Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное моделирование нелинейного динамического поведения тонкой упругой оболочки. исследование регулярных и хаотических режимов движения .
1.1. Уравнения движения тонкой упругой оболочки ...32
1.2. Метод решения системы нелинейных уравнений движения оболочки ...41
1.3. Анализ нелинейных процессов с помощью критериев динамического хаоса 48
1.4. Изгиб оболочки под действием ветровой нагрузки 54 «/
1.5. Нелинейные режимы колебаний упругой панели под действием периодической нагрузки. Области регулярной и хаотической динамики 59
1.6. Выводы 71
Глава 2. Методржа численного моделрїрования движения вязкого теплопроводного газа . 74
2.1. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа при ламинарном и турбулентном течениях 74
2.2. Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в подвижной системе координат 80
2.3. Решение системы уравнений Навье-Стокса в обобщенных координатах явным методом Мак-Кормака второго порядка точности 83
2.4. Расщепление по времени для явной схемы Мак-Кормака 94
2.5. Звуковая схема коррекции потоков Лакса-Вендроффа 101
2.6. Решение задачи о распаде разрыва в плоском канале явным методом Мак-Кормака с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков Лакса-Вендроффа 103
2.7. Решение задач взаимодействия вязкого сжимаемого теплопроводного газа с, тонкостенными упругими элементами. 113
2.8. Выводы. 115
Глава 3: Нелинейные колебания газа в закрытой трубе 117
3.1. Нелинейные колебания газового столба в закрытой трубе при возбуждении на частоте первого линейного резонанса и при субгармоническом возбуждении; Сравнение результатов численного и физического экспериментов. 117
3.2. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при большой амплитуде возбуждения. Смена, типа резонанса при фиксированной частоте возбуждения 128
3.3; Численное моделирование газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях. 145
3.4: Выводы. 152
Глава 4. Аэроупругие колебания в закрытых резонаторах
4.1. Численное моделирование колебаний газового столба в закрытом, канале с упругой стенкой 154
4.2. Численное моделирование колебаний газа, возбуждаемых в закрытом канале упругим поршнем 165
4.3. Численное моделирование течения газа в: плоском канале с колеблющейся стенкой. 185
4.4. Численное моделирование течения газа в плоском канале с колеблющимися стенками при осесимметричном возбуждении —-195 ^
4.5. Синхронизация колебаний тонких пластин при аэроупругом взаимодействии... . 205
4.6. Выводы 215
Глава 5. Диагностика динамики нелинейной системы на основе анализа числа ее состояний в фазовом пространстве 217
5.1. Сопоставление информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний системы при диагностике регулярных и хаотических режимов движения 218
5.2. О распознавании объектов на основе анализа акустического отклика при помощи функции числа состояний динамической системы 226
5.4. Выводы. 233
Заключение. 234
Литература 239
- Метод решения системы нелинейных уравнений движения оболочки
- Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в подвижной системе координат
- Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при большой амплитуде возбуждения. Смена, типа резонанса при фиксированной частоте возбуждения
- Численное моделирование колебаний газа, возбуждаемых в закрытом канале упругим поршнем
Введение к работе
Нелинейная динамика аэроупругих систем имеет многочисленные технические приложения и представляет собой один из важных разделов механики сплошной среды. Исследование аэроупругого взаимодействия основывается на предварительном изучении процессов, протекающих -в тонкостенных элементах ив газе. При построении математических моделей динамики взаимодействующих сред возникает необходимость учета нелинейного характера процессов, связанного с физическими и геометрическими факторами, что приводит к построению более точных и содержательных моделей, анализ- которых позволяет обнаруживать новые явления и эффекты. Развитие методов математического моделирования и вычислительной техники привели к возрастанию роли численного эксперимента. С его помощью стало возможным исследовать сложные системы, все более приближенные к реальным.
Изучение колебаний газового столба в закрытых и открытых трубах и каналах позволяет получать информацию об аналогичных процессах, протекающих в более сложных технических устройствах: в трубопроводных системах компрессоров, в камерах сгорания жидкостных и твердотопливных ракетных двигателей, в топливопо дающих каналах, в системах струйной автоматики и измерительной аппаратуры,. в системах охлаждения. Источником колебаний может быть поршень, периодический тепломассоотвод, струя газа, втекающая в открытый конец трубы, колебания стенки резонатора. При исследовании колебаний газового столба; в ограниченных объемах особый интерес представляют резонансные режимы, при. которых наблюдаются пиковые значения давления и увеличивается интенсивность тепломассообмена. Изучению нелинейных колебаний в газе посвящены монографии Зарембо Л.К. и Красильникова В.А.[49], Руденко О.В. и Солуяна СИ. [109]. Впервые разрывные колебания газа в закрытой трубе на частоте первого линейного резонанса получил Lettau Е. [206]. Возбуждение колебаний газового столба происходило за счет возвратно-поступательного движения поршня. Результаты экспериментов; в которых исследуются колебания* газового столба в резонансных трубах при возбуждении жестким поршнем описаны, например, в работах: Lehmann K.D. [205], Lettau Е. [206], Saenger R1A. and Hadson G.E. [215], Гуляев А.И. и Кузнецов B;H. [43-44], Coppens F.B. and Sanders G. [ 190]; Temkin S. [219-220], Галиев Ш.У., Ильгамов M.A., Садыков А.В; [28], Gruikshank D.B: [191], Sturtevant B.B. [217], Merkli Pi, Thomann H. [210], Zaripov R.G., Ilgamov M.A.[224].
Эксперименты показали, что для описания периодических ударных волн необходимо использовать нелинейные уравнения газовой динамики. В теоретических работах нелинейные эффекты во втором приближении учитывали Betchov R. [184] и Горьков А.П. [38], Островский Л.А.[98].. Использовался -. метод малого параметра в предположении, что на равновесные параметры газа накладываются возмущения, создаваемые малыми колебаниями поршня. Были получены разрывные решения для первого линейного резонанса и приближенная формула для? амплитуды ударной волны в окрестности резонанса. В і работе [45] методом і малого параметра рассматривалась задача об і установлении вынужденных колебаний j и было . получено? условие возникновения; ударной волны. Продольные колебания; газового столба в закрытой;трубе на основании!интегрирования уравнений газовой; динамики; в координатах Эйлера* исследовал; Chester W. [187-189]. Задача сводилась к решению интегро-дифференциального уравнения вблизи поршня. Решение представлялось в виде непрерывной; функции; и разрыва; который соответствовал фронту ударной волны. В окрестности линейного резонанса определялся: профиль волны давления. С помощью метода, разработанного в [187-189], Галиевым Ш.У., Ильгамовым М.А., Садыковым А.В.[28], Галиевым Ш.У. и Шихрановым А.Н. [29-30] были получены более точные решения, учитывающие поправку для амплитуды колебаний поршня. Теоретические результаты, описывающие нелинейные колебания газа вблизи собственных резонансов описаны .также в работах [191], [217], [219-220]. В работе Галиева Ш.У., Ильгамова М.А.,. Садыкова А.В. [28] впервые описаны периодические ударные волны, возникающие при частоте колебаний поршня, вдвое меньшей частоты первого линейного резонанса. Аналитически, методом малого параметра субгармонические резонансы рассматривались также в работах [210], [199—201], [211]. Были получены разрывные решения для первого линейного и первого нелинейного резонансов и выяснилось [224], что для описания интенсивных ударных волн необходимо использовать более высокие приближения. Ограничения метода малого параметра проявились ш при моделировании колебаний газового столба в окрестности нелинейных резонансов. Таким образом, для исследования! нелинейных колебаний газа требуется применение эффективных численных методов. Численные исследования проводились, например, в работах [3-5,183], где решение одномерных уравнений идеального газа при возбуждении колебаний в закрытой трубе гармонически перемещающимся поршнем в окрестности і первого линейного резонанса определялось с помощью метода TVD второго порядка точности по времени и пространству. Полученные результаты сравнивались с результатами Гуляева А.И., Кузнецова В.Н. [43], Saenger R.A., Hudson G.E. [215], Chester W. [187-189], TemkinS. [220]. Было отмечено [3], что применение метода второго порядка точности позволяет построить более эффективную методику расчетов. В [4] на основе двумерных уравнений^ идеального газа, решаемых методом: TVD, рассматриваются колебания газа в объемном резонаторе. В [5] на основе г одномерной модели і идеального газа изучаются нелинейные колебания в закрытой трубе при непериодическом движении поршня. Решение также находится; с, помощью метода TVD. В рамках одномерной модели^ методом^ распада разрыва- Годунова в [19] исследуется задача о внезапном вскрытии одного из торцов удлиненной цилиндрической емкости, содержащей газ под давлением. Движение газа моделируется с помощью уравнений идеального газа.
Одним из наиболее интересных явлений, присущих нелинейной динамике, стало явление динамического хаоса в системах с детерминированными параметрами [16, 96, 181]. Во многом благодаря развитию численного эксперимента, было выявлено, что детерминированный хаос проявляется в самых разнообразных нелинейных динамических системах. Одной из наиболее ранних работ по исследованию динамического хаоса в упругих системах является, например, работа Moon F.C. [96]. Исследованию нелинейных и хаотических колебаний трубы с протекающей! жидкостью, возникающих под действием колебаний давления, посвящены работы [58, 59], [196], где рассматриваются изгибные колебания горизонтальной трубы, заполненной жидкостью, в которой распространяется гармоническая волна давления. Динамика участка трубопровода с жидкостью описывается с помощью нелинейного уравнения изгиба трубчатого стержня, находящегося под действием поперечных сил. В точках опоры рассматриваются граничные условия жесткой заделки и шарнирного опирання. В качестве начальных условий берутся нулевые перемещения и» скорости, и нулевые скорости и перемещения, полученные из решения статической задачи о прогибе под действием силы тяжести. Решение находится численно с помощью метода Галеркина. На основе анализа проекции аттрактора на плоскость перемещение-скорость в зависимости от частоты и амплитуды колебаний давления проведена классификация динамических режимов. В работах [106, 107] исследуются регулярные и хаотические режимы продольных, колебаний в прямолинейной абсолютно гибкой вязко-упругой нити, один конец которой неподвижен, а другой совершает движение по" гармоническому закону с заданной: частотой и амплитудой. Движение нити описывается линейным одномерным волновым уравнением, дополненным неравенством, ограничивающим знак усилия, и вносящим нелинейность. Уравнение решается методом конечных разностей. Динамика нити анализируется с помощью отображения; Пуанкаре. При заданной частоте нагрузки, в зависимости от начального натяжения нити и амплитуды внешней силы, выявлены квазипериодический; хаотический и субгармонический режимы движения. Регулярные и хаотические режимы колебаний в нелинейно-упругом стержне исследовались Тетеновым Е.В., Федоровым; А.В. в работе [122]. Движение стержня описывалось системой уравнений гиперболического типа при нелинейной зависимости деформации от напряжения. Система решалась методом конечных разностей по явной схеме первого порядка точности. Тип динамического поведения определялся по характеру аттрактора на плоскости деформация-скорость. Регулярная и хаотическая динамика прямоугольных пластин конечных размеров с неоднородными вдоль кромок граничными условиями рассматривалась в работах -{2], [78-80]. Движение гибкой пластины описывалось нелинейными уравнениями теории гибких пластинок в смешанной форме относительно функции прогиба и функции усилий. Вдоль, кромок задавались условия шарнирного опирання, жесткой и скользящей» заделки. Система решалась численно методом: Рунге-Кутта четвертого порядка точности при заданных начальных прогибах и нулевой начальной скорости. Для моделирования диссипации в систему уравнений вводилось вязкое' демпфирование. Анализ динамического поведения проводился на основании изучения спектра мощности, сечения Пуанкаре, проекции фазовых портретов на плоскость перемещение- скорость.
Взаимодействие упругих' конструкций с потоками жидкости и газа необходимо учитывать в турбо- и компрессоростроении, в аэрокосмической технике, в строительстве. При определенных соотношениях параметров потока и конструкции в последней могут возникать значительные деформации, приводящие к изменению; характера обтекания и аэрогидродинамических нагрузок на упругих поверхностях. Подобная проблема возникает в задачах об обтекании деформируемых несущих поверхностей летательных аппаратов, упругих элементов проточной части воздушно-реактивных двигателей, рабочих поверхностей турбин и компрессоров, корпусов высотных сооружений, подвергающихся интенсивной ветровой нагрузке.
Решение задач взаимодействия вызывает значительные вычислительные трудности. Одной из них является проблема сопряжения решений на: движущейся поверхности контакта упругой оболочки и жидкости. Подавляющее большинство задач аэрогидроупругости невозможно решить в точной постановке, и вследствие этого широкое распространение получили приближенные методы, позволяющие: моделировать и исследовать процессы взаимодействия? Фундаментальные результаты, связанные: с исследованиями обтекания деформируемого контура, устойчивости -формы упругой поверхности, собственных и параметрических колебаний; автоколебаний системы оболочка-жидкость содержатся в трудах С.А.Алексеева [9-11], В.В.Болотина [21], А.С.Вольмира [23-26], Э.И.Григолюка [39], Э.ИХриголюка, А.Г.Горшкова [40],. М.А.Ильгамова [55-56], Е.Н.Мнева и А.К.Перцева [95], Л.И.Фына[168]..
В статье [1] изучалась задача о движении деформируемого тела в покоящейся идеальной несжимаемой жидкости. В предположении потенциальности обтекания определены сила и момент силы, действующие со стороны жидкости на тело. В работе [164] рассмотрено движение упругого плоского контура в неустановившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости. Изгиб и динамическая устойчивость, бесконечно длинной цилиндрической оболочки при безотрывном поперечном обтекании ее потоком неограниченной идеальной несжимаемой жидкости рассмотрены в работе [57]. Рассматривались случаи как малых так и больших изменений формы. В первом случае предполагалось, что перемещение оболочки по нормали мало по сравнению с ее толщиной. В связи с этим: уравнение: изгиба оболочки и уравнения, описывающие изменение поля течения в результате деформации контура,, линеаризовались. Применялась безотрывная модель обтекания.. В последнем случае контактные условия ставились на деформированной -поверхности; Задача взаимодействия: цилиндрической оболочки бесконечной длины, обладающей изгибной жесткостью и способной к большим г перемещениям, с плоским безграничным потоком идеальной жидкости при безотрывном обтекании решена в статьях [91,169]. Обтекание цилиндрических оболочек с отрывом струй на основе модели Паркинсона-Яндали исследовалось в работах [173-176]. В этих статьях в предположении малости деформаций и нерастяжимости срединной поверхности при произвольных изгибах рассмотрена плоская деформация длинной оболочки, закрепленной в точке -; торможения: потока. В работе [101] экспериментально исследовалось напряженное состояние*тонкостенных упругих цилиндрических оболочек под действием мгновенного импульса давления; распределенного по направляющей оболочки несимметрично относительно ее оси. В; статьях [92, 116, 117] проводится экспериментально- теоретическое: исследование поведения; цилиндрических оболочек при действии волны давления. Приводится решение задачи о поведении замкнутой круговой цилиндрической оболочки, нагруженной боковой набегающей волной давления. Дается сравнение результатов с данными, полученными в опытах с алюминиевыми оболочками. Нагружение оболочки характеризовалось величинами давления и импульса, сообщаемого оболочке движущейся волной газа. Были построены зависимости наибольших динамических прогибов при различных комбинациях давления и импульса. В работе [88] рассматривается взаимодействие упругой: круговой бесконечной: цилиндрической оболочки с ударной волной, фронт которой параллелен образующей: цилиндра. Течение газа описывается системой* уравнений идеального газа; которая решается численно. Для описания движения оболочки применяется система динамических уравнений среднего изгиба. Исследуется дифракционная: стадия; процесса. Определены прогибы и деформации при:различных параметрах газа и оболочки. В статье [165] также решалась задача о взаимодействии цилиндрической оболочки с ударной волной. В отличие от [88] предполагается, что оболочка конечна. Для [88], [165] характерно, что в силу малых изменений формы оболочки давление и скорость газа: принимались, для недеформированной поверхности. Взаимодействие упругих конструкций со слабыми ударными волнами в акустическом приближении рассматривалось в работе [40]. В [26] изучается поведение замкнутой круговой цилиндрической оболочки при набегании на нее вдоль образующей ударной волны экспоненциального профиля и спутного высокоскоростного потока- газа повышенной плотности. Ударная волна аппроксимировалась, подвижной; волной» давления: заданного профиля. Учет влияния сверхзвукового спутного потока газа приводил к возникновению флаттерных колебаний. При описании поведения; оболочки использовалась система геометрически нелинейных уравнений; среднего изгиба. Форма мягкой сферической оболочки в потоке газа определялась, в работе [94]. Оболочка полагалась тонкой, абсолютно гибкой, находящейся в статическом напряженно- дефорированном состоянии. Учитывалось сжатие газа в полости. Определялась форма оболочки в зависимости от внутреннего давления и внешней нормальной нагрузки,, возникающей при обтекании і оболочки потоком газа. Анализ гибких мембран и струйных реактивных закрылков в плоском несжимаемом потенциальном; потоке проводился в работе [209]. Рассматривались тонкие аэродинамические поверхности типа гибкой изогнутой панели и мембраны, форма которых изменяется при обтекании и; заранее неизвестна. Расчеты проводились аналитически. Были выведены приближенные аналитические соотношения для коэффициентов подъемной силы и поперечного момента. В зависимости от геометрии поверхности и характеристик материала и- потока определялись формы устойчивого равновесия? конструкции. В работе [195] исследовалась стохастическая аэроупругая устойчивость плоской прямоугольной панели постоянной толщины в сверхзвуковом потоке. Вектор скорости невозмущенного потока лежал в плоскости панели и был направлен по нормали к шарнирно опертым передней и задней кромкам. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Прогиб конструкции как функции времени; и пространственной координаты удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных, записанному с учетом действующих в срединной плоскости случайных усилий. Было оценено влияние — на скорость флаттера конструкционного и аэродинамического; демпфирования» отношения плотностей воздуха, и материалов* конструкции, механических и геометрических параметров панели. В работе [202] исследовалась аэроупругая устойчивость однородной изотропной цилиндрической оболочки эллиптического сечения в сверхзвуковом потоке: газа. Вектор скорости невозмущенного течения был направлен параллельно продольной оси оболочки. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Движение оболочки описывалось системой линейных дифференциальных уравнений с учетом конструкционного демпфирования; и поперечных составляющих сил инерции. В [31] рассматривалась задача о локальной потере устойчивости тонкостенных упругих конических оболочек (конфузоров) с внутренним потоком идеального газа. Работа [115] посвящена экспериментальному исследованию затухания колебаний! подкрепленной цилиндрической оболочки, контактирующей с жидкостью. Показано, что контактирование оболочки с, жидкостью приводит к сильному демпфирующему эффекту даже при колебаниях с амплитудами, составляющими доли толщины оболочки. В [17] исследовалась устойчивость оболочек вращения, подвергающихся воздействию внутреннего и внешнего сверхзвукового потока газа. Аэродинамическое давление рассчитывалось по квазистатической- аэродинамической теории, деформации оболочек рассчитывались с помощью метода конечных элементов.. В статье [ЮЗ] рассматривается^ несущая поверхность, совершающая гармонические колебания в дозвуковом потоке: идеального газа. Задача, об обтекании этой поверхности в линейной постановке приводится к интегральному уравнению, связывающему возмущенную скорость потока в заданной точке с перепадом < давления на поверхности. Работа [83] посвящена исследованию нелинейного панельного флаттера. Исследуется вопрос о существовании и устойчивости малых периодических решений двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих аэроупругие колебания панели в сверхзвуковом потоке. В [212] численно исследуется' аэроупругая; неустойчивость цилиндров кругового и прямоугольного сечения. Представлены результаты, математического моделирования процесса, взаимодействия колеблющегосяs цилиндра с: неустановившимся;потоком газа. Аэродинамические характеристики получены путем численного интегрирования уравнений Навье-Стокса для случая вязкого газа. Получены оценки амплитудно-частотных характеристик колебаний. В работе [218] исследованы особенности- взаимодействия колеблющихся плохо обтекаемых тел с неустановившимся потоком воздуха. Результаты получены путем численного интегрирования?уравнений состояния аэроупругой системы. Решение краевой задачи ві пространственно-временной области получено методом? конечных разностей. Рассчитаны; частотные характеристики, крутильных колебаний цилиндра и определены амплитуды предельных циклов колебаний. В работе: [46] исследуется аэродинамическая устойчивость тонких оболочек сопла, находящихся в сверхзвуковом потоке сжимаемого газа. Задача рассматривается в линейной постановке. В [193] описан метод численного решения задачи о взаимодействии упругого тела с околозвуковым потоком газа. Интегрирование уравнений равновесия тела, записанных в матричной форме, проведено методом Ньютона- Рафсона. Поле течения исследовано с помощью метода конечных элементов в криволинейной системе координат, выбираемых в зависимости; от формы обтекаемого тела. Определение деформаций конструкции сведено к решению системы нелинейных уравнений. Рассматривается случай истечения газа из сопла, имеющего постоянную толщину стенки в направлении вектора скорости- невозмущенного потока.. В работе [113] исследуется-поведение трехслойной цилиндрической композитной оболочки под действием сверхзвукового потока газа , направленного вдоль образующей.. Давление на: поверхности- оболочки моделируется, с помощью поршневой теории. Статьяг [192] посвящена методам построения конечно-разностной сетки, связанной с потоком газа и поверхностью обтекаемого тела в задачах расчета нестационарных аэроупругих характеристик. Анализ сверхзвукового панельного флаттера пологих оболочек проводится в работе [185].. Исследуется аэроупругая устойчивость ^ пологих незамкнутых цилиндрических оболочек в сверхзвуковом потоке воздуха. Вектор скорости невозмущенного течения, параллелен продольной оси. цилиндра. Давление определяется по теории квазистационарного обтекания. Прогиб и функция напряжения удовлетворяют системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследованию аэроупругой устойчивости эллиптической панели, обтекаемой с наружной стороны сверхзвуковым потоком: воздуха, посвящена работа [203]. Неустановившиеся; колебания панели описаны системой двух линейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно прогиба срединной поверхности и функции напряжений, полученной по теории оболочек с использованием теории; Кирхгофа-Лява. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой? теории. Скорость невозмущенного потока направлена вдоль продольной оси цилиндра. В [81] с помощью аппарата асимптотических функций исследуется структура акустических полей в цилиндрическом отсеке, заглушённом пологими сферическими днищами и заполненном газом. Проводится качественный анализ колебаний составной оболочки, состоящей из цилиндрической и двух пологих сферических оболочек.. Работа [53] посвящена исследованию гидроупругой системы «прямоугольный бак-жидкость». Жидкость считается идеальной, частотное уравнение получается с помощью вариационного метода с использованием принципа Гамильтона-Острогрдского. Находятся собственные частоты системы при различных уровнях -заполнениям бака и при различных наклонах относительно вектора силы тяжести. Влияние внутреннего и внешнего давления на форму волнообразования и величину низших собственных частот оболочки вращения на основании теории пологих оболочек исследуется в [82]. Результаты численного и ассимптотического решений задачи о. распространении гидроупругих колебаний в изогнутом трубопроводе сопоставляются в [110]. В [47] исследуется нелинейная; динамика гидроупругосвязанных плоских криволинейных стержней в нестационарном * потоке жидкости. Рассматривается взаимное влияние деформационных и гидродинамических процессов;
Уравнения движения: трубопровода получены из вариационного принципа Журдена, движение: жидкости описывается акустическими уравнениями. Интегрирование производится вариационно-разностным? методом. В линейном приближении, методом конечных элементов рассматривается задача об ударном нагружении оболочек с жидкостью в [93]. В; [170, 171] аналитически решается уравнение динамического равновесия прямого трубопровода заданной длины с постоянным сечением, нагруженного осевой сжимающей силой при протекании через: него пульсирующей жидкости;. В [120, 121] теоретически и экспериментально исследованы: аэроакустические:резонансные явления около пластины в прямоугольном: канале с протекающей жидкостью. Определяется зависимость собственных частот пластины от числа Маха, и угла атаки пластины в потоке. Расчет проводится аналитически с помощью уравнения для потенциала акустического возмущения скорости и уравнений теории? тонких пластин. Аэроупругие колебания пологой оболочки вращения или цилиндрической панели, занимающей часть жесткого цилиндра, обтекаемых сверхзвуковым потоком газа, рассматриваются в работе [65]. Задача решается в рамках закона плоских сечений и- теории погранслоя. Оболочка и панель описываются: линейной і теорией. Показано, что учет нелинейности граничных условий, вызванных перемещением границы контакта" приводит к появлению дополнительного сжимающего усилия в плоскости упругого элемента.
Из приведенного краткого обзора можно заключить, что изучение нелинейной динамики аэроупругих систем представляет собой актуальную область научных исследований. При:теоретическом исследовании нелинейных динамических задач упругости тонкостенных элементов, газовой динамики и взаимодействия тонкостенных элементов с газом; наиболее полный учет геометрической и физической нелинейности возможен лишь при использовании численных методов моделирования. Среди численных методов решения уравнений газовой динамики одним из наиболее эффективных является метод конечных разностей. Среди разностных схем газовой динамики можно выделить метод конечного объема, метод Годунова (метод распада разрыва), схемы с невозрастающей полной вариацией (TVD-схемы) , схемы Мак-Кормака и Лакса-Вендроффа в сочетании со схемами коррекции потоков и с расщеплением по времени. Описание методов численного интегрирования уравнений газовой динамики содержится в работах: Белоцерковский О.М. [14], Белоцерковский О.МІ, Давыдов Ю.М. [15], Годунов С.К., Рябенький B.C. [35], Годунов С.К.и др. [36], Ковеня: В.М., Яненко Н.Н. [73], Ковеня В.М;, Тарнавский Г.А., Черный С.Г. [72], Роуч Р. [108], Флетчер К. [167], Самарский А.А., Попов Ю.П. [112], Steger J.L. [216].
Цель работы; Цель работы состоит в исследовании нелинейных колебаний аэроупругой системы и- ее элементов методами математического моделирования., Рассматривается регулярная и хаотическая динамика тонкостенных упругих панелей, изучаются нелинейные колебания газа в ограниченных объемах и исследуются процессы их нелинейного и заимодействия.
Научная новизна. В; диссертации поставлены и решены новые важные задачи и систематически изучены основные закономерности динамических процессов в ряде нелинейных систем. В результате исследования методами > математического моделирования обнаружены новые нелинейные динамические эффекты при колебаниях упругой панели, при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе, при аэроупругих колебаниях газа в плоском канале. Разработан новый метод диагностики: динамических режимов. Наиболее важные результаты следующие: -На основе системы динамических геометрически нелинейных уравнений теории оболочек и уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа разработан программный комплекс для исследования нелинейной динамики упругих и аэроупругих систем. -Обнаружены регулярные и хаотические режимы нелинейных колебаний упругой панели под действием равномерно распределенной гармонически изменяющейся во времени внешней нагрузки. -Выявлен нелинейный эффект, возникающий при динамической потере устойчивости тонкой упругой панели по несимметричной форме. -На основе уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа получены; решения вблизи нелинейных резонансов юп, юіз> когда частота колебаний поршня в 2 и в 3 раза ниже первой собственной частоты колебаний газового столба. -Обнаружен эффект генерации высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газа в закрытой трубе при фиксированной частоте возбуждения, связанный с изменением» спектра собственных частот акустической системы вследствие роста средней температуры газа. - Численно исследованы колебания газового столба в закрытой трубе, вызванные начальным неравновесным распределением давления; Выявлено, что переход к равновесному состоянию осуществляется за счет конвективной и термодиффузионной стадии. -Исследованы аэроупругие колебания; газа в плоском; канале с упругой -стенкой* при возбуждении жестким поршнем и в плоском канале при возбуждении упругим элементом,, находящимся* под действием внешней нагрузки; гармонически изменяющейся во времени. Получены закономерности формирования спектрального состава колебаний упругой; панели и газового столба при аэроупругом взаимодействии. -Исследованы колебания газа, возникающие в: плоском канале при локальном возбуждении упругих стенок. Выявлено пространственное распределение поперечных и продольных относительно оси канала волн и установлен характер резонансных колебаний газа в окрестности области возбуждения при различных скоростях потока. -Исследован процесс синхронизации колебаний тонких упругих пластин, образующих стенки канала, заполненного газом. Выявлена: возможность возникновения синхронных колебаний вследствие взаимного влияния упругих элементов, осуществляемого через газовую^ среду. Получены сценарии синхронизации при различных способах возбуждения колебаний в пластинах. -Разработан метод:диагностики динамических режимов, основанный на анализе дискретных состояний динамической системы в фазовом пространстве. С помощью разработанного метода проведена диагностика смены ламинарных и турбулентных фаз колебаний решений системы уравнений Лоренца и разработан метод распознавания объектов на основе анализа акустического отклика на внешнее воздействие.
Практическая ценность. Полученные результаты расширяют и углубляют теоретические знания о нестационарных процессах в нелинейных системах и могут иметь практическое приложение в технических разработках. Результаты и выводы исследований по нелинейной динамике, диагностике и: взаимодействию: упругих тонкостенных элементов с потоком газа могут найти применение в авиа- т ракетостроении, в химическом машиностроении; исследование колебаний газа в трубах и каналах - при разработке двигателей и элементов автоматики. Метод диагностики на основе функции числа состояний динамической системы может быть применен также и в медицине при анализе биоритмов.
Достоверность. Достоверность результатов диссертации определяется тем, что они основаны на общих законах и уравнениях механики сплошных сред, а также тем, что в > расчетах тестового характера достигается і хорошее соответствие с известными экспериментальными и теоретическими данными других авторов.
На защиту выносятся следующие основные положения работы:
Численный алгоритм исследования нелинейных динамических процессов в упругих и аэроупругих системах, основанный на решении уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа явным методом Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков и на решении геометрически нелинейной системы уравнений движения тонкой упругой оболочки методом конечных разностей с использованием неявной разностной схемы второго порядка точности.
Результаты исследований нелинейных динамических режимов упругой панели и нелинейный динамический эффект при потере устойчивости упругой панели по несимметричной форме.
Результаты; численного моделирования- колебаний газа в закрытой:трубе в окрестности нелинейных резонансов
Результаты численного моделирования газодинамических процессов в закрытой трубе при неравновесных начальных условиях.
Эффект генерации высокочастотных гармоник при интенсивных колебаниях газового столба в закрытой теплоизолированной трубе. - Результаты моделирования аэроупругих колебаний в закрытом канале, в том числе процесс возникновения синфазных колебаний тонких пластин при аэроупругом взаимодействии. - Метод диагностики динамического поведения на основе анализа состояний динамической системы в дискретном фазовом пространстве.
Апробация работы., Основные результаты, полученные в диссертации, докладывались на семинарах Института механики и машиностроения; КНЦ РАН, итоговых научных конференциях КНЦ РАН и КГУ /г.Казань, 1993- 2001 г.г./,. а также на XVI Международной- конференции по теории оболочек и пластин (Н. Новгород, 1994г.), XVII Международной конференции по теории оболочек и пластин (Казань, 1996г.), I Международной конференция "Модели механики сплошной среды, вычислительные технологии и автоматизированное проектирование в авиа- и машиностроении". (Казань, 1997 г.), на VIII сессии Российского акустического общества (Н.Новгород, 1998 г.), на V и: VI Международных конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Н. Ногород, 1999г., 2002г.), на Международной конференции "Актуальные проблемы механики оболочек". (Казань, 2000г.), на III Международной-конференции по неравновесным процессам в соплах и струях. (Москва, 2000г.), на 13 и 14 Всероссийских межвузовских научно-технических конференциях "Внутрикамерные процессы в энергетических установках, струйная акустика,, диагностика, экология" (Казань, 2001г., 2002г.). Результаты исследований нелинейных колебаний в закрытой трубе при субгармоническом возбуждении вошли в Отчет о деятельности Российской Академии Наук в 2001 году [102].
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 46 работах.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав с выводами в конце каждой главы, заключения и списка, литературы. Общий объем диссертации составляет 262 страницы, диссертация содержит 91 рисунок. Список: литературы состоит из 224 наименований. В заключение сформулированы основные выводы работы..
Краткое содержание работы. Во введении приводится краткий обзор теоретических и экспериментальных работ по нелинейным колебаниям газа в закрытых трубах в окрестности резонансных частот, по нелинейной- динамике тонкостенных упругих элементов, и по нелинейному взаимодействию упругих элементов с газом. На основании обзора теоретических и экспериментальных работ раскрывается актуальность выбранного направления исследований, обосновываются рассматриваемые в диссертации проблемы и используемые методы, формулируются цели исследований, научная новизна и практическая значимость результатов. Приводится краткое изложение основных результатов, содержащихся в диссертации.
В 1.1 рассматриваются геометрически нелинейные уравнения в перемещениях, описывающие движение тонкой упругой цилиндрической оболочки, справедливые для случая малых деформаций, конечных перемещений и поворотов. В 1.2 приводится конечно- разностный метод решения динамической системы геометрически нелинейных уравнений в перемещениях для бесконечно длинной упругой оболочки. Метод имеет второй порядок точности по времени и пространству. Для аппроксимации производных используется неявная разностная схема- второго порядка точности, дифференциальные уравнения в частных производных сводятся к двум системам нелинейных алгебраических уравнений относительно касательного перемещения и прогиба, которые решаются методами итераций и прогонки. В качестве граничных условий рассматриваются условия жесткой заделки, шарнирного опирання, симметрии. Для решения задач взаимодействия упругой оболочки и панели с газом, приводится запись системы уравнений в безразмерном виде. —
В 1.3 рассматриваются методы анализа нелинейного динамического поведения, с помощью которых производится классификация периодических, квазипериодических и хаотических динамических режимов. В качестве критериев типа динамического поведения используются спектр мощности и автокорреляционная функция временного процесса, хаусдорфова размерность аттрактора в фазовом пространстве и ее нижняя граница, сечение Пуанкаре аттрактора и информация Шеннона.
В 1.4. проводятся тестовые расчеты нелинейного поведения упругой оболочки под действием динамической и статической нагрузки. Рассматривается прогиб упругой оболочки- кольца, находящегося под действием «неподвижной» ветровой нагрузки, имеющей различную интенсивность. Статические режимы достигаются методом установления. При тестировании динамических режимов моделировался прогиб оболочки, при медленном квазистатическом нагружении, после установления статического режима нагрузка: мгновенно снималась, и в оболочке возникали свободные; колебания. Полученная в результате численного моделирования частота собственных колебаний сравнивалась с частотой, найденной по известным формулам. Результаты расчетов при достижении статических режимов сопоставляются с известными результатами других авторов. Проведено исследование практической сходимости численного метода при измельчении конечно-разностной сетки.
Нелинейное динамическое поведений тонкой упругой цилиндрической панели с условиями шарнирного опирання вдоль продольных кромок, с изгибом по симметричной и по несимметричной форме, находящейся под действием равномерно распределенной периодической во времени внешней нагрузки рассматривается в 1.5, где-нроведено численное моделирование нелинейной динамики панели и на основании критериев динамического хаоса (спектр мощности, автокорреляционная функция, хаусдорфова размерность и сечение Пуанкаре аттрактора, информация Шеннона) проведено исследование регулярных и хаотических колебаний [128-135]. . При численном моделировании впервые обнаружен нелинейный динамический эффект, состоящий в том, что динамическое поведение упругой панели с изгибом по несимметричной форме при достижении амплитудой нагрузки критического значения, приводящего к потере устойчивости, определяется частотой нагружения [130-131,133-134].
Во второй главе излагается методика расчета течений вязкого сжимаемого теплопроводного газа по явной схеме Мак-Кормака второго порядка точности, отличающейся высокой экономичностью в отношении требуемых вычислительных ресурсов. В 2.1 приводится система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в случае ламинарных и турбулентных течений. В' последнем случае система уравнений замыкается алгебраической моделью вихревой турбулентной вязкости. В; 2.2 приводится система уравнений вязкого сжимаемого; теплопроводного газа в подвижной: системе координат. В 2.3 описывается решение, системы уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа в подвижной: системе координат с помощью метода Мак-Кормака (схема,предиктор-корректор) второго порядка точности, приводятся используемые аппроксимации. В 2.4 рассматривается схема расщепления по времени для явного метода Мак-Кормака второго порядка точности и построение: вычислительного алгоритма для; осесимметричного течения в трубе и для течения в канале. Алгоритм звуковой схемы коррекции потоков Лакса-Вендроффа, дополняющий схему Мак-Кормака в случае интенсивных ударных волн рассматривается в 2.5. В 2.6 решается тестовая задача о распаде разрыва вязкого сжимаемого; теплопроводного газа в плоском канале явным методом Мак-Кормака второго порядка точности. Оценивается; работоспособность схемы коррекции потоков и схемы расщепления по времени. Алгоритм решения двумерных задач аэроупругости на основе явной схемы Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков и неявной схемы метода конечных разностей для решения системы динамических геометрически нелинейных уравнений теории оболочек излагается в 2.7.
В третьей главе представлены новые результаты, полученные при решении задач о колебаниях газа в закрытой трубе при возбуждении жестким поршнем, перемещающимся по гармоническому закону. В 3.1 на основе решения системы уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в двумерной осесимметричной постановке по явной схеме Мак-Кормака второго, порядка точности, с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков моделируются колебания газового столба в закрытой трубе при возбуждении на частотах первого линейного, первого и второго нелинейных резонансов [138]. Если в известных из литературы работах численное моделирование субгармонических колебаний газа в трубах и каналах выполняется на основе одномерных уравнений идеального газа, то в данном случае применение двумерных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа позволяет учесть пристеночные потери и влияние диаметра трубы на форму колебаний в окрестности резонансов. В 3.1 впервые на основе модели вязкого сжимаемого теплопроводного газа получено решение в окрестности нелинейного резонанса п. При возбуждении на частотах первого линейного и первого нелинейного резонансов численно исследована зависимость формы волны от амплитуды колебаний поршня. При возбуждении вблизи частоты второго нелинейного резонанса при заданной амплитуде хода поршня исследована зависимость формы волны от величины расстройки по. частоте. Сопоставлены результаты численного и физического эксперимента. В 3.2 исследуются колебания газа в закрытой теплоизолированной трубе при: высокой интенсивности возбуждения, когда амплитуда хода поршня сравнима с длиной трубы (амплитуда колебаний поршня составляла 25% от длины трубы при нейтральном положении поршня) [136-137, 141—142]. В этом случае применение уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа позволило учесть связанный с диссипативными потерями рост средней температуры газа и изменение собственных частот резонатора. Из экспериментальных работ Гуляева А.И:, Кузнецова В.Н., Зарипова Р.Г., Ильгамова М;А., Садыкова А.В. известно, что интенсивные колебания газа в трубе носят турбулентный характер. Под уравнениями движения газа понимались осредненные уравнения Рейнольдса, которые замыкались алгебраической моделью вихревой > турбулентной вязкости на основе формулы Клаузера. Работоспособность модели, учитывающей турбулентные потери оценивалась путем сравнения расчетных и известных экспериментальных результатов. Расчеты проводились по; явной: схеме Мак-Кормака второго порядка точности для двумерного осесимметричного случая с расщеплением по времени, схемой коррекции потоков и алгебраической моделью вихревой турбулентной' вязкости. Возбуждение осуществлялось при фиксированных частотах колебаний поршня, совпадавших с частотой первого линейного резонанса и первого нелинейного резонанса для начальной температуры газа. В обоих случаях при проведении расчетов был обнаружен эффект возникновения высокочастотных колебаний газового столба при фиксированной частоте возбуждения, связанный, с повышением собственной: частоты системы вследствие роста средней температуры газа. Было получено, что при возбуждении колебаний на частоте первого линейного резонанса, рост средней температуры газа в 4 раза приводит к возникновению первого нелинейного резонанса coi2 , сопровождающемуся удвоением частоты и перестройкой формы колебаний. При возбуждении колебаний на частоте первого нелинейного резонанса (для начальной температуры газа) рост средней температуры в 2,25 раза приводит к генерации второго нелинейного резонанса со із с увеличением. частоты колебаний газового столба в 1,5 раза: и с соответствующей перестройкой формы волны. В 3.3. численно исследованы колебания газового столба в закрытой трубе, вызванные начальным неравновесным распределением давления [149, 157—158]. Выявлено, что переход к равновесному состоянию осуществляется за счет конвективной и термодиффузионной стадии. По окончании конвективной стадии, сопровождающейся образованием: ударных волн, наблюдается эффект выравнивания давления при неравновесных распределениях плотности и температуры газа вдоль трубы. Дальнейший переход к равновесным распределениям газодинамических функций осуществляется за счет теплопроводности.
В четвертой главе методами численного моделирования исследуются аэроупругие колебания газа в плоском закрытом канале. Движение газа описывается уравнениями Навье-Стокса для сжимаемого теплопроводного газа, которые решаются по явной схеме Мак-Кормака с расщеплением по времени и схемой коррекции потоков. Расчетная сетка имеет сгущения; вблизи, боковых стенок канала. В 4.1 рассматриваются колебания в плоском канале с упругой стенкой при возбуждении жестким поршнем на частоте первого линейного резонанса [140, 143-145]. Движение упругой стенки описывается с помощью динамических геометрически нелинейных уравнений теории тонких пластин. На границе газ- упругий элемент задаются кинематические и динамические контактные условия. На всех твердых поверхностях для скорости ставятся условия прилипания, для остальных газодинамических функций- однородные" граничные условия второго рода; В начальный момент времени задаются скорость, температура и плотность газа, перемещения и скорости упругого элемента. Полагается, что при t=0 газ и упругая часть боковой стенки неподвижны. Движение упругого элемента возникает под действием волн давления, распространяющихся в канале. Получено численное решение и исследованы спектры колебаний давления и упругого элемента при различных значениях длины упругой части стенки. Установлено, что колебания газа и упругого элемента модулируются по амплитуде и частоте: наряду с частотой возбуждения, спектры колебаний упругого элемента и газа содержат частоту, равную разности частоты возбуждения и нижней собственной частоты колебаний упругой пластины; аэроупругое взаимодействие приводит к перераспределению энергии между упругой стенкой и газом и снижает интенсивность волн давления в резонаторе. В 4.2 на основе модели вязкого сжимаемого теплопроводного газа исследуются, аэроупругие колебания в плоском: закрытом канале с жесткими стенками при возбуждении упругим элементом, находящимся под действием равномерно распределенной внешней нагрузки, изменяющейся во времени по гармоническому закону и расположенным * на торце канала [139, 143, 145-146]. В качестве упругого элемента рассматривается панель с заданной толщиной и радиусом кривизны. Движение панели описывается системой динамических геометрически нелинейных уравнений теории оболочек, подчиняющихся гипотезе Кирхгофа-Лява и справедливых для случая малых деформаций, конечных перемещений и поворотов. Система уравнений движения оболочки решается методом конечных разностей с использованием неявной разностной схемы; второго порядка, точности. Задача решается в аэроупругой постановке с заданием динамических и кинематических контактных условий. Исследуются колебания в газе, в упругом элементе и оценивается влияние взаимодействия. Особый интерес в данном случае вызывается тем, что изменяя амплитуду внешней нагрузки, можно получить периодические, квазипериодические, или хаотические режимы колебаний упругой панели. Соответственно, спектр возбуждения изначально может быть периодическим, квазипериодическим с большим количеством высших частот и; субгармоник, или апериодическим с, непрерывным участком > в низкочастотной области. Целью исследования было сопоставление спектров мощности упругого элемента и газа при различных частотах и амплитудах внешней нагрузки, приложенной к панели и задающей режим возбуждения. В результате численного моделирования были получены режимы колебаний упругого элемента и газа в случае возбуждения і резонатора при периодических колебаниях упругого элемента с малой амплитудой и при нелинейных колебаниях упругой панели по симметричной форме с охватом обоих положений равновесия. Были сопоставлены спектры мощности колебаний давления газа и прогиба упругой: панели. Установлено,, что в аэроупругой' системе колебания газа носят более сложный характер, чем вызывающие их колебания упругого элемента. Так, если колебания упругого элемента относятся: к периодическому типу, то колебания газа будут иметь квазипериодический характер с плотным линейчатым спектром в высокочастотной области и непрерывным участком в низкочастотной. Если колебания упругого элемента относятся к квазипериодическому типу, то в газе возникают апериодические колебания с большим числом высших частот и интенсивным перетеканием энергии в низкочастотную часть спектра. Перекачка энергии газового столба с частоты возбуждения в высокочастотную область связана с образованием ударных волн. Интенсивный низкочастотный участок спектра появляется из-за смещения частоты колебаний упругой панели относительно частоты колебаний газового столба, что приводит к амплитудной модуляции колебаний газодинамических функций и; к возникновению биений с разностной частотой. В 4.3, 4.4 исследуются колебания газа , возникающие в плоском канале при различных способах локального возбуждения упругих стенок. Рассматриваются особенности колебаний при осесимметричном возбуждении и; в случае возбуждения одной? стенки, когда остальные поверхности полагаются жесткими [148, 155-156]; Выявлена пространственная локализация поперечных и продольных волн, установлен характер резонансных колебаний газа в окрестности области возбуждения при различных скоростях среднего потока газа. В 4.5 рассматривался процесс синхронизации колебаний тонких упругих пластин, образующих участки стенок канала, заполненного газом [150, 154, 159]. Динамика газа описывалась системой уравнений вязкого сжимаемого теплопроводного газа, которая решалась методом Мак-Кормака второго порядка точности с расщеплением по времени. Движение каждой из стенок канала описывалось системой динамических геометрически нелинейных уравнений теории тонких пластин. На границе раздела; сред задавались кинематические и динамические контактные условия и исследовались процессы, возникающие в аэроупругой системе под действием одиночных (в общем случае несимметричных) импульсов внешнего давления, приложенных к упругим пластинам. Была выявлена возможность возникновения синхронизации колебаний пластин и установлены ее сценарии при различных параметрах начального возбуждения..
В пятой главе предлагается метод диагностики динамических процессов, основанный на исследовании дискретного множества состояний динамической системы в фазовом пространстве [151-153, 160-163]. В 5.1 на примере решения системы уравнений Лоренца, содержащего перемежающиеся ламинарные и турбулентные фазы движения, проводится диагностика смены типа динамического поведения, сопоставляются особенности диагностики при помощи информации Шеннона, информации Тсаллиса и функции числа состояний динамической системы. В 5.2 излагается модификация предлагаемого метода, служащая " для распознавания объектов на основе анализа акустического отклика на внешнее воздействие.
Метод решения системы нелинейных уравнений движения оболочки
Нелинейная динамика аэроупругих систем имеет многочисленные технические приложения и представляет собой один из важных разделов механики сплошной среды. Исследование аэроупругого взаимодействия основывается на предварительном изучении процессов, протекающих -в тонкостенных элементах ив газе. При построении математических моделей динамики взаимодействующих сред возникает необходимость учета нелинейного характера процессов, связанного с физическими и геометрическими факторами, что приводит к построению более точных и содержательных моделей, анализ- которых позволяет обнаруживать новые явления и эффекты. Развитие методов математического моделирования и вычислительной техники привели к возрастанию роли численного эксперимента. С его помощью стало возможным исследовать сложные системы, все более приближенные к реальным.
Изучение колебаний газового столба в закрытых и открытых трубах и каналах позволяет получать информацию об аналогичных процессах, протекающих в более сложных технических устройствах: в трубопроводных системах компрессоров, в камерах сгорания жидкостных и твердотопливных ракетных двигателей, в топливопо дающих каналах, в системах струйной автоматики и измерительной аппаратуры,. в системах охлаждения. Источником колебаний может быть поршень, периодический тепломассоотвод, струя газа, втекающая в открытый конец трубы, колебания стенки резонатора. При исследовании колебаний газового столба; в ограниченных объемах особый интерес представляют резонансные режимы, при. которых наблюдаются пиковые значения давления и увеличивается интенсивность тепломассообмена. Изучению нелинейных колебаний в газе посвящены монографии Зарембо Л.К. и Красильникова В.А.[49], Руденко О.В. и Солуяна СИ. [109]. Впервые разрывные колебания газа в закрытой трубе на частоте первого линейного резонанса получил Lettau Е. [206]. Возбуждение колебаний газового столба происходило за счет возвратно-поступательного движения поршня. Результаты экспериментов; в которых исследуются колебания газового столба в резонансных трубах при возбуждении жестким поршнем описаны, например, в работах: Lehmann K.D. [205], Lettau Е. [206], Saenger R1A. and Hadson G.E. [215], Гуляев А.И. и Кузнецов B;H. [43-44], Coppens F.B. and Sanders G. [ 190]; Temkin S. [219-220], Галиев Ш.У., Ильгамов M.A., Садыков А.В; [28], Gruikshank D.B: [191], Sturtevant B.B. [217], Merkli Pi, Thomann H. [210], Zaripov R.G., Ilgamov M.A.[224].
Эксперименты показали, что для описания периодических ударных волн необходимо использовать нелинейные уравнения газовой динамики. В теоретических работах нелинейные эффекты во втором приближении учитывали Betchov R. [184] и Горьков А.П. [38], Островский Л.А.[98].. Использовался -. метод малого параметра в предположении, что на равновесные параметры газа накладываются возмущения, создаваемые малыми колебаниями поршня. Были получены разрывные решения для первого линейного резонанса и приближенная формула для? амплитуды ударной волны в окрестности резонанса. В і работе [45] методом і малого параметра рассматривалась задача об і установлении вынужденных колебаний j и было . получено? условие возникновения; ударной волны. Продольные колебания; газового столба в закрытой;трубе на основании!интегрирования уравнений газовой; динамики; в координатах Эйлера исследовал; Chester W. [187-189]. Задача сводилась к решению интегро-дифференциального уравнения вблизи поршня. Решение представлялось в виде непрерывной; функции; и разрыва; который соответствовал фронту ударной волны. В окрестности линейного резонанса определялся: профиль волны давления. С помощью метода, разработанного в [187-189], Галиевым Ш.У., Ильгамовым М.А., Садыковым А.В.[28], Галиевым Ш.У. и Шихрановым А.Н. [29-30] были получены более точные решения, учитывающие поправку для амплитуды колебаний поршня. Теоретические результаты, описывающие нелинейные колебания газа вблизи собственных резонансов описаны .также в работах [191], [217], [219-220]. В работе Галиева Ш.У., Ильгамова М.А.,. Садыкова А.В. [28] впервые описаны периодические ударные волны, возникающие при частоте колебаний поршня, вдвое меньшей частоты первого линейного резонанса.
Система уравнений движения вязкого сжимаемого теплопроводного газа в подвижной системе координат
Аналитически, методом малого параметра субгармонические резонансы рассматривались также в работах [210], [199—201], [211]. Были получены разрывные решения для первого линейного и первого нелинейного резонансов и выяснилось [224], что для описания интенсивных ударных волн необходимо использовать более высокие приближения. Ограничения метода малого параметра проявились ш при моделировании колебаний газового столба в окрестности нелинейных резонансов. Таким образом, для исследования! нелинейных колебаний газа требуется применение эффективных численных методов. Численные исследования проводились, например, в работах [3-5,183], где решение одномерных уравнений идеального газа при возбуждении колебаний в закрытой трубе гармонически перемещающимся поршнем в окрестности І первого линейного резонанса определялось с помощью метода TVD второго порядка точности по времени и пространству. Полученные результаты сравнивались с результатами Гуляева А.И., Кузнецова В.Н. [43], Saenger R.A., Hudson G.E. [215], Chester W. [187-189], TemkinS. [220]. Было отмечено [3], что применение метода второго порядка точности позволяет построить более эффективную методику расчетов. В [4] на основе двумерных уравнений идеального газа, решаемых методом: TVD, рассматриваются колебания газа в объемном резонаторе. В [5] на основе г одномерной модели і идеального газа изучаются нелинейные колебания в закрытой трубе при непериодическом движении поршня. Решение также находится; с, помощью метода TVD. В рамках одномерной модели методом распада разрыва- Годунова в [19] исследуется задача о внезапном вскрытии одного из торцов удлиненной цилиндрической емкости, содержащей газ под давлением. Движение газа моделируется с помощью уравнений идеального газа.
Одним из наиболее интересных явлений, присущих нелинейной динамике, стало явление динамического хаоса в системах с детерминированными параметрами [16, 96, 181]. Во многом благодаря развитию численного эксперимента, было выявлено, что детерминированный хаос проявляется в самых разнообразных нелинейных динамических системах. Одной из наиболее ранних работ по исследованию динамического хаоса в упругих системах является, например, работа Moon F.C. [96]. Исследованию нелинейных и хаотических колебаний трубы с протекающей! жидкостью, возникающих под действием колебаний давления, посвящены работы [58, 59], [196], где рассматриваются изгибные колебания горизонтальной трубы, заполненной жидкостью, в которой распространяется гармоническая волна давления. Динамика участка трубопровода с жидкостью описывается с помощью нелинейного уравнения изгиба трубчатого стержня, находящегося под действием поперечных сил. В точках опоры рассматриваются граничные условия жесткой заделки и шарнирного опирання. В качестве начальных условий берутся нулевые перемещения и» скорости, и нулевые скорости и перемещения, полученные из решения статической задачи о прогибе под действием силы тяжести. Решение находится численно с помощью метода Галеркина. На основе анализа проекции аттрактора на плоскость перемещение-скорость в зависимости от частоты и амплитуды колебаний давления проведена классификация динамических режимов. В работах [106, 107] исследуются регулярные и хаотические режимы продольных, колебаний в прямолинейной абсолютно гибкой вязко-упругой нити, один конец которой неподвижен, а другой совершает движение по" гармоническому закону с заданной: частотой и амплитудой. Движение нити описывается линейным одномерным волновым уравнением, дополненным неравенством, ограничивающим знак усилия, и вносящим нелинейность. Уравнение решается методом конечных разностей. Динамика нити анализируется с помощью отображения; Пуанкаре. При заданной частоте нагрузки, в зависимости от начального натяжения нити и амплитуды внешней силы, выявлены квазипериодический; хаотический и субгармонический режимы движения. Регулярные и хаотические режимы колебаний в нелинейно-упругом стержне исследовались Тетеновым Е.В., Федоровым; А.В. в работе [122]. Движение стержня описывалось системой уравнений гиперболического типа при нелинейной зависимости деформации от напряжения. Система решалась методом конечных разностей по явной схеме первого порядка точности.
Нелинейные колебания газа в закрытой трубе при большой амплитуде возбуждения. Смена, типа резонанса при фиксированной частоте возбуждения
Тип динамического поведения определялся по характеру аттрактора на плоскости деформация-скорость. Регулярная и хаотическая динамика прямоугольных пластин конечных размеров с неоднородными вдоль кромок граничными условиями рассматривалась в работах -{2], [78-80]. Движение гибкой пластины описывалось нелинейными уравнениями теории гибких пластинок в смешанной форме относительно функции прогиба и функции усилий. Вдоль, кромок задавались условия шарнирного опирання, жесткой и скользящей» заделки. Система решалась численно методом: Рунге-Кутта четвертого порядка точности при заданных начальных прогибах и нулевой начальной скорости. Для моделирования диссипации в систему уравнений вводилось вязкое демпфирование. Анализ динамического поведения проводился на основании изучения спектра мощности, сечения Пуанкаре, проекции фазовых портретов на плоскость перемещение- скорость.
Взаимодействие упругих конструкций с потоками жидкости и газа необходимо учитывать в турбо- и компрессоростроении, в аэрокосмической технике, в строительстве. При определенных соотношениях параметров потока и конструкции в последней могут возникать значительные деформации, приводящие к изменению; характера обтекания и аэрогидродинамических нагрузок на упругих поверхностях. Подобная проблема возникает в задачах об обтекании деформируемых несущих поверхностей летательных аппаратов, упругих элементов проточной части воздушно-реактивных двигателей, рабочих поверхностей турбин и компрессоров, корпусов высотных сооружений, подвергающихся интенсивной ветровой нагрузке.
Решение задач взаимодействия вызывает значительные вычислительные трудности. Одной из них является проблема сопряжения решений на: движущейся поверхности контакта упругой оболочки и жидкости. Подавляющее большинство задач аэрогидроупругости невозможно решить в точной постановке, и вследствие этого широкое распространение получили приближенные методы, позволяющие: моделировать и исследовать процессы взаимодействия? Фундаментальные результаты, связанные: с исследованиями обтекания деформируемого контура, устойчивости -формы упругой поверхности, собственных и параметрических колебаний; автоколебаний системы оболочка-жидкость содержатся в трудах С.А.Алексеева [9-11], В.В.Болотина [21], А.С.Вольмира [23-26], Э.И.Григолюка [39], Э.ИХриголюка, А.Г.Горшкова [40],. М.А.Ильгамова [55-56], Е.Н.Мнева и А.К.Перцева [95], Л.И.Фына[168]..
В статье [1] изучалась задача о движении деформируемого тела в покоящейся идеальной несжимаемой жидкости. В предположении потенциальности обтекания определены сила и момент силы, действующие со стороны жидкости на тело. В работе [164] рассмотрено движение упругого плоского контура в неустановившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости. Изгиб и динамическая устойчивость, бесконечно длинной цилиндрической оболочки при безотрывном поперечном обтекании ее потоком неограниченной идеальной несжимаемой жидкости рассмотрены в работе [57]. Рассматривались случаи как малых так и больших изменений формы. В первом случае предполагалось, что перемещение оболочки по нормали мало по сравнению с ее толщиной. В связи с этим: уравнение: изгиба оболочки и уравнения, описывающие изменение поля течения в результате деформации контура,, линеаризовались. Применялась безотрывная модель обтекания.. В последнем случае контактные условия ставились на деформированной -поверхности; Задача взаимодействия: цилиндрической оболочки бесконечной длины, обладающей изгибной жесткостью и способной к большим г перемещениям, с плоским безграничным потоком идеальной жидкости при безотрывном обтекании решена в статьях [91,169]. Обтекание цилиндрических оболочек с отрывом струй на основе модели Паркинсона-Яндали исследовалось в работах [173-176]. В этих статьях в предположении малости деформаций и нерастяжимости срединной поверхности при произвольных изгибах рассмотрена плоская деформация длинной оболочки, закрепленной в точке -; торможения: потока. В работе [101] экспериментально исследовалось напряженное состояние тонкостенных упругих цилиндрических оболочек под действием мгновенного импульса давления; распределенного по направляющей оболочки несимметрично относительно ее оси. В; статьях [92, 116, 117] проводится экспериментально- теоретическое: исследование поведения; цилиндрических оболочек при действии волны давления. Приводится решение задачи о поведении замкнутой круговой цилиндрической оболочки, нагруженной боковой набегающей волной давления. Дается сравнение результатов с данными, полученными в опытах с алюминиевыми оболочками. Нагружение оболочки характеризовалось величинами давления и импульса, сообщаемого оболочке движущейся волной газа. Были построены зависимости наибольших динамических прогибов при различных комбинациях давления и импульса.
Численное моделирование колебаний газа, возбуждаемых в закрытом канале упругим поршнем
В работе [88] рассматривается взаимодействие упругой: круговой бесконечной: цилиндрической оболочки с ударной волной, фронт которой параллелен образующей: цилиндра. Течение газа описывается системой уравнений идеального газа; которая решается численно. Для описания движения оболочки применяется система динамических уравнений среднего изгиба. Исследуется дифракционная: стадия; процесса. Определены прогибы и деформации при:различных параметрах газа и оболочки. В статье [165] также решалась задача о взаимодействии цилиндрической оболочки с ударной волной. В отличие от [88] предполагается, что оболочка конечна. Для [88], [165] характерно, что в силу малых изменений формы оболочки давление и скорость газа: принимались, для недеформированной поверхности. Взаимодействие упругих конструкций со слабыми ударными волнами в акустическом приближении рассматривалось в работе [40]. В [26] изучается поведение замкнутой круговой цилиндрической оболочки при набегании на нее вдоль образующей ударной волны экспоненциального профиля и спутного высокоскоростного потока- газа повышенной плотности. Ударная волна аппроксимировалась, подвижной; волной» давления: заданного профиля. Учет влияния сверхзвукового спутного потока газа приводил к возникновению флаттерных колебаний.
При описании поведения; оболочки использовалась система геометрически нелинейных уравнений; среднего изгиба. Форма мягкой сферической оболочки в потоке газа определялась, в работе [94]. Оболочка полагалась тонкой, абсолютно гибкой, находящейся в статическом напряженно дефорированном состоянии. Учитывалось сжатие газа в полости. Определялась форма оболочки в зависимости от внутреннего давления и внешней нормальной нагрузки,, возникающей при обтекании і оболочки потоком газа. Анализ гибких мембран и струйных реактивных закрылков в плоском несжимаемом потенциальном; потоке проводился в работе [209]. Рассматривались тонкие аэродинамические поверхности типа гибкой изогнутой панели и мембраны, форма которых изменяется при обтекании и; заранее неизвестна. Расчеты проводились аналитически. Были выведены приближенные аналитические соотношения для коэффициентов подъемной силы и поперечного момента. В зависимости от геометрии поверхности и характеристик материала и- потока определялись формы устойчивого равновесия? конструкции. В работе [195] исследовалась стохастическая аэроупругая устойчивость плоской прямоугольной панели постоянной толщины в сверхзвуковом потоке. Вектор скорости невозмущенного потока лежал в плоскости панели и был направлен по нормали к шарнирно опертым передней и задней кромкам. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Прогиб конструкции как функции времени; и пространственной координаты удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных, записанному с учетом действующих в срединной плоскости случайных усилий. Было оценено влияние — на скорость флаттера конструкционного и аэродинамического; демпфирования» отношения плотностей воздуха, и материалов конструкции, механических и геометрических параметров панели. В работе [202] исследовалась аэроупругая устойчивость однородной изотропной цилиндрической оболочки эллиптического сечения в сверхзвуковом потоке: газа. Вектор скорости невозмущенного течения был направлен параллельно продольной оси оболочки. Аэродинамическое давление рассчитывалось по поршневой теории. Движение оболочки описывалось системой линейных дифференциальных уравнений с учетом конструкционного демпфирования; и поперечных составляющих сил инерции. В [31] рассматривалась задача о локальной потере устойчивости тонкостенных упругих конических оболочек (конфузоров) с внутренним потоком идеального газа. Работа [115] посвящена экспериментальному исследованию затухания колебаний! подкрепленной цилиндрической оболочки, контактирующей с жидкостью. Показано, что контактирование оболочки с, жидкостью приводит к сильному демпфирующему эффекту даже при колебаниях с амплитудами, составляющими доли толщины оболочки. В [17] исследовалась устойчивость оболочек вращения, подвергающихся воздействию внутреннего и внешнего сверхзвукового потока газа. Аэродинамическое давление рассчитывалось по квазистатической- аэродинамической теории, деформации оболочек рассчитывались с помощью метода конечных элементов.. В статье [ЮЗ] рассматривается несущая поверхность, совершающая гармонические колебания в дозвуковом потоке: идеального газа. Задача, об обтекании этой поверхности в линейной постановке приводится к интегральному уравнению, связывающему возмущенную скорость потока в заданной точке с перепадом давления на поверхности. Работа [83] посвящена исследованию нелинейного панельного флаттера. Исследуется вопрос о существовании и устойчивости малых периодических решений двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, описывающих аэроупругие колебания панели в сверхзвуковом потоке. В [212] численно исследуется аэроупругая; неустойчивость цилиндров кругового и прямоугольного сечения. Представлены результаты, математического моделирования процесса, взаимодействия колеблющегосяs цилиндра с: неустановившимся;потоком газа. Аэродинамические характеристики получены путем численного интегрирования уравнений Навье-Стокса для случая вязкого газа. Получены оценки амплитудно-частотных характеристик колебаний. В работе [218] исследованы особенности- взаимодействия колеблющихся плохо обтекаемых тел с неустановившимся потоком воздуха. Результаты получены путем численного интегрирования?уравнений состояния аэроупругой системы.
