обращения. Формулируются соотношения, выражающие условия соответствия (близости) между ядрами релаксации, принадлежащими разным типам, по отношению к их влиянию на нестационарные процессы. Доказывается утверждение о существовании и единственности ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет указанным соотношениям для заданного ядра общего вида. С помощью тех же соотношений проводится построение ядра, состоящего всего из одной экспоненты, которое соответствует исходному, заданному в форме Колтунова-Ржаницына или в виде суммы конечного числа экспонент.
Во второй главе для подтверждения правомерности предлагаемых соотношений соответствия, выражающих условия близости ядер, рассматриваются плоские одномерные тестовые задачи о распространении только поперечных или только продольных волн. Выбран наиболее сомнительный случай, когда заданным сингулярным ядрам или ядрам в виде суммы нескольких экспонент ставятся в соответствие простейшие ядра, состоящие всего из одной экспоненты. Проводятся динамические расчеты перемещений и напряжений при изначально заданных ядрах и при найденных для них из предлагаемых соотношений простейших ядрах, а затем результаты сравниваются между собой. Установлено, что даже в этом случае указанные соотношения дают хорошее совпадение результатов в широком диапазоне изменения времени и исходных данных.
В третьей главе рассмотрена неодномерная осесимметричная нестационарная начально-краевая задача для линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины. Внешняя поверхность цилиндра свободна, а внутренняя, начиная с начального момента, подвержена воздействию неравномерно распределенного вдоль образующей и зависящего от времени внутреннего давления, при этом оба торца контактируют с абсолютно жесткими и одновременно абсолютно гладкими поверхностями.
Решение построено с помощью разложения в ряд Фурье по осевой координате и интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением. На основе полученного решения путем конкретных расчетов исследованы волновые процессы в разных точках цилиндра для разных вариантов исходных данных. Правомерность предложенных условий соответствия подтверждалась по той же методике, что и во второй главе, для ядер тех же классов. Как и в одномерных случаях, здесь установлено, что в определенной области изменения исходных данных замена первоначально заданных ядер в форме Колтунова-Ржаницына или в виде суммы нескольких экспонент на соответствующие им ядра, состоящие всего из одной экспоненты, не приводит к существенным изменениям волнового процесса.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы, полученные автором в данной работе.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫДВИГАЕМЫЕ НА ЗАЩИТУ:
(1) Доказательство существования и единственности ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет предложенным соотношениям соответствия (близости) заданному ядру общего вида.
(2) Построение решения неодномерной осесимметричной динамической
задачи для линейно-вязкоупругого цилиндра конечной длины при ядрах
релаксации широкого класса и во всем диапазоне изменения времени.
(3) Исследование переходных волновых процессов в различных областях
конечного цилиндра с помощью численной реализации построенного
решения в широком диапазоне изменения времени при различных
физических и геометрических параметрах.
(4) Подтверждение путем исследования конкретных одномерных и неодномерных динамических задач, что в определенных границах изменения исходных параметров в этих задачах при помощи соотношений соответствия возможна замена ядер релаксации одного типа на ядра другого типа без существенных изменений в решении.
АПРОБАЦИЯ. Результаты работы обсуждались:
на 49-ой Международной научно-технической конференции "Приоритеты развития отечественного автотракторостроения и подготовки инженерных и научных кадров" (МГТУ "МАМИ", 2005 г.);
на Международных конференциях "Современные проблемы математики, механики и информатики" (ТулГУ, 2005 г., 2006 г.);
на конференции "Ломоносовские чтения" (МГУ, 2005 г.);
на научных семинарах кафедры теории упругости МГУ (2003 - 2005 г.);
ПУБЛИКАЦИИ. Результаты диссертации опубликованы в работах [52 -57], [70].
Диссертация выполнена в МГТУ «МАМИ».
Соотношения, выражающие соответствие между ядрами релаксации разных типов
В данной главе в рамках малых деформаций приводится математическая постановка нестационарных задач для линейно-вязкоупругих тел, которым посвящена данная работа. Кратко излагается методика исследования таких задач с помощью интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением. Формулируются условия, выражающие соотношения близости (соответствия) между ядрами релаксации разных типов по отношению к их влиянию на переходные волновые процессы. Доказывается утверждение о существовании и единственности ядра из класса двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет указанным соотношениям для заданного ядра произвольного вида. С помощью соотношений близости проводится построение ядра, состоящего всего из одной экспоненты по исходному ядру, заданному в форме Колтунова-Ржаницына или в виде суммы конечного числа экспонент.
Рассмотрим волновую задачу для линейно-вязкоупругого тела, занимающего область V с границей 2 в предположении малости деформаций. Запишем уравнения динамики: Здесь обозначено: 7„(x,f), „( 0 - компоненты тензоров напряжений и деформаций; ut{x,t) - компоненты вектора перемещений; t - время; x(xl,x2,x3), xt - координаты; р - плотность; GQ, В0 - мгновенные значения модулей сдвига и объемного сжатия; Ts(t), Tv{t)- ядра сдвиговой и объемной релаксации; ft{x,t), y/t(x,t), а,(х), bt(x) - соответственно, компоненты заданных векторов объемных сил, внешних воздействий, начальных перемещений и скоростей; ау(х), Ру{х) - заданные функции, определяющие тип граничных условий; яДх) компоненты вектора единичной внешней нормали к границе тела Е; 81} - символ Кронекера; по повторяющимся индексам предполагается суммирование. Уравнения (1.1.1) - (1.1.3) с условиями (1.1.4), (1.1.5) представляют собой нестационарную динамическую задачу и описывают переходные волновые процессы в рассматриваемом теле.
Если решение задачи (1.1.6), (1.1.7) для изображений U,(x,s) и Sy(x,f) найдено, то его оригинал строится по известной формуле Меллина [15]. В работе [51] сформулированы и обоснованы достаточные условия, при которых в задачах исследуемого класса формулы Меллина для перемещений и напряжений допускают модификацию. Эти условия сводятся к следующим. 1. Область распространения возмущений конечна. 2. Хотя бы одно из ядер Tv, Ts не нулевое (материал не является упругим). 3. Ползучесть материала ограничена. 4. Перемещения тела как жесткого целого исключены. 5. Существует lim /7 (х, t) = f, (х). 6. Зависимость от времени внешних воздействий выражается функцией Хевисайда В последующих главах исследования конкретных нестационарных задач будут проводиться с применением формул (1.1.8) или их модификаций, т. к. все эти формулы могут быть использованы при ядрах релаксации самого широкого класса.
Рассматривая нестационарную волновую задачу (1.1.1)-(1.1.5) для линейно-вязкоупругого тела, поставим вопрос о возможности замены в ней ядер релаксации одного типа на ядра некоторого другого типа (при сохранении всех прочих условий - формы тела, мгновенных модулей, граничных и начальных условий и т.д.) так, чтобы существенных изменений в решении этой задачи не произошло. Вопрос интересен как с точки зрения возможности упрощения процедуры получения решения за счет замены более сложных ядер на более простые в вычислительном плане, так и с точки зрения более глубокого понимания того, какие именно характеристики наследственных ядер проявляют себя в нестационарных процессах наиболее ярко.
В работах [49,50] были предложены соотношения, выражающие близость (соответствие) между ядрами релаксации разных типов, с помощью которых предлагается производить указанную замену. Приведем здесь эти соотношения, введя для удобства дальнейшего изложения безразмерные ядра и время: где t0- некоторое характерное время волнового процесса.
Пусть задано ядро ух{т) объемной или сдвиговой релаксации (т.е. Y\{t) = yv(j) или У\{т) = у5{?)), и выбран некоторый класс ядер Q, определяющийся некоторой известной функцией y(Sl,S2,...,Sm,z) от w + 1 переменной: набора m неопределенных параметров ( 2,."Л)е с И и времени г. Рассмотрим задачу об отыскании среди ядер выбранного класса Q такого ядра у2{т) = у{8\ ,82,...,5т,т), которое «достаточно близко» к у\{т), т.е. при замене в любом из материальных соотношений (1.1.2) ядра ух{т) (соответствующего (г) или yv(r)) на ядро у2(т) из множества Q решение нестационарной задачи при сохранении прочих условий изменится несущественно.
Построение простейшего экспоненциального ядра по заданному ядру произвольного вида
При произвольной /(г) решение строится на основе формул (2.1.5), (2.1.6) с помощью интегральной свертки вида (1.1.14).
Методика проведения расчетов была следующей. Сначала проводилась серия расчетов величин и(г,т), ст12(г,т) как функций времени в различных точках поперечного сечения цилиндра при заданном сингулярном ядре Ys (т) У\ (г) в форме Колтунова-Ржаницына (1.3.11). Далее для указанного ядра /і(т) строилось с помощью уравнения (1.3.12) соответствующее ему ядро у2{т), состоящее из одной экспоненты (1.3.2), и затем проводилась вторая серия расчетов тех же величин и(г,т), (т12(г,т) при тех же геометрических и физических условиях, но уже с ядром у2{т). Результаты расчетов второй серии сравнивались с соответствующими результатами первой. Точно так же проводились исследования при заданном регулярном исходном ядре ух{т) в виде конечной суммы экспонент (1.3.14) и при найденном с использованием уравнения (1.3.15) простейшем ядре у2(т) в виде одной экспоненты.
В процессе расчетов нагрузка выбиралась как в виде функции Хевисайда, так и в виде короткого импульса, кроме того, варьировались г0 и параметры исходного ядра. Ниже представлены некоторые характерные результаты проведенных вычислений.
На рисунках 2.1.2, 2.1.3 показаны графики зависимости пронормированного безразмерного напряжения сг12 /Р0 от безразмерного времени г в фиксированной точке поперечного сечения цилиндра при трех различных ядрах релаксации. На каждом рисунке сплошная кривая 1 относится к результатам при сингулярном ядре у1=0.\е тт , пунктирная кривая 2 - к аналогичным результатам при регулярном ядре у2 = 0.194е 0788г, найденном из условий соответствия (1.3.12), (1.3.13), т.е. из условий (1.2.1), (1.2.2.). Штрихпунктирная кривая 3 дана для сравнения и иллюстрирует результаты при ядре у3=0Яе т, для которого выполнено только условие равенства длительных модулей, т.е. (1.2.1), а условие (1.2.2.) не выполнено. Рис. 2.1.2 относится к случаю, когда внешняя нагрузка задана в виде функции Хевисайда /(г) = h(r) и г0= 0.25; при этом все графики построены для точки г = 0.6. Рис. 2.1.3 относится к случаю импульсного нагружения Дг) 1(0 г 0.5), Дг) = 0 (г 0.5) при той же геометрии г0 = 0.25, но графики построены для точки г = rQ. Видно, что на обоих рисунках кривые 1 и 2 весьма близки друг к другу. Аналогичная картина наблюдается и при других исходных данных.
Согласно условиям (1.2.1), (1.2.2), т.е. путем решения уравнения (1.3.12) с учетом соотношений (1.3.13) трехпараметрическому сингулярному ядру Колтунова-Ржаницына (1.3.11) можно поставить в соответствие единственное двухпараметрическое экспоненциальное ядро вида (1.3.2). Поэтому возможна ситуация, когда двум разным сингулярным ядрам вида (1.3.11) соответствует одно и то же ядро вида (1.3.2). Пусть у0(к) - корень уравнения (1.3.12) при некотором к. Тогда, используя равенства (1.3.13), получим соотношения
Второе из них означает равенство длительных модулей, соответствующих ядрам (2.1.6), а первое - близость каждого ядра (2.1.6) одному и тому же экспоненциальному ядру вида (1.3.2).
Таким образом, равенства (2.1.7) также можно рассматривать как соотношения соответствия для сингулярных ядер (2.1.6) внутри своего класса. В связи с этим рассмотрим следующий пример.
Пусть ядро у {т) задано полностью, а для ;г (т) задан только параметр К2ФКХ. Требуется найти для у (т) остальные два параметра А2 и Ь2 из условий (2.1.7). В данном случае решение этого вопроса тривиально, поскольку указанные условия сразу приводят к выражениям где g0 = 0( 2)-1 Для случая /(г) = h(r) при r0 = 0.25 близость волновых процессов, рассчитанных при двух различных ядрах (2.1.6) иллюстрирует рис. 2.1.4, на котором две практически совпадающие кривые 1 и 2 (сплошная и пунктирная) выражают зависимость т12(г,г)/Р0 от т в точке г = г0. 20
Кривая 1 соответствует расчетам с изначально заданным сингулярным ядром (г) = 0.08е 035гг 02, кривая 2-е ядром у(2\т) = 0.053 e""0,187rr 4, у которого к2=-0Л задавалось, а параметры А2 и Ь2 вычислялись по формулам (2.1.8). Для сравнения на рисунке приведена штрихпунктирная кривая 3, соответствующая расчетам при ядре у (г) = 0.15е тт , для которого соотношения (2.1.7) не выполнены.
Заметим, что если варьировать параметры ядер (2.1.6), сохраняя равенства (2.1.7), то можно получить множество ядер, влияние которых на нестационарный процесс будет весьма схожим.
Исследовался случай, когда ядро у\ выбиралось в виде суммы экспонент (1.3.14) с относительно небольшим разбросом коэффициентов Д в показателях (когда наибольшее и наименьшее времена релаксации отличались менее чем на порядок). Характерный для такой ситуации рисунок 2.1.5 иллюстрирует близость волновых процессов при заданном ядре ft указанного вида и при соответствующем ему простейшем ядре у2 вида (1.3.2), найденном из уравнения (1.3.15) и соотношения (1.3.16).
Задача о распространении продольной волны в поперечном сечении бесконечного цилиндра
Заметим, что если варьировать параметры ядер (2.1.6), сохраняя равенства (2.1.7), то можно получить множество ядер, влияние которых на нестационарный процесс будет весьма схожим.
Исследовался случай, когда ядро у\ выбиралось в виде суммы экспонент (1.3.14) с относительно небольшим разбросом коэффициентов Д в показателях (когда наибольшее и наименьшее времена релаксации отличались менее чем на порядок). Характерный для такой ситуации рисунок 2.1.5 иллюстрирует близость волновых процессов при заданном ядре ft указанного вида и при соответствующем ему простейшем ядре у2 вида (1.3.2), найденном из уравнения (1.3.15) и соотношения (1.3.16). Все графики построены при /(г) = И(т) и г0 = 0.5 для точки г = r0. пунктирная кривая 2 - аналогичным результатам при ядре у2{т) = 0Л6е т. Как видим, она практически сливается с кривой 1. Штрихпунктирная кривая 3 дана для сравнения и соответствует результатам при ядре у3(т)= 0.64 е-3 64г, для которого выполнено только условие (1.2.1), но не выполнено условие (1.2.2).
Был рассмотрен вариант предыдущей задачи с той лишь разницей, что теперь ядро ух выбиралось в виде суммы экспонент (1.3.14) с большим разбросом коэффициентов Д в показателях (в несколько порядков). На рис. 2.1.6 представлены результаты соответствующих расчетов для случая f{z) = h{r), г0=0.5 в точке г = 0.7. Здесь, как и ранее, кривые 1,2,3 относятся к результатам при ядрах /j, у2, Уъ ух (г) = 0.5 ГТ + 0.00125Є-0 0,г + 0.25 Ю-4 е-0 0001г - исходное ядро; у2(т) = 0.448е 0512г - ядро, соответствующее ух и найденное из уравнения (1.3.15) и соотношения (1.3.16); у3(т) = 0.2е 229т - ядро, взятое для сравнения (для него выполнено только условие (1.2.1)).
Проведенные исследования при разных значениях г0, а также функции внешней нагрузки и константах исходного ядра у\ показали, что если значения показателей экспонент в выражении ух (1.3.14) отличаются на порядки, то близость результатов первой и второй серий расчетов (при ядре у\ и соответствующем ему ядре у г) в целом наблюдается в большей степени для напряжений, чем для перемещений. Однако, следует заметить, что в этом случае для нестационарных задач исследуемого класса замена исходного ядра на простейшее с помощью (1.3.15), (1.3.16) как правило вообще не целесообразна и носит в данной работе скорее характер теста. Рассматривая волновые процессы, время затухания которых имеет порядок сотни характерных времен t0, т.е. г «100, в выражении (1.3.14) можно оставить лишь слагаемое с самым большим значением Д и отбросить все остальные. Это следует как из теоретических соображений, так и подтвердилось конкретными расчетами.
Рассмотрим задачу динамики однородного изотропного линейно-вязкоупругого бесконечного цилиндра, на внутреннюю поверхность которого в момент t = 0 действует равномерно распределенная вдоль образующей радиальная нагрузка Q(t) (поперечное сечение изображено нарис. 2.2.1).
Как и в предыдущей задаче, ведем полярные координаты и безразмерные величины: r = RjRx, r0=R0/Rx, r = t/t0, ur(r,r) = WR(R,t)/Rx, qQf{r) = Q{t)l2GQ, rrr(г,т) = PRR{R,t)l2GQ, твв(г,т) = Pee(R,t)/2GQ, rv(T) = t0Tv(0, rs(r) = t0Ts(t), ei(0 = [(l + Vo)rvW + 2a-2v0)yf(r)]/[3(l-v0)], где /0=/?j/c; g0 - безразмерная константа, PRRI PQQ радиальное и кольцевое напряжения, WR- радиальное перемещение, с - скорость продольной упругой волны, G0, V0 - мгновенные значения модуля сдвига и коэффициента Пуассона, Tv(t),Ts(t) - ядра объемной и сдвиговой релаксации.
Процесс построения решения подобной задачи в оригиналах уже рассматривался ранее рядом авторов [26,42,44], причем цилиндр брался не только однородным, но и слоистым. Однако в данной работе в пределах настоящей главы целью является не получение новых решений, а подтверждение правомерности выбора условий соответствия ядер в виде (1.2.1), (1.2.2) для одномерных волновых процессов.
Решение для перемещения в оригиналах при нагрузке f{r) = h{r) представляется в форме иг(г,т) = -4\г) + - [Re[Ur(r,w)emT]dd), г 0, (2.2.6) 2 х0 где и/ \г), соответствуют установившемуся при г-»оо квазистатическому решению для рассматриваемого тела: [l-rs(0)]Z0V2 г V„2 1-Г,(0) 2
При произвольной /(г) решение строится на основе формулы (2.2.6) с помощью интегральной свертки вида (1.1.14). Решение для напряжений строится аналогично и оно здесь не приводится в целях уменьшения количества громоздких выражений.
Проведение расчетов осуществлялось по тому же принципу, что и в предыдущем параграфе. В процессе расчетов нагрузка выбиралась как в виде функции Хевисайда, так и в виде короткого импульса, при этом варьировались r0, v0, а также параметры исходных ядер сдвиговой и объемной релаксации. Ниже представлены некоторые характерные результаты.
Построение решения в пространстве изображений Лапласа
С помощью выражений (3.2.2), (3.2.5) - (3.2.7), а также (3.3.4) были проведены расчеты перемещений и напряжений как функций времени в различных точках цилиндра при разных вариантах исходных данных. Как и ранее, сопоставлялись между собой волновые процессы, протекавшие при ядрах, принадлежащих разным классам функций, но связанных между собой соотношениями соответствия (1.2.1), (1.2.2), при прочих одинаковых условиях. Классы сравниваемых ядер релаксации выбирались теми же, что и в предыдущей главе, т.е. сингулярные ядра Колтунова-Ржаницына (1.3.11) или регулярные в виде суммы нескольких экспонент (1.3.14) сравнивались с простейшим ядром из одной экспоненты (1.3.2). При этом последнее находилось с помощью уравнения (1.3.12) и соотношения (1.3.13), или, соответственно, (1.3.15), (1.3.16).
Ниже представлены лишь некоторые характерные результаты проведенных расчетов для случая, когда функция p(z), характеризующая распределение внутреннего давления вдоль оси цилиндра, имеет вид p(z) = 0.5(1 + cos&r), если z //8; p(z) = 0, если //8 z /.
Все эти результаты были получены с удержанием в рядах Фурье первых 14 членов, и, как показали вычисления, такого их количества при указанной функции p(z) оказалось вполне достаточно. Рис. 3.4.1. иллюстрирует кривую, которая аппроксимирует p(z) при п = 0,1,2,...,13.
На всех последующих рисунках показаны графики зависимости от т пронормированных на величину q0 безразмерных напряжений или перемещений в разных фиксированных точках цилиндра. Рисунки сопровождаются схематичными изображениями мест расположения соответствующих точек с указанием их координат.
На каждом из рисунков 3.4.2 - 3.4.11 представлены графики для случая yv =0, ys=Yk ПРИ трех различных ядрах релаксации ( = 1,2,3). Как и в предыдущей главе, всюду на них сплошная кривая 1 относится к результатам при изначально заданном ядре у\ =0.1е 04гг 03, а пунктирная кривая 2 - к аналогичным результатам при ядре 72=0.194е , найденном для ух из условий соответствия (1.2.1), (1.2.2.). Штрихпунктирная кривая 3 дана для сравнения и иллюстрирует результаты при ядре уъ = 0.8е 3245г, для которого выполнено только условие (1.2.1). Подчеркнем, что все прочие исходные данные, определяющие безразмерное решение для всех трех кривых одни и те же.
Рис. 3.4.2 - 3.4.8 относятся к случаю, когда изменение нагрузки во времени имеет характер функции Хевисайда /(т) = Н(т). Остальные исходные данные следующие: г0 = 0.8, 1 = 6, v0 = 0.3.
(1) Построено решение неодномерной осесимметричной нестационарной вязкоупругой задачи для цилиндра конечной длины при ядрах релаксации общего вида в рамках ограниченной ползучести материала во всем диапазоне изменения времени.
(2) На основе построенного решения путем конкретных расчетов проведено исследование волновых процессов в различных точках конечного цилиндра в широком диапазоне изменения времени при различных вариантах исходных данных: менялся характер нагрузки, варьировались геометрические и физико-механические параметры, в том числе параметры наследственных ядер. (3) Проведенные исследования подтвердили правомерность выбора соотношений (1.2.1), (1.2.2) в качестве условий близости (соответствия) между ядрами разных типов по отношению к их влиянию на неодномерные нестационарные процессы. Установлено, что в рассмотренной двумерной динамической задаче для заданного ядра в виде суммы нескольких экспонент или сингулярного ядра Колтунова-Ржаницына можно с помощью указанных условий соответствия подобрать простейшее ядро всего из одной экспоненты, которое будет оказывать на волновой процесс почти такое же влияние, что и исходное ядро
Выполненная работа была проведена с общей целью изучения влияния наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах, в том числе, получения более полного представления о том значении, которое имеет принадлежность ядер релаксации тому или иному классу. В этой связи с помощью определенных соотношений предполагалось установить соответствие между ядрами, принадлежащими разным классам функций, но при этом проявляющими себя в нестационарных вязкоупругих задачах схожим образом.
В рамках выбранной цели в настоящей работе получены следующие основные результаты, имеющие как научную, так и практическую ценность.
(1) Сформулировано и доказано утверждение о существовании и единственности ядра из класса простейших двухпараметрических экспоненциальных ядер, которое удовлетворяет двум условиям соответствия (близости) заданному ядру общего вида. Дан алгоритм построения указанного простейшего ядра с помощью решения нелинейного алгебраического уравнения с одним неизвестным.
(2) С использованием предложенного общего алгоритма в частных случаях проведено построение двухпараметрического ядра, состоящего из одной экспоненты, которое соответствует заданному исходному ядру в форме Колтунова-Ржаницына. Проведено аналогичное построение в случае задания исходного ядра в виде суммы конечного числа экспонент.
