Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка вопроса, основные положения 9
1.1. Обзор существующей литературы 9
1.2. Особенности длительной прочности композиционных материалов 14
1.3. Циклические разрушения горных пород 17
2. Кратковременная прочность анизотропных материалов 21
2.1. Теории К.В.Захарова, ИИ. Гольденблата-В.А. Кошюва и связь между ними 21
2.2. Полиномиальный критерий (условие предельного равновесия) анизотропных горных пород 31
3. Плоская деформация анизотропного тела 38
3.1. Критерий кратковременной прочности анизотропных горных пород на основе обобщения теории энергии формоизменене ния 38
3.2. Критерий прочности в условиях плоской деформации 42
3.3. Плоская деформация анизотропной среды. Основные разрешающие уравнения при полиномиальном условии пластичности 45
3.4. Численное решение уравнений характеристик при плоской деформации анизотропной среды 57
3.5. Графики изменения зависимости предельной нагрузки от предела прочности 68
4. Длительная прочность геоматериалов 78
4.1. Критерий длительной прочности на основе полинома К.В. Захарова 78
4.2. Критерии длительной прочности К.В. Захарова и И.И. Гольденб-лата-В.А. Копнова для прочностного расчета 91
4.3. Малоцикловое разрушение 93
4.4. Построение диаграмм упруго — пластической деформации горных пород с использованием эмпирических зависимостей 96
Основные выводы по четвертой главе 111
Основные выводы по диссертации 112
Литература 113
- Особенности длительной прочности композиционных материалов
- Полиномиальный критерий (условие предельного равновесия) анизотропных горных пород
- Критерий прочности в условиях плоской деформации
- Критерии длительной прочности К.В. Захарова и И.И. Гольденб-лата-В.А. Копнова для прочностного расчета
Введение к работе
Актуальность темы. Прочность конструкционных материалов, к которым относятся стеклопластики, углепластики, армированные материалы и другие, является одной из актуальных тем исследования последних лет. На сегодняшний день предложены различные критерии прочности, условия текучести для таких материалов, решены многие практически важные задачи и получены ценные результаты.
Несмотря на то, что вопросы прочности и разрушения горных пород, в основном, исследуются отдельно от вопросов прочности анизотропных материалов, существуют точки соприкосновения этих исследований. В основном это касается разработанных для различных видов материалов критериев прочности, которые после некоторой оговорки используются как условие текучести или условие предельного равновесия.
В настоящее время критерии прочности и пластичности материалов условно делятся на две группы: критерии, являющиеся результатом обобщения критериев прочности и пластичности изотропных тел, и критерии, разработанные применительно к анизотропным телам с учетом специфики их деформирования и разрушения.
Большинство существующих критериев недостаточно широко применяются в практике. Причиной этого, возможно, является относительная сложность их математического выражения и необходимость проведения большого числа опытов для определения входящих в них постоянных. Но следует отметить, что некоторым исследователям удалось получить решение некоторых задач благодаря использованию современной вычислительной техники.
Проблемы, рассмотренные в данной диссертации, весьма обширны и занимают многих исследователей не только у нас в стране, но и за рубежом. Нужно отметить, что вопросы, связанные с ними все же пока еще не близки к своему общему разрешению. Недостаточная изучен-
ность проблемы прочности и разрушения анизотропных материалов и горных пород, которой посвящена диссертационная работа, является актуальной и занимает многих исследователей не только у нас в стране, но и за рубежом.
Цель работы. Разработка критериев прочности для тел, механические характеристики которых обладают свойствами анизотропии. Вывод условий предельного равновесия горных пород в плоско деформированном состоянии. Расчет геоматериалов на длительную прочность и на прочность при циклически изменяющихся нагрузках.
Научная новизна работы.
Доказано, что два известных критерия кратковременной прочности И.И. Гольденблата — В.А. Копнова и К.В. Захарова всегда совпадают не только в плоскости, но и в пространстве главных напряжений, если критерий И.И. Гольденблата - В.А. Копнова записан в квадратичной форме. Проверка обоих критериев на длительную прочность, при одинаковых функциях изменения прочностных параметров по времени, подтверждают их совпадение.
Получен критерий для решения задач статики анизотропных тел на основе обобщения критерия Друккера - Прагера.
На основе критерия прочности К.В. Захарова, методом линий скольжения, решена задача по определению предельного давления на анизотропную полуплоскость.
Получен критерий длительной прочности путем введения характеристик кратковременной прочности, зависящих от времени. Разработана методика определения предела усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности.
Предложена методика построения диаграмм упруго - пластической деформации путем применения эмпирических зависимостей, полученных из многочисленных опытов.
Практическая значимость работы. Полученные в диссертации результаты могут быть применены в области бурения скважин:
для решения задач статики анизотропных тел;
для решения задач по определению предельного давления на анизотропную полуплоскость;
для оценки длительной прочности анизотропных материалов;
для определения критерия усталостного разрушения геоматериалов.
Обоснованность и достоверность научных результатов обеспечивается строгим математическим обоснованием предлагаемых методик расчета, использованием фундаментальных принципов механики деформируемого твердого тела, сопоставлением полученных результатов с известными аналитическими и численными расчетными данными.
Апробация работы.
Основные положения работы были доложены и обсуждены:
на научной сессии по итогам 2003 года, г. Альметьевск, 2004 г.
на международной научной конференции. «Актуальные проблемы математики и механики», г. Казань, 26 сентября - 1 октября 2004г.
на научной сессии по итогам 2004 года, г. Альметьевск, 2005 г.
на научной сессии по итогам 2005 года, г. Альметьевск, 2006 г.
на всероссийской научно-практической конференции «Большая нефть XXI века», г. Альметьевск, 17-20 октября 2006г.
- на межвузовском семинаре по механике деформируемого твердого
тела под руководством член.-кор. А.Н. РТ Паймушина В.Н., КГТУ им. A.M.
Туполева, 11 апреля 2007 г., г. Казань.
Публикации. Содержание работы отражено в 9 печатных работах, две из которых опубликованы в журналах из списка ВАК.
Объем и структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав, выводов, списка использованной литературы из 116 наименований. Работа изложена на 123 страницах. Содержит 32 рисунка, 5 таблиц.
Диссертация состоит из четырех глав. Первая глава посвящена аналитическому обзору работ в области анизотропии различного рода материалов при статическом воздействии внешних нагрузок. Здесь также рассматриваются особенности длительной прочности конструкционных материалов и приведен обзор исследований в области научных основ разрушения горных пород, в частности, вопросы усталостной прочности металлов и горных пород, учет циклических разрушений конструкционных материалов и геоматериалов.
Во второй главе сравниваются две известные теории кратковременной прочности, доказывается совпадение этих критериев не только в плоскости, но и в пространстве главных напряжений. Исследования проведены при сравнении критериев К.В. Захарова и И.И. Гольденблата -В.А. Копнова.
В этой же главе получено условие предельного равновесия анизотропных горных пород на основе критерия П.А. Павлова. Записанный критерий является частным случаем критерия Р.Мизеса и может быть использован для решения задач статики.
Третья глава освещает плоское деформированное состояние анизотропных геоматериалов. Рассматриваются критерии кратковременной прочности анизотропных горных пород на основе теории энергии формоизменения, выведено условие предельного равновесия пластичной горной породы для плоско деформированного ее состояния. Проведено подробное исследование уравнений пластического равновесия и преобразование их к каноническим системам. Показано, что эти уравнения в зависимости от характера напряженного состояния могут быть не только гиперболическими, но и эллиптическими. Проведен анализ гиперболичности разрешающих уравнений.
Получены основные разрешающие уравнения при полиномиальном условии пластичности в условиях плоской деформации. Решение краевых задач было получено при помощи приближенного интегрирования уравнений методом конечных разностей.
В четвертой главе рассмотрена возможность обобщения полиномиального критерия прочности К.В. Захарова на длительную прочность геоматериалов и доказанно, что этот критерий удовлетворительно согласуется с данными экспериментов. Построение критерия прочности проведено согласно методике указывающей, что в случае постоянно действующих напряжений можно получить такую аналитическую запись критерия прочности, содержащую некоторую затухающую функцию времени. Доказывается, что определение длительной прочности анизотропного материала сводится к изменению, а именно, уменьшению значений пределов кратковременной прочности в направлениях главных осей анизотропии. Построены кривые длительной прочности, показывающие зависимость напряжения сжатия от времени, зависимость времени длительной прочности от давления при различных параметрах к, а0, коэффициента
Пуассона, угла а, глубины скважины.
В этой же главе доказывается совпадение критериев длительной прочности для случая плоского напряженного состояния на примере одного из этапов прочностного расчета стеклопластиковой конструкции, испытывающей длительное силовое воздействие. Получена формула, позволяющая определить предел усталости горных пород при известном значении коэффициента пластичности. Предложена методика построения диаграмм упруго-пластической деформации путем применения эмпирических зависимостей.
1. ПОСТАНОВКА ВОПРОСА, ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 1.1. ОБЗОР СУЩЕСТВУЮЩЕЙ ЛИТЕРАТУРЫ.
Современные конструкционные материалы, обладают анизотропией, т.е. зависимостью физических свойств от выбранного направления, что является следствием особенностей их текстуры. Физические свойства материалов параллельно плоскостям напластования и слоистости отличны от тех же свойств в перпендикулярном направлении.
Многие изотропные в исходном состоянии металлы, сплавы и другие материалы в процессе пластического деформирования приобретают анизотропные свойства. Это - так называемая деформационная анизотропия. Исследований деформационной анизотропии металлов и сплавов даже при простейших деформациях, не говоря уже о сложном напряженном состоянии, имеется немного, например Е.К.Ашкенази [9], П.Г. Микля-ев [57].
Для решения задач теории предельного состояния твердых тел необходимо учитывать их анизотропные свойства. Эта проблема лежит в основе расчетов механики грунтов и привлекает многих исследователей [3,4,5,33,106,107,108,116].
Существует ряд работ, посвященных упругим свойствам анизотропных тел [25,26,31,39,53,67,68,90,91,104,105,109-116]. Этим вопросом занимались Коши и Сен-Венан, но общая задача анизотропии впервые была поставлена Р.Мизесом [114] в 1928 году и впоследствии развита Р.Хиллом [95].
По теории Р.Мизеса условие пластичности структурно-
неоднородного тела - это некоторая квадратичная функция напряжения, которая включает в себя 15 независимых постоянных, определяемых опытным путем. Эта функция относительно координат, характеризующих симметричные свойства тела, инвариантна. Чтобы упростить ее предпо-
лагается, что анизотропное тело обладает свойствами несжимаемости, идеальной пластичности и для него применим ассоциированный закон течения.
Далее в теории анизотропных пластических сред определялись два основных направления. В первом направлении условие пластичности вводится как модификация условия Р.Мизеса, а второе опирается на обобщение условия пластичности Треска — Сен-Венана.
Р. Хилл [95] используя условие Р. Мизеса о независимости «пластического потенциала» от шарового тензора напряжений[114], предложил модифицированное условие, совмещая координатную систему в теле с главными направлениями анизотропии. Это условие содержит 6 независимых констант, которые могут быть определены опытным путем.
Экспериментальная проверка критерия Мизеса - Хилл а различными авторами привела к разноречивым результатам. Порой противоречивые выводы делаются по отношению к одному и тому же материалу. В исследованиях Е.К. Ашкенази [9] установлено, что для неметаллических материалов с ярко выраженной неоднородностью условие Мизеса - Хил-ла приводит к противоречию с экспериментальными данными, а для материалов такого же типа со слабо выраженной неоднородностью условие Мизеса — Хилла удовлетворительно аппроксимирует экспериментальные данные. Противоречивые сведения касаются материала текстолита. Экспериментальные исследования [10,11] проведенные с текстолитовыми трубками, показали, что критерий Мизеса - Хилла неудовлетворительно согласуется с опытными данными. В работе [18] указывается на-вполне удовлетворительную аппроксимацию критерием Мизеса - Хилла опытных данных для текстолита.
Л.Фишер [109] исследовал прочность при сложном напряженном состоянии анизотропного стекловолокнита. В качестве критерия прочности этого материала автор предлагает использовать критерий энергии формоизменения, включив в него различные упругие и прочностные ха-
рактєристики материала в направлении осей симметрии механических свойств материала. В своей работе Л.Фишер делает следующие допущения: слои стеловолокнита упругие и однородные; слои уподобляются ортотропным пластинкам; сдвиги между слоями исключаются; исключаются случаи продольного изгиба. В критерии Л.Фишера, как и в критерии Мизеса-Хилла, предполагается, что анизотропный материал имеет одинаковые пределы прочности на растяжение и сжатие.
К.В. Захаров [39] при разработке своего критерия ограничился только системой координат, совпадающей с осями симметрии механических свойств материала.
Критерий, предложенный Джорджем Мэриным [96], относится к анизотропным материалам с различными пределами прочности на растяжение и сжатие. Он предложил критерий в виде квадратного полинома, коэффициенты которого выражаются через константы прочности материала, взятые в основной системе координат. Эксперименты над слоистыми пластиками показывают, что критерий Д.Мэрина удовлетворительно аппроксимирует опытные данные для анизотропных материалов, у которых близки по величине пределы прочности на растяжение и сжатие в основных направлениях.
В работе [27] И.И. Гольденблатом и В.А. Копновым предложено условие прочности анизотропных материалов в виде разложения по степеням инвариантов тензора напряжений. Это условие в зависимости от показателя степени разложения может не удовлетворить пластическому состоянию того или иного материала, тогда следует удерживать в нем большее число инвариантов или же варьировать ими.
Условие [27] применительно для любого анизотропного материала (в зависимости от выбранных сочетаний инвариантов), и является обобщенным условием.
В работе [10,27] кроме собственных разработок дан обзор литературных данных в области теории анизотропных сред. Здесь рассматри-
ваются условия Мизеса - Хилла, Мэрина - Ху [96] критерии прочности К.В.Захарова и Д. Марина, критерий А.К.Малмейстера [49], условие пластичности Е.К.Ашкенази [9], экспериментальный критерий прочности А.М.Жукова [37,38].
В работе [27] И.И. Гольденблата указывается, что композиционным материалам присуща структурная неоднородность и анизотропия, предопределенная их строением. Различного рода стеклопластики в большинстве своем являются материалами с ярко выраженной анизотропией механических свойств. Кроме того, этим материалам в большей степени свойственны временные эффекты. Практический интерес представляют определение деформаций в нагруженном теле по истечении определенного времени (ползучесть) и установление условий разрушения (длительная прочность). Композиционным материалам типа стеклопластиков свойственна незначительная ползучесть при растяжении - сжатии в основных направлениях, особенно при нормальной температуре. Определяющей для ортотропных стеклопластиков является сдвиговая ползучесть. Вопросам исследования ползучести композиционных материалов посвящены работы [59], [60], [70], [82], [85].
Анизотропия механических свойств металлов характерна для монокристаллов, сплавов направленной кристаллизации, а также металлов с армированными волокнами. Такая анизотропность называется начальной (исходной). Существует другой вид анизотропии, когда первоначально изотропная кристаллическая решетка вытягивается в направлении особого пути деформирования, вследствие чего текстура образца становится волокнистой и металл приобретает механические свойства анизотропии. Такая анизотропия называется деформационной. При этом наибольших различий следует ожидать не между пределами текучести в продольном и поперечном направлениях, а между продольным и диагональным.
Кроме условия текучести Мизеса —Хилла в литературе известны и другие условия текучести анизотропных тел — Д.Д.Ивлева [42], Д.Дракера [31], А.М.Жукова [37,38], В.Н.Бастуна и Н.И.Черняка [17]. Эти условия пластичности разрабатывались применительно к таким материалам, как металлы и композитные материалы.
Экспериментальная проверка условий текучести анизотропных тел для случая сложного напряженного состояния, выполненная на трубчатых образцах из материалов (металлы, стеклопластики) с различной анизотропией, подверженных растяжению и внутреннему давлению, показала, что условие текучести Мизеса—Хилла удовлетворительно описывает поведение металлов, а для материалов типа стеклопластиков справедливо условие Гольденблата - Копнова [28].
Как уже отмечалось, вторым направлением в теории анизотропного тела является обобщение условия Треска-Сен-Венана. В этом направлении наиболее общие результаты получены Д.Д. Ивлевым [40,41,42]. Для анизотропного тела кусочно-линейные условия не только приводят к более простым краевым задачам, но, по-видимому, эти условия обладают преимуществами и с физической точки зрения.
Известно, что в координатной системе главных напряжений, квадратичное условие Р. Мизеса, также как и условие Треска-Сен-Венана, в условиях плоской деформации интерпретируется двумя параллельными прямыми, однако задачи плоской деформации не так сложны, как задачи плоского напряженного состояния. В этом отношении разработку критериев прочности анизотропных материалов также целесообразно было бы вести во втором направлении.
При формулировке условия текучести [41] принимается, что оно не зависит от гидростатического давления, и в пространстве главных нормальных напряжений интерпретируется невогнутой поверхностью.
Согласно теории Д.Д. Ивлева [41] для любого анизотропного идеально - пластического материала существует линия предельного ка-
сательного напряжения, как только эпюра касательных напряжений касается этой линии, - в теле происходит сдвиг [21]. Для построения предельной линии достаточно определить два предела текучести при чистом сдвиге в условиях плоской деформации. При этом следует поочередно менять знак действующих максимальных касательных напряжений.
На основе условия пластичности Д.Д.Ивлева выполнен ряд работ самим автором и другими последователями [21,32,40,41,42,75,76,77].
В работах [40,41,42,97] условие Д.Д. Ивлева [41] обобщено на случай анизотропных сыпучих сред , а в работе В.Б.Чадова [97] также и на случай анизотропных дилатирующих сред, где решена задача о внедрении пуансона в анизотропную полуплоскость. Решение этой задачи сводится к численному интегрированию основных уравнений методом малого параметра.
В работе Sato Koichi [115] предложено условие текучести, также основанное на гипотезе максимальных касательных напряжений, отличное от [41]. При выводе условия текучести используются различия интенсивности напряжения и деформаций на гранях неправильного шестиугольника текучести.
1.2. ОСОБЕННОСТИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ПРОЧНОСТИ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ.
Композиционным материалам присуща структурная неоднородность, предопределенная их строением. Различного рода стеклопластики, углепластики и другие композиции в большинстве своем являются материалами с ярко выраженной анизотропией механических свойств. Кроме того, этим материалам в большей степени, чем традиционным металлам и сплавам, свойственны временные эффекты. Реологические свойства таких материалов должны учитываться в методиках
расчета силовых элементов конструкций, выполненных из них. Практический интерес представляют определение деформаций в нагруженном теле по истечении определенного времени (ползучесть) и установление условий разрушения (длительная прочность).
Пределом длительной прочности называют напряжение, вызывающее разрушение за заданное время при данной температуре. Разрушение образца может сопровождаться достаточно большими деформациями и носить вязкий характер (вязкое разрушение), а может быть хрупким, и происходить при малых деформациях (хрупкое разрушение). В случае хрупкого разрушения в однородном материале начинают образовываться мелкие трещины, эти трещины растут, наконец, образуется магистральная трещина, и образец разрушается. В зависимости от уровня напряжения при данной температуре один и тот же материал может разрушаться или вязко или хрупко. При больших напряжениях и малых временах происходит вязкое разрушение, при низких напряжениях и больших временах - хрупкое. Каждому значению растягивающего напряжения соответствует определенное время до разрушения. Для многих материалов оказывается, что при различных температурах зависимость
времени до разрушения t (долговечности) от величины напряжения такая, что в логарифмических координатах получается прямая.
Как известно, композиционным материалам свойственна незначительная ползучесть при растяжении - сжатии в основных направлениях, особенно при нормальной температуре. Определяющей для них является сдвиговая ползучесть.
Вопросы длительной прочности композиционных материалов по сравнению с ползучестью изучены к настоящему времени значительно меньше. Это объясняется тем, что на композиционные материалы трудно переносить некоторые известные теории, разработанные для однородных материалов и не всегда можно распространить на эти материалы физические теории хрупкого, вязкого или смешанного разрушения,
предложенные, например,, в работе Работнова IO.H. [70]. Длительная прочность композиционных материалов мало исследована даже при простейших деформациях.. Особенно труден этот вопрос при наличии сложного напряженного состояния, причем это в одинаковой мере относится и к теоретическим и к экспериментальным исследованиям.
Особенностью длительной прочности композиционных материалов, является* не только ее зависимость от времени пребывания, тела под нагрузкой и. температуры, тела, но и от направления; действующей силы по отношению к направлениям армирования; а. также от; содержания свойств исходных компонентов материала. При простых: напряженных состояниях за основной критерий длительной прочности принимается соответствующее нормальное или; касательное напряжение, вызывающее; разрушение; за определенный срок работы; материала.
Испытания на .одноосное растяжение образцов из композитного-материала ИїМ. Огибалов^ В.А. Ломакин, Б.Ш Кишкин [61], показывают, что' связь. между пределом длительной прочностш и логарифмом долговечности для; всех направлений; является' линейной; Исследуя,, вопрос об аппроксимации опытных данных,' авторы, работы. [6l]f пришли^к- выводу, что; наилучшим образом экспериментальные точки можно аппроксимировать кривыми, построенными по формулам, предложенным;>':. в „работе И;И.Гольденблата, В.А. Копнова[28]. Для* исследования»; анизотропии прочности (кратковременной и длительной) следует использовать комбинированное нагружение, например, цилиндрических оболочек [28]::
На; основании . анализа экспериментальных данных по длительной прочности композитов при одноосном растяжении, сжатии, сдвиге можно; отметить следующие закономерности. С ростом времени пребы-; вания тела под нагрузкой t* пределы^ прочности при данных видах деформации и неизменной температуре; падают.
Анизотропия механических свойств композиционных материалов распространяется; и на длительную прочность этих материалов, причем
Особенности длительной прочности композиционных материалов
Композиционным материалам присуща структурная неоднородность, предопределенная их строением. Различного рода стеклопластики, углепластики и другие композиции в большинстве своем являются материалами с ярко выраженной анизотропией механических свойств. Кроме того, этим материалам в большей степени, чем традиционным металлам и сплавам, свойственны временные эффекты. Реологические свойства таких материалов должны учитываться в методиках расчета силовых элементов конструкций, выполненных из них. Практический интерес представляют определение деформаций в нагруженном теле по истечении определенного времени (ползучесть) и установление условий разрушения (длительная прочность).
Пределом длительной прочности называют напряжение, вызывающее разрушение за заданное время при данной температуре. Разрушение образца может сопровождаться достаточно большими деформациями и носить вязкий характер (вязкое разрушение), а может быть хрупким, и происходить при малых деформациях (хрупкое разрушение). В случае хрупкого разрушения в однородном материале начинают образовываться мелкие трещины, эти трещины растут, наконец, образуется магистральная трещина, и образец разрушается. В зависимости от уровня напряжения при данной температуре один и тот же материал может разрушаться или вязко или хрупко. При больших напряжениях и малых временах происходит вязкое разрушение, при низких напряжениях и больших временах - хрупкое. Каждому значению растягивающего напряжения соответствует определенное время до разрушения. Для многих материалов оказывается, что при различных температурах зависимость времени до разрушения t (долговечности) от величины напряжения такая, что в логарифмических координатах получается прямая.
Как известно, композиционным материалам свойственна незначительная ползучесть при растяжении - сжатии в основных направлениях, особенно при нормальной температуре. Определяющей для них является сдвиговая ползучесть.
Вопросы длительной прочности композиционных материалов по сравнению с ползучестью изучены к настоящему времени значительно меньше. Это объясняется тем, что на композиционные материалы трудно переносить некоторые известные теории, разработанные для однородных материалов и не всегда можно распространить на эти материалы физические теории хрупкого, вязкого или смешанного разрушения, предложенные, например,, в работе Работнова IO.H. [70]. Длительная прочность композиционных материалов мало исследована даже при простейших деформациях.. Особенно труден этот вопрос при наличии сложного напряженного состояния, причем это в одинаковой мере относится и к теоретическим и к экспериментальным исследованиям.
Особенностью длительной прочности композиционных материалов, является не только ее зависимость от времени пребывания, тела под нагрузкой и. температуры, тела, но и от направления; действующей силы по отношению к направлениям армирования; а. также от; содержания свойств исходных компонентов материала. При простых: напряженных состояниях за основной критерий длительной прочности принимается соответствующее нормальное или; касательное напряжение, вызывающее; разрушение; за определенный срок работы; материала.
Испытания на .одноосное растяжение образцов из композитного-материала ИїМ. Огибалов В.А. Ломакин, Б.Ш Кишкин [61], показывают, что связь. между пределом длительной прочностш и логарифмом долговечности для; всех направлений; является линейной; Исследуя,, вопрос об аппроксимации опытных данных, авторы, работы. [6l]f пришли к- выводу, что; наилучшим образом экспериментальные точки можно аппроксимировать кривыми, построенными по формулам, предложенным; :. в „работе И;И.Гольденблата, В.А. Копнова[28]. Для исследования»; анизотропии прочности (кратковременной и длительной) следует использовать комбинированное нагружение, например, цилиндрических оболочек [28]::
На; основании . анализа экспериментальных данных по длительной прочности композитов при одноосном растяжении, сжатии, сдвиге можно; отметить следующие закономерности. С ростом времени пребы-; вания тела под нагрузкой t пределы прочности при данных видах деформации и неизменной температуре; падают.
На сегодняшний день в отечественной и зарубежной литературе существуют теории длительной прочности. Среди них, по крайней мере, необходимо, в первую очередь привести теории Л.М.Качанова [43,44], Ю.Н. Работнова[71].
В работе Л.М. Качанова [43] говорится, что композиционные материалы характеризуются анизотропией частного вида, т.е. можно их рассматривать как ортотропные материалы. Оси симметрии свойств материала образуют основную систему координат; для ортотропного материала это будет ортогональная система координат. Также в работе [43] рассматривается вопрос о критериях разрушения анизотропных материалов.
Полиномиальный критерий (условие предельного равновесия) анизотропных горных пород
Все твердые тела в зависимости от диапазона нагружения и внешних условий в большей или меньшей степени проявляют свойства упругости, пластичности, вязкости. Обычно для изучения всех этих свойств и определения состояния тел на грани разрушения проводят простые опыты. По данным этих опытов строятся деформационные кривые, устанавливающие связь между соответствующими компонентами напряжений, деформаций, скоростей деформаций и времени.
Условие перехода какого-либо элемента нагруженного твердого тела в состояние хрупкого разрушения или пластического течения, когда в известной мере исчерпывается несущая способность, принято называть критерием прочности при монотонном нагружении. При одноосном напряженном состоянии критерий прочности оценивается предельным, или опасным, значением напряжения. При переходе к сложному напряженному состоянию исходят из простейшего естественного предположения: уравнение предельного состояния не должно зависеть от выбора системы координат и должно содержать лишь инварианты, характеризующие напряженное состояние.
При изучении анизотропии горных пород чаще всего ограничиваются изучением свойств горных пород в плоскости, параллельной напластованию, и плоскости, перпендикулярной к напластованию, считая любое из направлений в этих плоскостях эквивалентным в отношении механических свойств. Такие тела принято называть трансверсально - изотропными.
Известно, что прочность горных пород на сжатие существенно отличается от прочности на растяжение или сдвиг. Кроме того, прочность может зависеть от направления сжатия, растяжения сдвига относительно плоскостей напластования. Сравнивая результаты нескольких опытов, отличающихся видом напряженного состояния и направлением нагружения относительно плоскостей напластования, можно определить уравнение предельной поверхности данной горной породы. Для этого, можно воспользоваться каким — либо обобщенным критерием для анизотропных тел.
В частном случае такой критерий предложен в [63] П.А. Павловым. В работе [63] этот критерий был использован для решения ряда задач механики, применительно к бурению скважин.
В таком виде критерий (2.2.1) является частным случаем критерия, записанного в произвольной координатной системе X, у, z и имеет вид А{ УХ -сту)2+ В(ах -crzf+ с(ау - а2 f + Мт2ху + Nt2z +Рт% + + Дстх+Есту+Ка2 =1. (2.2.3) После раскрытия скобок и группирования этот критерий представляет собой частный случай критерия И.И. Гольденблата-В.А. Копнова. Рассмотрим простые виды испытаний, в результате которых определятся параметры прочности А, В,С, Д. 1.
Для определения входящих в критерий (2.2.3) cx,cyicz можно воспользоваться результатами работы [10] и определить эти характеристики теоретически. Для иллюстрации методики определения г рассмотрим конкретные примеры испытаний образцов приведенных в [10].
Таким методом можно определить предел прочности на чистый сдвиг для стеклопластика. Для подтверждения достоверности этой методики рассмотрим конкретный пример предельной кривой для стеклотекстолита на основе ткани сатинового переплетения и эпоксифенольного связующего при следующих данных (константы прочности в МПа).
Таким образом, критерии К.В. Захарова и И.И. Гольденблата — В.А.Копнова совпадают. Критерий К.В. Захарова является обобщением классических критериев Друккера - Прагера и П.П. Баландана. Так как критерии П.П. Баландина и Друккера-Прагера анизотропию не учитывают, а критерий К.В. Захарова анизотропию учитывает, то критерий К.В. Захарова можно использовать как условие текучести или предельного равновесия анизотропных горных пород и применять для решения задач предельного равновесия в следующей главе.
Критерий прочности в условиях плоской деформации
Принимая критерий (3.2.1) в виде условия текучести и предполагая, что тензоры в\, в и т.д. являются тензорами пластического свойства материала, далее вводя потенциал текучести равной левой части в виде f = О, получим согласно ассоциированному закону течения следующее выражение для деформаций.
В условиях плоской деформации тела, при совпадении оси z с одним из главных направлений анизотропии будет иметь место равенство которое представляет собой условие предельного равновесия пластичной анизотропной горной породы для плоско деформированного ее состояния. Таким образом, критерий прочности однородного анизотропного тела можно применять для анизотропных горных пород, которые в условиях залегания ведут себя как пластические тела. 3.3. Плоская деформация анизотропной среды. Основные разрешающие уравнения при полиномиальном условии пластичности.
Сравнивая два критерия прочности, которые являются условиями прочности анизотропной среды, убеждаемся, что при трехмерном напряженном состоянии критерий И.И. Гольденблата - В.А. Копнова и К.В.Захарова в пространстве главных нормальных напряжений геометрически интерпретируются одной и той же поверхностью.
Выразим компоненты напряжений (Тх, сту, тху в некоторой точке через главные нормальные напряжения (7і,СУ2 и тригонометрическую функцию угла а, где а — угол между осью х и направлением (J-у.
Представляя полученные разрешающие уравнения в конечно - разностной форме, сделана попытка численного решения классической задачи о действии распределенной нагрузки на анизотропную полуплоскость. Для уточнения достоверности полученных решений были рассмотрены частные случаи перехода к изотропной среде. При этом решение поставленной задачи не всегда удавалось. Причиной тому является почти неизменность параметра q во всей области предельного равновесия для изотропной среды. Учитывая вышеизложенное, разрешающие уравнения для плоской деформации получены другим подходом, вводя параметры р = 0,5(crj + 72) и угол а как неизвестные.
Применим обычный способ представления уравнений характеристик в конечно-разностной форме. Совместным решением этих уравнений, получим неизвестные параметры для некоторой точки т, п, используя известные параметры двух соседних точек. Функции, определяющие напряжение и очертание линий скольжения, вычисляются последовательно и приближенно: зная значение функций р и а в двух точках т — 1, п и т, п — 1, находящихся на двух соседних линиях скольжения, и координаты х и у этих точек, можно определить координаты точки т, п, которая будет располагаться на продолжении этих линий скольжения, и затем значение функций р и а в точке т,п.
По найденным значениям можно строить сетку линии скольжения для краевых задач Коши, когда граничные условия заданы на не характеристической линии, и Гурса, когда граничные условия даны на двух пересекающихся характеристиках.
Решение общей задачи будет складываться из решения трех характерных областей (области ОАВ,ОВС,ОСД). Для осуществления численного решения задачи в области ОВС воспользуемся граничными условиями на линии О А, для которой у — О, Txv = О.
Одной из типовых задач о предельном равновесии геоматериалов (грунты, горные породы, сыпучая среда) является определение несущей способности основания, сложенного из таких материалов, под действием нормальной и наклонной нагрузок. В частности, при действии на основание вертикальных нагрузок задача сводится к тому, что на части поверхности основания приложена заданная нагрузка р(х) и требуется установить, при какой пригрузке р${х) в некотором поле будет возникать предельное напряженное состояние. При этом различают два случая.
1. Случай минимального давления (рис.3.1). При этом в зоне I составляющие возможного перемещения среды направлены снизу вверх, а в зоне III под влиянием приложенной заданной нагрузки р(х) сверху вниз, т.е. имеет место выпор среды под воздействием давления р(х) по линии О А . Давление р(х) является минимальным среди любых возможных давлений, обеспечивающих отсутствие выпора от нагрузки р(х). Рис. 3.1. Минимальное предельное давление на основание.
2. Случай максимального давления (рис.3.2). В этом случае в зоне I составляющие возможного перемещения среды направлены сверху вниз, а в зоне III - вверх, т.е. причиной выпора среды является нагрузка Ро(х). В этом случае определяется максимальное давление PQ(X), вызывающее начало выпора среды в сторону нагрузки р{х).
Переход от первого случая ко второму может быть разъяснен следующим образом. Допустим, что давление р(х) является минимальным. Тогда незначительное увеличение этого давления может вызвать смещение среды, оседание по линии ОД и выпор по линии ОА. Для устранения этого смещения нужно увеличить пригрузку PQ (Х) . Рассмотрим вариант /, когда при фиксированном значении р(х) происходит увеличение PQ(Х).
Критерии длительной прочности К.В. Захарова и И.И. Гольденб-лата-В.А. Копнова для прочностного расчета
Докажем совпадение критериев длительной прочности К.В. Захарова и И.И. Гольденблата - В.А. Копнова для случая плоского напряженного состояния на примере одного из этапов прочностного расчета стеклопласти-ковой конструкции, испытывающей длительное силовое воздействие. В качестве примера возьмем характеристики кратковременной и длительной прочности стеклотекстолита на основе ткани полотняного переплетения эпоксифенольного связующего. Рассчитаем толщину стенки сосуда в виде тонкостенной цилиндрической оболочки с закрытыми торцами, который по условиям эксплуатации нагружен в течение t суток равномерным внутренним давлением при нормальной температуре. Произведем расчеты на основе критерия К.В. Захарова, затем сравним полученные результаты с результатами, приведенными в [27].
Рассмотрим деформирование идеально пластического тела. Пусть тело деформируется до точки А. Снимая внешнюю силу, разгрузим его. Дальнейшее снижение напряжений будет протекать с зависимостью между Є по линии АК. Если тело загрузить еще раз и разгрузить его, то получим следующую часть графика зависимости протекающей по линии KANM и так далее. В итоге можно получить количество циклов разрушения при оу и мгновенном снятии нагрузки (мгновенное снятие имеет условность, так как загружение и разгрузка протекают в каких-то долях секунд).Согласно (рис.4.12) можно найти величину разрушающей силы при одноразовом воздействии, например, принимая, что при этом площадь OAEF равна площади треугольника OTG.
То же самое рассуждение можно выдвинуть при динамическом воздействии внешней силы (рис.4.12). В работе К. И. Вдовина [22] приводится зависимость нагрузки на штамп от его глубины внедрения в мрамор при различной энергии удара. Подсчеты площадей графиков, показывают, что соотношение площадей и удельной энергии удара при больших деформациях почти совпадают. Если площадь ОАВК брать за основу, сравнивать площади 0)2 по (рис.4.12) то площадь (линия 3) будет располагаться внутри площади ОАВК 2,283 -2,629 раз.
Пусть горная порода находится в объемном напряженном состоянии. Если предполагать, что G"2 = (Хз Исключая шаровой тензор напряжений величиной сг = 0"2 = 0"з получим такое состояние, которое равно одноосному сжатию плюс всестороннее давление. Воздействие температуры увеличивает каждое из главных напряжений на оу. Добавляя к &\— У это напряжение получим 0\ — (J\—G + сгт. При наличии прочностных показателей (Jp и сгс можно построить паспорт прочности горной породы по методу М.М. Протодъяконова в координатной системе j — т. Для одноосного сжатия соответствует круг 1. Если к образцу, находящемуся под напряжением JC добавить всестороннее давление а, то получим круг 2.
В работе [6] Алиевым М.М. предложен метод определения количества циклов изменения напряжений, исходя из энергетических соображений. Для этого необходимо наличие диаграмм упруго - пластической деформации горных пород, которые могут быть построены непосредственным испытанием кернового материала. Однако многочисленные исследования показывают широкий разброс экспериментальных данных даже для образцов из керна, извлеченных из одного и того же участка. Это дает нам возможность использовать эмпирические зависимости, предложенные, различными авторами [52,55,56,69] для построения, с практической точки зрения достаточно точных диаграмм деформирования горных пород. Для этого достаточно иметь в наличии одну или другую физико-механическую характеристику породы. Диаграмма деформирования породы обычно строится в координатной системе р — А/ или а — є.
Под штампом среда (горная порода) находится в сложном трехосном напряженном состоянии. В условиях плоской деформации в различных точках имеет место, как правило, неравномерное сжатие. Однако при желании можно найти точки, где два из трех главных напряжений равняются друг другу.
Исследуя вопрос внедрения штампа Л. А. Шрейнер [103] разработал методику определения зависимости действующей на штамп силы от деформации, в результате которой можно построить диаграмму зависимости р — А/. Изменение температуры во взятой внутри горной породы точке приводит к изменению действующих местных напряжений. Вертикальные напряжения при этом изменяются от ргп — уznqz до Ргп + APf, а горизонтальные от РгпЯ до РгпЯ + АРТ, где Л - боковое горное давление, АРТ - приращение нормального напряжения, имеющее одинаковые значения в горизонтальном и в вертикальном направлении для изотропных горных пород. В случае анизотропии приращение напряжений в различных направлениях должно различаться.
