Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Об обобщенном интеграле Чаплыгина 7
1. Постановка задачи 7
2. Историческая справка 7
3. Получение основного соотношения 9
4. Движение шара по плоскости 10
5. Движение шара по внутренней поверхности сферы 11
6. Движение шара с гироскопом по плоскости 13
7. Движение шара по произвольной поверхности 14
Дополнение. Вывод формулы (5.3) 16
Глава 2. Диск на абсолютно шероховатой плоскости
1. Историческая справка 17
2. Уравнения движения и их первые интегралы 18
3. Стационарные движения 22
4. Анализ условия существования стационарных движений 22
5. Условие устойчивости стационарных движений и его анализ .25
6. Первоначальные выводы об устойчивости 27
7. Результаты численного исследования 33
8. Предварительные рассуждения для дальнейшего исследования устойчивости 33
9. Исследование устойчивости на интервале а^(к) < а < а*{к) 38
10. Исследование устойчивости на промежутке a*(fc) < а < 7г/2 39
11. Выводы 41
12. Наглядный материал. Сравнение с другими работами 42
Дополнение. Соотношения между xft, х\+ и х\ 46
Глава 3. Диск с гироскопом на абсолютно шероховатой плоскости 49
1. Постановка задачи. Стационарные движения диска с гироскопом 49
2. Устойчивость найденных решений 51
Глава 4. Шар на абсолютно шероховатой плоскости 56
1. Постановка задачи. Уравнения движения и их интегралы 56
2. Историческая справка 57
3. Предварительные рассуждения 58
4. Построение эффективного потенциала 59
5. Стационарные движения шара 60
6. Анализ уравнения (5.7) 63
7. Условие устойчивости стационарных движений (5.3) 67
8. Некоторые выводы об устойчивости регулярных прецессий 67
Глава 5. Исследование частных случаев 70
1. Регулярные прецессии шара с дополнительным ограничением на распределение масс 70
2. Случай сі = 0 75
3. Случай С2 = 0 75
Заключение 77
Литература
- Движение шара по плоскости
- Условие устойчивости стационарных движений и его анализ
- Устойчивость найденных решений
- Стационарные движения шара
Движение шара по плоскости
Известно, что консервативные неголономные системы Чаплыгина с псевдоциклическими координатами могут допускать, помимо интеграла энергии, и другие первые интегралы, явный вид которых неизвестен. Тем не менее, исследование вопросов существования и устойчивости стационарных движений таких систем можно проводить на основе теории Рауса - Ляпунова - Сальвадори (см., например, [19, 21, 22, 36]). Однако исследование ветвления стационарных движений таких систем на основе теории бифуркаций Пуанкаре - Четаева сопряжено с большими трудностями и до сих пор не проводилось, поскольку классическая теория бифуркаций требует знания явного вида всех первых интегралов.
Ниже делается попытка построения бифуркационных диаграмм Пуанкаре - Четаева в задаче о стационарных движениях тяжелого диска на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Как известно [6,30,39,52], в этой задаче кроме интеграла энергии существуют еще два интеграла, отвечающие двум псевдоциклическим координатам (углам прецессии и собственного вращения) и выраженные в виде гипергеометрических рядов.
1. Историческая справка. Первые работы, в которых обсуждалась интегрируемость уравнений движения диска, катящегося без скольжения по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости, появились на рубеже XIX и XX веков. В 1892 году А. Фиркандт [65] показал, что все движения катящегося диска, за исключением тех, при которых диск падает на плоскость, являются квазипериодическими. Пять лет спустя, в 1897 году С.А. Чаплыгин [47] указал, что задача о движении диска по горизонтальной плоскости без скольжения интегрируется при помощи гипергеометрических рядов, приписывая этот результат В. Томсону. В 1900 году П. Аппель [52] и Д. Кортевег [61] независимо от С.А. Чаплыгина установили тот же результат. В 1903 году Е. Геллоп [57] проинтегрировал уравнения движения диска, используя функции Лежандра.
Следует отметить, что в это же время появились и первые исследования устойчивости стационарных движений диска, а именно, исследования устойчивости прямолинейных качений, проведенные в работах Э.Дж. Рауса [40] и Е. Карвалло [55]. Однако и в этих работах пре имущественно рассматривались вопросы интегрируемости уравнений движения диска и, как следствие, в них не содержится никаких результатов о природе бифуркаций в данной задаче. В последующих работах по устойчивости стационарных движений диска, в первую очередь в работах И.М. Миндлина [34], А.П. Дувакина [14], И.М. Миндлина и Г.К. Пожарицкого [36], Ю.И. Неймарка и Н.А. Фуфаева [39] (подробнее с этими результатами можно ознакомится в обзоре В.В. Румянцева и А.В. Карапетяна [42]), на основе классических методов Рауса - Ляпунова - Сальвадори были найдены условия устойчивости всех стационарных движений. В отличие от более ранних работ, в этих работах условия устойчивости были получены в строго нелинейной постановке задачи, а не путем анализа корней характеристического уравнения.
К последним результатам по динамике диска, катящегося по горизонтальной плоскости без скольжения, следует отнести результаты Ю.Н. Федорова [46], А.П. Маркеева [30], а также О. ОТейли [62] и И. Херманса [58] (см. также [56]). В дальнейшем мы подробнее рассмотрим некоторые из результатов, полученных в этих работах.
2. Уравнения движения и их первые интегралы. Рассмотрим движение без скольжения тяжелого круглого диска, опирающегося о горизонтальную плоскость. Пусть т - масса диска, а - радиус, А\ и Аз - соответственно экваториальный и осевой моменты инерции, g -ускорение свободного падения.
Следуя предложенному ранее подходу [2, 21, 22], будем определять положение диска декартовыми координатами х и у проекции его центра на горизонтальную плоскость и углами Эйлера #, ф и (р (в - угол между плоскостью диска и опорной плоскостью, ф - угол прецессии, ср - угол собственного вращения). При этом высота центра диска над опорной плоскостью определяется соотношением h = a sin в. Тогда функция Ла-гранжа и уравнения связей, выражающие отсутствие проскальзывания диска в точке его контакта с опорной плоскостью, примут вид
Уравнение (2.7) представляет собой гипергеометрическое уравнение Гаусса [9, 45]. Таким образом, рассматриваемая задача о движении диска интегрируется при помощи гипергеометрических функций. Если обозначить через гипергеометричекий ряд Гаусса [9,45
В дальнейшем будем предполагать, что и т] являются комплексно сопряженными числами, т.е. справедливо неравенство Б 1/4, которое заведомо выполнено для однородного диска А = 2А\ =ma2/2,J3 = 4/3). Отметим [9], что ряд (2.8) сходится равномерно на любом отрезке числовой оси, лежащем внутри интервала — 1 z 1.
Таким образом, уравнения движения допускают, помимо интеграла энергии, еще два первых интеграла, которые заданы неявно соотношениями (2.9) и (2.10) и представляются в виде гипергеометрических рядов. 3. Стационарные движения. Пусть W — W (в) - минимум функции Н (интеграла энергии) по переменным в, q и г на уровнях с і и с2 интегралов, заданных неявно соотношениями (2.9)-(2.10). Таким образом,
С помощью компьютерной программы MAPLE V Release 5.1 была построена поверхность, задаваемая уравнением (3.2) в пространстве переменных жі, Х2 и а при фиксированном значении параметра к (рис. 1). На приведенном рисунке к — 1/4. Кроме того, следует отметить некоторые свойства этого уравнения, полученные аналитически [67].
Анализ условия существования стационарных движений. Легко видеть, что при каждом фиксированном а уравнение (3.2) задает некоторую кривую второго порядка. Определим тип этой кривой. Для этого подсчитаем ее инварианты
Условие устойчивости стационарных движений и его анализ
Ниже рассматриваются некоторые свойства функции / (а). Утверждение 8.3. На промежутке (0, тт/2] уравнение / (а) = 0 имеет единственный корень а = а(к).
Доказательство. При доказательстве данного утверждения удобнее рассматривать функцию / (а) не на промежутке (0, 7г/2], а на промежутке (0, 7г]. Поэтому будем считать, что а Є (0, тт]. Пользуясь оценками из утверждения 8.1, легко показать, что при а —) 0+ функция / (а) — +оо. С другой стороны, при а = тт имеем и, следовательно, на интервале (0, тт) уравнение / (а) = 0 имеет, по крайней мере, один корень. Покажем, что этот корень единственный и что он принадлежит промежутку (0, тт/2]. Рассмотрим производную функции f (а):
В окрестности значения а = 0 функция / (а) 0 и, следовательно, данная функция убывает, поскольку ее производная отрицательна. Следовательно, возможны два случая: 1. на промежутке а Є (0, 7г/2] функция / (а) убывает, оставаясь положительной; 2. уравнение / (а) = 0 имеет корень на промежутке (0, тг/2]. Покажем, что если реализуется случай 2, то уравнение имеет единственный корень на промежутке (0, 7г/2]. Действительно, если а\ = а\{к) -корень уравнения / (а) = 0, то при а = а і (к) производная функции / (а) отрицательна и, следовательно, функция / (а) по-прежнему убывает и становится отрицательной. Предположим, что в дальнейшем, при некотором «2 = &2{к) имеем:
Тогда значение ct2(k) будет точкой минимума функции f (а) ив дальнейшем функция будет возрастать. Однако она не сможет обратиться в нуль во второй раз, т.к. в этом случае ее производная снова станет отрицательной, а значит функция должна убывать. Теперь рассмотрим интервал а Є (7г/2, 7г). Если бы на промежутке а Є (0, 7г/2] имел место случай 1, то на интервале а Є (тг/2, 7г) функция имела бы положительную производную, т.е. возрастала бы от некоторого положительного значения и, следовательно, уравнение / (а) = О не имело бы на интервале (0, 7г) вообще никаких корней, что, однако, неверно. Следовательно, случай 1 невозможен.
Таким образом, реализуется случай 2, и, следовательно, в точке а = = 7г/2 функция / (а) отрицательна. Покажем, что уравнение / (се) = 0 не имеет корней на интервале (7г/2, тг). Действительно, если а = а (к) -корень уравнения f (а) = 0, принадлежащий интервалу (7г/2, 7г), то в этой точке производная функции / (а) положительна и, следовательно, функция возрастает и становится положительной, после чего продолжает возрастать. Однако, это невозможно в силу того, что в точке а — тт функция / (а) отрицательна.
Итак, нами доказано, что на интервале (0, 7г) уравнение / (а) = 0 имеет единственный корень, причем для любого к этот корень а — а{к) Є Є (0, 7г/2]. Докажем еще одно утверждение, касающееся этого корня.
Утверждение 8.4. Если а{к) а (к), то а (к) а(к). Доказательство. Действительно, рассмотрим выражение р2(к,а) и пусть а = а(к). Тогда Р2 (к, а) \а=а(к) = [2Т (к, a) G (к, а)] \а=&{к) 0, поскольку, согласно следствию 2 утверждения 8.2, имеем Т(к,а) 0 для любого а Є (0, 7г/2], a G(k,a) 0 по условию. Следовательно, а(к) а{к).
С помощью численного исследования было установлено, что для любого к справедливо неравенство а (к) а (к). Таким образом, согласно доказанному утверждению, а (к) а{к). То есть, при а а {к) выражение R(k7a) заведомо отрицательно.
Исследование устойчивости на интервале а (к) а а (к). В пункте 6 нами было установлено, что при всех а Є (0, а (к)] регулярные прецессии диска устойчивы при любых значениях х\ и ж2. Рассмотрим теперь интервал а Є (a (fc), а (к)). С учетом результатов численного эксперимента следует отметить, что величина этого интервала весьма незначительна. В случае, когда а принадлежит указанному интервалу, в левой части неравенства (6.1) стоит положительное выражение. Поскольку нами было доказано, что при всех значениях а Є (а (&), а (к)) выражение R(k,a) отрицательно, что для прецессий семейства Q+ в правой части неравенства (6.1) стоит отрицательное выражение, а для прецессий семейства Q+ - положительное выражение.
Возведем обе части неравенства (6.1) в квадрат. При этом получится неравенство (6.2). Поскольку при а Є (а (к), а (к)) справедливы неравенства
Исследование устойчивости на промежутке а (к) а 7г/2. Пусть теперь значения а принадлежат промежутку (а (/г), 7г/2]. Очевидно, что для всех а, принадлежащих данному промежутку, справедливо неравенство G (к, а) 0 и, следовательно, выражение, стоящее в левой части неравенства (6.1) будет положительным только при выполнении неравенства:
Вернемся теперь к неравенству (6.1). Для прецессий семейства Qa в правой части данного неравенства стоит положительное выражение. Считая, что х\ х2и и возводя обе части неравенства (6.1) в квадрат (т.е. получая неравенство (6.2)), убеждаемся, что регулярные прецес-сии семейства Q будут устойчивы при х\ х(+ и неустойчивы при выполнении обратного неравенства.
Для прецессий семейства Q+ в правой части неравенства (6.1) стоит отрицательное выражение. Следовательно, при х\ х2и данные прецессии заведомо устойчивы. При х\ х2и отрицательные выражения стоят в обеих частях неравенства (6.1). В этом случае, умножая обе части неравенства (6.1) на -1 (оно при этом изменит знак) и возводя их затем в квадрат, убеждаемся, что прецессии Q могут быть устойчивы при выполнении условий при х{ ccf_, а регулярные прецессии семейства Q устойчивы при х\ х\,. Таким образом, устойчивость регулярных прецессий диска на абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости полностью исследована. 12. Наглядный материал. Сравнение с другими работами.
Стационарные движения диска исследовались с использованием постоянных первых интегралов еще только в работе [62]. Однако в указанной работе сразу была сделана оговорка о том, что никаких аналитических исследований стационарных движений диска не проводилось в силу громоздкости вычислений, а были проделаны лишь некоторые численные исследования, а именно, были построены сечения поверхности, аналогичной поверхности (3.2), но рассмотренной в других переменных. С целью проверки полученных здесь аналитических результатов, нами был проведен подобный эксперимент в пространстве переменных Жі, Х2 и а. При этом использовалась компьютерная программа MAPLE V Release 5.1. После перехода от переменных, использовавшихся в работе [62] к переменным жі, ж 2 и а, выяснилось, что сечения, построенные в работе [62], эквивалентны сечениям поверхности (3.2),
Устойчивость найденных решений
Постановка задачи. Стационарные движения диска с гироскопом. Рассмотрим задачу о движении диска по абсолютно шероховатой плоскости (см. предыдущую главу) и предположим дополнительно, что на диске установлен гироскоп, ось которого совпадает с осью динамической симметрии диска и который обладает по отношению к диску постоянной угловой скоростью; кинетический момент этого гироскопа относительно его оси обозначим через s; ясно, что s есть величина постоянная. Все обозначения предыдущей главы сохраняются и в настоящей главе.
Устойчивость найденных решений. Для получения условий устойчивости стационарных движений диска с гироскопом, определяемых соотношениями (1.9)-(1.10), мы должны, согласно модифицированной теории Рауса - Ляпунова - Сальвадори [21, 22], вычислить производную выражения (1.8) на решении (1.9) и (1.10) соответственно. Условием устойчивости в этом случае (необходимым и достаточным с точностью до знака равенства) является условие отрицательности соответствующей производной.
Проанализируем полученные условия. В случае, когда а Є (0, 7г/2], для любого к справедливо неравенство у\ (к, а) у\ (к, а) и, следовательно, об устойчивости стационарных движений диска, определяемых соотношениями (1.9)-(1.10) можно сделать следующие выводы: Рис.7. Бифуркационные диаграммы, соответствующие стационарным движениям диска с быстровращающимся гироскопом вида (1.9).
Таким образом, устойчивость стационарных движений диска с быст-ровращающимся гироскопом, определяемых соотношениями (1.9)-(1.10) полностью исследована. Кроме того, с помощью компьютерной программы MAPLE V Release 5.1 на плоскости параметров у і и а были построены сечения поверхности, задаваемой соотношением (1.8). Указанные сечения приведены на рис. 9. Видно, что полученные выводы об устойчивости стационарных движений полностью подтверждаются при рассмотрении данных сечений.
Рассмотрим задачу о стационарных движениях неоднородного динамически симметричного шара, движущегося по абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости.
Пусть т - масса тела, А\ и А3 - его экваториальный и осевой центральные моменты инерции, г - радиус, а - расстояние от центра масс шара до его геометрического центра и g - ускорение свободного падения. Скорость центра масс шара обозначим через v, а угловую скорость шара - через ш. Обозначим также единичный вектор восходящей вертикали и единичный вектор оси симметрии через 7 и ез соответственно.
Уравнения (1.1) и (1.2) выражают соответственно законы изменения импульса и кинетического момента шара, уравнение (1.3) - условие постоянства вектора у в инерциальной системе отсчета, а уравнение (1.4) - условие отсутствия скольжения шара. Здесь R - реакция опорной плоскости, 0 = diag (УІІ, Лі, Аз) - центральный тензор инерции шара и р = (—Нь —г725 г7з + а) радиус-вектор точки касания шара с горизонтальной плоскостью по отношению к его центру масс.
Геометрический интеграл (1.8) можно рассматривать как конфигурационное пространство позиционных координат 7 Є S2, где S2 - двумерная сфера, называемая сферой Пуассона. Таким образом, система уравнений (1.1)-(1.4) имеет интеграл энергии (1.5) и два линейных (относительно квазискоростей ш) первых интеграла (1.6) и (1.7).
В первой главе настоящей диссертации изложен способ получения интеграла (1.7) из уравнений движения (1.1)-(1.4). Существование других интегралов легко доказывается путем анализа тех же уравнений.
Историческая справка. Впервые интегрируемость задачи о движении неоднородного динамически симметричного шара, движущегося по абсолютно шероховатой плоскости, была доказана в трактате Э.Дж.Рауса [40]. В этой же работе на основе анализа корней характеристического уравнения линеаризованных уравнений возмущенного движения были получены необходимые условия устойчивости равномерных вращений шара вокруг неподвижной вертикально направленной оси динамической симметрии. В точной нелинейной постановке устойчивость данного движения исследована в статье В.В. Румянцева [41]. Исследования, проведенные в [41], были продолжены в работах А.П. Дувакина [12,13] и И.М. Миндлина [35]. Основные результаты данных работ описаны в обзорной статье В.В. Румянцева и А.В. Карапетяна [42], а также в монографии А.П. Маркеева [30].
Условия устойчивости регулярных прецессий шара впервые были получены в статье И.М. Миндлина и Г.К. Пожарицкого [36]. Результаты, полученные в [36], были обобщены и развиты в работах А.В. Карапетяна [17-22], где рассматривались вопросы устойчивости стационарных движений механических систем некоторого вида, явные выражения первых интегралов которых, кроме интеграла энергии, неизвестны.
К последним работам, в которых изучаются вопросы качественного анализа движения динамически симметричного шара на абсолют но шероховатой плоскости, следует отнести статьи Н.К. Мощука [38], Д.В. Зенкова и др. [66], а также монографию И. Херманса [58] (см. также библиографию в ней). В этих работах движение шара исследуется с помощью недавно разработанных и быстро развивающихся топологических и алгебраических методов.
Стационарные движения шара
Следовательно, знак левой части неравенства (8.1) зависит от знака выражения а22 Таким образом, при z\ 0 выражение, стоящее в левой части неравенства (8.1) неотрицательно и можно возвести обе части неравенства (8.1) в квадрат. При этом получается следующее неравенство (коэффициент при р\ положителен; справедливость неравенства в этом случае вытекает из того, что в силу критерия Рауса - Гурвица соответствующее биквадратное уравнение будет иметь два отрицательных корня).
Рассмотрим второе условие. Непосредственной проверкой можно показать, что при z\ 0 справедливо неравенство Y i 0 и значит, все прецессии шара, для которых выполняется неравенство z\ 0 будут устойчивы. Явный вид коэффициента Yi не приведен в силу большой громоздкости данного выражения.
К сожалению, получить сколь-нибудь интересные результаты об устойчивости регулярных прецессий шара при условии z\ 0 не удалось в силу большой сложности анализируемых выражений. Однако, можно выделить несколько частных случаев, когда задача все же может быть доведена до конца. Этому посвящена следующая глава диссертации.
Результаты, полученные в предыдущей главе, позволяют сделать некоторые выводы об устойчивости регулярных прецессий шара при дополнительных ограничениях на его распределение масс. Ниже рассматриваются частные случаи такого роды. Все обозначения предыдущей главы сохраняются.
Регулярные прецессии шара с дополнительным ограничением на распределение масс. Рассмотрим задачу о движении неоднородного динамически симметричного шара (см. предыдущую главу) и предположим дополнительно, что параметры шара жі, ж2 и ж з связаны следующим соотношением:
Впервые условие (1.1), в несколько иной форме, было выписано в знаменитом исследовании С.А. Чаплыгина [47], посвященном задаче о качении тяжелого твердого тела вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. Однако, в этой работе условие (1.1) было получено из соображений совершенно другого рода. Выписывая квадратуры для случая движения по шероховатой плоскости динамически симметричного шара, Чаплыгин задается вопросом, при каких условиях задача решается в эллиптических функциях, и находит условие, аналогичное условию (1.1). Кроме того, Чаплыгин отмечает, что можно построить шар, для которого условие (1.1) было бы выполнено. Используя интеграл Желле и выражение (1.3), легко доказать справедливость следующего соотношения:
Рассматривая уравнение (1.4) как квадратное относительно т2 и требуя вещественность его корней, получаем условие существования регулярных прецессий шара в виде неравенства
Исследуем выражение, стоящее в правой части данного неравенства. Из условия (1.1) следует, что 1 — х\ 0, т.е. ж і 1. Следовательно, знак данного выражения зависит от знака выражения cos# — Ж3. Таким образом, при cos6 — Ж3 0 данное неравенство заведомо выполняется, т.е. регулярные прецессии существуют, при cos# — Ж3 0 они существуют только при условии
Кроме случая, когда выполнено условие (1.1), Чаплыгин выделяет еще два случая, при которых уравнения движения шара интегрируются в эллиптических функциях. Это случаи, когда одна из констант первых интегралов (интеграла Желле или интеграла Чаплыгина) обращается в нуль. Покажем, что и в этих случаях все прецессии шара будут устойчивы.
Предложен новый способ нахождения одного из первых интегралов в задаче о движении неоднородного динамически симметричного тара по абсолютно шероховатой плоскости - интеграла Чаплыгина. Указанный способ не только устраняет все сложности, имевшиеся в других методах построения данного интеграла, но и обобщает его на случай движения шара по поверхности сферы в отсутствии поля тяготения.
Дано полное аналитическое исследование условий устойчивости и бифуркаций стационарных движений тяжелого круглого диска, катящегося по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Все аналитические результаты подтверждены численными расчетами. В результате построен полный атлас бифуркационных диаграмм в данной задаче. Аналогичное исследование проведено для случая, когда на диске установлен быстровращающийся ротор, ось которого проходит через центр диска, перпендикулярно к его плоскости.
Проведено исследование устойчивости и бифуркаций в задаче о движении неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой плоскости. Построены бифуркационные диаграммы. Выделен и исследован ряд интересных частных случаев.
