Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы развития умения студентов осуществлять поиск решения математических задач 17
1. Умение осуществлять поиск решения предметных задач как профессионально значимое умение будущих учителей математики 17
2. Характеристика поиска решения математической задачи 28
3. Особенности содержания задачи ого материала и требования к набору математических задач как средству развития умения студентов осуществлять поиск решения математических задач 42
Глава 2. Организация процесса развития умения осуществлять поиск решения математических задач в педвузе 55
4. Содержательные возможности модуля числа для осуществления поисковой деятельности 55
5. Набор задач с модулем как средство развития умения студентов осуществлять поиск решения математических задач 68
6. Методика использования набора задач с модулем для развития умения студентов осуществлять поиск решения математических задач 84
Глава 3. Методика проведения экспериментального исследования и анализего результатов 107
7. Методика проведения и результаты констатирующего и поискового этапов эксперимента 108
8. Формирующий эксперимент и его результаты 119
Заключение 134
Список литературы 142
Приложения 176
- Умение осуществлять поиск решения предметных задач как профессионально значимое умение будущих учителей математики
- Содержательные возможности модуля числа для осуществления поисковой деятельности
- Методика проведения и результаты констатирующего и поискового этапов эксперимента
Введение к работе
В последние годы ведётся активный поиск новых методов и форм обучения в средней и высшей педагогической школе. Это связано с социальными изменениями, происходящими в современном обществе, когда наибольшую ценность приобретает способность специалиста нетрадиционно, творчески, инициативно подходить к решению профессиональных задач, так как рутинную интеллектуальную работу может с успехом выполнить компьютер.
Совершенствованию профессиональной подготовки способствует реализация утверждающегося в отечественном образовании компетентностного подхода. Суть его — в формулировании общих целей обучения, которые должны достигаться на любом предметном содержании, в виде набора ком-петентностей и конкретизирующих их обобщённых задач, возникающих в реальном социальном пространстве. Ожидаемый результат обучения при этом — способность (умение) обучаемых решать эти задачи на основе имеющихся у них знаний и умений. Как следствие, предметные знания и умения должны приобретать контекстно-ситуативный характер.
Понятие «компетентность» непосредственно связано с выполнением определённых действий, с умением их выполнять. Поэтому важные для формирования компетентности умения нужно выделять в особую группу — так называемые профессионально значимые умения. Это учебные умения, которые формируются в процессе учебной деятельности студентов, но при особых условиях они приобретают профессиональный характер. Особый вид профессионально значимых умений — профессионально значимые предметные (математические) учебные умения (ПЗП)— умения выполнять математическую деятельность на содержании, приближенном к школьной программе, и имеющие методическую окраску.
Профессионально значимые умения имеют сложный, интегративный характер. Это проявляется в том, что, с одной стороны, они связаны со способами выполнения (осуществления) и регулирования предметной математической деятельности, т. е. являются методологическими. С другой стороны профессионально значимые умения связаны с понятием компетентности. Это понятие включает в себя, помимо деятельностных (операционных) компонентов, личностную заинтересованность в выполнении соответствующего вида деятельности. Поэтому среди характеристик ПЗП умений мы выделяем как методологические характеристики — переносимость и обобщённость, так и психологическую — личностную значимость.
В профессиональной деятельности учителя математики выделяется очень важный её вид - решение математических задач и обучение их решению, обучение поиску их решения. Поэтому мы считаем наиболее важным формирование умения осуществлять поиск решения математической задачи (ОПРМЗ), сущность которого — в выдвижении и проверке гипотез (ВиПГ). Подробному рассмотрению соответствующих вопросов посвящены §§ 1, 2 настоящего исследования.
Это умение необходимо развивать целенаправленно, что подтверждается проведённым в исследовании констатирующим экспериментом. Согласно его результатам, студенты не владеют умением выдвигать и проверять гипотезы, а, значит, осуществлять поиск решения математической задачи, в необходимой с профессиональной точки зрения мере. Вследствие этого студенты в будущей профессиональной деятельности крайне редко обращаются к задачам, способ решения которых не очевиден.
Мы считаем, что обучение студентов выполнению поиска решения должно проходить на достаточно сложных задачах элементарной математики, работа с которыми даёт возможность проведения реальной поисковой деятельности. Кроме того, такое содержание задач позволит увидеть возможность реализации соответствующих умений в будущей профессиональной деятельности. В этом случае могут быть созданы условия для формирования переносимого, обобщённого и личностно значимого профессионального умения.
При этом не любое содержание элементарной математики может использоваться с целью развития названного умения. Материал, на котором будет происходить это развитие, должен обладать определёнными свойствами — мы назвали их содержательными возможностями. Наиболее эффективно развитие умения ОПРМЗ может проходить на материале, в котором прослеживаются множественные внутрипредметные связи с другими темами, разделами, линиями школьного курса математики. Задачи, представляющие его, должны допускать вариативные решения методами, известными из школьной математики, и возможность графической или геометрической интерпретации (подробнее — в § 3).
Развитие профессионально значимых умений должно проходить на определённом этапе подготовки будущего учителя, так как необходим опыт профессиональной деятельности и возможность оценить задачу не только как элемент своей учебной деятельности, но и как элемент профессиональной деятельности. Значит, специально организованное развитие умения ОПРМЗ должно начинаться не ранее 4 курса.
Мы предлагаем использовать в качестве средства развития профессионально значимого умения набор задач. Вышеназванные содержательные возможности материала определяют структурный и содержательный состав используемого набора и должны отражаться в их формулировках.
В качестве содержания задач элементарной математики мы выбрали задачи с модулем как обладающие названными выше содержательными возможностями, а также возможностями для осуществления как учителем, так и учеником поисковой деятельности. При решении таких задач даже в случаях, когда нужно использовать только определение модуля, необходимо выделять и рассматривать частные случаи в зависимости от знака подмодульного выражения. То есть ситуация, которая создаётся появлением модуля в задаче, становится неоднозначной, и требующей разбиения задачи на подзадачи. Деятельность эта носит поисковый характер.
Заметим, что не только задачи с модулем могут представлять математический материал, обладающий указанными содержательными возможностями. Так, задачи, содержащие параметр, задачи, для решения которых необходимо использовать свойства функций, также могут быть использованы для развития умения ОПРМЗ. Внутрипредметные связи понятия модуля чётко и ясно прослеживаются, показывая, с какой стороны нужно рассмотреть указанное понятие. В использовании же параметра мы видим продолжение исследования (подробнее - в § 4).
Провести данное исследование, по нашему мнению, необходимо было ещё и по следующим причинам:
- при существующей в настоящее время организации обучения в педвузах студент-математик овладевает общими методами, разнообразными конкретными приёмами решения задач и, вообще, процедурой поиска их решения не в той мере, в какой они необходимы для характеристики будущего специалиста, как компетентного в данных вопросах;
- преподаватели математических курсов педвузов недостаточно реализуют имеющиеся возможности формирования методических взглядов будущих учителей средствами своего предмета;
— в процессе преподавания недостаточно используются задачи, при решении которых развиваются неординарность, гипотетичность мышления, инициативность, рефлексия, а также задачи, носящие исследовательский характер; отсутствует эффективная методика работы с указанными задачами, что подтверждается результатами констатирующего эксперимента;
— уровень сформированности умения осуществлять поиск решения математических задач у студентов не позволяет характеризовать это умение как обобщённое, переносимое на другой конкретный материал и личностно значимое для студента. Источниками исследования явились вскрытые противоречия:
- между наличием сформированной в методической науке системы знаний о методологических основах поиска решения задач элементарной математики и их недостаточным использованием в подготовке будущего учителя математики;
- между утверждающейся в школьной практике методологией решения математических задач с позиций деятельностного подхода (согласно которой формирование и развитие умений по работе с математическими задачами, в том числе — обучение способам рассуждений, самостоятельному открытию фактов и их обоснованию, происходит только в процессе целенаправленной учебной деятельности) и недостаточной профессиональной компетентностью будущего учителя в использовании системы соответствующих указанной методологии методов работы с математическими задачами.
В связи с изучаемыми вопросами мы рассматриваем:
- педагогическую деятельность и профессиональные умения учителя математики;
- предметную поисковую деятельность, умение осуществлять которую свидетельствует об умении осуществлять познавательную деятельность;
- предметные (математические) умения студентов по работе с задачей, в частности, умения, связанные с поиском решения задачи.
Проблема исследования состоит в определении путей и средств формирования у будущих учителей математики профессионально значимых поисковых умений как важной характеристики специалиста, компетентного в своей области деятельности.
Объектом нашего исследования является процесс обучения студентов математических факультетов педагогических вузов решению задач элементарной математики.
Предметом исследования являются задачи с модулем как средство развития умения студентов осуществлять поиск решения математических задач, их организация и методика работы с ними. Гипотеза исследования: Использование на определённом этапе профессиональной подготовки будущих учителей математики специально созданного набора задач элементарной математики, отобранных согласно конкретным требованиям, осуществляемое в соответствии с конкретными методическими положениями, будет способствовать совершенствованию профессионально значимого умения осуществлять поиск решения задач, а значит, и повышению уровня их профессиональной компетентности.
Целью работы является создание набора задач элементарной математики для развития умения будущих учителей математики осуществлять поиск решения задач и методики его использования в процессе профессиональной подготовки будущего учителя математики.
Цель исследования предполагает решение следующих задач:
1. Разработка концепции организации деятельности студентов при решении задач элементарной математики, отражающей идеи компетентностного подхода в профессиональной подготовке для последующей практической реализации.
2. Изучение уровня владения студентами приёмами работы с математической задачей, в частности, с задачей, допускающей вариативное решение.
3. Определение содержательных возможностей, которыми должен обладать конкретный предметный математический материал для развития поисковых умений студентов.
4. Формулировка требований к набору математических задач, которые будут отвечать выделенным содержательным возможностям и обеспечат его направленность на развитие у студентов профессионально значимого умения ОПРМЗ, и создание указанного набора.
5. Определение этапа в обучении студентов для осуществления целенаправленного развития умения ОПРМЗ. 6. Формулировка положений методики использования созданного набора задач в обучении студентов и их согласование со структурным составом набора.
7. Апробация разработанной методики и выводы об её эффективности. Методологическую основу исследования составляют:
- диалектика как общий метод познания, заключающийся в целостном и всестороннем рассмотрении явлений и процессов в их развитии, взаимодействии и взаимообусловленности;
- теории познания, обучения, проблемного обучения;
- деятельностный подход к обучению, теории учебной деятельности и учебных задач;
- концепция построения личностно ориентированного обучения; теория развития творческих способностей личности;
- система принципов, реализующих профессионально-педагогическую направленность предметной математической подготовки в педвузе;
- компетентностный подход к обучению студентов. В исследовании мы опирались на работы:
- Л.С. Выготского [29] , В.В. Давыдова [41,42], О.Б. Епишевой [49], С.Л. Рубинштейна [149], Н.Ф. Талызиной [171,172], Г.И. Щукиной [205] и др. -о мышлении и мыслительных операциях, их взаимосвязи и взаимообусловленности, о деятельностном подходе в обучении;
- В.В. Серикова [159], И.С. Якиманской [211-213] - о концепции построения личностно ориентированного обучения, о психолого-дидактической концепции личностно ориентированного обучения и дидактической модели личностно ориентированного образования;
- А.Г. Мордковича [1.09-111], Г.И. Саранцева [153], Н.Л. Стефановой [167,168] и др. — о гуманизации высшего педагогического образования и приоритетности методологической подготовки в системе методической подготовки; - Т.В. Габай [31], И.А. Зимней [51-53], В.А. Крутецкого [76], Н.В. Кузьминой [79,80], Н.Д. Кучугуровой [84], Л.Ф. Спирина [165], Н.Н. Тулькибае-вой, А.В. Усовой [179], Е.Н. Шиянова [201,202] и др. — о формировании личности учителя и профессиональных педагогических умений;
- В.В. Афанасьева [10], М.В. Кларина [69], М.М. Левиной [87,88], С.Д. Смирнова [161] и др. — о формировании творческих умений, в том числе и профессионально-педагогических;
- О.А. Иванова [56] — о концепции интегративности в подготовке учителей (объединение математических и методических курсов, установление связи между элементарной и вузовской математикой);
- В.А. Тестова [173] — о важности преемственности обучения математике в школе и, в дальнейшем, в вузе, об использовании математических структур как научно-методической основы построения математических курсов для будущих учителей;
- Г.А. Балла [11], Л.Л. Гуровой [40], Г.В. Дорофеева [46], О.А. Иванова [55-57], Ю.М. Колягина [70,71], В.И. Крупича [74], Г.И. Саранцева [154,155], А.Ф. Эсаулова [210] - о теории задач, построении их систем, циклов, пучков;
- A.M. Матюшкина [100] — о психолого-педагогических основах теории проблемного обучения.
Наше исследование связано с ранее проведёнными:
- о формировании творческих, поисковых, исследовательских умений студентов [7, 10, 13, 28, 43, 65, 115, 200, 206];
- о формировании профессиональных умений будущих специалистов -учителей [66, 81, 166, 175,203].
Ряд работ из приведённого списка посвящен рассмотрению значимых в профессиональном плане умений студентов. Это работы М. А. Артёмовой, Н. В. Садовникова, К. И. Ткаченко, Т. Р. Толаганова и др. В них рассматриваются различные группы умений педагога, по-разному видятся авторам и пути развития указанных умений. Но, имеется много неизученных сторон. Наиболее поверхностно обсуждаемая проблема исследована в отношении средств, с помощью которых профессионально значимые умения можно формировать. В своем исследовании мы делаем акцент именно на средствах формирования особо значимого для учителя математики ПЗП умения. Кроме того, выделяем аспект содержательных возможностей материала, на котором это умение должно формироваться и устанавливаем его связь с характеристиками профессионально значимого умения (переносимость, обобщённость, личностная значимость). Все это в ранее выполненных исследованиях не рассматривалось.
В качестве методов исследования использовались: теоретический анализ проблемы, наблюдение, изучение накопленного опыта, практическая апробация и др.
Исследование проводилось поэтапно с 1998 по 2008 год. Основной опытно-экспериментальной базой исследования являлся Елецкий государственный педагогический институт, а затем - Елецкий государственный университет им. И.А. Бунина, физико-математический факультет (далее ЕГПИ-ЕГУ).
На I этапе (1998-2001 гг.) осуществлялось теоретическое изучение проблемы, обобщался опыт работы вузов, проводился сбор и анализ фактических данных, характеризующих состояние проблемы. Проводился анализ форм и методов использования задач элементарной математики в педвузе, рассматривалось содержание задач.
В результате анализа мы пришли к выводу о том, что необходимо использовать специальные математические задачи, предполагающие поиск решения или выполнение отдельных поисковых действий, «вплетать» методические компоненты в содержание задач элементарной математики для развития умения осуществлять поиск решения математических задач.
На этом же этапе осуществлялось выделение содержательных возможностей конкретного математического материала, которые позволят проводить целенаправленную работу по развитию умения ОПРМЗ. Параллельно мы ис 12
кали предметное содержание элементарной математики, которое само по себе предполагает неоднозначность возможных направлений поиска решения соответствующих задач, проведение предметного исследования. Кроме того, специальная дополнительная работа с этим содержанием будет полезной для повышения уровня математической культуры студентов. Выбор пал на задачи с модулем. Данный этап исследования включал констатирующий эксперимент (подробнее - в § 7).
На II этапе (2001-2003 гг.) продолжалось изучение состояния проблемы в теории и практике. Мы искали форму, в которой задачи-задания будут предъявляться студентам.
Была установлена следующая форма: задача элементарной математики со специальным надстроенным вопросом, который будет побуждать студентов к использованию предметных поисковых и близких им методических умений при работе с математической задачей. Указанные задания объединялись в набор, состав которого предстояло уточнить. Были подготовлены материалы для проведения эксперимента.
Опытная работа сопровождалась проведением диагностических работ, сравнительным анализом полученного материала, то есть осуществлялся поисковый эксперимент. В ходе поискового эксперимента намечались, а затем разрабатывались основные положения методики совершенствования умения ОПРМЗ, определялся состав набора.
На III этапе (2003-2004 гг.) студентам был предложен курс по выбору, где мы на практике проверили возможность использования созданных заданий с модулем, внесли уточнения в формулировки задач, состав набора задач и определились с методикой применения данных задач для достижения цели, поставленной в исследовании.
На IV этапе (2004-2008 гг.) проводился формирующий эксперимент, осуществлялись анализ и обобщение полученных данных и описывались практические результаты (подробнее — в § 8). Полученные нами факты свидетельствуют о повышении профессиональной компетентности будущих учителей математики, что выразилось в повышении уровня развития профессионально значимого умения ОПРМЗ.
Теоретическая значимость исследования заключается в следующем:
— выделены характеристики одного из ключевых профессионально значимых предметных умений учителя математики — умения осуществлять поиск решения неалгоритмических предметных (математических) задач, в частности — умения выдвигать и проверять гипотезы в ходе решения задачи: обобщённость, переносимость и личностная значимость;
— определены необходимые характеристики предметных математических задач (содержательные возможности математического материала, который представляют задачи), использование которых в обучении студентов будет способствовать развитию профессионально значимого умения осуществлять поиск решения неалгоритмических предметных (математических) задач;
— обоснована целесообразность использования в обучении набора математических задач в качестве средства развития указанного профессионально значимого умения будущего учителя математики и разработана модель сюжетно-блочной структуры набора математических задач.
Научная новизна исследования определяется тем, что:
— выделены общие содержательные возможности математического материала, которые способствуют развитию поисковых умений студентов -будущих учителей математики и основывающиеся на них требования к набору математических задач как средству развития у будущих учителей математики умения ОПРМЗ;
— обоснована целесообразность выделения определённого этапа профессиональной подготовки и создания методики развития профессионально значимого умения ОПРМЗ на этом этапе с учётом содержательных возможностей математического материала. Практическая значимость исследования определяется тем, что:
- сконструирован набор задач с модулем для развития профессионально значимого умения студентов ОПРМЗ, согласно принципам построения которого, можно создавать наборы задач, представляющих другой математический материал;
— разработан и реализован курс по выбору на основе предлагаемого набора задач.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Ключевое профессионально значимое предметное умение будущего учителя математики в современных условиях - интегративное умение ОПРМЗ - наиболее эффективно развивается в процессе обучения решению задач элементарной математики определённого вида на завершающем этапе обучения в вузе.
2. Чтобы задачи набора способствовали развитию поисковых умений студентов, конкретный математический материал, на котором они строятся, должен обладать определёнными содержательными возможностями, а именно: множественностью внутрипредметных связей, вариативностью способов решения методами, известными школьникам, и возможностью разных форм интерпретации условия (в частности, геометрической или графической). Выделенными содержательными возможностями обладает учебный материал, раскрывающий понятие модуля.
3. Содержательные возможности математического материала определяют требования, согласно которым нужно отбирать задачи, используемые с целью развития умения ОПРМЗ (ВиПГ).
Требования к набору задач делятся на четыре группы.
Требование к учебной цели решения задач, в соответствии с которой набор задач структурируется в три блока, что отражает специфику поисковой деятельности: • задачи, направленные на актуализацию знаний конкретной предметной области школьной математики, задачи с прямым указанием, какими сведениями из теории нужно воспользоваться для их решения;
• задачи на осуществление поисковых действий (два блока, в одном — задачи с прямым указанием, каким поисковым действием нужно воспользоваться для выполнения требования, в другом — задачи, для решения которых выбор поискового действия осуществляется самостоятельно).
Требования к содержанию, на котором должны строиться задачи. Согласно им:
• должен быть материал, изучаемый в разных темах школьного курса математики;
• должны присутствовать или конструироваться по ходу такие математические объекты как уравнения, неравенства, формулы для аналитического задания функций и т. п.
Требования к формулировкам:
• в формулировке прямо или косвенно должно присутствовать требование о пояснении (обосновании) выбранного способа решения и действий, совершаемых по ходу решения (и поисковых действий, и действий при реализации плана решения), и т. д.;
• в формулировках некоторых задач должно быть указание на необходимость проведения методической работы с задачным сюжетом. Требования к методическому потенциалу (потенциальная возможность, заложенная в задаче, позволяющая использовать её с определённой методической целью), согласно которым задачи набора должны быть таковы, чтобы в ходе работы с ними:
• можно было выделить ведущую роль конкретного поискового действия и особенностей его использования для выдвижения гипотез и соотнесения гипотез с результатами анализа условия, • была возможность особо выделить и обсудить как различные варианты использования одних математических фактов и базирующихся на них, или, наоборот, приводящих к ним приёмов предметных действий, так и существующие внутрипредметные связи изучаемого материала, выявить особенности проявления последних,
• была возможность показать и обсудить решение несколькими способами, в том числе известными из высшей и элементарной математики, с преимуществом последних (ввиду их использования в школе).
4. Содержательные возможности математического материала оказывают влияние на основные направления методики работы по развитию умения ОПРМЗ. Они подразумевают:
• постепенность, поэтапность работы с увеличением доли самостоятельности студентов,
• разнообразие, вариативность, динамичность форм, приёмов и направлений работы с задачами набора.
Обоснованность и достоверность результатов и выводов проведённого исследования обеспечиваются методологической и теоретической обоснованностью исходных положений исследования, опорой на теоретические разработки в области психологии, педагогики, методики обучения математике, совокупностью разнообразных методов исследования (теоретических и экспериментальных); использованием статистических методов, количественной и качественной обработкой экспериментальных материалов, адекватных поставленным задачам.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы (216 наименований) и приложений.
Умение осуществлять поиск решения предметных задач как профессионально значимое умение будущих учителей математики
В данном параграфе мы раскроем значение и обоснуем необходимость выделения особой группы умений будущих специалистов — профессионально значимых; обоснуем выделение умения осуществлять поиск решения математических задач в качестве ключевого профессионально значимого умения будущего учителя математики и актуальность его развития. Профессиональной деятельностью учителя математики является педагогическая деятельность. Суть этой деятельности состоит в обучении и воспитании учащихся.
В своём исследовании мы, вслед за Т.В. Габай, понимаем профессиональную педагогическую деятельность как деятельность по преднамеренному созданию условий для становления личности, предполагающую собственную активность воспитываемого и обучаемого лица [31].
Выполнение любого вида деятельности, в том числе и профессиональной педагогической, предполагает наличие соответствующих ей умений.
В процессе обучения в вузе у будущего учителя (в том числе и учителя математики), формируются разнообразные умения: учебные, организационные, специальные (предметные), педагогические и др. Специфика будущей профессиональной деятельности учителя такова, что практически все они являются профессиональными, то есть, необходимы для качественного выполнения профессиональной деятельности. Профессиональные умения учителя математики (точнее сказать, профессионально-педагогические; уточнение «учителя математики» позволяет нам не повторять педагогические) — это степень овладения совокупностями различных действий, соотносящихся с функциями педагогической деятельности, которая выявляет индивидуально-психологические особенности учителя и свидетельствует о его предметно-профессиональной компетентности в выполнении учебно-воспитательной деятельности (И. А. Зимняя, [52], с. 356). Профессиональные умения - это и умения, не связанные с предметом. Они могут относиться к различным аспектам педагогической деятельности — методологическому, методическому и предметному. Тогда соответствующие этим компонентам умения:
- предметные связаны с осуществлением собственно математической деятельности, в том числе на содержании школьной программы;
- методологические связаны со способами осуществления и регулирования предметной деятельности; - методические связаны с обучением математической деятельности, обучением конкретному содержанию.
Заметим, что отнесение умения строго к одному виду нецелесообразно, потому что все профессиональные умения, связанные с конкретным предметом (математикой), можно считать интегративными. Особенно тесная связь прослеживается между предметными и методологическими умениями, что хорошо видно даже из характеристики этих умений. Все предметные умения являются методологическими. Например, умение работать с определениями математических понятий в основе своей имеет надпредметное умение работать с определениями понятий вообще (из различных конкретных предметных областей).
Как результат вузовского обучения, выпускник выносит багаж знаний и умений. Значит, большинство профессиональных умений должны быть на определённом уровне сформированы в вузовском обучении. Нельзя давать безапелляционную оценку значимости одних умений в ущерб другим. Но можно выделить наиболее важные (с точки зрения выполнения общих математических видов деятельности) умения будущего учителя математики.
Поскольку профессиональная педагогическая деятельность учителя математики предполагает, прежде всего, обучение учащихся математике как определенной предметной образовательной области, особое значение для будущего учителя математики имеют предметные (математические) умения, особенно если они формируются на содержании, близком к школьной математике.
Умения, которые являются базой осуществления профессиональной деятельности, мы обозначаем как профессионально значимые умения. Профессионально значимые умения — это учебные умения, формирующиеся в процессе учебной деятельности студентов, но при особых условиях они приобретают профессиональный характер. Особый вид профессионально значимых умений — профессионально значимые предметные (математические) учебные умения — умения выполнять математическую деятельность на содержании, приближенном к школьной программе, и имеющие методическую окраску, то есть умения, владение которыми важно учителю как для самостоятельного выполнения предметной деятельности, так и для того, чтобы научить других выполнять эту деятельность (рис. 1).
Содержательные возможности модуля числа для осуществления поисковой деятельности
Одним из основных вопросов в совершенствовании организации поисковой деятельности при решении математических задач является вопрос о том, какой конкретный математический материал использовать. Решение этого вопроса и предлагается в параграфе.
Чтобы способствовать развитию умения ОПРМЗ, выбранный материал должен обладать выделенными в предыдущем параграфе содержательными возможностями (с. 45-46). Учитывая тот факт, что чаще:
поиск решения задачи иллюстрируется на геометрическом материале, но абсолютное большинство задач, решаемых в школе, выносимых на выпускные и вступительные экзамены, а также встречающихся в текстах контрольных измерительных материалов — это задачи алгебраические или задачи из начал анализа,
обучение выполнению поиска решения математических задач проводится на примере сюжетных задач, когда необходим анализ данных с целью моделирования ситуации — создания соответствующей модели), но поиск решения не менее актуален и при работе с задачами, в которых модель уже предложена, мы выбираем алгебраические задачи, решение которых не предполагает построение модели.
Подбирая конкретный математический материал, мы учитывали как объективные, так и субъективные факторы (опыт преподавательской работы исследователя, результаты анализа вступительных экзаменов в вузы, единого государственного экзамена и др.). Мы выбрали в качестве содержания задач алгебраический материал, связанный с понятием модуля действительного числа. Этот материал для студентов не нов, однако в ШКМ он не изучается всесторонне и глубоко. Это только одна из причин, объясняющая факт, состоящий в том, что поиск решения алгебраических задач, связанных с модулем, представляет проблему.
Для того, чтобы обосновать выбор указанного математического материала в качестве содержания задач, целесообразно взглянуть на него с точки зрения:
- науки математики;
- содержания школьной математики, которая является полем действия для будущих учителей;
- особенностей поиска решения задач, содержащих модуль; - усвоения этого материала учениками и студентами;
- содержательных возможностей материала, связанного с понятием модуля. Итак, остановимся на значении понятия модуля в математике. Действительные числа используются для количественной характеристики
величин (длина, площадь, объём, масса и т. д.). При этом описание ряда величин требует привлечения как положительных, так и отрицательных чисел. Это величины, у которых есть начало отсчёта и «отклонение» в противоположных направлениях (например, колебание маятника — в физике; прибыль и затраты — в экономике). На практике нас, как правило, интересует значение этого «отклонения» от начала отсчёта с точностью до знака. Математической моделью этих значений и является модуль действительного числа.
Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий — понятие предела (последовательности, функции) - в своём определении опирается на понятие модуля (используются неравенства \/(х)-а\ є = -є /(х)-а є,є 0). теории приближённых вычислений первым, важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности приближённого значения числа, которое также определяется через модуль числа. В механике основным, первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его модуль [32, 33, 37, 78].
Все перечисленные понятия, в том числе и само понятие модуля числа, изучаются в школе. Следовательно, это понятие является обязательным предметом рассмотрения и в вузовском обучении на занятиях по элементарной математике.
В связи с тем, что понятие модуля используется в различных областях математики (и не только), в процессе обучения применяются различные его интерпретации. Например, решение уравнения вида x-a = e может быть осуществлено с использованием определения модуля, схем эквивалентности (равносильной замены, с. 66), основанных на его определении и свойствах, с использованием графической интерпретации.
Решение задач с модулем предполагает выделение частных случаев, на которые распадается выполнение задания и которые являются ориентиром при проведении поиска решения задач, при определении условий, влияющих на результат поисковой деятельности. Выделение частных случаев — основа для выделения подзадач.
Методика проведения и результаты констатирующего и поискового этапов эксперимента
Констатирующий эксперимент проводился с целью выявления уровня развития у студентов предметных математических умений, связанных с поиском решения задачи, и выбора математического материала, на котором будет проходить специальное обучение осуществлению поиска решения математических задач. Уровень развития у студентов предметных математических умений должен был выражаться в успешном поиске и собственно решении ими соответствующих математических задач.
Данный эксперимент проводился также для определения направлений последующего воздействия на ход развития предметных поисковых, а, следовательно, профессионально значимых умений будущего учителя математики.
Эксперимент заключался:
- в наблюдении за абитуриентами на письменных и устных вступительных экзаменах с последующим анализом их письменных работ и устных ответов. При этом мы обращали внимание на выбор способа решения задач, особенно в той части работ, где использовались знания о модуле, где было наличие параметра, где целесообразнее был графический способ решения и т.д.;
- в наблюдении за студентами 1-3 курсов физико-математического факультета на занятиях по дисциплине «Элементарная математика с практикумом по решению задач»; за студентами 4-5 курсов на занятиях по теории и методике обучения математике, на занятиях по факультативным дисциплинам и дисциплинам специализации. Особое внимание мы обращали на материал, связанный с модулем, на решение уравнений и неравенств с параметром, на рассмотрение функциональных методов решения уравнений и неравенств, на процесс поиска студентами решения математических задач;
— в проведении бесед с преподавателями математических и методическихдисциплин ЕГПИ-ЕГУ им. И. А. Бунина, учителями математики, работающими в школах г. Ельца;
- в проведении диагностической контрольной работы на 2 курсе физико математического факультета ЕГПИ-ЕГУ им. И. А. Бунина, с применением в обучении дополнительных материалов (задач, содержащих модуль). Наблюдение показало, что уровень знаний, связанных с понятием модуля,
у абитуриентов и студентов физико-математического факультета можно характеризовать лишь как удовлетворительный. Это утверждение обосновано следующими фактами: 1) при решении, например, уравнений и неравенств, содержащих модуль, используется только метод интервалов и один из частных (не всегда применимых с точки зрения равносильности выполняемых преобразований) методов - возведение в квадрат обеих частей (не учитывается даже знак выражения без модуля); 2) раскрытие знака модуля по определению зачастую осуществляется неверно — вместо точек, при переходе через которые выражение, стоящее под знаком модуля, меняет знак, чаще берётся точка ноль и т. д.
Эти факты говорят и о низком уровне развития поисковых умений, так как студенты:
1) применяют только метод интервалов при решении уравнений и неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, хотя в большинствеслучаев можно найти более простое решение; например, можно найти более простой способ решения уравнения 7х+3-2-7х = 5, нежели метод интервалов — это переход к системе и, соответственно, ее решение;
2) необоснованно применяют способы решения, реализация которых ведёт к потере равносильности; например, уравнение /(х) = g(x) студенты необоснованно заменяют уравнением f2 (х) = g2 (х);
3) неверно выделяют частные случаи, допускают ошибки при их дальнейшем
Диагностическая контрольная работа проводилась при изучении дисциплины «Элементарная математика с практикумом по решению задач» в два этапа: в начале четвёртого семестра — до изучения соответствующей теории, и в конце четвёртого семестра после её изучения.
Условия проведения диагностической контрольной работы: испытуемые получали бланки с заданиями, которые выполняли в письменной форме. Время выполнения ограничивалось двумя учебными часами (90 минут).
Содержание заданий и процедура проведения диагностической контрольной работы: работа испытуемых заключалась в самостоятельном выполнении ими девяти заданий (приложение 3). Ответы представлялись в письменной форме.
Кроме того, мы просили студентов при выполнении каждого задания по возможности объяснять, как именно они производили поиск и почему выбрали определённый способ решения. Тем самым мы хотели выявить уровень развития компонентов методического умения, соответствующего умению ОПРМЗ. Цели проведения диагностической контрольной работы
Одной из целей проведения контрольной работы-теста на 2 курсе физико-математического факультета являлось подтверждение обоснованности выбора конкретного учебного материала в качестве практической реализации проведённого исследования. Выявлялись знания студентов о модуле, его свойствах и специфике решения уравнений и неравенств, содержащих модуль.
Мы также хотели получить информацию о выполнении студентами поиска решения математической задачи в условиях отсутствия специально организованной работы по развитию компонентов этой деятельности.
Анализ литературы, наблюдения и диагностическая контрольная работа позволили сделать выводы о том, что:
- знания и способность студентов использовать теоретический материал, связанный с модулем, в работе над задачами элементарной математики можно оценить как удовлетворительные, что выражается в соответствующем качестве решения задач;
- умения, связанные с поиском решения математических задач, с выдвижением и проверкой гипотез, у студентов — будущих учителей математики развиты на недостаточном уровне.
Эти выводы получены нами после анализа работ испытуемых. Так, актуализация теоретических фактов после наводящих вопросов преподавателя не была гарантом успешного выполнения задания. Если же актуализация необходимой теории проводилась студентами самостоятельно, то разнообразия способов решения задач практически не наблюдалось.
Заметим, что достаточным, в силу специфики будущей профессиональной деятельности, мы считаем такой уровень развития названных умений, при котором студенты могут найти и, если необходимо, и выбрать из найденных, способ решения конкретной предметной математической задачи.
Итогом первого этапа экспериментального исследования стал вывод о необходимости специальной работы по обучению студентов основам поиска решения математических задач, то есть действиям по выдвижению и проверке гипотез.
