Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней симметричного строения 15
1.Постановка задачи и исходные уравнения 15
2 Построение теории стержней симметричного строения 21
3. Переход от одномерных величин теории стержней к трехмерным величинам 27
4. Коэффициент электромеханической связи 33
5. Продольные колебания трехслойного стержня 34
6. Изгибные колебания трехслойного стержня 42
Глава 2. Динамическое поведение пьезоэлектрических слоистых стержней несимметричного строения 53
7. Слоистые электроупругие стержни несимметричного строения 53
8. Переход от одномерных величин теории несимметричных стержней к трехмерным величинам 56
9. Колебания двухслойного стержня 58
10. Динамическое поведение балочной электроупругой конструкции 68
11. Напряженно-деформированное состояние биморфной упругой балки 75
Глава 3. Контактное взаимодействие активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства 85
12. Задача для пьезоэлектрического активного элемента 87
13. Задача для упругого полупространства 92
14. Условия контакта активного элемента и упругого полупространства 106
Глава 4. Численные примеры расчета контактной задачи 111
15. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из стали, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5 111
16. Расчет акустических волн в упругом полупространстве из алюминия, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5 117
Заключение 123
Приложение 126
Литература 139
- Переход от одномерных величин теории стержней к трехмерным величинам
- Переход от одномерных величин теории несимметричных стержней к трехмерным величинам
- Условия контакта активного элемента и упругого полупространства
- Расчет акустических волн в упругом полупространстве из алюминия, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5
Введение к работе
Пьезоэлектрические элементы, основанные на
использовании пьезоэффекта, который заключается в связанности электрического и механического полей, в настоящее время находят широкое применение в различных областях науки и техники.
У тела, обладающего пьезоэлектрическим эффектом, существует связь между электрическим и механическим полями. Вследствие этого пьезоэлектрики могут служить в качестве преобразователей электрической энергии в механическую и обратно.
Начало использованию пьезоэффекта было положено в годы первой мировой войны, когда французский физик П.Ланжевен впервые создал устройство с кварцевой мозаикой для гидроакустических измерений и исследований.
Пьезоэлектрические элементы используются в устройствах
радиотехники, вычислительной и контрольно - измерительной
техники, автоматики, в приборах дефектоскопии и медицинской
диагностики в качестве экономичных преобразователей энергии
сигналов, генераторов напряжения, фильтров, линий задержки,
всевозможных датчиков, пьезоэлектрических двигателей,
трансформаторов и т.д. Пьезоэлектрические элементы
характеризуются высокой помехозащищенностью,
технологичностью изготовления и надежностью в эксплуатации. Использование пьезоэлектрических материалов в электронике позволяет уменьшить размеры и массу элементов устройств, создать эффективные преобразователи энергии.
Режим работы активного пьезоэлектрического элемента, его размеры, геометрическая форма и структура определяются
назначением преобразователя. Достаточно полную информацию по пьезоэлектрическим устройствам, их применению, методам расчета можно найти в работах [3], [9], [11], [15],[20], [31], [32], [38], [40], [42], [48], [73].
Новый этап в использовании пьезоэффекта начался в связи с открытием пьезоэлектрических свойств у поляризованного керамического титанита бария. Пьезокерамика быстро заменила пьезоэлектрические кристаллы во многих практических применениях, так как пьезокерамика имеет существенно более низкую стоимость, может обладать большей, чем кварц, пьезоактивностью, изделия из пьезокерамики можно получать практически любой формы и размера, а возможность создания искусственной поляризации в произвольном направлении позволяет конструировать пьезоэлементы в соответствии с их назначением.
Сегнетокерамические материалы синтезируются по
керамической технологии: смешение мелкодисперсных
порошков исходных компонентов в точной пропорции и
последующий их обжиг при высокой температуре с целью
получения соединения выбранного состава.
Сегнетоэлектрическая керамика после обжига однородна и изотропна. Полярные оси доменов, составляющих керамику, распределены статистически равномерно. Сегнетокерамика не обладает пьезоэффектом. При поляризации - приложении достаточно сильного электрического поля, домены получают преимущественную ориентацию и керамика становится полярной пьезоэлектрической текстурой - пьезокерамикой.
Широкое использование, конструктивное разнообразие размеров и форм и интенсификация условий эксплуатации
различных пьезокерамических преобразователей привело к необходимости полного анализа их работы с помощью теории и методов механики деформируемого твердого тела. Постановка задач и основные уравнения связанных динамических задач содержатся, например, в [10], [15], [26], [30], [37], [41], [92].
Следует отметить, что в современных работах, посвященных тонкостенным пьезоэлектрическим элементам, просматриваются следующие направления - в ряде работ расчет ведется по трехмерной теории численными методами [79], [80], что приводит к неоправданным сложности и большим погрешностям. В других работах расчет проводится по упрощенным одномерным моделям, что не всегда позволяет составить правильную картину электроупругого поведения тонкостенного элемента. В третьей группе работ используются приближенные одномерные и двухмерные модели. Результаты работ последней группы весьма противоречивы - имеется большое сходство с ситуацией в мире механики до утверждения теории оболочек Кирхгоффа - авторы используют без достаточных обоснований разные предположения о порядке и характере поведения искомых величин, что приводит к качественно отличающимся одномерным и двухмерным теориям.
Для того, чтобы эти устройства надежно работали, надо располагать эффективными методами расчета. Даже в простейшей линейной постановке без учета температурных и магнитных эффектов электроупругое состояние пьезоэлемента описывается решением связанной электроупругой задачи, которое тем сложней, чем сложнее форма элемента. Нахождение точного решения трехмерной связанной электроупругой задачи представляет большие математические трудности (точные
решения найдены только в простейших случаях, например, для слоя, сферы, бесконечного цилиндра [16] - [18], [21]), поэтому используются различные методы, позволяющие свести трехмерную задачу к одномерной для электроупругого стержня или двухмерной для электроупругой пластины или оболочки. Для того чтобы разработать приближенные методы расчета используемых в практике тонкостенных электроупругих элементов, естественно использовать малость одного из размеров, подобно тому, как это делается в теории упругих балок, пластин, оболочек. Такой подход имеет особое значение, так как аналитические решения по трехмерной теории электроупругости удается получить только для простейших задач.
Для краткости методы построения одномерных и двухмерных теорий называют методами сведения. Наиболее часто используются следующие три метода сведения: метод гипотез, метод разложения в ряды и асимптотический метод.
Первый метод сведения - метод гипотез, заключается в том, что с помощью некоторых предположений трехмерную задачу сводят к одномерной для стержней (балок) и двухмерной для пластин и оболочек. Так, например, получены известные теории упругих балок, пластин и оболочек Кирхгоффа-Лява. Хотя принятие гипотез вносит неустранимую погрешность, которую трудно оценить, этот метод отличается простотой и наглядностью и поэтому часто используется. В ряде работ сделана попытка уточнить теорию тонкостенных конструкций, приняв менее жесткие гипотезы, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. Примером могут служить теории типа Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг. Большая часть работ по построению теорий
тонкостенных электроупругих элементов выполнена с помощью метода гипотез [4], [19], [20], [22], [23], [30], [33],[37], [41],[100]. Как правило, для механических величин принимаются гипотезы Кирхгоффа, а для электрических величин принимаются различные гипотезы, часто без достаточного обоснования. В ряде работ строятся уточненные теории электроупругих тонкостенных элементов, подобные теории Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг [2].
Другой метод сведения основан на разложении искомых величин в степенные ряды. Начало этому методу положили Коши и Пуассон, которые применили разложения по нормальной к срединной поверхности координате для сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным. Количество удерживаемых в разложениях членов зависит от желаемой точности. Среди работ, выполненных методом разложения в степенные ряды, отметим работы X. Тирстена для пьезоэлектрической пластины [96] - [98].
Наиболее полно используют малость толщины тонкостенного элемента асимптотические методы, которые были детально разработаны для упругих пластин и оболочек, например, в работах И.И.Воровича [8] и А.Л.Гольденвейзера [29], а затем обобщены на электроупругость, например, в работах А.В. Белоконя [12]-[14], Ю.А.Устинова, И.П.Гетмана [27], Н.Н.Рогачевой [43]-[46], [92]-[94]. В этих работах в результате асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости показано, что полное электроупругое состояние складывается из электроупругого погранслоя и внутреннего электроупругого состояния, построены одномерные и двухмерные теории электроупругих балок и пластин и
оболочек без принятия каких-либо гипотез, оценены погрешности построенных теорий.
В результате асимптотического анализа выяснилось какие гипотезы следовало бы принять для искомых величин, чтобы выполнить правильно сведение методом гипотез. Особенно важно правильно сформулировать гипотезы для электрических величин, так как для них нет аналога в теории упругости.
Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты -слоистые тонкостенные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев [49]—[51 ], [54]—[56], [58]-[72], [74], [76]-[79], [83]-[86], [91], [93], [95], [100], [101]. Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, остаются открытыми вопросы правомерности гипотез для электрических величин при сведении, вопросы расчета и оптимизации конструкции.
Настоящая диссертация посвящена созданию прикладных теорий колебания пьезоэлектрических преобразователей. При построении прикладных теорий использовались гипотезы, которые были ранее обоснованы асимптотическим методом [92]. В монографии [92] показано, что содержание гипотез существенно зависит от условий на лицевых поверхностях тонкостенного элемента. В диссертации построены прикладные теории колебания слоистых электроупругих стержней симметричного и произвольного строения [34], [35]. Получены формулы перехода от одномерных величин к трехмерным искомым величинам, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи. Пьезоэлектрические устройства работают как преобразователи энергии - механической в
электрическую и наоборот, поэтому особое внимание уделено вычислению и анализу эффективности преобразования энергии, характеризуемой коэффициентом электромеханической связи (КЭМС). В качестве примеров рассмотрены трехслойные и двухслойные стержни, стержневая система, используемая в электронике, выполнен полный анализ динамического поведения. Решена контактная задача - активный тонкий пьезоэлектрический элемент, находящийся на поверхности упругого полупространства, возбуждает объемные и поверхностные волны в упругом полупространстве. Получено аналитическое решение, выполнен численный расчет [36].
Диссертация содержит введение, четыре главы, заключение, приложения 1, список литературы. В диссертации приведено 46 рисунков и графиков.
В первой главе построена теория слоистых электроупругих стержней со слоями, расположенными симметрично относительно срединной плоскости стержня. Особое внимание уделено влиянию электрических условий на лицевых поверхностях пьезоэлектрических слоев на уравнения теории стержней. Получены формулы, позволяющие после решения задачи для слоистого стержня перейти от одномерных искомых величин теории стержней к трехмерным искомым величинам. В качестве примера рассмотрены изгибные колебания трехслойного электроупругого стержня, вычислены перемещения, напряжения и электрические величины, изучена зависимость коэффициента электромеханической связи от частот колебаний и толщин упругого и пьезоэлектрического слоя. Расчеты показывают, что в данном случае максимальное значение КЭМС достигается при определенном соотношении
толщин упругого и электроупругого слоя, причем это значение не зависит от частоты изгибных колебаний. Изучена зависимость электрического потенциала от толщинной координаты. Показано, что в случае изгибных колебаний электрический потенциал меняется по толщине по квадратичному закону.
Во второй главе построена теория стержней с произвольно расположенными слоями, т.е. стержней не имеющих срединной плоскости, являющейся плоскостью симметрии. В этом случае задача, вообще говоря не расчленяется на плоскую задачу и задачу изгиба. Показано, что за счет специального выбора нейтральной плоскости задачу можно расчленить на плоскую задачу и задачу изгиба. Для данного случая получены формулы, позволяющие после решения задачи для несимметричного слоистого стержня перейти от одномерных искомых величин теории стержней к трехмерным искомым величинам. Выполнен расчет двухслойного стержня, один слой которого упругий, а другой - пьезокерамический, вычислены напряжения, КЭМС. Получены аналитические решения и выполнен расчет стержневой конструкции, в которой один из стержней составной с пьезокерамическими и упругими слоями, остальные -упругие. Как частный случай рассчитана упругая двухслойная балка.
В третьей главе получено аналитическое решение практически важной контактной задачи: на поверхности упругого полупространства под действием электрической нагрузки совершает колебания активный пьезоэлектрический элемент в виде бесконечной полосы и возбуждает объемные и поверхностные волны в упругом полупространстве.
В четвертой главе прведены результаты численных расчетов контактной задачи. На основе полученного аналитического решения квазистационарной динамической
контактной задачи для упругого полупространства и активного пьезоэлемента проведено всестороннее исследование распространения объемных и поверхностных волн в упругом полупространстве для различных материалов и частот электрической нагрузки, а также найдены оптимальные частоты электрической нагрузки, при которых амплитуда перемещений поверхностных волн достигает максимума. Для того чтобы получить аналитическое решение были приняты некоторые физически понятные гипотезы. Задача решается с помощью интегрального преобразования Фурье, подобно тому, как ранее было получено решение задачи Лэмба о действии сосредоточенной силы на упругое полупространство [83]. Выполнены численные расчеты для активного элемента из материала PZT-5 и упругого полупространства из стали и из алюминия.
Заключение содержит выводы, следующие из проведенных исследований.
В приложении 1 выполнено преобразование несобственных интегралов, полученных в результате обратного преобразования Фурье при решении контактной задачи.
Список литературы содержит 104 названия.
Актуальность исследования заключается в отставании теоретических исследований от все возрастающих потребностей в широком использовании электроупругих элементов в современной технике. Целью работы является
- анализ гипотез для механических и электрических величин, которые следует принимать в процессе сведения трехмерной задачи электроупругости к одномерным уравнениям слоистых электроупругих стержней,
построение последовательных прикладных теорий динамики слоистых электроупругих стержней симметричного и несимметричного строения, что продемонстрировано расчетом практически важных трехслойных и двухслойных стержней,
вывод формул перехода от одномерных величин теории стержней к трехмерным искомым величинам. Этими формулами надлежит воспользоваться после решения одномерной задачи,
вычисление коэффициента электромеханической связи и анализ зависимости КЭМС от частоты колебаний и толщин слоев, составляющих стержень,
вывод аналитического решения сложной динамической контактной задачи для активного пьезоэлемента и упругого полупространства, позволяющего найти все искомые величины, включая их амплитудные значения.
Научная новизна заключается в следующих основных результатах исследования:
основываясь на проведенном ранее асимптотическим методом анализе трехмерных уравнений электроупругости [92], сформулированы математически обоснованные теории слоистых электроупругих стержней симметричного и несимметричного строения, проведен анализ других теорий,
анализ КЭМС показал, что для слоистых электроупругих элементов энергетическая формула является универсальной,
основываясь на физическом понимании качественного поведения тонкостенного пьезоэлектрического элемента удалось получить аналитическое решение контактной задачи для активного пьезоэлемента и упругого полупространства.
Практическая ценность
для широко используемых в современной технике слоистых электроупругих стержней построены последовательные прикладные теории, позволяющие найти все искомые трехмерные величины, включая второстепенные напряжения и электрические величины,
энергетический подход к вычислению КЭМС, обобщенный на слоистые структуры, позволяет оптимизировать конструкцию, повышая эффективность ее работы как преобразователя энергии,
аналитическое решение контактной задачи, определяющее поверхностные и объемные волны в упругом полупространстве, получено для целей расчета устройств передачи сигналов, неразрушающего контроля, а также потребностей сейсмологии.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международных симпозиумах «Дни дифракции» в 2004 г. и в 2005 г, на XXII научно-технической конференции МИКХиС в 1999 г., на семинаре кафедры прикладной математики и вычислительной техники МИКХиС в 2006 г.
Публикации. Основные результаты работы
опубликованы в трудах МИКХиС [34], [35], в трудах Международных симпозиумов «Дни дифракции» [81], [82], в журнале "Прикладная математика и механика" [36].
Переход от одномерных величин теории стержней к трехмерным величинам
Первый метод сведения - метод гипотез, заключается в том, что с помощью некоторых предположений трехмерную задачу сводят к одномерной для стержней (балок) и двухмерной для пластин и оболочек. Так, например, получены известные теории упругих балок, пластин и оболочек Кирхгоффа-Лява. Хотя принятие гипотез вносит неустранимую погрешность, которую трудно оценить, этот метод отличается простотой и наглядностью и поэтому часто используется. В ряде работ сделана попытка уточнить теорию тонкостенных конструкций, приняв менее жесткие гипотезы, чем гипотезы Кирхгоффа-Лява. Примером могут служить теории типа Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг. Большая часть работ по построению теорий тонкостенных электроупругих элементов выполнена с помощью метода гипотез [4], [19], [20], [22], [23], [30], [33],[37], [41],[100]. Как правило, для механических величин принимаются гипотезы Кирхгоффа, а для электрических величин принимаются различные гипотезы, часто без достаточного обоснования. В ряде работ строятся уточненные теории электроупругих тонкостенных элементов, подобные теории Тимошенко, учитывающие поперечный сдвиг [2].
Другой метод сведения основан на разложении искомых величин в степенные ряды. Начало этому методу положили Коши и Пуассон, которые применили разложения по нормальной к срединной поверхности координате для сведения трехмерных задач теории упругости к двухмерным. Количество удерживаемых в разложениях членов зависит от желаемой точности. Среди работ, выполненных методом разложения в степенные ряды, отметим работы X. Тирстена для пьезоэлектрической пластины [96] - [98].
Наиболее полно используют малость толщины тонкостенного элемента асимптотические методы, которые были детально разработаны для упругих пластин и оболочек, например, в работах И.И.Воровича [8] и А.Л.Гольденвейзера [29], а затем обобщены на электроупругость, например, в работах А.В. Белоконя [12]-[14], Ю.А.Устинова, И.П.Гетмана [27], Н.Н.Рогачевой [43]-[46], [92]-[94]. В этих работах в результате асимптотического анализа трехмерных уравнений электроупругости показано, что полное электроупругое состояние складывается из электроупругого погранслоя и внутреннего электроупругого состояния, построены одномерные и двухмерные теории электроупругих балок и пластин и оболочек без принятия каких-либо гипотез, оценены погрешности построенных теорий.
В результате асимптотического анализа выяснилось какие гипотезы следовало бы принять для искомых величин, чтобы выполнить правильно сведение методом гипотез. Особенно важно правильно сформулировать гипотезы для электрических величин, так как для них нет аналога в теории упругости. Особое место в использовании пьезоэлектрических преобразователей занимают электроупругие композиты -слоистые тонкостенные элементы, составленные из пьезоэлектрических и упругих слоев [49]—[51 ], [54]—[56], [58]-[72], [74], [76]-[79], [83]-[86], [91], [93], [95], [100], [101]. Несмотря на большое количество работ, посвященных этой проблеме, остаются открытыми вопросы правомерности гипотез для электрических величин при сведении, вопросы расчета и оптимизации конструкции. Настоящая диссертация посвящена созданию прикладных теорий колебания пьезоэлектрических преобразователей. При построении прикладных теорий использовались гипотезы, которые были ранее обоснованы асимптотическим методом [92]. В монографии [92] показано, что содержание гипотез существенно зависит от условий на лицевых поверхностях тонкостенного элемента. В диссертации построены прикладные теории колебания слоистых электроупругих стержней симметричного и произвольного строения [34], [35]. Получены формулы перехода от одномерных величин к трехмерным искомым величинам, которыми следует воспользоваться после решения одномерной задачи.
Переход от одномерных величин теории несимметричных стержней к трехмерным величинам
Подставляя формулы (9.14)-(9.16) в (4.1), получим после алгебраических преобразований Результаты вычислений КЭМС по формуле (9.17) представлены на фиг. 18 и 19. На фиг. 18 изображена зависимость КЭМС от безразмерного частотного параметра для стержня, у которого упругий слой из алюминия, а пьезоэлектрический из PZT-5. Жирная линия соответствует толщинам слоев hx=h2 = 0,0005Л ; тонкая линия - hx = 0,0008л/, h2 = 0,0002м. На фиг. 19 изображена зависимость КЭМС от безразмерного частотного параметра для стержня, у которого упругий слой из стали, а пьезоэлектрический из PZT-5. Жирная линия соответствует толщинам слоев hx=h2= 0,0005л ; тонкая линия - А, = 0,0008л , h2 = 0,0002л . Поскольку одновременно происходят и продольные и поперечные колебания, зависимость КЭМС от частоты колебаний более сложная, чем в случае стержней симметричного строения. Из графиков видно, как КЭМС зависит от частоты колебаний. Локальные максимумы КЭМС достигаются перед резонансами, на резонансе КЭМС меньше максимальных значений, на соответствующем ему антирезонансе еще меньше, например, в случае упругого слоя из алюминия и /г, = h2 = 0,0005л/ при продольных колебаниях в окрестности первого резонанса максимум КЭМС достигается перед резонансом и равен ке= 0,236, на первом резонансе ке=0,2\9, на первом антирезонансе ке =0,213; при поперечных (изгибных) колебаниях в окрестности первого резонанса максимум КЭМС достигается перед резонансом и равен ке = 0,32, на первом резонансе КЭМС значительно меньше и равен ке = 0,176, на первом антирезонансе кг = 0,164. Как показывают проведенные вычисления, значения КЭМС kd, определяемые по формуле Мэзона (4.5), совпадают с соответствующими значениями, определяемыми по энергетической формуле (4.1).
Результаты вычисления КЭМС по обеим формулам приведены в следующей таблице: Индексы г и а указывают, что величина вычислена на резонансе или антирезонансе соответственно. В круглых скобках в первом столбце указан тип колебаний - (изгиб.) означает, что резонанс изгибных колебаний, (тангенц.) означает, что резонанс продольных колебаний. Значения kd вычислялись двумя способами: по формуле (4.5) и как среднее арифметическое ke{r) и ке(а\ следуя [92]: Расчеты показывают, что в пределах точности вычислений оба способа дают одинаковые результаты. На фиг.20 представлена зависимость КЭМС от толщины упругого слоя в предположении, что полная толщина стержня остается постоянной. Расчеты показывают, что в данном случае максимальное значение КЭМС достигается при л, = о.оообл , причем это значение одно и тоже для всех резонансных частот поперечных колебаний. Из графиков видно, что для двухслойного стержня с упругим слоем из стали КЭМС меньше, чем для такого же стержня из алюминия. На фиг. 21-24 представлены результаты расчета искомых величин для двухслойного стержня PZT-5 - алюминий, с толщинами слоев h{=h2= 0,0005Л/ , длиной / = 0,02л , частота колебаний стержня 50 кГц . На фиг. 21 изображены перемещения u ,wt как функции переменной = x3/l , где w =—108, w. = —108. Тангенциальное перемещение w порождено продольными колебаниями, а прогиб w является результатом поперечных колебаний. Частота колебаний , для которой построены графики перемещений, равная 50 кГц , немного больше первой резонансной частоты продольных колебаний и немного меньше четвертой резонансной частоты поперечных колебаний, поэтому тангенциальное перемещение имеет малую изменяемость, а прогиб -большую.
Условия контакта активного элемента и упругого полупространства
Предполагается, что в области контакта активного элемента и упругого тела х, /, х3 =0 выполняются условия идеального контакта. В этом случае условия контакта записываются в виде Верхние индексы a YL s показывают, что величина принадлежит активному элементу или упругому полупространству соответственно. Сначала рассматривается решение задачи для упругого полупространства в области контакта. Из любой точки области контакта х, /, х3 = 0 волны распространяются в двух противоположных направлениях. Полученные решения (13.27)-(13.29), (13.39)-(13.40) описывают волны, распространяющиеся в положительном направлении х,. Чтобы выполнить условия контакта, должны быть приняты во внимание перемещения и напряжения волн, распространяющихся в отрицательном направлении. С этой целью формулы для перемещений в области контакта для каждого значения п (л = 1,2,3,...,7 ) записываются с учетом четности и нечетности функций и{}п)(х})и и\п)(хх) соответственно Здесь нижние индексы плюс и минус обозначают принадлежность перемещения волне, распространяющейся в положительном или отрицательном направлении оси х, соответственно.
Предполагается, что расчет вспомогательных задач по формулам (13.27)-(13.29), (13.39)-(13.40) выполнен. Это значит, что перемещения упругого тела и\"] и u\"J вычислены в интервале х, / для любого п от 1 до N. Формулы для волн, распространяющихся в отрицательном направлении оси х,, выписываются по аналогии с формулами формулам (13.27)-(13.29), (13.39)-(13.40). Сумма перемещений и +п), и и и\п\ м согласно формулам (14.3) дает полные перемещения в области контакта. Затем вычисленные в интервале \xx\ L полные перемещения продолжены и разложены в ряды Фурье таким же образом, как это было сделано для Еъ (12.15), (12.16). Ряды Фурье для полных перемещений представлены в следующем виде для первой вспомогательной задачи и для второй вспомогательной задачи Полное решение задачи для упругого полупространства есть сумма решений вспомогательных задач, умноженных на неизвестные постоянные Неизвестные постоянные 4, and „ находятся из условий контакта активного элемента и упругого полупространства. Затем следует преобразовать формулы для напряжений активного элемента в области контакта. В интервале JC, / в области контакта перемещения упругого тела равны перемещениям активного элемента. Согласно второму предположению перемещения активного элемента не меняются по толщине, поэтому формулы (14.6) для перемещений упругого тела в области контакта в дальнейшем будут использоваться для определения напряжений активного элемента. Напряжение ааи может быть выражено через перемещения путем подстановки уравнения (14.6) в (12.6) и затем в (12.9) с учетом (12.16) Уравнения (14.9) описывают напряжения aau и ст3а3 активного элемента в области контакта с упругим полупространством. Уравнения (14.7) определяют те же напряжения упругого полупространства.
Согласно условиям контакта они должны быть равны. Система уравнений относительно постоянных AX,...AN,BV...,BN получается в результате удовлетворения условий равенства напряжений (14.2) и приравнивания коэффициентов при одних и тех же тригонометрических функциях После вычисления постоянных Al,...AN,Bl,...,BN все искомые величины могут быть легко найдены по предыдущим формулам: перемещения и напряжения в области х, /, х3=0 вычисляются по формулам (14.6), (14.7), при х3 0 они вычисляются как сумма полученных решений вспомогательных задач, умноженных на постоянные A\i—AN,B ,...,DN. Следует отметить, что полученное решение для активного элемента и упругого полупространства справедливо всюду за исключением малой окрестности точек х,=±/, х3=0, где решение имеет особенности. Эти особые напряженно-деформированные состояния локализованы в небольшой окрестности особых точек и затухают очень быстро при удалении от них. Способы, позволяющие найти эти особые решения, известны. Они изложены, например, в [1,102].
Расчет акустических волн в упругом полупространстве из алюминия, возбуждаемых активным элементом из пьезокерамики PZT-5
На фиг. 39-45 представлены результаты расчета упругого полупространства из алюминия. Акустические волны возбуждаются таким же активным элементом, что и в предыдущем примере. В этом случае при круговой частоте колебаний, равной 4-10+51/с, постоянные равны Из (16.1) видно, что решение сходится быстро. Результаты вычислений представлены на фиг. 39 - 45. На Фиг. 39 показано распределение контактных напряжений сг33. (тонкая линия), сг31. (пунктирная линия), сг,,,(жирная линия) в интервале х, /. Согласно первой гипотезе, принятой в п.2, в уравнениях состояния (3)-(5) напряжения т33 малы и отброшены по сравнению с тп, т22. Результаты вычислений напряжений сг33, аи по уравнениям равновесия подтверждают это предположение. Фиг. 40, 41 показывают зависимость безразмерных перемещений продольных и поперечных волн на поверхности упругого тела вне активного элемента от координаты. Из фиг. 40, 41 видно, что амплитудные значения продольных волн значительно больше соответствующих значений перерезывающих волн. Из графиков видно, как волны затухают при удалении от активного элемента. Фиг. 42 показывает, что волны Релея не затухают при удалении от источника колебаний по поверхности тела. На фигурах 43, 44 полные безразмерные перемещения представлены как функции координаты х, на поверхности упругого полупространства х, /.
Полные безразмерные перемещения вычислены как сумма перемещений продольных, поперечных и поверхностных волн. Графики позволяют оценить расстояние от активного элемента по поверхности упругого тела, на котором перемещения продольных и поперечных волн затухают и далее распространяются только поверхностные волны. Этот результат важен в распространении сигналов. На фиг. 45 представлена зависимость максимального значения перемещения иг, от частоты колебаний активного элемента со, = у-10"5. Из графика видно, что в исследуемом интервале частот 2-Ю5/с со 6-Ю51с перемещение щ, имеет несколько максимумов. Итак, предложен способ построения аналитического решения контактной динамической задачи для активного пьезоэлектрического элемента и упругого полупространства. Полученное аналитическое решение позволяет найти все искомые величины, изучить электроупругое состояние активного элемента и распространение акустических волн в упругом полупространстве. Предложенный способ решения продемонстрирован на численных примерах, в результате расчета для различных материалах упругого полупространства - найдены перемещения и напряжения активного элемента и упругого полупространства как на поверхности тела, так и во внутренних точках тела, - проанализирована зависимость максимальных амплитудных значений перемещений поверхностных волн от частоты колебаний активного элемента. Показано, что эти перемещения достигают максимума при определенной частоте, исследовано на каком расстоянии от источника колебаний затухают объемные волны и остаются только поверхностные волны. Предложенный способ решения может быть использован для анизотропного и слоистого упругого полупространства.
