Содержание к диссертации
Введение
1 Постановка краевых задач для упругих волноводов с поверхностными пьезокерамиче скими элементами 13
1.1 Уравнения и краевые задачи динамической теории упругости для сред с плоскопараллельными границами 13
1.2 Уравнения и краевые задачи динамической теории электроупругости 19
1.3 Постановка краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезоэлемептами 29
1.3.1 Постановка задач на основе уравнений теории упругости 29
1.3.2 Постановка задач на основе технических моделей волноводов , 31
2 Волновые поля, возбуждаемые поверхностными пьезокерамическими элементами в упругих волноводах 35
2.1 Матрица Грина упругого волновода 35
2.2 Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезокерамическими элементами к системам иптегро-дифференциальных уравнений 38
2.3 Сведение краевой задачи для системы иптегро-дифференциальных уравнений к системе уравнений Винера-Хопфа 40
2.4 Представления волновых полей, возбуждаемых полосковыми источниками 41
2.4.1 Представление волнового поля в упругом слое в виде суперпозиции нормальных мод
2.4.2 Асимптотические представления объёмных и реле-евских воли в упругом полупространстве
2.5 Энергия упругих волн, возбуждаемых полосковымн ис
точниками
2.5.1 Энергия нормальных мод
2.5.2 Энергия объёмных и релеевских воли
3 Методы решения систем интегро- дифференциальных уравнений
3.1 Схема Галёркипа
3.2 Метод бесконечных систем
3.2.1 Сведение задачи к бесконенои системе линейных алгебраических уравнений
3.2.2 Сведение бесконенои системы линейных алгебраических уравнений к асимптотически эквивалентной конечной
3.3 Оценка эффективности предложенных методов
3.3.1 Схема Галёркипа
3.3.2 Метод бесконечных систем
3.4 Сравнение численных результатов с результатами дру гих исследований
3.4.1 Упругий слой
3.4.2 Упругое полупространство
4 Взаимодействие полосковых пьезокерамических элементов с упругими волноводами
4.1 Дисперсионные свойства упругого слоя и упругого слоя с пьезокерамической плёнкой
4.2 Резонансные своііства упругого слоя с поверхностным полосковым пьезоэлементом и характер распределения поступающей в слой энергии по модам 71
4.3 Дисперсионные свойства упругого полупруостранства и упругого полупространства с пьезокерамической плёнкой. Резонансные свойства упругого полупространства с поверхностным полосковым пьезоэлементом и их связь с резонансными свойствами аналогичной системы для упругого слоя 81
Формирование направленного излучения выбранных волн в упругой среде системой полосковых пьезокерамических излучателей 87
5.1 Методы формирования направленного излучения выбранных нормальных мод упругого слоя 87
5.1.1 Максимизация амплитуд излучения заданного набора нормальных мод 87
5.1.2 Максимизация контрастности излучения 88
5.1.3 Условия полного гашения 90
5.1.4 Группа источников с одинаковым распределением базисных нагрузок 91
5.2 Направленное излучение нормальных мод группой по
верхностных пьезокерамических накладок 93
5.2.1 Построение базисной системы нагрузок 93
5.2.2 Создание направленного излучения группой поверхностных пьезокерамических источников 94
5.2.3 Приближённые формулы для создания направленного излучения 101
5.2.4 Влияние расположения и размеров ньезоисточников на эффективность направленного излучения 5.3 Формирование направленного излучения объёмных
волн в упругом полупространстве
Заключение
- Уравнения и краевые задачи динамической теории электроупругости
- Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезокерамическими элементами к системам иптегро-дифференциальных уравнений
- Сведение задачи к бесконенои системе линейных алгебраических уравнений
- Резонансные своііства упругого слоя с поверхностным полосковым пьезоэлементом и характер распределения поступающей в слой энергии по модам
Введение к работе
В настоящее время всё более широкое применение получают электромеханические системы с иьезокерамическими возбудителями упругих волн, выполненными в виде гибких поверхностных накладок или внутренних прослоек волиоводных структур. Примером здесь могут служить оболочечные конструкции аэрокосмических изделий, снабженные системой сенсоров, системы активного виброгашения в салоне автомобиля или в помещении, системы прецизионного позиционирования, работающие па упругих поверхностных волнах и др. К преимуществам использования пьезокерамических пластинок относятся их лёгкость, гибкость и относительная дешевизна, поэтому конструкции, снабженные системой распределенных пьезокерамических датчиков или вибровозбудителей, относят к смарт-структурам [82].
Множество приложений такие системы находят в задачах дефектоскопии слоистых волноводов, где требуется формировать направлепое излучение одной выбранной нормолыюй моды в заданном частотном диапазоне [8, 9, 60, 63, 90]. Они могут быть легко смонтированы на уже существующие волиоводные элементы конструкции, и в силу своей легкости и гибкости слабо меняют её механические свойства. Волны в волноводе возбуждаются при этом касательными контактными напряжениями, возникающими на поверхностях пьезоэлементов при их продольной деформации под воздействием поперечного электрического поля. Управление излучением осуществляется изменением управляющих нолей (путём изменения напряжений, подаваемых на электроды пьезоэлементов).
При разработке смарт-матсриалов и проектировании соответствующих электромеханических систем большое значение имеет создание математических моделей, адекватно описывающих протекающие в них волновые процессы. Так как поверхностные пьезокерампческие элементы
часто используются для наблюдения за состоянием тонкостенных элементов конструкции, в первую очередь были изучены низкочастотные изгибиые и продольные колебания, возбуждаемые ими в балках, пластинах и оболочках [54], [56] - [59], [61], [83], [85], [88], [89] (см. также обзоры в [54, 62, 79]). В этих моделях действие пьезоэлементов моделируется парами сосредоточенных сил, приложенных к концам областей их контакта с упругим телом (pin-force model). Величины сил вычисляются исходя из геометрических и физических свойств волновода и пьезоэлементов. В некоторых моделях учитывается также влияние частоты колебаний и инерционные эффекты в накладках [62], [71] - [73], [92].
Этот подход позволяет работать с первыми двумя фундаментальными модами (изгибпои и продольной) упругого волновода и даёт достаточно простое и физически наглядное описание происходящих в нём волновых процессов. Тем не менее, область применимости таких моделей ограничена низкочастотным диапазоном, где характерные длины волн значительно больше толщины волновода. Имеются две основные причины для такого ограничения. Во-первых, сами технические модели балок, пластин и оболочек работают только в низкочастотном диапазоне и не позволяют учесть всего набора волн, возникающих в волноводе. Отчасти этот недостаток можно преодолеть, используя для волновода полную систему уравнений теории упругости [64], [79] - [81]. Во-вторых, инженерные расчеты проводятся, как правило, путем простои суперпозиции полей, возбуждаемых каждым элементом в отдельности, без учета их взаимного влияния и распределения контактных напряжений (сосредоточенные источники), что даёт удовлетворительные результаты только на низких частотах, а во многих практически важных случаях приводит к значительным искажениям характеристик.
Для преодоления этих ограничений требуется использовать более
сложные модели как для волновода (упругий слой, полупространство,
пакет слоев и так далее), так и самих пьезоэлементов и строго учиты
вать их взаимодействие. Последнее можно достичь путём использова
ния метода конечных элементов (МКЭ). Это, однако, сопряжено с суще
ственными вычислительными затратами, и, что более важно, существен
но затрудняет получение физически ясной и наглядной картины волно
вых явлений, происходящих в системе (например, распределения энер
гии, поступающей в волновод от источников, по распространяющимся
в нём нормальным модам). Кроме того, классическая схема метода ко
нечных элементов неприменима в случае неограниченных упругих тел,
так как предполагает дискретизацию но всей пространственной обла
сти, занимаемой волноводом. Это ограничение преодолевается введением
специальных поглощающих границ, бесконечных элементов (например,
полосовых элементов, нредоженных в [74] - [76]) или использованием ги
бридных схем, сочетающих в себе копечноэлементную дискретизацию в
ограниченной области волновода с разложениями по нормальным модам
[77, 78]. ,.
В то же время имеется возможность получить с одной стороны физически наглядное описание волновых полей (как в упрощённых инженерных моделях), с другой - такую же строгую количественную информацию как при использовании МКЭ. Такую возможность даёт интегральный подход, основанный на использовании интегральных представлений волновых полей, возбуждаемых в упругом волноводе поверхностными нагрузками. Использование этих представлений совместно с условиями контакта упругого тела и пьезоэлементов и учёт специфики задачи (малая толщина пьезоэлементов в сравнении с характерными длинами волн, распространяющихся в системе) позволяет свести её к краевой задаче для системы интегро-дифференциальных уравнений относительно
неизвестных контактных напряжений под пьезоэлементами и продольных смещений их точек. После нахождения неизвестных контактных напряжений волновые поля, возбуждаемые в системе, рассчитываются при помощи интегральных представлений. Структура подынтегральных выражений в последних такова, что позволяет эффективно построить решение в виде суперпозиции воли, распространяющихся в волноводе.
Свойства интегральных уравнений, возникающих при решении контактных задач теории упругости, к настоящему времени достаточно подробно исследованы [11] - [15]. Разработаны эффективные методы их решения и накоплен богатый опыт решения конкретных практических задач [39, 40].
Таким образом, подход, основанный на использовании интегральных представлений, даст удобный инструмент для качественного и быстрого количественного анализа электромеханических систем с тонкими пьезоэлектрическими возбудителями (и сенсорами). Следует в то же время отметить, что практическая его реализация связана с использованием достаточно сложного математического аппарата, поэтому к настоящему времени имеется сравнительно небольшое число примеров его использования для решения задач контактного взаимодействия пьезоактуаторов с упругими структурами [7, 37, 55, 70, 84, 91, 87]. Во всех указанных работах в качестве модели волновода рассматривается упругое полупространство. Проблема создания моделей электромеханических систем, работающих с волноводами конечной толщины (слой, пакет слоев), основанных на реализации интегрального подхода, до последнего времени оставалась открытой.
Таким образом, возникает необходимость разработки новых математических моделей, с существенно более широким диапазоном применимости, чем у традиционных инженерных подходов. В частности, необходим
учёт высших мод упругого волновода и строгое описание динамического контактного взаимодействия с ним гибких деформируемых накладок.
Разработка отвечающей указанным требованиям модели для системы полосковых пьезоактуаторов на упругом слое или полупространстве и является главной целью настоящей работы. Вспомогательными, но представляющими самостоятельный интерес задачами являются:
формулировка и разработка эффективных методов решения возникающих при этом краевых задач динамической теории упругости;
реализация разработанных методов в виде пакетов программ для быстрого параметрического анализа характеристик моделируемых систем;
исследование применимости традиционных и разрабатываемых моделей;
исследование волновых (резонансных) эффектов, принципиально недоступных в рамках традиционных, упрощённых моделей;
построение эффективных алгоритмов выбора управляющих параметров группы пьезоэлемептов, реализующих требуемые режимы излучения.
Диссертационная работа проводилась в рамках выполнения проектов РФФИ 03-01-00520, 04-01-00801, 06-01-9GG07 и INTAS 05-1000008-7979.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, общим объёмом 12G стр., включающим в себя 02 рисунка, и 92 наименования литературных источников.
В первой главе диссертации приводятся используемые в дальнейшем вспомогательные сведения теории упругости и электроупругости, даётся постановка, краевых задач для упругого слоя и полупространства
с полосковыми поверхностными пьезоэлементами. Приводится детальное описание используемых в дальнейшем моделей ньезоэлемснтов.
Во второй главе поставленные краевые задачи сводятся к системам интегро-дифференциальиых и интегральных уравнений. Приводятся различные представления волновых полей, возбуждаемых в рассматриваемых упругих средах группой иолосковых поверхностных источников. Детально рассматриваются вопросы вычисления энергии, переносимой различными типами распространяющихся в них воли.
Третья глава посвящена разработке методов решения выведенных ранее систем интегро-дифференциальных и интегральных уравнений. Рассматриваются вопросы практической реализации этих методов и оценивается их эффективность. Проводится сопоставление с результатами, полученными другими авторами. Показывается, в частности, что построенная модель при использовании в качестве волновода упругого слом в области низких частот даёт такие же результаты, как и более простые
технические модели, использующие теорию пластин Кирхгофа,
В четвёртой главе приводятся результаты численного анализа построенных моделей для случая одной пьезокерамической накладки. Выявляется связь резонансные свойств рассматриваемых систем с их полноводными свойствами.
Пятая глава посвящена вопросам формирования направленного излучения выбранных волн в упругой среде при помощи системы иолосковых пьезокерамических излучателей. На основе предложенного в |3] подхода разрабатывается эффективный алгоритм определения параметров подаваемых на электроды накладок напряжений, обеспечивающих подавление нежелательных волн и максимизацию излучения в заданном направлении требуемых при дайной фиксированной геометрии излучателя.
На защиту выносятся:
математическая модель упругого волновода с системой поверхностных иьезокерамических накладок;
численные методы решения краевых задач о контактном взаимодействии упругих волноводов с системой поверхностных иьезокерамических накладок;
исследование резонансных свойств упругих волноводов с поверхностными пьезокерамическими накладками;
разработанный алгоритм выбора, управляющих параметров группы пьезоэлементов, реализующих заданные режимы излучения.
Основные результаты исследований, выполненных но теме диссертации, содержатся в работах [21] - [29], [33] - [36], [66| - (08), |80| и докладывались на следующих конференциях: International Workshop «Research in Mechanics of Composites 2006» (Bad Hcrrenalb, Germany, 2006), IX Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), IX международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-па-Дону, 2000), V Российская конференция с международным участием «Смешанные задачи механики деформируемого тела» (Саратов, 2005), 2-nd Conference on Mathematical Modeling of Wave Phenomena (Vaxjo, Sweden, 2005), I и III Школа-семинар «Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика» (Ростов-на-Дону, 2002 и 2004), Всероссийская научная конференция по волновой динамике машин и конструкций (Нижний Новгород, 2004), II, III и IV объединённые научные студенческие конференции факультета прикладной математики «Прикладная математика XXI века» (Краснодар, 2002, 2003 и 2004); а также па семинарах кафедры численного анализа КубГУ.
Уравнения и краевые задачи динамической теории электроупругости
Введение комплексных амплитуд удобно тем, что они описывают одновременно амплитуду и сдвиг фазы и позволяют в выкладках избавиться от временной зависимости. В дальнейшем в случае установившихся гармонических колебаний под и, сг , f?, F п т. д. понимаются комплексные амплитуды соответствующих величии. Следует подчеркнуть, что такая замена справедлива только в линейном случае; если встречаются нелинейные операции (например, при определении энергии), необходимо возвратиться к вещественной записи.
К телам с плоскопараллельными (для определённости, горизонтальными) границами относятся такие часто встречающиеся при решении конкретных практических задач тела как однородный изотропный упругий слой и полупространство. В настоящей работе они являются одними из основных объектов исследования.
Пусть координатная плоскость z = 0 совпадает с верхней поверхностью упругого слоя толщины к. Для однородной изотропной среды, в отсутствии объёмных сил, уравнения движения, в силу соотношений (1.3) и (1.4), сводятся к уравнениям Ляме
В случае неограниченных тел предположение об установившемся характере колебаний, являясь идеализацией, приводит к неоднозначной разрешимости, поэтому обычно единственность для неограниченных тел обеспечивается дополнительными условиями, сужающими класс допустимых решений. Эти условия формулируются в форме принципов излучения 2], [11] - [13]. В данной работе используется принцип предельного поглощения. В качестве решения задачи для идеально-упругой среды и берётся равномерный по всем параметрам предел решения соответствующей задачи для вязкоупругой среды (среды с поглощением) іь при стремлении вязкости к пулю: u(x) = НшиДх). Вязкость приводит к появлению в теле тормозящей объёмной силы, пропорциональной скорости смещения частиц —гдиді, что в случае гармонических колебаний даёт в уравнениях (1.14) дополнительное слагаемое ієши. Вид уравнений останется прежним, если ввести обозначение coj = и2 + ієш/р, Іпшє 0. Таким образом, решение, удовлетворющее принципу предельного поглощения, можно рассматривать как решение уравнений (1.14) для комплексной частоты и = Ш\ + iuj- , OJ- 0 при cj2 - 0.
Задача (1.9) - (1.12), как и соответствующая гармоническая, является первой краевой задачей теории упругости. Наряду с задачами этого типа рассматриваются также смешанные задачи, возникающие, например, при анализе контактного взаимодействия двух тел.
Следует отметить, что решение гармонической задачи может рассматриваться как важный этап построения решения соответствующей нестационарной задачи. В самом деле, преобразование Фурье по /. переводит нестационарную задачу (1.9) - (1.12) относительно вещественного вектора перемещений и(х, /.) с пулевыми начальными условиями в краевую задачу относительно комплексной амплитуды ii(x,w):
Представление (1.20) отражает принцип суперпозиции дли линейных систем. С другой стороны, при и — 0 уравнения (1.14) вырождаются в уравнения статики, а комплексное гармоническое решение и(х,ц;) в вещественное статическое решение. Поэтому основным объектом изучения являются динамические задачи для установившихся гармонических колебаний, включающие как частный случай задачи статики и дающие возможность получения нестационарных решений в соответствии с принципом суперпозиции (1.20).
Некоторые кристаллы отличаются тем, что при деформации создаётся пропорциональная ей электрическая поляризация (прямой пьезоэф-фект), и, наоборот, приложенное к их поверхности электрическое поле создаёт пропорциональную его напряжённости механическую деформацию (обратный пьезоэффект). Такие кристаллы называются пьезоэлек-триками; необходимое условие принадлежности кристалла к классу пье- зоэлсктриков состоит в том, что он не должен ооладать ооратной симметрией [41]. В твердых телах с сильным пьезоэлектрическим эффектом механические и диэлектрические свойства тела связаны между собой. Соотношения, описывающие связь между упругими свойствами тела [cTjj — chichi) и сго поведением в электромагнитном поле {Ет — Р,„1;1)к), где Е и D - напряженность электрического ноля и электрическая индукция, принимают вид системы совместных уравнений
Сведение краевых задач для упругих волноводов с поверхностными полосковыми пьезокерамическими элементами к системам иптегро-дифференциальных уравнений
Известно [10, 49], что частное решение неоднородного уравнения Lu — /, х Є Н.п, можно построить в виде свёртки f(x) и решения уравнения /л/о = 5{х): и(я) = /ио(ж-0/(0 /С L - дифференциальный оператор в /?„, S(x) - функция Дирака. Функция щ(х) называется фундаментальным решением или функцией Грина уравнения Lu = /. Аналогично в теории упругости вводится понятие матрицы Грина g(x), столбцами которой являются частные решения уравнений Ляме с правой частью 5(х)е/, Є/ - единичные орты, / = 1,2.3 [42]. Другими словами, элементы матрицы Грина g представляют собой компоненты вектора перемещений, вызванных сосредоточенными объёмными силами. Перемещения u = {щ,и2,щ}, вызываемые в упругой среде произвольным распределением массовых сил f{x), представимы в виде свёртки: u(x) = / g(x - ()/(() !(. к» В сформулированной раннее задаче (1.14), (1.11), (1.12), (1.18), (1.4(5), (1.48) для упругого слоя (или полупространства, если заменить условие (1.12) на (1.13)), источником, вызывающим перемещения, является поверхностная нагрузка q. Пусть k(x,y,z) - матрица, столбцами которой являются перемещения и/, вызванные сосредоточенными поверхностными нагрузками т/ = 5(x,y,z)ei, I = 1,2,3 и удовлетворяющие веем условиям поставленной задачи на границах и на бесконечности. Решение не ходной задачи представимо в виде свёртки к с q: u(x,y,z) = JJk(xiy- ;,zMU) W, (2-1) матрица к называется матрицей Грина упругого слоя. Аналогично вводится матрица. Грина упругого полупространства (и произвольного линейно-упругого вертикально-неоднородного тела). Применением к (2.1) преобразования Фурье по х, у с параметрами cvj, сь, с учётом правила преобразования свёртки, получается \J{a\,a2,z) = K(ai,a2,z)Q(o!i,tt2)} (2-2) U, К, Q - преобразования Фурье u, k, q соответственно. Из последнего соотношения следует и(а;5/у, z) = //K(ftba2)2)Q(ai,a2)c-, (ft,x-,ft2W,rfrtirM.,. (2.3)
Контуры интегрирования Гі, Г« проходят по вещественной оси, отклоняясь от неё только при обходе вещественных особенностей элементов Фурье-символа матрицы Грина К в соответствии с принципом продельного поглощения.
Известно [2, 20], что матрица Грина произвольного линейно-упругого вертикалыю-подпородного тела имеет вид К = / -i{d\M + aiN)lcr -ісца2{М - N)/a2 -щР\ -iaia2{M - N)/cr -i(ap/ + af/V)/cr -a2P —aiS/a2 aoS/a2 II t (2.4) где a = sjaj + (ц; M = Ml(a,z)/A(a), N(a,z), P = Pl((i,z)/A(n), II — Яі(а,,г)/Д(а), S = Si{a,z)/A(a) - известные функции от а и z, вид которых зависит от свойств среды. Для их построения разработаны эффективные численные алгоритмы [1. В случае однородной среды эти функции возможно получить в явном виде. Для однородного изотрош го упругого слоя со свободной от напряжений нижней границей:
Здесь ип = у/а2 - к2„ п — 1,2; /ci = w/t;p и / = w/vs - волновые числа для продольных (п = 1) и поперечных (п = 2) волн; vp,v.4 - скорости их распространения.
Под тонкоіі гибкой пьезокерамической накладкой, приклеенной к поверхности упругого волновода, возникают только сдвиговые контактные напряжения (см. уравнения и граничные условия (1.4G), (1.48)). то есть q = {//.,:, ,,0), поэтому в соотношениях (2.1) и (2.3) используется только первые два столбца ki = (к\\, к2і, кзі)1, k2 = (к\о, к», кю)1 матрицы к:
Таким образом, краевая задача (1.14), (1.11), (1.12), (1.18), (1.46), (1.48) сводится к нахождению неизвестных функциіі v.,„. и q,„. из краевой задачи для системы интегро-дифференциальных уравнений (2.9) - (2.11). При этом волновые поля, возбуждаемые в волноводе пьезоэлектрическими источниками, полностью определяются представлением (2.3) как только вычислены контактные напряжения
Сведение задачи к бесконенои системе линейных алгебраических уравнений
Для упругого волновода конечной толщины Фурье-символы элементов матрицы Грина К являются мероморфиыми функциями от а [11]. В комплексной плоскости они имеют конечное число вещественных полюсов ±(k, к = 1, ,Лгі, и бесконечный набор комлексиых: ±(д., к = N] +1,N] +2,.... С учётом этого факта применение к интегралу в формуле (2.8) леммы Жордана и теоремы Кошн [1С, 38 позволяет получить представления волновых полей, возбуждаемых вправо и влево от источников (u+ и u ) в виде суперпозиции нормальных мод упругого волновода, (здесь не рассматриваются случаи наличия двухкратных полюсов функции Kij): (2.18) М оо m-U-=l где (д. - волновые числа нормальных мод волновода (полюса Kjj), 1 , /. = irkQ Ck)e±iC "±a-\ П = restf(a)(r_a, 4(z) = К!(а,г)/Л:(а-),,.та, К {а) = Кц(а,0). Во всех соотношениях верхний знак берётся для х Q, нижний для х П.
Слагаемые с вещественными волновыми числами (f. описывают бегущие волны, уходящие на бесконечность с фазовой и групповой скоростями cVik — w/Cfe и cg,k = d(j/d(k, R то время как слагаемые с комплексными (/,; описывают экспонециальио затухающие волны. В качестве иллюстрации на рис. 1 приведены несколько первых вещественных ветвей дисперсионных кривых для однородного изотропного упругого слоя со свободными от напряжений верхней и нижней поверхностями (коэффициент Пуассона и = 0.3). Здесь ш = 2тг/к/ия - безразмерная круговая частота, / - частота в герцах, vs - скорость продольных волн в упругом слое. Все остальные безразмерные механические параметры определяются условиями h = 1 и р = 1 (/; - плотность материала слоя).
В случае упругого полупространства элементы матрицы Грина /\ ,7 имеют два вещественных (рэлеевских) полюса ±(/; и четыре точки ветвления ±к7?., п = 1,2, поэтому представления вида (2.18) не получается (помимо вычетов в полюсах получаются интегралы по разрезам). Можно, однако, показать что где /± л = irQn(TC)( ±iUxm±am), г = res/\»(v4/f, aft(z) = K\(a,z)/K(a)\a_ R; верхний и нижний знаки для каждого слагаемого берутся при х Qm и х 1тп, соответственно. Подробный вывод этого представления приводится в монографии [2].
Формула (2.19) представляет только рэлеевские волны, бегущие вправо и влево от источника, Представление для объёмных волн получается методом стационарной фазы [50, 51] в виде вклада стационарных точек в асимптотику осциллирующего интеграла (2.8): первый столбец матрицы Ко,,,: K(n,z) 2 Ё Ко,7,(а)е 7"г (см. формулы (2.6)). Поля смещений iii и іь соответству-ii-i ют Р— и S— волнам, соответственно. Для однородной изотропной среды. которая расматривается в настоящей работе, /- —волны являются продольными, а 5—волны - поперечными [2]. Это означает, что iij = ирпр. іь = щпр, n;, J- ns; п;„ п., - направления поляризации Р— и 5—воли.
Поток энергии, переносимой при установившихся гармонических колебаниях точек упругой среды через поверхность S в направлении нормали п, определяется осредпёнпым за период колебаний 2тг/о; вектором плотности энергии е = {cx,ez} (вектор Умова-Пойитипга) 2: E = JendS (2.21) где сп = е п = ——Im(u,r„), п - нормаль к поверхности S в текущей точке интегрирования; тп — Тпи - вектор напряжений в этой точке. В плоском случае (и, г) = ихт + uzr ; здесь и далее звёздочка обозначает операцию комплексного сопряжения.
Резонансные своііства упругого слоя с поверхностным полосковым пьезоэлементом и характер распределения поступающей в слой энергии по модам
Простая редукция системы (3.15) (аппроксимация конечной системой размерности N) не даст устойчивой стабилизации решения с ростом N. Существует несколько способов её регуляризации [20]. Лучше всего зарекомендовал себя метод, основанный на косвенном учёте информации об особенности напряжений на границе области контакта.
Рассмотрев статическую деформацию упругого клина с полубескоиеч-ной ньезокерамической накладкой и воспользовавшись преобразованием Меллина можно показать наличие корневой особенности напряжений q,„ на границе области контакта накладки со слоем (подробнее об этом см. в [20]), то есть
Замена бесконечного числа неизвестных s/,:, начиная с некоторого номера /V+1 их асимптотическим выражением (3.17) через конечный набор неизвестных сг приводит бесконечную систему (3.15) к асимптотически эквивалентной конечной
Вторая сумма, играет роль стабилизирующего функционала в методе регуляризации некорректных задач но Тихонову [48], поэтому решение системы (3.18) численно устойчиво (т.е. стабилизируется при больших N). Оценка эффективности предложенных методов
Для анализа эффективности развитых методов наиболее наглядным представляется сравнение между собой амплитуды продольных смещении поверхности волновода \их(х, 0) и накладки m(#). В силу условии (2.12) они должны совпадать в области Qm. Функцию wm(a;) можно вычислить, используя представление (2.15).
Нарис. 2 и 3 приведены графики функций wx(a, ,0) (сплошная линия) и 1 ,,,(. )1 (маркеры) для упругого полупространства, с одной и двумя па-кладками, полученные с. использованием схемы Галёркина. Здесь и до следующей главы во всех численных результатах из — Infl /v,, - безразмерная круговая частота, / - частота в герцах, ., - скорость продольных волн в упругой среде. Все остальные безразмерные механические параметры определяются условиями /о = Ш\ = 1 (при этом для упругого полупространства h = оо, для упругого слоя h = 1) и р = 1 (р - плотность материала упругой среды). При ия = 1 упругие свойства среды определяются коэффициентом Пуассона // = 0.3. Свойства пьезоэлементов были выбраны следующими (в безразмерной форме) hm = 1/0, l Jm — 0.866, і/,,,. = 0.3, рт = 0.997. Параметры Е )Ш, ізі,т здесь и далее берутся такими, что в (2.14) С] = 1 (другими словами, для е\ ф 1 приводятся их/1ос.\):
Видно, что метод позволяет получить решение краевой задачи для системы интегро-дифферепциальных уравнений с большой точностью как для различной ширипы накладок, так и в достаточно широком диапазоне изменения частоты. Следует в то же время отметить, что при увеличении значения параметра ші требуется увеличение размерности системы (3.2) (как показывает численный анализ, хорошим приближением является N = [fo a] + 11). При этом начиная с некоторого значения іші (приблизительно при пф 50) алгоритм начинает работать неустойчиво. Это объеняется существенным усложнением вида функций с ростом частоты, что требует все большего числа базисных функций для их аппроксимации сплайнами или полиномами (см. приведённые на рис. 2
Видно, что метод позволяет получить решение системы иптегро-дпф-ференциальных уравнении с большой точностью как для различной ширины накладок, так и в широком диапазоне изменения частоты. Эффективность данного подхода объясняется тем, что волновой характер зависимости неизвестных qm и vm от х определяется экспоненциальными составляющими e±lzJx и е±гС кХ с вещественными zmj,(i,-. С ростом частоты вид qm и vm сильно усложняется, что требует все большего числа базисных функций для их аппроксимации сплайнами или полиномами (см. приведённые па рис. 7 графики функций (7,п(ж), полученные для тех же значений параметров что и г;т(ж) па рис. 5; они наглядно пока-, зывают, с какими трудностями придётся столкнуться при попытке такой анироксимации в случае накладок большой ширины или для высокой частоты колебаний). В предлагаемой схеме эти экспоненты выделены в явном виде, и погрешность вносится только при урезании системы пли замене членов ряда (3.15) при к N. Это эквивалентно аппроксимации только неосциллируюіцих составляющих, соответствующих вкладу комплексных zmj,,(k при 1,к N, в то время как вклад первых N вещественных и комплексных нулей и полюсов с ростом частоты учитывается автоматически. При использовании асимптотики Бд. построенное решение не только правильно описывает осцилляцию по х внутри Q,„, но и поведение решения при х -» хт ± ат
