Содержание к диссертации
Введение
1. Анализ освещения исследуемой проблемы в теоретико-методической и психолого-педагогической литературе 24
1.1. Понятие "задача" в психологии 24
1.2. Проблемы обучения поиску решения задач 27
1.3. Психолого-физиологический аспект процесса обучения поиску решения задач 37
2. Сопоставление различных психолого-дидактических трактовок понятия "задача" в контексте обучения поиску решения задач 39
2.1. Различные психолого-дидактические трактовки понятия "задача" 39
2.2. Субъективная и объективная информация в задаче 41
2.3. Психологический и логический поиск решения задачи 44
2.4. Внешняя и внутренняя структура процесса поиска решения задачи 54
3. Психолого-педагогическая специфика построения учебного процесса,
ориентированного на обучение поиску решения задач 58
3.1. Задачи, используемые для освоения и применения учебного материала 58
3.2. Деятельность учащихся в процессе поиска решения задач 64
3.3. Взаимодействие учителя и учащихся
в процессе обучения поиску решения задач 71
Выводы по первой главе 76
ГЛАВА II Теоретико-методологическое обоснование сущности логического поиска решения школьных математических задач и обучения поиску их решения
1. Анализ публикаций и научных трудов по исследуемой проблеме 79
2. Методологические основания решения исследуемой проблемы' 91
3. Системно-структурный анализ процесса логического поиска решения математических задач 98
3.1. Основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач- 98
3.2. Сущность логического поиска решения школьных математических задач 119
4. Количественная и качественная оценка логической трудности школьных математических задач как критерий умения их решать 148
4.1. Различные подходы к оценке трудности математических задач
4.2. Обобщённый метод количественной и качественной оценки логической трудности математических задач 152
4.3. Систематизация задач в зависимости от их трудности 169
Выводы по второй главе 174
ГЛАВА III Внутрипредметные связи как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач
1. Реализация внутрипредметных связей в обучении математике посредством решения задач 179
2. Дидактические возможности каждого вида реализации внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач 192
2.1. Роль видов реализации внутрипредметных связей в выполнении логического поиска решения задачи 192
2.2. Специфика логического поиска решения задач, детерминируемая теоретическим базисом их формулировки и решения 202
2.3. Использование внутрипредметных связей для осуществления аналитико-синтетического поиска решения задач 234
3. Полная ориентировочная основа действий, выполняемых в процессе логического поиска решения школьных математических задач 241
4. Оценка эффективности использования внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач 252
5. Общие основы реализации базовых теоретических положений процесса обучения логическому поиску решения задач в реальном обучении школьников математике 266
5.1. Теоретические сведения о задачах и процессе поиска их решения, необходимые школьникам для овладения умением решать задачи 266
5.2. Ознакомление учащихся с основами
процесса, поиска решения математической задачи 269
5.3. Сущность и этапы обучения школьников общему умению
выполнять логический поиск решения математических задач 278
Выводы по третьей главе* 290'
ГЛАВА IV Деятельностный. подход к. обучению математике как методическая основа формирования общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач
1. О деятельностном подходе к обучению математике 294
2. Основные виды деятельности, выполняемой в процессе решения задач 296
3. Систематизация школьных математических задач и их систем в контексте деятельностного подхода к обучению логическому поиску решения задач 301
3.1. Сущность проблемы систематизации задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения 301
3.2. Обобщённые механизмы построения полидоминантных систем задач 322
3.3. Систематизация систем школьных математических задач как средство повышения эффективности обучения логическому поиску решения задач 342
4. Специфика построения школьного курса математики, способствующего повышению эффективности обучения логическому поиску решения задач 358
4.1. Особенности изложения теории
в контексте обучения поиску решения задач 358
4.2. Теория и задачи в пределах одной темы 365
4.3. Структурирование школьного курса математики по темам, видам и подвидам задач 371
5. Системный анализ эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач 385
6. Педагогический эксперимент 396
6.1. Основные этапы и сущность экспериментальной работы '. 396
6.2 Особенности применения основных положений теории в практике школьного обучения математике 407
6.3. Границы применимости построенной теории 410
7. Современное состояние и перспективы развития теории обучения логическому поиску решения школьных математических задач 412
7.1. Теоретическая схема выполненного исследования 412
7.2. Перспективы дальнейших теоретических исследований 421
Выводы по четвёртой главе 426
Заключение 429
Библиографический список
- Проблемы обучения поиску решения задач
- Системно-структурный анализ процесса логического поиска решения математических задач
- Дидактические возможности каждого вида реализации внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач
- Систематизация школьных математических задач и их систем в контексте деятельностного подхода к обучению логическому поиску решения задач
Введение к работе
Актуальность исследования. Проблема целенаправленного обучения поиску решения математических задач всегда привлекала внимание и крупных математиков, и учёных–методистов, и учителей математики средней школы. Этой проблеме посвящены труды, ставшие классическими, к которым в первую очередь относятся книги всемирно известного методиста–математика Д. Пойа. Среди отечественных исследователей много внимания данной проблеме уделяли такие известные авторы, как С.И. Туманов, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, Л.М. Фридман, Е.Н. Турецкий, Е.Ф. Данилова, А.Б. Василевский, А.К. Артёмов и др., в разные годы опубликовавшие книги для учителей математики и учащихся средних школ.
Различные аспекты проблемы обучения учащихся средней школы поиску решения задач исследовали ведущие специалисты в области методики преподавания математики: А.А. Столяр, П.М. Эрдниев, Ю.М. Колягин, В.А. Оганесян, Г.И. Саранцев, В.Г. Болтянский, В.И. Крупич, Я.И. Грудёнов, Н.В. Метельский, А.Б. Василевский, Н.К. Рузин и др., отражая полученные результаты в монографиях, учебниках по методике преподавания математики, книгах для учителей и многочисленных статьях.
Диссертационные исследования непосредственно по проблеме обучения школьников поиску решения математических задач выполнили: Г. Абдуллаев, А.Ш. Багаутдинова, С.Л. Валитова, В.В. Воробьёв, Г.Н. Глыва, В.Ю. Гуревич, В.М. Гурина, В.П. Заесенок, Т.Д. Моралишвили, И.Б. Ольбинский, Ю.А. Розка, Н.С. Тюина, Н.И. Фоменко, Хан Инки, О.М. Шеренцова и др. Кроме того, проблемы, существенным образом связанные с обучением школьников поиску решения задач, исследовались в диссертациях Б.А. Абремского, А.Д. Герасимовой, Н.А. Демченковой, Н.А. Меньшиковой, С.М. Мирзаева, М.С. Маскиной, Н.А. Резник, И.Б. Шмигириловой и др.
Статьи по проблеме обучения учащихся средних школ поиску решения математических задач написаны: Г.В. Дорофеевым, О.А. Ивановым, М.И. Бурдой, А.В. Гузкиным, Д.Ф. Изааком, Е.С. Каниным, Ф.Ф. Нагибиным, Ю.А. Кулюткиным, Г.С. Сухобской, В.В. Орловым, Е.С. Семёновым, Н.А. Тарасенковой, И.Ф. Шарыгиным и др.
Однако в силу целого ряда причин проблема обучения поиску решения школьных математических задач не теряет своей актуальности.
Во-первых, в различных научных исследованиях и методических публикациях, посвящённых проблеме обучения поиску решения задач, отражены те или иные частные её аспекты. В большинстве работ содержатся методические рекомендации, основанные на специфике конкретного предметного материала, пределами которого зачастую определялись и границы их применимости, что затрудняет перенос этих рекомендаций на другой материал. Таким материалом могли быть алгебраические уравнения (В.Г. Болтянский), задачи, решаемые на основании теоремы о точке пересечения медиан треугольника (Хан Инки), стереометрические задачи на доказательство (Ю.А. Розка), сюжетные задачи (Л.М. Фридман), планиметрические задачи на вычисление (Б.А. Абремский) и т. д.
Среди авторов диссертационных исследований нет единства как в понимании сущности процедуры поиска решения задачи, так и в выборе исходных положений предлагаемых ими методик обучения школьников поиску решения задач. Многие работы были выполнены в то время, когда методика обучения математике в значительной мере была рецептурной дисциплиной, что предопределяло практико-ориентированный их характер.
Вышеперечисленные факты приводят к выводу о том, что, с одной стороны, описанные способы обучения поиску решения задач обладают высокой степенью достоверности, поскольку они многократно экспериментально проверены, учитывают специфику учебного материала, а часть из них успешно используется в практике массового обучения, внося существенный вклад в решение проблемы обучения поиску решения школьных математических задач. С другой стороны, эти факты позволяют утверждать, что в теории и методике обучения математике в настоящее время накоплен немалый объём разрозненных неупорядоченных сведений, методических рекомендаций по обучению школьников поиску решения задач, который практически всецело располагается в русле эмпирического научного знания и нуждается в теоретическом обобщении, позволяющем выделить общие объективные идеи, закономерности и взаимосвязи.
Во-вторых, в современной теории и методике обучения математике сформулировано несколько трактовок понятия “математическая задача”, введены понятия внутренней и информационной структуры задач (охарактеризованы её компоненты: условие, требование, теоретический базис задачи, способ её решения, реализованное в ней основное отношение), предложены способы оценки сложности и трудности задач и т. д. Однако всё это даёт характеристику лишь самой задаче, но не составляет теоретического описания процесса поиска её решения. Поиск решения задачи – это отыскание предметного содержания теоретического базиса и способа её решения, причём сущность способа решения заключается в обнаружении взаимосвязей между теоретическими фактами, составляющими базис задачи и выстраивании их в такой последовательности, следуя которой от условия задачи можно прийти к выполнению её требования. Но этот процесс – установление внутрипредметных связей в ходе решения математической задачи. Таким образом, вне их установления в принципе не может быть выполнен поиск её решения. Однако этот аспект работы над задачей в современной методике обучения математике теоретически ещё не описан.
В-третьих, в теории и методике обучения математике утвердилась тенденция к исследованию различных аспектов проблемы использования задач в обучении школьников математике на основе деятельностного подхода. Однако сама деятельность любого субъекта определяется не только мотивом, целью, конкретными действиями, условиями их выполнения и т. д., но и предметом его деятельности, которым в данном случае является школьная математическая задача. Ввиду того, что теоретическое изучение задач в методике обучения математике на сегодняшний день нельзя признать полностью завершённым, можно утверждать, что исследование проблемы обучения поиску решения школьных математических задач в русле деятельностного подхода в значительной мере выполняется в отрыве от изучения предмета деятельности учащихся.
В-четвёртых, в различных учебниках, пособиях и задачниках ещё не сложилась традиция такого составления систем задач, которое предопределяет целенаправленное обучение школьников поиску их решения, на различных этапах этого процесса акцентирующее внимание на тех или иных его аспектах. Такое положение дел объясняется тем, что система образования (в частности, школьного математического) в своей сущности консервативна и инертна, поэтому требуется определённое время, чтобы какие-либо научно-методические идеи, реализованные в научных трудах, были адаптированы к практике массового обучения математике и внедрены в неё. Анализ школьных учебников математики разных лет, а также учебных пособий, предназначенных для средней школы и различных дополнительных задачников к ним, позволил обнаружить следующий факт. Во всех этих книгах не уделялось должного внимания проблеме целенаправленного обучения отысканию способа решения задач. В большинстве задачников и учебников почти все предлагающиеся учащимся задачи были в достаточно высокой степени стандартизированными, не требующими практически никакой напряжённой умственной работы. Опрос учащихся, проводимый в разные времена исследователями, неизменно показывал, что подавляющее большинство школьников (в том числе и обладающих математическим способностями среднего или более высокого уровня) необходимым условием решения задачи считает наличие соответствующего образца. Такая же ситуация сложилась и в специализированных или профильных математических классах. Вообще примерно до восьмидесятых годов прошлого века в массовой школьной практике доминировала точка зрения, состоящая в том, что ведущую роль в математике играет теория, а задачи даны для того, чтобы качественнее её освоить. В настоящее время ситуация изменилась и теперь в программе по математике указано, что главное внимание в обучении нужно уделять решению задач. Сейчас практически методической аксиомой стало положение, состоящее в том, что задачи – это и цель, и основное средство обучения математике. Для того, чтобы оно утвердилось, потребовались усилия многих учёных. В частности, признанию этого положения способствовали труды А.А. Столяра, Л.М. Фридмана, Ю.М. Колягина, Г.И. Саранцева, В.И. Крупича, С.И. Шохор-Троцкого, Я.И. Грудёнова, В.И. Мишина, С.Б. Суворовой, Г.В. Дорофеева и др.
В-пятых, большинство школьных учителей не готово в своей работе восполнить указанные пробелы (это следствие всего перечисленного ранее).
Также в исследовании проблемы обучения поиску решения школьных математических задач необходимо учесть, что уровень математических способностей школьников различен. В связи с этим бессмысленно и даже негуманно требовать от каждого учащегося достижения высокого уровня в умении решать нетривиальные математические задачи. Поэтому основные положения данной диссертации преимущественно отражают сущность обучения математически способных учащихся поиску решения задач.
Изложенные выше рассуждения вскрывают диалектическое противоречие между современным состоянием научного изучения исследуемой проблемы, традициями, сложившимися в учебном процессе, и внутренними потребностями методико-математической теории, а также практики школьного обучения математике. Анализ его причин позволяет утверждать, что для преодоления этого противоречия необходимо построить теорию, целостно описывающую процесс обучения поиску решения школьных математических задач. Одним из подходов к её построению является исследование детерминации процедуры поиска решения задачи специфическими особенностями самих задач. Фактически речь идёт о логическом аспекте поиска решения задачи.
Таким образом, актуальность данного исследования обусловлена необходимостью целостного теоретического описания процедуры поиска и процесса обучения поиску решения школьных математических задач, которое будет способствовать синтетическому обобщению различных методических средств, используемых в формировании умения решать задачи.
Проблема исследования: выявление сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, специфических особенностей и этапов целенаправленного обучения учащихся средней школы логическому поиску их решения, а также роли общего умения выполнять логический поиск решения задач в математической подготовке школьников.
Цель исследования: построение и экспериментальная проверка теории, описывающей процесс обучения школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач.
Объект исследования: процесс обучения математике в средней школе.
Предмет исследования: обучение школьников логическому поиску решения математических задач.
Современное состояние изучаемой проблемы позволяет выдвинуть общую концепцию диссертационного исследования. Суть её состоит в целостном теоретическом описании основных этапов и специфических особенностей процедуры поиска решения и процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач на основе трактовки понятия “задача”, предложенной Ю.М. Колягиным и дополненной В.И. Крупичем. Общая концепция конкретизируется в трёх взаимосвязанных концептуальных положениях, изложенных ниже.
I. Задача, согласно трактовке этого понятия, принятой в качестве исходного положения исследования, образована диалектической взаимосвязью её информационной и внутренней структур. На основе информационной структуры выявляются основные теоретико-методические характеристики задач, такие как их типы, виды, классы, особенности теоретического базиса их формулировки и решения. В общем случае задача в ходе решения расчленяется на несколько более простых подзадач, каждой из которых соответствует локальная идея её решения (решение каждой подзадачи – отдельный этап решения исходной задачи). Подзадача является единицей анализа школьных математических задач, а структурной единицей логического поиска решения задачи является локальная идея. Логический поиск решения школьной математической задачи в конечном итоге сводится к выдвижению и реализации локальных идей её решения.
II. Решение школьной математической задачи заключается в отыскании предметного содержания неизвестных компонентов её информационной структуры, что в конечном итоге сводится к нахождению ряда теоретических фактов и такой логической взаимосвязи между ними, которая позволит от условия задачи прийти к выполнению её требования. То есть в данном аспекте осуществление логического поиска решения может быть рассмотрено как реализация внутрипредметных связей посредством решения задач, в значительной мере предопределяющая генерирование локальных идей решения задачи. Многообразие внутрипредметных связей, проявляющихся в процессе решения задач, описывается с помощью отдельных видов их реализации, применимых к задачам любой разновидности. Поэтому внутрипредметные связи можно рассматривать как средство, позволяющее построить теоретическую модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, представляющую собой полную ориентировочную основу действий (ПООД) по осуществлению поиска решения задач, которая также включает в себя и все теоретико-методические характеристики задач, указанные в положении I.
III. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач ориентировано на овладение учащимися основными поисковыми ресурсами (содержащимися в ПООД), в ходе которого школьники учатся способам логических рассуждений, самостоятельному “открытию” некоторых теоретических фактов и способов решения задач, выделению совокупности действий, адекватных понятиям, теоремам и методам решения задач. Это предполагает осмысление ими практически каждого поискового ресурса как общего поискового действия. В свою очередь это означает, что обучение поиску решения задач целесообразно осуществлять на основе деятельностного подхода. Многообразие поисковых ресурсов и необходимость регулярного их использования в обучении предопределяет выявление основных видов деятельности, осуществляемой в ходе работы над задачей, на основе которых может быть упорядочен процесс обучения логическому поиску решения задач.
Первое и второе положения совместно образуют процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, а третье положение – содержательную составляющую.
Концептуальный подход к понятию “задача”, предложенный Ю.М. Колягиным, во многом обусловлен логикой взаимосвязи компонентов информационных структур задач, поэтому выдвинутая концепция детерминирует исследование логического поиска их решения (выполняемого посредством логики, а не интуиции или вербальной информации, заложенной в задаче, и т. п.), и исследование проблемы обучения логическому поиску решения задач, то есть она в полной мере соответствует цели и задачам данной работы. В тексте диссертации и автореферата при упоминании процесса поиска решения задач иногда слово “логический” не используется, исходя из стилистических соображений.
В исследовании была выдвинута гипотеза, состоящая в том, что теория, целостно описывающая обучение школьников общему умению выполнять логический поиск решения математических задач, может быть построена, если:
а) исходя из основополагающей трактовки понятия “задача” будут выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, предопределяющие особенности выполнения логического поиска их решения, и в его описании будет отражена специфика школьного курса математики, в контексте исследуемой проблемы выражаемая реализованными в нём внутрипредметными связями;
б) на этой основе будет построена теоретическая модель общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, позволяющая выявить основные поисковые ресурсы и определить этапы процесса обучения поиску решения задач;
в) обучение общему умению выполнять логический поиск решения задач, предполагающее осмысление поисковых ресурсов как общих поисковых действий, будет осуществляться на основе деятельностного подхода, обеспечивающего систематичность и регулярность этого обучения;
г) теоретическое описание процесса обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач будет включать в себя обоснование его реализации в практике школьного обучения математике;
д) овладение школьниками общим умением выполнять логический поиск решения математических задач получит экспериментальное подтверждение, оцениваемое по результатам выполнения ими специальных контрольных работ.
Проблема, цель, предмет, концепция и гипотеза совместно обусловливают ведущие задачи исследования, которые разделяются на пять групп.
I. Первая группа состоит из задач, связанных с выявлением и разработкой научных положений, являющихся психолого-педагогическим основанием процесса обучения поиску решения школьных математических задач.
1. Установление сущности психологического и логического процессов поиска решения задачи.
2. Выявление психолого-педагогических особенностей организации учебного процесса, основанного на целенаправленном обучении поиску решения школьных математических задач.
3. Выбор концептуального подхода к трактованию понятия “задача”, являющегося психолого-педагогическим базисом решения исследуемой проблемы.
II. Вторую группу составляют задачи, которые относятся к теоретико-методологичекому обоснованию сущности логического поиска решения школьных математических задач и сути процесса обучения поиску их решения.
1. Выявление основных теоретико-методических характеристик школьных математических задач и структурной единицы логического поиска их решения.
2. Создание опорных схем и механизмов, моделирующих сущность внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи.
3. Разработка метода оценивания логической трудности математических задач как критерия умения школьников выполнять поиск их решения.
III. В третью группу включены задачи, призванные выявить возможности использования внутрипредметных связей в качестве основного ресурса процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач.
1. Выявление основных видов реализации внутрипредметных связей, проявляющихся в ходе решения задач и установление дидактических возможностей каждого из них в обучении логическому поиску решения задач.
2. Построение полной ориентировочной основы действий, выполняемых в ходе поиска решения задач.
3. Выделение поисковых ресурсов, которые должны изучаться учащимися в качестве основы процесса поиска решения задач.
4. Определение сущности и этапов процесса обучения школьников логическому поиску решения задач.
IV. Четвёртая группа состоит из задач, решение которых позволяет упорядочить процесс обучения логическому поиску решения школьных математических задач на основе деятельностного подхода.
1. Выявление основных видов деятельности, описывающих процесс логического поиска (и обучения поиску) решения задач.
2. Разработка методов систематизации задач и систематизации систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения.
3. Выявление взаимосвязи структуры школьного курса математики и процесса обучения школьников поиску решения задач.
V. Пятую группу составляют задачи, предназначенные для экспериментальной проверки построенной теории.
1. Разработка (совместно с учителями-экспериментаторами) конкретных систем задач, их применение на различных этапах обучения математике.
2. Анализ результатов педагогического эксперимента.
Методологической основой исследования являются фундаментальные положения философской теории познания: диалектико-материалистическая методология, основанная на принципах объективности, всесторонности, детерминизма, конкретности, историзма и противоречия; общенаучные подходы и методы исследования, суть которых состоит в обеспечении взаимоперехода философского и частнонаучного знания благодаря использованию таких общенаучных понятий, как “информация”, “модель”, “система”, “функция”, “элемент”, “структура” и др.; основные логические законы. Поставленные в диссертации задачи были решены с помощью следующих методов исследования:
1. Теоретические методы:
а) формализация, применяемая в процессе абстрагирования и идеализации объектов посредством их отображения в знаково-символическом виде;
б) метод восхождения от абстрактного к конкретному, с помощью которого на основе понятия “задача” посредством синтеза и дедукции рассмотрены частные проблемы, возникающие в обучении логическому поиску решения задач, что позволило в целостной теории изложить предмет исследования.
2. Общелогические методы:
а) анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы, посвящённой исследуемой проблеме и смежным научным проблемам;
б) анализ и синтетическое обобщение передового опыта учителей математики, уделяющих значительное внимание обучению учащихся поиску решения задач;
в) методология системного подхода (метод, основанный на понимании системы как совокупности объектов, взаимосвязь которых обусловливает наличие новых интегративных качеств, не свойственных образующим её компонентам, и метод, состоящий в расчленении системы и выделении её минимального компонента – структурной единицы, способной к относительно самостоятельному существованию в рамках целого (структурно-функциональный метод));
г) абстрагирование и идеализация, применяемые для создания объектов, принципиально не существующих в действительности, которые послужили опосредованным выражением реальных объектов и процессов (например, абстрактный субъект, логический поиск решения задачи и др.);
д) конструктивно-генетический метод, понимаемый как рассмотрение всевозможных ситуаций и выполнение логических рассуждений в процессе разработки основных теоретических положений данной диссертации (проявлением этого метода является мысленный эксперимент с идеальными объектами);
е) моделирование (основанное на конструктивно-генетическом методе и системном подходе), позволившее построить ряд научных положений, в качестве главных средств которого используются аналогия, индуктивный и дедуктивный методы в их диалектической взаимосвязи и единстве;
ж) вероятностно-статистические методы (обработка результатов педагогического эксперимента).
3. Эмпирические методы:
а) наблюдение за учебной деятельностью учащихся, обучающихся в общеобразовательных, профильных и специализированных математических классах средних школ;
б) сравнение процессов поиска решения школьных математических задач, относящихся к алгебре, геометрии и математическому анализу для обнаружения их сходства и различия с целью выявления возможности разработки общих подходов к обучению поиску решения задач;
в) экспериментальная работа, проводимая в классах различных профилей, с использованием систем математических задач, разработанных на основе построенной теории.
Теоретической основой исследования являются:
психологические концептуальные подходы к понятию “задача”, их сопоставление в контексте исследуемой проблемы (Г.А. Балл, Я.А. Пономарёв, К.А. Славская, Л.Л. Гурова, А.В. Брушлинский, Л.М. Фридман и др.);
концепции учебной деятельности и развивающего обучения, психологические концепции усвоения знаний (Л.С. Выготский, Д.Б. Эльконин, В.В. Давыдов, А.Н. Леонтьев, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин и др.);
концептуальный подход А.М. Матюшкина к осмыслению соотношения понятий “задача” и “проблемная ситуация” и их изучению;
теория и методика обучения решению школьных математических задач (А.А. Столяр, Л.М. Фридман, Ю.М. Колягин, Г.И. Саранцев, В.И. Крупич);
концепция деятельностного подхода к обучению математике учащихся средних школ (В.И. Крупич, О.Б. Епишева и др.);
основные положения теории и методики реализации внутрипредметных связей в обучении математике (В.М. Монахов, В.А. Далингер, А.А. Аксёнов, К.С. Муравин, Л.С. Капкаева и др.);
основные труды по проблеме обучения поиску решения школьных математических задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, М.Б. Балк, Г.Д. Балк, С.И. Туманов, А.А. Столяр, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Г.И. Саранцев и др.).
Научная новизна исследования заключается в том, что в нём впервые построена теория, целостно описывающая обучение общему умению выполнять логический поиск решения школьных математических задач, в рамках которой:
уточнена сущность психологического и логического аспектов поиска решения задач, раскрыт психолого-педагогический аспект процесса обучения поиску решения задач;
выявлены основные теоретико-методические характеристики школьных математических задач, по которым они квалифицируются в контексте исследуемой проблемы;
выделена структурная единица логического поиска решения школьных математических задач;
разработаны схемы и механизмы, моделирующие процесс логического поиска решения школьных математических задач;
выявлены десять основных видов реализации внутрипредметных связей посредством решения школьных математических задач, установлены дидактические возможности каждого из них в обучении поиску решения задач;
построена полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых в ходе поиска решения школьных математических задач, являющаяся теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск их решения;
выявлены основные виды деятельности, выполняемой в процессе работы над школьными математическими задачами;
раскрыта сущность и этапы обучения школьников логическому поиску решения математических задач.
Теоретическая значимость исследования:
методика обучения математике обогащена новой теорией, систематизирующей и обобщающей имеющиеся в современной науке представления об обучении школьников решению математических задач;
методическая теория школьных математических задач пополнена рядом теоретико-методических характеристик:
понятием информационной структуры процесса логического поиска решения школьных математических задач;
понятием обобщённой характеристической функции задач, описывающей теоретико-методические характеристики, совмещаемые в одной задаче;
методом количественного и качественного оценивания трудности школьных математических задач;
методом оценивания эффективности использования внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач;
методами систематизации задач, внутритематического и межтематического упорядочивания систем задач на основе деятельностного подхода к обучению поиску их решения;
методом системного анализа эффективности реализации основных теоретических положений в практике школьного обучения;
критериями построения школьного курса математики, способствующими повышению эффективности обучения поиску решения задач.
Практическая значимость исследования:
разработанные в теории механизмы взаимодействия субъекта с задачей, построения систем задач, определения эффективности внутрипредметных связей и т. д. носят универсальный характер и могут быть применены к любой теме, виду и подвиду задач школьного курса математики;
основные положения диссертации могут быть учтены авторами задачников по математике для средней школы с целью составления систем задач, обусловливающих целенаправленное обучение общему умению выполнять логический поиск их решения;
в соответствии с государственной программой по математике для общеобразовательных, профильных и специализированных классов разработаны конкретные методические модели, реализующие на практике построенную в диссертации теорию и апробированные экспериментально;
методические модели, используемые в обучении школьников логическому поиску решения задач, также могут составлять методисты институтов повышения квалификации учителей и опытные учителя математики;
соответствующие методические построения могут выполнять студенты математических педагогических специальностей вузов на семинарских занятиях по теории и методике обучения математике с целью осмысления содержательной составляющей обучения логическому поиску решения задач;
основные теоретические положения, описывающие процессуальную составляющую обучения логическому поиску решения школьных математических задач, могут непосредственно применяться в методической подготовке будущих учителей математики в качестве средства, помогающего им осмыслить сущность общего умения выполнять поиск решения задач и процесс формировании этого умения у школьников;
эти же теоретические положения помогут учителями математики составить целостное представление о процессе логического поиска решения задач и на этой основе обучать школьников его выполнению.
Достоверность полученных в исследовании результатов и обоснованность научных выводов обеспечивается: использованием достижений психолого-педагогических наук; применением логических законов в создании теоретических положений; использованием различных методов исследования, адекватных поставленным задачам; результатами экспериментальной работы, длившейся несколько лет; подтверждением выдвинутой в диссертации гипотезы.
Основные этапы исследования. Выполнение исследования началось в 1996 г. и велось поэтапно в соответствии с логикой своего развития.
На предварительном этапе (1996-2000 г.г.) было начато исследование в области теоретического обоснования методики обучения решению задач и изучен такой его аспект, как реализация внутрипредметных связей в процессе решения задач. Итогом исследований стала защита диссертации на соискание учёной степени кандидата педагогических наук по теме “Теоретические основы реализации внутрипредметных связей посредством решения задач в классах с углублённым изучением математики”.
Теоретический этап исследования (2001-2002 г.г.) заключался в создании теоретического обоснования методики обучения логическому поиску решения школьных математических задач. В этот период времени было выдвинуто и обосновано подавляющее большинство научных положений, которые составили практически всё содержание данной диссертации.
На заключительном этапе (2002-2010 г.г.), был проведён формирующий эксперимент по проверке эффективности разработанных теоретических положений, а также по установлению некоторых фактов, которые невозможно определить только теоретически. На этом этапе осуществлялась доработка и редактирование созданных ранее теоретических положений в зависимости от результатов формирующего эксперимента, оформление результатов исследования в виде диссертации на соискание учёной степени доктора педагогических наук.
Апробация и внедрение результатов исследования. Результаты исследования докладывались и получили одобрение на Всероссийской научно-практической конференции “Актуальные проблемы профилизации математического образования в школе и вузе” (Арзамас, 2004), XXVI Всероссийском семинаре преподавателей математики “Новые средства и технологии обучения математике в школе и вузе” (Самара, Москва, 2007), Международной научной конференции “Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании” (Пермь, 2007), Региональной научно-практической конференции “Современные информационно-коммуникационные технологии в образовательном процессе сельской школы” (Арзамас, 2007), Всероссийской научно-практической конференции “Интегративный характер современного математического образования” (Самара, 2007), Международной научной конференции “Интеграционная стратегия становления профессионала в условиях многоуровневого образования” (Котлас, 2007), Международной научной конференции “Современные образовательные технологии в системе математического образования” (Архангельск, 2008), Международной научной конференции “Сельская школа в контексте интеграционных процессов в образовании” (Арзамас, 2008), Всероссийской (с международным участием) научной конференции “Современное образование: научные подходы, опыт, проблемы, перспективы” (Пенза, 2009), Всероссийской научной конференции “Методическая подготовка студентов математических специальностей педвуза в условиях фундаментализации образования” (Саранск, 2009).
Внедрение полученных результатов осуществлялось посредством публикации монографий, методических пособий, статей, организации экспериментальной работы в школах Орловской области, выступлений перед методистами и учителями в Орловском областном институте усовершенствования учителей, в Орловском государственном университете и ряде других вузов страны.
Положения, выносимые на защиту:
1. Логический поиск решения школьных математических задач детерминируется содержащейся в компонентах их информационной структуры объективной информацией, теоретико-методическими характеристиками задач, по которым они квалифицируются, и спецификой обоснования и реализации решения, выраженной совокупностью внутрипредметных связей, свойственных содержанию школьного курса математики, и используемых в решении задачи. Внутренняя структура процесса логического поиска решения задачи может быть выражена совокупностью схем и механизмов, моделирующих процедуру анализа задачи и отыскания способа её решения. Информационная структура этого процесса определяется лишь для каждой конкретной задачи и обусловливается информационной структурой данной задачи. Минимальным компонентом процесса логического поиска решения школьных математических задач является локальная идея, которая реализуется в течение одного этапа решения задачи, представляющего собой отдельную подзадачу.
2. Обучение логическому поиску решения задач – это обучение выдвижению идей решения задачи на основе факторов, детерминирующих логический поиск. Структурной единицей процесса обучения учащихся логическому поиску решения школьных математических задач является обучение их генерированию и реализации локальных идей решения задачи.
3. Основным ресурсом выдвижения локальных идей решения школьной математической задачи является установление внутрипредметных связей, содержащихся в школьной математике. Многообразие проявлений внутрипредметных связей в процессе решения школьных математических задач описывается десятью основными видами их реализации. Они являются своеобразными эвристиками в выборе конкретных теоретических средств и идей логического поиска решения, а в конечном счёте, формируют у школьников общее умение выполнять логический поиск решения школьных математических задач.
4. Полную ориентировочную основу действий (ПООД) субъекта по осуществлению логического поиска решения школьной математической задачи образуют дидактические характеристики основных видов реализации внутрипредметных связей, теоретико-методические характеристики задач и внутренняя структура процесса логического поиска их решения. Упорядоченная совокупность подходов к выполнению логического поиска решения задач, позволяющая выдвигать и реализовывать локальные идеи решения задачи, представленная в ПООД, является обобщённой теоретической моделью общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач.
5. Обучение логическому поиску решения школьных математических задач состоит в создании условий, при которых учащиеся смогут последовательно овладевать поисковыми ресурсами, содержащимися в ПООД, что предполагает регулярное их применение в процессе решения задач и осмысление как общих поисковых действий, то есть на основе деятельностного подхода. Многообразие действий, выполняемых в ходе решения задач, описывается девятью основными видами деятельности. В контексте повышения эффективности обучения логическому поиску решения школьных математических задач необходима систематизация задач, а также внутритематическое и межтематическое упорядочивание систем математических задач на основе выделенных видов деятельности.
6. Целенаправленное обучение логическому поиску решения школьных математических задач теоретически может быть представлено диалектическим единством его процессуальной и содержательной составляющих. Процессуальная составляющая – это описание сущности общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач, содержательная составляющая заключается в обеспечении регулярности обучения школьников этому умению. Обучение логическому поиску решения задач предполагает: пропедевтику поисковых ресурсов (содержащихся в ПООД) для учащихся 1-7 классов; упорядочивание процесса обучения, обусловливающего освоение школьниками основных поисковых ресурсов и овладение умением их применять в решении задач; формирование общего умения выполнять поиск решения задач, в ходе которого учащиеся с помощью ПООД учатся выдвижению и реализации локальных идей решения задачи.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и библиографического списка, насчитывающего 305 источников, включает 4 таблицы и 7 рисунков. Основные научные положения изложены во второй, третьей и четвёртой главах.
Во введении обоснована актуальность, сформулированы проблема, объект, предмет, концепция, цель и задачи исследования, его методологические и теоретические основы, научная новизна, теоретическая и практическая значимость, основные положения, выносимые на защиту.
В первой главе “Психолого-педагогические основания процесса обучения поиску решения математических задач” рассмотрен психолого-педагогический аспект исследуемой проблемы.
Во второй главе “Теоретико-методологическое обоснование сущности логического поиска решения школьных математических задач и обучения поиску их решения” выявлены основные теоретико-методические характеристики задач, по которым квалифицируются задачи в контексте исследуемой проблемы, построена модель внутренней структуры процесса логического поиска решения задачи и выделен теоретико-методологический базис обучения общему умению выполнять логический поиск решения задач.
В третьей главе “Внутрипредметные связи как основной ресурс процесса обучения логическому поиску решения школьных математических задач” выявлены дидактические возможности внутрипредметных связей в обучении поиску решения задач, раскрыта сущность общего умения выполнять логический поиск решения задач, построена его обобщённая модель – полная ориентировочная основа действий (ПООД), выполняемых субъектом в ходе решения задачи, описаны основные этапы процесса обучения школьников логическому поиску решения математических задач.
В четвёртой главе “Деятельностный подход к обучению математике как методическая основа формирования общего умения выполнять логический поиск решения школьных математических задач” описаны основные виды деятельности, осуществляемой в процессе работы над задачей, методы систематизации задач и упорядочивания их систем, способствующие регулярному использованию в обучении основных поисковых ресурсов, рассмотрены перспективы дальнейшего теоретического изучения исследуемой проблемы.
В заключении подведены итоги исследования и сформулированы сделанные на их основе выводы.
Проблемы обучения поиску решения задач
Психолого-педагогическим аспектам поиска решения задач значительное внимание уделено В.И. Крупичем в первой главе работы [139]. Изложим полученные в ней результаты и дополним их по мере необходимости.
В психологии понятие "задача" рассматривается как объект мышления, причём мышление в процессе решения задачи выступает как особая деятельность. Признавая важную роль задач в развитии мышления, психологическая наука, тем не менее, не выработала единой трактовки понятия "задача". Рассмотрим имеющиеся в науке подходы к толкованию этого понятия.
Мышление реально выступает в различных видах деятельности. Чаще всего мышление проявляется в процессе решения задач. При этом формируются такие приёмы мышления, как анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация и т. д. Психологами установлено, что процесс мышления - это, прежде всего, анализирование, синтезирование и обобщение [206].
Таким образом, мышление и решение задач взаимосвязаны, но их нельзя отождествить, сводя мышление только к решению задач. Решение задач осуществляется только с помощью мышления, но мыслительная деятельность имеет место и вне решения задач, например, при формулировании задачи. Однако развивать мышление лучше всего в процессе решения задач.
Роль задач в развитии мышления школьников устанавливается самим тезисом о процессе мышления. Смысл данного тезиса в том, что ход решения задачи определяется, прежде всего, ею самой. Задача создаёт исходную детерминацию (причинную обусловленность) для мышления, тем самым определяя направление поисков неизвестного [43].
При этом необходимо иметь в виду, что детерминация мышления задачей целиком и полностью не предопределяется. Детерминация мышления - это динамический процесс, который имеет место и формируется на всех этапах мыс лительной деятельности в ходе решения задачи непрерывно. Иными словами, процесс мышления не только детерминируется задачей в исходный момент её решения, но и предполагает непрерывное воспроизведение детерминации по ходу самого процесса.
Психолог К.А. Славская в своей работе "Детерминация процесса мышления" раскрывает суть принципа детерминизма следующим образом: "принцип детерминизма, исходящий из того, что внешние причины действуют через внутренние условия, устанавливает определённое соотношение внешних и внутренних условий любого тела, явления, процесса: он выступает как общий методологический принцип исследования в любой области знания, в любой науке" [224, с. 175].
Принцип детерминизма раскрывает внешние причины (условия) и внутренние условия в их диалектической взаимосвязи. Внутренние условия складываются под воздействием внешних, тем самым определяют активность, изменяя этим внешние условия, оказывая воздействие на них. Само соотношение внешних и внутренних условий изменяется в ходе их воздействия друг на друга.
В построении теории задач в основу положен принцип детерминизма. В самом деле, задача — это объект мыслительной деятельности, её условия и требование являются той причиной, которая направляет мыслительный процесс на глубокое познание объекта, то есть на раскрытие внутренних условий существования задачи. Внутренние условия, оказывая воздействие на внешние условия (условие и требование задачи) позволяют глубже вникнуть в текст задачи с целью её решения.
Из вышеизложенного следует, что принцип детерминизма есть не что иное, как психологическое обоснование рекуррентности процесса поиска решения задачи. Действительно, поиск решения задачи — это построение логически непрерывной последовательности взаимосвязанных (в процессе решения) наиболее общих теоретических положений математики. Для её создания решающий задачу отталкивается от внешних условий (формулировка задачи), но каждый этап в решении задачи определяется логической взаимосвязью её компо нентов (исходных и найденных в процессе решения), то есть внутренними условиями данной задачи. Чтобы перейти к следующему этапу в решении, необходимо соотнести полученные промежуточные результаты с условием и требованием задачи, то есть имеет место воздействие внутренних условий на внешние или даже изменение внешних условий (например, переформулировка задачи) под действием внутренних. Таким образом, в процессе поиска решения задачи внешние и внутренние условия диалектически взаимосвязаны, а психологической основой их взаимосвязи является принцип детерминизма.
Резюмируя всё вышесказанное, делаем вывод, что сущность психологического подхода к понятию "задача" состоит в том, что задача есть объективная исходная проблемная ситуация, исходное соотношение условий и требования. Это, прежде всего, задача, возникшая перед человеком. Задачу можно рассматривать как некую особую форму познания действительности. Поэтому задача выступает как объект, детерминирующий процесс мышления человека [224, с. 211]. Мышление понимается как процесс, как деятельность, в ходе которой осуществляется взаимодействие внешних и специфических внутренних условий деятельности. Детерминация, возникающая в ходе мыслительного процесса, по существу связана с ролью мыслительных процессов анализа, синтеза и обобщения в ходе решения задач. Поэтому развитие мышления (в частности, математического) учащихся непосредственно связано с формированием у них следующих его приёмов: анализа, синтеза, обобщения и др. [43, 224].
В формулировке любой задачи можно выделить две части: условие (условия) и требование (вопрос). Практически всегда они чётко фиксированы. Требование к условию как бы намечает искомое в задаче, поиск и нахождение которого составляет решение задачи (ответ).
А.В. Брушлинский показал, что в методических исследованиях довольно часто требование задачи и искомое отождествляются. С точки зрения психологии мышления это неправомерно, так как требование в задаче всегда известно, а искомое при этом может быть как известно, так и неизвестно. Например, известно требование: "Решить уравнение", а искомое (его корни) неизвестно.
Системно-структурный анализ процесса логического поиска решения математических задач
В работе [98] Г.А. Дзида представила интересную концепцию формирования и развития обобщённого умения решать задачи учащимися средней школы. Исследование выполнено в рамках синтеза общей педагогики и теории и методики обучения физике. В нём описано синхронное рассмотрение задач, которые имеют место для всего естествознания, изучаемого школьниками (задач, описывающих процессы, протекающие в природе и изучаемые различными науками). В силу этих причин, автором не создана теория и методика обучения школьников поиску решения собственно математических задач.
В 1982 году была опубликована статья "О методике обучения школьников поиску решения математических задач", написанная Г.И. Саранцевым [212]. Автор отмечает, что один из возможных вариантов теории обучения решению задач может быть построен на концепции учебной деятельности, поэтому обучение школьников решению геометрических задач в данной статье рассматривается с этих позиций. Г.И. Саранцев указывает, что центральным вопросом теории обучения решению задач являются особенности поиска. По его мнению, поиск решения — это г\еленаправленный анализ исходных и выявленных условий задачи в сопоставлении с её требованиями. Далее автором на конкретных примерах рассматривается выявление закономерностей поиска решения геометрических задач. Г.И. Саранцевым сделан важный вывод о том, что психологический ход решения задачи отличен от её логической модели, причём логическая структура задачи является основой психологического хода решения. Автором не указывается, что он понимает под логической структурой задачи, но из контекста очевидно, что под ней понимается логическая взаимосвязь и взаимообусловленность основных данных в задаче. После этого в статье на конкретных примерах рассмотрены проблемы умения анализировать требование и условие задачи. Затем сформулирован ряд методических рекомендаций по указанным вопросам. В заключение Г.И. Саранцев затронул проблему применения эвристических приёмов к выполнению поиска решения геометрических задач и предложил одну из эвристических схем, моделирующих поиск решения наиболее распространённых задач с чётко определённым требованием.
Бесспорным авторитетом в методике обучения математике, получившим мировое признание, является Д. Пойа [195-197]. В своих книгах, обобщая свой обширный педагогический опыт, автор даёт массу практических советов и методических рекомендаций практически по всем аспектам математической деятельности, имеющей место в решении задач. Помимо этого, книги Д. Пойа пронизаны глубоким практическим психологизмом. Эти произведения напоминают заочный психолого-педагогический и методический семинар для учителей, имеющих хотя бы небольшой опыт работы. Они не являются какими-либо теориями, однако мнение автора по тем или иным проблемам может быть научно изучено и обобщено, но это требует проведения отдельного исследования. Без научного обобщения материал, содержащийся в книгах Д. Пойа, вряд ли может быть использован в построении теории обучения поиску решения задач.
В работах [93, 94] В.А. Далингер (и Н.В. Толпекина [93]) рассмотрел поисково-исследовательскую деятельность учащихся. Автор под учебным исследованием понимает познавательную деятельность учащихся, способствующую формированию умений: добывать новые знания; самостоятельно выполнять поиск; достигать целей обучения; формировать мыслительные операции. На этой основе рассмотрены функции поисково-исследовательской деятельности, но целостного учения об обучении поиску решения задач не представлено, так как в целом работа посвящена несколько иной, хотя и смежной проблеме.
В работах [47, 48] А.Б. Василевский рассматривает широкий спектр методов решения задач элементарной математики. Здесь же автор даёт массу ценных указаний по обучению школьников использованию этих методов в решении задач. Данная книга может с успехом применяться даже для организации работы в классах с углублённым изучением математики, поскольку в ней рас-сметрены многие вопросы элементарной математики. Однако эта работа не содержит каких-либо теоретических построений.
В 1990 году была опубликована монография Я.И. Грудёнова "Совершенствование методики работы учителя математики" [77]. В частности, в этой работе рассмотрена проблема структурирования системы упражнений. Под упражнением автор понимает самые элементарные задачи, предназначенные для освоения нового материала. В книге раскрыто противоречие между необходимостью многократного повторения решения таких задач и потерей интереса к математике при этом (особенно со стороны,способных учащихся). Также в ней проанализирована проблема предупреждения ошибок, допускаемых учащимися в решении таких задач, предложены рекомендации по построению систем упражнений с целью повышения эффективности их использования в обучении.
Н.В. Метельский в работах [164-166], рассматривая математическую задачу, пытается дать определение этому понятию. Далее автор классифицирует задачи по дидактическим целям (познавательные, тренировочные, развивающие), по преобладанию того или иного типа мышления (алгоритмические, полуалгоритмические или полуэвристические, эвристические). В этих книгах рассмотрены различные методы решения задач (синтетический, аналитический, метод алгебраического анализа и т. д.), а также проблемы обучения школьников решению задач. Автором систематизированы и описаны самые разные приёмы методики обучения школьников, но целостной теоретической концепции обучения школьников решению задач не представлено.
В 1966 году в средних школах были введены факультативные занятия по математике. BtTO время повсеместно ещё не было классов с углублённым, изучением математики (в. крупных городах действовали математические школы) и факультативы были основной формой организации внеклассной работы по этому предмету. Их назначением было повышение уровня математического образования школьников. В 1981 году была опубликована статья Е.С. Петровой [192].
Дидактические возможности каждого вида реализации внутрипредметных связей в обучении логическому поиску решения задач
Задачи первого уровня трудности целесообразно располагать в начале системы задач. Во-первых, они в значительной степени качественно отличаются от задач второго и четвёртого уровней. Во-вторых, последовательная работа с несколькими задачами первого уровня трудности позволяет сконцентрировать внимание школьников на выявлении информации первого вида. В-третьих, это умение необходимо в работе с любыми задачами, поэтому такие задачи надо располагать не только отдельной группой, но ещё и в начале системы.
Задачи второго и третьего уровней трудности (если они всё-таки составлены или найдены) в системе следует располагать так. Для каждой группы задач находится среднее арифметическое значение количественного показателя трудности. Если полученные показатели трудности сравнимы между собой, то задачи этих двух уровней трудности можно располагать в любом порядке в зависимости от других их дидактических функций. Если указанные показатели трудности не сравнимы между собой, то сначала в системе располагаются задачи того уровня, для которого вычисленный средний показатель ниже.
Теперь рассмотрим вопрос о систематизации задач по степени трудности внутри одного уровня. Вначале осветим этот вопрос для задач первого и второго уровней трудности. Количественный показатель трудности задач внутри одного уровня трудности в общем случае различен, но можно объединять в подгруппы задачи, показатели трудности которых сравнимы. Нижеследующий механизм позволяет систематизировать задачи по степени трудности. МЕХАНИЗМ № 6 (выполнения систематизации задач по степени трудности)
1. Задачи данного уровня трудности разделить на подгруппы так, чтобы.для задач каждой из них числовые показатели трудности были сравнимы. Начинать разделение следует с задач с наименьшим числовым показателем трудности.
2. Подгруппы расположить в порядке возрастания степени трудности. При этом следует иметь в виду, что возрастание трудности можно проследить по задачам с наименьшим (наибольшим) значением трудности в подгруппе.
3. В подгруппе задачи следует располагать вне зависимости от конкретных значений трудности, поскольку они сравнимы по степени трудности. Упорядочивание задач в подгруппе может быть выполнено на и основе других критериев (может быть, не имеющих непосредственного отношения к исследуемой здесь проблеме).
Однако если для некоторых (или для всех) задач в подгруппе количественный показатель трудности одинаков, то в ней сначала можно располагать задачи, для которых выше показатель трудности, приоритетный для данного уровня (для первого уровня это Ті, для второго уровня - Т2);
Из данного механизма следует, что одна и та же задача не может относиться к нескольким подгруппам. Пусть, например, в первую подгруппу (наиболее "лёгкую") входят задачи с показателями трудности от 12 до 16, сравнимые по степени трудности. Любая задача с показателем трудности из этих пределов согласно первому пункту данного механизма должна войти в эту подгруппу. Задачи с показателями трудности, начиная с 17, не могут относиться к данной подгруппе, так как тогда она перестанет состоять из задач, сравнимых по степени трудности. Может случиться и так, что какая-то подгруппа состоит только из одной задачи. Это частный случай. Заметим, что данный механизм, несмотря на кажущуюся громоздкость, прост в применении, тем более что чаще всего система состоит из 2-4 подгрупп.
Замечание 18. 1. Если среди задач первого или второго уровней трудности встречаются эвристические задачи, они располагаются последними в системе в порядке возрастания трудности (в произвольном порядке, они сравнимы по степени трудности). 2. Если в системе присутствуют задачи третьего уровня трудности, то они располагаются перед задачами-четвёртого уровня в порядке возрастания трудности (в произвольном порядке, если они сравнимы по степени трудности). Если среди них есть эвристические задачи, то они располагаются в конце системы.
Теперь рассмотрим вопрос о систематизации задач четвёртого уровня по степени трудности. Здесь велика вероятность наличия эвристических задач. То 172 гда в общем случае система разделяется на две группы: полуэвристические задачи и эвристические задачи. В связи с этим сначала в ней располагаются полуэвристические задачи, а затем — эвристические задачи вне зависимости от того, для какой из этих подгрупп средний числовой показатель трудности выше. Конечно, он может быть выше для полуэвристических задач, но это не правило, а редкое исключение. Далее следует для каждой из этих подгрупп применить механизм № 6. То есть и каждая из этих двух вышеуказанных подгрупп может быть далее разделена на несколько частей в соответствии с механизмом № 6.
Итак, рассмотрена проблема систематизации задач на основе их трудности в предельно общем случае, когда в системе присутствуют задачи первого, второго и четвёртого уровней трудности. Если система состоит из задач только одного уровня, ранжировать их по трудности нужно точно также, но надо учесть, что качественный уровень трудности лишь один. Если система состоит из задач двух уровней трудности, действуют аналогично. Заметим, что все рассуждения в этом пункте основаны на принципе возрастания трудности задач.
Следует учесть, что по трудности г/елесообразно сравнивать между собой лишь одноимённые задачи из одной темы (тригонометрические уравнения, сюжетные задачи и т. п.), так как на трудность задачи опосредованно влияет трудность соответствующего теоретического материала.
Освещая проблему систематизации задач в зависимости от их трудности, собственно теоретически невозможно определить конкретные количественные показатели трудности, верхнюю и нижнюю границы трудности тех задач, которые целесообразно применять в обучении и т. п. Эти показатели установлены экспериментально. Так, все задачи по количественному значению трудности целесообразно разделить на пять групп: менее 10 баллов; 11-20 баллов; 21-30 баллов; 31-40 баллов, более 40 баллов. Задачи из этих групп условно названы лёгкими, умеренными, средней трудности, трудными и очень трудными-(подробнее это будет изложено в четвёртой главе диссертации).
Систематизация школьных математических задач и их систем в контексте деятельностного подхода к обучению логическому поиску решения задач
В данном пункте будет рассмотрена проблема применения внутрипредметных связей для построения логических рассуждений в процессе анализа или синтеза. Дело в том, что одно только применение тех или иных видов реализации внутрипредметных связей для выполнения поиска решения задачи не исчерпывает в полной мере всех их возможностей в деле решения указанной проблемы. Те или иные виды реализации внутрипредметных связей нужно использовать для построения самой логики процесса поиска, а также для этих целей надо применять и сущность внутрипредметных связей.
В первую очередь исследуем применение семи фундаментальных видов реализации внутрипредметных связей к выполнению аналитико-синтетического поиска решения математических задач.
I. Рассмотрим восходящий анализ. Как известно, он состоит в доказательстве того, что условия задачи достаточны для выполнения её требования, а поэтому он содержит в себе и синтез. Иными словами, двигаясь от требования к условию, на всяком промежуточном этапе нужно для требования (искомого) найти такие причины, которые были бы достаточны для его выполнения.
Первый и второй виды реализации внутрипредметных связей имеют место между двумя исходными задачами, поэтому их применение для отыскания причин того или иного факта невозможно в принципе. Можно выполнять поиск решения данной задачи так же, как и задачи, аналогичной ей, но решённой ранее, однако это лишь аналогия действий. Аналитический поиск здесь рассматривается для задачи, аналогичную которой учащиеся- ранее не решали и аналогичную идею решения тоже никогда не применяли ни для какой задачи. Иными словами, сама сущность первого и второго видов реализации внутрипредметных связей не совместима с аналитико-синтетическим поиском решения математических задач.
Совсем иная ситуация имеет место для третьего вида реализации внутрипредметных связей. Дело в том, что субъект ищет причину существования какого-либо факта, а источником его существования может быть результат решения базисной задачи. В случае, когда субъекту известен результат этой задачи, в ходе выполнения аналитико-синтетического поиска решения какой-либо из задач системы он знает, к чему нужно стремиться. Например, если т, п -корни уравнения х1 +px+q = 0, то зная, как выразить сумму т2 +п2 через коэффициенты р и q, выражая через эти коэффициенты сумму т4 + п4, нужно воспользоваться результатом предыдущей задачи, которая в этом случае сыграет роль базисной. Если результат базисной задачи неизвестен, это означает, что субъект не знает и самой этой задачи, поскольку она изначально не была предложена (иначе её результат можно было бы найти). Тогда она может быть обнаружена в процессе поиска решения исходной эвристической задачи, сформулирована и решена. Итак, для эвристических задач отыскание базисной задачи является частью аналитико-синтетического поиска решения исходной задачи.
Для пятого вида реализации внутрипредметных связей возможность его применения к построению логики аналитического поиска не может иметь места ввиду того, что переформулировка задачи выполняется тогда, когда так легче найти способ её решения (или когда это единственно возможный путь отыскания решения). То есть необходимость переформулировки — это результат логических рассуждений, а не их средство. Иными словами, переформулировка задачи — это средство процесса поиска решения задачи, но не средство логических рассуждений, выполняемых входе аналитического поиска решения задач.
Шестой вид реализации внутрипредметных связей не может быть использован для выполнения аналитического поиска решения, так как этот вид характеризуется непосредственным переходом от одной теории к другой в ходе реализации решения. Но он.вполне может применяться в процессе собственно синтетического поиска решения, понимаемого как "метод движения-вперёд", от условия к промежуточным условиям подзадач и в конечном итоге к выполнению требования исходной задачи.
Седьмой вид реализации внутрипредметных связей вполне может применяться в аналитическом поиске решения задачи, поскольку отыскивая средства, с помощью которых можно ответить на вопрос задачи, в ряде случаев приходится выходить за рамки исходных теорий. Например, находя градусную меру угла в геометрических задачах, используют тригонометрические уравнения.
Восьмой вид реализации внутрипредметных связей также имеет место в построении логики аналитического поиска. В том случае, когда задача (или подзадача) изначально сформулирована средствами нескольких теорий, установление связей между фактами, относящимися к разным теориям, способствует отысканию причины того утверждения, которое содержится в требовании. Например, если в условии геометрической задачи дана трапеция, вписанная в окружность, сопоставляя свойства этих двух фигур, приходим к выводу, что у трапеции боковые стороны равны.
II. Рассмотрим синтетический поиск решения. Будем его понимать как "метод движения вперёд" от исходного условия задачи к промежуточным условиям и в конечном итоге к выполнению её требования.
Первый и второй виды реализации внутрипредметных связей здесь в самом построении логических рассуждений помочь не могут, так как они реализуются между двумя исходными задачами или подзадачами разных задач.
Третий вид реализации внутрипредметных связей в ряде случаев может применяться для выполнения синтетического поиска. Это возможно, если для задач системы используется синтетический поиск решения и в ходе его применения одним из промежуточных результатов задачи будет подзадача, условие которой совпадает с условием базисной задачи или частично его содержит.
Пятый вид реализации внутрипредметных связей не способствует построению логики синтетического поиска решения задач, по тем же причинам, в силу которых он не используется и для выполнения аналитического поиска решения задачи.
