Содержание к диссертации
Введение
1. Введение. 4
1.1 .Обзор литературы. Обоснование выбора темы. 4
1.2. Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела . 8
2. Численная методика построения периодических решений существенно нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений . 20
2.1. Построение периодических решений. 20
2.2. Анализ устойчивости. 25
2.3. Описание программного обеспечения. 28
2.4. Анализ точности. Тестовые и сравнительные расчеты . 33
2.5. Основные результаты главы 2. 56
3. Колебания с несколькими степенями свободы систем с сосредоточенными параметрами. Синергический эффект при колебаниях систем с сосредоточенными параметрами и в модельных задачах механики деформируемого твердого тела . 57
3.1. Сочетание вынужденных и параметрических колебаний в нелинейной системе с одной степенью свободы. 59
3.2. Вынужденные колебания в нелинейной системе с двумя степенями свободы . 66
3.3. Основные результаты главы 3. 69
4. Существенно нелинейные колебания в задачах механики деформируемого твердого тела . 70
4.1. Колебания сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием. Постановка задачи. 72
4.2. Численное исследование существенно нелинейных вынужденных колебаний сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием .
4.3. Основные результаты главы 4.
Выводы. 1
Список литературы 1
- Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела
- Анализ точности. Тестовые и сравнительные расчеты
- Вынужденные колебания в нелинейной системе с двумя степенями свободы
- Численное исследование существенно нелинейных вынужденных колебаний сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием
Введение к работе
Актуальность проблемы. Несомненная актуальность динамических задач механики деформируемого твердого тела, в частности исследование установившихся колебаний определяет внимание исследователей к решению подобных проблем. Традиционные подходы, основанные на линейных постановках задач рассматриваемого класса, в последние годы значительно дополнены и уточнены за счет учета нелинейных эффектов. Основополагающие результаты были получены с помощью использования асимптотических методов. На этом этапе рассматривались, как правило, квазилинейные системы. Впоследствии применение численных методов позволило существенно расширить круг решаемых задач и проводить анализ существенно нелинейных систем. При этом были получены принципиально новые результаты, отражающие возможность реализации в существенно нелинейных системах нетривиальных колебательных режимов, странного аттрактора, сложной эволюции решений при изменении параметров системы Применительно к динамическим задачам механики деформируемого твердого тела эти результаты были получены, как правило, с учетом одной формы колебаний. Естественное продолжение этих исследований - учет нескольких форм при существенно нелинейных колебаниях деформируемых элементов конструкций. Именно этому и посвящена настоящая работа.
В работах В.П.Майбороды при исследовании колебаний линейных механических систем с несколькими степенями свободы был обнаружен эффект взаимного влияния различных форм колебаний. Несомненную актуальность имеет изучение подобных эффектов в случае нелинейных колебаний.
Цель работы заключается в разработке методики, алгоритмов, программ и количественном численном анализе существенно нелинейных
колебаний деформируемых элементов
їггтеетом- нескольких форм
1»1Я. - IjlkMAe (
С/' ..србурт
vmrvv
4 колебаний, возможности прощелкивания, бифуркаций периодических решений, перехода к хаосу, исследование синергического эффекта при существенно нелинейных колебаниях механических систем с несколькими степенями свободы.
Новизна результатов определяется постановкой и решением новых задач с учетом нескольких форм колебаний, а также новых решений в известных задачах, обнаруженных при учете существенной нелинейности.
Достоверность результатов характеризуется корректностью постановок задач, решением тестовых задач, сравнением получаемых результатов с известными решениями. Численные результаты проверяются повторением расчетов с большей точностью.
Научная и практическая значимость диссертации заключается в возможности расчета существенно нелинейных установившихся колебаний деформируемых элементов с учетом нескольких степеней свободы.
Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на X Международную конференцию «Математика, компьютер, образование» (Пушино, 2003), XIV симпозиум «Динамика виброударных (сильно нелинейных) систем» (Москва, 2003), XI Международной школу-семинар «Новые информационные технологии». (Москва, 2003), докладывались на научно-технической конференции МГИЭМ (Москва, 2005), на кафедре Математического моделирования Московского государственного института Электроники и математики (МГИЭМ).
Публикации. По материалам диссертации опубликованы работы [1-7].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из четырех глав, выводов, изложена на 108 стр. машинописного текста, содержит 53 иллюстрации и библиографический список, включающий 87 наименований.
Динамические задачи в механике деформируемого твердого тела
Современные механизмы работают в тяжелых с точки зрения динамики режимах. Во многих случаях вибрации, удары, потеря устойчивости деформируемых элементов являются постоянными составляющими, входящими в условия работы механизма. Роль колебаний в технических приложениях разнообразна и значительна. С одной стороны, эта роль может быть вредной, приводя к ненужным и излишним динамическим нагрузкам. Ведь ускорение пропорционально квадрату частоты, соответственно возникает опасность перегрузок при высокочастотных колебаниях. Однако и при низкочастотных колебаниях могут возникать нежелательные перегрузки. При низких частотах, как правило, возрастают амплитуды колебаний, при этом могут быть достигнуты естественные технические ограничения конструкции, жесткость элементов-ограничителей амплитуды как правило значительно больше жесткости деформируемых элементов в рабочем диапазоне, при контакте с жестким элементом-ограничителем возникают высокочастотные колебания (дребезг) с большими ускорениями, и вся система уже не может рассматриваться как линейная. Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы увеличить диссипативные характеристики системы, избежать контакта с ограничителями и оставаться в рамках линейной постановки задачи.
С другой стороны, существует ряд технологических процессов, где вибрации находят полезное применение (вибрационная транспортировка, обработка металлов и т.д.). Естественно, в этой ситуации возникает задача подбора параметров механической системы таким образом, чтобы диссипативные характеристики системы не снизили параметры вибрации ниже технологически необходимого уровня.
Для линейных диссипативных систем В.П.Майбородой и его учениками разработаны алгоритмы исследования диссипативных характеристик в зависимости от параметров механической системы. Эти методы нашли свое применение для линейных систем с конечным числом степеней свободы. В случае нелинейных систем проявления эффекта изменения диссипативных характеристик в зависимости от параметров системы изучены недостаточно. Продолжение исследований в этом направлении - одна из целей настоящей работы. Ведь в нелинейной системе одновременно действуют несколько взаимовлияющих факторов, значительно усложняющих характер проявления механических эффектов и методы их анализа. Среди упомянутых взаимовлияющих факторов выделим следующие:
- взаимодействие различных форм колебаний, определяющее изменение диссипативных характеристик. В линейных диссипативных системах с несколькими степенями свободы этот вопрос исчерпывающе изучен в работах В.П. Майбороды и его сотрудников. В нелинейных системах, в которых нет единственности решения, существует неоднозначность амплитудно-частотной характеристики, взаимодействие различных форм колебаний может проходить значительно сложнее. В частности, в отличие от линейных диссипативных систем, эффект изменения диссипативных свойств может проявляться даже в системе с одной степенью свободы за счет взаимодействия различных видов колебаний, присущих нелинейным системам (вынужденные, параметрические, автоколебания, которые в нелинейной системе имеют ограниченную амплитуду). Кроме того, в нелинейной системе с одной степенью свободы с учетом неоднозначности решения, присутствия эффекта перескока решения с ветви на ветвь амплитудно-частотной характеристики при вынужденных колебаниях может иметь место взаимодействие различных решений и влияние этого взаимодействия на диссипативные характеристики. Еще более сложный характер может иметь проявления эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейной диссипативной системе с учетом нескольких степеней свободы. Ведь упомянутые нелинейные эффекты могут проявляться по каждой из форм колебаний, и при этом возможно их взаимное влияние. в существенно нелинейной полностью детерминированной динамический системе колебания могут иметь хаотический характер. В работе Холмса [56] приведены результаты исследования вынужденных поперечных колебаний потерявшего устойчивость стержня с учетом одной формы колебаний. При этом не рассматривается возможное влияние высших форм колебаний на динамический процесс. Одним из возможных сценариев перехода от детерминированных движений к хаотическим и обратно при изменении каких-либо параметров системы являются бифуркации удвоения периода с учетом универсальной постояннойг Фейгенбаума [69]. Эти результаты дополняются экспериментальными исследованиями Муна [72], показывающими хаотический характер существенно нелинейных вынужденных колебаний стержневой системы с перескоком. Естественно, анализ подобных эффектов в существенно нелинейных системах с учетом нескольких форм колебаний значительно сложнее, чем в системах с одной степенью свободы, но результаты такого анализа представляет несомненный интерес. - отдельно выделим диссипацию энергии. Ведь с одной стороны коэффициенты диссипации энергии - это параметры исходной системы, которые в принципе можно варьировать. Но изменение диссипативных характеристик всей механической системы при изменении отдельных параметров является результирующим эффектом, который может быть достигнут при неизменных коэффициентах диссипации. Это получено для линейных диссипативных систем, естественно представляет интерес исследование аналогичных зависимостей для нелинейных систем. И конечно представляет интерес исследование влияния коэффициентов диссипации отдельных подсистем на общие диссипативные характеристики системы. Особый интерес представляет анализ влияния диссипации на возможность реализации сложных полигармонических и хаотических колебаний в детерминированной существенно нелинейной механической системе. - степень нелинейности механической системы значительно влияет на характер колебаний и, соответственно, определяет методы анализа, с помощью которых можно получать достоверные результаты. Многие механические системы при малых амплитудах внешнего воздействия (или при значительной диссипации) можно рассматривать как линейные, с ростом внешнего воздействия и амплитуды колебаний появляется влияние нелинейных эффектов, и для анализа таких режимов хорошо развит аппарат асимптотических методов. В случае значительных внешних воздействий и амплитуд результирующих колебаний механическая система приобретает свойства существенно нелинейной, системы, для анализа которой методы анализа линейных и квазилинейных систем неприменимы. Отдельно отметим механические системы с перескоком - механические системы, в которых нелинейные эффекты проявляются наиболее ярко, когда небольшому изменению параметра соответствует кардинальное изменение в системе -перескок. Для статических задач это как правило потеря устойчивости системы, для динамических задач колебания систем с перескоком соответствуют существенно нелинейному динамическому режиму. Применительно к колебаниям стержней, пластин, оболочек вместо термина «перескок» часто используют термин «прощелкивание». Отметим, что колебания механических систем с прощелкиванием предваряются потерей системой статической устойчивости, бифуркацией ее статического состояния, и на этот статический эффект накладывается периодически изменяющееся во времени внешнее воздействие, приводящее к возникновению колебаний с прощелкиванием, в которых при изменении параметров системы возможны уже бифуркации динамических периодических решений.
Анализ точности. Тестовые и сравнительные расчеты
После ввода исходных данных по методу Ньютона определяются начальные условия, соответствующие периодическому решению. Однако, сходимость метода Ньютона существенным образом зависит от выбора начального приближения. При неудачном выборе начального приближения метод может расходиться. В этом случае программа может сама выбрать новое начальное приближение с помощью датчика случайных чисел, либо запрашивает пользователя о новом приближении. При расходимости метода Ньютона пользователь может вмешаться в ход вычислений и изменить параметры задачи, точность численных методов, сам задать начальное приближение. Также пользователь может отказаться на некоторое время от использования алгоритма Ньютона и перейти к численному интегрированию, что позволяет либо быстрее найти решение, либо с помощью средств машинной графики анализировать траекторию и фазовый портрет решения и на основании этого сделать выводы о наличии/отсутствии/величине периода и характере решения. Если при численном интегрировании удалось приблизиться к периодическому решению, пользователь при необходимости может вернуться к использованию алгоритма Ньютона и решать дальше задачу, используя найденное с помощью численного интегрирования начальное приближение. Время построения периодического решения в зависимости от вычислительной ситуации и производительности ЭВМ может изменяться от долей секунды до нескольких минут; для быстро строящихся решений в алгоритм специально вводятся временные задержки для того, чтобы пользователь мог оценить получаемые результаты и принять необходимое решение о дальнейшем сценарии реализации алгоритма. Таким образом, рост производительности ЭВМ привел к необходимости учитывать при реализации алгоритма соотношение между временем построения периодического решения и временем принятия решения квалифицированным пользователем. После того, как найдены начальные условия, соответствующие кТ периодическому решению, то есть решена система При невыполнении этих соотношений пользователю выдается сообщение о необходимости увеличить точность расчетов. При их выполнении с заданной точностью модули найденных мультипликаторов сравниваются с 1 и делается вывод об устойчивости найденного периодического решения.
Заметим, что алгоритм поиска решения является итерационным и интерактивным, а алгоритм анализа устойчивости - конечный. Для разложения найденного периодического решения в ряд Фурье использована стандартная программа, реализующая конечный алгоритм определения заданного количества коэффициентов ряда Фурье.
Для анализа соответствия полученных результатов заданной точности на различных этапах алгоритма используются следующие методы: 1. Для контроля точности определения начальных условий, соответствующих периодическому решению, сами периодические решения строятся численно с шагом вдвое меньшим , чем шаг, который используется при численном решении системы обыкновенных дифференциальных уравнений при определении начальных условий. После этого вновьі проверяется выполнение условия периодичности с заданной заранее точностью. Если это условие нарушается, процедура определения начальных условий повторяется, причем численное интегрирование системы обыкновенных дифференциальных уравнений проводится с большей точностью1. При этом на нулевом шаге в качестве начальных условий берутся найденные ранее значения. 2. Для контроля точности вычисления мультипликаторов при определении устойчивости найденного решения используются соотношения (2.3.5). Если эти условия не выполняются с заданной точность, то программа возвращается к определению начальных условий и построению решений с большей точностью, так как при определении мультипликаторов используется периодическое решение системы (2.3.2). Таким образом, соотношения для мультипликаторов (2.3.5) используются для комплексной проверки точности найденного решения и величин мультипликаторов. 3. При рассмотрении автономных систем для контроля точности используется также условие равенства 1 одного из мультипликаторов. Кроме обсуждения способов проверки точности получаемых начальных условий, периодических решений и величин мультипликаторов, ориентированных на постоянное использование при численной реализации обсуждаемых алгоритмов целесообразно оценить также точность получаемых решений по результатам исследования задач, имеющих аналитическое решение, изученных с помощью приближенных методов, а также проверить разработанные методы и алгоритмы по известным результатам исследования существенно нелинейных колебательных систем. В качестве иллюстрации работы программы построения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений рассмотрим результаты для двух линейных задач, имеющих точное аналитическое решение.
Вынужденные колебания в нелинейной системе с двумя степенями свободы
Ряд динамических задач механики деформируемого твердого тела могут быть сведены с помощью известных методов (Бубнова-Галеркина, Ритца) к анализу систем- обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследования эффекта изменения диссипативных характеристик колебательной системы в аппроксимирующем неизвестную функцию ряде удерживается несколько (не менее двух) слагаемых.
При исследовании динамики неоднородных колебательных систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, В.П.Майбородой был обнаружен эффект значительного увеличения диссипативных характеристик колебательной системы при сближении или совпадении различных собственных частот [33]. Подобная закономерность обнаружена как при исследовании модельных задач, так и при анализе линейных колебаний пластинчатых и оболочечных конструкций со связями, линейных систем виброизоляции с несколькими степенями свободы. В линейных колебательных системах необходимым условием проявления упомянутого эффекта является учет нескольких степеней свободы.
Рассмотрим проявления эффекта изменения диссипативных свойств в нелинейных колебательных системах. При этом, основываясь на подходе, апробированном при изучении подобной проблемы в линейной постановке, будем считать, что исходная задача механики деформируемого твердого тела с помощью упомянутых выше методов сведена к системе обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений.
Весьма важным отличием от линейной постановки задачи в нелинейной системе является принципиальная возможность проявления исследуемого эффекта изменения диссипативных свойств даже в нелинейной колебательной системе с одной степенью свободы. Это обусловлено неединственностью решения в подобных системах и наличием различных ограниченных решений при действии на систему возмущений различного характера, например вынужденные и параметрические колебания в нелинейных системах с одной степенью свободы. Разумеется, проявления исследуемого эффекта можно ожидать и в нелинейных системах с несколькими степенями свободы. Будем рассматривать проявления эффекта изменения диссипативных свойств при установившихся колебаниях в нелинейных системах. При этом проявлением рассматриваемого эффекта будем считать явление снижения амплитуды колебаний при увеличении амплитуды внешнего возмущения определенного типа в условиях постоянства остальных внешних воздействий и параметров системы. Проблема исследования установившихся колебаний сводится к задаче отыскания периодических решений нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений и к анализу устойчивости найденных решений. Эта задача решалась с использованием численного метода, подробно изложенного в п. 2., позволяющего, в частности, строить периодические решения заданного периода и исследовать их устойчивость. С помощью этого метода, реализованного в виде диалоговой автоматизированной системы научных исследований на персональных ЭВМ, возможно проведение необходимых исследований без предположений о малости отдельных слагаемых, входящих в анализируемые системы обыкновенных дифференциальных уравнений и без априорного задания вида искомого решения. Приведем некоторые из полученных результатов, показывающих наличие эффекта изменения диссипативных свойств нелинейной колебательной системы как для систем с одной степенью свободы, так и для систем с несколькими степенями свободы. Заметим, что к уравнениям такого вида приводятся задачи динамики стержней, пластин, замкнутых цилиндрических оболочек при одновременном воздействии продольных и поперечных периодически изменяющихся сил. Рассмотрим некоторые результаты численного исследования системы (3.1.1) в окрестности зоны главного параметрического резонанса со = 2со . Приводимые ниже результаты получены при следующих значениях коэффициентов уравнения (3.1.1): со = 1; Р = W = 0.4;Ъ - 0.03; у = 1. Частота внешнего возмущения со варьировалась в пределах 1.8 со 2.3. При со = 1.8 динамический процесс в системе, описываемой уравнением (3.1.1), качественно близок к вынужденным колебаниям: период решения совпадает с периодом возмущения, фазовый портрет решения представляет собой замкнутую кривую типа эллипса. С ростом частоты со характер решения качественно меняется, решения, близкие к вынужденным колебаниям, становятся неустойчивыми, и при со = 2.3 устойчивые колебания в системе близки к параметрическим: период решения вдвое больше периода внешних возмущений, фазовый портрет решения подобен эллипсу. При 1.8 & 2.3 колебания имеют достаточно сложный характер. Эволюция процесса от колебаний, близким к вынужденным при Й? = 1.8 к колебаниям, имеющим характер параметрических при со = 2.3 прослеживалась с помощью построения фазовых портретов решений уравнения (3.1.1) при различных значениях частоты со. На Рис. 3.1.1 представлена серия кривых, отражающая эволюцию решений, полученных при изменении частоты 1.9 со 2.3. Все упомянутые выше решения устойчивы. Кроме того, в исследованном диапазоне частот обнаружены неустойчивые режимы, соответствующие -вынужденным колебаниям. Таким образом, при воздействии на нелинейную колебательную систему возмущений качественно различного типа, возбуждающих вынужденные и параметрические колебания, колебательный процесс в системе может носить как достаточно сложный характер, обусловленный взаимодействием двух различных факторов, так и соответствовать одному из двух типов внешних воздействий.
Численное исследование существенно нелинейных вынужденных колебаний сжатоизогнутых стержней с прощелкиванием
Для проверки точности получаемых решений не только- по времени, но и по координате (аппроксимации прогиба двумя формами может быть недостаточно) были проведены расчеты, когда прогиб аппроксимировался тремя слагаемыми из ряда (4.1.12) (N=3). При этом выяснилось, что в этом случае ух (t) не было тождественно равно нулю, а по крайней мере один из коэффициентов при двух других слагаемых тождественно равен нулю. Сказанное относится к случаю, когда нагрузка распределена по закону (4.2.1). Какая из высших форм возбуждается зависит от параметров системы, частоты внешнего воздействия и стартовых начальных условий.
Подстановка найденных численно решений в уравнение (4.2.2) показывает, что относительная величина невязки не превышает 10"4. В случае, когда коэффициент при высшей форме колебаний тождественно равен нулю, невязка при расчетах с учетом одной и двух форм совпадает с точностью вычислений. Если же при колебаниях стержня возбуждаются две формы, а расчет производить с учетом одной формы, то относительная невязка уравнения (4.2.2) достигала 30 %.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что в рассмотренной системе при анализе вынужденных колебаний с прощелкиванием достаточен учет лишь одной из форм, ортогональных нагрузке. При этом невязка уравнения в частных производных позволяет судить о достижении необходимой точности аппроксимации.
Приведем результаты исследования существенно нелинейных колебаний сжатоизогнутого стержня с прощелкиванием при изменении других параметров системы.
По времени периодические решения строятся с погрешностью, не превышающей 10 5, внешнее воздействие принимается в виде (4.2.1). Далее нумерация всех рисунков будет включать дополнительный последний индекс 1 или 2: первые цифры являются текущим номером рисунка, последняя - 1 или 2 - совпадает с индексом j системы уравнений (4.1.13). Значения параметров системы (4.1.13), при которых получены решения, приводятся на рисунках. Отсутствие рисунка Х.2 при наличии рисунка Х.1 означает, что у2 (0 = 0. На рис. 4.2.9.1 и рис. 4.2.9.2 приведены серии фазовых портретов и устойчивых решений системы (4.1.13) для первой и второй форм при изменении параметра Dx, соответствующего сдвигу одного из краев стержня. Видно, что при сдвиге края, когда произошла потеря статической устойчивости D, =-0.011 в процесс колебаний с прощелкиванием вовлечены первая и вторая формы колебаний. По мере возрастания параметра D1 и перехода к колебаниям растянутого стержня вторая форма все в меньшей степени участвует в колебаниях, и при Д=0Ю39 решение, соответствующее второй форме колебаний, обращается в тождественный1 нуль. Изменение этого параметра в рассмотренном диапазоне заметного влияния на первую форму колебаний не оказывает (рис. 4.2.9.1)Отметим, что эти результаты получены для внешнего воздействия вида (4.2.1), соответствующего возбуждению первой формы. Следующие графики иллюстрируют поведение системы при изменении диссипации энергии - параметра 5 . Заметим, что приводимые результаты получены для поперечных колебаний потерявшего статическую устойчивость стержня. Серии кривых на рис. 4.2.10.1 и рис. 4.2.10.2 показывают, что при уменьшении параметра диссипации от 0.3 до 0.06 качественных изменений в решении не происходит, при дальнейшем уменьшении этого параметра решение теряет устойчивость (рис. 4.2.11.1, рис. 4.2.11.2). В этом же диапазоне изменения параметров обнаруживается принципиально другое решение, период которого вдвое больше периода внешнего возмущения - решение кратности 2 (Рис. 4.2.12.1, 4.2.12.2). На рисунках это обозначено как mult. =2. Это решение устойчиво при S. =0.04, теряет устойчивость при 5.=0.03 (Рис. 4.2.13.1, рис. 4.2.13.2) и при 8 =0.05 (рис. 4.2.14.1, рис. 4.2.14.2). При =0,03 обнаружено устойчивое решение кратности 4 (рис. 4.2.15.1, рис. 4.2.15.2). Таким образом, при изменении параметра 5. обнаруживаются бифуркации удвоения периода, причем из приведенных графиков видно, что усложнение вида решения касается второй формы колебаний. При дальнейшем уменьшении параметра 5« устойчивых периодических решений не обнаружено, результаты численного интегрирования приведены на рис. 4.2.16.1 - рис. 4.2.19.2. Здесь также отмечается более сложный характер колебания по второй форме. Для исследования амплитудно-частотной характеристики были построены решения при изменении частоты внешнего воздействия. Результаты приведены на рис. 4.2.20.1 - рис.4.2.21.1. Отмечается неоднозначность амплитудно-частотной характеристики, так как при одних и тех же значениях параметров обнаружены устойчивые периодические решения с различной амплитудой. Кроме того, отметим, что для решений, приведенных на рис. 4.2.21.1, соответствующие функции y2(t) = 0. Так в приведенном диапазоне частот 1.2 ю 2.0 обнаружены не только устойчивые колебания, в которые вовлечены первая и вторая форма (рис. 4.2.20.1, рис. 4.2.20.2), но и колебания с меньшей амплитудой, в которых участвует только первая форма (рис. 4.2.21.1).
