Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Методологические основы методики обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода 22
1.1 Понятие задачи и системы задач в методике обучения математике 22
1.2 Классификация математических задач 43
1.3 Функции задач в обучении математике 56
1.4 Деятельностный подход как основа методики обучения учащихся решению математических задач 86
ГЛАВА 2. STRONG Теоретические основы обучения учащихся решению математических задач в средней
общеобразовательной школе STRONG 106
2.1 Содержание и структура обучения учащихся решению математической задачи 106
2.2 Укрупнение дидактических единиц как средство обучения учащихся решению математических задач 136
2.3 Динамические задачи как средство систематизации знаний и формирования умения учащихся решать математические задачи 148
2.4 Организация деятельности учащихся на заключительном этапе обучения решению математических задач 158
ГЛАВА 3. Реализация деятельностного подхода к конструированию систем математических задач 189
3.1 Обучение учащихся решению математических задач методом геометрических преобразований 190
3.2 Обучение учащихся решению математических задач методом векторов 201
3.3 Обучение учащихся решению математических задач координатным методом 208
3.4 Система упражнений на текстовые алгебраические задачи 213
3.5 Система упражнений на уравнения, неравенства и их системы как средство обучения учащихся решению математических задач 249
3.6 Интеграция алгебраического и геометрического методов как принцип обучения решению математических задач 260
3.7 Организация и проведение эксперимента 282
Заключение 298
Список литературы 302
Приложение
- Классификация математических задач
- Укрупнение дидактических единиц как средство обучения учащихся решению математических задач
- Организация деятельности учащихся на заключительном этапе обучения решению математических задач
- Обучение учащихся решению математических задач методом векторов
Введение к работе
Актуальность исследования. Изменения во всех сферах жизни, связанные с демократизацией общества, нашли свое естественное отражение и в системе образования. Реализация современной государственной образовательной политики требует пересмотра содержания образования и всей методической системы обучения в соответствии с требованием времени. Исходной основой образовательного процесса является деятельность ученика, определяющие особенности отношений между участниками учебно-воспитательного процесса. В то же время тестирование по итоговой аттестации выпускников средней общеобразовательной школы предусматривает обязательный единый государственный экзамен (ЕГЭ) в России и единое национальное тестирование (ЕНТ) в Казахстане по математике для выпускников всех профилей по единым экзаменационным контрольно-измерительным материалам. Эти материалы заданы в деятельностной форме (через решение задач) и включают задания базового, повышенного и высокого уровней трудности. Проведение итоговой аттестации в форме ЕГЭ в России и ЕНТ в Казахстане будет обязательным для всех средних учебных заведений, возрастет актуальность как научно-теоретических исследований, посвященных роли, функциям и месту задач в обучении математике, так и разработки эффективных технологий, реализующих различные варианты обучения решению математических задач. Не менее важной проблемой остается создание конкретных учебных материалов и методических рекомендаций, позволяющих гарантированно достигать цели, стоящей перед современным школьным математическим образованием.
Обучение математике в условиях современной школы предполагает формирование личности школьника как результата обучения, воспитания и развития средствами учебного предмета математики. Более того, эффек-тивность обучения математике в целом определяется тем, насколько учащиеся научились решать задачи, в той или иной степени входящие в школьную математическую программу. Одним из компонентов обучения учащихся решению математических задач является формирование предметных умений и навыков. Общедидактические и психологические основы формирования умений и навыков в различных аспектах исследованы в работах Ю. К. Бабанс-кого, П. Я. Гальперина, Д. Н. Богоявленского, Л. В. Занкова, Е. Н. Кабановой-Меллер, А. Н. Леонтьева, Н. А. Менчинской, Д. Б. Эльконина и других. В этих работах изложены определения и трактовки понятий «умение» и «навык», их взаимодействие и процесс формирования. Однако, в рассмотрении этих вопросов нет единой точки зрения. Спорным является вопрос о первичности и взаимодействии умений и навыков.
Для обучения учащихся решению математических задач имеет значение содержание задач и последовательность их решения учащимися, способы их решения и доля активности, самостоятельности и инициативы ученика в процессе такого решения. Для достижения высоких результатов в обучении математике ученик должен приобрести большой опыт решения математических задач. Но если он оставлен наедине с задачей без всякой помощи извне или если эта помощь недостаточна, польза от этой задачи может быть минимальной. Если же помощь учителя, наоборот, чрезмерна, то оказывается нереализованной собственная познавательная потребность школьника. Эта достаточно сложная методическая проблема до сих пор полностью не решена ни в теоретическом, ни в сугубо практическом плане, поэтому основное внимание в исследовании уделяется вопросам организации совместной деятельности учителя и учащихся при работе над задачей, возможностям адекватного управления этим процессом, правильности постановки вопросов учащимся. Перечисленные вопросы, касающиеся обучению учащихся решению математических задач мы исследуем на основе деятельностного подхода. Деятельностный подход позволяет результат науки и соответствующие этому подходу компоненты представить в качестве лишь одного компонента, аспекта «деятельностной» концепции науки, включающей и другие аспекты и компоненты: субъект, объект, средства, операции, потребности, цели, условия деятельности. Кроме того, сама научная деятельность разделяется на научно-исследовательскую, ориентированную на приобретение нового знания, научно-организационную, осуществляющую руководство, управление наукой, научно-информационную и т.д. Наука как деятельность по производству новых научных знаний и их использованию в различных сферах социальной практики функционирует как целое в единстве своих компонентов и видов деятельности. Применение деятельностного подхода позволяет, наряду с субъектом и объектом познания, выделить и другие реально существующие компоненты, выявить зависимость включения компонентов от аспекта рассмотрения. Вычленение основных элементов познавательной деятельности позволяет рассматривать научную деятельность как взаимодействие составляющих ее компонентов, а процесс познания – как определенный познавательный цикл, начиная от потребности и кончая результатом познания, удовлетворяющим эту потребность. Деятельностный подход дает возможность наиболее полного исследования процесса познания и плодотворного изучения интеграционных процессов в науке.
В основе нашего исследования находится понятие “деятельность”, то есть активность человека, характеризуемая предметом, потребностью, мотивом, целями и условиями их достижения, действиями и операциями. В педагогике деятельностный подход наиболее четко обозначен в работах Ю. К. Бабанского и Г. И.Щукиной. Так, Ю. К.Бабанский выделяет в деятельности три компо-нента: организационно-действенный, стимулирующий и контрольно-оценочный. В соответствии с перечисленными компонентами он выделил три группы методов обучения:
а) методов организации и осуществления учебно-познавательной деятельности;
б) методов стимулирования и мотивации учебно-познавательной деятельности;
в) методов контроля и самоконтроля эффективности учебно-познавательной деятельности.
Психологи (Давыдов В. В., Кузьмина В. П., Леонтьев А. Н. и др.) свои усилия направляют на исследование учебной деятельности. По их мнению, учебную деятельность составляют учебные задачи, учебные действия и действия контроля и оценки. Существенной характеристикой учебной задачи, отмечает В. В. Давыдов, служит овладение школьниками теоретически обос-нованным способом решения некоторого класса конкретно-частных задач. Например, к учебной следует отнести задачу обучения учащихся решению математических задач. Решение учебной задачи происходит посредством следующих учебных действий:
- преобразование ситуации для обнаружения всеобщего отношения рассматриваемой системы;
- моделирование выделенного отношения в предметной, графической и знаковой форме;
- преобразование модели отношения для изучения его свойств в чистом виде;
- выделение и построение серии конкретно-частных задач, решаемых общим способом;
- контроль за выполнением предыдущих действий;
- оценка усвоения общего способа как результата решения данной учебной задачи.
В методике обучения математике использование деятельностного подхода заметно в исследованиях конца шестидесятых и начала семидесятых годов. Первым его попытался раскрыть в своих работах в начале семидесятых годов А. А. Столяр, писавший, что «технология деятельностного подхода не есть предписание алгоритмического типа, наоборот, она открывает широкие возможности для творческого поиска учителя и развития творческих способностей учащихся». Анализ работ ученого показывает, что сущность деятельностного подхода в обучении математике заключается в обучении учащихся «деятельности по приобретению математических знаний, способам рассуждений, применяемых в математике; создание педагогических ситуаций, стимулирующих самостоятельные открытия учащимися математических фактов, их доказательств, решений задач».
Проблема деятельностного подхода в обучении математике исследуется в работах В. И. Крупича, О. Б. Епишевой. Опираясь на психологические положе-ния учебной деятельности, авторы данных исследований осуществляют попытку выделения приемов учебной деятельности в обучении математике и разработки методики их формирования, где многие аспекты проблемы обучения в контексте учебной деятельности раскрыты поверхностно. В работе В. И. Крупича важным является то, что в ней просматривается идея деятель-ностной природы знаний. Так, среди приемов учебной деятельности по усвоению математических понятий отражены такие приемы, как: прием определения понятия, прием приведения контрпримеров, прием подведения под понятие и т. д. Например, прием определения понятия составлен действиями:
1) назвать определяемое понятие;
2) указать родовое понятие;
3) перечислить видовые отличия понятия.
В основном, перечисленные действия носят воспроизводящий характер.
Наиболее перспективным к деятельностному подходу на современном уровне представляется теория профессора Г. И. Саранцева. Ученый выделяет деятельностный подход как важный компонент методологии обучения математике, наряду с диалектикой и системным анализом. Его используют в трех смыслах. Деятельностный подход соотносят с обучением школьников способам рассуждений, самостоятельному открытию фактов, их доказательств, решений задач и т. д. Деятельностный подход видят в выделении совокупности действий, адекватных понятию, теореме, методам решения задач. И, наконец, сущность деятельностного подхода мы видим в реализации деятельностной природы знания, которая является сущностью гуманитаризации образования. При этом актуальность исследования проблемы обучения учащихся к математике определяется современной тенденцией гуманизации и гуманитаризации обучения как одного из основных направлений реформы математического образования, где основным средством организации этой деятельности являются математические задачи.
Различными аспектами этой проблемы занимались как отечественные, так и зарубежные ученые. Теория обучения учащихся решению задач получила широкое развитие под влиянием работ американского ученого Д. Пойа. Формирование эвристических приемов в теории и методике обучения математике – предмет исследований А. К. Артемова, Г. Д. Балка, М. Б. Балка, В. И. Крупича, Л. М. Фридмана и др. Отдельным сторонам проблемы задач (функции задач, построение конкретных систем задач, использование задач как средства обучения математике и т. д.) посвящены исследования Г. А. Балла, Я. И. Груденова, В. В. Давыдова, И. В. Егорченко, Т. А. Ивановой, Е.С. Канина, Л. С. Капкаевой, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, М. Р. Леонтьевой, К. И. Нешкова, Г. И. Саранцева, М. А. Родионова, А. А. Столяра, Л. М. Фридмана и других. Однако все эти авторы в своих работах исследуют этапы формирования знаний, умений и навыков учащихся, определяют их ведущие качества и критерии сформированности. Необходимость разрешения многочисленных диалектических противоречий, наиболее общим среди которых является противоречие между объективными требованиями общественного развития в переориентации школьного математического образования с традиционной информационно-программной позиции на гуманистическую, предполагающую постановку ученика в роль субъекта учебного процесса, и неготовности к такой переориентации массовой школы послужила выбору актуальной темы исследования, которая заключается в нахождении и систематизации путей и средств совершенствования обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода и особенностями традиционной методики обучения учащихся средней общеобразовательной школы.
Указанное противоречие находит свое отражение в ряде других, более частных противоречий, разрешение которых составляет основную проблему исследования:
- противоречие между насущной необходимостью проведения целенаправленной работы по формированию математической деятельности учащихся с учетом данных различных наук и отсутствием единой теоретической концепции такого формирования применительно к обучению математике;
- противоречие между необходимостью учета при рассмотрении необходимого компонента учебной деятельности особенностей математического содержания и стремлением значительной части методистов ограничиться лишь общепедагогическим аппаратом;
- противоречие между осознанием большинством деятелей в области математического образования необходимости рассмотрения проблемы формирования приемов учебной деятельности школьников в процессе обучения решению задач как специальной методической задачи и наблюдающимся «растворением» этой задачи в ряде смежных проблем, ограничивающим возможности ее использования лишь разработкой ситуативных стимулирующих факторов;
- противоречие между стремлением авторов современных школьных учебников и пособий по математике в максимально возможной степени задействовать разнообразно значимые в учебном отношении методические приемы и отсутствием общепризнанной критериальной базы для оценки их эффективности и целесообразности использования;
- противоречие между признанием большинством учителей большой побудительной силы самого математического содержания и фактическим доминированием внешних по отношению к этому содержанию познавательных механизмов у учащихся.
Учитывая выделенные противоречия, и, обосновав актуальность темы исследования, сформулируем проблему следующим образом: каковы ведущие тенденции, структура, классификация и функции обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода? Решение этой проблемы и будет составлять цель исследования, которая состоит в научном обосновании теоретико-методологических основ обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода и разработке методики обучения.
Объектом исследования является процесс обучения математике в средней общеобразовательной школе, а его предметом - методическая система обучения учащихся решению математических задач.
Гипотеза исследования. Если разработать теоретико-методологические основы обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода, определить структуру, классификацию и функции задач, выделить совокупность действий, адекватных содержанию, и на этой основе разработать методику обучения решению школьных математических задач, то это позволит повысить результативность обучения решению математических задач в средней общеобразовательной школе, а её внедрение в практику приведёт к успешности в обучении учащихся математике в школе.
Теоретическая концепция работы, ставшая закономерным итогом творческого переосмысления и конкретизации результатов исследований учебной деятельности, познавательно-поисковых процессов (П. К. Анохин, А. К. Марко-ва, А. М. Матюшкин, Ж. Пиаже, Г. И. Саранцев, Р. Х. Шакуров, А. Ф. Эсаулов и др.), а также методологических основ методической науки (Г. А. Балл, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, А. М. Пышкало, Г. И. Саранцев, А. А. Столяр, В. И. Рыжик и др.) включает в себя следующие основные положения:
1. Теоретический материал каждого года обучения, каждой главы, каждого параграфа и пункта в параграфе – каждой структурной единицы в учебнике – определяет только содержательную сторону задачи: тот объект, те его свойства, те его отношения, о которых идет речь в теории. Реальный подбор задач направляется не только содержанием определенной темы, но его соответствием поставленным целям учебника. С другой стороны, задача, предлагаемая в реальном обучении, имеет адресат и идет от учителя. Трактовка обучения как процесса управления приводит к рассмотрению ситуации, в которую необходимо входит и учитель, и ученик. При этом весьма велико многообразие возможных вариантов деятельности учителя и достаточно сильно различаются в своей учебной деятельности ученики.
В результате задача в математике должна учитывать требования, идущие от самой математики как научной дисциплины, ее трактовки автором теоретического текста, современных педагогических, дидактических и методических мировоззрений, а также практики её преподавания. Эти требования многочисленны, неупорядочены, порой противоречивы и меняются со временем.
2. Применение деятельностного подхода к обучению учащихся решению математических задач потребовало в данном исследовании конструирование модели «Учитель Ученик Задача Система задач Учитель». Для ее создания было проделано следующее:
- обобщены понятия «задача», «система задач»;
- построена система задач (сборник задач) с учетом принципа целостности;
- определено содержание и структура приемов обобщения решения математических задач;
- на основе методологии системного подхода разработаны приемы учебной деятельности учащихся, ориентированные на реализацию принципов деятельностного подхода, которые раскрыты приемом принятия учебной задачи; приемом построения системы подзадач, решаемых общим способом; приемом поиска решения математических задач; приемом осуществления контроля за процессом решения учебной задачи; приемом оценки результата решения учебной задачи;
- выявлены внутренние структуры математических задач (сложность), что является эффективным средством построения системы задач, обладающих свойством структурной полноты;
- выделены требования к структуре системы задач, к содержанию задач, входящих в систему и к особенностям их формулировки.
3. Системная модель: Учитель Ученик Задача Система задач Учитель», анализ ее взаимосвязей является эффективными не только при подборе задач, но и при анализе уже созданного сборника задач. Иначе говоря, не только составление сборника, но и его возможное улучшение определяется, в первую очередь, тем, насколько точна системная модель, насколько полно проведен анализ взаимосвязей подсистемы этой модели, насколько адекватно выделены методические задачи, порожденные этим анализом, насколько точно найдены общие положения для их решения и насколько удачно найдены конкретные воплощения этих положений.
4. Основным механизмом формирования обучения учащихся решению задач по математике является соотнесение и дальнейшая интеграция в ходе учебного процесса ситуативных мотивационных факторов, рассматриваемых в качестве проекций на школьное содержание базовых смыслов математической деятельности.
5. Внедрение особенностей реализации указанной модели (схема 1) в состав основных закономерностей функционирования всей методической системы обучения математике предполагает коррекцию структуры этой системы через включение в нее ученика как субъекта обучения с последующим пересмотром роли и значения взаимосвязей между компонентами данной системы с точки зрения их соответствия индивидуальным особенностям и уровню развития потребностей сферы ученика.
Цель, предмет и гипотеза исследования определяют его основные задачи:
-
Определить систему методических принципов, детерминирующих работу по формированию учебной деятельности учащихся в процессе обучения решению математических задач в контексте деятельностного подхода.
-
Определить основные предметно-содержательные факторы, регулирующие процесс поисково-математической деятельности, и выяснить возможность их соотнесения для обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода.
-
Обосновать и разработать методическую систему обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода.
-
Скорректировать состав и структуру методической системы обучения решению математических задач, разработать и апробировать методическое обеспечение ее эффективного функционирования в контексте деятельностного подхода.
-
Определить теоретико-методологические основы исследования проблемы обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода.
-
Уточнить классификацию задач, способствующих развитию умений и навыков творческого подхода к их решению.
-
Подготовить методические рекомендации для учителей по обучению решению математических задач в контексте деятельностного подхода.
К научно-теоретическим предпосылкам, составляющим методологическую основу исследования, относятся:
- деятельностный подход как методология научного исследования (А. К. Артемов, В. В. Давыдов, О.Б.Епишева, А. В. Запорожец, В. П. Зинченко, Ю.М.Колягин, В. И. Крупич, А. Н. Леонтьев, Е. И. Лященко, Г. И. Саранцев, А. А.Столяр, Д. Б. Эльконин и др.);
- системный подход, основы которого заложены в трудах П. К. Анохина, В. П. Кузьмина, В. М. Садовского, М. И. Сетрова, А. И. Уемова, Э. Г. Юдина и др.; а возможности реализации в методических исследованиях рассмотрены в работах В. А. Гусева, Ю. М. Колягина, В. И. Крупича, Г. И. Саранцева и др.;
- концепции учебной мотивации (В. Т. Асеев, В. А. Иванников, Е. П. Ильин, В. И. Ковалев, В. Т. Леонтьев, А. К. Маркова, М. В. Матюхина, А. Т. Маслоу, Р. С. Нешков, К. Роджерс, М. А. Родионов и др.), а также основные психолого-педагогические и методические положения использования задач в курсе математики средней общеобразовательной школы и обучения их решению (Г. А. Балл, Л. Л. Гурова, Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, А. Х. Назиев, Г. И. Саранцев, В. А. Тестов, Р. А. Утеева, Л. М. Фридман и др.);
- методологические положения, определяющие развитие системы современного математического образования в русле следующих направлений: гуманитаризации и гуманизации математического образования, личностно-ориентированного обучения математике (А. В. Гладкий, В. А. Гусев, Г. В. Дорофеев, Т. А. Иванова, А. Г. Мордкович, В. В. Орлов, Н. С. Подходова, Г. И. Саранцев, И. М. Смирнова и др.), работы отечественных ученых математиков и методистов, в которых раскрываются роль и значение математических задач для образования, воспитания и развития учащихся (А. Д. Александров, Г. А. Балл, В. Г. Болтянский, В. В. Гнеденко, С. Н. Дорофеев,Л. С. Капкаева,
Ю. М. Колягин, В. И. Крупич, Л. Д. Кудрявцев, Н. И. Мерлина, А. Х. Назиев,
Г. И. Саранцев, Р. А. Утеева и др.); индивидуализации и дифференциации обучения (Г. Д. Глейзер, В. А. Гусев, Г. Л. Луканкин, Г. И. Саранцев, И. М. Смирнова, Р. А. Утеева и др.);
- документы: Всемирная декларация об образовании для XXI века (Болонский процесс), Законы Российской Федерации и Республики Казахстан «Об образовании», ГОСО РФ и РК «Средняя общеобразовательная школа. Основные положения», Закон РК «О подготовке и издании учебников и учебно-методических комплектов для общеобразовательных школ».
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
- анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме исследования;
- изучение опыта работы отечественной и зарубежной школ по проблемам теории задач;
- анализ организации процесса преподавания математики в средней общеобразовательной школе, наблюдения за педагогической деятельностью учителей и учебно-познавательной деятельностью учащихся;
- проведение педагогических измерений (анкетирование, интервьюирование, анализ продуктов учебной деятельности школьников, тестирование);
- обобщение собственного опыта работы автора в школе и вузе;
- эксперимент по проверке эффективности обучения учащихся решению математических задач;
- статистическая обработка результатов эксперимента.
Научная новизна исследования состоит в следующем:
- на основе комплексного исследования философских, психолого-педагогических и предметно-методических предпосылок создана целостная теоретическая концепция обучения учащихся решению задач по математике в контексте деятельностного подхода, в которой потребностная сфера ученика рассматривается как необходимый компонент методической системы обучения математике;
- в рамках названной концепции выработаны оригинальные методические подходы к обучению учащихся решению математических задач, реализации практической направленности школьного математического образования, смысловому анализу предметного математического текста;
- с принципиально новых позиций определены классификация, функции задач и структура обучения учащихся решению математических задач в контексте деятельностного подхода;
- разработана концепция системы задач школьного курса, учитывающая связи задач с современными тенденциями в образовании, с теоретическим текстом учебника, с деятельностью учителя и ученика, на основе этой концепции сформулированы общие требования к структуре системы, к содержанию и к особенностям формулировки задач.
Теоретическая значимость исследования заключается в том, что:
- разработанная концепция обучения решению математических задач в средней общеобразовательной школе в контексте деятельностного подхода позволяет, с одной стороны, теоретически переосмыслить и обобщить частные результаты методических исследований, с другой, осуществить естественную с точки зрения особенностей предметного математического содержания интеграцию результатов психолого-педагогических исследований учебной деятельности с методической наукой, обеспечивающей реализацию нового направления совершенствования школьного математического образования:
- получены научные представления об обучении учащихся решению математических задач, определённые на основе единства составляющих его компонентов (логического, эвристического, мотивационного, эстетического, эмоционально-волевого, операционно-действенного, информационного).
Практическая значимость исследования заключается в том, что разработанные теоретико-методологические основы обучения учащихся решению математических задач, являясь методическим базисом обучения математике в средней общеобразовательной школе, могут быть учтены авторами программ обучения математике в школе и в университетах с педагогической направленностью, а также реализованы авторами школьных учебников и учебных пособий в теории и методике обучения математике; в системе повышения квалификации учителей и преподавателей математики, математических факультетов педагогических вузов и университетов; соискателями для дальнейших исследований по теории задач.
Достоверность и обоснованность полученных результатов обеспечивается методологической обоснованностью теоретических положений, опорой на основные принципы деятельностного и системного подходов (целостность, иерархичность, структурность, непрерывность), реализующих целевую направленность поставленных задач, с учетом современных достижений в теории и практике методики обучения математике, комплекса методов педагогического исследования, адекватных его задачам, положительными итогами проведённого эксперимента.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялась в ходе систематической работы с учителями казахстанских школ на базе областного института повышения квалификации, городского научно-методического центра, на научно-практических семинарах и курсах повышения квалификации; при организации преподавания математики в школах, гимназиях гг. Алматы и Тараза, а также сельских школах этих областей; при работе со студентами на занятиях по методике обучения математике, практикума по решению математических задач, спецкурсах и спецсеминарах.
Теоретические позиции проверялись в процессе выступлений на международных научных конференциях в городах: Фрунзе (1990), Москва (1994), Гулистан (1996), Алматы (1998–2006), Семей (2001), Тараз (2001–2012), Пенза (2001), Новосибирск (2001), Пермь (2001), Астана (2002), Саранск (2006),Тольятти(2007–2011), Курган(2009), Соликамск(2012), Тирасполь(2009), Орехово-Зуево(2007–2009); на Герценовских чтениях (С.-Петербург – 1992, 1993); на Валихановских чтениях (Кокшетау – 2001, 2002); на семинаре слушателей ФПК кафедры методики преподавания математики МПГУ (Москва – 1993, 1996, 2009); на межрегиональных и межвузовских конференциях (Саранск – 1994, Талдыкорган - 1997, Алматы – 1997–2006, Шымкент – 2001, Павлодар -2002, Атырау – 2003);постоянно действующем республиканском семинаре «Дидактика высшей и средней школы» (Алматы 1998–2010), на учебно-методических и августовских семинарах учителей Атырауской, Алматинской, Жамбылской, Павлодарской и Южно-Казахстанской областей (1997–2011), а также на научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики Мордовского государственного педагогического института (Саранск – 1993–1996, 2005–2011). Внедрение научных результатов осуществлялось также посредством монографии, учебных пособий и статей (общий объём более 70 п. л.).
Выбор методов исследования определялся в соответствии с характером решаемых задач и спецификой изучаемых фактов и явлений.
Основные этапы организации и проведения исследования.
Экспериментальная работа по проблеме обучения решению математических задач осуществлялась нами в разных регионах Республики Казахстан, а именно, в школах городов Алматы, Тараза, а также в районных и сельских школах Алматинской, Жамбылской областей Республики Казахстан. В эксперименте участвовали 50 школ, 2752 учащихся и 75 учителей-предметников (1988–2012 гг.). Исследование проходило в естественных школьных условиях без нарушения хода учебного процесса, предусмотренного существующей школьной программой. Процесс исследования осуществлялся в три этапа.
Констатирующий этап (1988–1997 гг.) был посвящён изучению научно-методической, нормативно-программной и учебно-методической документации, также выявлялся уровень сформированности знаний и умений при традиционном обучении, разработке стратегии исследования.
На втором этапе (1997–2006 гг.) изучался школьный опыт формирования приёмов учебной деятельности учащихся на уроке в процессе обучения математике. Выполнен анализ более 500 уроков. Проведено анкетирование среди учащихся и сделан его анализ. Подготовка пособий и их первоначальная апробация в ряде школ республики.
Выполнен структурный анализ математических задач по теме исследования, что позволило выявить основные недостатки системы задач. Уточнялась эффективность действия известного в педагогике принципа педагогической направленности через внедрение элементов технологии обучения в различные формы занятий и результативность такого обучения.
На завершающем этапе (2006–2012 гг.) ставился контрольный эксперимент. Была окончательно сформулирована тема исследования, проводилась работа по обобщению, систематизации и экспериментальной проверке эффективности действия технологии обучения, изданию монографии. Проводилось оформление диссертационного исследования и формировались научно-обоснованные рекомендации по теме исследования.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Теоретическая концепция системы задач школьного учебника математики, которая заключается в применении деятельностного подхода, создании системной модели (схема 1), определяемой, в первую очередь, связями задач:
- с современными тенденциями в образовании;
- с теоретическим текстом учебника;
- с деятельностью учителя в процессе обучения математике;
- с деятельностью ученика в процессе изучения математики.
2. Совершенствование предметной математической деятельности учащихся осуществляется по трем направлениям: информационной, управляющей и координационной. Реализация первого из этих направлений заключается в обеспечении преемственности ситуативных и содержательно-смысловых факторов, второе состоит в согласовании формирующихся подструктур мышления (когнитивное), а третье – в ориентации на отражение в индивидуальном опыте прежде всего обобщенных способов учебной деятельности, способствующее расширению субъективного диапазона свободно выбираемых учеником траекторий учебного поиска. Работа по реализации указанных направлений должна исходить из достигнутого тем или иным учеником уровня развития его мотивационной сферы, что предполагает наличие соответствующего критериального аппарата. В настоящем исследовании такой аппарат разработан применительно к различным составляющим учебной математической деятельности (поисковой, эстетической) с учетом особенностей протекания актов целеобразования и смыслообразования, проявляемых при реализации этих составляющих в ходе учебного процесса.
3. Методическую основу концепции формирования учебной деятельности в процессе обучения математике составляют принципы: обеспечения языковой парадигмы, эвристической основы обучения, вариативности, открытости, адекватного контроля, рассматриваемые в качестве ориентиров при определении характера работы по «восхождению» школьников по «лестнице уровней».
4. Комплексный подход к проблеме теории задач позволяет обобщить исследования различных ее аспектов и наметить новые пути в улучшении методики использования задач в обучении математике в средней общеобразовательной школе.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения поставленных задач в исследовании. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников и приложений.
Классификация математических задач
Построение дидактической системы задач обусловливает необходимость определения понятия «классификация».
«Классификация (от латинского classis - разряд, класс и facio - делаю, раскладываю) - система соподчиненных понятий (классов, объектов, явлений) в какой-либо отрасли знания, составленная на основе учета общих признаков объектов и закономерных связей между ними; которая позволяет ориентироваться в многообразии объектов и является источником знания о них» [327]. Для того, чтобы различить объекты математических понятий, изучить их свойства, обычно эти понятия делят на виды, классы. Ведь кроме общих свойств, любое математическое понятие обладает еще многими важными свойствами, присущими не всем объектам этого понятия, а лишь объектам некоторого вида. Несмотря на то, что число понятий, объектов, явлений этой системы постоянно увеличивается и качественное своеобразие их растет, обогащающаяся совокупность внутренних связей делает эту систему все более организованной, единой в своем функционировании, более совершенной в квалификационном и информационном отношении.
Классификация систем в философском аспекте рассматривается в работах В. Г. Афанасьева, Л. фон Берталанфи, Дж. Клира, В. Н. Садовского, А. И.Уемова.Л. фон Берталанфи выделяет закрытые и открытые системы. Закрытая система представляет собой такое образование, в которое не поступает вещество и не выделяется вещество, а только возможен обмен энергией внутри системы между ее составляющими. Для открытых систем наблюдается приток и отток вещества и энергии [371, 372]. Дж. Клир делит системы по типу взаимодействия их со средой: а) абсолютно закрытые системы; б) относительно закрытые системы; в) открытые системы [377].
Существует большое количество задач различных типов и видов, представляющих различные области научных знаний, и, соответственно, множество их классификаций [47, 105].
Анализ различных дидактических и методических исследований Г. А. Балла, В. Е. Володарского, А. В. Гуртовой, Л. Л. Гуровой, Б. В. Дау-товой, Н. П. Зазнобиной, М. И. Зайкина, В. И. Крупича, Ю. М. Колягина,
О. А. Кресловской, А. Ю. Лагутина, В. А. Онищука, Г. И. Саранцева, М. К. Саядяна, Г. В. Селиховой, Л. Б. Шалевой, М. В. Шабановой, Д. Пойа, Д. Толлингеровой, Л. М. Фридмана, А. Фуше, А. А. Черкасова, посвященных математическим задачам и упражнениям, показывает существование различных подходов к решению проблемы о классификации задач. Одни авторы [40, 83, 345] исходят из характера требования задачи, подразделяя их на задачи: а) доказательство, б) построение, в) нахождение искомого (вычисление). Другие [53, 321] предлагают классифицировать задачи, исходя из определенности условия задачи. Заметим, что различные авторы вкладывают разный смысл в понятие хорошо и плохо определенных (строго и нестрого определенных) задач. Одни к хорошо определенным задачам относят те задачи, которые содержат все условия, необходимые для ее решения. При этом идет речь о принципиальной возможности решения, относительно к субъекту. Другие вопрос об определенности задачи связывают с наличием средств у субъекта, позволяющих ему проверить правильность решения. Третьи задачу классифицируют на задачи-упражения, типовые, повышенной трудности, нестандартные задачи [109, с. 139]. Имеются попытки классификации задач по величине проблемности [139]. Предлагается группировать задачи на геометрические преобразования; задачи на векторный метод и т. д.[345]. В зависимости от числа субъектов, имеющихся в условии, и связей между ними различают сложные задачи и простые [30, 48, 149]. Кроме того, различают задачи стандартные и нестандартные (творческие и нетворческие), теоретические и практические, «устные» и «письменные» и т. д. Заметим, что многие классификации относительны. Они не удовлетворяют логическим требованиям, предъявляемым к классификации объектов. Поэтому было бы правильно говорить об объединении задач в группы. Выделение таких групп задач, объединенных общим свойством, весьма важно для методики математики.
Попытку систематизировать задачи на дидактическом уровне пред принял В. А. Онищук [93]. В основе его систематизации лежит соответствие задач дидактическим целям. Каждый этап усвоения умений отображается им на соответствующий вид задач. Автор выделяет такие этапы усвоения умений: - актуализация опорных знаний; - усвоение знаний; - первичное применение знаний; - овладение навыками в стандартных условиях; - творческий перенос знаний, умений и навыков. В соответствии с указанной последовательностью этапов формирования умений выделены следующие виды задач: - подготовительные задачи; - вводные задачи; - пробные задачи; - тренировочные задачи; - творческие задачи; - контрольные задачи. При переходе от предыдущего вида задач к последующему при их выполнении, по мнению В. А. Онищука, должна возрастать самостоятельность учащихся. Очевидно, что организационные формы выполнения задач зависят не только от цели, но и от содержания задач. Вызывает сомнение указание на минимальную самостоятельность школьников при выполнении подготовительных задач, целью которых является актуализация опорных знаний. Причем указанная цель может быть достигнута и при выполнении творческих задач. При этом даже очевиден некоторый выигрыш во времени: актуализация опорных знаний, т. е. начало формирования нового умения созревает в недрах предыдущего цикла усвоения умений на этапе творческого применения знаний. Так, чешский исследователь Д. Толлингерова разработала классификацию учебных задач по аналогии с таксономией познавательных целей обучения по Б. С. Блюму [340,371,
Укрупнение дидактических единиц как средство обучения учащихся решению математических задач
Анализ научной литературы показывает, что предпосылки возникновения укрупнения дидактических единиц (УДЕ) появились в науке давно. Сама идея укрупнения издавна развивается как часть фундаментальной философской проблемы целостности - проблемы соотношений части и целого, проблемы связи данных категорий. В работах по проблемам УДЕ выделяют единицу, называемую дидактической. Опираясь на нее, образуют УДЕ, представляющую собой, по словам П. М. Эрдниева, клеточку учебного процесса, состоящую из логически различных элементов, характеризуемых информационной общностью, и обладающую качествами системности и целостности, устойчивостью к сохранению во времени и быстрым появлением в памяти [364].
Наряду с философией различные аспекты идеи укрупнения имели место и в других научных областях. Например, в дидактике, где они проявлялись, главным образом, в направлении укрупнения знаний через усиление их обобщения и систематизации, а также формированию у учащихся качества системности знаний.
Формирование у учащихся качества системности знаний также предполагает обращение к данной идее. Например, Л. Я. Зорина системность знаний определяет как «такое количество некоторой совокупности знаний, которое характеризует наличие в сознании ученика структурных связей (связей строения), адекватных связям между знаниями внутри научной теории» [116], понимая под теорией «совокупности знаний, объединенных в систему на основе некоторых общих положений» [116]. По мнению автора, знания, обладающие качеством системности, позволяют учащимся рационально овладеть новыми знаниями. Так как «коль скоро ученик будет осознавать природу знаний, путь их получения и фиксации, состав и структуру научной теории, то он сможет осмысливать новые знания по образцу той структуры, которая им усвоена в школе» [116]. К тому же это качество знаний сократит нагрузку на память ученика, потому что такие знания будут храниться в ней не отдельными разрозненными элементами, а крупными едиными блоками.
В теории познания сложных систем укрупнение определяется как общенаучная категория, которая позволяет кратчайшим путем получать существенную часть информации о сложной системе. При этом данная категория обозначает не объемное увеличение системы, а способ рассмотрения ее в более крупном плане, построение простой модификации изучаемого объекта, которая сохраняла бы свойства последнего [93, с.89]. Механизмом осуществления подобного укрупнения принято считать обобщение, а методом и средством - упрощение, которое преобразует систему с понижением ее сложности в каком-нибудь отношении.
Таким образом, идея укрупнения в том или ином качестве находит свое отражение во многих областях науки. Тем не менее, более четкое ее осознание как дидактической проблемы произошло в методике обучения математике, в трудах известного методиста-математика П. М. Эрдниева. Он, взяв эту идею за основу, с 60-х годов прошлого столетия начал разрабатывать теорию УДЕ, которая, согласно автору, представляет собой теорию крупноблочного построения программного материала. Ее центральной мыслью явилось положение о необходимости осуществления укрупненного подхода к содержанию учебного материала, предполагающее совместное рассмотрение, в связях и переходах, целостных групп родственных (взаимосвязанных) единиц этого содержания, или, другими словами, рассмотрения таких единиц крупными блоками. В дальнейшем данное положение облеклось в разработках П. М. Эрдниева в форму одного из методических приемов, использование которых способствует реализации данной теории на практике. В ходе анализа соответствующей методической литературы [14, 20, 188, 363, 365], выявлена роль теории укрупнения дидактических единиц по П. М. Эрдниеву предполагает осуществление целой серии методических приемов:1) Совместно и одновременно изучение взаимосвязанных действий, операций, функций, теорем и т. п. (в частности, взаимно обратных).
Этот принцип выполняет основную функциональную нагрузку по осуществлению укрупненного подхода к учебному материалу. Остальные - как бы подчинены ему, направлены на его обслуживание, хотя каждый из них может использоваться как самостоятельный. В соответствии с данным приемом укрупнения учебный материал структурируется немного иначе, чем обычно, образуя более крупные единицы информации. Многие родственные понятия (проценты и пропорции, уравнения и неравенства, дифференцирование и интегрирование и т. д.), как правило, изучаемые при традиционном подходе отдельно друг от друга (в разное время в одном классе или даже в разных классах) объединяются в пары и изучаются совместно и одновременно. Подобное пространственное и временное сближение в изучении взаимосвязанных элементов содержания предмета, как считает
П. М. Эрдниев, позволяет преобразовывать знания школьников от уровня разрозненности до уровня целостности посредством постижения ими информации связи, информации перехода от одного элемента к другому.2) Применение в процессе обучения деформированных задач.
При выполнении деформированных задач с недостающими компонентами (одним или более) учащимися непрерывно осуществляется подсознательная коррекция и исправление допускаемых ими ошибок, в ходе многократного сравнения получаемых промежуточных знаний с искомым результатом, что эффективно способствует формированию у них глубоких и прочных знаний. К тому же, наличие таких задач в начальных классах наиболее наглядно предваряет изучение уравнений в средних и старших классах, позволяя учителям и методистам решать проблему преемственности в обучении.3) Широкое использование метода обратных задач.
Согласно этому приему решение учащимися каждой готовой задачи должно обязательно сопровождаться составлением и последующим решением ими обратной задачи. Как считает П. М. Эрдниев, составление именно обратных задач вправе считать главным средством наращивания знаний учащихся.4) Обращение структуры задач.
Задачи, реализующие на практике данный прием, создают оптимальные условия для противопоставления исходного и преобразованного заданий, по сути представляющих собой две формы единой мысли из-за сходных структур. Противопоставление всегда облегчает усвоение любого целого, поскольку в случае самостоятельного обращения структуры задач ученик лучше постигает переходы между этими задачами, причем без какого-либо видимого напряжения. Это будет способствовать обеспечению у него основательности получаемых знаний, их прочности.5) Освоение и составление учениками граф-схем суждений и доказательств.
Организация деятельности учащихся на заключительном этапе обучения решению математических задач
Процесс решения задачи есть деятельность, состоящая из отдельных действий, которая проанализирована в следующих работах [100, 335, 345 и др.]. Обучение учащихся решению математических задач на заключительном этапе является составной частью процесса решения задачи, которая представлена в работах видных ученых и исследовательских работах соискателей, как:- заключительный этап решения задачи как средство реализации эстетического потенциала математики [319];- решение задачи различными способами [75, 202, 203, 209, 210, 287];- содержание заключительного этапа решения математической задачи [131, 139,283,308];- варьирование математических задач [74, 79, 118, 212, 361];- выделение отдельных приёмов работы с задачей на заключительном этапе её решения [110, 119, 211, 121, 332];- построение блоков взаимосвязанных задач [95, 312, 339].
Особое значение заключительному этапу решения задачи в своих трудах придаёт Г. И. Саранцев [305, 308, 316, 319]. Особенность этого этапа работы с задачей обусловлена, по его мнению, большими возможностями для развития ученика. Но, несмотря на это, заключительный этап работы с задачей почти не используется учителями на практике. Решение задачи, как правило, заканчивается получением ответа, или, в лучшем случае, обсуждением базиса и идеи решения. Реализация заключительного этапа должна включать, кроме изучения найденного решения, составления задач-аналогов данной, задач-обобщений, задач-конкретизаций, задач, решаемых тем же способом, что и основная задача, поиск различных способов решения данной задачи, их оценку, выбор наиболее простого. То есть сущность рассматриваемого этапа Г. И. Саранцев видит «не столько «во взгляде назад» (Д. Пойа), сколько «во взгляде вперёд»». Основой составления новых задач может служить исследование заданной ситуации, которое осуществляется со стороны: а) способа поиска решения задачи; б) способа развития ученика; в) способа систематизации знаний. Смещение акцента в этом направлении влечёт за собой применение в процессе обучения учащихся решению математических задач, которая представлена на схеме 3.
Также Г. И. Саранцев предлагает рассматривать заключительный этап решения задачи как одно из эффективных средств реализации эстетического потенциала математики как средство дифференциации. В результате деятельности на этом этапе математическая ситуация, рассматриваемая в задаче, представляется во всём многообразии связей, во всей полноте, чем и вызывает эстетическое отношение к себе, считает учёный. Кроме того, богатые возможности заключительного этапа в плане исследований задачной ситуации, конструирования новых задач позволяют рассматривать его как хороший полигон для приобщения школьников к творческой деятельности, что отвечает целям современного математического образования [313, 344, 324].
Для дальнейшего анализа рассмотрим конкретные примеры реализации заключительного этапа решения задачи с точки зрения его роли в процессе обучения учащихся решению математических задач в контексте дея-тельностного подхода.
Задача 2 4 1 Длины боковой стороны и основания равнобедренного треугольника равны соответственно 6 и 4 см Через точку О, принадле жащую основанию треугольника, провели прямые, параллельные боковым сторонам. Вычислить периметр получившегося параллелограмма [131].
Рассмотрим план одного из вариантов работы с этой задачей на заключительном этапе её решения. Выясним сначала: на какие фигуры рассекают построенные прямые данный треугольник. Появляется возможность вычислить сумму периметров двух треугольников, отсекаемых этими прямыми, сумму длин всех отрезков, составляющих полученную фигуру. И, наконец, выяснить, зависят ли найденные числа от положения точки О на основании треугольника.
Таким образом, заключительный этап решения этой задачи может играть определённую роль в обучении учащихся математическим умениям устанавливать различные связи между геометрическими объектами, а также в развитии исследовательской деятельности школьников.
Следующий пример показывает, как в процессе реализации заключительного этапа работы с задачей происходит обучение учащихся повторению, обобщению и систематизации знаний, умению выделять и формулировать эвристические предписания.
Обучение учащихся решению математических задач методом векторов
Математическая задача выступает одним из основных средств обучения учащихся распознанию геометрических образов. Большинство геометрических задач может быть эффективно решено векторным методом, который является одним из важнейших математических методов, занявшим прочное место в школьном курсе математики. Обучение учащихся распознанию геометрических образов с помощью векторного метода способствует развитию наглядно-образного и графического мышления, формированию пространственного воображения, развитию геометрической интуиции. Векторный метод обогатил геометрической наглядностью алгебру, позволил представить в наглядных геометрических образах течение различных процессов. Одна и та же задача получает различное векторное представление в зависимости от того или иного способа ее решения. Векторный метод эффективен при: а) доказательстве параллельности прямых и отрезков; б) обосновании утверждения о делении отрезка данной точкой в указанном отношении; в) выяснении принадлежности трех точек одной прямой; г) доказательстве перпендикулярности прямых и отрезков; д) доказательстве зависимостей между длинами отрезков; е) нахождении величины угла.
Рассмотрим систему задач, способствующих формированию умения делать выводы, получать разнообразные следствия из их условий. Значимость разработанной системы состоит в том, что она позволяет выявлять не только уровень усвоения учащимися теоретического материала по теме «Векторный метод», но и, самое важное, способствует обучению учащихся приемам распознавания геометрических образов на первом этапе.
Использование векторного метода в конкретных ситуациях вызывает определенную умственную деятельность. Для определения содержания задач, формирующих умение применять векторы, необходимо выделить дей ствия, адекватные этой деятельности. Анализ показывает, что использование векторного метода в ситуациях а) - е) предполагает владение следующими умениями: 1) переводить геометрический язык на векторный и обратно; 2) выполнять операции над векторами; 3) представлять вектор в виде суммы векторов, разности векторов; 4) представлять вектор в виде произведения вектора на число; 5) преобразовывать векторные равенства; 6) переходить от соотношения между векторами к соотношению между их длинами и наоборот; 7) выражать длину вектора через его скалярный квадрат; 8) выражать величину угла между векторами через их скалярное произведение.
Данная задача относится к типу задач на распознание геометрического образа на уровне понятия. Для того, чтобы решить эту задачу, учащимся необходимо вспомнить существенные признаки, однозначно определяющие параллелограмм. Если в качестве определения взять положение: параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны, то в качестве существенных признаков, характеризующих четырехугольник как параллелограмм, могут служить утверждения: - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны, является параллелограммом; - четырехугольник, у которого диагонали в точке их пересечения делятся пополам, является параллелограммом; - четырехугольник, у которого точка пересечения диагоналей является его центром симметрии, является параллелограммом; - если у четырехугольника ABCD противоположные углы равны, то этот четырехугольник - параллелограмм; - четырехугольник ABCD является параллелограммом тогда и только — — тогда, когда АВ = DC. В данном случае, с целью распознания геометрического образа на уровне понятия, ученик рассуждает так: «Чтобы доказать, что четырехугольник EFKP - параллелограмм, необходимо и достаточно показать, что две его противоположные стороны равны и параллельны. А для этого не — — обходимо и достаточно доказать, что FK = ЕР. Чтобы доказать равенство этих векторов, необходимо выразить их через одни и те же векторы». Далее требуется помощь учителя, который даст общую рекомендацию, полезную и для последующих задач. За данные векторы удобно принимать такие, которые «связывают» все данные задачи. В нашем случае — — — — положение всех заданных точек определяется векторами OA,OB,OC,OD. Их и считаем данными. Теперь, используя условие задачи (точки F и О сим метричны относительно середины АВ), получаем: OF = ОА+ OB. Данная задача также относится к типу задач на распознавание геометрического образа на уровне определения: две прямые называются взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен 90. Для того что бы доказать взаимную перпендикулярность двух прямых PQ и PS можно воспользоваться следующими существенными признаками: - прямые PQ и PS взаимно перпендикулярны, если треугольник PQS прямоугольный с прямым углом QPS; - прямые PQ и PS взаимно перпендикулярны, если PQ2 +PS2 = SQ2; - прямые PQ и PS взаимно перпендикулярны, если скалярное произ —» —» ведение векторов PQ и PS равно нулю. В процессе поиска решения данной за-в дачи ученик рассуждает: «Пусть высоты АА] и СС] треугольника ABC пересекаются в точке О (рис. 21). Надо доказать, что третья высота BBj проходит через точку О». Рис. 21 Чаще всего учащиеся идею решения задачи не обнаруживают. Не помогает им и рекомендация воспользоваться векторами. Тогда учителю необходимо дать общее указание, применимое и к следующим задачам. Чтобы доказать, что некоторая прямая, например ВВ], перпендикулярная другой прямой АС, проходит через данную точку О, иногда целесообразно поступить наоборот: провести прямую ОВ и доказать, что она перпендикулярна АС. Опираясь на это и предшествующие указания, учащиеся осуществляют поиск решения, рассуждая примерно так: «Вместо того, чтобы доказывать, что высота треугольника ВВі проходит через точку О, проведем отрезок ОВ и докажем, что он перпендикулярен АС. Для доказательства этого факта достаточно показать, что прямая ОВ перпендикулярна прямой А для этого достаточно доказать, что скалярные произведения векторов, определяемых этими отрезками, равно нулю. Выразим эти векторы через исходные. За исходные удобно принять векторы с началом в точке О,
