Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка задач в термоэлектроупругости и некоторые свойства решений 21
1.1. Постановка нестационарных и стационарных задач термоэлектроупругости 22
1.2. Упрощение постановки задач в термоэлектроупругости 26
1.3. О нестационарном тепловом воздействии на термоэлек-троупругую полубесконечную среду 30
Глава 2. Вариационная постановка задач термоэлектро упругости 42
2.1. Вариационный принцип Гамильтона в термоэлектроупругости 43
2.2. Построение единого функционала термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний 44
2.3. Формулировка вариационного подхода в нестационарных задачах термоэлектроупругости 48
Глава 3. Построение прикладных теорий для тонкостенных элементов и исследование моделей на их основе 51
3.1. Формулировка краевых задач для пластины произвольного очертания 52
3.2. Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель I колебаний тонкостенного элемента 60
3.3. Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель II колебаний тонкостенного элемента . 67
3.4. Исследование колебаний тонкостенного элемента в задаче 1 типа 75
3.5. Нестационарная задача типа 2 для пластины-полосы . 80
3.6. Нестационарная задача типа 1 для пластины-полосы . 88
Заключение 96
Список литературы 97
Приложения 115
- Упрощение постановки задач в термоэлектроупругости
- Построение единого функционала термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний
- Формулировка вариационного подхода в нестационарных задачах термоэлектроупругости
- Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель I колебаний тонкостенного элемента
Введение к работе
Измерение температуры объектов является важнейшей инженерной задачей, позволяющей оперативно управлять технологическими и производственными процессами. При этом в качестве датчиков температуры в последнее время все чаще используются такие, в основе функционирования которых лежит пьезо- и пироэффект. Область применения таких датчиков достаточно широка: медицинская диагностика, системы контроля сложных динамических систем, системы идентификации параметров и другие. В ряде случаев, измерив температуру, можно анализировать и другие характеристики задачи, однозначно с ней связанные. Так, например, при помощи измерения граничной температуры можно выявлять скрытые дефекты в конструкциях типа трещин, в окрестности- которых при динамическом воздействии наблюдаются значительные градиенты температур [18J.
Большой научный интерес представляет собой проблема расчета параметров и оптимизация при создании различных типов температурных датчиков из пиро- и пьезоактивпых материалов, в которых в результате теплового нагружения наводится разность потенциалов. При определении потенциала необходимо учитывать взаимное влияние упругого, теплового и электрического полей. Детальный учет связанности физических полей в различных задачах термоэлектроупругости важен в связи с постоянной модернизацией датчиков, созданных на основе различных пьезо- и пироактивных материалов, в которых незначительные тепловые эффекты могут оказывать существенное влияние па сопряженные поля.
Одним из примеров применения пироэлектрических датчиков для измерения полей температур [35] являются различные устройства медицинской диагностики, например, для измерения пульса, частоты и интенсивности дыхания. Обзор реальных устройств из пьезо- и пиро-
активных материалов (сенсоров и актуаторов), их характеристики и примеры применения представлены в монографиях и статьях [3], [4], [13], [34], [40], [44], [45], [51], [52], [54], [64], [70], [81], [90], [93], [100], [101], [109], [131].
Отметим, что математическую основу постановок краевых задач термоэлектроупругости [73], [76] составляют уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндлиным [124] в начале 60-х годов прошлого столетия. Они имеют важные приложения при расчете пьезо- и пиродатчиков. В этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач термоэлектроупругости, отметим [11], [106], [107]. В ряде работ, посвященных общим вопросам исследования краевых задач термоэлектроупругости, авторами были получены законченные результа-ты [11], [19], [126].
Теория связанной термоэлектроупругости является обобщением моделей термоупругости и электроупругости. Она опирается на основные методы исследования нестационарных процессов для этих моделей, которые основаны на двух подходах: 1) на концепции малой связанности, 2) на асимптотических методах для малых и больших времен.
Сложность исследования задач связанной термоэлектроупругости обусловлена несколькими факторами.
Во-первых, система уравнений связанной термоэлектроупругости не принадлежит ни к одному из хорошо изученных типов операторов и при исследовании свойств решений начально-краевых задач требует детального анализа даже при решении простейших одномерных задач. Во-вторых, наличие анизотропии в термоэлектроупругих телах затрудняет как построение фундаментальных и сингулярных реше-
ний, так и исследование волновых процессов.
Методам решений задач динамических задач термоэлектроупруго-сти посвящен ряд исследований. Так, в [94] разработан универсальный аналитический метод исследования динамических краевых задач тер-моэлектроуиругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений, в [53] изучены типы волн в неограниченной тсрмоэлектроупругой среде класса 6 mm и предложена их классификация, построены фундаментальные решения в связанной термоэлектроупругости для среды класса 6 mm в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку, сформулирована система ГИУ в термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний, решен ряд задач о нестационарных воздействиях.
Представим краткий обзор решенных задач в термоэлектроупругости и методов, используемых при их решении. В [80] отмечено, что в последнее время в литературе уделяется большое внимание связанным задачам, в которых учитывается взаимодействие механических, тепловых и электромагнитных полей в деформируемых средах. Для постановки таких задач необходимо сформулировать определяющие соотношения (линейные или нелинейные), т. е. построить модель среды, учитывающую взаимодействие полей в соответствии с известными экспериментальными фактами. В этой работе построена связанная модель для случая физически линейных и нелинейных сред для малых деформаций.
Анализ трансформации теплового импульса в электрический в рамках модели линейного термоэлектроупругого тела при тепловом ударе по его поверхности в рамках несвязанной термоупругости впервые проведен В.И. Даниловской в [41], где проанализированы динамические эффекты в распределении напряжений. Далее подобная задача термоупругости в рамках полного учета связанности механических и
тепловых полей рассмотрена в работах [118], [119]; при ее анализе использованы асимптотические методы (метод малой связанности и метод малых времен).
В работе [125] обсуждена общая процедура построения фундаментальных решений связанных задач при наличии электрических, температурных и других полей. Задача сведена к одномерной посредством разложения обобщенной функции Дирака по плоским волнам. Решение представлено в виде интеграла по сфере единичного радиуса. Рассмотрена как гармоническая зависимость от времени, так и случай импульсного нагружепия; в последнем случае аналитическое решение построено для материалов, в которых отсутствует диссипация. Представлены конкретные результаты построения функций Грина для указанных выше классов задач.
В [31] развиты теория и прикладные методы решения динамических смешанных, в том числе и контактных, задач для слоистых сред с учетом связанности полей, проведена апробация их на различных модельных примерах.
В [ПО] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричества сформулированы в виде, допускающем применение метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность метода иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них - двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехничес-кой системы. Второй пример - алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как актуаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.
В ряде работ для формулировки корректных задач используется вариационный подход. Так, в работе [134] вводятся основные положе-
ния микрополярной термоупругости и термопьезоэлектричества для обновления базовых уравнений равновесия и граничных условий для полярной термомеханпческой среды. На основе принципа возможных перемещений и принципа Гамильтона составляются уравнения движения и локальное уравнение баланса энергии. Обсуждаются найденные результаты для микрополярной термопьезоэлектрической задачи.
Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах получены в [83].
В работе [24] предложена процедура сведения задачи термоэлектроупругости к последовательном}' решению двух более простых задач и предложенный подход реализован в одномерной задаче для слоя, проведены численные расчеты.
Задача термоупругости для электропроводной пластины под электромагнитными импульсами рассмотрена в [75]. Стационарные колебания термоэлектроупругой полосы исследованы в [30].
В [130] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача для ортотропной пластины, представляющей группу mm2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрическое смещение.
В работе [111] предложен обобщенный метод решения трехмерной задачи пьезотермоупругости для тел гексагональної! сингонии класса 6mm. Введены две функции пьезотермоупругого потенциала, четыре функции пьезоупругого потенциала и пьезоэлектрический потенциал. Получены отдельные несвязанные разрешающие уравнения для функ-
ций потенциалов из уравнений движения для напряжений и уравнения электростатики.
В [11] исследованы задачи об установившихся колебаниях ограниченных термоэлектроупругих и электроупругих тел, а также пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Допускаются как классические главные и естественные граничные условия, так и механические и электрические контактные краевые условия, включающие контакт с жесткими штампами и наличие электродов, запитываемых генераторами тока. Даны обобщенные постановки задач. Доказана дискретность спектра и полнота системы собственных функций для электроупругих тел и пироэлектрических тел без пьезоэффекта. Отмечены свойства вещественной части спектра задач для термоэлектроупругих тел. Изучены вопросы разрешимости неоднородных задач. Установлены свойства увеличения или уменьшения собственных частот электроупругих тел и собственных значений пироэлектрических тел при изменении их модулей в механических, электрических и тепловых граничных условиях.
В работах [138], [66] рассматривается применение численных схем метода граничных элементов в электроупругости и для класса плоских задач термоэлектроунругости об установившихся колебаниях ограниченных тел с частично электродировапной границей, соответственно. МГЭ для задач электроупругоети рассмотрен в [105], [28], [29].
В [92] изучена модель пироэлектрического приемника излучения, представляющая собой пьезокерамическую пластину, торцы которой полностью покрыты электродами и замкнуты через внешний контур заданного комплексного сопротивления Z. На одной лицевой поверхности задан тепловой поток, на другой - конвективный обмен тепла с окружающей средой. Принято, что лицевые поверхности свободны от механических напряжении, и керамика поляризована вдоль оси, перпендикулярной лицевым поверхностям. В рамках линейной связан-
ной теории электротермоупругости построено аналитическое решение для амплитудных составляющих перемещений, электрического потенциала и приращения температуры, а также находится разность потенциалов на электродах. При построении модели учитывалось, что электроды имеют малую толщину и, как следствие, пренебрегалось их механическим воздействием на иьезокерамический элемент и неравномерностью распределения тепла, а также учтена малость толщины пластины по сравнению с ее размерами в плане. Для оценки влияния механических перемещении на искомую разность потенциалов была рассмотрена упрощенная модель такої і же задачи, основанная на связанных термоэлектрических полях. Также построено аналитическое решение, позволяющее находить амплитудные составляющие электрического потенциала и приращения температуры, а также разность потенциалов на электродах. Получены асимптотические оценки при малых и больших частотах модуляции для этой упрощенной модели. С помощью численных расчетов выявлены частотные диапазоны, где имеется расхождение искомой разности потенциалов для упрощенной постановки задачи.
Методика математического и численного моделирования термомеханического поведения электропроводных тел, находящихся под воздействием внешнего электромагнитного поля, предложена в [16] Для описания напряженно-деформированного состояния тела используются соотношения неизотермического упругопластического течения. Исходной системой уравнений для определения электромагнитного поля являются уравнения Максвелла, записанные для области, занятой телом, и внешней среды. Учитывается связность электромагнитного и температурного полей. Все физико-механические параметры материала тела зависят от температуры. В качестве примера рассматривается процесс высокотемпературной индукционной обработки стального цилиндра с целью определения в нем остаточных напряжении.
В работе [12] описаны основные принципы проведения конечно-элементного анализа задач теории электроупругости с учетом температурных эффектов, предназначенные для реализации в пакетах ANSYS и ACELAN. Отмечено, что соответствующие разделы этих пакетов не обладают возможностями для проведения связанного термопьезоэлектрического анализа.
В [15] для уравнений связанной термоэлектроупругости в квазистатической постановке исследованы свойства решений во времени, доказано их экспоненциальное убывание. В одномерном случае построена операторная связь наведенного потенциала в зависимости от тока в цепи и теплового потока.
В [17] работе анализируется переходной процесс в термоэлектро-упругом слое при тепловом возмущении на основе сравнения двух расчетных моделей - динамической и квазистатической.
Модель активного управления для слоистой пьезотермоупругой пластины построена в [132]. Рассматриваются задачи термоэлектроупругости для прямоугольной слоистой пьезоэлектрической свободно опертой пластины. Используется уточненная сдвиговая теория третьего порядка. Получено аналитическое решение задачи.
В [91] исследованы дисперсионные множества связанной термоэлектроупругости для полосы.
В работах [86], [87] исследованы связанные динамические задачи для термоэлектроупругих сред при наличии внутренних дефектов. В [88] построена модель в задаче мониторинга прочностных свойств термоэлектроупругих элементов конструкций, проведено исследование асимптотических и дисперсионных свойств решений.
В работе [137] рассмотрена нелинейная теория пьезотермоупруго-сти оболочек с приложением к задачам управления геометрией оболочек. Построены геометрически нелинейные уравнения теории оболочек, учитывающие температуру и пьезоэлектрические эффекты. Ис-
следуется возможность использования слоев из пьезоэлектрика для управления мембранными и изгибными деформациями оболочек различной формы.
В [140] приведены аналитические решения на основе общих результатов для связанных трехмерных уравнений пьезоэлектрической среды; получены результаты для первых пяти частот колебаний секторных и кольцевых пластин. В работе [139] исследуется распространение сдвиговых горизонтальных волн (SH-волн) в полубесконечной упругой среде, склеенной со слоем пьезоэлектрического материала.
Некоторые задачи плоского состояния в термопьезоэлектрических материалах с отверстиями, а также несколько задач плоского напряженного состояния и плоской деформации в рамках теории термопьезоэлектричества изучены в [129].
В [116] приводится общее решение задачи о плоском напряженном состоянии пьезотермоупругой пластины в цилиндрических координатах. В пьезоэлектрических системах и конструкциях активного вида с признаками интеллекта проведен анализ влияния термических градиентов окружающей среды. Изложен метод поиска общего решения задач плоской деформации круговых пластин из пьезотермоуиругого материала. Введены потенциальные функции для декомпозиции уравнений равновесия и электростатики. Обсуждаются найденные решения в зависимости от механических и тепловых граничных условий.
В [117] на основе обобщенной формулы Эшелби-Стро отыскивается решение задачи о трещине или эллиптическом отверстии в термопьезоэлектрическом теле; в замкнутом виде найдены комплексные потенциалы и электрические поля.
В [78] поставлена связанная задача термоэлектродинамики для элск-тронагрева переменным током разнородных ферро- и парамагнитных тел.
В [127] рассматриваются колебания пьезоэлектрических пластин,
которые моделируют режимы функционирования различных преобразователей. Решение строится методом Бубнова-Галеркина.
В работах [19], [22] изучены плоские волны и фундаментальные решения в линейной термоэлектроупругости, проведен асимптотический анализ и выполнены расчеты скоростей и коэффициентов затухания.
Работа [20] посвящена формулировке граничных интегральных уравнений для моделей связанной термоэлектроупругости.
Точное решение статической задачи термоэлектроупругости для пье-зокерамического тела со сфероидальной полостью построено в [82]. Ось симметрии сфероида совпадает с осью анизотропии тела. Предполагается, что на достаточном удалении от полости тело находится под действием равномерного теплового потока, направленного перпендикулярно оси симметрии полости.
В [136] представлена уточненная теория термоэлектромеханики тонких слоистых анизотропных оболочек, подвергающихся механическим, электрическим и термическим воздействиям. Для этого были выписаны определяющие уравнения пьезотермоупругости анизотропных пьезоэлектрических материалов, а основные термоэлектромеханические уравнения и граничные условия выведены при помощи принципа Гамильтона. Обсуждено применение предложенной теории для динамических измерений и управления. Вследствие весьма общих предположений относительно свойств материалов и геометрии оболочки, разработанная теория может быть использована для конструкций из самых разнообразных материалов, например, пьезокерамик, пьезополимеров и т. д., различной формы, например, для оболочек, плит, колец, стержней. Приведены результаты конкретных расчетов.
В [122] рассмотрена математическая постановка связанной задачи термоупругости о распространении волн в тонком полубесконсчпом стержне из пьезоэлектрпка. Уравнение для теплового потока содержит релаксационное слагаемое, что обеспечивает конечность скорости
распространения тепла в среде. Задачу удалось решить аналитически с использованием преобразования Лапласа. Обсуждены основные закономерности в распространении скачков перемещений и температуры. Приведен пример расчета.
Методом Лехницкого-Стро в [141] построено общее решение плоской задачи термоэлектроуиругости в случае анизотропной среды. Особое внимание уделено случаям кратных собственных значений. Решение задачи о коллинеарных трещинах на границе раздела двух сред сведено к известной задаче линейного сопряжения - задаче Гильберта.
Задача управления коэффициентом интенсивности термических напряжений в пьезотермоупругом полубесконечном теле с краевой трещиной рассмотрена в [121].
Сферически симметричная начально-краевая задача динамической теории упругости для полой сферы с учетом связанных электро- и термомеханических эффектов рассмотрена в [114].
В [128] рассмотрена задача о тепловом нагружении термопьезоэлек-трика с отверстиями или трещинами и представлено численное решение сингулярных интегральных уравнений для неизвестных разрыва температуры и дислокации перемещений и электрического потенциала на границах трещины. При помощи формализма Стро и метода конформного отображения получено единое решение в аналитическом виде для бесконечной термопьезоэлектрической плиты с различными отверстиями под действием теплового нагружения.
В [84] дано краткое изложение сущности метода, предлагаемого для решения некоторых связанных динамических контактных задач, возникающих при исследовании системы «массивное тело - многослойная полуограниченная термоэлектроупругая среда».
В [104] исследовано термоэлектронапряженное состояние анизотропной многосвязной полуплоскости из пьезоэлектрического материала с эллиптическими отверстиями, находящейся в условиях обобщенного
плоского термоэлектроупругого состояния при температурном нагру-женни на границе.
Как указывалось выше, развитие исследований в области термо-электроупругости опирается на результаты, полученные ранее в работах по электроупругости и термоупругости.
Среди наиболее значимых работ по электроупругости отметим монографии и статьи: [7], [8], [10], [27], [33], [38], [47], [48], [115], [62], [63], [67], [73], [76], [79], [95], [97], [98], [99]. [108], [96]. [14], [113], [85], [89], [1].
Ряд работ посвящен исследованию поведения тонкостенных пьезоэлектрических элементов: в [135] исследовано деформирование пьезоэлектрических пластин, эффективные характеристики которых определены исходя из трехмерной теории, изучены решения, когда тонкая пластина является силовым приводом или датчиком.
Исследованию электроупругого состояния для многосвязного полупространства посвящены работы [36], [37], для многосвязных областей
- [5], [6].
Термоупругие эффекты вносят значительный вклад в характеристики физических полей в термоэлектроупругости. Исследованию динамических эффектов в задачах термоупругости посвящены [61], [123], [112]. В [120] рассмотрена система уравнений типа III в теории Грина и Нагди для линейных термоупругпх сред. В терминах преобразования Лапласа по временной координате решены две одномерные задачи о температурном скачке во времени на границе полупространства, при этом граница или жестко заделана, или свободна от напряжений. Обращения преобразований выполнены для малых времен, и решения для напряжения и температуры в среде проиллюстрированы графиками.
Решение задачи о термонапряженном состоянии анизотропной пластинки с отверстиями и трещинами при действии бесконечного потока тепла и температуры на контурах представлено в [2]. Термоэлектро-
упругое состояние анизотропных пластин также исследуется в работах [49],[50], [103]. Для определения неизвестных постоянных комплексных потенциалов использован метод наимепынеиих квадратов.
В [74] получено точное решение в замкнутой форме связанной динамической задачи термоупругости для полупространства с граничным условием первого рода. Исследовано нормальное напряжение на площадках, перпендикулярных свободной поверхности, в окрестности фронта упругой волны.
В [133] дана математическая постановка и решение связанной задачи электротермоупругости для совокупности коаксиальных цилиндров из пьезокерамики, учтена зависимость пьезоэлектрических коэффициентов от температуры. Результаты расчетов используются при анализе работы твердотельного двигателя, применяемого в космических исследованиях. Приводится сопоставление теории и эксперимента.
Главное препятствие на пути интенсивного исследования краевых задач термоэлектроупругости - относительно большая размерность этой модели (смещения и,, потенциал ф и температура в), в силу чего число решенных (даже численно) краевых задач относительно невелико. Кроме того, отметим, что для исследования связанных задач необходимо располагать большим количеством физических постоянных, находящихся, как правило, из разнородных экспериментов.
С другой стороны, результаты даже тех немногих работ, в которых анализируются численно или аналитически основные свойства решений, свидетельствуют о том, что влияние фактора связанности на такую характеристику,как электрический потенциал, весьма невелико. Это обстоятельство свидетельствует о возможности упрощения процедуры исследования задач термоэлектроупругости в части исследования интегральных характеристик (например, наведенной разности потенциалов), осуществлении декомпозиции исходной задачи, последовательному решению ряда несвязанных задач и уменьшении числа
основных неизвестных.
Основной целью настоящей диссертационной работы является формулирование вариационного принципа тсрмоэлектроупругости и его применение для исследования динамических процессов в термоэлек-троупругих тонкостенных элементах с учетом и без учета связанности, выяснение тех диапазонов изменения параметров задач, где упрощенные модели дают приемлемые результаты, а в каких ситуациях пренебрежение связанностью недопустимо.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Главы делятся на параграфы со сквозной нумерацией.
В главе 1 представлена постановка задач в термоэлектроупругости и изучены некоторые свойства решений.
В параграфе 1.1 из общих уравнений связанной термоэлектроупругости в линейном приближении (уравнений движения, уравнений Максвелла в квазистатическом приближении и уравнения притока тепла) и определяющих соотношений получена общая система уравнений в частных производных, описывающая движение термоэлектроупругой среды. Проведено обезразмеривание общей системы, позволяющее привести ее к виду, удобному для дальнейшего изучения и анализа. Приведены уравнения, описывающие движение термоэлектроупругой среды в важном частном случае для пьезокерампки, поляризованной вдоль оси Ох% (класс 6mm) [76].
В 1.2 представлены общие закономерности поведения решений нестационарных задач в термоэлектроупругости и способы упрощения задач, основанные на различных подходах (слабая связанность, квазистатический подход и т.д.).
В 1.3 приведены постановка и решение задачи о нестационарном тепловом воздействии на термоэлектроупругуго полубесконечную среду, изучено влияние эффектов связанности на наведенный потенциал.
В главе 2 описана вариационная постановка задач термоэлектроупругости, применение которой целесообразно для корректной формулировки задач термоэлектроупругости, так как система уравнений линейной связанной термоэлектроупругости в общем случае является достаточно сложной для практического использования и исследования конкретных краевых задач, особенно при варьировании параметров. Вариационная постановка при учете гипотез о строении физических полей позволяет получить более простые модели и начально-краевые задачи, допускающие аналитическое исследование.
В 2.1 приведен вариационный принцип, обобщающий принцип Гамильтона на случай связанной термоэлектроупругости [76]. При использовании этого подхода необходимо варьировать два отдельных функционала.
В 2.2 предложен вариационный подход с единым функционалом, который может быть эффективно использован для получения простых моделей колебаний термоэлектроупругпх элементов.
В 2,3 представлен тот же вариационный подход для случая нестационарных задач связанной термоэлектроупругости. Функционал в этом случае получен в пространстве изображений по Лапласу основных функций.
В главе 3 построен и изучен ряд моделей движения и колебаний термоэлектроупругой пластины с различными гипотезами о строении физических полей. Проведенное сравнение моделей позволяет позволяет определить области их применимости в зависимости от параметров задачи.
В 3.1 приведена формулировка двух типов задач термоэлектроупругости для тонкостенного элемента произвольных очертаний в зависимости от граничных условий на торцах пластины.
В 3.2, 3.3 рассмотрены простейшая и усложненная модели колебаний тонкостенного элемента, на верхней и нижней гранях которого за-
дана температура. Для корректной формулировки задач использован предложенный выше вариационный принцип. Сравнение полученных результатов показывает, что в области резонансных частот следует использовать усложненную постановку; в нерезонаисном случае можно использовать простейшую модель.
В 3.4 рассмотрена задача о колебаниях ленточной пластины, на лицевые поверхности которой воздействует тепловой поток.
В 3.5 к решению нестационарной задачи термоэлектроупругости для пластины применен вариационный подход, сочетающий предложенный в работе вариационный принцип и технику преобразования Лапласа. Проведено сравнение полученного аналитического решения и асимптотического приближения для малых времен.
В 3.6 рассмотрена нестационарная задача для пластины-полосы при заданном тепловом потоке на лицевых поверхностях, определена неизвестная разность потенциалов, проведено исследование передаточной функции, позволяющее выявить некоторые закономерности поведения разности потенциалов во времени. При малых временах основной вклад вносит теплоэлектрическая связанность задачи, а затем уже термоупругий и пьезоэлектрический эффекты.
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, выносимые на защиту.
Основные результаты диссертационной работы содержатся в 10 научных публикациях: [25], [55], [56], [57], [26], [23], [21], [59], [58], [60] (фамилия соискателя до вступления в брак - Федорова, фамилия в первом браке - Ковалева, во втором браке - Лавриненко). Из них одна статья [25] помещена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора и кандидата наук», утвержденного ВАК РФ.
Три работы выполнены в соавторстве с научным руководителем,
А. О. Ватульяном. В работах [25], [26], [55] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи получения вариационного принципа в задачах термоэлектроупругости, обсуждение результатов, автору диссертации принадлежит вывод вариационного принципа и построение решений приведенных задач.
Две работы выполнены в соавторстве с А. О. Ватульяном и А. Ю. Ки-рютенко. В работах [21], [23] А. О. Ватульяну принадлежит постановка задачи и основные идеи асимптотического анализа; диссертанту принадлежит построение решения для потенциала и его асимптотический анализ; А. Ю. Кирютенко принадлежит построение решений для смещений и напряжений и численный анализ всех решений.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 99-01-01011).
Упрощение постановки задач в термоэлектроупругости
Общие закономерности поведения решений в термоэлектроупругости исследованы в работе [16]. Отметим, что система уравнений линейной термоэлектроупругости, состоящая из 5 уравнений, довольно громоздка, мало изучена и не принадлежат ни к одному из обычно рассматриваемых в математической физике типов операторов (эллиптические, гиперболические, параболические). Система уравнений связанной термоэлектроу пру гости - смешанного типа, в нее входят уравнения гиперболического и параболического типа, соответственно основные закономерности движений в таких системах весьма специфичны и требуют тщательного исследования. Для операторов гиперболического типа характерно наличие фронта волны - поверхности, отделяющей возмущенное состояние от невозмущенного, где основные характеристики терпят скачки. Для операторов параболического и эллиптического типов характерна гладкость решений всюду в области.
Для практических целей главным в задачах такого типа является не построение компонент физических полей, а нахождение передаточной характеристики исследуемой динамической системы, в частности нахождение связи между характеристиками теплового воздействия и наведенным потенциалом. Для решения этой локальной задачи возможно упрощение исходной постановки, использующее малость соответствующих физических и геометрических характеристик.
Чтобы проанализировать решение системы, описывающей динамическое поведение термоэлектроупругого тела, запишем ее в обезразме-ренной форме в виде операторного уравнения [15].
В результате обезразмеривания в краевую задачу входят два малых параметра - 5\, характеризующий связанность температуры с электрическим потенциалом и упругим смещением, и ($2 являющийся отношением характерных времен звуковых t\ — /іу/о/сзззз и тепловых 2 = Н2сє/кзз возмущениіі. При этом параметр 5\ вводится искусственно и имеет порядок 10 2 - 10 3, а коэффициент 5% имеет порядок 1СГ9 -г- 10 6 для различных материалов при Н — 10 3м и уменьшается с увеличением Н. , Х5 = в Малость двух безразмерных параметров может быть использована при анализе общей краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2).
Далее можно выделить в термоэлектроупругости несколько наиболее характерных типов решений, соответствующих упрощенным постановкам: 1. Стационарное решение, на которое выходит система при t — со, что соответствует s —» 0, и которое определяется из следу ющего операторного уравнения: (А + 6гВ)х(0) = О с соответствующими краевыми условиями. 2. Квазистатическое решение, получающееся при пренебрежении в (1.2.4) инерционными слагаемыми, т.е. при 52 = 0. Это приближение не описывает скачков напряжениіі на фронтах волн, но может быть использовано для описания поведения потенциала в зависимости от времени. 3. Решение в предположении малой связанности, т.е. б\ - мало. В этой постановке при тепловом возбуждении сначала определяется поле температур, а затем находится распределение остальных характеристик. 4. Квазистатическое решение в линейном приближении по 5\ X = Х(0) + 1Х(1) + 0{5\). (1.2.6) Эта постановка более простая, чем 2-я и 3-я, и также может быть использована для исследования изменения потенциала по времени. Современные конструктивные элементы, которые регистрируют изменение поля температур, как правило, представляют собой тонкостенные элементы. При исследовании поведения тонкостенных элементов из термоэлектроупругих материалов возникает еще один малый параметр - параметр тонкостенности. Для дальнейшего упрощения постановки задач необходимо проанализировать, как он связан с введенными выше параметрами ( и 5\ и изучить его влияние па свойства решений исходной системы уравнений , оценить границы применимости простейших технических теорий.
Построение единого функционала термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний
В случае установившихся колебаний для термоэлектроупругих тел сформулируем принцип, являющийся обобщением вариационного принципа Гамильтона-Остроградского в электроупругости. Определение. Кинематически возможным полем U назовем множество вектор-функций {щ, р, в} Є C2(V), вариации которых удовлетворяют условиям: Ч5в = 0, Ms± = 0, S9\Se = 0. (2.2.1) Будем исходить из постановки задачи связанной термоэлектроупру-гости, описанной в [76]. Используя метод множителей Лагранжа, составим функционал L, условие стационарности которого будет эквивалентно системе уравнений (1.1.12) и естественным граничным условиям в (1.1.4)-(1.1.6). Для этого умножим первые три уравнения системы (1.1.12) на соответствующие 6щ, второе уравнение - на а\6(р, третье -на а269, сложим полученные выражения и проинтегрируем по объему тела V. Аналогично поступим и с естественными граничными условиями из (1.1.4-1.1.6): условия на части Sa умножим на соответствующие а дщ, условия на части Sn - на a Sip, условия на части Sq умножим на asS9, складывая и интегрируя все указанные граничные условия по соответствующим частям поверхности S (здесь aj j = 1,2..5).
Таким образом, можно сформулировать следующую теорему: Теорема. Среди всех кинематически возможных полей истинные доставляют стационарное значение функционалу L. Поскольку вследствие основной леммы вариационного исчисления [32] вариации перемещений, потенциала и температуры произвольны и независимы в объеме и на границе, заключаем, что из выражения (2.2.6) следует равенство нулю множителей при соответствующих вариациях как в объемном, так и в поверхностных интегралах, то есть уравнения (1.1.12) в случае установившихся колебаний и естественные граничные условия в (1.1.4)-(1.1.6).
Отметим, что математическую основу постановок краевых задач термоэлектроупругости [73], [76] составляют уравнения термопьезоэлектричества, сформулированные Миндлиным [124] в начале 60-х годов прошлого столетия. Они имеют важные приложения при расчете пьезо- и пиродатчиков. В этой части механики деформируемого твердого тела, посвященной изучению взаимного влияния тепловых, электрических и упругих полей, гораздо меньше законченных результатов, чем, например, в термоупругости или электроупругости. Среди наиболее значимых работ, посвященных обобщенным постановкам краевых задач термоэлектроупругости, отметим [11], [106], [107]. В ряде работ, посвященных общим вопросам исследования краевых задач термоэлектроупругости, авторами были получены законченные результа-ты [11], [19], [126].
Теория связанной термоэлектроупругости является обобщением моделей термоупругости и электроупругости. Она опирается на основные методы исследования нестационарных процессов для этих моделей, которые основаны на двух подходах: 1) на концепции малой связанности, 2) на асимптотических методах для малых и больших времен.
Сложность исследования задач связанной термоэлектроупругости обусловлена несколькими факторами. Во-первых, система уравнений связанной термоэлектроупругости не принадлежит ни к одному из хорошо изученных типов операторов и при исследовании свойств решений начально-краевых задач требует детального анализа даже при решении простейших одномерных задач. Во-вторых, наличие анизотропии в термоэлектроупругих телах затрудняет как построение фундаментальных и сингулярных решений, так и исследование волновых процессов.
Методам решений задач динамических задач термоэлектроупруго-сти посвящен ряд исследований. Так, в [94] разработан универсальный аналитический метод исследования динамических краевых задач тер-моэлектроуиругости для полуограниченных сред с неоднородностями типа трещин и жестких включений, в [53] изучены типы волн в неограниченной тсрмоэлектроупругой среде класса 6 mm и предложена их классификация, построены фундаментальные решения в связанной термоэлектроупругости для среды класса 6 mm в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку, сформулирована система ГИУ в термоэлектроупругости в случае установившихся колебаний, решен ряд задач о нестационарных воздействиях.
Формулировка вариационного подхода в нестационарных задачах термоэлектроупругости
Обычный способ исследования нестационарных задач термоэлектроупругости состоит в применении интегрального преобразования Лапласа, нахождении функций-изображений и дальнейшем аналитическом или численном обращении преобразования. При использовании вариационного подхода необходимо построить некоторый функционал, как это сделано в стационарном случае [25]. Заметим, что между задачами об установившихся колебаниях и преобразованными по Лапласу нестационарными задачами в линейном случае существует простое соответствие. Поэтому в общем случае в нестационарных задачах тсрмоэлектроупругости предлагается сформулировать вариационный подход в пространстве изображений Лапласа.
Если к начально-краевой задаче связанной линейной термоэлектроупругости применить преобразование Лапласа по времени, то можно получить следующую краевую задачу для изображений, где формальное соответствие состоит в замене jy — s. Дальнейшее использование построенного функционала L для решения начально-краевых задач термоэлсктроупругости для тонкостенных конструкций осуществляется следующим образом: 1) формулируются гипотезы о строении физических полей, с учетом их упрощается функционал L; 2) после варьирования функционала L формулируются более простые краевые задачи в пространстве изображений по Лапласу; 3) осуществляется этап решения полученных упрощенных краевых задач; 4) проводится численное или аналитическое обращение преобразования Лапласа или асимптотический анализ полученных решений. Конкретные примеры использования представленного подхода будут приведены в последующих параграфах. В [31] развиты теория и прикладные методы решения динамических смешанных, в том числе и контактных, задач для слоистых сред с учетом связанности полей, проведена апробация их на различных модельных примерах. В [ПО] квазистатические уравнения теории пьезоэлектричества и термопьезоэлектричества сформулированы в виде, допускающем применение метода конечных элементов. Полученные результаты способствуют решению задачи размещения и оценке чувствительности датчиков в перспективных информационных системах. Эффективность метода иллюстрируется двумя частными примерами. Первый из них - двухслойная пьезоэлектрическая полоса как деталь робототехничес-кой системы. Второй пример - алюминиевая балка с нанесенными двумя полимерными слоями, которые используются как актуаторы и сенсоры при оценке и регулировании распределения температур в балке от краевого источника.
В ряде работ для формулировки корректных задач используется вариационный подход. Так, в работе [134] вводятся основные положе ния микрополярной термоупругости и термопьезоэлектричества для обновления базовых уравнений равновесия и граничных условий для полярной термомеханпческой среды. На основе принципа возможных перемещений и принципа Гамильтона составляются уравнения движения и локальное уравнение баланса энергии. Обсуждаются найденные результаты для микрополярной термопьезоэлектрической задачи. Точные аналитические решения статических задач электроупругости и термоэлектроупругости трансверсально-изотропного тела в криволинейных координатах получены в [83]. В работе [24] предложена процедура сведения задачи термоэлектроупругости к последовательном} решению двух более простых задач и предложенный подход реализован в одномерной задаче для слоя, проведены численные расчеты. Задача термоупругости для электропроводной пластины под электромагнитными импульсами рассмотрена в [75]. Стационарные колебания термоэлектроупругой полосы исследованы в [30]. В [130] на основе предложенного авторами ранее метода решена двумерная пьезотермоупругая задача для ортотропной пластины, представляющей группу mm2, одна поверхность которой нагрета, а другая электрически заряжена. Численные расчеты проведены для селенида кадмия. Упругое смещение и распределение напряжений сравнивались с решениями термоупругой задачи без учета пьезоэффекта. Исследовалось влияние поверхностного электрического заряда на упругие смещения, поле напряжений, электрический потенциал, плотность зарядов и электрическое смещение.
Исследование краевых задач 2 типа для ленточной пластины. Модель I колебаний тонкостенного элемента
Построенные в предыдущем параграфе краевые задачи соответствуют задачам о планарных и изгибных колебаниях. При этом оказывается, что задача 1 типа приводит к более сложной краевой задаче. Рассмотрение частных одномерных задач поэтому естественно начать с задач 2 типа.
Рассмотрим задачу о колебаниях пластины-полосы из термоэлек-троупругого материала класса 6mm. Приравняв к нулю множители при независимых вариациях 8що и бщо, получим систему уравнений и граничных условий, описывающую колебания тонкостенного элемента в рамках модели термоэлек-троупругостп. Далее считаем, что Ті, Ті не зависят от х\.
Полученная система уравнений и граничных условий естественным образом разделяется на две независимые задачи, которые условно можно назвать задачей «растяжения-сжатия» и задачей «изгиба» тонкостенного элемента. Отметим, что разность граничных температур присутствует лишь в задаче 2, а сумма - в задаче 1. В задаче 2 уравнение и первое граничное условие лишь членами ри)2и 0 и риги т соответственно отличаются от классического уравнения изгиба балки и учитывают инерцию вращения [2].
Проанализируем полученные формулы для расчета наведенного потенциала. В пироэлементе имеется два набора резонансных частот, соответствующих продольным резонансам, определяемым из условия do(kj) = 0, и изгибным, определяемым из уравнения Ко{к/) = 0. На этих частотах наведенный потенциал обращается в бесконечность. Отметим также, что при Т2 = 0 изгиб отсутствует.
Отметим, что в окрестности первого резонанса і/ 2І значительно больше единицы, в окрестности второго резонанса это отношение примерно равно четырем. На рисунке 3.7 показан сравнительный вклад задач растяжения-сжатия и изгиба, ф\Т\, Ф2Т2 соответственно, в наведенный потенциал на нерезонансных частотах. Основной вклад вносит задача «растяжения-сжатия».
Простейшая модель деформирования тонкостенного элемента, исследованная в 3.2, не всегда может быть использована; в частности, она не учитывает зависимость температуры от координаты Xi, дает неограниченный рост потенциала на частотах продольного и изгибно-го резонансов. Эти гипотезы автоматически удовлетворяют главным граничным условиям (р(х\, ±Н) = dbipo, в(хі, ±Н) = в± и, кроме того, 7із(жі, ±Я) = 0; введенные дополнительно функции Фо(#і) и 0Q{X\) имеют простой физический смысл: ір(хі,0) = Фо(жі), 0( 1,0) #o( i) Подставим (3.3.1) в вариационное уравнение (2.2.5).
Собирая и приравнивая к нулю множители при независимых вариациях 5U\Q, 5що, ЗФо и J#o, получим систему уравнений и граничных условий, которая также естественным образом разделяется на две независимые задачи.
Структура постановок (3.3.2) и (3.3.3) такова, что сумма граничных температур входит в задачу 2.1.2, а разность граничных температур входит в задачу 2.2.2. Постановки (3.3.2) и (3.3.3) существенно сложнее своих аналогов из п. 3.1 и могут быть исследованы традиционными средствами, однако их решение весьма громоздко и выражается через корни характеристических уравнений 4-ой (биквадратного) и 6-ой (бикубического) степени. На рисунках 3.8, 3.9 приведены зависимости амплитуды наведенного потенциала от безразмерной частоты к для пироэлектрического элемента из титаната бария (сплошные линии соответствуют простейшей модели I, штриховые - уточненной модели II). На рис.3.8 зависимости изображены в окрестности первого продольного резонанса, на рис.3.9 - в окрестности второго продольного резонанса. В уточненной модели всплески амплитуд незначительно (менее 1%) сдвинуты в сторону увеличения к и являются конечными. Модель II может быть использована для описания связанных колебаний пироэлектрических элементов.
Рассмотрим задачу для ленточной пластины из пьезокерамики, поляризованной вдоль оси з, боковые грани которой теплоизолированы, а на лицевых поверхностях нанесен бесконечно тонкий электрод и задается тепловой поток, что соответствует задаче 1. Механические нагрузки отсутствуют, на электродах наводится разность потенциалов за счет пироэффекта.
В результате ряда преобразований, аналогичных приведенным в модели I во втором параграфе данной главы, приравняв к нулю множители при независимых вариациях 5що, 5що, 5Т\ и 5Т2, получим систему уравнений и граничных условий, естественным образом разделяющуюся на две независимые задачи, которые также условно назовем задачей «растяжения-сжатия» и задачей «изгиба» тонкостенного элемента.
Разность значений теплового потока на лицевых поверхностях присутствует лишь в задаче 2, а сумма - в задаче 1. Потенциал іро явно входит лишь в задачу растяжения-сжатия. Рассмотрим нестационарную задачу для пластины-полосы из термо-электроупругого материала класса 6mm и построим упрощенную модель в пространстве изображений по Лапласу.
Подставим представления (3:5.4) в функционал L, задаваемый (2.3.3), и найдем его вариацию. Приравняв к нулю множители при независимых вариациях 5VIQ И 5ЩО, получим систему уравнений и граничных условий, описывающую движение пластины. Эта система также может быть получена путем формальной замены — іш на s в (3.2.5)-(3.2.6).
