Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Психолого-педагогические основы профессиональной направленности преподавания курса теории функций комплексного переменного в высшем педагогическом учебном
заведении 14
1.1. Концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей 14
1.2. Реализация концепции профессионально педагогической направленности при изучении основного курса теории функций комплексного переменного 23
1.3. Роль и место специальных курсов (курсов по выбору) в реализации профессиональной направленности курса теории
функций комплексного переменного 3d
ГЛАВА 2. Содержание и методика проведения курса по выбору: «Некоторые приложения конформных отображений» 45
2.1. Структура и методические особенности курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений» 45
2.2. Содержание и методика изучения курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений» 50
а) Введение 50
б) Тема 1. Принцип симметрии 55
в) Тема 2. Отображение многоугольников 69
г) Тема 3. Некоторые приложения конформных отображений к вопросам естествознвния 86
д) Тема 4. Использование комплексных чисел при решении некоторых физических задач 100
ГЛАВА 3. Содержание и методика проведения факультативного курса: «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения» 110
3.1. Структура и методические особенности факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения» 110
3.2. Содержание и методика изучения курса: «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения» 120
а) Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами 120
б) Кривые и области на комплексной плоскости 128
в) Функции комплексного переменного 131
г) Понятие конформного отображения. Некоторые элементарные функции и соответствующие им конформные отображения 133
д) Применение конформных отображений в вопросах естествознания 139
3.3. Анализ результатов педагогического эксперимента 140
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 156
БИБЛИОГРАФИЯ 158
Приложение 1. Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения 178
Тема 1. Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами 178
Тема 2. Кривые и области на комплексной плоскости 193
Тема 3. Функции комплексного переменного 204
Тема 4. Понятие конформного отображения. Некоторые элементарные функции и соответствующие им конформные отображения 213
Тема 5. Применение конформных отображений в вопросах естествознания 232
Вопросы для самоконтроля 242
Задачи для самостоятельного решения к теме 1 245
Задачи для самостоятельного решения к теме 2 250
Задачи для самостоятельного решения к теме 3 253
Задачи для самостоятельного решения к теме 4 255
Литература 259
Приложение 2. Программа, демонстрирующая конформное отображение круга радиуса R на круг радиуса — с помощью функции — 260
Приложение 3. Задачи для самостоятельного решения к теме «Принцип симметрии. Отображение многоугольников» 261
Приложение 4. Задачи для самостоятельного решения к теме «Использование комплексных чисел при решении некоторых физических задач» 268
- Концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей
- Структура и методические особенности курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений»
- Структура и методические особенности факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения»
Введение к работе
На современном этапе развития общества большое внимание уделяется обучению и воспитанию подрастающего поколения. В системе высшего педагогического образования и в средних учебных заведениях идет поиск новых путей, форм и методов повышения качества подготовки специалистов и выпускников средних школ, обладающих достаточно глубокими знаниями.
Реализация концепций обучения и воспитания учащихся средней школы, студентов вузов предполагает совершенствование подготовки педагогических кадров для средней и высшей школы, переход к целостной системе непрерывного образования, которая призвана в полной мере учитывать запросы современного знания и вариативность условий практики.
Под профессиональной подготовкой современного учителя математики традиционно понимается формирование совокупности математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений, которые определяют деятельность учителя математики в современных условиях.
Проблемы, связанные с формированием основ педагогического мастерства учителя в период подготовки его в педвузе, нашли отражение в трудах известных педагогов и психологов: СИ. Архангельского, Ф.Н. Гоноболина, В.В. Давыдова, В.И. Загвязинского, Т.А. Ильиной, Н.В. Кузьминой, B.C. Лед-нева, Н.Н. Нечаева, П.И. Пидкасистого, В.А. Сластенина, Н.Ф. Талызиной, А.И. Щербакова и других.
Проблемы совершенствования профессионально-педагогичес-кой, научной и практической направленности подготовки учителя исследовались в трудах Ф.С. Авдеева, И.Н. Антипова, М.М. Буняева, Н.Р. Гайбуллаева, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, М.И. Зайкина, Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Э.И. Кузнецова, Г.Л. Луканкина, Н.В. Метельского, В.И. Мишина, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, Э.Д. Новожилова, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Н.А. Те-решина, Р.С. Черкасова, М.И. Шабунина, Б.П. Эрдниева и других.
Вопросы устранения разрыва между психолого-педагогической и методи-ко-математической проблемами профессиональной направленности обучения при изучении студентами педагогических вузов отдельных математических дисциплин рассмотрены в диссертационных исследованиях В.В. Андреева, М.Р. Арабовой, Н.И. Батькановой, Х.А. Гербекова, А.Н. Евелиной, Н.Н. Егарминой, П.Л. Касярум, П.И. Кибалко, Т.А. Корешковой, А.Г. Кузнецова, И.А. Новик, Н.Г. Ованеса, Н.П. Рыжовой, О.А. Саввиной, С.А. Самсоновой, И.О. Соловьевой, Т.К. Юрзановой и других.
В настоящее время, в условиях перехода к многоуровневой системе образования, повышению эффективности профессиональной подготовки будущих учителей математики служит расширение тематики курсов по выбору. Отметим, что курсы по выбору математического плана позволяют познакомить студентов с некоторыми проблемами и задачами современной математики, приобщить их к самостоятельной исследовательской работе. Использование курсов по выбору позволяют педвузу более гибко реагировать на содержательные изменения, происходящие в средних общеобразовательных учреждениях, повышать качество подготовки специалистов, вводить новые специализации в связи с запросами регионов.
Так, например, В.В. Андреев [17] в своем диссертационном исследовании рассматривает принципиальные моменты в деле реализации профессиональной направленности обучения математике на основе использования специальных курсов, разработанных на базе курса «Теория аналитических функций».
В работе Л.Н. Евелиной [81] даны конкретные методические рекомендации для проведения спецкурса и спецсеминара по элементарной геометрии.
Диссертационное исследование Н.П. Рыжовой [199] посвящено проблемам реализации взаимосвязи специальной и методической подготовки будущих учителей математики при изучении алгебры и теории чисел на примере спецкурса и спецсеминара.
Пути формирования профессиональной подготовки студентов-математиков на основе проведения элективных курсов анализирует в кандидатской диссертации Т.К. Юрзанова [248].
В своем диссертационном исследовании С.А. Самсонова [201] рассматривает проблему реализации профессионально-педагогической направленности обучения студентов стохастике на основе преподавания курсов по выбору в педвузе, что способствует повышению уровня фундаментальной подготовки специалистов.
Заметим, что спецкурсы и спецсеминары позволяют преподавателям школ и вузов передавать своим ученикам не только уже известные, установившиеся в науке знания, но и подготовить их к более сложной работе - к творчеству. Спецкурсы и спецсеминары «дают возможность быстро подойти к современному знанию в сравнительно узкой области науки. Как правило, лектор выбирает специальный курс близко к своим научным интересам; он делится со слушателями постановками задач, которые его интересуют, знакомит с трудностями, которые он встретил при их решении и, таким образом, вводит учеников в современную проблематику науки» [68].
В своем диссертационном исследовании А.Г. Мордкович [156] обращает внимание на то, что комплекс математических дисциплин, изучаемых в педагогическом вузе, должен обеспечивать, с одной стороны, современное научное истолкование всех основных понятий и фактов, составляющих школьный курс математики, и, с другой стороны, знакомство с методами изложения школьной математики.
М.В. Потоцкой [182] высказывается о сочетании двух направлений в обучении математике в педагогическом вузе:
- необходимо излагать фундаментальные достижения в данной области математической науки на современном уровне математической строгости;
- важно добиться понимания студентами значения полученных знаний для своей будущей профессиональной деятельности в качестве учителя математики средней школы.
Эту проблему с успехом решают курсы по выбору в педвузе, на базе которых в дальнейшем могут быть сконструированы факультативные занятия для учащихся средних школ.
Отметим тот факт, что знакомство с числами, элементарными функциями начинается в школе. Именно там закладываются интуитивные знания о числе и его свойствах, об элементарных функциях (линейных, дробно-рациональных, показательных, тригонометрических и т.п.), но, чтобы грамотно формировать эти знания, учитель должен усвоить их научные основы. Поэтому важное значение имеет изучение курса теории функций комплексного переменного, который является одной из фундаментальных дисциплин, изучаемых в педагогическом вузе. Изучение теории функций комплексного переменного позволяет совершенствовать математическую подготовку и развивать методические умения и навыки будущего учителя математики. Разумеется элементарные функции занимают в этом курсе доминирующее место.
Спецкурсы, разработанные на базе курса теории функций комплексного переменного, позволяют познакомить студентов с приложениями теории аналитических функций. Это тем более важно, потому что, работая в школе, учитель математики может применять полученные знания, умения и навыки на заключительном этапе формирования у школьников понятия о числе, о функциональной зависимости; использовать свойства комплексных чисел и элементарных функций комплексного переменного при решении задач элементарной математики на факультативных занятиях, а также познакомить с применением комплексных чисел и элементарных функций комплексного переменного при решении некоторых задач по физике, механике и так далее.
Известные в научно-методической литературе исследования, в основном, посвящены обоснованию профессиональной направленности обучения студентов педвузов фундаментальным дисциплинам (в частности, курсу «Теория аналитических функций»). Вопросы, связанные с обоснованием содержания, методов и приемов проведения курсов по выбору, созданных на базе курса теории функций комплексного переменного, на наш взгляд, еще не достаточно разработаны. Поиск путей совершенствования технологии преподавания курсов по выбору по математике с акцентом на профессиональную направленность обучения обусловил цель нашего исследования и определил его актуальность.
Проблема исследования заключается в усилении профессиональной направленности обучения будущих учителей математики на основе разрабоїки спецкурсов, изучаемых в органическом единстве с основным курсом теории функций комплексного переменного.
Объектом исследования является профессиональная подготовка учителя математики в педагогическом вузе и факультативные занятия как особая форма обучения математике в средней школе.
Предмет исследования состоит в изучении методических подходов использования курсов по выбору в системе профессиональной подготовки учителя математики, а также в реализации методических особенностей постановки факультативных курсов в старших классах средней школы.
Целью работы является обоснование роли и места спецкурсов на базе курса теории функций комплексного переменного; разработка спецкурса «Некоторые приложения конформных отображений» и факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения».
Гипотеза исследования заключается в том, что если разработать специальный курс «Некоторые приложения конформных отображений», из которого вытекает факультативный курс «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения», способствующий расширению понятия числа, функциональной зависимости, а также ориентированный на повышение фундаментальной подготовки и информационной культуры студентов, то он будет способствовать выработке необходимых профес сиональных умений и навыков, формирования основ профессионального мастерства.
Исходя из цели и гипотезы исследования, были поставлены следующие задачи:
1) проанализировать современные тенденции в исследованиях, посвященных вопросам совершенствования профессиональной подготовки учителей математики в педагогических вузах;
2) обосновать роль и место курсов по выбору, разработанных на базе фундаментального курса «Теории функций комплексного переменного», при реализации профессиональной направленности обучения студентов педвузов;
3) разработать структуру, содержание и методику проведения курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений»;
4) разработать блоки задач, сопровождающие изучение теоретического материала данного курса по выбору;
5) разработать структуру, содержание и методику проведения факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения»;
6) разработать блоки задач, сопровождающие изучение теоретического материала данного факультативного курса;
7) экспериментально проверить выдвинутую гипотезу.
В ходе решения поставленных задач использовались методы исследования:
- изучение и анализ психолого-педагогической, научно-методической и физико-математической литературы по проблеме исследования, существующих программ по математике для математических и физико-математических факультетов педагогических вузов, а также факультативов по математике и смежных дисциплин;
- изучение и обобщение опыта работы педвузов;
- обобщение опыта преподавания спецдисциплин и курсов по выбору в вузах, а также личного опыта преподавания;
- наблюдение за студентами, беседы с преподавателями вузов, учителей математики, ведущих факультативные занятия;
- беседы и анкетирование студентов и школьников;
- экспериментальное преподавание, направленное на выявление эффективности предлагаемой методики проведения разработанных курса по выбору и факультативного курса;
- статистическая обработка и анализ результатов исследования. Научная новизна и теоретическая значимость исследования состоит в том.
что
1) проблема повышения качества профессиональной подготовки студентов педагогических вузов решается на основе совершенствования методики преподавания основного курса и использования курсов по выбору;
2) Структурно и содержательно представлен курс по выбору «Некоторые приложения конформных отображений», направленный на повышение профессиональной подготовки и профессионального мастерства будущих учителей математики на основе реализации межпредметных связей изучаемых в педвузе математических дисциплин, физики, информатики и школьного курса математики;
3) Структурно и содержательно представлен факультативный курс «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения», который отвечает методическим обоснованиям построения факультативного курса по математике в средней школе;
4) Разработаны теоретически и экспериментально проверены условия и возможности повышения уровня фундаментальной подготовки будущих учителей математики, формирования навыков учебно-исследовательской деятельности и логико-алгоритмической культуры у студентов.
Практическая значимость исследования заключается в том, что его результаты могут быть использованы преподавателями, ведущими занятия по теории функций комплексного переменного; студентами педагогических ву зов в их дальнейшей работе в школе при определении содержания факультативных курсов.
На защиту выносятся:
1) теоретические положения, лежащие в основе реализации концепции профессионально-педагогической направленности при изучении курса «Теории функций комплексного переменного» и роль и место курсов по выбору при подготовке будущего учителя математики;
2) содержание и методика проведения курса по выбору для педвузов «Некоторые приложения конформных отображений»;
3) содержание и методика проведения факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения».
Апробация работы осуществлялась при авторском преподавании по разработанной методике курса по выбору и факультативного курса (1999 - 2000 гг.), а также в виде докладов и выступлений автора на ежегодных научно-методических конференциях «Ломоносовские чтения» (ноябрь 1998 г.), на научно-практических семинарах кафедр высшей математики и методики преподавания математики ПГУ им. М.В. Ломоносова (1996 г., 1997 г., 1999 г.), на научно-практическом семинаре молодых ученых «Грани познания» (Уфа, 2001 г.), на методических семинарах аспирантов Московского педагогического государственного университета (1997-2001), на семинарах учителей математики Архангельской области «Прикладная направленность школьного курса математики», а также посредством публикаций.
Автором по теме исследования опубликованы следующие работы:
1. Кузнецова И.В., Мясникова СВ., Сотникова О.А. Алгебра: Методические указания к выполнению контрольных работ (для студентов заочной формы обучения). - Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова, 1999. - ч.2, - 31 с.
2. Требования к построению блоков задач по теории функций комплексного переменного / X Ломоносовские чтения: Доклады и тезисы. - Архан гельск: Изд-во Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова, 1998. - 255 - 256 с.
3. Роль и место задач в развитии математического мышления / Вестник математического факультета: Межвузовский сборник научных трудов. Отв. ред. Э.О. Зеель, Е.Ф. Фефилова. - Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова, 1999.- 96 - 102 с.
Сданы в печать следующие публикации:
1. Реализация концепции профессионально-педагогической направленности при изучении курса теории функций комплексного переменного / Сборник научных трудов «Грани познания». - Уфа: Изд-во ВЭГУ, 2001.
2. Роль и место спецкурса «Некоторые приложения конформных отображений» в реализации профессиональной направленности курса ТФКП / Научные труды МПГУ. - Москва: Изд-во МПГУ, 2001.
3. Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения / Пособие для студентов нематематических факультетов, учителей математики и учащихся старших классов. - Уфа: Изд-во ВЭГУ, 2001.
Педагогический эксперимент по внедрению курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений» проводился на математическом факультете Поморского государственного университета имени М.В. Ломоносова, факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения» - в математической студии колледжа при ВЭГУ г. Щербинка Московской области.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения поставленных задач. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной литературы и приложений.
Концепция профессионально-педагогической направленности обучения математике будущих учителей
В настоящее время происходят изменения во всех сферах жизнедеятельности нашего общества. Они оказывают непосредственное влияние на развитие образования в нашей стране. Поэтому школе нужны педагоги, умеющие творчески мыслить, анализировать, корректировать свою профессиональную деятельность, использовать в своей практике достижения педагогической науки.
Отметим, что проблема профессионализации обучения особо актуальна в педагогическом вузе в подготовке учителя любой специальности, в том числе и учителя математики.
Под профессиональной подготовкой современного учителя математики обычно понимают формирование совокупности математических, психолого-педагогических и методических знаний и умений, которые определяют деятельность учителя математики в современных условиях. Основная цель подготовки будущего учителя математики заключается в том, чтобы сформировать основы профессионального мастерства, представляющие собой синтез необходимого уровня математических знаний, умений и навыков, ясного понимания целей и задач обучения математике в школе, гибкого и оперативного владения методикой преподавания математики.
Подчеркнем, что особая роль в формировании профессионального мастерства будущего учителя в педагогическом вузе принадлежит фундаментальным дисциплинам. При этом цель обучения высшей математике в педагогическом вузе можно сформулировать, опираясь на работы Н.Я. Виленкина и А.Г. Мордковича [49, 156], следующим образом: сформировать математические знания, обеспечивающие владение школьным курсом математики; достичь достаточно высокого уровня математической культуры и мышления; создать базу для методической культуры будущего учителя математики.
Проблема совершенствования методической и специальной подготовки учителя и, в частности, ее профессионально - педагогической, научно - теоретической и практической направленности исследовалась в трудах И.К. Андронова, И.Н. Антипова, З.Г. Борчуговой, М.М. Буняева, Н.Я. Виленкина, Н.Р. Гайбуллаева, Г.Д. Глейзера, В.А. Гусева, Е.С. Канина, В.Н. Келбакиани, Ю.М. Колягина, В.И. Крупича, Э.И. Кузнецова, Г.Л. Луканкина, В.И. Мишина, А.С. Мищенко, В.М. Монахова, А.Г. Мордковича, Н.Г. Ованесова, Г.Е. Перевало-ва, М.В. Потоцкого, Г.И. Саранцева, А.А. Столяра, Н.А. Терешина, Л.М. Фридмана, Р.С. Черкасова, М.И. Шабунина, Н.И. Шкиля, Б.П. Эрдниева и других авторов.
При изучении основных курсов алгебры, математического и комплексного анализа, геометрии в педагогическом вузе мало внимания уделяется профессиональной направленности этих дисциплин. Б.П. Эрдниев [245] подчеркивает, что «вузовские научные курсы для будущих учителей можно и должно строить на принципе совмещения специально - теоретического и профессионально - методического». Другими словами, преподавание вузовских дисциплин в пединституте не должно замыкаться на изложении лишь основного материала, который готовит специалиста - математика, а должно дополняться профессиональной линией, обеспечивающей систематическое воспитание методического мышления будущего учителя математики.
В докторской диссертации В.Н. Келбакиани [98] на основе комплексного исследования психолого-педагогического и методико-математического аспектов проблемы выдвинута целостная концепция подготовки будущих учителей к использованию и реализации межпредметных функций математики. На этой концепции построена модель соответствующая методической системе профессиональной подготовки студентов к реализации межпредметной функции математики в средней школе.
В диссертационном исследовании Г.Л. Луканкана [129] разработаны научно-методические основы профессиональной подготовки учителей математики, смоделированы специальная и методическая подготовки компетентных учителей математики, построена оптимальная методическая система обучения студентов педагогических вузов, обеспечивающая высокий уровень теоретической и практической подготовки учителя математики. Рассмотренная им концепция основ профессиональной подготовки учителя математики в педвузе состоит в следующем: методологическая направленность профессиональной подготовки студентов, профессионально-педагогическая направленность общественно-политических дисциплин, профессионально-предметная направленность психолого-педагогической подготовки, профессиональная направленность (или педагогизация) общенаучной (специальной) математической подготовки, научно-теоретическая и практическая направленность методической подготовки, реализация личностно-деятельного подхода при подготовке специалистов, вооружение специалистов современными педагогическими и новыми информационными технологиями, реализация непрерывной компьютерной подготовки учителей.
В исследованиях Л.Ф. Спирина, посвященных проблеме формирования у студентов общепедагогических умений, педагогическая деятельность трактуется как управление учебно-воспитательным процессом.
В работах А.И. Щербакова [241, 242] рассматривается проблема формирования личности учителя в психологическом аспекте, становления его характера, выработка у него профессиональных умений и навыков в различных формах учебной и воспитательной работы. В его исследованиях предлагаются пути реализации совершенствования профессиональной подготовки будущего учителя в системе высшего педагогического обучения. А.И. Щербаков выделяет в структуре личности в качестве основных следующие элементы: глубокие знания, высокий уровень общей культуры, высокие моральные качества, цельный и твердый характер, высокая познавательная активность, самостоятельность, педагогические способности и мастерство.
Структура и методические особенности курса по выбору «Некоторые приложения конформных отображений»
Дифференциация школьного математического образования требует от современного учителя математики не только умения излагать абстрактные математические концепции, требовать от учащихся знаний, умений и навыков выполнять определенные операции, решать уравнения и неравенства, но и умений научить учащихся применять свои знания в смежных областях. Она также требует внесения соответствующих изменений в подготовку студентов математических факультетов в педагогических вузах, поскольку им предстоит работать не только в классах, где математическое образование дается на общекультурном (общеобразовательном) уровне, но и в классах с углубленным теоретическим и прикладным изучением математики. Работа в классах с углубленным изучением математики предполагает более высокий уровень преподавания и, следовательно, более высокий уровень математической и методической подготовки. М.И. Шабунин [238] отмечает, что при углубленном изучении математики следует уделять внимание не столько обработке техники вычисления стандартных операций и решению типовых задач, сколько выявлению существенных свойств изучаемого объекта, анализу и творческому применению изучаемых методов решения задач, поиску эффективных способов доказательства утверждений и решения различных задач, в том числе и нестандартных. Подготовка студентов к преподаванию в этих классах осуществляется через все звенья и формы учебного процесса, но прежде всего через изучение специальных дисциплин и в особенности через курсы по выбору, развивающие в первую очередь, абстрактное мышление.
В предыдущей главе мы рассмотрели роль и место курсов по выбору в реализации профессиональной направленности обязательного курса теории функций комплексного переменного. А также отметили цель проведения курса по выбору.
Курс по выбору «Некоторые приложения конформных отображений» рассчитан на студентов старших курсов математических факультетов педвузов, прослушавших курс теории функций комплексного переменного. Данный курс проводится в форме «спецкурс-семинар» в соответствии с методикой, описанной в следующем параграфе.
Разработанный нами курс по выбору «Некоторые приложения конформных отображений» включает в себя введение и четыре темы: «Принцип симметрии», «Отображение многоугольников», «Некоторые приложения конформных отображений к вопросам естествознания», «Использование комплексных чисел при решении некоторых физических задач».
Во введение включены основные понятия, которые используются при изложении содержания спецкурса (например, понятие комплексного числа, его геометрическая интерпретация, различные формы записи комплексных чисел, понятие конформного отображения и т.д.).
Нужно отметить, что введение позволяет слушателям курса по выбору восстановить в памяти и закрепить материал основного курса теории функций комплексного переменного.
Одной из форм работы при проведении спецкурса является подготовка студентами выступлений (докладов, сообщений и так далее). Темы сообщений и докладов будут представлены в параграфе 3.1. Такая форма работы дает возможность слушателям курса по выбору проявить самостоятельность в приобретении новых знаний из любых источников, расширяет кругозор будущих учителей математики. Наличие исторического материала воспитывает у студентов взгляд на математику как на развивающуюся науку, в которой ведется интенсивный поиск новых закономерностей и новых методов решения задач. Самостоятельная подготовка сообщений о великих математиках учит студентов работе с литературой.
При работе с научными текстами у студентов формируется навык содержательного анализа. Например, умения выявить систему обозначений каждого автора, выяснить, какие из высказываний следует принять за определения, а какие - за суждения, утверждающие о новых свойствах сущности и тлт. уже известных, ранее введенных объектов.
Темы 1 и 2 демонстрируют одно из приложений конформных отображений. Изучение тем «Принцип симметрии» и «Отображение многоугольников» позволяет систематизировать и углубить полученные ранее знания.
Изучение двух других тем позволяет ответить студентам на вопрос: «Зачем нужно изучение темы «Конформные отображения», где можно использовать полученные знания?» То есть абстрактные понятия подкрепляются практическим назначением, что вызывает интерес к обучению. Широкая область применения комплексных чисел, функций комплексного переменного, конформных отображений позволяет выбрать приложения наиболее интересные для слушателей курса по выбору, позволяющие наглядно иллюстрировать необходимость существования теории функций комплексного переменного.
Занятия по теме 3 «Некоторые приложения конформных отображений к вопросам естествознания» проводятся в виде популярных лекций, в которых отражено использование конформных отображений при решении различных задач в математической картографии, механике, гидродинамике. К сожалению, мы не можем более глубоко изучить эти вопросы, так как запас знаний студентов математических факультетов педагогических вузов в указанной области невелик (так как на математических факультетах педагогических вузов не изучаются такие дисциплины, например, как годро- аэродинамика, теория упругости и т.п.).
Занятия по теме 4 «Использование комплексных чисел при решении некоторых физических задач» проводятся в форме «спецкурс-семинар». Здесь рассмотрены вопросы использования комплексных чисел при нахождении, например, скорости движения материальной точки и при расчете цепей переменного тока.
Структура и методические особенности факультативного курса «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения»
«Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируется умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешного усвоения... содержания и всемирного удовлетворения и развития духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Без факультативных занятий такой подход осуществить крайне трудно» (М.П. Кашин. Предисловие к книге: В.В. Фирсов, О.А. Боковнев, СИ. Шварцбурд «Состояние и перспективы факультативных занятий по математике». М.: Просвещение, 1977. с. 4-5).
Цель факультативных занятий - расширение, углубление знаний, развитие интересов и способностей учащихся в избранных ими областях знаний и воспитание у них определенных навыков самостоятельной работы.
Система факультативных занятий предоставляет широкую возможность достаточно гибко и полно отражать в школьных курсах новейшие достижения науки, техники и культуры.
В задачи факультативных занятий по математике входит углубление и обобщение занятий учащихся, полученных при изучении основ наук; возможность полнее развить потенциальные творческие способности каждого слушателя факультатива, не ограничивая заранее сверху уровень сложности используемого задачного материала. Содержание факультативных курсов, на наш взгляд, систематизирует имеющиеся у школьников знания и подготавливает их к сознательному восприятию новой научной информации, к пониманию основных идей современного естествознания, о которых вполне можно рассказывать учащимся, используя доступный для них математический аппарат, создавая основания для более широких обобщений.
Углубленное изучение отдельных предметов на факультативных занятиях явилось наиболее продуктивной и массовой формой дифференцированної о обучения.
Для повышения познавательной активности учащихся и развития их способностей исключительное значение приобретают методы проведения занятий. Поэтому факультативы должны включать большое количество работ исследовательского характера, обобщающие лекции, семинарские занятия и учебные конференции с докладами учащихся и их последующим обсуждением, задания творческого характера. Для подготовки к факультативным занятиям учащимися используется разнообразная научная литература, что способствует формированию навыков самостоятельной работы с ней.
На факультативных занятиях появляется возможность реализации межпредметных связей.
Данный факультативный курс предназначен для изучения комплексных чисел и элементов теории функций комплексного переменного в старших классах средней школы. Такой выбор не случаен, Во-первых, уже заложена определенная база знаний, необходимых для успешного изучения понятий комплексного числа и функции комплексного переменного. Школьники знакомы с различными видами чисел (натуральными, целыми, рациональными, действительными), правилами выполнения возможных операций над ними. Им известно, что в определенных числовых множествах не всегда выполнимы математические действия. Понятие функциональной зависимости в школьном курсе математики занимает основополагающее место. Школьники знакомы с элементарными функциями: линейной, дробно-рациональной, степенной, показательной, тригонометрическими и т.п., и функциями, полученными из них с помощью конечного числа арифметических операций и композиций. Получен большой багаж знаний по другим предметам, например, по геометрии (планиметрии). Учащиеся знакомы с гомотетией, параллельным переносом, подобием фигур, с уравнениями различных кривых (параболы, окружности,...). Во-вторых, возрастные и индивидуальные особенности развития старшеклассников подкрепляют более успешное изучение данного курса (наличие более глубокого, полного, разнообразного, более абстрактного мышления; возможность самостоятельно выделять общее и частное).
Любой курс, включающий в себя изучение комплексных чисел, содержит так называемую «вводную часть» (введение понятия комплексного числа, всевозможные формы записи комплексного числа: алгебраическая, тригонометрическая, показательная; действия над комплексными числами в различной форме записи, основные свойства и тому подобное). Сконструированный факультативный курс «Элементарное введение в теорию функций комплексного переменного и ее приложения» также содержит «вводную часть». Она представлена в теме 1 «Понятие комплексного числа. Действия над комплексными числами». Прежде чем дать определение комплексного числа, рассматриваются задачи, приводящие к понятию комплексного числа через его алгебраическую форму записи.
Большое внимание уделяется геометрической интерпретации комплексного числа и действий над ними, которые наглядно сопровождаются рисунками.
Следует отметить, что изучение «вводной части» позволяет учителю повторить и закрепить материал программного содержания. Так, например, при рассмотрении тригонометрической формы записи комплексного числа учитель имеет возможность вспомнить с учащимися определения тригонометрических функций, их основные свойства, связь с геометрией, а также повторить тригонометрические формулы, которые вызывают затруднения при запоминании.
