Содержание к диссертации
Введение
1. Постановка проблематики исследования 9
1.1. Подходы и методы исследования динамических контактных задач для слоистых сред 9
1.2. Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач для слоистых сред с неоднородностями 13
1.3. Цель исследования, выбор и обоснование подходов к ее решению 16
2. Динамические контактные задачи для слоистого полупространства с заглубленной полостью канонической формы, целиком расположенной в одном из слоев структуры 18
2.1. Формулировка динамических контактных задач 18
2.2. Сведение задач к интегральным уравнениям 26
2.3. Свойства операторов системы интегральных уравнений 32
2.4. Алгоритм метода последовательных приближений при решении системы интегральных уравнений контактной задачи 37
2.5. Некоторые особенности практического использования метода коллокаций при решении интегрального уравнения контактной задачи 41
2.6. Исследование сходимости алгоритма последовательных приближений 46
2.7. Основные результаты численного анализа решений задач методом последовательных приближений 49
3. Динамические контактные задачи для слоистого полупространства с произвольно расположенной полостью 61
3.1. Постановка задачи для слоистой среды с полостью в общем случае 61
3.2. Алгоритм решения контактной задачи 63
3.3. Вывод системы фундаментальных решений 64
3.4. Численный анализ решения динамической контактной задачи для слоистого полупространства с круговой полостью, полностью расположенной в одном из слоев 71
3.5. Случай полости прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев 82
3.6. Возможности использования МКЭ при расчете частотных характеристик 88
4. Динамические контактные задачи для слоистого полупространства с неровностью границы 98
4.1. Постановка задачи 99
4.2. Алгоритм решения контактной задачи 101
4.3. Сведение задачи кГИУ 103
4.4. Реализация алгоритма решения контактной задачи в плоской постановке с использованием метода МГИУ 105
4.5. Основные результаты численного эксперимента 111
Заключение 118
- Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач для слоистых сред с неоднородностями
- Свойства операторов системы интегральных уравнений
- Алгоритм решения контактной задачи
- Случай полости прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев
Введение к работе
При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) составных конструкций, деталей машин и механизмов возникает проблема контактного взаимодействия. Анализ напряжений в области контакта необходим для исследования прочностных и деформационных характеристик систем в целом.
В конструкциях различного назначения, работающих в условиях вибрации или динамических воздействий различной природы, широко используют в качестве элементов полосы (слои) относительно большой протяженности, имеющие технологические отверстия или локальные нарушения формы поверхности (включая подкрепление детали поверхностной накладкой). Эти элементы контактируют между собой посредством клеевых, сварных, паяных соединений или через промежуточные соединительные элементы. В подобных структурах наличие отверстия или неровности границы может вызвать не только концентрацию напряжений в непосредственной близости неоднородности (что является предметом многочисленных исследований), но и определить существенное изменение количественных и качественных характеристик распределения напряжений вдоль плоских границ (клеевого, паяного соединения), которое также может привести к появлению и развитию разрушений конструкции.
При задании нестационарных динамических воздействий в практике находят применение методы гармонического анализа, позволяющие свести нестационарную задачу к набору стационарных задач. Технологическое отверстие при вибрационном динамическом нагружении конструкции или детали может играть роль резонатора, локально изменяя частотные характеристики НДС структуры в его окрестности и существенно влиять на ее несущую способность и даже привести к разрушению.
В машиностроении достаточно широко применяются методики поверхностно-упрочняющей обработки деталей выглаживанием. При обработке деталей, имеющих технологические отверстия различной формы, возникают проблемы корректного выбора режима обработки. Теоретические исследования в этом направлении базируются на постановке и решении задач упругопластического контакта поверхности детали с гладилкой,
5 включающей в качестве составляющей решение задачи контакта плоской поверхности (детали с отверстием) с гладилкой в упругой постановке.
Классическая формулировка статических и динамических контактных
задач предполагает заданной закон смещения подошвы жесткого штампа и приводит к решению интегральных уравнений и систем для определения закона распределения контактных усилий. Здесь преобладают теоретические средства и методы исследования, т.к. размещение практически любых датчиков в зоне контакта неизбежно порождает искажение полей напряжения в их локальной окрестности. Достаточно большое число подходов, развитых для решения систем интегральных уравнений контактных задач, определено ограниченностью диапазонов их эффективного использования по параметрам задачи. Большой вклад в развитие теории контактного взаимодействия внесли В.М. Александров, Н.Х. Арутюнян, Б.Л. Абрамян, СМ. Айзикович, В.А. Бабешко, А.А. Баблоян, А.В. Белоконь, А.О. Ватульян, И.И. Ворович, Л.А. Галин, И.Г. Горячева, А.Г. Горшков, В.Т. Гринченко, Е.В. Глушков, И.Г. Кадомцев, Е.В. Коваленко, В.В. Калинчук, А.А. Ляпин, С.Г. Михлин, В.И. Моссаковский, СМ. Мхитарян, Б.М. Нуллер, В.З. Партон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, В.Б. Поручиков, О.Д. Пряхина, В.Л. Рвачев, В.М. Сеймов, М.Г. Селезнев, Б.И. Сметанин, А.В. Смирнова, М.А. Сумбатян А.Ф. Улитко, Ю.А. Устинов, Я.С. Уфлянд, М.И. Чебаков и мн.др [1, 3, 5-19, 46, 68 - 70, 75-82].
Многие задачи практики связаны с исследованием динамического контактного взаимодействия ограниченных тел с полуограниченными упругими областями сложного строения. Эти задачи определены в том числе проблемами сейсмостойкости и виброзащиты сооружений, расчетом уровня и характеристик воздействия на здания и сооружения техногенных колебаний, распространяющихся в грунте, сейсморазведки полезных ископаемых и др. При этом, в первом приближении, взаимодействующий с упругой средой (грунтом) объект (фундамент сооружения, подверженного динамическому воздействию, излучающая плита сейсмоисточника) часто
моделируется жестким штампом, совершающим установившиеся гармонические колебания на поверхности упругой среды [1, 3, 5-19, 75-82]. При исследовании нестационарного контактного взаимодействия можно эффективно использовать решение стационарных задач, опираясь на методы гармонического анализа [1, 55, 56, 62].
В грунтовом массиве наряду со слоистостью структуры, часто присутствуют неоднородности (нарушения структуры) как естественного (карстовые полости, более жесткие включения, сброс или выход на поверхность склона слоев верхней части разреза), так и искусственного (различные коммуникации, тоннели метрополитена, заглубленные хранилища отходов и др.) происхождения. Поэтому существенным является вопрос о степени влияния подобных неоднородностей на распределение контактных напряжений под штампом и на генерируемые в массиве с неоднородностью волновые поля. Здесь следует отметить, что наиболее изученными являются проблемы генерации колебаний жесткими массивными штампами, совершающими гармонические колебания на поверхности слоя или слоистого полупространства [1, 8, 9, 18, 19, 35, 39, 41, 76 - 78, 92] при отсутствии в них неоднородностей и распространения колебаний в среде, содержащей локализованную неоднородность (в том числе задачи дифракции упругих волн на неоднородностях) [23, 24, 31-34, 43].
Проблемы взаимодействия жестких или деформируемых массивных объектов с многослойным полупространством, содержащим полости, включения и нарушения структуры изучены весьма слабо, о чем свидетельствует чрезвычайно малое количество публикаций на эту тему.
Традиционно постановка контактной задачи в существенной мере опирается на решение задачи для аналогичной области при задании на ее границе однородных условий. Именно из этого решения, как правило, и получают интегральное уравнение контактной задачи.
При постановке и решении краевых задач, моделирующих динамику слоистых конструкций, содержащего локализованные неоднородности и нарушения структуры, возникают проблемы как принципиального, так и технического характера.
Основные публикации в этом направлении связаны с постановкой и решением задач дифракции упругих волн в однородном слое или полупространстве с полостью [23, 24, 31-34, 43, 71] и исследованием проблем возбуждения и распространения установившихся колебаний в слоистой среде с заглубленной неоднородностью [13, 59, 60, 62, 63, 65, 67, 81].
Аналитические методы решения задач дифракции упругих волн использовались только для полостей канонической формы (круговой цилиндр, сфера, эллиптический цилиндр или эллипсоид). Отдельные публикации посвящены решению задач для полостей, слабо отличающихся по форме от канонической. В последнем случае использовался метод малого параметра и решение строилось методом последовательных приближений.
При решении задач возбуждения и распространения колебаний в слое или слоистом полупространстве с полостями канонической формы использовался ряд подходов. Аналитические методы решения, в основном, связаны со случаем, когда неоднородность целиком расположена в одном из слоев структуры [59, 60, 62, 63, 67, 81]. Для полостей относительно малого размера эффективно использовались асимптотические методы, позволяющие получить приближенное решение с оценкой точности в аналитическом виде [32,59,60,62,63,81].
В случае неоднородности произвольной формы или произвольного расположения в слоистой структуре аналитические методы оказались малоэффективными. Для этих случаев развивались подходы, основанные на сведении краевых задач к системам граничных интегральных уравнений (ГИУ), решение которых проводилось численно методом граничных элементов (МГЭ) [28-31, 33-34, 56, 60, 62, 98-108]. Для отдельных случаев
8 при решении ГИУ оказалось возможным использовать асимптотические методы.
Интенсивное развитие прямых численных методов [44, 72 и мн. др.] решения краевых задач, из которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ), дало дополнительные возможности исследования напряженно-деформированного состояния сложных объектов. Однако, использование подобных подходов к моделированию процессов генерации и распространении колебаний в полуограниченных слоистых структурах с локализованными неоднородностями связано с трудностями принципиального характера, т.к. метод нацелен на исследование НДС ограниченных объектов и структур. Выделение ограниченного представительского объема из полуограниченного может существенно исказить не только количественные, но и качественные характеристики генерируемых колебаний и волн. Кроме того, МКЭ может давать большую погрешность при исследовании концентрации напряжений вблизи границ неоднородностей. По этим причинам корректнее использовать при решении подобных задач метод ГИУ.
При использовании практически всех перечисленных выше методов и подходов удавалось получить только приближенное решение задачи, что фактически исключало возможность получения на их основе интегральных уравнений контактных задач.
Таким образом, наименее изученными на настоящий момент оказались динамические контактные задачи для полуограниченных слоистых областей с неоднородностями. Распространенность подобных структур при расчете характеристик динамического НДС составных конструкций, деталей машин и механизмов определяет актуальность исследования, нацеленного на разработку и реализацию подходов к их решению.
Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач для слоистых сред с неоднородностями
Развитие метода граничных интегральных уравнений в основном связано со следующими направлениями. 1. Решение задач дифракции упругих волн на полостях или включениях в изотропном или анизотропном пространстве, полупространстве или слое. Наиболее изученным здесь является класс задач дифракции упругих волн на полостях и включениях в плоскости для изотропной среды. Общий обзор методов в прямой, непрямой и смешанной формулировках метода ГИУ можно найти, например, в монографиях [22,31,72]. В последние годы совершенствование МГИУ идет по пути поиска эффективных классических и альтернативных формулировок метода для случаев теории упругости анизотропных и неоднородных тел, электроупругости, вязкоупругости, теории пластин. В работах Ватульяна А.О., Соловьева А.Н. [28,29] предлагается подход сведения краевых задач стационарной электроупругости к системам граничных интегральных уравнений первого рода, не использующим понятие фундаментальных решений, а основанным на анализе характеристического многочлена оператора электроупругости. Исследования, проведенные в работах [30,34,60 и др], посвящены построению фундаментальных решений и анализу дифракционных задач для анизотропных сред с нестационарной и стационарной постановках. Большой интерес вызывает решение задач дифракции на трещинах в упругих средах. Вопросам построения ГИУ в неограниченных и полуограниченных телах с трещинами посвящены работы Mendes Р. А., Tadeu А. [99], Manolis G. D., Dineva P. S., Rangelov Т. V. [100,101], Aour В., Явления высокочастотной дифракции упругих волн на полостях сложной формы с учетом многократных переотражений изучались в работах Боева Н.В., Сумбатяна М.А. [23,24]. В случае неоднородных сред отсутствует аналитическое представление фундаментальных решений уравнений движения в общем случае, что требует разработки собственных схем реализации метода ГИУ. В этом случае предлагается использовать в качестве фундаментальных решений для неоднородных сред аналогичные простые решения для однородных сред.
При численном построении фундаментальных решений в пространственном случае эффективные результаты дифракции волн для неоднородного полупространства получены в работе Dineva P., Saykov V. [105]. Метод граничных элементов, основанный на разрывных решениях теории Кирхгоффа для пластин, развивается в статье Moraru Gh. [106]. Эффективные методы нестационарной дифракции волн на препятствиях в пространстве и полупространстве со сложными физико-механическими свойствами нашли отражение в работах Нестеровой Л. А., Сторожева В. И., Шкодиной Л. Н. [71], Gatmiri Behrouz, Jabbari Ehsan [107], Игумнова Л. А. [50] и др. Следует отметить также развитие метода ГИУ для решения стохастических задач, имеющих неопределенность в граничной геометрии. Метод основан на спектральном стохастическом подходе, что позволяет привести стохастическое уравнение к обыкновенному линейному матричному уравнению, решаемому известными методами. 2. Второе направление применения методов ГИУ связано с постановкой и решением геометрически обратных задач восстановления конфигурации полостей в изотропном или анизотропном пространстве, полупространстве или слое. Наиболее полное освещение проблем применения метода в этой области дано в монографии Ватульяна А.О. [31]. Отдельно следует выделить асимптотический подход, применяемый к идентификации характеристик трещин и полостей относительно малого размера в слое [32, 33], а также методы определения форм полостей при высокочастотном возбуждении среды с неоднородностями. 3. Исследование задач динамики и статики для ограниченных тел сложной формы. Данное направление применения метода граничных интегральных уравнений развивается относительно слабо, так как задачи для ограниченных тел проще исследовать методом конечных элементов (МКЭ), программные пакеты для которого широко распространены в настоящее время (Ansys, MSC-Nastran, Abacus, Adina, Cosmos, SAP-7, LS-Dyna, StarCon и др.). Вместе с тем в ряде работ предлагаются новые подходы к исследованию состояния конечных тел, сочетающие метод граничных элементов и метод квазирешений, а также гибридные методы ГИУ и МКЭ [102, 56]. В частности в работе [56] рассматриваются задачи совместного деформирования слоисто-неоднородного основания, моделируемого с применением МГЭ, и фундамента здания или сооружения, рассчитываемого с помощью МКЭ. 4. Четвертое направление связано с исследованием задач возбуждения и распространения колебаний в пакете слоев, слоистом полупространстве с локализованной неровностью границы, трещиной или локализованной заглубленной неоднородностью различной формы и расположения. Последний класс задач относится к наименее изученным, особенно в части решения задач для пакета слоев или многослойного полупространства с нарушением структуры (наличие полуслоев, сброса слоев, изменение толщины поверхностного слоя или изолированного слоя с локальным изменением толщины.
Основная сложность использования технологии граничных интегральных уравнений связана с построением системы фундаментальных решений для слоистой структуры, позволяющей эффективно строить численный алгоритм решения систем ГИУ методом ГЭ. Очень мало публикаций связано с использованием асимптотических методов при построении решения систем граничных интегральных уравнений. Публикации, связанные с решением задач возбуждения и распространения колебаний от моногармонического источника в слоистой структуре с глобальным нарушением плоской дневной поверхности (изменение толщины слоя, наличие одного или нескольких приповерхностных полуслоев, жестко сцепленных между собой и с подстилающим слоистым полупространством) практически отсутствуют. Возможности использования технологии граничных интегральных уравнений при решении контактных задач для слоистых сред с нарушением структуры или наличием локализованной неоднородности практически не исследованы. Это связано, в том числе, с тем фактом, что при наличии поверхностного полуслоя (или нескольких полуслоев) контур, вдоль которого получаем систему ГИУ, становится полубесконечным. 1.3. Цель исследования, выбор и обоснование подходов к ее решению. На основе проведенного анализа можно сформулировать цель исследования: разработать и реализовать аналитические и численные методы решения динамических контактных задач для слоистых конструкций с локализованными неоднородностями, провести анализ их эффективности на конкретных примерах слоистых конструкций и выявить основные закономерности распределения напряжений вдоль границ контакта. Для достижения сформулированной цели исследования целесообразно использовать комплекс методов и подходов, включающий аналитические и аналитико-численные (МГИУ - МГЭ), а также возможности практической реализации алгоритмов решения на современной вычислительной технике. При этом естественно использовать аналитические результаты для тестирования и контроля достоверности результатов, полученных на основе реализации разработанных численно-аналитических подходов к решению динамических контактных задач. Для этого необходимо решить следующие задачи: 1. Разработать, обосновать и реализовать методы решения динамических контактных задач для слоистых элементов конструкций с круговым отверстием, целиком расположенном в одном из слоев, с использованием аналитических методов и технологии граничных интегральных уравнений.
Свойства операторов системы интегральных уравнений
Операторы, определяющие систему (2.17), можно разделить на две категории (по их свойствам). Как уже отмечалось выше, интегральный оператор левой части уравнения (2.11) тождественен оператору интегрального уравнения контактной задачи для трехслойного полупространства в антиплоской постановке. Основные его свойства достаточно хорошо изучены [62 и др.], поэтому здесь их только констатируем. Этот оператор в общем случае является сингулярным, его подынтегральная функция может иметь конечное число полюсов на вещественной оси (при отсутствии диссипации в среде). Учет вязкости (или диссипации) в среде определяет смещение полюсов с вещественной оси комплексную плоскость. Это смещение неявно зависит от величины вязкости (коэффициента диссипации), и для большинства реальных материалов определяет достаточно малое смещение полюсов с вещественной оси. На основании теоремы Арцела можно показать, что операторы, определяющие уравнения (2.8), (2.9) вполне непрерывны в пространстве суммируемых функций, в случае, когда полость не выходит на границу слоя. Функционалы, включающие известную функцию т{ф), являются непрерывными и убывают на бесконечности. Основным моментом, определяющим возможность использования асимптотических методов или итерационных алгоритмов при построении приближенного решения системы, является выявление соотношений параметров задачи, при которых наличие полости в структуре определяет относительно малое возмущение закона распределения контактных напряжений q{x) (т.е. операторы уравнений (2.8), (2.9) (с учетом множителей типа —, —-) малы в пространстве суммируемых функций). Следует отметить, что увеличение числа слоев определяет существенный рост числа параметров, определяющих задачу.
Например, свойства операторов интегрального уравнения контактной задачи определена следующими независимыми безразмерными параметрами: - для полупространства с заглубленной круговой цилиндрической полостью при моногармонических колебаниях , —, —, —- (здесь а- радиус цилиндрической полости, h - заглубление ее центра, Л5 -длина сдвиговых волн в среде, b - полуширина штампа, х0 - расстояние от проекции центра полости на свободную поверхность до центра штампа); - при расположении полости в изолированном слое, к этим параметрам добавляется —, где Н - толщина слоя; - слой с полостью, сцепленный с однородным полупространством - —, —, —, —-,—, —— (Asl -длина сдвиговых волн в полупространстве); - добавление к структуре каждого однородного слоя определяет введение двух дополнительных безразмерных параметров При рассмотрении аналогичных задач в плоской постановке, для каждого элемента структуры добавляется еще один параметр, определяющий отношение длины продольной волны к длине поперечной. Опыт исследования задач возбуждения и распространения колебаний в слоистых структурах с неоднородностью позволяет выделить три фактора, определяющих малость влияния полости па закон распределения контактных напряжений. Первый фактор определен отношением геометрических характеристик элемента структуры, содержащего полость (толщина слоя, максимальный поперечный размер полости, минимальное расстояние от границы полости до границ слоя или полупространства) к длине волны. Второй фактор определен соотношением жесткостей (контрастностью) и толщин слоев (слоя, в котором расположена полость, и контактирующих с ним) и мало зависит от характеристик полости. При построении итерационного процесса решения систем интегральных уравнений в этом случае необходимо в структуре системы исследовать величины множителей —-, — при операторах системы и малость самих операторов. Эта проблема достаточно сложна, особенно при большом числе слоев. Третий фактор определен тем, что влияние полости с выпуклой границей (наиболее распространенный случай) на закон распределения контактных напряжений связан с приходящим к подошве фундамента полем отраженных от ее поверхности волн. Это поле, при достаточном удалении полости от поверхности и фундамента, за счет рассеивания и диссипативных потерь (в среде с диссипацией), как правило, имеет более высокий порядок малости, чем колебания, связанные с прямым полем источника. Влияние первого фактора на малость соответствующих операторов достаточно хорошо изучена в работах [Ляпина А.А., Селезнева М.Г., Бабешко В.А. и др.\ и фактически имеет место при є = «1, —»є (здесь а - максимальный поперечный размер полости, / - минимальное расстояние от границы полости до границ слоя или полупространства, в котором она расположена).
Влияние второго фактора фактически связано только с наличием малых коэффициентов при ряде операторов системы. Причем, при достаточно высокой контрастности жесткостеи эти коэффициенты могут быть настолько малыми, что обеспечат возможность построения итерационного процесса практически при любых соотношениях геометрических и физических характеристик системы. Фактически это может иметь место в случае, когда между поверхностью слоистой структуры и ее элементом (или группой элементов) содержащей полость, имеется слой, выполняющий экранирующие функции. В качестве такого слоя может быть более жесткий слой, расположенный между менее жесткими, или волноводная структура (поверхностный слой, имеющий существенно более высокую скорость распространения волн, чем нижележащий, существенно более мягкий слой). Например: полость расположена в слое или полупространстве, жесткость которого намного выше жесткостеи вышележащих слоев, с которыми он контактирует. В этом случае, при некоторых ограничениях на геометрические и физические параметры (толщины слоев, расстояние от полости до верхней границы слоя или полупространства, в котором она расположена, длина упругих волн или частота колебаний), фактически приходим к решению задачи о контакте штампа со слоем на жестком основании. Влияние полости в этом случае может определять поправки более высокого порядка малости, для нахождения которых можно строить итерационный процесс. Третий фактор определен тем, что, как правило, амплитуды колебаний, отраженных от границ полости, достаточно быстро убывают при удалении. Скорость этого убывания зависит от формы полости, ее размеров и положения в структуре. Например, очевидно, что для полости, имеющей достаточно большую протяженность в вертикальном направлении и достаточно близко расположенную к поверхности, даже при большом удаления ее от штампа, имеем высокую интенсивность отраженных от нее поверхностных волн. Вогнутая конфигурация части поверхности полости, направленная к штампу, также может порождать фокусирующий эффект отраженных волн, определяющий отсутствие (или очень слабое) убывание амплитуд. В связи с изложенным степень влияния этого фактора требует достаточно серьезной проверки. Следует отметить, что условия малости влияния полости определяется не только геометрическими (толщины слоев, размеры и положение полости) и механическими (отношение упругих параметров) характеристиками структуры, но и частотой колебаний. В частности, на резонансных частотах полости в слое или полупространстве, может происходить нарушение условия малости оператора, определенное только соотношениями геометрических и механических параметров задачи. При этом требуется дополнительное исследование, связанное с влиянием резонансных характеристик структуры на малость операторов.
Алгоритм решения контактной задачи
В результате использования подхода, разработанного в [6, 7], приводим задачу к системе ГИУ по замкнутому контуру у (Рис. 2.1). Здесь u(r0) - вектор перемещений в точке г0 = {х0,70} рассматриваемой области; п(г) - внешняя нормаль к контуру у; U (r0,r),T (r0,r) - матрицы фундаментальных решений от действия точечного источника в точке г0 для многослойной полуплоскости. В полученной системе ГИУ функция распределения контактных напряжений под штампом q(x) ( {(х) = {q(x),0}) фактически входит в интегральный оператор, определяющий представление волновых полей в слоистой структуре без полости, при заданных на ее поверхности напряжениях. Здесь следует обратить внимание, что решение полученной системы ГИУ в общем случае методом граничных элементов возможно только при заданной функции д(х). Поскольку при постановке контактной задачи эта функция неизвестна и подлежит определению, то можно использовать следующий алгоритм. Аппроксимируем закон распределения контактных напряжений отрезком функционального ряда следующей структуры здесь С, - неопределенные постоянные, pt (х) некоторые ортогональные функции или многочлены [45, 76, 84,]. Первое слагаемое правой части (3.4) точным образом учитывает особенность контактных напряжений вдоль кромки штампа. Все остальные слагаемые особенностей не имеют. Для каждого слагаемого правой части (3.4), полагая последовательно i = \,2,...,N, реализуем схему решения ГИУ методом ГЭ. Решению каждой такой задачи соответствует вектор перемещений Итоговое представление для вертикальной составляющей вектора смещения получаем в виде: Для определения неопределенных постоянных С[х), С[у) приравниваем компоненты вектора смещения поверхности среды в узлах х-,е[с- b,c + b], j = 0,1,---,N смещению соответствующих точек плоской поверхности массивного штампа с учетом уравнения его движения. Например, для самого простого случая, когда амплитуда смещений плоской поверхности жесткого штампа равна единице, получаем для определения постоянных С систему линейных алгебраических уравнений вида После этого закон распределения контактных напряжений получаем по формуле (3.4).
Для практической реализации этого подхода необходимо найти компоненты векторов 11 ,11 , т.е. построить решение систем ГИУ для исследуемой структуры с однородными граничными условиями в напряжениях. Следует отметить, что рассмотрение случая, когда границы полости загружены системами осциллирующих с частотой со усилий может быть рассмотрена по тому же алгоритму и не вызывает дополнительных принципиальных сложностей. Таким образом, решение динамической контактной задачи включает два этапа. На первом этапе строится решение краевых задач для соответствующей структуры при однородных граничных условиях (3.1), (3.2), (3.5) сводится к системе интегральных уравнений. На втором этапе строится решение системы линейных алгебраических уравнений (3.7). Здесь важным является исследование точности получаемого решения, определяемого выбором системы функций (рХх), числа точек коллокации N +1 и обусловленностью получаемой системы ЛАУ. Эти вопросы будут обсуждены ниже. На первом этапе, вывод системы ГИУ задачи с однородными граничными условиями (3.3) требует вывода матрицы фундаментальных решений для многослойной полуплоскости. 3.3. Вывод системы фундаментальных решений. Построение фундаментальных решений U (г0 , г), Т (r0, г) может быть эффективно реализовано с помощью метода полуплоскостей [64]. В основе данного построения решения для многослойной среды лежит вывод определяющих соотношений для одного слоя с заданными на его гранях векторами напряжений. Пусть в локальной системе координат для У-го слоя: (х,у):у e\0,hj), хе(-со,со) амплитудные функции перемещений при действии сосредоточенного в г0 источника имеют вид: Функции UlJ)(r0,r), удовлетворяющие уравнениям движения, согласно предлагаемому методу будем разыскивать в виде (Рис. 3.2) ик =uk +Uk + и\ (при рассмотрении полуплоскости считаем U[J X) = 0 ). Введенные трансформанты Фурье функций напряжений Х(у Л)(а) представлений (3.9), (3.10) являются неизвестными и должны быть определены из условий стыковки разнородных составляющих слоистой полуплоскости между собой. Удовлетворяя равенствам компонент векторов перемещений и напряжений при переходе через границы раздела сред в преобразованиях Фурье [91, 93], получим систему линейных алгебраических уравнений с 4и + 2 неизвестными: где Х(а) - общий вектор неизвестных напряжений для многослойной структуры.
Несложно показать, что определитель данной системы обращается в ноль в точках а - ап, соответствующих корням дисперсионного уравнения для n-слойной полуплоскости и определяющих волновые числа распространяющихся на поверхности и границах раздела слоев поверхностных волн. Рассматривая асимптотическое поведение определителя при а-»+оо, получим A(a) = aetA(aj —, что от обеспечивает численную устойчивость обращения системы уравнений при а на Г . Численная реализация данного алгоритма проиллюстрировала возможность эффективного построения на его основе фундаментальных решений для слоистой полуплоскости для достаточно большого числа слоев (устойчивые и достаточно точные результаты были получены для числа слоев равного 40). Время расчетов, необходимое для достижения требуемой точности, существенно сокращается с уменьшением числа слоев. Как правило, при решении большинства задач практики достаточно ограничиться двумя - тремя слоями. 3.4. Численный анализ решения динамической контактной задачи для слоистого полупространства с круговой полостью, целиком расположенной в одном из слоев. Проведен расчет закона распределения напряжений под штампом, а также напряжений, генерируемых колебаниями штампа или другой внешней нагрузкой на закон распределения напряжений вдоль границ раздела слоев. Численная реализация разработанного алгоритма была проведена для модели трехслойного полупространства или пакета из двух слоев с полостью в антиплоской и плоской постановках. Первый этап связан с расчетом контактных напряжений для случая полости в виде кругового цилиндра, расположенной во втором слое структуры при различном соотношении упругих характеристик слоев. Расчеты задачи в антиплоской постановке проводились для тех же структур, что были рассмотрены в п. 2. Результаты отличались в пределах погрешности расчетов, что подтверждает корректность расчетного МГИУ-МГЭ алгоритма и достоверность получаемых результатов. В силу их близости, графики здесь не приводятся (они практически тождественны представленным в п. 2.6). Расчеты контактных напряжений задач для структур аналогичной геометрии и свойств в плоской постановке (при вертикальном колебании штампа) подтверждают основные выводы, полученные на основе решения антиплоских задач.
Случай полости прямоугольной формы, пересекающей границу раздела слоев
На втором этапе проведен цикл расчетов для плоской постановки задач, полостей неканонической формы и различного их расположения в слоистой структуре. Рассмотрены полости прямоугольной формы с различным соотношением длин сторон. Получено, что, если поперечный размер полости (в направлении, перпендикулярном направлению распространения прямой волны от источника) меньше длины волны, основными факторами, влияющими на характер распределения контактных напряжений является удаление полости от штампа по вертикали и горизонтали и соотношение упругих характеристик слоев. Форма полости (при ее удалении от штампа на расстояния больше длины волн в верхнем слое) незначительно влияет на расчетные количественные и качественные характеристики распределения контактных напряжений. В качестве примера на рис. 3.21 - 3.29 приведены результаты расчета закона распределения контактных напряжений в трехслойном полупространстве с прямоугольным отверстием размера 0,5x0,5, х0=-1, расположенным на границе двух приповерхностных слоев. Максимальное влияние полости на закон распределения напряжений естественно наблюдается при ее приближении к поверхности среды и штампу, увеличении ее поперечного размера по вертикали. При изменении соотношений жесткостей слоев структуры в основном подтверждены все основные выводы о степени влияния полости на закон распределения контактных напряжений, сделанные по результатам анализа задач в антиплоской постановке в п.2. Здесь следует отметить, что при использовании алгоритма решения динамических контактных задач для слоистых структур с полостями различной формы на базе МГИУ - МГЭ, предложенный алгоритм проиллюстрировал достаточно высокую эффективность. Основным его недостатком является быстрое ухудшение обусловленности системы ЛАУ (3.7) с ростом числа узлов коллокации (необоходимом для относительно высоких частот колебаний (поперечный размер штампа существенно превышает длину поверхностных волн). Для достижения точности порядка 5% для штампов, ширина которых достигает длины волны, использовалось не более 9 точек коллокации.
Для более широких штампов точность получаемых результатов снижается. 3.6. Возможности использования МКЭ при расчете частотных характеристик Известно, что частотные характеристики смещения являются достаточно чувствительными к точности результата. По этой причине, для дополнительного контроля точности и достоверности получаемых результатов логично сопоставить частотные характеристики смещения штампа, получаемые в результате использования предлагаемого подхода, с полученными независимо другим способом. Рассмотрим возможности использования для этой цели программных средств, реализующих МКЭ. Современные программные комплексы, реализующие МКЭ имеют широкие возможности практического использования применительно к решению контактных задач в статической и динамической постановках с использованием технологии контактных элементов. В то же время возникают технические и принципиальные сложности при расчете режима установившихся моногармонических колебаний штампа на поверхности полуограниченных структур (слоя, полупространства или слоистого полупространства). Это связано с необходимостью замены неограниченности структуры по некоторым направлениям на ограниченный представительский объем. Это определяет появление «паразитных» резонансных эффектов, связанных с ограниченностью представительского объема. Причем эти режимы проявляются в низкочастотной области. Введение по периметру представительского объема демпфирующих поясов позволяют несколько снизить выраженность указанного эффекта, но не исключить его полностью. В то же время при исследовании воздействия на систему кратковременных нестационарных усилий в результате конечноэлементного моделирования можно выделить в каждой точке структуры временной интервал, в котором наблюдаются только волны, распространяющиеся от источника колебаний на периферию.
Влияние фиктивной границы представительского объема наблюдается с момента в данную точку волн, отраженных от фиктивной части границы. В связи с этим представилась целесообразной попытка использовать при решении динамических контактных задач для слоистого полупространства МКЭ для нестационарного воздействия, моделирующего 5 импульс, с последующим получением в требуемых точках частотной характеристики отклика путем применения к полученной амплитудно-временной характеристике (АВХ) преобразования Фурье по времени. При практических расчетах в качестве такой функции, аппроксимирующей S(t0), удобно использовать функцию P(t) = S+(tQ,m) [ 45, 53 ] при т«\ -Рис. 3.30. Подобный подход часто применяется при обработке результатов экспериментальных исследований после применения фильтрации АВХ по времени (вырезка) или частоте. В данном случае предложено брать расчетную АВХ, полученную из решения нестационарной задачи МКЭ, «вырезать» (отфильтровывать специальным образом временной интервал, на котором отсуствуют отраженные от фиктивной границы волны, и применять к данной выборке преобразование Фурье по времени. Для реализации описанного алгоритма рассмотрено две МКЭ модели: для однородного и трехслойного полупространства без полости и с заглубленной полостью при воздействии на поверхности импульса давления P{t), изменяющегося по закону, представленному на рис. 2.13, при т = 0.001 сек. Частотная характеристика этого импульса о при соответствующем нормировании достаточно близка к 0,5 в достаточно широком частотном диапазоне (в том числе низкочастотном) диапазоне (Рис. 3.31.). По оси абсцисс отложена частота колебаний (Гц), по оси ординат — безразмерная амплитуда.
