Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы обучения решению математических задач
1.1 Роль базовых знаний в процессе обучения решению математических задач 15
1.2 Психолого-педагогические аспекты создания системы заданий, направленной на формирование базовых знаний 32
Глава 2. Формирование системы базовых знаний по геометрии с использованием программно-методического комплекса «Планиметрия»
2.1 Анализ теории и практики использования компьютерных технологий в математическом образовании 45
2.2 Программно-методический комплекс (ПМК) «Планиметрия» 53
Глава 3. Методика формирования системы базовых знаний по геометрии с использованием ПМК «Планиметрия»
3.1 Система заданий, направленная на формирование базовых знаний как основы обучения решению математических задач 65
3.2 Методика формирования системы базовых знаний по геометрии с использованием системы заданий и ПМК «Планиметрия» 74
3.3 Экспериментальное исследование 92
Заключение 114
Литература 115
Приложение 126
- Роль базовых знаний в процессе обучения решению математических задач
- Анализ теории и практики использования компьютерных технологий в математическом образовании
- Система заданий, направленная на формирование базовых знаний как основы обучения решению математических задач
Введение к работе
Роль математики в прогрессе общества в целом и в формировании личности каждого отдельного гражданина определяет место математики в системе школьного образования. Различают две значимые стороны назначения математики: практическая, связанная с созданием и применением инструментария, необходимого человеку в его продуктивной деятельности, и духовная, связанная с развитием мышления человека, с овладением определенным методом познания и преобразования мира - математическим методом. Качество математической подготовки сегодняшних школьников является одним из критериев готовности общества к дальнейшему развитию научно-технического прогресса и использованию новейших достижений мировой науки и техники в ее социально - экономическом развитии.
Проблема обучения учащихся решению математических задач является одной из наиболее актуальных в методике преподавания математики. Известно, что решение задач является основным полем применения теоретических знаний учащихся и способом организации их деятельности и составляет существенную часть работы, выполняемой ими на уроках математики. Поэтому формирование умений решать математические задачи остается важнейшей целью обучения математике и одним из основных результатов, которые традиционно подвергаются проверке и оцениванию.
Различные аспекты проблемы обучения школьников решению задач нашли отражение в исследованиях психологов (Л. Л. Гурова, Л. М. Фридман, А. Ф. Эсаулов и др.), дидактов (М. А. Данилов, Б. П. Есипов, М. Н. Скаткин, Г. И. Щукина и др.), методистов (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, Е. И. Лященко, Е. И. Мащбиц, Г. И. Саранцев, Д. Пойа, X. Ш. Шихалиев, П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев и др.). Но несмотря на внедрение результатов этих исследований, анализ практики обучения математике, результаты вступительных экзаменов в техникумы и ВУЗы убеждают в том, что учащиеся испытывают серьезные затруднения при решении математических задач, умения школьников решать задачи часто оказываются несформированными. Особенно отмечается низкая
результативность решения геометрических задач. Следовательно, значительный интерес представляет влияние тех аспектов проблемы обучения решению геометрических задач, которые в настоящее время еще не получили должного научного обоснования, но их всестороннее изучение может приблизить нас к ее решению.
Поэтому в качестве объекта исследования мы выбрали процесс обучения решению геометрических задач в общеобразовательной школе.
Результаты анализа психолого-педагогических и методических исследований (Колягин Ю. М., Гусев В. А., Фридман Л.М., Крупич В. И., Блинова Н. В., Зорина Л. Я., Орлов В. В., Бакмаев Ш. А., X. Ш. Шихалиев, П. М. Эрдниев, Б. П. Эрдниев и др.) показали, что одной из причин слабой решаемости задач учащимися является не сформированность у них системы базовых знаний, на основе которых осуществляется поиск решения задачи, и умений устанавливать взаимосвязи между ними. Эти результаты также были подтверждены в ходе экспериментального исследования.
Мы пришли к необходимости целенаправленного формирования у школьников системы базовых знаний, что позволило нам выделить предмет исследования: процесс формирования системы базовых знаний как основы обучения решению задач.
В первую очередь учащиеся должны уяснить следующую общую идею, лежащую в основе всех методов и способов решения задач: чтобы решить какую-либо задачу, надо свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам (подзадачам) (Л. М. Фридман, Д. Пойа). А для решения каждой из этих подзадач мы должны использовать имеющиеся у нас теоретические знания и выработанные ранее умения и навыки их практического применения в новых условиях. Знания, умения и навыки, связанные с каждой из полученных подзадач, можно рассматривать как блоки базовых знаний.
Решение любой задачи осуществляется с помощью ряда приемов и включает актуализацию различных блоков знаний и отбор тех знаний, которые необходимы для решения задачи. Значит, обучение учащихся решению задач предполагает в первую очередь формирование у школьников
соответствующих блоков знаний, обучение их приемам решения. Кроме того, успешная реализация приема решения задачи предполагает установление взаимосвязей между знаниями, используемыми в процессе решения. А без соответствующей системы базовых блоков знаний осознанное установление взаимосвязей невозможно. Поэтому в качестве проблемы исследования мы рассматривали поиск методов и средств формирования системы базовых знаний как основы обучения учащихся решению геометрических задач. Анализ и экспериментальное исследование различных методов и средств решения этой проблемы привели нас к необходимости разработки специальной системы заданий и методики ее реализации с использованием компьютерных технологий.
Указанная выше проблема и поиск методов и средств ее решения определили цель, гипотезу и задачи нашего исследования.
Цель исследования; разработка методики формирования системы базовых знаний с использованием компьютерных технологий как основы обучения решению геометрических задач.
Гипотеза исследования: если разработать методику формирования системы базовых знаний как основы обучения решению математических задач с использованием компьютерных технологий, то это будет способствовать повышению качества знаний учащихся.
Для достижения поставленной цели и реализации гипотезы были поставлены следующие задачи исследования:
Изучить возможности формирования системы базовых блоков знаний и обучения взаимосвязям между ними с помощью специально разработанной системы заданий.
Рассмотреть возможности определения структуры и содержания системы заданий с использованием классификации планиметрических задач на основе элементов знаний, используемых в процессе их решения, и общих свойств геометрических конструкций.
Выявить возможности применения современных информационных технологий для повышения эффективности реализации системы заданий при обучении решению геометрических задач.
Разработать компьютерную программу, обеспечивающую работу с системой заданий и методические рекомендации по ее реализации.
Экспериментально проверить разработанные материалы (названные программно-методическим комплексом (ПМК) «Планиметрия»).
Научная новизна заключается в следующем: 1) выявлена возможность формирования системы базовых знаний с помощью специальной системы заданий и компьютерных технологий;
2) разработан программно - методический комплекс (ПМК) «Планиметрия»;
3) разработана методика формирования системы базовых знаний по
геометрии как основы обучения решению задач.
На защиту выносятся следующие положения:
Технология разработки системы заданий, направленная на формирование у учащихся базовых знаний и обучение их взаимосвязям между ними.
Компьютерная программа, обеспечивающая функционирование системы заданий.
Методика формирования системы базовых знаний с помощью авторского ПМК «Планиметрия».
Методологические основы исследования. Исследование опиралось на концепцию проблемно - развивающего обучения (И. Я. Лернер и др.), теорию ориентировочной основы деятельности (П. Я. Гальперин, Н. Ф. Талызина), а также на концепцию компьютеризации образования (Ершов А. П., Брановский Ю. С, Кузнецов А. А, Монахов В. М., Машбиц Е. И. и др.)
Практическая значимость работы состоит в том, что разработанный
нами ПМК «Планиметрия» содержит в себе специальные тесты, упражнения и
задачи, а также компьютерную программу «Планиметрия» и методические
рекомендации, которые могут быть использованы в практике работы учителей
- математиков для повышения эффективности обучения решению задач по
математике.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечены использованием математических методов при моделировании методической системы обучения; опорой на результаты фундаментальных психолого-педагогических исследований; полнотой и объемом изученного в ходе исследования материала; качественным и количественным анализом результатов экспериментальной проверки основных положений и рекомендаций; результатами внедрения в практику обучения учащихся разработанной системы заданий, обучающей программы и методических рекомендаций.
Апробация работы и внедрение результатов проводились в школах города Махачкалы. Основные результаты исследования докладывались на заседаниях кафедры методики преподавания математики и информатики Дагестанского педагогического университета, на научных семинарах и конференциях, а также на курсах повышения квалификации учителей математики. Также результаты получили отражение в научных статьях, методических рекомендациях и пособиях, изданных автором.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений. Общий объем диссертации составляет 163 страниц. Из них: 11 страниц - список литературы из 142 наименований, 38 страниц - приложение, 114 страниц - текст содержания, введения трех глав и заключения. В тексте содержатся 27 рисунков и 6 таблиц.
Основное содержание диссертации
Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформированы цель, объект, предмет, гипотеза, задачи и методы исследования, раскрыты научная новизна, теоретическая и практическая значимость, описаны основные этапы теоретической и экспериментальной работы, представлены положения, выносимые на защиту.
В первой главе «Теоретические основы обучения решению математических задач» раскрываются роль и место задач в обучении математике; проблемы формирования системы базовых знаний как основы обучения учащихся решению математических задач.
На основе анализа психолого-педагогических и методических исследований по проблеме диссертации раскрыто значение системы базовых знаний как основы формирования приемов решения математических задач.
Выделены принципиальные положения, которые служили теоретической основой для разработки методики формирования у учащихся системы базовых блоков знаний.
С целью выявления и конкретизации элементов знаний, используемых при решении задач и их взаимовлияний, мы выполнили анализ действий по осуществлению поиска решения.
Анализ указанного действия показал, что процесс поиска решения задач предполагает обращение не только к знаниям, которые будут использоваться на этапе исполнения плана решения конкретной задачи, но и к блокам знаний, из «объема» которых осуществляется выбор необходимых для достижения цели действий, обосновывающих и операционных знаний. Поэтому был сделан вывод, что осознанный поиск решения задачи невозможен без определенной системности базовых блоков знаний.
Поэтому обучение учащихся решению математических задач должно осуществляться в несколько этапов:
актуализация знаний, используемых при решении задач данного типа;
формирование системы базовых блоков знаний;
обучение реализации взаимосвязей между знаниями;
обучение приемам решения задач.
Наиболее сложной из перечисленных этапов является формирование системы базовых знаний и обучение реализации взаимосвязей между ними в процессе решения задачи. Поэтому мы пришли к необходимости поиска средств, облегчающих достижение поставленной цели.
Поиск решения геометрической задачи начинается с анализа условия задачи и конструкции геометрической фигуры. Поэтому на начальном этапе целесообразно организовать обучение учащихся с помощью специальным образом выделенных геометрических конструкций, так как это облегчает процесс формирования базовых блоков знаний и обучения реализации
взаимосвязей между ними. Как утверждает Орлов В. В., опорная геометрическая конструкция дает возможность акцентировать внимание учащихся на блоках знаний, необходимых для решения группы задач, на характере взаимосвязей между знаниями в процессе решения задачи, и на последовательное формирование соответствующих знаний и умений.
Наши исследования по вопросу обучения решению геометрических задач, в том числе и с использованием опорных геометрических конструкций, показали, что имеются возможность и необходимость рассматривать классификацию геометрических задач на основе общих элементов их геометрических конструкций и элементов знаний, используемых при их решении. Целью создания такой классификации являются:
выделение системы базовых блоков знаний по теме , по разделу затем и по предмету;
формирование у учащихся соответствующих блоков знаний;
формирование системы базовых блоков знаний;
демонстрация учащимся общности методов решения задач на основе обучения установлению взаимосвязей между блоками знаний;
обучение решению задач на основе сформированности базовых блоков знаний и выделения соответствующих классов задач.
Обучение учащихся решению геометрических задач предполагают формирование соответствующих для каждого типа задач (или типа конструкции) базовых блоков знаний и обучение установлению взаимосвязей между знаниями, используемыми в процессе решения. Такая работа может быть организована с помощью специальной системы заданий.
Различные формы занятий по использованию системы заданий, проведенные нами в период экспериментальных исследований, показали определенные положительные результаты.
Однако в процессе работы мы столкнулись с определенными проблемами.
Поиск их решения привел нас к целесообразности использования компьютерных технологий (особенно на начальном этапе, т. е. на этапе формирования соответствующих блоков знаний) и обучению анализу геометрической конструкции как основы поиска решения задачи. При этом было выявлены значительные преимущества использования компьютерных технологий на этом этапе.
Во второй главе «Формирование системы базовых знаний по геометрии с использованием программно-методического комплекса «Планиметрия»» проведен анализ обучающих программ по математике и раскрыты структура и содержание ПМК «Планиметрия».
Выделены наиболее значимые, с учетом педагогических принципов, методические цели, реализация которых оправдывает использование компьютера в качестве средства обучения:
индивидуализация и дифференциация процесса обучения;
осуществление контроля с обратной связью с диагностикой и оценкой результатов учебной деятельности;
осуществление самоконтроля и самокоррекции;
обеспечение возможности тренажа и осуществление с его помощью самоподготовки учащихся;
высвобождение учебного времени без ущерба качеству усвоения;
визуализация и наглядная демонстрация изучаемых процессов;
моделирование и имитация изучаемых или исследуемых процессов;
создание и использование информационных баз данных, необходимых в учебной деятельности, и обеспечение доступа к сети информации;
усиление мотивации обучения;
формирование алгоритмической и информационной культуры.
Раскрываются требования, особенности разработки, а также состав и назначение программно-методического комплекса (ПМК) «Планиметрия», состоящий из следующих частей: 1. Программа "Ученик"; 2. Программа "Учитель"; 3. Система заданий; 4. Документация.
В третьей главе «Методика формирования системы базовых знаний по геометрии с использованием ПМК «Планиметрия» приводится система заданий, раскрыты методика работы с авторским ПМК «Планиметрия» и результаты экспериментального исследования.
Раскрыта методика организации работы с системой заданий. После запуска программы «Планиметрия» на экране появляются заставка, а затем окно выбора класса задач. Программа запрашивает данные об учащемся, и заносит их вместе с другими данными в полный отчет о роботе учащегося за урок. Отчет создается в виде текстового файла скрыто от глаз учащихся на диске и фиксирует результаты работы учащегося на уроке. Отчет можно позже просмотреть или распечатать.
В течение урока на рабочем месте учителя также создается отчет о работе всего класса в виде табличного файла.
Описаны методика и результаты опытно-экспериментальной работы. Цель экспериментального исследования состояла в выявлении возможностей и разработке материалов проведения целенаправленной работы по формированию у учащихся системы базовых знаний с использованием компьютерных технологий, используемой как основу обучения решению геометрических задач. Эксперимент проводился в три этапа.
Первый этап носил констатирующий характер. Для определения сформированности базовых блоков знаний было проведено несколько вариантов контрольных работ по разным базовым блокам знаний.
Задачи предложены с чертежами, чтобы дополнительные факторы, такие как: неправильно понял условие задачи или ненаглядно построил чертеж, не смог повлиять на цель исследования на данном этапе исследования. Т. е. задания предлагаются в такой форме и тому контингенту учащихся, что им остается продемонстрировать сформированность базовых блоков знаний и умений реализовать взаимосвязи между этими блоками знаний.
Итак, на этом этапе, с учетом анализа состояния преподавания геометрии
в названных школах и результатов контрольных работ, было констатировано,
что:
по формированию системы базовых блоков знаний и обучению учащихся взаимосвязям целенаправленной работы не проводится (или если даже проводится, - она не эффективна);
у учащихся не формируются система базовых блоков знаний и умения устанавливать взаимосвязи между этими блоками, что является одной из причин плохой результативности решения геометрических задач.
По завершению первого этапа эксперимента была выдвинута гипотеза: если будет разработана методическая система обучения решению задач, ориентированная на формирование системы базовых знаний и реализацию взаимосвязей между ними, то будет способствовать повышению качества знаний учащихся.
Второй этап эксперимента носил поисковый характер. Этот этап был связан с поиском методов и средств решения проблем формирования системы базовых блоков знаний и умений устанавливать взаимосвязи между этими блоками, рассматриваемых нами как одно из направлений обучения решению математических задач.
В ходе этого этапа мы разработали программно-методический комплекс (ПМК) «Планиметрия», включающий в себя систему заданий, компьютерную программу и методические рекомендации.
Третий, завершающий этап экспериментального исследования носил обучающий характер и преследовал цель - проверить влияние разработанного нами программно-методического комплекса: «Планиметрия», системы' заданий и методики его реализации на формирование у учащихся системы базовых знаний и умений устанавливать взаимосвязи между этими знаниями, способствующих обучению учащихся решению математических задач и повышению качества знаний.
В эксперименте принимали участие 280 учащихся школ № 5, 34, 39 г. Махачкалы, которые были распределены в две группы: экспериментальная -145 и контрольная-135.
С целью проверки достижения ожидаемых результатов была проведена серия контрольных работ. Задания были подобраны таким образом, чтобы в процессе их решения учащийся должен применить несколько раз один и тот же прием в различных геометрических ситуациях, заданных внутри одной и той же геометрической конструкции. Успешное решение нескольких задач может служит признаком осознанности выполнения приема и сформированности конкретного базового блока знаний и умений устанавливать взаимосвязи между ними. С целью более детального анализа процесса решения задач учащимися проводился учет правильно выполненных операций, входящих в прием решения каждой задачи.
Из проведенного анализа следует вывод о том, что разработанные нами материалы способствуют формированию системы базовых блоков знаний и обучению взаимосвязям между этими блоками.
С целью проверки качества знаний учащихся за время текущего этапа эксперимента были проведены итоговые контрольные работы. Результаты анализа данных третьего этапа эксперимента полностью подтверждают выдвинутую нами гипотезу.
В заключении диссертации формулируются основные результаты и выводы, полученные в процессе теоретического и экспериментального исследования в соответствии с целями и задачами. Отмечается, что:
формирование системы базовых знаний является необходимым условием обучения поиску решения задач;
эффективными средствами формирования системы базовых знаний является система заданий и компьютерная программа;
реализованные в ПМК идеи могут быть использованы для дифференциации в обучении на основе непрерывного мониторинга деятельности учащихся.
В приложении приведена система заданий на примере трапеции.
Основные результаты исследования 1. Разработан программно-методический комплекс «Планиметрия», который после уже завершенных экспериментальных исследований будет
подготовлен к патентированию и тиражированию в установленном порядке. Ряд пробных экземпляров ПМК используется в школах г. Махачкалы и г. Каспийска.
2. Предложена технология разработки системы заданий. Она создается
вне ПМК с помощью текстовых редакторов и записывается на дискету,
соблюдая установленную структуру каталогов. Студенты выпускных курсов
математического факультета Дагестанского государственного
педагогического университета (ДГПУ) разработали и разрабатывают системы
заданий по другим темам планиметрии пополняя базу: «Система заданий»
ПМК «Планиметрия».
На 4 курсе математического факультета ДГПУ в рамках дисциплины: «Информационные системы в физико-математическом образовании» отведено учебное время (4 часа - 2 часа - лекция; 2 часа - лабораторный практикум) на изучение ПМК «Планиметрия». Занятия проводит автор ПМК, что вызывает особый интерес у студентов и они охотно привлекаются к научно-исследовательской работе.
Идеи, заложенные в ПМК «Планиметрия», могут быть использованы при разработке других программ учебного назначения. На кафедре методики преподавания математики и информатики (МПМиИ) ДГПУ начата работа по доработке ПМК в русле обучения решению математических задач и дифференциации обучения.
На кафедре МПМиИ ДГПУ проводится подготовительная работа по созданию подобных ПМК для профессионального образования (вузов и техникумов) совместно с заинтересованными студентами выпускных курсов и аспирантами.
Результаты исследований опубликованы в городах Ставрополе, Липецке и Махачкале с 1999 по 2004 год и докладывались на заседаниях кафедры МПМиИ ДГПУ, научных семинарах и конференциях.
Роль базовых знаний в процессе обучения решению математических задач
Как известно, в школе особое внимание уделяют математической подготовке учащихся. Думая о значении математического образования, об «образовательном и развивающем потенциале математики», нельзя не согласиться с авторами проектной документации по двенадцатилетней школе: «Искусство построения правильно расчлененного логического анализа ситуаций и вывода следствий из известных фактов путем логических рассуждений, искусство определять и умение работать с определениями, умение отличать известное от неизвестного, доказанное от недоказанного, искусство анализировать, классифицировать, ставить гипотезы, опровергать их или доказывать, пользоваться аналогиями - все это и многое другое человек осваивает в значительной мере именно благодаря изучению математики». [59, стр.13]
Центральное место в изучении школьного курса математики занимает решение математических задач. Как отмечает Ю.М. Колягин, - «решение задач является основным полем применения теоретических знаний школьников и основным способом организации их деятельности» [57, с. 41]. «Решение задач составляет существенную часть той работы, которую учащиеся выполняют на уроках математики, и служит одним из средств усвоения курса. Кроме того, формирование умения решать задачи, всегда было и остается важнейшей целью обучения математике и является одним из основных результатов, который традиционно подвергается проверке и оцениванию» [94, с. 20].
Что такое задача в обучении?
Наиболее корректное описание задачи дано в «Педагогической энциклопедии»: Задача в обучении - один из важнейших факторов повышения познавательной и практической активности учащихся. Задача характеризуется: наличием у учащихся определенной цели, стремлением получить ответ на тот или иной вопрос, достичь желаемого результата; учетом имеющихся условий и требований, необходимых для решения задачи; применением соответствующих данной цели и условиям способов или приемов решения. А. А. Столяр описывает задачу с позиций определенных концепций самой педагогики математики, что придает описанию научность. Обучение через задачи предполагает разработку системы задач, соответствующей совре менной программе и приспособленной к обучению математической деятельности. Это значит, что задачи должны служить и мотивом для дальнейшего развития теории, и возможностью ее эффективного применения. Работе с математическими задачами уделяется значительное внимание в процессе обучения математике. Это объясняется той ролью, которую играют математические задачи в обучении. Неслучайно Л. М. Фридман отмечает, что, с одной стороны, конечные цели обучения математике сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач, с другой стороны, полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы математических задач. Математические задачи можно разделить на две группы по способу их использования в учебном процессе. Это - математические задачи, которые используются для формирования понятий, непосредственного применения изученных утвержде ний (теорем, свойств, признаков), закрепления алгоритмов, раскрытия и непосредственного применения математических методов. Задачи с названными функциями чаще не требуют специальной деятельности (аналитико синтетической) для поиска их решения, результат их решения обычно находится в один- два хода, но бывает важен для иллюстрации какого-нибудь свойства, понятия или особых условий применения утверждения, алгоритма или метода. Такие задачи методисты обычно относят к задачам, выступающим как средства обучения математике.
В содержании учебного материала должны существенное место занимать математические задачи, на основе которых возможно организовать математическую деятельность на школьном уровне: постановку задачи и ее принятие, организацию поиска решения (анализ условия и известных математических фактов, включая и приемы решения задач); выработку стратегии решения и сопоставление плана решения задачи, реализация плана, критическое осмысление результатов решения. Решение таких задач в обучении выступает как цель обучения.
Роль и место задач в обучении математике, при методе обучения через задачи, настолько конкретны и связаны с усвоением теоретического материала, что, в основном, цели их решения теряют самостоятельное значение, и совпадают с целями обучения математике. Часто задачи выполняют определенные функции в обучении математике, непосредственно служат материалом и средством для формирования теории.
Роль и место задач в обучении математике исторически не оставались неизменными. В «Арифметике» Л. Ф. Магницкого к задачам указывались решения, которые следовало «вытверживать». Способы решения задач давались в виде многословных правил, и эти правила ученики должны были заучивать. Содержание задач охватывало все типичные ситуации, требующие практических расчетов. Задача ярко представлялась целью обучения, точнее, целью изучения, то есть математику затем и учили, чтобы усвоить правила решения типичных задач.
Определенная группа задач с наиболее яркой фабулой или методом решения начинает затем переходить из учебника в учебник, обрастает серией аналогичной себе, - так возникают типовые задачи. Несмотря на то, что некоторые из них потеряли всякое практическое значение, неумение решать их до сих пор расценивается как незнание математики.
С изменением целей обучения изменяется и роль задач. Возрос объем теоретических сведений, и их усвоение стало сопровождаться решением задач. Соответствующие взгляды выразил еще в начале 20 века В. А. Латышев в руководстве к преподаванию арифметики. В широко известных трудах С. И. Шохор -Троцкого говорилось о том, что задачи должны стать не целью, а средством обучения; он выступал против увлечения решением неоправданно сложных задач, против отождествления умения решать такие задачи со знанием арифметики. Мнение о том, что задача в настоящее время должна быть не целью, а средством обучения, повторяется неоднократно. Однако следует учесть влияние некоторых факторов:
- позиции учителя и учащихся в данном вопросе не совпадают.
- задачи, выполняющие различные функции, могут служить как целью, так и средством обучения.
С позиции ученика задача чаше всего является целью обучения, а с позиции учителя - средством обучения. Цель современной методики преподавания математике заключается в том, чтобы сблизить по возможности позиции учителя и учащихся в понимании функций задач в обучении.
Вопрос о том, целью или средством обучения является задача, решается в зависимости от выполняемых ею функций. Если рассматривать функции задач в локальном смысле, то познавательные задачи представляют цель обучения; все должны научиться решать такие задачи, усвоить приемы их решения. Дидактические же задачи представляют средство обучения; они выполняют служебную роль, способствуют усвоению какой-либо познавательной задачи или дают возможность применить материал познавательной задачи.
Развивающие задачи также представляют средство обучения. Их решение способствует формированию мыслительных операций, развитию логического мышления, что необходимо для решения познавательных задач. Усвоение же самих приемов решения развивающих задач не является обязательным, то есть эти задачи не должны быть целью обучения.
Прикладные задачи представляют цель обучения; приемы их решений обязательно должны быть усвоены всеми учащимися.
Таким образом, при обучении математике задачи выполняют определенные функции и преследуют конкретные цели.
Как уже отмечалось, обучение решению математических задач занимает центральное место в изучении школьного курса математики. Однако за время обучения в школе «некоторые ученики овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого или малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться» [128, с.4].
Как отмечает Л. М. Фридман, слабая математическая подготовка наших учащихся и выпускников говорит о том, что необходимо пересмотреть имеющиеся сегодня в школах пособии, учебники и методику преподавания, включая методику обучения решению математических задач. В этой связи актуальной была и остается проблема раскрытия и понимания учителями и учениками самой сути процесса решения задачи и совершенствование методики обучения учащихся решению математических задач.
Анализируя процесс решения задач, Л.М. Фридман отмечает: «Решение задач есть сложная умственная деятельность. Для того чтобы сознательно овладеть ею надо, во-первых, иметь ясное представление о ее объектах и сущности, во-вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность, и, наконец, в-третьих, знать основные методы ее выполнения и уметь ими пользоваться» [127, с.59].
Еще в 16 веке один из величайших умов человечества Рене Декарт пытался найти универсальный метод решения любых математических задач. В своих «Правилах для руководства ума» он описал процессы умственной деятельности при решении задач. Декарт дал совет, который применим к задачам любого содержания и любой трудности. (Правила XIII): Освободите вопрос от всех излишних представлений и сведите его простейшим элементам. Нельзя не согласиться с последним предложением в том смысле, что решая любую задачу, мы сначала представляем ее в форме кратких записей, таблиц или чертежей, а затем подводим задачу к простейшим элементам математических знаний, которыми должны владеть учащиеся. Следует отметить, что важную роль в процессе решения математических задач принадлежит не только набору обособленных элементов знаний, но и их отношениям друг к другу, или выражаясь другими словами, взаимным соединениям этих элементов знаний. Д. Пойа писал: «Найти решение задачи -это значит, установить связь между заранее дифференцированными объектами или идеями (объектами, которые у нас имеются, и объектами, которые нам требуются отыскать, данными и неизвестными, предпосылкой и заключением)» [97,с.184].
class2 Формирование системы базовых знаний по геометрии с использованием программно-методического комплекса «Планиметрия» class2 .
Анализ теории и практики использования компьютерных технологий в математическом образовании
Нами была проведена определенная работа по изучению и анализу работ ряда специалистов, занимавшихся вопросами использования компьютерных технологий как в образовании в целом, так и на уроках геометрии в частности. В этой связи хотелось бы отметить работы И. Н. Антипова [4], [5],[6], А. Борка [20], Ю. С. Брановского [25], Я. А. Ваграменко [26], [27], [28], Т. Г. Везирова [29], Б. С. Гершунского [34], С. А. Жданова, И. А. Румянцева, И. Л. Братчикова, В. М. Зеленина, А. А. Кузнецова [62], Э. И. Кузнецова [63], М.Г. Мехтиева [79,80], В. М. Монахова [83], М.Н. Морюков [70], Ю.А. Первина [93], И. В. Роберт [101], [102], [103] и др.
В работах Я.А. Ваграменко проведен анализ исследования разработок в области информатизации образования и дана оценка качества информационно-программных средств учебного назначения.
В работах И. В. Роберт выделены наиболее значимые с позиции педагогических принципов методические цели, реализация которых оправдывает использование компьютера в качестве средства обучения:
индивидуализация и дифференциация процесса обучения (за счет возможности поэтапного продвижения к цели по линиям различной степени сложности);
осуществление контроля с обратной связью с диагностикой и оценкой результатов учебной деятельности;
осуществление самоконтроля и самокоррекции;
обеспечение возможности тренажа и осуществление с его помощью самоподготовки учащихся; высвобождение учебного времени без ущерба качеству усвоения за счёт выполнения на ПК трудоёмких работ и деятельности, связанной с числовым анализом;
визуализация изучаемых процессов, наглядная демонстрация динамики изучаемых процессов, наглядная представление скрытых в реальном мире процессов, наблюдения их в развитии во временном и пространственном движение, графическое интерпретация исследуемых закономерностей;
моделирование и имитация изучаемых или исследуемых процессов и (или) явлений переходом в реальность- модель и наоборот;
проведение лабораторных работ (по физике, химии) в условиях имитации в компьютерной программе реального опыта с комплексом оборудования;
создание и использование информационных баз данных, необходимых в учебной деятельности и обеспечение доступа к сети информации;
усиление мотивации обучения (например, за счет изобразительных средств программы или вкрапления игровых ситуаций или погружения в информационно - учебную среду);
вооружение обучаемого стратегией усвоения учебного материала на базе обеспечения режима активного взаимодействия обучаемого с ПК;
формирование умения принимать оптимальные решения или вариативные решения в сложной ситуации;
формирование алгоритмической культуры учебной деятельности информационной культуры.
В работах Ю. А. Первина исследуются вопросы проектирования программных средств учебного назначения и технологических программных инструментов в разработке учебно-ориентированных пакетов прикладных программ. Эти работы имеют фундаментальное значение в разработке новых учебных технологий на базе ПК при изучении практически любого предмета. Имеется достаточно много работ, посвященных использованию ПК в преподавании математики как в школе, так и в педагогическом вузе. Отметим работы Д. X. Джонассена [42], В.Р. Майера [66], [67], [68].
В работах В. Р. Майера исследуются возможности использования компьютерных технологий при изучении отдельных тем школьного курса геометрии.
М.Н. Морюков [70] отмечает три аспекта влияния компьютерных технологий на изучение геометрии в школе:
1. Общечеловеческий аспект, предполагаемый роль компьютера в геометрических исследованиях и понимание этой роли на уровне современного образованного человека.
2. Использование компьютера как средства обучения геометрии.
3. Знакомство с новыми научными направлениями в геометрии, связанными с использованием ПК.
Нами также был проведен анализ педагогических программных средств по математике. Как правило, с помощью педагогических программных средств реализуются одна или несколько методических целей. Можно поставить более общую и сложную задачу: обеспечить проблемный подход в применении компьютера для изучения определенных предметов, т.е. реализовать наглядное изложение теории, формирование умений и навыков по изучаемому предмету, обратную связь с обучаемым, выполнение лабораторных работ, самостоятельных заданий, обеспечение контроля знаний учащихся на любом этапе учебного процесса, развитие исследовательских качеств.
Частично эту задачу позволяют решить электронные учебники, реализованные в специализированных интегрированных программных средах. Кафедра высшей математики Уральского политехнического университета разработала комплекс методического и программного обеспечения курса высшей математики для вузов "Электронный учебник по математике". Принципиальной особенностью разработки является единая концепция изложения курса на лекциях, практических и лабораторных работах.
Программное обеспечение разработано в среде пакета MathCAD и представляет набор файлов, иллюстрирующих различные разделы курса, а также текстовых файлов с методическими указаниями, содержащими описание работы с пакетом, теоретический материал по определенной теме, схемы решения типовых задач. Файлы электронного учебника, относящиеся к определенному разделу, сгруппированы в подкаталоги каталога MathCAD, которые, в свою очередь, разбиты на подкаталоги, соответствующие вопросам темы. Каждый из подкаталогов содержит текстовые фауты с кратким изложением теории, программы решений типичных задач, текстовые файлы задач для самостоятельного решения.
Компания «Кирилл и Мефодий» в 1999 году выпустила компьютерный репетитор по математике, который представляет экспресс-метод для подготовки в кратчайшие сроки к экзамену за курс средней школы, систематизации и расширения знаний по математике. Причем ставилась задача не заменить учебники, а расширить знания, не утомляя длинными текстовыми материалами, погружая в среду обучения активно и осознано.
«Курс математики 2000 для школьников и абитуриентов» Л. Я. Боревского предназначен для более углубленной и эффективной подготовки к выпускным и вступительным экзаменам по алгебре. В комплект входит учебник: «Алгебра» Л. Я. Боревского, который содержит полную теорию со всеми доказательствами и разбор всех задач с комментариями и графиками. Одной из положительных сторон курса является возможность интерактивного пошагового решения всех задач на экране. Раздел геометрии в этом электронном курсе отсутствует.
ООО «Физикон» 1997-2001 годах под руководством А. А. Хасанова и Р. П. Ушакова выпустил обучающую программу по планиметрии: «Открытая математика. Планиметрия». Курс предназначен для средних школ, лицеев, гимназий, колледжей и институтов, а также для самостоятельного изучения предмета. Содержание курса соответствует программе общеобразовательных учреждений России. Наряду с кратким изложением теории содержится множество вопросов, задач и тренажёров. Особый интерес представляет интерактивный конструктор для решения задач на построение и средства для построения чертежей к геометрическим задачам. Одной из отрицательных сторон данной программы является её привязанность к устройствам ПК (например, звуковая карта) и к определённым приложениям (например, Internet Explorer). Нужно также отметить несоответствие некоторых кадров программы санитарно-гигиеническим нормам школьных учебных программ.
Фирма «Руссобит-М» распространяет диск: «Решебник по математике. Для поступающих в ВУЗы», который содержит более 600 задач по математике, в том числе и по планиметрии, а также - формулы и тесты. В программе предоставляется возможность посмотреть основные формулы по теме, примеры решения типовых задач и задания для самостоятельной подготовки. Имеется возможность получать быструю справку по наиболее часто используемым в данной главе формулам и распечатки решения задач на принтере. Недостатком данной программы является несоответствие её содержания школьному курсу математики. Программу можно рекомендовать для проведения дополнительных занятий по математике.
Еще одним примером электронного репетитора по математике является компьютерный программно-методический комплекс, созданный под руководством Ю. С. Брановского [24]. Важной частью этого комплекса является учебное пособие, изложение материала в котором ведется по принципу «книга плюс компьютер». Каждый раздел пособия построен следующим образом: - информационная часть (небольшая порция теоретического материала, примеры решенных задач); -задачи, предназначенное для самостоятельного решения с контролем с помощью соответствующей компьютерной программы;
-компьютерные тесты;
-дополнительная информация, которую можно получить, используя информационно-справочную компьютерную программу.
Для решения различных математических задач можно использовать специализированные пакеты прикладных программ.
Приложение Excel из пакета Microsoft Office может решать экономические, статистические и математические задачи. Современные версии Excel имеют большую библиотеку математических функций, что может позволить эффективно использовать его на практических занятиях для проведения большого объема вычислений. Они обладают также хорошими графическими возможностями по построению диаграмм и графиков. Возможно использование этих возможностей при изучении функций. Аппарат табличного процессора Excel позволяет решать системы линейных уравнений, системы дифференциальных уравнений и т.д. Положительной стороной использования Excel в процессе обучения является его распространенность, и выработка навыков работы с ним является задачей общеобразовательных курсов информатики.
Система заданий, направленная на формирование базовых знаний как основы обучения решению математических задач
На основе сформулированных выше требований нами разработана система заданий, использование которой будет способствовать формированию базовых блоков знаний и обучению взаимосвязям между этими блоками и тем самым обучению поиска решения задач и систематизации знаний учащихся по математике. Ниже на рисунке 10 изображена функциональная схема системы заданий:
Рис. 10
Как видим из рисунка, система состоит из двух частей: основные блоки и дополнительные. Между основными и соответствующими дополнительными блоками, в ходе работы с системой, может быть установлена связь. Связь может возникнуть или по желанию ученика, или по указанию учителя, или же автоматически (см . методику работы с системой во второй главе).
Теперь коротко раскроем сущность каждого из приведенных на схеме блоков.
Основные блоки системы заданий
1 Вопросы к 1 туру тест - опроса
2 Упражнения к 2 туру тест - опроса
3 Задача 1 (I группа сложности)
4 Задача 2 (II группа сложности)
5 Задача 3 (III группа сложности)
6 Задача 4 (IV группа сложности)
7 Задача 5 (V группа сложности)
Дополнительные блоки
1 Подсказки к 1 и 2 туру
2 Решенная задача
3 Указания к задачам
4 Чертежи к задачам Вопросы к 1 туру тест - опроса. Этот блок системы заданий содержит 10 теоретических вопросов для повторения и закрепления элементов знаний (определения, формулы, теоремы и следствия), необходимых для решения задач данного класса. Вопросы подготовлены в виде тестов, где к каждому вопросу дается по пять ответов, из которых один правильный.
Упражнения к 2 туру тест — опроса. Эти упражнения направлены на развитие у учащихся практических умений и навыков по использованию теоретических знаний при решении задач. Блок состоит из 10 задач-упражнений для устного решения, построенных по методу тестов, т. е. к каждому упражнению прилагаются три ответа, из которых необходимо выбрать один правильный. Вопросы 1 тура и упражнения 2 тура тест - опроса находятся в соответствии по их номерам.
Задачи 1-5. Здесь приведены условия пяти задач Задача 1 - Задача 5, относящиеся к пяти группам сложности. При поиске решения эти задачи можно разбить на подзадачи, каждая из которых была решена в виде отдельной задачи- упражнения на 2 туре тест - опроса. Прежде чем начать решение задач, следует ознакомиться с решенной задачей (см. ниже) и возвращаться к ней каждый раз, когда это необходимо. Одним из неотъемлемых и нелегких для учащегося шагов в поиске решения задачи является построение чертежа к решению задачи. При затруднениях ученик может запросить чертеж к задаче, которая хранится в блоке чертежи к задачам (Рис.11). Можно, также, запросить и указание к задаче (см. ниже), которое пояснит ученику ход ее решения.
Теперь рассмотрим саму систему заданий на примере фигуры: «Трапеция» и класса задач: «Свойства прямоугольного треугольника», составленная, учитывая все те положения, высказанные нами в 2 по классификации задач и требования по созданию системы заданий. Вопросы к 1 туру тест - опроса.
ВОПРОС 1. Площадь трапеции равна
ОТВЕТЫ: 1. произведению суммы оснований на высоту.
2. произведению основания на высоту.
3. произведению полусуммы оснований на высоту.
4. полусумме оснований.
5. произведению оснований.
ВОПРОС 2. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит ОТВЕТЫ: 1. катет, равный половине гипотенузы.
2. катет, равный гипотенузе.
3. гипотенуза.
4. катет, равный второму катету.
5. катет, равный половине второго катета. ВОПРОС 3. В прямоугольнике
ОТВЕТЫ: 1. диагонали, всегда, взаимно перпендикулярны.
2. сумма противолежащих углов равна 90 градусов.
3. противолежащие стороны равны.
4. все стороны равны.
5. две стороны параллельны, а две другие не параллельны. ВОПРОС 4. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике ОТВЕТЫ: 1. квадрат гипотенузы равен сумме катетов.
2. гипотенуза равна сумме его катетов.
3. квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.
4. квадрат гипотенузы равен произведению его катетов.
5. гипотенуза равна сумме квадратов его катетов. ВОПРОС 5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники ОТВЕТЫ: 1. не равны.
2. параллельны.
3. подобны.
4. пропорциональны.
5. равны
ВОПРОС 6. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники ОТВЕТЫ: 1. не равны.
2. симметричны.
3. перпендикулярны.
4. равны.
5. подобны.
ВОПРОС 7. Площадь треугольника равна
ОТВЕТЫ: 1. половине произведения основания на высоту.
2. произведению основания на высоту.
3. полусумме основания и высоты.
4. сумме всех сторон.
5. половине произведения всех сторон.
ВОПРОС 8. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна ОТВЕТЫ: 1. 90 градусов.
2. 180 градусов.
3. 360 градусов.
4. 45 градусов.
5. 0 градусов. ВОПРОС 9. Площадь прямоугольника равна ОТВЕТЫ: 1. сумме всех его сторон.
2. произведению двух его смежных сторон.
3. сумме двух его смежных сторон.
4. половине произведения основания на высоту.
5. произведению всех его сторон. ВОПРОС 10. Площадь параллелограмма равна ОТВЕТЫ: 1. сумме всех его сторон.
2. произведению стороны и высоты на эту сторону.
3. сумме двух его смежных сторон.
4. половине произведения основания на высоту.
5. произведению всех его сторон. Упражнения к 2 туру тест — опроса.
1. Основание трапеции равны 2 см и 4 см, а высота -1см. Тогда площадь
трапеции равна
1) 6 кв. см 2) 3 кв. см 3) 8 кв. см
2. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30 градусов, а
гипотенуза равна 20 мм. Тогда катет лежащий против угла в 30 градусов равен
1) 10 мм. 2) 60 мм. 3) 40 мм.
3. В прямоугольнике две стороны равны 5 и 8. Тогда две другие стороны
будут равны
1)10 и 16. 2) 2.5 и 4. 3)5 и 8.
4. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Тогда, по
теореме Пифагора, гипотенуза равна
1)7 см 2) 5 см 3)6 см
5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны 12 м и
30 м, а гипотенуза и катет другого прямоугольного треугольника равны также 12 м и 30 м, то такие треугольники
1) равны 2) подобны 3) различны 6. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника
равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то
такие треугольники
1) равны 2) подобны 3) различны
7. В произвольном треугольнике основание равно 4 см, а высота на основание
5 см, тогда площадь треугольника равна
1) 10 кв. см 2) 9 кв. см 3) 20 кв. см
8. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30 градусов.
Тогда другой острый угол будет равен
1) 60 градусов 2) 30 градусов 3) 45 градусов
9. Две смежные стороны прямоугольника равны 8 см и 2 см. Тогда площадь
прямоугольника равна
1) 10 кв. см 2) 16 кв. см 3) 5 кв. см
10. Сторона параллелограмма равна 3 см , а высота на эту сторону - 2 см.
Тогда площадь параллелограмма равна
1)6 кв.см 2) 5 кв. см 3)10 кв. см Подсказки к 1 и 2 туру
1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
2. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
3. В прямоугольнике противолежащие стороны равны.
4. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов.
5. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны
гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие
треугольники равны. 6. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
7. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.
8. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
9. Площадь прямоугольника равна произведению двух его смежных сторон.
10. Площадь параллелограмма равна произведению стороны и высоты на эту
сторону.
Задачи Решенная задача. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и
CD, если: угол D равен 30 градусов, АВ равен 2 см, CD равен 10 см, DA равен
8 см.
Решение.
Проведем высоту АК: АК перпендикулярно CD. В треугольнике DAK: угол D
= 30 градусов, угол DKA = 90 градусов. В прямоугольном треугольнике
против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы, поэтому
АК = 1/2 DA, т.е. АК = 1/2 8 = 4(см)
S(ABCD) = (AB+CD)/2 АК = (2+10)/2 4 = 24 (кв. см).
Ответ: 24 (кв. см).
1. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если: угол D равен 30 градусов, АВ равен 6 см, CD равен 30 см, DA равен 24 см.
2. Основание прямоугольной трапеции равны 4 см и 7см, один из углов равен 60 градусов. Найдите большую боковую сторону.
3. Дана равнобедренная трапеция с основаниями 20см и 28см, и высотой 3 см. Найти боковую сторону трапеции и ее площадь.
4. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD если: угол С равен углу D равен 60 градусов, АВ равно ВС равно 8см.
5. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если угол С равен углу D и равен 45 градусов, АВ = 6см, ВС =10 см. Указания к задачам
1. Смотрите решенную задачу.
2. Постройте высоту трапеции. Получим прямоугольный треугольник с острыми углами 60 и 30 градусов. Против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузе. Найдите гипотенузу, которая совпадает большей боковой стороной трапеции.
3. Определите площадь трапеции, пользуясь формулой. Для нахождения боковой стороны постройте высоту трапеции, которая является катетом полученного прямоугольного треугольника, и определите второй катет из разности оснований трапеции. Затем найдите гипотенузу, которая совпадает с боковой стороной трапеции, пользуясь теоремой Пифагора .
4. Чтобы найти площадь трапеции, необходимо знать основания и высоту трапеции. Постройте высоту трапеции. В полученном прямоугольном треугольнике определите катеты, пользуясь теоремой Пифагора и свойством: в прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет, равный половине гипотенузы.
5. Чтобы найти площадь трапеции, необходимо знать основания и высоту трапеции. Постройте высоту трапеции. В полученном прямоугольном треугольнике определите катеты, пользуясь теоремой Пифагора и свойством: в равнобедренном треугольнике углы при основание равны.
