Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 23
1.1. Постановка задачи 23
1.2. Достаточный критерий абсолютной пустой-чивости по выходу нелинейных неавтономных систем 32
Выводы к главе I 41
ГЛАВА 2. МЕТОД ОЦЕНОК ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ КАЧЕСТВА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В УСТОЙЧИВЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ СИСТЕМАХ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА 44
2.1. Использование понятия степени устойчивости для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах 45
2.2. Использование интегральных методов для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах 54
Выводы к главе 2 38
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ Э1ФЕКТИВН0СТИ ДОСТАТОЧНОГО КРИТЕРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 61
3.1. Сравнительное исследование абсолютной устойчивости нелинейной системы 2-го порядка методом оценок и известными частотными методами 61
3.2. Исследование области абсолютной устойчивости двумерного нелинейного связанного осциллятора 72
3.3. Исследование области применения достаточного критерия устойчивости 80
Выводы к главе 3 90
ГЛАВА 4. МЕТОДИКА ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ОЦЕНОК ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ АБСОЛЮТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ СО МНОГИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. 101
4.1. Применение метода оценок к некоторым типам систем с нелинейностями, зависящими от координат или их линейной комбинации 101
4.2. Методика получения матрицы передаточных функций ЛЧ систем с нелинейностями, зависящими от обобщенных координат и скоростей III
4.3. Пример исследования устойчивости одной нелинейной модели манипулятора П2
4.4. Общая методика применения достаточного критерия устойчивости, полученного на основе метода оценок 130
Выводы к главе 4 145
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 152
- Постановка задачи
- Использование понятия степени устойчивости для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах
- Сравнительное исследование абсолютной устойчивости нелинейной системы 2-го порядка методом оценок и известными частотными методами
- Применение метода оценок к некоторым типам систем с нелинейностями, зависящими от координат или их линейной комбинации
Введение к работе
п.І. Рассматриваемый тип механических систем (нелинейный многомерный осциллятор) и актуальность задачи исследования его устойчивости
Современное производство, транспорт, приборостроение немыслимы в настоящее время без сложных управляемых механических систем» Это промышленные агрегаты и имитаторы-тренажеры, космические аппараты и роботы-манипуляторы, корабли и наземные скоростные транспортные системы, сверхзвуковые самолеты и многое другое.
Требования научно-технического прогресса, лежащие в основе стремления инженера-проектировщика к наиболее полному отражению в модели динамических свойств конструируемых систем, приводят к многомерным и многосвязным, главным образом, нелинейным нестационарным моделям \_1~] , описываемым в общем случае векторно-мат-ричным уравнением вида if =!Fty, <ІД (о.і) где О - вектор обобщенных координат системы.
Такого рода "нелинейные многосвязные системы с переменными параметрами представляют в настоящее время открытую область исследования, где достигнуты только отдельные существенные результаты" [2]
Например, "в одной из немногих пока в мировой литературе монографий з] , посвященных не классическим задачам динамики систем твердых тел" (по словам редактора монографии В.В.Румянцева), разработанный автором общий формализм математического описания их движения приводит к уравнениям именно такого типа.
Другим ярким представителем подобных объектов являются кон- тинуальные или дискретно-континуальные системы, математическая модель которых обычно представляется в результате использования метода Бубнова-Галеркина в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, порядок которой достигает иногда нескольких десятков ^4, стр. 7-8 J . Здесь в качестве типичных примеров можно назвать современный тяжелый самолет с автопилотом при учете упругости конструкции фюзеляжа, крыльев и исполнительного элемента системы управления [5] і космический аппарат с жидкостным ракетным двигателем и автоматом стабилизации при учете упругости элементов конструкции (корпус, антенны, солнечные батареи) и подвижности компонент жидкого топлива в баках и магистралях б, 7] ? скоростную пассажирскую систему на магнитной или электромагнитной подвеске [в, 9^ $ танкер с большим количеством отсеков, частично заполненных жидким топливом или сжиженным газом, снабженный успокоителем качки ю] и т.д. Математические модели таких систем допускают единую формализацию, отражающую их основные структурные свойства [4, стр.1323 .
Часто нелинейность в правой части уравнения (0.1) позволяет аддитивно выделить линейные векторные составляющие по обобщенной координате и обобщенной скорости, при этом уравнение динамики системы приобретает вид Mij + |\Ц + Ц + D
Векторно-матричным уравнением типа (0.2) описывается динамика и электро-механических систем [и, I2J .
Задачи, связанные с исследованием систем (0.2),решаются в настоящее время разнообразными методами, выбор которых зависит от конкретной специфики уравнений (0.2). Это и различные типы линеаризации [Ч, із] , и метод малого параметра [ 14J , и метод, привлекающий аппарат дифференциальных неравенств [ II J , и очень часто численные методы L 4* 15, 16 J .
Однако, поскольку представление исследуемого типа систем в виде (0.2) допускает выделение стационарной линейной части (JM) и нелинейного, возможно нестационарного блока N , представляется интересным применение методов общей теории замкнутых нелинейных систем с обратной связью гГ[ Общая функциональная схема, соответствующая этому типу нелинейных систем, изображена на рис. 0.1, где Hi и Но - операторы, описывающие соответственно нелинейную и линейную части системы, a U^ и Ц^ - внешние воздействия, приложенные к различным частям системы.
Рис.0.1
Иногда та часть модели реальной системы, которую описывает нелинейный оператор, "обладает физическими свойствами, позволяющими придать ей смысл модели регулятора ( Р ), хотя формально таковой может отсутствовать. Таким "регулятором1' является, на- пример, ракетный двигатель в задаче о продольных колебаниях летательного аппарата или система нестационарных аэродинамических сил при колебаниях типа ветрового резонанса или срывного флаттера различных упругих систем" ^4, стр.4-5^ В простейшем случае "регулятор" - это автопилот, автомат стабилизации или автомат демпфирования. "Другим примером служит класс механических систем с неголономными связями, моделирующими условия качения упругого колеса по шероховатой поверхности (самолет с трехколесным шасси, контейнер с шасси безрельсовой схемы, движущийся внутри трубы и т.д.). Здесь может оказаться полезным искусственное истолкование определенным образом преобразованных уравнений него-лономных связей как уравнений некоторого фиктивного регулятора, стабилизирующего систему" [Ч, там же] . Оставшаяся часть в математической модели, описываемая линейным оператором, интерпретируется как объект регулирования ( ОР ).
Таким образом, несмотря на богатое разнообразие систем, общность их, выраженная в наличии единой математической модели, допускает единый подход к их исследованию. Такой подход позволяет использовать методы теории автоматического регулирования и управления, в частности, при решении задачи устойчивости, поскольку, как известно, обеспечение устойчивости движения является одной из центральных задач при проектировании любой сложной динамической системы.
Проблема обеспечения устойчивости движения сложных механических систем, включающих реальные или условные ОР и Р, является одной из наиболее острых для современной техники. Острота этой проблемы усугубляется непрерывным усложнением как ОР, так и соответствующих "корректирующих устройств". "Инженеру, специализирующемуся в области проектирования авиационных, космических, наземных транспортных и других сложных систем, приходится сталкиваться с задачами устойчивости, которые не только трудно решить, но даже формализовать в духе классических подходов к этой проблеме. Это объясняется большим числом степеней свободы, сложностью связей между ними и большим количеством параметров, прямо или косвенно влияющих на устойчивость проектируемой системы" ^Ч, стр.ю]
Таким образом, "актуальность проблемы обеспечения устойчивости сложных механических систем, включающих ОР с большим числом степеней свободы и Р, реагирующий на тот или иной набор обобщенных координат и обобщенных скоростей, достаточно очевидна" [4, стр.7] .
Настоящая работа посвящена разработке на основе указанного подхода инженерного метода анализа устойчивости в рамках теории абсолютной устойчивости. п.2. Краткий историко-библиографический обзор работ и методов теории абсолютной устойчивости
Среди многочисленных существующих в настоящее время понятий устойчивости (это и техническая или устойчивость на заданном интервале времени [їв] , и устойчивость по Лагранжу [19, 20] , и гиперустойчивость по Попову [2і] t и условная устойчивость [22] и т.д.) наиболее плодотворным применительно к нелинейным системам и вызывающим неослабевающий интерес до настоящего времени,по мнению многих специалистов [23],оказалось понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову [J&J Оно легло в основу понятия абсолютной устойчивости, породившего целую теорию, богатую как эффективными методами исследования, так и приложениями.
Сегодня теории абсолютной устойчивости 40 лет. В становлении этой теории, как и самого понятия "абсолютная устойчивость", важную роль сыграли основополагающие работы советских ученых: А.И.Лурье и В.Н.Постникова [25] , Б.В.Булгакова [2б] , М.А.Ай-зермана [27, 28] , И.Г.Малкина [29] , А.М.Лётова [зо], Б.А.Ершова [зі, 32] , Н.П.Еругина [зз] , В.А.Шшсса [з4, 3 и других авторов.
В течение первых 15 лет развития теории - с 1944 года, то есть со времени выхода в свет работы [25] , уже упоминавшейся выше, где впервые появился сам термин "абсолютная устойчивость", и до 1959 года, - практически единственным методом, используемым в теории абсолютной устойчивости, был метод функций АіМ.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности". Монографии А.И.Лурье [Зб] , Н.Н.Красовского [з7] , А.М.Лётова [зв] , М.А.Айзермана и Ф.Р.Гантмахера [39] , Ж.Ла-Салля и С.Лефшеца [l9] , С.Лефшеца [40] , А.Халаная [4і]и другие суммируют основные результаты, полученные на этом пути.
Со времени опубликования в 1959 г. работы В.М.Пбпова [42] методы исследования абсолютной устойчивости в пространстве состояний, использующие вектор-функции А.М.Ляпунова, получили альтернативу в виде так называемых частотных методов, то есть методов, использующих частотные представления и достигших наибольшего развития в работах В.А.Якубовича, начиная с работ [43] и до [44] , Р.Калмана [45] , В.М.Пбпова [2l] и других советских и зарубежных ученых. Частотный метод В.М.Пбпова в его первоначальной форме получил название "метода априорных интегральных оценоку а частотный метод советской школы, возглавляемой В.А.Якубовичем, известен в специальной литературе под названием "метода матричных неравенств". Характерным для этого метода является то, что он основан на использовании одновременно как функций А.М.Ляпунова, так и "частотной теоремы" (или леммы Якубовича - Калмана).
В работах В.А.Якубовича [4б] и [47J была изучена связь между частотным методом и методом функций А.М.Ляпунова вида "квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности", а доказанная "частотная теорема" обобщила ряд многих результатов и привела к созданию новых эффективных критериев, таких как круговой, квадратичный и другие, позволяющих получать условия абсолютной устойчивости для все более сложных типов систем: со многими не-линейностями, с разрывными и гистерезисными нелинейными характеристиками, с широтно-импульсной и частотно-импульсной модуляцией [WJ . Были получены также критерии абсолютной устойчивости процессов [Чвз.
В последние годы в теории абсолютной устойчивости развиты методы исследования нелинейных систем с неединствеиным положением равновесия [ьэ] , широко распространенных в современной механике, электротехнике и радиотехнике, а также систем с запаздыванием L50, 5lJ .
Следует заметить, что с введением в рассмотрение сложных систем, таких как системы с нестационарными характеристиками и неединственным положением равновесия, потребовалось некоторое расширение (может быть "насыщение") понятия абсолютной устойчивости. Если в литературе 60-х и начала 70-х годов под абсолютной устойчивостью понимается асимптотическая устойчивость по А.М.Ляпунову в целом для систем с нелинейностями, принадлежащими заданному классу, и это определение "неплохо соответствовало особенностям стационарных систем с единственным положением равновесия в нуле" ц52, стр.17о] , то для современной математической энциклопедии В.А.Якубовичем было предложено следующее определение: устойчивость абсолютная - устойчивость в целом тривиального решения нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а также интегральных, разностных уравнений и уравнений других типов, равномерная для всех систем некоторого класса. Это "определение подразумевает, что должен быть задан класс систем и указано, в каком смысле понимаются устойчивость и равномерность" [ 52, стр.Г7о] .
Классическое понятие абсолютной устойчивости использует понятие асимптотической устойчивости по А.М.Ляпунову в целом, то есть требует не только асимптотического стремления к нулю всех переменных состояния, но и налагает некоторые ограничения на динамику переходного процесса, в частности, обусловленные использованием евклидовой нормы. Эти ограничения зачастую чрезмерны, так как с точки зрения практических приложений чаще более важным является свойство асимптотического стремления к нулю выходной координаты системы, а не свойство асимптотической устойчивости в целом по состоянию \53] Интерес во многих практически важных случаях лишь к выходной реакции системы на начальные условия и внешние воздействия, когда характер поведения других координат вектора состояний несущественен, породил новый способ описания и исследования динамики нелинейных систем - в терминах "вход-выходных" соотношений. Эти практические побуждения подкрепляются системной философией [_I7, CTp.5j : действительно, "концепция "вход-выход" приобретает явную конкурентоспособность" в современной ситуации, обнаруживающей тенденцию роста сложности и размерности изучаемых объектов, и как её следствие - уменьшение достоверности информации о внутреннем устройстве этих объектов. Описание же поведения управляемой системы в пространстве состояний требует довольно детальную информацию о её внутренней структуре и предполагает возможность её декомпозиции до элементарного уровня. Тем самым проявляется неадекватность метода поставленной задаче, тогда как концепция "вход-выход", принимая систему как "черный ящик" и имея информацию только о входе и выходе, "нацеливает на исследование преобразования "вход-выход", которое описывается в общих терминах функционального анализа".
Впервые в теорию нелинейных систем с обратной связью методы функционального анализа были внесены И.Сандбергом ^54] и Г.Зейм-сом [_55J в 1964 году. С теоретической точки зрения такой подход "открывает возможности создания теории систем, опирающейся на достаточно общие и универсальные её понятия" \_ 17, стр.б] , что позволяет применять её методы для самых широких классов систем, в том числе механических, электро-механических, систем автоматического регулирования и т.д. Однако,развиваясь параллельно с советской и румынской школой, концепция "вход-выход" не противопоставляется классическому частотному направлению, формулируя свои многочисленные результаты в виде частотных критериев [56, 57] Это объединяющее рассматриваемые направления свойство оказывается очень полезным для инженера, так как "в определенном смысле возрождает привычные для него понятия передаточной функции и импульсной характеристики линейных систем, развивает их на системы других классов" і7, стр.б] .
Главным достоинством вход-выходных методов до недавнего времени считалось то, что с их помощью можно исследовать системы с распределенными параметрами почти с такой же легкостью, как и системы с сосредоточенными параметрами, причем, изучение систем с одним входом и выходом и систем со многими входами и выходами ведется по одной и той же схеме. Это обеспечивалось переходом от описания систем с помощью дифференциальных уравнений (в обыкновенных или в частных производных) к соотношениям между входным и выходным сигналами, выраженным через интеграл свертки, с введением понятия абсолютной устойчивости в функциональном пространстве L2 , то есть пространстве функций, суммируемых с квадратом L58, 59J . Таким образом, условие малости евклидовой нормы переменной состояния в определении асимптотической устойчивости по Ляпунову в целом заменено другим условием малости, быть может, несколько менее ограничительным, а именно, условием конечности функциональной нормы векторной переменной состояния в пространстве L2 Именно введение подобных модификаций потребовало усовершенствования определения абсолютной устойчивости и формулировки его в том виде, в каком оно предложено В.А.Якубо-вичем.
Однако преимущество методов, использующих вход-выходные соотношения, о котором шла речь выше, в настоящее время в значительной степени оказалось утраченным, поскольку метод матричных неравенств был распространен начиная с 1974 года В.А.Якубовичем [бо] и его сотрудниками [бі] на системы общего вида, описываемые дифференциальными уравнениями в гильбертовых пространствах, и,став "методом операторных неравенств", позволил решить вопросы теории абсолютной устойчивости систем с запаздыванием. Переход же к абстрактной теории абсолютной устойчивости нелинейных систем [б2, 63J позволил исследовать вопрос об абсолютной устойчивости по произвольному выходу системы и решить задачу об абсолютной устойчивости систем с распределенными параметрами L5IJ .
Таким образом, последние 10 лет развития теории абсолютной устойчивости отмечены характерной тенденцией сближения областей применимости различных методов этой теории.
Однако с получением этих выдающихся результатов обнаружился разрыв между теорией и практикой их использования, в прикладной литературе практически не встречаются исследования абсолютной устойчивости систем общего вида порядка выше 4. Расчеты, связанные с применением точных частотных методов, обычно содержат следующие основные этапы [_50, стр.50J : запись частотного условия? выбор наилучших значений варьируемых параметров;
3) определение множества наборов параметров системы, для которых частотное условие справедливо при любом СО є R ,
Так как в большинстве своем частотные критерии являются достаточными, то "множество, определяемое на третьем этапе, содержится в области устойчивости нелинейной системы.... Последние два этапа взаимосвязаны, и их многократная реализация допускает действия по принципу "проб и ошибок". Объем вычислений при этом, как правило, весьма велик" (!) [^50, стр.50_| . Однако для многомерных, в общем случае многосвязных, нелинейных систем часто непреодолимые трудности возникают для инженера-практика уже на первом этапе применения частотных критериев.
В настоящее время уделяется большое внимание алгоритмизации процесса применения этих критериев для сложных систем большой размерности. Из работ, интенсивно развивающихся в этом направлении, можно указать работы Г.А.Леонова б*ь 65J , в которых разработан так называемый "метод нелокального сведения", позволяющий получить эффективно проверяемые частотные критерии абсолютной устойчивости. Однако пока это относится лишь к определенному типу систем синхронизации. из сказанного выше следует, что в настоящих условиях разработка приближенных методов исследования устойчивости нелинейных систем высокого порядка является весьма актуальной задачей. Представляется целесообразным обратить внимание на методы, привлекающие технику неравенств. При исследовании устойчивости и ограниченности решений нелинейных динамических систем часто удобно наложить некоторые ограничения, которые позволяют превратить интегральное или дифференциальное уравнение в интегральное или дифференциальное неравенство.
Теория интегральных и дифференциальных неравенств получила свое развитие еще в фундаментальных трудах Т.Гронуолла [.66 J ,
С.А.Чаплыгина [б7] , Т.Ваковского [бв] и нашла широкое применение во многих исследованиях. Такие ученые, как Н.В.Азбелев и З.Б.Цалюк [б9, 70, 7l] , Н.Н.Лузин 72] , Г.И.Мельников [73*] , А.И.Перов [74] , Г.И.Чандиров [75] , Б.Н.Бабкин [7б] , В.М.Мат-росов [77] , Х.Антосиевич [78] , Р.Беллман [79] , В.М.Алексеев [80] и другие в своих трудах "выяснили, обосновали и расширили границы применимости теорем типа теоремы С.А.Чаплыгина и тем самым заложили основы систематического использования аппарата дифференциальных и интегральных неравенств" [81, стр.9] в современной теории устойчивости. "Теоремы о неравенствах такого рода оказались неисчерпаемым источником оценок, удобных как при построении алгоритмов качественного и количественного анализа реальных физических процессов" [81, там же] , так и для получения полезных аппроксимаций к решениям дифференциальных и интегральных уравнений довольно сложных типов.
Дальнейшее развитие метода дифференциальных неравенств связано с шленами К.Лангенхопа [82] , Кордуняну [вз] , Л.Хатвани [84] > а метода интегральных неравенств - с именами таких уче-ныхд как И.Бихари [85] , Д.Виллетт [8б] , Р.Рао и К.Цокос [87] , Р.Гутовский [88] и других.
Творческое наследие ученых, работающих в этой области, подытожено в ряде монографий: В.Уолтера [89] , Э.Беккенбаха и Р.Беллмана [эо] , Й.Шарского [9l] , В.Лакшмикантама и С.Лила [92] , Д.Митриновича [эз] , П.Бисэка [94] , Р.Рабчука А.Н.Филатова и Л.В.Шаровой [9б] , А.А.Мартынюка ад.
На основе интегральных неравенств Вольтерра "были исследованы некоторые общие свойства систем с сосредоточенными и распределенными параметрами: ограниченность, непрерывная зависимость от начальных значений и параметров, устойчивость по Ляпунову и при постоянно действующих возмущениях, техническая устойчивость (устойчивость на конечном интервале времени), С этой точки зрения интегральные неравенства оказались настолько сильным средством исследования качественных свойств решений систем дифференциальных уравнений, что за ними можно признать ранг метода" [81, стр.6-7]. Поскольку нас интересуют возможные применения этого метода в рамках теории абсолютной устойчивости, укажем некоторые работы в этом направлении, то есть исследующие асимптотическую устойчивость положения равновесия в целом. Для случая свободной нелинейной системы "Б.А.Ершов [32] произвел весьма полезные оценки решений" (по словам А.М.Лётова [38, стр.393] ) системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при выделенной ЛЧ. В нелинейной теории регулирования это была одна из первых работ, в которой использовалась интегральная лемма типа леммы Беллмана-Гронуолла [20] Для свободной линейной системы с переменными коэффициентами оценки решений возмущенного движения были получены Б.С.Разумихиным 97] , для свободной нелинейной системы с переменными коэффициентами - Р.Куликовским [98] , В.И.Зубовым [99] и А.М.Лётовым [зв] .
Как известно, в классической постановке А.М.Ляпунова задачи об устойчивости движения предполагается, что возмущающих сил нет в том смысле, что возмущенное движение осуществляется при действии тех же сил, которые были учтены при описании невозмущенного движения. В то же время представляет большой практический интерес исследование устойчивости движения, "происходящего под действием небольших по величине возмущающих сил R (Х,"Ь) , которые учитываются в правых частях соответствующих систем дифференциальных уравнений возмущенного движения. О функциях K(X,t) предполагается, что они в том или ином смысле малы и удовлетворяют общим условиям существования и единственности решения уравнения возмущенного движения в окрестности невозмущенного движения" [81, стр.139] .
В работах Н.Г.Четаева |~IOO, IOl] , Н.А.Артемьева [.102] , Н.Г.Дубошина [юз] и ИіІМНалкина' [іВДІ понятие устойчивости по Ляпунову (в малом) обобщается на случай наличия таких внешних воздействий. Устойчивость при этом указывает на то, что действие малого возмущения на движение системы невелико. Асимптотическая устойчивость - на то, что реакция от действия малого возмущения исчезает со временем. Асимптотическая устойчивость в целом свидетельствует о том, что вне зависимости от величины возмущения вызываемая им реакция со временем исчезает. Здесь следует упомянуть работу Н.Н.Красовского [l05] , где внешние возмущения предполагались ограниченными по модулю. Случай устойчивости при возмущениях, ограниченных в среднем, рассмотрен В.Е.Герма-идзе и Н.Н.Красовским [іОб] , Е.А.Барбашин [l07] исследовал влияние возмущений,ограниченных и в среднем, ив среднеквадратичном.
Известны также работы в этом направлении Л.Ф.Рахматуллиной [Ю8] , Л.В.Хохловой [l09] , А.А.Тихонова [по] , где используется метод дифференциальных неравенств, а также Брауэра [ill, 112] , С.й.Горшина [из] и более поздние работы -'К.В.Задираки [ш] , Р.Гутовского [lI5] , А.А.Мартынюка [ііб] #
Как было отмечено при рассмотрении точных методов теории абсолютной устойчивости, имеющая место эволюция идей и понятий оказалась характерной чертой развития и приближенных методов этой теории, в частности, в ряде работ осуществился и для приближенных методов переход к описанию систем в терминах вход-выходных соотношений в функциональных пространствах. Так,в докторской диссертации С.П.Чакраварти [lI7] на основе анализа вход-выходных соотношений получен достаточный критерий устойчивости нелинейной время-инвариантной скалярной системы (когда переменная состояния системы- скалярная функция времени) с одной нелинейностью. Мис ClI8j рассмотрел случай, когда в системе допускается наличие нескольких нелинейностей, но каждая из них является скалярной функцией лишь какой-то одной переменной состояния. При этом матрица передаточных функций ЛЧ оказывается диагональной. Розенброк [пэ] , признавая порочность полного игнорирования взаимосвязей, предложил метод расчета для систем с диагонально-доминирующей, но не обязательно диагональной структурой строения ЛЧ многомерной нелинейной системы. Альтернативные (отличные от требований Розенброка), но нельзя сказать, что менее суровые,ограничения на взаимодействия между переменными состояния предполагались в работе Чакра-варти и Пауля [l20J « Некоторые из ограничений, упомянутых выше, оказались снятыми в работе Чакраварти LI2IJ » r#e на основе метода оценок получен достаточный критерий асимптотической устойчивости по выходу для нелинейной многомерной системы, допускающей взаимодействия между переменными состояния, то есть многосвязной, при этом каждая нелинейность предполагалась функцией нескольких переменных состояния. п.З. Общая характеристика и краткое содержание работы
В работах автора С122] и [l23J происходит дальнейшее развитие метода оценок, выразившееся в расширении сферы его применения. Так, в этих работах показана возможность применения метода к изучению систем, нелинейный блок N которых предполагается нестационарным, а число его входов не обязательно равняется числу выходов с него, что делает матрицу передаточных функций ЛЧ -системы в общем случае прямоугольной. В этом усматривается научная новизна настоящей работы.
Поскольку,"изучая устойчивость нулевого решения системы в возмущениях, мы изучаем по существу устойчивость переходного процесса стабилизации в окрестности стационарного режима" 50, стр.18 J , естественным было продолжение исследования в этом направлении с целью использования полученных аналитических соотношений для решения практически важных задач, таких как оценка времени переходного процесса или оценка влияния постоянно действующих возмущений на движение исследуемой нелинейной системы. Эти вопросы рассматривались в работах автора [,124J и [_I25] . Здесь также впервые рассматривается идея применения интегральных критериев для оценки качества переходных процессов в нелинейных неавтономных многосвязных системах и найдена оценка сверху для нелинейного квадратичного функционала качества. Полученные результаты нашли свое отражение в первых двух главах настоящей работы.
В третьей главе рассматриваются вопросы эффективности применения полученного достаточного критерия устойчивости. Сравнение производится с известными результатами, полученными точными частотными методами, касающимися одномерного и двумерного связанного нелинейных осцилляторов, соответственно в I и 2. При этом сравниваются объем вычислительных работ и их сложность, широта сферы применения критерия и близость области устойчивости к той, которую дает точный частотный метод. Общий вывод таков: хотя критерий дает более узкую область устойчивости в пространстве параметров исследуемой системы, однако представляет собой удобный способ для быстрой проверки устойчивости сложной нелинейной системы. Он предпочтительнее точных частотных методов в тех случаях, когда требуется установить или сам факт устойчивости системы при заданных значениях ее параметров, или найти такие достаточные условия устойчивости, близость которых к истинным, необходимым и достаточным условиям, не слишком существенна. Безусловно этот метод может сослужить хорошую службу инженеру-проектировщику сложных систем, особенно на ранних этапах их-проектирования. В этом видится несомненная практическая ценность разработанного метода.
Четвертая глава обнаруживает методический характер настоящей работы. Два первых ее параграфа посвящены вопросам выделения ЛЧ системы, поскольку это условие является необходимым условием применимости критерия. При этом рассматриваются нелинейности, зависящие не только от обобщенных координат или их линейной комбинации, но и от обобщенных скоростей или их линейной комбинации.
Пример расчета такой системы, содержащей набор подобных не-линейностей и представляющей собой нелинейный трехмерный связанный осциллятор, дается в 3« Для получения уравнений динамики здесь использовался формализм Й.Виттенбурга [з] и Л.Лилова [12б] , разработанный ими для получения уравнений движения в общей теории систем твердых тел. Рассмотренная нелинейная система с тремя степенями свободы (6-го дифференциального порядка) представляет собой типичную математическую модель для многих задач нелинейной динамики. Это и трехкаскадная система виброизоляции, и нелинейный трехмерный динамический виброгаситель, и механическая нелинейная модель тела человека, разработанная в целях исследования систем виброзащиты [і27] , и даже нелинейный манипулятор-трехзвенник fіз] . Примеров расчета устойчивости такого уровня сложности нелинейных систем в специальной литературе просто-напросто нет, за исключением уже упомянутой работы із] , где предполагается наличие только одной скалярной нелинейности и используется метод гармонической линеаризации. Поэтому исследование подобной системы представляет самостоятельный научно-практический интерес.
Наконец, в 4 излагается общая методическая схема исследо- вания устойчивости нелинейных неавтономных многосвязных систем со многими степенями свободы, обусловленная алгоритмом использования разработанного достаточного критерия устойчивости.
Методическая законченность работы позволила использование некоторых ее результатов в учебном процессе, а именно, в одной из лабораторных работ для студентов кафедры теоретической и прикладной механики математико-механического факультета Ленинградского государственного университета имени А.А.ЗНданова.
Основные результаты, выносимые на защиту,состоят в следующем:
На основе развития классического метода оценок вектора состояния динамической системы для случая систем, содержащих нелинейный нестационарный блок с различным числом входов и выходов, получен достаточный критерий абсолютной L2 -устойчивости по выходу, пригодный для исследования нелинейных неавтономных многосвязных систем при наличии внешнего воздействия, и показана его эффективность на стадии предварительного проектирования такого рода систем.
На базе полученных оценок предложен новый метод исследования качества переходных процессов в нелинейных неавтономных многосвязных системах, привлекающий понятие степени устойчивости и использующий интегральные критерии качества, а также найдены оценки сверху для степени устойчивости исследуемых нелинейных систем и для нелинейного квадратичного функционала качества.
Разработана методика применения метода к нелинейным неавтономным многосвязным системам, в частности, к системам типа нелинейный многомерный связанный осциллятор.
Получена модификация критерия Михайлова в форме перемежаемости корней для систем четных порядков, позволяющая при исследовании устойчивости характеристического полинома степени 2fl вместо исследования двух уравнений II -го и П-1 -го порядков перейти к исследованию трех уравнений П-1 -го порядка, что в ряде случаев облегчает исследование.
5. Решена задача исследования устойчивости нелинейной системы 6-го порядка с тремя степенями свободы, содержащей шесть нелинейностей в демпферах и упругостях, при наличии внешнего воздействия, представляющей собой математическую модель часто встречающихся в механике систем и,в частности, являющейся моделью нелинейного трехзвеиного манипулятора.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I22-I25, 128 J , из которых последняя написана в соавторстве с Б.А.Ершовым, И.О.Протодьяконовым и А.Я.Капитановым. Кандидату физико-математических наук, доценту Б.А.Ершову как научному руководителю принадлежит постановка задачи и контроль полученных результатов} основной результат статьи (модифицированный критерий Михайлова) получен совместно с А.Я.Капитановым и проиллюстрирован на примере исследования устойчивости системы автоматического регулирования химико-технологическим объектом, предложенном доктором технических наук, профессором кафедры процессов и аппаратов ЛТИ имени Ленсовета И.О.Протодьяконовым.
В настоящей диссертации для обозначения параграфов, формул и рисунков принята двойная нумерация: первое число указывает номер главы, а второе - номер параграфа, формулы или рисунка. Для удобства изложения материала и прочтения работы каждый параграф внутри разбит на пункты, а рисунки помещены в конце каждой главы.
Постановка задачи
Как уже отмечалось во введении, широкий круг нелинейных систем, весьма интересных с практической точки зрения, описывается векторно-матричным уравнением нелинейного многомерного осциллятора где Q - IX -вектор обобщенных координат, П - число степеней свободы: М , N , R - постоянные (ПХЦ) -матрицы инерционных, диссипативных и квазиупругих коэффициентов соответственно, причем, det М # 0 І ф(-) - П -вектор обобщенных нелинейных сил, в общем случае зависящих от линейной комбинации обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени; 1) , г , Ц, - постоянные матрицы, размерностей ПхП , ГП ХП и ГПгXП. соответственно; Fit) - П -вектор обобщенных внешних воздействий.
Учитывая замечание, сделанное во введении, приведем систему (I.I) к нормальной матричной форме, характерной для систем регулирования: где, используя системную терминологию, будем называть X(t) -вектор порядка V переменных состояния системы; б" , U , О 24 ГП - векторы, описывающие сигналы в различных частях системы, а именно, 6(t) - сигнал на входе блока нелинейностей, U(t) -вектор внешних воздействий, приведенный ко входу нелинейного блока, pft) - вектор реального выхода системні У(б,І) -нелинейная нестационарная вектор-функция размерности П , заданная на множестве К х№) и описывающая сигнал на выходе блока нелинейностей? А , В , С - постоянные вещественные матрицы размерностей \)Х\) , ))ХП и ГПХУ соответственно.
Уравнения (1.2) являются уравнениями линейной части (ЛЧ) системы со входом {j("t) и выходом pft) , уравнение (1.3) описывает нелинейный нестационарный блок IN со входом 6ft) и выходом у ft) , а (1.4) - уравнение элемента сравнения, так называемого сумматора.
Нелинейную неавтономную систему (1.2) - (1.4) можно представить в виде блок-схемы, изображенной на рис.1.1.
Использование понятия степени устойчивости для оценки качества переходных процессов в нелинейных системах
Воспользуемся полученной в 1.2 оценкой (1 27) сигнала на выходе нелинейной системы usj по норме: где 6 , как следует из (1.22), зависит от начальных условий и параметров системы.
Неравенство (1.27) позволяет оценить качество переходного процесса в нелинейной неавтономной многосвязной системе 5м высокого порядка посредством сравнительного анализа с переходным процессом в некоторой скалярной линейной системе, которую будем называть сопутствующей для исследуемой нелинейной системы и обозначать So (рис.2.1). Динамика сопутствующей системы описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением первого порядка (1.25), общее решение которого хорошо известно и имеет вид (1.26).
Таким образом, смысл неравенства (1.27) состоит в том, что для рассматриваемого класса нелинейностей N сигнал на выходе нелинейной системы 5(s мажорируется по норме сигналом на выходе сопутствующей линейной системы Оо : называется степенью устойчивости системы, где А/[ - корни её характеристического уравнения. Определяя быстроту затухания переходного процесса, степень устойчивости, тем самым, является одной из косвенных оценок качества переходных процессов в линейных системах. По известной степени устойчивости можно оценить некоторые из упомянутых выше показателей качества.
Однако понятие степени устойчивости может быть использовано и для оценки качества абсолютно устойчивых нелинейных систем [23, cm] .
Дадим основные определения.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Будем говорить, что нелинейная система обладает степенью устойчивости oi по выходу p("t), если где По - определяется начальными условиями и параметрами системы.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Будем говорить, что нелинейная система обладает предельной степенью устойчивости ot по выходу Dft).
Таким образом, под ol понимается недостигаемый 4( fc/ Неравенство (2.3) представляет собой ослабленную оценку по сравнению с неравенством (2.2). В случае выполнения определения 2.1 или 2.2 о переходном процессе D("t) говорят, что он квази-экспоненциален.
Сравнительное исследование абсолютной устойчивости нелинейной системы 2-го порядка методом оценок и известными частотными методами
Сравнительный анализ методов проведем на примере исследования абсолютной устойчивости нелинейной системы регулирования 2-го порядка, блок-схема которой изображена на рис.3.1.
Нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее динамику системы, имеет вид TJ2 р + (Т +Т )р + р - -М2 y(p,t), (з.і) где К , К2 и ч ,Т2 - соответственно коэффициенты усиления и постоянные времени объекта регулирования, являющиеся положительными константами.
Применение метода оценок к некоторым типам систем с нелинейностями, зависящими от координат или их линейной комбинации
В данном параграфе будут рассматриваться свободные системы, для которых дифференциальное уравнение (I.I) упрощается в предположении, что U - нулевая -матрица: M+N( +lty +D ft(Pfyt)-0, рм где 0 - нулевой П -вектор.
Переходом к новому вектору координат 6 при помощи преобразования б = Pft уравнение (4.1) может быть приведено к виду SCS) =-G(s)y($), (4.2) УСЙ -Ф fat). (4.3)
Здесь уравнение (4.2) описывает ЛЧ системы (4.1) с передаточной матрицей-функцией от входа -У к выходу (Г , a (4.3) - её нелинейный блок N Таким образом, замкнутая нелинейная система (4.2) - (4.3) может быть схематически представлена в виде, изображенном на рис.1.1.
Применение преобразования Лапласа к (4.1) при нулевых начальных условиях позволяет с учетом (4.2) определить вид передаточной матрицы-функции G(S) :
G(s)=P(Ms +Ns + R)-4D. ( )
Рассмотрим применение метода оценок к некоторым типам систем, приводимых к виду (4.1). Как и раньше, нам понадобятся только матрица G(s) передаточных функций ЛЧ системы и секторные характеристики её нелинейностей. п.1 Случай развязанной многоконтурной системы
Простейшей представляется ситуация, когда М И = г 1-п где .и- единичная (ПХП) -матрица, а
R = cUcUnbh- ., &пі И пусть в каждом из П. сепаратных каналов осуществляется взаимно-однозначное соответствие " I- вход -І - выход" в нелинейном звене Nj, , I — 4;Г1 . Такие предположения соответствуют случаю развязанной П -мерной системы (рис.4.1).
