Содержание к диссертации
Введение
Глава 1.Теоретические основы определения содержания дополнительного математического образования старшеклассников, проявляющих интерес к музыке 15
1.1. Дифференциация обучения математике как средство осуществления гуманизации математического образования 15
1.2. Межпредметные связи как средство осуществления гуманизации математического образования 22
1.3. Роль математики в профессиональной деятельности музыканта 40
Глава 2, Методика реализации курса «Математика и музыка» 67
2.1. Особенности проведения факультатива «Математика и музыка» для учащихся 5-8 классов 69
2.2. Особенности проведения факультатива «Математика и музыка» для учащихся 9-11 классов 74
2.3. Методика реализации поисковых исследований учащихся 96
2.4. Особенности проведения спецсеминара«Математика и музыка» для студентов педагогических групп университетов и педагогических вузов 119
2.5. Анализ возможностей применения элементов теории музыки в школьном математическом образовании 128
2.5.1. Сложение и умножение десятичных дробей 131
2.5.2. Параллельность 135
2.5.3. Пропорции 138
2.5.4. Иррациональность 145
2.5.5. Симметрия 151
2.5.6. Системы уравнений
2.5.7. Логарифмы
2.5.8. Метод координат. График линейной функции
2.6. Результаты педагогического исследования Заключение
Библиография
Приложения
Приложение 1. Краткий словарь музыкальных терминов
Приложение 2. Анкета. Диаграммы ответов на вопросы
анкеты
Приложение 3. Список лиц, проводивших исследования в
взаимосвязи математики и музыки
- Дифференциация обучения математике как средство осуществления гуманизации математического образования
- Межпредметные связи как средство осуществления гуманизации математического образования
- Особенности проведения факультатива «Математика и музыка» для учащихся 5-8 классов
Введение к работе
В наши дни современная школа переживает сложный момент. Коренные изменения коснулись всех граней школьной деятельности, в том числе программ обучения и требований к учителю.
Согласно закону Российской Федерации об образовании 1996 года, современная школа не является единым монолитом, школы разрабатывают свои авторские программы, осваивают новые предметы в школьном курсе, открывают новые специализированные классы с углубленным изучением отдельных предметов. «Гуманистический характер, приоритет общечеловеческих ценностей, жизни и здоровья человека, свободного развития личности» является одним из принципов государственной политики в области образования [62].
Дифференциация обучения является составной частью и необходимым условием демократизации и гуманизации образования, является залогом предоставления учащемуся равного шанса достичь высот культуры, залогом максимального развития детей с самыми разными способностями и направлениями интересов.
Наряду с уровневой дифференциацией, на старшей ступени обучения большую роль играет профильная дифференциация. На современном этапе в школах появляются классы экономического, медико-биологического направлений, классы с углубленным изучением истории, юриспруденции и даже изобразительного искусства. Однако, в условиях профильной дифференциации, традиционно выделяют три основных направления — математическое, гуманитарное и общее [15].
Такое резкое разделение ставит школьника в жесткие условия выбора. Мы часто сталкиваемся с примерами того, что выпускники гуманитарных классов поступают в технические вузы и наоборот. Необходимо классическое, универсальное образование, дающее возможность развить всю многогранность личности школьника.
С другой стороны, нельзя не отметить явного стремления к интеграции предметов, развитые науки подтверждают эту тенденцию. Из всех областей познания математика считается наукой точной и связанно это, в первую очередь, с тем, что математические выводы абсолютно точны и строги. Это важно для качественного исследования в любой отрасли науки и искусства. Современное общество развивается, развиваются связанные с ним промышленные отрасли, социальные институты, которые ставят перед математикой все новые и новые задачи, что ведет в самой математике к возникновению новых теорий.
Математический аппарат находит применение в экономике, биологии, физиологии, психологии и многих других отраслях знаний, включая лингвистику и искусствоведение. Стремление к синтезу наук не должно оставаться незамеченным и в системе школьного образования.
Одна из важнейших задач образования - формирование мировоззрения, становится невыполнимой, если существует пробел в какой-либо области знаний. Поэтому нельзя исключить из школьной программы гуманитарного профиля математику, физику, так же как нельзя не учить истории и литературе учеников математических классов. Формирование всесторонней, обоснованной картины мира - основная задача универсального образования. В этой связи актуальной является проблема отбора содержания образования для непрофилирующих предметов.
Нами предпринята попытка, найти взаимосвязь между математикой и музыкой и на основе этого разработать содержание и адаптировать формы проведения занятий дополнительного математического образования школьников, проявляющих интерес к музыке. Мы считаем, что на основе интеграции курсов математики и музыки можно использовать заинтересованность школьников музыкой для повышения интереса к математике.
Взаимосвязь математики и музыки имеет глубокую научную и историческую основу. Лейбниц писал, что "музыка есть ни что иное, как арифметика, но скрытая, так что душа не знает, что она считает, но хотя душа и не чувствует, что она считает, она все же чувствует действие этого незаметного счета" [41].
Исторически сложилось, что математика и музыка со времен Пифагора и до конца XVII века шли рядом, помогая и дополняя друг друга. Отправным пунктом учения пифагорейцев о числе была музыка. По преданию, сам Пифагор установил, что приятные слуху созвучия получаются в том случае, когда длины струн, издающих эти звуки, относятся как 1:2, 2:3, 3:4, а основные консонансы - ни что иное, как арифметическое, геометрическое и гармоническое средние [30, 31].
Различные аспекты взаимосвязи музыки и математики рассматривали Аристотель, Птолемей, Эратосфен, Ибн-Сина, Иоган и Даниил Бернулли, А.В. Волошинов, Винченцо Галилей (отец), Г. Гельмгольц, Д'Аламбер, Л.А. Мазель, А.В. Римский-Корсаков, Э.К. Розенов, Г.И. Сечкин, СИ. Танеев, В. Фукс, Йозеф Штраус, Леонард Эйлер и другие уеные (приложение 3).
Э.К. Розенов провел обширные исследования, связанные с вопросами пропорциональности в музыкальных произведениях [133]. В. Фукс внес большой вклад в статистический анализ музыкальных произведений [31]. Л.С. Термен занимался разработкой методов анализа и синтеза музыкальных и речевых звучаний, изобрел первый советской электромузыкальный инструмент «терменвокс» [3]. Д.О. Лифшиц создал метод графико-математического анализа музыкальных произведений [96]. В работе Г.И. Сечкина [145] представлен алгоритм построения интервальной структуры натуральных ладов диатоники и пентатоники в равномерной шкале, основанный на принципе золотого сечения и теории циклических групп подстановок.
Вопросами систематизации математических исследований в искусстве, в том числе и музыке, занимался А.В. Волошинов [31]. Венгерские ученые Б. Варга, Ю. Димень и Э. Лопариц актуализировали проблему взаимосвязи изучаемых в школе предметов - математики, музыки и лингвистики.
Интерес к поиску взаимосвязи между математикой и музыкой не случаен, наверное, потому, что математика является самой абстрактной из всех наук, а среди искусств наименее поддается описанию именно музыка. А.Ф. Лосев пишет об этом так: "Музыка, понимаемая в виде специфического искусства, не есть ни сценическое произведение, ни подвижная фотография, ни драма вообще. Все эти виды искусства гораздо более насыщены и гораздо более связаны либо с поэтическим образом, либо с хроникой, либо с историческими событиями, либо с фантастикой и вовсе не являются чистой музыкой, взятой самой по себе... Именно, музыка есть искусство времени, а время, в своей последней основе, есть становление... Но интереснее всего, что становлением занимается и математика. Ведь не что иное, как она учит о так называемых переменных величинах, так переменная величина стремится к своему пределу, но это означает не только определенность направления,...но и обязательную неподвижность этого предела" [98, с.73].
Гейнц Гетце, открывая конференцию "Музыка и математика"(1984 г.), произносит следующее: "Математика и музыка являются лишь двумя аспектами одного и того же предмета, и нагляднее всего это демонстрирует партитура и нотный лист. Вы увидите математическую систему координат, в одной отразим звуки и аккорды, в другой ритм и время" [32].
Сегодня большинство школьников в той или иной степени интересуются музыкой. Мы употребляем понятие «интерес» в контексте определения В.А. Крутецкого, как мотивационное состояние, «стремление к познанию объекта или7 явления, к овладению тем или иным видом деятельности» [4, с. 373]. В отличие от склонности (устойчивой направленности человека на занятие определенной деятельности), которая подразумевает активные действия, интерес может выступать как на волевом, так и на эмоциональном уровне. Поэтому выделенная нами группа «интересующихся музыкой» школьников, включает в себя учащихся и выпускников музыкальных школ, ребят, занимающихся самообразованием, читающих специальную музыкальную литературу, собирающих материалы о музыкальных группах, о новых тенденциях и возможностях компьютерной музыки и т.д. (активный интерес) и тех, кто просто любят послушать музыку (пассивный интерес).
Мы убеждены, что при наличие интереса, знания усваиваются более прочно и эффективно. Материал, не вызывающий интереса, запоминается с трудом и усваивается ч|істо формально.
Перед школьным образованием стоит задача формирования новых интересов и склонностей на основании интересов уже имеющихся у учащихся. В основе гуманизации школьного образования лежит индивидуальный подход к личности каждого ученика, учет его интересов, склонностей и способностей. Задача обучения состоит не в том, чтобы изменить индивидуальность человека, а в том, чтобы для каждого ребенка найти наилучший путь обучения.
Существует реальная возможность синтеза математического и музыкального направлений, поэтому необходимо найти возможность использовать интерес к музыке у большой группы школьников при обучении математике.
Необходимость демонстрации связи математики и музыки подкрепляется еще и тем, что в современной школе нет классов с углубленным изучением музыки (эта деятельность остается прерогативой музыкальных школ), а детей, занимающихся музыкой, много. При этом такие ученики косвенно знакомятся со многими математическими понятиями, не осознавая этого. Приведем лишь несколько примеров понятий музыкальной теории, которые имеют математический аналог.
Для эффективного обучения математике в школе необходимо использовать значительный потенциал, обусловленный объективно существующими взаимосвязями между математикой и музыкой и наличием интереса к музыке у большой группы пгкольников. Вышесказанное подчеркивает актуальность исследования.
Таким образом, проблема нашего исследования состоит в разрешении противоречия между стандартным содержанием математического образования, не учитывающем интереса школьников к музыке и тем значительным потенциалом, который заложен в содержании, отражающем объективно существующие связи между математикой и музыкой.
При решении основного вопроса - какая математика нужна учащимся гуманитарного и эстетического профилей, и можно ли ограничиться в технических (математических) классах только набором строго научных дисциплин и понятий, мы исходили из следующей идеи В. Метцлера: "Необходимо в каждом случае одновременно развивать рациональное и эмоциональное, интеллектуальные и интуитивные способности в интересах самого человека и ради результатов его работ" [101].
В своем исследовании мы руководствовались следующей гипотезой: целенаправленный учет объективно существующих связей между математикой и музыкой в контексте организации дополнительного математического образования позволяет: учитывать интересы и склонности школьников, имеющих музыкальное образование или интересующихся музыкой; показать значимость общеобразовательных аспектов математики для учащихся гуманитарного и эстетического направлений; проследить диалектическую взаимосвязь математики и музыки; влиять на развитие внимания и переключаемости старшеклассников.
В основе нашего педагогического исследования лежит программно-целевой подход, разработанный В.Н. Сергеевым [144]. На основе програмно-целевого подхода был выполнен ряд диссертационных исследований: Е.И. Федоровой [163], И .К. Жинеренко [59], Т.Ю. Поляковой [125], Т.А. Ширшовой. [179].
В современной методической литературе не существует единого подхода исследователей к тому, какую математику и как преподавать учащимся классов различной профильной направленности. Программно-целевой метод дает один из вариантов решения этой проблемы. Данный подход позволяет определить структуру дополнительного математического образования, разработать методику организации занятий, основываясь на реальных профессиональных или личностных потребностях школьников.
В качестве объекта исследования выступает дополнительное математическое образование старшеклассников. Предмет исследования -содержание и формы проведения занятий курса "Математика и музыка" для старшеклассников, проявляющих интерес к музыке. При этом в поле зрения попадают как учащиеся классов с углубленным изучением математики, так и ученики гуманитарного профиля, имеющие начальное музыкальное образование или просто любители.
Это определяет цель исследования - разработать содержание и тематическое планирование курса "Математика и музыка", осуществить отбор форм проведения занятий для старшеклассников. Для успешного проведения занятий курса "Математика и музыка" необходимо разработать дидактические материалы, имеющие значение при демонстрации элементов музыкальной теории на школьных уроках математики в качестве примеров и задач.
Программно-целевой подход, применяемый в исследовании, сводится в нашем случае к постановке и решению следующих частных задач.
Провести анализ существующих взаимосвязей между математикой и музыкой в науке и образовании на данный момент (целевой этап).
Сформулировать критерии отбора содержания (программный этап).
Отобрать содержание и разработать дидактические материалы к курсу "Математика и музыка", апробировать данный курс с экспериментальной проверкой (содержательный этап).
Осуществить отбор форм проведения занятий курса "Математика и музыка", определить специфику проведения для различных профильных групп (технологический этап).
Научная новизна и теоретическая значимость исследования заключаются в определении критериев отбора содержания дополнительного математического образования старшеклассников, проявляющих интерес к музыке. Обозначенные критерии позволили разработать содержание дополнительного математического образования, построенного на основе интеграции математической и музыкальной теорий. что в отечественной педагогической практике сделано впервые. Проведенный анализ школьного курса математики с целью установления взаимосвязей меледу математикой и музыкой, анализ научной литературы в области музыкальной теории, позволили разработать систему задач, демонстрирующих взаимосвязь вышеназванных предметов.
На различных этапах исследования применялись следующие методы: науковедческий анализ использования математического аппарата в профессиональной музыкальной деятельности; логико-исторический анализ научно-монографической, научно-периодической, методологической, философской и методической литературы по проблеме диссертации; анкетирование, интервьюирование, опрос; экспериментальная апробация форм организации учебного процесса; разработка методического комплекса, дидактических материалов для дополнительного математического образования школьников.
Достоверность и научная обоснованность полученных результатов обеспечивалась разнообразием и надежностью научных методов, воспроизводимостью и широкой апробацией материалов. Апробация и внедрение теоретических положений и результатов исследования осуществлялась посредством докладов на научно-методических конференциях: Многоуровневое высшее образование (г. Омск, 1993) [84], I и II Сибирские методические Чтения (г. Омск, 1995, 97г.) [86, 90], Традиции и инновации в системе образования: гуманизация образования (г. Чита, 98г.), в рамках сотрудничества с учреждениями народного образования г. Омска: гимназией № 69; школой-гимназией №139; лицеем №74; школой №42; математическим факультетом ОмГУ; Летними и Зимними школами НОУ 1991-1998 г.г.
В процессе проведенного исследования получены следующие основные результаты:
1. На основе разработанных критериев отбора учебного материала курса "Математика и музыка", было составлено содержание и апробированы формы проведения занятий, включающие в себя содержание и формы проведения занятий факультатива "Математика и музыка" для среднего звена основной школы (5-8 классы); содержание и формы проведения занятий факультатива "Математика и музыка" для старшей школы (9-11 классы); А -для классов гуманитарно-эстетического направления; В - для классов естественно-технического направления; содержание и формы проведения занятий специализированного семинара "Математика и музыка" для студентов педагогических групп университетов и педагогических вузов.
2. Разработаны и апробированы формы и методы организации учебного процесса в системе организации дополнительного школьного математического образования, . в том числе поисковые работы, разработка тематики которых осуществлялась с 1992 по 199S гг. ІЕД^аніочшчФзжц зшютммдстіь - разработанные материалы могут быть использованы в практике учителей математики, в ходе подготовки учебников и методических пособий к ним, а так же для усовершенствования программ дополнительного математического образования.
Залогом плодотворной реализации данного исследования на практике является появление творческого учителя, который смог бы продолжить самостоятельные исследования в области математических структур музыки и заинтересовать своих учеников. По нашему мнению, такой учитель должен иметь высшее математическое образование, среднее музыкальное (в рамках музыкальной школы), должен обладать креативностью мышления и творческим подходом к педагогической деятельности, а также желанием исследовать возможности применения математики в других областях и психологической подготовленностью.
Мы исходим из требований многоуровневой структуры высшего педагогического образования, которая" предполагает реализацию четырех образовательных программ: культурологическую, специальную (предмет), технологическую (технология обучения и развитие способностей), индивидуальную (дисциплины по выбору для удовлетворения общественно-значимых индивидуальных интересов). Современный учитель - это личность, способная творчески подходить к профессиональной деятельности, и личность, освоившая культурный опыт человечества. [182].
На защиту выносятся следующие положения: 1. Сформулированные критерии отбора содержания дополнительного математического образования старшеклассников, проявляющих интерес к музыке, позволили выявить учебный материал курса "Математика и музыка".
Выделенные особенности проведения занятий для старшеклассников различных профильных групп, проявляющих интерес к музыке, позволили разработать программу курса "Математика и музыка" для этих категорий учащихся.
Разработанные дидактические материалы к курсу "Математика и музыка" позволили продемонстрировать объективно существующие связи между математикой и музыкой.
Экспериментальная апробация результатов исследования осуществлялась в виде факультативных занятий и специализированных курсов на базе школы-гимназии №69, средней школы №42, лицея №74, гимназии № 139, Летних и Зимних школах НОУ, математическом факультете ОмГУ.
Исследования выполнялись в рамках республиканской программы «Университеты России» (1991 - 1993), в рамках Всесоюзной программы «Творческая одаренность», по заказу Омского облисполкома (Областная программа «Таланты») и в рамках хоздоговорных работ по заказам органов народного образования г. Тобольска, г. Заводоуковска, г. Муравленко (Тюменская область). Отчет об исследованиях принят заказчиками, учебное пособие «Математика и музыка» внедрено в школах города Омска.
Вопросы, связанные с компьютерной музыкой, нами не рассматривались, так как это тема отдельного большого исследования. При подготовке дидактического материала использовался программный пакет Midisoft Studio for word.
Дифференциация обучения математике как средство осуществления гуманизации математического образования
Гуманизация образования - основная тенденция обновления школы. Согласно приказу Государственного комитета СССР по народному образованию от 22 сентября 1989г. №715 "Гуманизация образования предполагает поворот школы к ребенку, уважение его личности, запросов и интересов, создание, в первую очередь, максимально благоприятных условий для раскрытия и развития способностей учащихся" [126, с. 3].
Предполагаемых путей достижения этой цели несколько. Самый простой из них - сократить нагрузку учащихся за счет уменьшения учебных часов. Известная степень гуманности в этом присутствует, освободившееся время учащиеся потратят на самообразование, занятия по интересам. Данный подход нам представляется слишком упрощенным, школа как бы уходит от активной роли в обучении и воспитании ребенка, и можно ли считать сокращение программы и выделение свободного времени созданием максимально благоприятных условий для раскрытия и развития способностей учащихся? Очевидно, нет, даже если школа готова представить широкий спектр кружков и факультативов.
Мы разделяем мнение В.В. Гузеева, который отмечает, что гуманизации неправильно понимать как руководство к увеличению числа гуманитарных дисциплин в противовес естественным, то есть сводить все к гуманитаризации. Нельзя считать, что увеличение числа предметов гуманитарного цикла в школьном образовании приведет к повышению культурного уровня учащихся, к их духовности. Современное общество и современная культура не мыслимы без знаний в области математики, физики, химии и т.д. Ограничение возможности учащихся получать знания по данным предметам школьного курса является антигуманным актом. "Гуманизация образования и есть направление обучения от личности, ее структуры, через учебный предмет к личности (индивидуальности) конкретного ребенка"[45, с.32].
Самый сложный путь в реализации идей гуманизации - серьезный анализ содержания математического образования, совершенствование методической системы обучения математике в средней школе [141, с.36]. Для того, чтобы идти в обучении от личности ребенка, определить его интересы, склонности и способности, для этого необходимы консультации школьного психолога, кропотливая работа учителей предметников. Но одной заинтересованности школьного учителя мало, необходима хорошая учебная литература, альтернативные учебники, где учителя смогли бы почерпнуть необходимую информацию.
На современном этапе в школах появляются классы различной проф-ориентационной направленности, общеобразовательные школы вытесняются лицеями и гимназиями. В своем стремлении обеспечить учащимся свободу выбора, с одной стороны, и качественное образование с другой, школы вводят в учебный план новые предметы, приглашают специалистов для ведения факультативных занятий. Эта тенденция при одинаковых требованиях ко всем учащимся, без индивидуального подхода и корректировки программ таит в себе опасность перегрузки учащихся. "Решение этой проблемы - не общее снижение уровня знаний, а глубокая дифференциация обучения" [22, с.9].
Межпредметные связи как средство осуществления гуманизации математического образования
Вопрос о меж предметных связях в общеобразовательном процессе впервые поднимается в связи с введением в школе раздельного преподавания различных предметов. Межпредметные связи представляют собой отражение в школьных предметах диалектических взаимосвязей, которые объективно присутствуют в природе и обществе. Необходимо формировать у учащихся целостную картину мира. Что же для этого требуется? Какие педагогические условия?
В методической и педагогической литературе вопрос о межпредметных связях рассматривался такими известными педагогами как: Я.А. Ко-менским [81], К.Д. Ушинским [160, 161, 162], Г. Песгалоцци [119], А.Н. Колмогоровым [77], В.М. Монаховым [105], В.А. Далингером [47,48], В.Н. Федоровой [103], И.Д. Зверевым [63, 64], Б.Т. Лихачевым [97], О.А. Кильсоном [Ш], П.И. Третьяковым [156], М.А. Бакшаевым [12] и другими учеными.
Я.А. Коменский считал, что все, что находится во взаимной связи, должно преподаваться в той же связи [81]. К.Д. Ушинский выводил межпредметные связи из различных ассоциативных связей: по противоположности, по сходству, по порядку сочетания во времени, единству места, связи, развития и т.д. Он считал, что "знания и идеи, сообщаемые какими бы то ни было науками, должны органически строиться в, по возможности, обширный взгляд на мир" [160, с. 178]. Великий педагог подчеркивал, насколько важно приводить знания в систему по мере их накопления. "Голова, наполненная отрывочными, бессвязными знаниями, похожа на кладовую, в которой все в беспорядке и где и сам хозяин ничего не отыщет, голова, где только система без знаний, похожа на лавку, в которой на всех ящиках есть надписи, а в ящиках пусто" [161, с. 355]. Систематизация знаний позволяет достичь высоких результатов в обучении, а это возможно только при согласованном действии учителей различных предметов.
В литературе понятие межпредметных связей определяется по-разному: "взаимная согласованность учебных программ" (педагогический словарь), "соответствие во времени элементов содержания учебного материала", "дидактическое условие", "специфическая конструкция содержания обучения". В сборнике статей под редакцией В.Н. Федоровой отмечается, что межпредметные связи - это не принцип дидактики, так как "несмотря на разнообразие своих функций, межпредметные связи все же всеобщностью воздействия на педагогический процесс не обладают. По этой причине они входят как необходимый компонент в содержание дидактического принципа системности обучения", следовательно, "по отношению к процессу обучения межпредметные связи выступают как дидактическое условие, способствующее повышению научности и доступности обучения, значительному усилению познавательной деятельности учащихся, улучшению качества их знаний" 103, с. 29]. Мы будем придерживаться данного определения.
Особенности проведения факультатива «Математика и музыка» для учащихся 5-8 классов
Факультативные занятия играют важную роль в повышении уровня математического развития школьников. Следует отдельно выделить особенности факультативного курса «Математика и музыка» для среднего звена (5-8 классы) и для старшей школы (9-11 классы).
Среднее звено еще не ориентировано на выбор профессии, поэтому в данном случае необходимо учитывать любознательность школьников. Мы считаем, что элементы курса «Математика и музыка» прежде всего, необходимо применять на уроках математики (пункт 2.5.), указывая на аналогии и связь между предметами, тем самым, способствуя более эффективному усвоению нового материала и помогая повысить интерес к предмету.
«Математика сама по себе ум в порядок не приводит. Все зависит от ориентации обучения, способа преподавания. Действительно, можно так преподавать математику, далее при оптимальном отборе содержания, что головы детей заполнятся большим количеством скучнейших формул и длинных вычислений и преобразований без подлинного понимания их смысла и назначения....В результате, получаются носители изолированных данных, в лучшем случае знаний, без адекватного умственного развития» [151, с. 6]. Факультативные (кружковые) занятия в этом возрасте носят занимательный характер, это легло в основу определения особенностей проведения факультативных занятий для этой категории школьников.
1. Материал должен быть доступен ученикам. Важное условие проведения любого факультативна - опора на уже полученные знания. Никому не придет в голову изучать, например, обоснование существующей музыкальной шкалы, основанное на знании логарифмической функции и свойств логарифма в 5 или 6 классах. Эта причина является основной для сокращения содержания общего курса до 20 часов. Изложение материала может изменяться в зависимости от возраста школьников. Например, тема «Вариации» возможна для изучения в любом классе, однако от 5 к 8 классу растет степень сложности примеров
2. Каждая тема должна сопровождаться музыкальными примерами, историческими фактами и наглядной применимостью математики в некоторых задачах музыкальной теории. Значимость эмоционального воздействия при обучении неоспорима. Необходимо показывать внутреннюю красоту самой математики, ее логическую обусловленность и строгость. Музыка образна по самой своей сути. Поэтому курс «Математика и музыка» не может не носить эмоциональной окраски. Для демонстрации музыкальных примеров необходимо: фортепиано (на каждом занятии), гитара /или другой струнный музыкальный инструмент, желательно без «порожков»/ (занятие 2), магнитофон (на каждом занятии). Во время практических занятий желательно всех ребят обеспечить струнным музыкальным инструментом и нотным текстом. Факультативны по математике имеют возможность дополнить историческими фактами школьные знания, на которые, обычно, не хватает времени на уроках, показать возможность применения изученных математических теорий в других областях науки и искусства.
3. Так как возрастные особенности учащихся 5-8 классов предполагают относительно частую смену форм работ, темы факультативна «Математика и музыка» хороши лишь как отдельные занятия, но не как полный курс. Каждая тема факультативна в совокупности с лабораторной работой может считаться самостоятельной, возможно их чередование с другими темами математического кружка. Тематическое планирование факультативна «Математика и музыка» для 5-8 классов приведено в таблице 2.1.
