Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СОСТАВЛЕНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ.. 12
1.1. Понятие «задача» в психолого-педагогических исследованиях 12
1.3. Профессиональная педагогическая деятельность, педагогические задачи и педагогические умения 32
1.3. Деятельность учителя математики, методические задачи и методические умения 48
1.4. Методические задачи как средство обучения и требования к ним 66
ВЫВОДЫ ИЗ ПЕРВОЙ ГЛАВЫ 86
ГЛАВА 2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВА ПРЕДМЕТНО-МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ МАТЕМАТИКИ 88
2.1. Конструирование методических задач 88
2.1.1. Методические умения, формируемые с помощью методических задач 88
2.1.2. Уровни сложности методических задач 112
2.1.3. Методические задачи для подготовки к овладению методическими умениями и методика работы над ними 124
2.2. Педагогический эксперимент и его результаты 150
ВЫВОДЫ ИЗ ВТОРОЙ ГЛАВЫ 172
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 174
ЛИТЕРАТУРА 179
- Понятие «задача» в психолого-педагогических исследованиях
- Конструирование методических задач
- Педагогический эксперимент и его результаты
Введение к работе
Актуальность проблемы. Современный этап развития образования характеризуется активным внедрением инновационных процессов, связанных, в первую очередь, с гуманизацией образования. Успех этих преобразований зависит от подготовленности педагогов к профессиональной деятельности. Современный учитель должен уметь прогнозировать, проектировать и осуществлять учебный процесс в условиях вариативного образования, применять новые методики, технологии обучения. Решающую роль в профессиональном становлении учителя математики играет профессиональная подготовка в педвузе, которая включает общекультурную, психолого-педагогическую, методическую, предметную составляющие.
Современные тенденции в образовании определяют направления совершенствования ' профессиональной подготовки будущих учителей математики в педвузе. В работах А.В.Абрамова, Ф.С.Авдеева, Т.К. Авдеевой, С.Н. Дорофеева, И.В. Дробышевой, О.Б. Епишевой, Л.П. Латышевой, Г.Л. Луканкина, Е.И. Лященко, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, И.А. Новик, Г.И. Саранцева, В.Д. Селютина, Н.Л Стефановой, А.А. Столяра, Л.М. Фридмана, М.И. Шабунина, В.Д. Шадрикова, Л.В. Шкериной, З.И. Янсуфиной и др. представлены эти направления. Одним из основных направлений является профессионально-педагогическая направленность обучения (Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, М.И. Шабунин и др.), осуществление которого предполагает, в частности, проведение сквозной методической подготовки студентов в процессе изучения математических дисциплин.
Совершенствование профессиональной подготовки будущих учителей математики в педвузе предполагает обновление методических материалов. В практике педвузов накоплен опыт использования педагогических и, в частности, методических задач для профессиональной подготовки будущих учителей математики. Отмечается их эффективность в работе по усвоению знаний и умений, необходимых учителю. В ходе решения педагогических
5 задач актуализируются связи между теоретическими знаниями изучаемых курсов и их назначением в практической педагогической деятельности. Решение педагогических задач дает студенту возможность примерить на себя роль учителя в воображаемой профессиональной деятельности, что помогает ему раскрывать и развивать свои личностные и профессиональные качества. Обсуждение решений педагогических задач способно вызвать непринужденную дискуссию, в которой студенты проявляют живой интерес к обсуждению проблем профессиональной педагогической деятельности.
При подготовке будущих учителей математики используются лабораторные и практические работы по теории и методике обучения математике (ТИМОМ), практикумы по ТИМОМ (И.В. Дробышева, Е.И. Лященко, И.А. Новик, Г.И. Саранцев, В.И. Мишин, Е.Ф. Фефилова и др.). Представленные в этих сборниках задания, по сути, представляют собой методические задачи, но термин «методическая задача» по отношению к ним широко не употребляется. Вместе с этим имеются сборники методических задач для подготовки учителей других предметов (например, сборник методических задач по русскому языку, авторы Е.И. Василенко, В.В. Добровольская; сборник методических задач для подготовки учителя начальных классов, автор О.В. Кубасова). Имеются работы, посвященные исследованию методических задач как средства обучения в подготовке учителя начальных классов (Н.Б. Истомина, М.И. Айзенберг), в подготовке учителя иностранных языков (Н.В. Языкова), исследованию педагогических задач в подготовке учителя химии (И.Ю. Алексашина). Однако в настоящее время недостаточно исследований, раскрывающих специфику методических задач в подготовке учителя математики. В работах по подготовке учителя математики (Е.И. Лященко, Г.И. Саранцев, И.Г. Королькова) методические задачи выделяются как средство формирования отдельных знаний и умений, развития творческого потенциала будущего учителя, но без исследования использования этих задач в процессе изучения математических дисциплин.
Анализ деятельности студентов физико-математических факультетов показал, что они не всегда умеют грамотно проводить логико-математический анализ определений математических понятий, формулировок теорем, структурировать системы математических понятий, предложений, анализировать доказательство, решение задачи, обобщать задачи, составлять развернутое правило решения общей задачи, поэтому необходимо усилить соответствующую составляющую в их обучении. Можно выделить два пути решения этой проблемы: в рамках методической подготовки студентов за счет введения специальных курсов или в рамках предметной подготовки. Второе направление наиболее перспективно, поскольку указанные умения непосредственно связаны с математическим содержанием, и овладение этими умениями содействует как математической, так и методической подготовке студентов.
В результате анализа методических умений учителя математики мы пришли к выводу, что отдельные умения можно формировать у студентов в рамках предметной подготовки, и поэтому в соответствующей работе можно выделить два этапа: предшествующий изучению методических дисциплин и параллельный с изучением методических дисциплин. Второе направление наиболее полно представлено в диссертационных исследованиях (Г.И. Баврин, В.И. Игошин, Л.П. Мартиросян, Н.С. Симонова и др.). Формирование отдельных методических умений у будущих учителей математики в рамках предметной подготовки до изучения методических дисциплин исследовано недостаточно. В частности, необходимы исследования использования методических задач с целью формирования знаний и умений у студентов в рамках предметной подготовки.
Налицо противоречие между возможностью формирования отдельных методических умений у будущих учителей математики в рамках предметной подготовки с помощью методических задач и отсутствием работ в этом направлении. Данное противоречие определяет проблему исследования.
Цель исследования: теоретически обосновать и экспериментально проверить возможность формирования методических умений посредством решения методических задач в рамках предметной подготовки будущего учителя математики.
Объект исследования: процесс обучения математике студентов физико-математических факультетов педвузов.
Предмет исследования: формирование методических умений в рамках предметной подготовки будущего учителя математики.
Гипотеза исследования. В основу исследования положена гипотеза, согласно которой включение в содержание предметной подготовки методических задач способствует повышению уровня сформированности методических умений у будущего учителя математики.
В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определены задачи исследования.
Выполнить анализ психолого-педагогической и методической литературы с целью определения понятийного аппарата исследования.
Уточнить определение понятия «методическая задача», проанализировать и обобщить предъявляемые к методическим задачам требования.
Установить функции методических задач в предметной подготовке учителя математики. Сконструировать методические задачи на основе содержания математических дисциплин.
Разработать методику работы над методическими задачами в процессе изучения математических дисциплин.
Экспериментально проверить эффективность разработанных методических задач и гипотезу исследования.
Теоретико-методологической основой исследования являются:
психологическая теория деятельности (А.В. Брушлинский,
Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, А.В. Петровский, К.К. Платонов,
С.Л. Рубинштейн, Ю.А. Самарин, А.Ф. Эсаулов и др.);
деятельностный подход к обучению учащихся и будущих учителей (П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, О.Б. Епишева, Л.П. Латышева, И.А. Новик, Г.И. Саранцев, А.А. Столяр, Н.Ф. Талызина, Л.М. Фридман, Л.В. Шкерина, Д.Б. Эльконин и др.);
труды отечественных педагогов и психологов, раскрывающие понятие профессиональной педагогической деятельности, деятельности учителя в учебном процессе (Н.В. Кузьмина, Е.И. Лященко, В.М. Монахов, В.А. Сластенин, Л.Ф. Спирин, А.И. Щербаков и др.);
теория учебных задач (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.).
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались теоретические и эмпирические методы исследования: теоретический анализ психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования, изучение опыта преподавателей педвузов, анкетирование, наблюдение за ходом обучения студентов и анализ продуктов деятельности обучаемых, проведение и анализ диагностических работ, поисковый эксперимент, педагогический эксперимент по проверке эффективности разработанных методических задач, методы статистической обработки результатов эксперимента.
Логика и этапы исследования. Специфика и задачи исследования определили его логику: от изучения состояния проблемы подготовки к профессиональной деятельности учителей математики к поиску путей и способов совершенствования методических задач как средства обучения.
Опытно-экспериментальная работа включала в себя следующие этапы:
Первый этап (2002-2003) - изучение и анализ психолого-педагогической и методической литературы по проблеме исследования, разработка гипотезы и понятийного аппарата исследования.
На этом этапе основное внимание было уделено анализу исследований по проблемам педагогики высшей школы (СИ. Архангельский, Ю.К. Бабанский, В.И. Загвязинский, Н.В. Кузьмина и др.), проблемам
9 профессиональной подготовки будущих учителей, в частности, учителей математики, проблемам совершенствования учебно-воспитательного процесса в педвузе (Ю.К. Бабанский, С.Н. Дорофеев, СИ. Кисельгоф, И.И. Легостаев, М.М. Левина, Г.Л. Луканкин, А.Г. Мордкович, П.И. Пидкасистый, В.А. Сластенин, А.И. Уман, Н.Д. Хмель и др.), анализу исследований профессиональной педагогической деятельности (Н.В. Кузьмина, Ю.Н. Кулюткин, А.К. Маркова, В.А. Сластенин, Л.Ф. Спирин, А.И. Щербаков и др.), в частности, исследований компонентов деятельности учителя математики в учебном процессе (О.Б.Епишева, Е.И. Лященко, И.А. Новик, В.М. Монахов, Т.С. Полякова, А.А. Столяр, Л.В. Шкерина и др.), исследований, в которых раскрывается понятие педагогического творчества (Ю.К. Бабанский, В.И. Загвязинский, В.А. Кан-Калик, Ю.Н. Кулюткин, Н.Д. Никандров, А.Я. Пономарев, М.М. Поташник и др.), анализу исследований по проблемам методики обучения математике в школе (В.И. Горбачев, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, М.В. Кларин, Ю.М. Колягин, Н.М. Рогановский, М.А. Родионов, А.А. Столяр, Л.М. Фридман и др.).
Второй этап (2003-2005) - конструирование методических задач с целью формирования определенных методических знаний и умений у студентов, проведение поискового эксперимента с целью уточнения и корректировки формулировок задач, составление методики работы над задачами, конструирование диагностических методик, критериев и показателей сформированности методических умений.
Третий этап (2005-2006) - организация и проведение педагогического эксперимента на основе разработанных методических задач по курсу математического анализа с целью определения эффективности их использования для формирования методических умений у студентов, проверка и уточнение теоретических положений исследования, апробация результатов, формулирование выводов. Полученные в результате исследования материалы обобщены и оформлены в диссертации.
10 Научная новизна исследования состоит в том, что
уточнено понятие «методическая задача»;
обобщены требования к методическим задачам и к их последовательностям как к средству обучения;
определены функции методических задач в предметной подготовке будущего учителя математики.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что
установлены связи между педагогическими и методическими задачами;
методические умения, формируемые у будущих учителей математики в рамках предметной подготовки до изучения методических дисциплин, выделены в результате анализа методических задач по отбору и конструированию содержания обучения.
Практическая значимость работы состоит в том, что
выделены уровни сложности методических задач на основе использования правила сравнения степеней сложности задач, предложенного К.С. Богушевским, В.Ф. Чучуковым;
среди методических умений учителя математики выделены умения, которые целесообразно формировать у студентов педвузов физико-математических специальностей в рамках предметной подготовки;
разработаны методические задачи по формированию отдельных методических умений у студентов в процессе предметной подготовки и методика работы над этими задачами.
На защиту выносятся следующие положения:
методические задачи являются педагогическими задачами, обусловленными противоречием между существующим и требуемым уровнем сформированности знаний, умений и навыков у учащихся в рамках определенного учебного предмета;
учебные методические задачи, применяемые в рамках предметной подготовки будущих учителей математики в педвузе, выполняют функции:
- формирования математических знаний и умений у студентов;
- подготовки к овладению методическими знаниями и умениями;
включение методических задач в содержание предметной подготовки
студентов способствует овладению ими методическими знаниями и
умениями.
Апробация результатов диссертационного исследования осуществлялась в виде докладов и обсуждений основных вопросов на заседаниях научно-методического семинара кафедры геометрии и методики обучения математике Калужского государственного педагогического университета имени КЗ. Циолковского (2003-2006 годы), на Всероссийских семинарах преподавателей математики (Челябинск, 13-15 октября 2004 года; Саратов, 21-23 сентября 2005 года), на 12-ой международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» (Пущино, 17-22 января 2005 года), на международной научной конференции «58 Герценовские чтения» (Санкт - Петербург, 19-21 апреля 2005 года). По теме исследования имеется 14 публикаций.
Внедрение разработанных методических материалов осуществлялось в практике работы Вятского государственного гуманитарного университета, Брянского государственного педагогического университета, Калужского государственного педагогического университета, в процессе проведения занятий на курсах повышения квалификации учителей математики при Калужском областном институте повышения квалификации работников образования.
Достоверность и обоснованность исследований определяется опорой на теоретические источники по теме исследования, опытом работы кафедры математического анализа и кафедры геометрии и методики обучения математике, собственным опытом работы преподавателем кафедры математического анализа, результатами проведенного эксперимента.
Понятие «задача» в психолого-педагогических исследованиях
Центральным понятием психологической теории деятельности является понятие задачи как цели и условий сознательного действия, структурной единицы деятельности, и решения задачи как процесса формирования и выполнения сознательного действия (А.В. Брушлинский, Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, А.В. Петровский, К.К. Платонов, С.Л. Рубинштейн, Ю.А. Самарин, А.Ф. Эсаулов и др.)
По мнению С.Л. Рубинштейна: «Ход человеческой деятельности обусловлен, прежде всего, объективной логикой задач, в разрешение которых включается человек, а ее строение - соотношением этих задач» [141, с.563].
Постановка задачи рассматривается как определенный этап в поиске субъектом выхода из проблемной ситуации, в которой он оказался (А.В. Брушлинский, Ю.Н. Кулюткин, A.M. Матюшкин, Я.А. Пономарев, А.Ф. Эсаулов и др.)
Проблемную ситуацию А.В. Брушлинский характеризует как «довольно смутное, еще не очень ясное и малоосознанное впечатление, как бы сигнализирующее: что-то не так, что-то не то» [28, с.53]. Это ситуация, когда перед человеком стоит новая цель, а готовых средств ее достижения у него нет. Для того чтобы найти выход из проблемной ситуации, человек ее анализирует, и этот анализ направлен на установление того, что известно, а что неизвестно. Как только данные и искомое сформулированы, получаем задачу в собственном смысле слова.
«Зарождение и постановка научной или научно-технической задачи, -по мнению А.Ф. Эсаулова, - состоит в процессе перехода от выявления частичных и недостаточно осознанных фактов к выявлению более полного содержания той реальной действительности, на базе которой возникает задача. Это выявление заключается в добывании и построении условий, составляющих компонентную структуру задачи. Таким образом, уже сформулированная для самого себя или для кого-то другого задача и характеризует форму расстановки тех внешних условий, преобразованных в виде систем исходных данных и требований, которые обеспечивают умственную активность решающего» [196, с.36].
А.Ф. Эсаулов определяет задачу как «более или менее определенные системы информационных процессов, несогласованное или даже противоречивое отношение между которыми вызывает потребность в их преобразовании» [196, с. 17].
А.Н. Леонтьев характеризует задачу как цель, данную в определенных условиях. Установление отношения цели к условиям является результатом анализа проблемной ситуации [91].
A.M. Матюшкин проблемной ситуацией называет определенное психологическое состояние субъекта, которое возникает вследствие необходимости выполнить задание, требующее от него новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения этого задания. Задача же есть «способ знакового предъявления задания одним человеком другому (или самому себе), включающий указание на цель и условия ее достижения» [101, с.193].
Е.И. Машбиц, Я.А. Пономарев рассматривают задачу как информационную систему, в которой имеется некоторое рассогласование между ее компонентами; решение задачи, таким образом, соответствует процессу и результату ее уравновешивания.
Я.А. Пономарев, в частности, представляет задачу как «состояние возмущения взаимодействующей системы» [131, с. 109], неуравновешенность этой системы переживается субъектом как осознание потребности в чем-либо. Задача же «есть та ситуация, которая определяет действия субъекта, удовлетворяющего потребность путем изменения ситуации. Ситуация как задача является, следовательно, совокупностью потребности и данных к ее удовлетворению. Эти данные слагаются из цели и условий их достижения» [131, с.111].
Педагоги, говоря о задачах, имеют в виду, главным образом, задачи, применяемые в обучении (Г.А. Балл, Ю.М. Колягин И.Я. Лернер, Н.А. Менчинская, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман и др.)
Л.М. Фридман происхождение задачи также связывает с проблемной ситуацией и определяет задачу как знаковую модель проблемной ситуации. Возникновение проблемной ситуации Л.М. Фридман объясняет тем, что «субъект в своей деятельности, направленной на некий объект, встречает какое-то затруднение, преграду», которую хочет устранить [182, с.14]. Преграда может заключаться в непонимании сути произошедшего, его причин, в незнании путей выхода из сложившейся ситуации, способов их поиска, в отсутствии необходимых умений и т.д. Чтобы преодолеть преграду, человек выявляет и анализирует содержание ситуации, определяет характер преграды. Результатом анализа является формулирование условия и требования, что и представляет собой задачу. Происхождение задачи, таким образом, он рассматривает «как моделирование проблемной ситуации, в какую попадает субъект в процессе своей деятельности, а саму задачу - как модель проблемной ситуации, выраженную с помощью знаков некоторого естественного или искусственного языка» [182, с. 15].
Конструирование методических задач
Методические умения формируем у студентов в процессе и результате решения ими методических задач. Методические задачи для обучения должны отражать реально существующие методические задачи в деятельности учителя в учебном процессе (1.4.). Но не каждая методическая задача, возникающая в деятельности учителя, может быть решена в условиях учебного процесса в педвузе. Значит, возможно, не все методические умения, необходимые учителю математики, можно формировать у студентов с помощью методических задач в условиях учебного процесса в педвузе, эти умения необходимо выявить.
С этой целью проанализируем типичные методические задачи, которые решает учитель математики в своей профессиональной деятельности. Анализ методической задачи будет заключаться в выделении подзадач, которые необходимо решить для решения исходной задачи. Результаты данного анализа также позволят установить методические умения, формирование которых целесообразно начинать в рамках предметной подготовки до изучения методических дисциплин.
Заметим, что направленность методических задач на формирование отдельных методических знаний и умений можно оценивать по результатам анализа этих задач (выделение подзадач, анализ операционного состава решений задач). На данной основе возможно построение совокупности методических задач, нацеленных на формирование всего спектра методических знаний и умений, отработку всех действий-инвариантов деятельности учителя в учебном процессе, формирование которых возможно с помощью методических задач в условиях учебного процесса в педвузе (Н.В. Языкова). В данной совокупности методических задач с одной стороны обеспечивается требование ее полноты, а с другой стороны возможность варьирования задач, нацеленных на формирование одних и тех же знаний и умений, что упрощает задачу диагностики, коррекции и закрепления методических знаний и умений с помощью методических задач. Установление тех действий, в выполнении которых студент испытывает затруднение, позволяет оказать ему целенаправленную помощь в овладении методическими знаниями и умениями за счет увеличения количества и варьирования характера задач, нацеленных на формирование этих знаний и умений, сокращения доли тех задач, с которыми он успешно справляется.
Проектирование совокупности методических задач предполагает, согласно М.Л. Фрумкину, построение концептуальной модели, определение ее дидактической функции. Концептуальная модель представлена теми теоретическими основаниями, из которых мы исходим в конструировании методических задач.
Целевая составляющая дидактической функции проектируемой совокупности методических задач заключается в формировании знаний и умений, которые востребованы в практике профессиональной деятельности учителя. Выделение оснований для упорядочения этой совокупности методических задач подчинено цели реализации с помощью этих задач принципа последовательности и систематичности формирования знаний и умений, чем обусловлена методическая составляющая.
Чтобы проанализировать методические задачи, которые решает учитель математики в профессиональной деятельности, выделим круг типичных методических задач в деятельности учителя математики в учебном процессе. Все задачи, связанные с обучением учащихся, которые приходится решать учителю, можно разделить на задачи, возникающие непосредственно на занятии, и задачи, возникающие во время подготовки к занятию (М.И. Айзенберг).
Проблемные ситуации, возникающие во время подготовки к уроку или на уроке, различны. Во время подготовки создаются проблемные ситуации, характерным для которых является противоречие между известными способами действия и реальной учебной ситуацией. Решение задачи состоит в выборе одного или системы известных ему обучающих воздействий. Для проблемных ситуаций на уроке характерно наличие противоречий между запланированной системой действий и ходом учебного процесса на уроке. Решение учителем задачи заключается в выработке новых, непредусмотренных заранее схем действий (Н.В. Языкова).
Методические умения, формируемые с помощью методических задач
В данном параграфе представлены результаты экспериментальной проверки эффективности разработанных методических задач и гипотезы исследования.
Педагогический эксперимент проводился в четыре этапа:
Поисковый;
Констатирующий;
Обучающий;
Контрольный.
Поисковый этап эксперимента был начат в 2003 году.
Констатирующий, обучающий и контрольный этапы эксперимента проводились в 2005 - 2006 годах.
Эксперимент проводился на базе физико-математического факультета КГПУ им. К.Э. Циолковского. В констатирующем, обучающем и контрольном этапе эксперимента были задействованы студенты первого курса в общем количестве 136 человек и студенты второго курса в общем количестве 120 человек.
Эксперимент проводился на практических занятиях по математическому анализу.
Поисковый этап эксперимента был связан с включением в учебный процесс разработанных методических задач и имел своей целью уточнение формулировок задач, методики работы над ними, проверку доступности задач для студентов.
Можно отметить, что поначалу студенты лучше справляются с задачами с подробной формулировкой, в которой четко выделено, что нужно сделать по их решению, и в каком порядке. Также студенты нуждаются в примерах. Поэтому, прежде всего преподавателю следует объяснить студентам решение аналогичной задачи, проанализировать это решение, результатом анализа должно быть получение ориентировочной основы деятельности (ООД), в которой четко выделен порядок действий по решению данной задачи. Записывать это правило, по нашему мнению, нецелесообразно. Затем следует предлагать студентам для решения задачи, аналогичные разобранной, с подробной формулировкой (пусть даже воспроизводящей ООД). На данном этапе не следует предлагать студентам задачи, решение которых не укладывается в известную им ООД. Например, студенты анализировали определения, в которых выделены род и видовые отличия, но еще не анализировали конструктивные определения. Преподавателю нужно сначала разобрать данную задачу со студентами (логико-математический анализ конструктивного определения), а только потом предлагать им аналогичные задачи. На определенном этапе, когда студенты будут уверенно выполнять все действия по решению частных задач, эти задачи можно обобщить (условие и требование), составить правило для решения общей задачи (на основе правил решения частных задач). Также по необходимости на данном этапе можно ввести новые термины (например, множество объектов (понятие об этих объектах), которому полностью принадлежит множество определяемых объектов, называется родовым понятием для определяемого; определение, рассказывающее, как получить объект, называется конструктивным).
Структурированию систем математических понятий, предложений должно предшествовать решение задач на установление связей между понятиями, предложениями. Структурирование систем математических понятий, предложений следует осуществлять в итоге изучения темы, причем сначала структурировать систему математических понятий, предложений на основе известных студентам определений, доказательств. Затем студентам можно предложить задачи найти другие определения одного и того же понятия (с указанием соответствующей литературы), другие доказательства. Может быть самостоятельно доказать ту или иную теорему, используя те или иные математические факты.
Для этого студенты, в свою очередь, должны овладевать умениями давать определения объектам, умениями строить доказательство, то есть математическими умениями.
Составлению задач обязательно должно предшествовать решение задач на анализ компонентного состава математической задачи, поскольку в ходе обучения отрабатывается способ составления задач на основе обобщения.
Также отметим, что на практических занятиях по математическим дисциплинам важно уделять значительное внимание формированию таких умений у студентов как объяснять решение задач, излагать свои мысли, задавать вопросы и отвечать на вопросы.
Итогом поискового этапа эксперимента явилось составление общих формулировок задач, с помощью которых можно формировать выделенные умения: проводить логико-математический анализ определений математических понятий, формулировок теорем, анализировать доказательство, анализировать компонентный состав задачи, составлять задачи, составлять правила по решению общих задач, структурировать системы математических понятий, предложений, а также уточнение методики работы над этими задачами.
Эксперимент по проверке эффективности разработанных задач состоял из двух частей: исследование эффективности разработанных задач по формированию выделенных умений у студентов 1-го курса, у студентов 2-го курса.
