Введение к работе
Диссертация посвящена исследованию устойчивости и качественному анализу некоторых механических систем с конечным числом степеней свободы, моделируемых обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями.
Актуальность темы. Многие теоретико-механические модели задаются обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков и системами дифференциальных уравнений первого и второго порядков. Вопросы устойчивости движения, качественный анализ траекторий и получение новых условий устойчивости состояний равновесия и предельных циклов являются актуальными задачами теории устойчивости и качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы. В частности, доказательство наличия или отсутствия устойчивых предельных циклов (автоколебаний) у механических систем с конечным числом степеней свободы является трудной и актуальной задачей, для решения которой в настоящее время не существует общего метода.
Вопросы теории устойчивости движения механических систем с конечным числом степеней свободы, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями первого и второго порядков, изучались, начиная с работ А. Пуанкаре, A.M. Ляпунова и Н.Е. Жуковского, в работах отечественных и зарубежных ученых: Н.Н. Боголюбова, Н.Н. Лузина, С.А. Чаплыгина, Н.Г. Четаева, Н.Н. Красовского, В.М. Матросова, В.В. Румянцева, В.В. Степанова, В.В. Немыцкого, М.А. Красносельского, А.С. Гали-уллина, Б.П. Демидовича, В.М. Миллионщикова, Е.А. Гребеникова, Ю.А. Рябова, В.Г. Веретенникова, А.Ф. Филиппова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа, В. Коппела, Л. Чезари и других ученых.
Вопросы устойчивости состояний равновесия и предельных циклов и качественный анализ траекторий механических систем с конечным числом степеней свободы изучались на основе анализа векторного поля скоростей
этих систем в работах А.А. Андронова, Е.А. Леонтович и А.Г. Майера, Н.Н. Красовского, М.А. Красносельского, В.В. Немыцкого, В.В. Степанова, В.П. Жукова, А.А. Шестакова и А.Н. Степанова, Г. Дюлака, X. Браухли, Ч. Олеха, Ф. Хартмана, Л. Маркуса, Ж. Фронтеа, В. Богуша и других ученых. К таким характеристикам векторного поля скоростей относятся значения индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаки якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей в соответствующих областях пространства состояний.
Изучение устойчивости и качественного поведения механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа поля скоростей механической системы представляет большой теоретический интерес. Результаты исследований в этой области могут быть эффективно использованы для решения разнообразных задач, возникающих при исследовании механических, физических и технических систем, в частности, систем динамики железнодорожного транспорта.
В связи с проектированием и внедрением скоростного рельсового подвижного состава и необходимостью увеличения критических скоростей движения актуальной задачей является изучение качественного поведения и устойчивости теоретико-механических моделей, описывающих движение железнодорожных транспортных средств.
В настоящей диссертации получены новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты А. Пуанкаре, А.А. Андронова, Н.Н. Красовского, Ч. Олеха, А.А. Шестакова и А.Н. Степанова, X. Браухли, Ф. Хартмана об устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов механических систем с конечным числом степеней свободы на основе анализа индекса, якобиана и дивергенции поля скоростей теоретико-механической модели. Описание теоретико-механических моделей, задающих движение рельсовых транспортных средств, дано в соответствии с работами Н.Н. Лузина, Н.А. Панькина, В. Гарга и Р. Дуккипати,
А. Викенса. В диссертации проведены качественные и аналитические исследования, развивающие результаты указанных авторов.
Объект исследования. В работе рассмотрены механические системы с одной степенью свободы и с конечным числом степеней свободы, описываемые соответственно нелинейными обыкновенными двумерными и многомерными стационарными дифференциальными уравнениями x = g(x) при различных предположениях на поле скоростей g,(x\,...,хп), i= 1, 2,..., п; теоретико-механические мо дели ж елезнодорожного транспорта, описываемые обыкновенными нелинейными скалярными и векторно-матричными дифференциальными уравнениями вида du I ds = P(s) + Q{u) и другими видами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Цель работы состоит в исследовании свойств устойчивости и качественного поведения стационарных механических систем, описываемых нелинейными уравнениями вида х = g(x), на основе анализа поля скоростей g(x) этих моделей; в изучении устойчивости движения теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта; в развитии качественного метода Н.Н. Лузина исследования теоретико-механических моделей, описываемых векторно-матричным уравнением вида dulds = P{s) + Q{u); в применении приближенно-аналитического метода С.А.Чаплыгина для интегрирования уравнений движения транспортных механических систем.
Методы исследования. В диссертации использованы методы общей механики; метод характеристичных чисел Ляпунова и метод функций Ляпунова; метод фазовой диаграммы; метод интегральных инвариантов; прямые качественные методы, основанные на использовании свойств индекса Пуанкаре состояний равновесия и знаков якобиана, дивергенции и ротора поля скоростей механической системы в соответствующих областях фазового пространства; качественный метод Н.Н.Лузина и приближенно-аналитический метод С.А. Чаплыгина.
Научная новизна. В диссертационной работе доказаны новые, а также обобщены, дополнены и уточнены известные результаты об устойчивости и качественном поведении механических систем с конечным числом степеней свободы на основе свойств поля скоростей этих систем; установлены оценки зоны притяжения устойчивых состояний равновесия механической системы с конечным числом степеней свободы; выяснены особенности фазового портрета механической системы с одной степенью свободы при наличии неположительной дивергенции поля скоростей; дополнена и уточнена геометрическая классификация состояний равновесия механических систем с одной степенью свободы, предложенная В.В. Немыцким и В.В. Степановым и базирующаяся на понятии тригонометрической устойчивости в смысле Биркгофа; получены признаки устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов стационарной механической системы с конечным числом степеней свободы; проведено качественное и приближенно-аналитическое исследование соответственно методами Н.Н. Лузина и С.А.Чаплыгина теоретико-механических моделей, описывающих движение рельсовых транспортных средств, а также исследована асимптотическая устойчивость и неустойчивость механической системы, описывающей движение поезда в режиме тяги.
Практическая значимость. Индексные, дивергентные и индексно-дивер-гентные условия устойчивости и неустойчивости состояний равновесия и предельных циклов эффективны для практического использования при исследовании свойств устойчивости и качественного поведения физических и инженерных моделей материальных систем. Результаты диссертации используются при исследовании устойчивости, при моделировании и приближенно-аналитическом интегрировании уравнений движения рельсовых транспортных средств. Предложенные условия устойчивости теоретико-механических моделей железнодорожного транспорта могут служить основой методик по тестированию на устойчивость движения. Результаты диссертации могут быть использованы при чтении курсов по теории устойчивости и
качественной теории механических систем с конечным числом степеней свободы.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:
на научном семинаре по качественной теории и теории устойчивости динамических процессов в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения (Москва, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 гг.);
на научном семинаре по методам нелинейного анализа в Вычислительном центре им. А.А. Дородницына РАН (Москва, 2003 г.);
на международной конференции в Российском государственном открытом техническом университете путей сообщения "Высшее профессиональное заочное образование на железнодорожном транспорте: настоящее и будущее" (Москва, 2001 г.);
на научном семинаре кафедры дифференциальных уравнений Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева (Саранск, 2003 г.);
на международном семинаре "Applications of the «Mathematica» system to social processes and mathematical physics" в Брестском государственном университете (Брест, 2003 г.);
-на Всероссийской научной конференции по проблемам математики, физики, химии и методики преподавания в Российском университете дружбы народов (Москва, 2004 г.);
-на научном семинаре по вариационным принципам и методам в математике и естествознании в Российском университете дружбы народов (Москва, 2005 г.);
- на кафедре теоретической механики в Российском университете друж
бы народов (Москва, 2005 г.).
Личный вклад в проведенное исследование. В диссертацию включены только те результаты, которые получены лично диссертантом. В совместно
опубликованных работах научному руководителю принадлежат постановки задач, другим соавторам - рассмотрение ряда технических деталей.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-14], список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 117 наименований. Общий объем диссертации - 113 страниц.
