Содержание к диссертации
Введение
1 Теоретические основы индивидуализации фундаментальной подготовки учителя математики 22
1.1 Вариативное образование как социальный заказ общества 22
1.2 Вариативность образования как условие реализации индивидуального подхода к развитию личности 41
1.3 Многоуровневая система непрерывного педагогического образования как база формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики 60
2 Концепция формирования индивидуальных траекторий фунда ментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования 81
2.1 Основы концепции формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования 81
2.2 Цели фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий 101
2.3 Содержание фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий 113
2.4 Методы, формы и средства фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий 148
3 Опытно-экспериментальная работа по реализации концепции формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования 169
3.1 Обеспечение реализации концепции в рамках математических факультетов педвузов на основе предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики 169
3.2 Исследовательская работа студента как системообразующая составляющая его индивидуальной образовательной траектории 232
3.3 Методическое обеспечение системы элективных курсов для профильной подготовки старшеклассников 259
4 Экспериментальная проверка эффективности фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий 283
4.1 Особенности оценки качества фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования 283
4.2 Диагностика уровня сформированности предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки 287
4.3 Сравнительный анализ результатов педагогического эксперимента 293
Заключение 321
Литература 329
- Вариативность образования как условие реализации индивидуального подхода к развитию личности
- Цели фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий
- Исследовательская работа студента как системообразующая составляющая его индивидуальной образовательной траектории
- Диагностика уровня сформированности предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки
Введение к работе
Актуальность исследования. На современном этапе развития России основная цель профессионального образования заключается в подготовке квалифицированного работника соответствующего уровня и профиля, конкурентоспособного на рынке труда, компетентного, ответственного, свободно владеющего своей профессией и ориентированного в смежных областях деятельности, способного к эффективной работе по специальности на уровне мировых стандартов, готового к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности.
Динамизм современной социальной и экономической жизни, возрастающие требования к будущим специалистам обуславливают изменение приоритетов в организации образовательного процесса, его направленность на личностно-профессиональный рост выпускника, на обеспечение условий для раскрытия его потенциала и непрерывное формирование профессиональной компетентности. Одним из таких условий выступает индивидуализация образования, проявляющаяся, в частности, в построении индивидуальных образовательных траекторий. Их разработка требует новых подходов к принципам организации образовательного процесса, к структуризации содержания и диагностике результатов обучения.
В основе широкомасштабных преобразований, имеющих своей сверхзадачей выход на новую модель российской школы, лежит вариативность образования - один из основополагающих принципов и магистральное направление развития современной системы образования в России. Изучению этого развивающегося явления педагогической теории и практики посвящено в последнее время много исследований (А.Г. Асмолов, СВ. Бубликов, B.C. Гершунский, Т.Б. Князева, М.В. Левит, А.Б. Ольнева, В.В. Пикан, Н.И. Рослякова и др.). Вариативность образовательного процесса направлена на обеспечение максимально возможной степени индивидуализации обучения, формируя способность осознания обучающимися многообразия качественно специфичных и привлекательных образовательных траекторий. Основной целью вариативного образования является выбор собственного пути развития личности из всего многообразия существующих траекторий развития.
В основе построения различных образовательных траекторий будущего учителя, осуществляемого на базе выбора их структурных компонентов, исходя из предлагаемых образовательных программ, лежит многоуровневая система непрерывного педагогического образования, которая претерпевает сегодня фундаментальные изменения. С 90-х годов двадцатого века была начата большая работа по обновлению структуры и содержания педагогического образования, подверглась изменениям система управления педагогическим образованием, координацию деятельности педагогических учреждений по вопросам развития педагогического образования стал осуществлять (с 1996 года) Совет по педагогическому образованию под руководством ректора МПГУ, академика В.Л. Матросова. Эксперимент по введению в практику работы двухуровневой системы обучения, который начал осуществляться с 1992 года в ведущих педагогических вузах Российской Федерации, прежде всего в МПГУ (С.А. Жданов, Э.И. Кузнецов, В.Л. Матросов, А.К. Рычков и др.), привел к построению многоуровневой системы высшего профес-
сионального образования. Переход всей высшей школы к уровневой структуре образования с 2011 года определен Федеральным законадательством. Сегодня появляется все больше исследований, посвященных разработке различных аспектов концепции многоуровневой подготовки специалистов (А.А. Вербицкий, В.А. Гусев, В.И. Ериков, О.Ю. Заславская, В.Г. Кинелев, Э.И. Кузнецов, В.Л. Матросов, П.В. Станкевич и др.).
Анализ теоретических основ и практики развития современного российского образования позволяет утверждать, что вариативность компонентов образовательной системы Российской Федерации в целом и структура многоуровневой системы высшего педагогического образования, в частности, служат основанием для формирования индивидуальных образовательных траекторий (НОТ), в том числе индивидуальных траекторий профессиональной подготовки учителя математики. Опираясь на возможности двухуровневой системы высшего педагогического образования и принимая во внимание ресурсы профильного обучения, дополнительного образования детей и взрослых и послевузовского профессионального образования, мы получаем широкий спектр возможностей формирования непрерывных ("через всю жизнь") индивидуальных траекторий становления специалиста.
Вопросы индивидуализации образовательного процесса, в частности, идеи использования в процессе обучения индивидуальных траекторий (маршрутов, стратегий), не являются новыми для отечественной и зарубежной дидактики. С начала XX века разработка систем индивидуализированного обучения шла по нескольким направлениям: организация индивидуального режима учебной работы нашла последовательное развитие в Дальтон-плане (Е. Паркхерст); сочетание индивидуализации режима и содержания учебной работы с деятельностью учащихся в малых, переменных по составу группах наиболее полно воплотились в Говард-плане (М. О'Брайен-Харрис) и Йена-плане (П. Петерсен); разработка специальных учебных материалов для осуществления индивидуализации обучения была реализована в программированном обучении (Б.Ф. Скиннер) и комплексных системах обучения (Т. Циллер, В. Рейн, Ф. Юнге, О. Шмидт и др.). С начала 90-х годов XX века усилился интерес к вопросам индивидуализации учебно-воспитательного процесса, возникли концепция личностно-ориентированной педагогики (Н.А. Алексеев, В.П. Бедерханова, Е.В. Бондаревская, Э.С. Зимин, И.А. Колесникова, С.Д. Поляков, В.В. Сериков, И.С. Якиманская и др.), философия свободного образования (Н.Б. Крылова, А.А. Пинский, С.Л. Соловейчик, П.Г. Щедровицкий и др.), идеи гуманной педагогики (Ш.А. Амонашвили и др.). Принятие Закона "Об образовании" (1992), Федерального закона о высшем и послевузовском образовании (1996) и других нормативных документов на государственном уровне закрепило отказ от единообразия образовательного процесса, провозгласило ориентацию на профильное обучение, вариативные и индивидуальные учебные планы и программы обучения. В педагогическом обиходе появились термины "индивидуальные образовательные траектории", "индивидуальные образовательные маршруты", "индивидуальные стратегии обучения". Педагогическая наука обогатилась исследованиями, посвященными изучению различных аспектов проблемы построения и использования НОТ в системе обшего образования (Л.Л. Вишневская, Л.А. Осад-чая, А.П. Стариков, А.В. Хуторской, Ю.Г. Юдина и др.) и профессионального об-
разования (Е.А. Александрова, М.В. Довыдова, Н.Г. Зверева, М.В. Литвиненко, В.В. Лоренц, Т.А. Макаренко, М.В. Мякотина, Э.П. Черняева и др.).
Перечисленные выше и многие другие исследования составили определенный фундамент разработки теории построения ИОТ, обеспечивающих образовательный процесс индивидуализацией. Однако к настоящему времени конструктивная теория еще не сформирована, отсутствуют системные представления о том, как выстраивать ИОТ и управлять учебным процессом в этих условиях. В частности, не исследованы возможности использования ИОТ в свете реализации концепции фундаментализации современного образования (В.Ф. Башарин, В.Л. Матросов, A.M. Новиков, В.А. Садовничий, В.В. Филиппов и др.).
Анализ существующих по данной проблематике исследований и многолетний опыт практической работы позволили выявить следующие противоречия:
между необходимостью индивидуализации процесса профессиональной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования и отсутствием конструктивной теории, обеспечивающей этот процесс построением индивидуальных образовательных траекторий; между системной сущностью индивидуальной образовательной траектории и несистемным характером ее формирования на современном этапе;
между потребностью постиндустриального общества в фундаментализации профессиональной подготовки учителя математики и недостаточными темпами осуществления этого процесса в современной высшей школе; между существованием богатейшего опыта преподавания фундаментальных дисциплин в системе высшего педагогического образования и слабым использованием этого потенциала для формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики;
между потребностью рынка труда в работниках, обладающих интегративны-ми профессиональными характеристиками, способных к постоянному профессиональному росту и профессиональной мобильности, выражающейся в системе компетенций, предъявляемых современным обществом к выпускнику высшей школы, и существующей практикой подготовки будущего учителя в рамках квалификационной модели, выраженной недостаточностью у выпускника педагогического вуза компетенций, связанных с организацией самостоятельной познавательной деятельности, его низкой мотивацией к самообразованию; между целостностью процесса формирования профессиональной компетентности учителя и отсутствием системной научно-методологической базы и корректного научно-методического обеспечения этого процесса.
Указанные противоречия определяют проблему исследования, которая состоит в поиске теоретических основ, тенденций, педагогических условий и средств формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики на базе математических факультетов педвузов в условиях вариативного образования.
Объект исследования: процесс фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования.
Предмет исследования: формирование индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образова-
ния.
Цель исследования заключается в создании теоретических основ построения индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики, разработке моделей механизмов обучения на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий - уровневой модели предметно-профессиональных компетенций учителя математики, предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики и модели диагностики уровня сформированности выделенных предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки, а также организации на их базе учебного процесса в условиях вариативного образования.
Гипотеза исследования состоит в том, что формирование индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в рамках непрерывной многоуровневой системы педагогического образования будет способствовать решению актуальной задачи индивидуализации учебного процесса в условиях вариативности образовательной среды, если:
в основу разработки моделей механизмов обучения на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий будут положены современные -синергетический, личностно-деятельностный, интегративный, профессионально-ориентированный, компетентностный и модульный - подходы к организации учебного процесса;
цели фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий будут описаны в виде уровневой модели предметно-профессиональных компетенций обучающегося, которые должны быть достигнуты на основных этапах (выпускник школы - бакалавр -магистр) его индивидуальной образовательной траектории;
- содержание фундаментальной подготовки учителя математики, отвечаю
щее задаваемым целям, будет отобрано и структурировано в рамках предметно-
уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учи
теля математики;
в качестве системоообразующей, интегративной составляющей индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики будет использована непрерывная учебно-исследовательская работа студента по "сквозной" тематике, направленная на подготовку курсовой работы, бакалаврской работы и магистерской диссертации;
результаты практической реализации предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики будут описаны с помощью модели диагностики уровня сформированности заданных предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки, получаемой на основе "свёртки" оценок достижения целей обучения в учебных модулях и учебных дисциплинах на различных этапах предметной подготовки (предварительная, основная, углубленная, предметно-методическая) и в различных предметных областях. "
Проблема, объект, предмет, цель и гипотеза исследования определили постановку основных задач исследования, решение которых позволило разработать и теоретически обосновать методическую систему фундаментальной подготовки
учителя математики на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий, в том числе построить предметно-уровневую модель индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики, наполнив ее содержанием на примере числовой и дискретной содержательных линий:
- задачи теоретического характера, связанные с разработкой научно-
методических основ концепции формирования индивидуальных траекторий фун
даментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образо
вания: анализ нормативных документов, касающихся проблем модернизации рос
сийского образования, теоретических аспектов вариативности современной обра
зовательной системы, возможностей многоуровневой системы непрерывного пе
дагогического образования в свете формирования индивидуальных образователь
ных траекторий; исследование методологических и психолого-педагогических ос
нов индивидуализации образовательного процесса в общеобразовательной и выс
шей школах, возможностей и специфики применения современных методологи
ческих подходов для моделирования учебного процесса на основе формирования
индивидуальных образовательных траекторий в условиях вариативного образо
вания; формулирировка основных положений и принципов концепции;
задачи теоретического характера, связанные с разработкой структурных компонентов методической системы фундаментальной подготовки учителя математики на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий: построение уровневой модели предметно-профессиональных компетенций учителя математики на основе анализа образовательных стандартов общего и высшего профессионального образования и ключевых положений компетентностного подхода; формирование предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики и наполнение ее содержанием на основе анализа особенностей числовой и дискретной содержательных линий; разработка модели диагностики уровня сформированности предметно-профессиональных компетенций учителя математики на основе комплексной оценки;
задачи практического характера, связанные с реализацией концепции формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования: формирование содержания и создание учебно-методического обеспечения математических дисциплин, являющихся компонентами предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики в рамках числовой и дискретной содержательных линий, для каждого этапа предметной подготовки; формирование содержания и создание учебно-методического обеспечения интегративного специального курса, посвященного теории метрических пространств; отбор содержания и создание тематических "цепочек" для организации непрерывной учебно-исследовательской работы студентов по "сквозной" тематике в рамках числовой (специальные числа) и дискретной (теория графов) содержательных линий; разработка системы элективных курсов для профильного обучения; апробация концепции в ходе педагогического эксперимента.
Теоретическую и методологическую основу исследования составили:
- нормативные документы в сфере образования (Закон Российской Федерации
"Об образовании", Федеральный закон о высшем и послевузовском образовании и др.); вопросы модернизации современного образования (В.А. Болотов, Ю.И. Журавлев, В.Г. Кинелев, В.В. Краевский, В.Л. Матросов, В.А. Садовничий, Г.П. Щедровицкий и др.); работы, посвященные проблемам вариативности образования (СВ. Бубликов, Б.С. Гершунский, В.Л. Матросов, А.Б. Ольнева, Е.Л. Прасолова и др.); теоретические основы формирования и развития многоуровневой системы профессионального образования (А.Г. Асмолов, P.M. Асланов, А.А. Вербицкий, В.А. Гусев, Э.И. Кузнецов, В.Л. Матросов, А.Х. Шкляр и др.);
основные положения методологии педагогических исследований, в том числе методологии математического образования (Ю.К. Бабанский, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев, А.Н. Колмогоров, Ю.М. Колягин, В.Л. Матросов, А.Я. Хинчин и др.); теория системного подхода в образовании и ее применение к обучению математике (В.Г. Афанасьев, И.В. Блауберг, В.И. Крупич, П.Г. Щедровицкий и др.); концепция личностно-ориентированного образования и теория деятельностного подхода (Е.В. Бондаревская, Л.С. Выготский, И.А. Зимняя, А.Н. Леонтьев, С.Л. Рубинштейн, И.С. Якиманская и др.); педагогические технологии и педагогическое проектирование (В.П. Беспалько, А.А. Вербицкий, В.И. Загвязинский, М.В. Кларин, В.Е. Родионов, В.А. Сластенин, М.А. Чошанов и др.);
концепция фундаментализации образования (В.Л. Матросов, A.M. Новиков, В.А. Садовничий, В.В. Филиппов и др.); концепция гуманизации и гуманитаризации образования (М.Н. Берулава, А.А. Вербицкий, Г.И. Саранцев, А. Маслоу, К. Роджерс и др.); общетеоретические основы педагогической интеграции (Г.И. Батурина, Б.Г. Гершунский, Э.Н. Гусинский, Л.Б. Соколова, И.П. Яковлев и др.); работы по проблемам компетентностного подхода к обучению (И.А. Зимняя, Н.В. Кузьмина, Д.А. Махотин, В.А. Сластенин, В.А. Тестов, В.Д. Шадриков и др.); основные положения профессионально-ориентированного подхода к построению общего и профессионального образования, в том числе вопросы профессионально-ориентированной подготовки учителя математики (А.Г. Мордкович, Г.Л. Лукан-кин, Г.И. Саранцев, Г.Г. Хамов, М.В. Потоцкий и др); проблемы информатизации образования (С.Л. Атанасян, Я.А. Ваграменко, С.Г. Григорьев, А.П. Ершов, А.Ю. Кравцова, Э.И. Кузнецов, В.Л. Матросов, И.В. Роберт, В.А. Трайнев и др.);
психолого-педагогические и дидактические основы дифференциации и индивидуализации образования (Ю.К. Бабанский, В.А. Крутецкий, М.И. Махмутов, И.Э. Унт, Г.И. Щукина и др.); теоретико-методологические и методические положения концепции профильного обучения (А.В. Баранников, В.А. Болотов, А.Г. Каспржак, А.А. Кузнецов, А.А. Пинский, и др.); различные аспекты проблемы построения и использования индивидуальных образовательных траекторий (Е.А. Александрова, М.В..Литвиненко, М.В. Мякотина, А.В. Хуторской и др.).
теория структуры и содержания образования (Б.М. Бим-Бад, В.В. Краевский, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, И.М. Смирнова, Н.Ф. Талызина и др.); основные положения модульного подхода к организации обучения (М.А. Андиен-ко, Е.Г. Кузнецова, Т.И. Царегородцева, И.Г. Шамшина, Т.Н. Щеднова и др.) и теории обучения исследовательской деятельности (В.И. Андреев, Е.А. Вернадская, М.Е. Бершадский, В.В. Майер, Г.И. Щукина и др.); научные исследования в области теории чисел и методики ее преподавания (А.А. Бухштаб, СМ. Воро-
нин, А.А. Карацуба, Д.А. Митькин, В.И. Нечаев, Г.Г. Хамов, В.Г. Чирский, В.Н. Чубариков и др.), дискретной математики и методики ее преподавания (Л.Ю. Березина, В.Г. Болтянский, В.Л. Матросов, В.А. Стеценко, Б.А. Щегольков и др.).
Для решения задач исследования использовались следующие теоретические и эмпирические методы исследования: анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы, нормативных документов по теме исследования; анализ современного состояния системы общего и профессионального образования; изучение и анализ научной литературы, учебных программ, учебников и учебных пособий по теории чисел и дискретной математике; изучение, анализ, систематизация и обобщение педагогического опыта; конкретизация, систематизация и обобщение научных положений по теме исследования; формулировка гипотез и моделирование учебного процесса; моделирование и структуризация содержания обучения, проектирование учебно-методического комплекса; наблюдение, опросы, интервьюирование, анкетирование и тестирование студентов, выпускников, преподавателей вузов, учителей общеобразовательных школ; изучение и анализ документации; педагогический эксперимент по проверке эффективности реализации разработанной концепции, статистическая обработка и анализ полученных результатов.
Сущность применяемых методов исследования, конкретные проблемы, решат емые с помощью каждого из них, результаты практического применения этих методов в ходе опытно-экспериментальной работы по реализации разработанной концепции описаны в соответствующих разделах диссертации.
База исследования: Московский педагогический государственный университет (математический факультет); Московский городской педагогический университет (математический факультет); Независимый Московский Университет при Московском Центре непрерывного математического образования; педагогический колледж № 9; другие образовательные учреждения г. Москвы.
Исследование проводилось с 1993 года по 2012 год и состояло из трех этапов.
На первом, поисково-аналитическом, этапе (1993 - 2000) проводился анализ тенденций развития высшего педагогического образования, изучались состояние, теория и практика организации профессиональной подготовки студентов педвузов в условиях многоуровневой системы высшего образования, выявлялись возможности и проблемы построения индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики. Это позволило конкретизировать направление исследования, обосновать проблему, объект, предмет, цель и задачи исследования, сформулировать его гипотезу. Результатом этого этапа явилось определение методологии и методов исследования, выделение содержательных линий фундаментальной подготовки учителя математики, подлежащих исследованию.
На втором, констатирующем, этапе (2000 - 2005) осуществлялась систематизация и обобщение теоретического и накопленного эмпирического опыта в аспекте поставленной проблемы; разрабатывались основные положения и принципы концепции формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования и структурные компоненты методической системы фундаментальной подготовки учителя математики на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий, про-
водилось выявление условий ее реализации; осуществлялась разработка учебно-методических комплектов, обеспечивающих индивидуализированную многоуровневую фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой и дискретной содержательных линий.
На третьем, формирующем и контролирующем, этапе (2005 - 2012) проводились апробация и внедрение в практику работы построенной методической системы, осуществлялась диагностика результатов ее функционирования, выполнялись статистическая обработка, анализ и обобщение полученных результатов, выявлялись перспективы дальнейшего исследования поставленной проблемы.
Научная новизна результатов исследования состоит в том, что на основе применения синергетического, личностно-деятельностного, интегративного, профессионально-ориентированного, компетентностного и модульного подходов к организации учебного процесса:
теоретически обоснована, разработана и апробирована концепция формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования, реализация которой способствует решению задачи индивидуализации учебного процесса, обеспечивает качественную профессионально-ориентированную фундаментальную подготовку учителя математики, сочетающую высокий уровень предметных знаний, широкий спектр практических умений и, как интегрирующий фактор, креативную составляющую, которая позволяет использовать имеющиеся знания, умения и навыки в новых, нестандартных ситуациях, непрерывно пополнять и корректировать имеющийся багаж знаний;
построена уровневая модель предметно-профессиональных компетенций учителя математики, представляющая собой многоуровневую систему целей его фундаментальной подготовки и задающая спектр возможных траекторий, продвижение по которым понимается как реализация конечной цели - формирование профессиональной компетентности будущего учителя, и характеризуется достижением промежуточных целей того или иного уровня;
разработана предметно-уровневая модель индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики и осуществлено ее наполнение содержанием на основе создания учебно-методических комплектов, обеспечивающих индивидуализированную многоуровневую фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой и дискретной содержательных линий;
выделена системоообразующая, интегративная составляющая индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики - непрерывная учебно-исследовательская работа студента по "сквозной" тематике, направленная на подготовку курсовой работы, бакалаврской работы и магистерской диссертации;
сконструирована модель диагностики уровня сформированное предметно-профессиональных компетенций учителя математики на основе комплексной оценки, описывающая результаты практической реализации предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики на различных этапах предметной подготовки и в различных предметных областях.
Теоретическая значимость результатов исследования заключается в том, что:
разработанная концепция формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования расширяет научные представления о структуре и функциях индивидуальной образовательной траектории, дает научное обоснование целесообразности применения моделей механизмов обучения на базе формирования индивидуальных образовательных траекторий в педагогической практике, создает теоретические предпосылки для совершенствования профессиональной подготовки учителя математики, повышения эффективности формирования его профессиональной компетентности;
предложенная уровневая модель предметно-профессиональных компетенций учителя математики уточняет требования к результатам освоения основных образовательных программ ВПО, позволяет прогнозировать оптимальный уровень профессиональной компетентности обучающегося на основных этапах его индивидуальной образовательной траектории, создает условия для повышения эффективности формирования специальных, профессиональных и общекультурных компетенций студентов, служит теоретической основой отбора и структуризации содержания обучения, обеспечивает адекватное отражение результатов практической реализации разоработанной концепции;
построенная предметно-уровневая модель индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики, наполнение которой содержанием осуществлено в рамках выбранных (числовой и дискретной) содержательных линий на основе выделенных критериев отбора содержания, способствует индивидуализации образовательного процесса, повышению эффективности и качества профессионально-ориентированной фундаментальной подготовки обучающихся в области теории чисел и дискретной математики;
теоретически обоснованное выделение учебно-исследовательской работы студента как системообразующей, интегративной составляющей его индивидуальной образовательной траектории, построение "цепочек" тем курсовых работ, бакалаврских работ и магистерских диссертаций на базе разработанных критериев выбора тематики и выявленных особенностей числовой и дискретной содержательных линий, осуществление непрерывной учебно-исследовательской работы студента по "сквозной" тематике на основе выделенных принципов организации такой работы позволяет активизировать учебно-познавательную деятельность студентов, полнее раскрыть их творческий потенциал, усилить мотивацию к полноценному овладению избранной профессией, что способствует профессиональному становлению учителя новой формации, ориентированного на непрерывное пополнение и обновление своих знаний в условиях динамично меняющейся реальности;
- сконструированная модель диагностики уровня сформированное
предметно-профессиональных компетенций учителя математики на основе
комплексной оценки вносит вклад в теорию организации контроля обучения,
позволяет адекватно оценивать степень достижения целей фундаментальной
подготовки на различных этапах предметной подготовки и в различных предмет
ных областях, точность прогнозирования результатов обучения, оптимальность
выбора индивидуальной образовательной траектории и необходимость ее корректировки, своевременно корректировать индивидуальную образовательную траекторию, приближаясь к требуемой степени достижения целей обучения.
Практическая значимость результатов исследования заключается в том, что на основе построенных в ходе диссертационного исследования теоретических1 моделей разработаны конкретные индивидуальные траектории фундаментальной подготовки учителя математики, реализующие задачи индивидуализации обучения в условиях вариативного образования, сформированы учебно-методические комплекты, обеспечивающие индивидуализированную многоуровневую фундаментальную подготовку студентов в рамках числовой и дискретной содержательных линий. Полученные материалы могут быть использованы в практике работы образовательных учреждений как высшего профессионального, так и общего образования. Практическая значимость исследования подтверждается внедрением в образовательную практику учебных курсов "Основы дискретной математики" и Математические модели, методы и теории"; дисциплин по выбору "Распределение простых чисел", "Целые точки", "Избранные главы аналитической теории чисел", "Специальные числа натурального ряда", "Графы и комбинаторика"; ин-тегративного курса "Избранные главы теории расстояний и метрик"; "цепочек" тем (связанных со специальными числами и некоторыми вопросами теории графов) для курсовых работ, бакалаврских работ и магистерских диссертаций; элективных курсов арифметической и дискретной тематики для классов естественно-научного профиля и др.
Обоснованность и достоверность полученных результатов обеспечивается методологией исследования, ее соответствием поставленной проблеме; теоретическим обоснованием и практической реализацией положений исследования; применением комплекса теоретических и эмпирических методов, адекватных предмету и задачам исследования; использованием методов математической статистики для обработки результатов опытно-экспериментального исследования; возможностью повторения эксперимента; сопоставлением полученных данных с имеющимся педагогическим опытом; длительным участием автора в профессиональной подготовке учителей математики; концептуальным синтезом философских и педагогических теоретико-методологических положений в исходном обосновании базовых научных идей; применением методических подходов, метрдов и методик, адекватных поставленной цели, задачам, гипотезе; полифункциональным анализом количественно-качественных данных эксперимента, характером экспериментальной выборки, подтвердившей теоретическую правомерность и эффективность разработанной концепции,
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Реализацию задач, связанных с индивидуализацией профессиональной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования, целесообразно осуществлять на основе формирования в ходе образовательного процесса индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики опираясь на уровневую модель его предметно-профессиональных компетенций' предметнс-уровневую модель индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики и модель диагностики уровня сформированное за-
данных предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки, при условии разработки этих моделей на базе современных (синергетический, личностнс-деятельностный, интегративный, профессионально-ориентированный, компетентностный, модульный) подходов к организации учебного процесса. Использование указанных моделей механизмов обучения позволяет адекватно представлять процесс индивидуализированной фундаментальной подготовки учителя математики и эффективно управлять этим процессом в условиях вариативного образования, что способствует достижению основной цели профессионального образования - подготовке компетентного работника, свободно владеющего своей профессией, готового к постоянному профессиональному росту, социальной и профессиональной мобильности.
-
Уровневая модель предметно-профессиональных компетенций учителя математики, представляющая собой многоуровневую систему целей его фундаментальной подготовки, позволяет прогнизировать оптимальный уровень профессиональной компетентности обучающегося на основных этапах его индивидуальной образовательной траектории (выпускник школы - бакалавр - магистр), создает условия для эффективного формирования специальных, профессиональных и общекультурных компетенций студентов, служит теоретической основой отбора и структуризации содержания обучения для всех этапов предметной подготовки (предварительная, основная, углубленная и предметно-методическая) и во всех предметных областях, обеспечивает адекватное отражение результатов практической реализации предметно-уровневой модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики.
-
Предметно-уровневая модель индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики представляет собой распределенную по этапам предметной подготовки совокупность математических учебных дисциплин, элементов их содержания, видов учебной работы, при изучении и выполнении которых могут быть достигнуты цели подготовки. Разработанная предметно-уровневая модель, базирующаяся на сформированных в рамках числовой и дискретной содержательных линий учебно-методических комплектах, способствует индивидуализации образовательного процесса, обеспечивает эффективную и качественную профессионально-ориентированную многоуровневую фундаментальную подготовку студентов математических факультетов педвузов в области теории чисел и дискретной математики, построение "фундаментально-знаниевого" каркаса личности, гарантирующего системность знаний, целостное восприятие мира и человека в нем, создание базы для профессионального мастерства и профессиональной мобильности.
-
Непрерывная учебно-исследовательская работа студентов, осуществляемая по "сквозной" тематике на базе разработанных "цепочек" тем курсовых работ, бакалаврских работ и магистерских диссертаций, является системоообразующей, интегративной составляющей индивидуальной траектории фундаментальной подготовки учителя математики и позволяет активизировать учебно-познавательную деятельность обучающихся, усилить их мотивацию к полноценному овладению избранной профессией, реализовать их творческий потенциал в процессе создания соответствующего учебно-методического обеспечения для общеобразовательной
школы, что способствует профессиональному становлению учителя новой формации, ориентрованного на непрерывное пополнение и обновление своих знаний в условиях динамично меняющейся реальности.
5. Модель диагностики уровня сформированное предметно-профессиональных компетенций учителя математики на основе комплексной оценки, получаемой с помощью "свертки" оценок уровней достижения целей обучения в учебных модулях и дисциплинах на различных этапах предметной подготовки и в различных предметных областях, позволяет адекватно и своевременно оценивать степень достижения целей фундаментальной подготовки учителя математики, точность прогнозирования результатов обучения, динамику формирования предметно-профессиональных компетенций обучающегося, оптимальность выбора индивидуальной образовательной траектории и необходимость ее корректировки, последовательно корректировать индивидуальную образовательную траекторию будущего учителя математики, приближаясь к требуемой степени достижения целей обучения.
Апробация результатов исследования осуществлялась в форме обсуждений на научно-методических семинарах и конференциях, среди них: Подготовка преподавателя математики и информатики для высшей и средней школы (Москва: МПГУ, 1994); Вторые Рязанские педагогические чтения "Педагогические технологии в высшей школе" (Рязань: РГПИ, 1995); 3-й Рязанские педагогические чтения "Общепедагогические проблемы образовательного процесса в высшей школе" (Рязань: РГПИ, 1996); Математическая и методическая подготовка студентов педвузов и университетов в условиях модернизации системы образования. XX Всероссийский семинар преподавателей математики педвузов и университетов (Тверь, 2003); V Международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения академика А.Н. Колмогорова. "Профессионализация предметной подготовки учителя математики в педагогическом вузе (концепции, стандарты, программы, учебники)" (Ярославль, 2003); Международная научная конференция "57 Герценовские чтения" (Санкт-Петербург: РГПУ им. А.И. Герцена, 2004); Математика в современном мире. 2-я Российская научно-практическая конференция, посвященная 110-летию со дня рождения А.Я. Хинчина (Калуга, 2004); Современные проблемы преподавания математики и информатики. Международная научная конференция, посвященная 100-летию академика СМ. Никольского (Москва, 2005); Всероссийская научно-практическая конференция "Образовательная среда сегодня и завтра" (Москва, 2005); Международные конференции-выставки "Информационные технологии в образовании" (Москва, 2006 - 2008); IX Международный форум "Высокие технологии XXI века" (Москва, 2008); II Международная Интернет-конференция "Новые технологии в образовании" (Таганрог, 2009); XXVII Международная электронная научная конференция "Новые технологии в образовании" (Воронеж, 2009); Международная научно-образовательная конференция "Наука в вузах: математика, физика, информатика. Проблемы высшего и среднего профессионального образования" (Москва, 2009); Ежегодная Всероссийская научная конференция "Научное творчество XXI века" (Красноярск, 2009); IV Международная научно-практическая Интернет-конференция "Перспектива" (Красноярск, 2010); Всероссийская конференция "Математика, информатика и
методика их преподавания" (Москва: МПГУ, 2011); Fields Mathematics Education Forum (Торонто, 2011); 3-d Montreal-Toronto Workshop in Number Theory at the Fields Institute (Торонто, 2011); IX-XII Международные научно-практические конференции "Новые информационные технологии в образовании" (Москва, 2009 -2012); Научно-методический семинар "Актуальные проблемы преподавания математики и информатики в школе и педагогическом вузе", научный руководитель - действительный член РАН, действительный член РАО В.Л. Матросов (Москва: МПГУ, 2012). Различные аспекты проблематики неоднократно были предметом дискуссии на научных сессиях по итогам научно-исследовательской работы МПГУ, научно-методических семинаров кафедры теоретической информатики и дискретной математики МПГУ, кафедры теории чисел МПГУ, кафедры алгебры, геометрии и методики их преподавания МГПУ.
Основные положения диссертационного исследования отражены в 82-х публикациях автора, относящихся к теме исследования и охватывающих период с 1993 г. по настоящее время, общий объем которых составил более 196 п.л.
Внедрение результатов исследования. Результаты исследования внедрены в практику работы математического факультета МПГУ, математического факультета МГПУ, Независимого Московского Университета при Московском Центре непрерывного математического образования, педагогического колледжа № 9 г. Москвы. Опыт разработки элективных курсов для профильного обучения в рамках подготовки магистерских диссертаций нашел свое применение в образовательной практике современной школы (гимназии № 1516 и № 1549 г. Москвы, школы № 356, № 588 и № 1400 г. Москвы и др.).
Структура и объем диссертации. Структура диссертации отражает логику, содержание и результаты исследования и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка используемой литературы и приложений.
Общий объем диссертации составляет 367 с. Основной текст - 359 с, в том числе библиография из 347 источников на 31 с. Кроме того, диссертация содержит 3 приложения на 8 с.
Вариативность образования как условие реализации индивидуального подхода к развитию личности
Основой диагностики качества профессиональной подготовки выпускника педагогического вуза до недавнего времени служили государственные образовательные стандарты ВПО второго поколения, в которых доминировала знаниевая составляющая, искусственно разделяющая процесс оценки качества подготовки специалистов на отдельные части, которые как бы заслоняли искомый целостный результат ([41]; [42]; [43]; [44]; [45]).
Повышение требований к уровню и качеству подготовки выпускников вузов, к их готовности успешно решать основные задачи профессиональной деятельности потребовало перехода от квалификационной модели к компетентностной, в которой цели образования связываются не только с выполнением конкретных функций, но и с интегрированными требованиями к результату образовательного процесса, охватывая наряду с конкретными знаниями и навыками такие категории, как способность, готовность к познанию, социальные навыки и др. Произошла резкая переориентация оценки результата образования с понятий "подготовленность", "образованность", "общая культура", "воспитанность", на по нятия "компетенция", "компетентность" обучающихся, то есть был взят курс на компетентностный подход в образовании. Новый тип экономики вызывал новые требования, предъявляемые к выпускникам вузов, среди которых все больший приоритет стали получать требования системно организованных интеллектуальных, коммуникативных, рефлексирующих, самоорганизующих, моральных начал, позволяющих успешно организовывать деятельность в широком социальном, экономическом, культурном контекстах. В докладе ЮНЕСКО [111] сказано: "Все чаще ... нужна не квалификация, которая ... слишком часто ассоциируется с умением осуществлять те или иные операции материального характера, а компетентность, которая рассматривается как своего рода коктейль навыков, свойственных каждому индивиду, в котором сочетаются квалификация в строгом смысле этого слова,... социальное поведение, способность работать в группе, инициативность и любовь к риску".
Вопросы об определении и структуре профессиональной компетентности специалиста, в частности, педагога, обсуждается в литературе с 90-х годов прошлого века. Анализ литературы по данной проблеме (А.А. Андреев, В.И. Байденко, Л.И. Берестова, И.А. Зимняя, Д.А. Махотин, О.Г. Смолянинова, В.Д. Шадри-ков, О.Ю. Заславская и др.) позволяет утверждать, что под компетентностью чаще всего понимается интегрированная характеристика качеств личности, имеющая процессуальную направленность и мотивационный аспект, базирующаяся на знаниях, умениях и навыках, и проявляющихся в деятельности. С другой стороны, компетенция - это открытая система знаний, умений и навыков, которые активизируются и обогащаются в деятельности по мере возникновения и решения реальных жизненно и профессионально важных проблем, с которыми сталкивается человек - носитель компетенции. Для дифференциации понятий "компетенция" и "компетентность" следует опираться на тезис о том, что компетенция представляет собой ресурс, а компетентность - актуальное проявление такого ресурса в деятельности [124].
Проблемам формирования профессиональной компетентности посвящены исследования А.В. Баранникова, В.П. Беспалько, И.А. Зимней, В.В. Краевского, Н.В. Кузьминой, И.Я. Лернера, А.К. Марковой, А.А. Пинского, Б.Д. Элькони-на и др. Так, Н.В. Кузьмина [157] раскрывает профессионально-педагогическую компетентность через пять элементов или видов компетентностей: специальная и профессиональная компетентность в области преподаваемой дисциплины; методическая компетентность в области способов формирования знаний, умений у учащихся; социально-педагогическая компетентность в области процессов общения; дифференциально-психологическая компетентность в области мотивов, способностей, направлений учащихся; аутопсихологическая компетентность в области достоинств и недостатков собственной деятельности и личности. А.К. Маркова [175] выделяет в структуре профессиональной компетентности учителя следующие элементы: профессиональные психологические и педагогические знания; профессиональные педагогические умения; профессиональные психологические позиции, установки учителя, требуемые от него профессией; личностные особенности, обеспечивающие овладение учителем профессиональными знаниями и умениями. В.Д. Шадриков [322] рассматривает социально-личностные, общепрофессиональные и специальные компетентности. В.И. Байденко [10] исследует компетенции общие, профессиональные и академические. Ю.Г. Татур [284] говорит о компетентности в общенаучной сфере, являющейся базой соответствующей профессии, компетентности в широкой (инвариантной к различным специальностям) области профессиональной деятельности, компетентности в узкой (специальной) области профессиональной деятельности. И.А. Зимняя [129] рассматривает компетенции, относящиеся к самому человеку как личности, субъекту деятельности, компетенции, относящиеся к социальному взаимодействию человека и социальной сферы; компетенции, относящиеся к деятельности человека.
Применительно к педагогической профессии называют следующие виды компетенций: общекультурные, методологические, предметно-ориентированные (Ю.В. Фролов и Д.А. Махотин [307]); содержательные (наличие специальных математических знаний), технологические (владение методами обучения математике) и личностные (владение некоторыми чертами личности) (В.А. Тестов [287]); ключевые (общие для современных специалистов разных профилей) общепрофессиональные (базовые для всех специалистов педагогического профиля), специальные (обусловленные предметной областью) (О.И. Мартынюк, И.Н. Медведев, СВ. Панькова, О.И. Соловьева [178]) и др.
ФГОС ВПО третьего поколения, активное внедрение которых идет с 2009 года, сконструированы на основе компетентностного подхода и представляют собой совокупность требований, обязательных при реализации ООП ВПО обра зовательными учреждениями, имеющими государственную аккредитацию. Требования к результатам ООП сформулированы в терминах освоения выпускником системы компетенций, под которыми понимается способность применять знания, умения и личностные качества для успешной деятельности в определенной области. При этом необходимые общекультурные (ОК) и профессиональные (ПК), в том числе общепрофессиональные (ОПК) компетенции перечислены в стандарте, в то время как выбор специальных компетенций (СК) предоставлен разработчикам ООП того или иного профиля.
Так, система общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных (распределенных по областям деятельности: педагогической и культурно-просветительской) компетенций бакалавра педагогического образования [302], представленных в соответствующем стандарте, включает, в том числе: владение культурой мышления, способность к обобщению, анализу, восприятию инфор мации, постановке цели, выбору путей ее достижения (ОК-1); способность анализировать мировоззренческие, социально и личиостно значимые философские проблемы (ОК-2); способность использовать знания о современной естественнонаучной картине мира в образовательной и профессиональной деятельности, применять методы математической обработки информации, теоретического и экспериментального исследования (ОК-4); готовность использовать основные методы, способы и средства получения, хранения, переработки информации, работать с компьютером как средством управления информацией (ОК-8); осознание социальной значимости своей будущей профессии, обладание мотивацией к осуществлению профессиональной деятельности; (ОПК- 1); способность к подготовке и редактированию текстов профессионального и социально значимого содержания (ОПК-6); в области педагогической деятельности: способность реализовывать учебные программы базовых и элективных курсов в различных образовательных учреждениях (ПК-1); способность применять современные методы диагностирования достижений обучающихся и воспитанников, осуществлять педагогическое сопровождение процессов социализации и профессионального самоопределения обучающихся, подготовки их к сознательному выбору профессии (ПК-3).
Цели фундаментальной подготовки учителя математики в условиях реализации индивидуальных образовательных траекторий
Содержание образования, представляющее собой, в широком смысле, педагогически адаптированный социальный опыт, осваиваемый учащимися в собственной деятельности, является основной составляющей процесса обучения. Теоретические вопросы отбора и конструирования содержания обучения рассматривались в работах многих ученых: Б.М. Бим-Бада, В.И. Загвязинского, В.В. Краевского, B.C. Леднева, И.Я. Лернера, М.Н. Скаткина, Г.Л. Луканки-на, А.Г. Мордковича, А.В. Петровского, И.М. Смирновой, А.И. Субетто, Н.Ф. Талызиной, И.Л. Тимофеевой, Г.Г. Хамова, А.В. Хуторского и др.
В традиционной педагогике содержание образования определяется как совокупность систематизированных знаний, умений и навыков, взглядов и убеждений, а также определенный уровень развития познавательных сил и практической подготовки, достигнутые в результате учебно-воспитательной работы. Это так называемый знаниево-ориентированный подход к определению сущности содержания образования [239].
В последнее время в свете идеи гуманизации образования все более утверждается личностно-ориентированный подход к выявлению сущности содержания образования, нашедший свое отражение в работах И.Я. Лернера и М.Н. Скаткина, B.C. Леднева, Б.М. Бим-Бада и А.В. Петровского и др. Так, И.Я. Лернер [166] и М. Н. Скаткин [272] выделяют четыре элемента содержания образования, усвоение которых призвано обеспечить формирование всесторонне развитой личности: педагогически адаптированную систему знаний о природе, обществе, мышлении, технике, способах деятельности; опыт осуществления способов деятельности, выражающийся в системе общих интеллектуальных и практических навыков и умений; опыт творческой, поисковой деятельности; опыт эмоционально-волевого отношения к миру и друг другу, т.е. система эмоциональной, волевой, моральной и эстетической воспитанности. B.C. Леднев [162] считает, что содержание образования - это содержание процесса прогрессивных изменений свойств и качеств личности, необходимым условием которого является особым образом организованная деятельность. В этой связи оно выступает как содержание триединого целостного процесса образования личности через усвоение опыта, воспитания и развития. По мнению Б.М. Бим-Бада и А.В. Петровского [239], подлежащее усвоению учащимися содержание образования, определяя развитие личности, является частью социально-культурного опыта, включающего в себя культуру поведения, общения, чувств, мышления и практической конструктивной деятельности.
В педагогической теории нашли признание принципы формирования содержания образования, предложенные В. В. Краевским [152]: принцип соответствия содержания образования во всех его элементах и на всех уровнях конструирования требованиям развития общества, науки, культуры и личности; принцип единой содержательной и процессуальной стороны обучения; принцип структурного единства содержания образования на разных уровнях его формирования. Разработанные в контексте общего образования, они могут быть использованы и при формировании содержания высшего образования.
В связи с переходом к личностно-ориентированному образованию наметились тенденции становления таких принципов отбора содержания образования, как гуманитаризация и фундаментализация, которые, в свою очередь, вызвали к жизни становление и такого принципа, как соответствие основных компонентов содержания образования структуре базовой культуры личности. Исходя из концепции И.Я. Лернера и М.Н. Скаткина, эти компоненты могут быть представлены как когнитивный опыт личности, опыт практической деятельности, опыт творчества и опыт отношений личности.
Г. Г. Хамов [309] выделил такие принципы формирования содержания обучения математике в педвузе, как принцип соответствия целям обучения; принцип дидактической изоморфности; принцип интегративности; дидактический принцип (в содержании математического курса должны быть реализованы те дидактические условия, заключенные в принципах дидактики, которые определяют педагогическую обоснованность формирования содержания обучения); профессионально-педагогический принцип; принцип единства содержания обучения; принцип перспективности; принцип минимизации.
В диссертации А.Г. Мордковича [201] сформулированы критерии профессионально-педагогического подхода к составлению программ математических курсов педвузов: критерий соответствия целям обучения, критерий дидактической изоморфности (основные структурные элементы и смысловые единицы соответствующей области математики переходят в учебный процесс переосмысленными в дидактическом плане); критерий минимизации (связанный с необходимостью тщательно отбирать минимум информации).
Г.И. Луканкин [171] при подготовке, совершенствовании и переработке учебных программ и пособий использует критерии дидактической значимости, полноты, широты, мотивации обучения, педагогизации и др.
И.М. Смирнова [274] предлагает следующие критерии отбора содержания обучения для профильных классов: научной и практической значимости; соответствия содержания воспитательным и развивающим целям обучения; соответствия содержания профилю обучения; соответствия содержания возрастным особенностям учащихся; и соответствия содержания индивидуальным особенностям развития учащихся; соответствия содержания учебно-методическому обеспечению; соответствия содержания имеющемуся времени.
В этом разделе мы рассмотрим вопросы отбора и структуризации содержания фундаментальной подготовки будущих учителей математики в условиях построения ИОТ, понимая под содержанием такой подготовки, во-первых, совокупность содержания, учебных дисциплин (отраженного в программах курсов и соответствующих им массивам учебных материалов, структурированных с опорой на концептуальные положения модульного подхода), распределенных по этапам предварительной, основной, углубленной и предметно-методической подготовки; во-вторых, содержание непрерывной учебно-исследовательской работы студентов, фундаментом которой служат предварительно разработанные массивы математической информации, методически обеспечивающие предлагаемые "цепочки" тем курсовых, бакалаврских и магистерских работ.
Другими словами, мы проанализируем возможности построения предметной модели индивидуальной траектории фундаментальной подготовки будущего учителя, которую, с учетом многоуровневости этого процесса на современном этапе, целесообразно назвать предметно-уровневой. При этом мы исходим из того, что формирование указанной предметно-уровневой модели целесообразно осуществлять в соответствии с критериями научности, фундаментальности, перспективности, непрерывности и преемственности, структурного единства инвариантной и вариативной составляющих, минимизации инвариантной составляющей, интегративности, гуманизации, соответствия индивидуальным особенностям студентов, профессиональной и практической значимости, соответствия учебно-методическому обеспечению и учебному времени.
Особенности числовой и дискретной содержательных линий Несмотря на важность и взаимопроникаемость всех содержательных линий общего и профессионального математического образования, мы считаем необходимым акцентировать внимание на двух из них, имеющих особое значение в условиях реалий сегодняшнего дня. Это - линия числа, представленная в школьном курсе математики прежде всего арифметической составляющей, а в рамках вузовской подготовки - курсами Теория чисел" и "Числовые системы", и дискретная линия, частично представленная в школьном курсе разделом "Элементы комбинаторики, теории вероятностей, математической статистики и логики", а в условиях высшего образования - дисциплиной "Дискретная математика" (или ее аналогами). Выбор для практической реализации концепции формирования индивидуальных траекторий фундаментальной подготовки учителя математики в условиях вариативного образования именно этих двух содержательных линий связан с особой ролью понятия числа и дискретной математики в современных условиях.
Исследовательская работа студента как системообразующая составляющая его индивидуальной образовательной траектории
Результаты теста показывают, что курс арифметики в рамках предварительной подготовки студентов в контексте числовой содержательной линии необходим прежде всего для систематизации и закрепления "школьных" знаний в этой области. Не менее значима и возможность построения "мостика" к основным курсам Теория чисел" и "Числовые системы", изучение которых подразумевает наличие достаточно высокой арифметической культуры слушателей. С точки зрения компетентностного подхода, основной целью изучения курса "Арифметика" является реанимация и актуализация предметно-профессиональных (прежде всего содержательных) компетенций, полученных в школе. Учитывая основные требования к уровню арифметической подготовки выпускников, изложенные в госстандарте среднего (полного) образования в рамках содержательной линии "Числовые и буквенные выражения", мы выделяем представленные ниже цели предварительной теоретико-числовой (арифметической) подготовки студентов математических факультетов педвузов. В результате изучения курса "Арифметика" студент должен демонстрировать: знание классических числовых систем (натуральных, рациональных, действительных, комплексных чисел), теоремы о делении с остатком, свойств отношения делимости, НОД, НОК, взаимно-простых чисел, алгоритма Евклида и его приложений (цепные дроби, неопределенные уравнения), определения простого числа, основной теоремы арифметики, теоремы о бесконечности множества простых чисел, позиционных систем счисления, основных методы решения неопределенных уравнений; умение находить остаток от деления целого числа на натуральное, раскладывать заданное натуральное число на простые множители, находить НОД и НОК двух чисел с помощью алгоритма Евклида и разложения на простые множители, представлять заданное рациональное число в системе счисления с основанием д (д Є N,# 1), использовать систематическую запись чисел для решения математических задач, решать неопределенные уравнения первой степени и простейшие неопределенные уравнения высших степеней; владение алгоритмическим методом (на примере использования алгоритма Евклида, алгоритма разложения числа на простые множители, алгоритма записи числа в заданной системе счисления); знакомство с такими общенаучными методами решения проблем, как аналогия, сравнение, обобщение, анализ и синтез; основы логической и алгоритмической культуры; математическое мышление; владение элементами историзма, понимание значимости математики для общечеловеческого прогресса.
Основная подготовка в рамках линии числа складывается прежде всего из дисциплин Теория чисел" и "Числовые системы". Дополнительную подготовку в этом направлении студенты получают при изучении дисциплин "Математические модели, методы и теории (конечные поля)", "Прикладные вопросы теории чисел", "Дополнительные главы элементарной теории чисел". К этому списку можно добавить и дисциплину "История математики".
Так, в госстандартах высшего профессионального образования второго поколения [41]; [42]; [43]; [44]; [45] линия числа была представлена, для специальности "Математика", дисциплинами "Теория чисел", "Числовые системы", и, частично, дисциплиной "История математики". Для направления подготовки "Физико-математическое образование" (степень - "бакалавр физико-математического образования") было предусмотрено изучение дисциплины "Алгебра и теория чисел". Очень серьезное знакомство с основными теоретико-числовыми методами было предусмотрено и госстандартом направления "Математика" (степень - "бакалавр математики") в ходе изучения дисциплины "Теория чисел".
В соответствии с ФГОС ВПО третьего поколения по направлениям подготовки "Педагогическое образование" (степень - "бакалавр", профиль - математика) и "Математика" (степень - "бакалавр") изучение этих вопросов возможно в рамках дисциплин, входящих в вариативную часть профессионального циклов.
Хотя анализ имеющихся ООП ВПО показывает, что курсы "Теория чисел" и "Числовые системы" не везде выделены в отдельные дисциплины (так, для бакалавров физико-математического образования изучение этих вопросов совмещено с алгеброй) мы считаем, что два этих основных предмета необходимо читать отдельно. Так решается этот вопрос и на математическом факультете МПГУ, где курсы теории чисел и числовых систем читаются для всех направлений подготовки и специальностей на третьем курсе. Прежде всего рассмотрим программу по теории чисел, разработанную кафедрой теории чисел МПГУ. Она содержит следующие разделы. Свойства делимости в кольце целых чисел. Теорема о делении с остатком. Отношение делимости в кольце целых чисел и его свойства. Простые числа. Основная теорема арифметики. Основное свойства простого числа. НОД и НОК, их свойства. Взаимно простые числа, их свойства.
Числовые функции. Функции Целая и дробная часть числа и их свойства. Разложение п! На простые множители. Мультипликативные функции и их свойства. Функции (число делителей, сумма делителей, функция Мебиуса) и их свойства.
Теория сравнений в кольце целых чисел. Отношение сравнимости и его свойства. Классы вычетов по данному модулю их свойства. Кольцо классов вычетов. Поле классов вычетов по простому модулю. Полная и приведенная системы вычетов, их свойства. Функция Эйлера и ее свойства. Теоремы Эйлера и Ферма. Сравнения с неизвестной величиной. Сравнения первой степени и способы их решения. Системы сравнений первой степени. Сравнения п-ой степени по простому модулю. Сравнения n-ой степени по составному модулю. Сравнения второй степени по простому модулю. Квадратичные вычеты и невычеты, их свойства. Символ Лежандра и его свойства. Квадратичный закон взаимности. Символ Якоби. Показатель числа и классы вычетов. Свойства показателей. Первообразные корень по простому и по составному модулю. Индексы. Двучленные сравнения по простому модулю. Арифметические приложения теории сравнений (признаки делимости, длина периода систематической (в том числе десятичной) дроби и др.).
Диагностика уровня сформированности предметно-профессиональных компетенций на основе комплексной оценки
Во-вторых, процесс становления специалиста в педагогическом вузе не может проходить в стороне от реалий и проблем современного общего образования, должен быть связан со школой и ориентирован на нее. Разработка в рамках подготовки магистерских диссертаций элективных курсов для профильного обучения (и курсов по выбору для предпрофильной подготовки), как один из аспектов предметно-методической подготовки учителя, решает, помимо основной задачи (формирование системы предметно-профессиональных компетенций будущего специалиста), и проблему создания соответствующего "школьного" методического обеспечения. Сейчас, когда использование элективных курсов является актуальной практической задачей, а их методическое обеспечение явно отстает от потребностей современной школы, разработка системы таких курсов в рамках работы над магистерскими диссертациями (дипломами) является особенно актуальной. Так как именно магистратура педвузов должна стать в ближайшем будущем главным источником специалистов высшей квалификации для профильного обучения, привлечение студентов-магистрантов к решению вопросов такого рода кажется особенно полезным.
В этом разделе мы рассматриваем содержание нескольких арифметических элективных курсов, разработанных нами в процессе диссертационного исследования на основании результатов многолетней практической работы со многими поколениями студентов математического факультета МПГУ. Каждый из представленных курсов направлен на детальное и всестороннее освещение вопросов, так или иначе связанных с одним из классов специальных чисел натурального ряда, содержит большое число теоретических утверждений, исторических экскурсов и задач для самостоятельного решения, основное назначение которых - продемонстрировать связи изучаемой тематики с другими разделами арифметики, теории чисел, комбинаторики, теории графов и т.д. Рассматриваемые материалы являются составной частью системы статей, которые были опубликованы нами в течение 2007 - 2010 годов в журнале "Математика в школе" ([69];
Фигурные числа по многим причинам являются наиболее презентативным с точки зрения нашего исследования классом специальных натуральных чисел. Во-первых, они по-праву считаются наиболее древними объектами такого рода (их "официальная" история начинается с Пифагора). Во-вторых, связи теории фигурных чисел со школьным курсом математики особенно прозрачны (арифметическая прогрессия, метод математической индукции, решение уравнений в целых числах, геометрические фигуры и др.), а возможности введения новых элементов содержания, актуальных для совершенствования математической подготовки учащихся старшей школы, крайне широки (теория рекуррентных соотношений, методы конечного суммирования, элементы теории цепных дробей, элементы теории графов, диофантовы уравнения второй степени, метод неопределенных коэффициентов и др.). В-третьих, существует множество естественных связей фигурных чисел с другими классами специальных чисел натурального ряда, равно как и с некоторыми классическими проблемами математической науки, что позволяет, опираясь на теорию фигурных чисел, познакомить обучающихся и с другими интересными числовыми объектами (простые числа, совершенные числа, пифагоровы тройки, треугольник Паскаля, магические фигуры и др.), дать обзор ряда известных теоретико-числовых проблем (Великая теорема Ферма, теорема Лагранжа, проблема Варинга и др.).
Ниже представлены разработанные нами материалы по теме "Фигурные числа" [69]; [70], которые заинтересованный преподаватель может с успехом использовать в свой практической деятельности, прежде всего при создании элективного курса указанной тематики. (В 2007 - 2008 гг. данные материалы были использованы в практике работы гимназии № 1516 г. Москвы.)
История вопроса. Понятие "геометрии чисел", в том числе "фигурных чисел", нигде точно не определено, поэтому трактовать его можно очень широко. В классической интерпретации фигурными мы называем числа, связанные с геометрическими образами, прежде всего, числа, которые можно изобразить на плоскости (или в пространстве) в виде правильного многоугольника (многогранника, соответственно) с помощью точек или шаров одинакового размера.
Числа такого рода были известны еще в древней Индии и Вавилоне, возникнув в связи с практическими потребностями строительства сложных архитектурных деталей из прямоугольных блоков. Вероятно, именно во время своих путешествий по Азии этими числами заинтересовался Пифагор, который и построил первую теорию фигурных (многоугольных) чисел (VI век до нашей эры). Они встречаются у греческих математиков Эратосфена и Пен 261 сикла; о таких числах писал ученик Сократа и Платона Опунтиус. Особенно подробно изучали их математики первых веков нашей эры Никомах Геразский и Теоп Смирнский. Дань этому увлечению отдал и отец греческой алгебры Диофант (III век нашей эры), написавший о них целую книгу [108].
Многоугольные числа, особенно треугольные, пользовались большой популярностью в конце эпохи Возрождения, после того как греческая теория чисел проникла в Западную Европу. Их рассматривали Кардано, Штифель, Баше де Мезирак, Ферма, Декарт, Валлис. Серьезные математические утверждения, связанные с фигурными числами, были получены Эйлером, Гауссом, Коши и другими великими математиками XVIII - XIX веков. Так, Эйлер решил многовековую задачу о получении формулы, которая бы сразу "отыскивала" в ряду квадратных чисел те числа, которые одновременно являются и треугольными. Гипотеза Ферма о возможности представления любого натурального числа в виде суммы не более п n-угольных чисел, пройдя через руки Гаусса и Лагранжа, была доказана во всей своей полноте Коши.
