Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Психолого-педагогические причины возникновения ошибок учащихся при обучении математике и средства их предупреждения 15
1.1. Причины появления ошибок в процессе обучения 15
1.2. Виды ошибок при обучении математике 27
1.3. Использование провоцирующих задач для предупреждения ошибок учащихся на уроках геометрии 60
Глава 2. Методика использования провоцирующих задач при изучении геометрии 106
2.1. Методика работы с провоцирующими задачами в теме «Площади многоугольных фигур» в 8 классе 106
2.2. Основные этапы и результаты экспериментального исследования 148
Заключение 164
Литература
- Виды ошибок при обучении математике
- Использование провоцирующих задач для предупреждения ошибок учащихся на уроках геометрии
- Методика работы с провоцирующими задачами в теме «Площади многоугольных фигур» в 8 классе
- Основные этапы и результаты экспериментального исследования
Введение к работе
Образованию, его инновационному потенциалу, на сегодняшний день отводится важнейшая роль, поскольку именно образование определяет общий уровень социально-экономического развития общества. Одна из важнейших идей национального проекта «Образование» - это повышение качества образования.
Основным содержанием и важнейшей задачей обучения является освоение системы знаний, умений и овладение соответствующими навыками. Совместная деятельность учителя и учащихся на уроках математики направлена на успешное освоение системы знаний, умений и навыков. Итоги этой деятельности отражены в результатах государственной аттестации учащихся, которая уже несколько лет подряд проводится в новой форме.
Цель новой формы проведения итоговой аттестации состоит в создании независимой и объективной системы оценки качества образования и в совершенствовании организационной формы проведения государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 классов, особенности которой изложены в письме Министерства образования и науки Российской Федерации от 03.05.2006 г. № 01-235/07-01 «О проведении государственной (итоговой) аттестации выпускников 9 классов общеобразовательных учреждений в условиях внедрения единой независимой системы оценки качества образования».
Различные затруднения и ошибки возникают у учащихся не только в процессе обучения математике, но и при написании экзаменационной работы. Структура работы, формулировки заданий могут «провоцировать» ошибки учащихся различного характера.
Одной из довольно сложных методических задач, которые приходится решать учителю, является отыскание способов и приемов предупреждения ошибок учащихся на уроках математики и, конечно же, при написании экзаменационной работы.
В методической литературе по математике рассматриваются возможные подходы к классификации математических ошибок, выделению их в группы по каким-то признакам и систематизации (В. М. Брадис, В. Литцман, Г. Штейнгауз и др.), анализируются причины возникновения математических ошибок школьников (П. А. Шеварев, В. И. Рыжик и др. ), рассматриваются упражнения, направленные на предупреждение ошибок учащихся при обучении математике (М. И. Зайкин, Я. И. Груденов, И. С. Григорьева и др.).
Проводились различные исследования, посвященные проблеме психологических основ работы с ошибками школьников (Б. Г. Ананьев, Д. Н. Богоявленский, Е. Д. Божович и др.).
В диссертационных исследованиях по методике преподавания математики (Л. С. Иванова, 1988, В.А. Колосова, 1997, О.А. Тарасова, 2004 и др.) выполнен анализ отдельных аспектов методической работы с ошибками школьников и сделаны рекомендации по совершенствованию организации этой работы.
А. К. Артемов относительно причин возникновения ошибок отмечал, что вскрытие подлинных причин ошибок невозможно без обращения к психологии, т.к. каждая ошибка есть результат той или иной деятельности учащихся.
К этому можно добавить, что во многих случаях причины возникновения ошибок учащихся связаны с некоторыми внешними факторами, как, например, несовершенство методики обучения, организации процесса обучения и т.д.
Для организации систематической работы по предупреждению ошибок учащихся в процессе обучения математике, необходимы соответствующие дидактические средства.
В ходе анализа литературы, связанной с проблемами предупреждения ошибок учащихся, нами выявлено противоречие между потребностью школьной практики в средствах предупреждения ошибок учащихся и недостаточной разработанностью соответствующих дидактических средств.
В работах М. И. Зайкина, В. А. Колосовой, И. С. Григорьевой было высказано предположение о том, что одним из средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике могут стать провоцирующие задачи. Авторы работ отмечают, что феномен провоцирующих задач изучен недостаточно: не предложена типология провоцирующих задач, не охарактеризованы побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа, не разработана методика использования провоцирующих задач в процессе обучения.
В нашей работе провоцирующие задачи исследуются в качестве средства предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач. Нам не удалось выявить работ, в которых выделены особенности провоцирующих задач и методика их использования на уроках геометрии.
Все вышесказанное определяет актуальность проблемы исследования, которая состоит в выявлении средств предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения математике (на материале курса геометрии 7-9 классов).
Объект исследования: процесс обучения учащихся средней школы геометрии.
Предмет исследования: провоцирующие задачи и их использование при обучении решению геометрических задач.
Цель исследования: выявить особенности провоцирующих задач и разработать методику работы с ними как средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.
В соответствии с этапами деятельности учащихся при решении задач на уроках геометрии, для нашего исследования мы выделили следующие виды ошибок, которые допускают учащиеся при решении задач на уроках геометрии: ошибки понимания постановки задачи, ошибки составления плана решения, ошибки осуществления плана решения, ошибки изучения полученных результатов.
Анализ литературы по провоцирующим задачам, позволили выделить следующие виды провокации, т.е. побудители, подталкивающие к выполнению ошибочных действий или выбору неправильного ответа.
К задаче предлагается чертеж, содержащий ошибку.
Блоки задач, содержащие побуждение к применению неверной аналогии при решении задачи.
Задача имеет неоднозначное решение.
Использование в вопросе слов: Верно ли, что...? Можно ли...?
Задача содержит противоречие в условии.
К задаче предлагается чертеж, который подсказывает неверное решение.
Ошибка в обосновании решения.
Предложенные к задаче варианты ответов содержат или несколько правильных ответов или не содержат правильного ответа.
На основе выявленных видов провокации мы выделили следующие типы провоцирующих задач, при решении которых у учащихся формируются умения, направленные на предупреждение ошибок на каждом этапе решения геометрических задач: задачи, содержащие провокацию на этапе понимания постановки задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе осуществления плана решения задачи, задачи, содержащие провокацию на этапе изучения найденного решения задачи.
Следовательно, результатом обучения учащихся на основе методики использования провоцирующих задач может стать снижение количества ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.
Гипотеза исследования: если при изучении курса геометрии выделить типичные ошибки учащихся на каждом этапе решения геометрических задач и подобрать соответствующие этим ошибкам провоцирующие задачи, то это будет способствовать формированию у учащихся умений, направленных на предупреждение ошибок на каждом этапе решения геометрических задач.
Для достижения цели исследования и проверки сформулированной гипотезы потребовалось решить следующие задачи исследования.
Выявить типичные ошибки, которые возникают у учащихся в процессе изучения математики, их причины и способы предупреждения.
Выявить особенности провоцирующих задач.
3) Теоретически исследовать возможности использования провоцирующих
задач как средства предупреждения ошибок учащихся при обучении матема
тике.
Разработать методику работы с провоцирующими задачами.
Экспериментально проверить эффективность разработанной методики использования провоцирующих задач как средства предупреждения ошибок учащихся.
Для решения поставленных задач применялись следующие методы исследования.
Теоретический анализ математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы, касающейся темы исследования, с целью изучения состояния исследуемой проблемы и ее методологических основ.
Анализ научных исследований с целью выяснения вопросов, относящихся к предмету данного исследования.
Изучение состояния исследуемой проблемы в практике работы школы.
Организация и проведение констатирующего, поискового и формирующего этапов экспериментального исследования.
Статистическая обработка данных полученных в ходе экспериментального исследования.
Исследование проводилось с 2003 по 2009 гг. и включало в себя три этапа.
На первом этапе (2003-2004 гг.) проводился анализ математической, психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования, определены проблема, цель, предмет, объект исследования и сформулирована его гипотеза.
На втором этапе (2004-2006 гг.) проводились констатирующий и поисковый эксперименты. В ходе констатирующего эксперимента были выявлены виды провоцирующих задач. В результате проведения поискового эксперимента была разработана методика работы с провоцирующими задачами, особенности использования данного вида задач, которые помогают предупредить ошибки учащихся при обучении решению геометрических задач.
На третьем этапе (2006-2009 гг.) проводился формирующий эксперимент, качественная и количественная обработка полученных данных, обобщение результатов исследования, а также были сформулированы выводы по результатам исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что впервые в методике обучения математике предложено решение проблемы предупреждения ошибок учащихся при освоении системы знаний в процессе обучения геометрии (на материале курса геометрии 7-9 классов) через провоцирующие задачи и их использование при обучении решению геометрических задач.
Разработана методика работы с провоцирующими задачами как средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач.
Теоретическая значимость исследования.
Теоретически обоснована эффективность использования провоцирующих задач при обучении решению геометрических задач с целью предупреждения ошибок учащихся.
Выделены виды провокаций в процессе обучения решению геометрических задач, лежащие в основе построения провоцирующих задач.
Практическая значимость исследования. 1) Выделены следующие источники и способы составления провоцирующих задач: использование соответствующей литературы, составление новых задач на основе уже существующих, использование работ учащихся.
2) Предложена методика использования провоцирующих задач, способст
вующая предупреждению ошибок учащихся при обучении решению геомет
рических задач.
3) Разработанные материалы могут быть непосредственно использованы учи
телями математики общеобразовательных школ для предупреждения ошибок
учащихся 7-9 классов при обучении решению геометрических задач, а также
в системе подготовки и повышения квалификации учителей математики.
Достоверность результатов исследования обеспечивается теоретическим анализом психолого-педагогической литературы, связанной с предметом исследования; использованием методологических и психолого-педагогических основ для решения проблемы предупреждения ошибок учащихся; применением методов исследования, адекватных предмету, целям, задачам исследования; корректной организацией опытно-экспериментальной работы; корректной математической обработкой результатов; результатами экспериментальной проверки, подтвердившей справедливость основных положений диссертации.
На защиту выносятся следующие положения. 1) Типы провоцирующих задач, выделенные в соответствии с видами провокации, служат эффективным средством предупреждения ошибок учащихся при обучении решению геометрических задач на каждом этапе решения задачи:
провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе понимания текста задачи, позволяют предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при построении чертежа, ошибки связанные с применением неверной аналогии, ошибки связанные с поиском нескольких решений задачи,
провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе составления плана решения задачи, позволяют предупреждать ошибки учащихся, которые связаны с применением теорем, свойств, признаков при решении задач, ошибки связанные с выявлением противоречия в условии задачи, ошибки при решении задач с использованием предложенного чертежа,
провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе осуществления плана решения задачи, позволяют предупреждать ошибки учащихся в обосновании решения задачи,
провоцирующие задачи, содержащие провокацию на этапе изучения найденного решения задачи, позволяют предупреждать ошибки, которые допускают учащиеся при выборе ответа задачи из предложенных вариантов ответов.
2) Основные положения методики использования провоцирующих задач при обучении решению геометрических задач и при изучении теории на уроках геометрии в 7-9 классах:
использование провоцирующих задач при изучении геометрии направлено на осознание учащимися теории и на овладение этапами решения геометрических задач,
провоцирующие задачи предъявляются учащимся до самостоятельного выполнения ими соответствующих действий, связанных с усвоением содержания темы,
виды провоцирующих задач, отобранных для использования при изучении темы, определяются, исходя из содержания темы и типичных ошибок учащихся.
3) Разработанная методика использования провоцирующих задач позволяет формировать у учащихся следующие умения, которые направлены на предупреждение ошибок при обучении решению геометрических задач:
умение находить ошибки в готовых чертежах,
умение осуществлять анализ текста каждой отдельной задачи, а не решать по аналогии с уже решенными задачами,
умение находить несколько решений задачи (если они есть),
умение приводить контрпримеры,
умение находить противоречие в условии задачи (если оно есть),
умение анализировать предложенный для решения задачи чертеж,
умение находить ошибки в своих и чужих решениях задачи (если они есть),
умение анализировать предложенные к задаче варианты ответов (решая или не решая задачу).
Апробация и внедрение результатов исследования. Экспериментальная проверка разработанных материалов осуществлялась в ГОУ: № 263, № 287, № 538 города Санкт-Петербурга. Результаты исследования докладывались и обсуждались на методологических семинарах кафедры методики обучения математике РГПУ им. А. И. Герцена (2003-2008 гг.), на Международной научной конференции «61 Герценовские чтения» в 2008 году, на семинаре учителей математики и информатики лицея № 393 и гимназии № 261 города Санкт-Петербурга (февраль 2006 г.).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложения. Работа изложена на 179 страницах.
Виды ошибок при обучении математике
Причины возникновения ошибок у учащихся в процессе обучения могут быть разнообразны, так как они связаны с психологическими, педагогическими и методическими особенностями самого процесса обучения.
Цели и задачи образования в развитом обществе состоят в единстве обучения и воспитания школьников, в развитии умения самостоятельно ориентироваться в знаниях и применять их на практике, которое достигается учеником в процессе учебной деятельности. Понятие учебной деятельности, разрабатываемое В.В.Давыдовым, направлено на достижение этих целей. Прежде всего, речь идет именно о деятельности ученика, усваивающего такие знания, которые обеспечивают ему умственное развитие. Далее — о таких методах работы учителя с учеником, при которых они овладевают своеобразными умениями осуществлять эту учебную деятельность ([99]).
Таким образом, в учебной деятельности ученика большую роль играет работа учителя с этим учеником. Поэтому причины возникновения ошибок в процессе обучения могут быть связаны: 1) с учебной деятельностью ученика, 2) с работой учителя с учеником.
Для того, чтобы выявить причины ошибок, связанные с учебной деятельностью ученика, рассмотрим содержание и структуру учебной деятельности.
Различие учения и учебной деятельности рассматривалось в работах С. Л. Рубинштейна ([78]), В. Я. Ляудис ([98]), Е. И. Машбица ([59]) и др.
Е. И. Машбиц отмечает, что понятия «учение» и «учебная деятельность» принадлежат к разным системам. «Учение - это не деятельность, а ее продукт, причем продукт различных видов деятельности — как учебной, так и не учебной» ([59], с. 47). Сущность учебной деятельности состоит в том общепсихологическом понимании деятельности, которое сложилось в психологии в школе Л.С.Выгодского, А.Р.Лурия и А.Н.Леонтьева. Наиболее развитое выражение понятия деятельности получило в трудах А.Н.Леонтьева ([50]). Деятельность это практическое преобразование общественным человеком объективного мира. В деятельности происходит переход объекта в его субъективную форму - в образ, который лежит в основе ориентировки человека в мире.
Но, как заметил А.Н.Леонтьев, «жизнь или деятельность в целом не складываются, однако, механически из отдельных видов деятельности. Одни виды деятельности являются на данном этапе ведущими и имеют большее значение для дальнейшего развития личности, другие — меньшее. Одни играют главную роль в развитии, другие - подчиненную. Поэтому нужно говорить о зависимости развития психики не от деятельности вообще, а от ведущей деятельности» ([51], с. 505).
А.НЛеонтьев указывает три признака ведущей деятельности. Во-первых, в ней возникают новые виды деятельности. Во-вторых, в ней формируются или перестраиваются психические процессы. В-третьих, от нее в основном зависят наблюдаемые в данный период развития человека психологические изменения его личности.
Исходя из этого, А.Н.Леонтьев так кратко определил понятие ведущей деятельности: «...ведущая деятельность — это такая деятельность, развитие которой обусловливает главнейшие изменения в психических процессах и психологических особенностях личности ребенка на данной стадии его развития» ([51], с. 506).
Каждому периоду детства соответствует своя особая ведущая деятельность, которая обусловливает главные изменения личности ребенка в данном возрасте. «Учебная деятельность — ведущая для младших школьников (7-10 лет). Она формируется именно в этом возрасте, внутри нее возникают соответствующие психологические новообразования, она определяет в данном возрасте характер других видов деятельности (игровой, трудовой и т. д.). В подростковом возрасте ведущей становится общественно полезная деятельность в совокупности основных ее форм (художественной, спортивной, учебной, трудовой)» ([99], с. 13). Учебная деятельность уже не является ведущей, как в младшем возрасте. При разработке методов учебно-воспитательной работы в школе важно учитывать перечисленные выше основные психологические закономерности учебной деятельности.
Обычно, в методико-педагогической литературе, а иногда и в психологической под учебной деятельностью понимается любая деятельность учащихся в процессе обучения, и поэтому учение отождествляют с учебной деятельностью, рассматривая их как синонимы.
В психологии, начиная с 60-х годов, сложилось другое понимание учебной деятельности. Ее стали рассматривать как особую деятельность, которую надо сформировать у каждого школьника и которая рассматривается как деятельность ученика, сознательно направляемая им на осуществление целей обучения и воспитания, принимаемых учеником в качестве своих личных целей ([103]).
Такое понимание учебной деятельности было впервые введено в психологию Д. Б. Элькониным. В дальнейшем разработка теории такой учебной деятельности велась под руководством В. В. Давыдова и Д. Б. Эльконина. Чтобы отличить такое понимание учебной деятельности от обычного, ее принято именовать в психолого-педагогической литературе целенаправленной учебной деятельностью (ЦУД).
Рассмотрим каждый компонент учебной деятельности и выявим существенные связи между ними.
Первой особенностью целенаправленной учебной деятельности является то что она направлена не на получение каких-либо материальных или иных результатов, а на изменение самого ученика, на овладение им определенными действиями, умениями, на усвоение каких-то знаний, на выработку у себя каких-то психических качеств.
Использование провоцирующих задач для предупреждения ошибок учащихся на уроках геометрии
Наряду с изучением теории в школьном математическом образовании имеет место решение задач и упражнений. «Решение задач имеет целью не только показать учащимся приложение изученной теории в производстве и практике, но и глубже осознать изученную теорию, способствует развитию мышления» ([93], с. 63).
В учебной деятельности школьников на уроках математики большое значение придается решению задач. Деятельность по решению задач подробно исследовали Г. А. Балл ([5]), Ю. М. Колягшг(([45]), ([46])) , А. А. Столяр ([92]), Л. М. Фридман (([100]), ([101])) и др.
Сопоставляя содержание понятия задачи с содержанием понятия упражнения, мы соглашаемся с мнением Г. И. Саранцева о том, что первое шире второго ([86]).
В нашей работе, при использовании словосочетания «провоцирующая задача», содержание понятия задача мы будем понимать шире, чем содержание понятия упражнение. Ю. М. Колягин ([45]) предлагает понимать под задачей особое состояние системы «человек - задачная ситуация», где вторым компонентом системы является множество взаимосвязанных через некоторые свойства и отношения элементов.
«Задача может быть сложной или простой; в первом случае найти ее решение трудно, во втором — легко. Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи» ([75], с. 143). В работе М.И. Зайкина, В.А. Колосовой предлагается «к задачам провоцирующего характера относить все такие задачи, условия которых содержат упоминания, указания, намеки или другие побудители, подталкивающие учащихся к выбору ошибочного пути решения или неверного ответа» ([35], с. 32).
Провоцирующие задачи служат действенным средством предупреждения различного рода заблуждений или ошибок школьников. По мнению авторов, результат достигается за счет того, что «попадая в заранее подготовленную ловушку, ученик испытывает смущение, досаду, сожаление от того, что не придал особого значения тем особенностям условия, из-за которых он угодил в неловкое положение. Совершая ошибку на глазах учителя или учащихся и осознавая провоцирующий характер учебной ситуации, ученик испытывает сильнейшее впечатление, надолго запоминает ошибочные действия и в дальнейшем на подсознательном уровне остерегается их ([35]).
М. И. Зайкин, В. А. Колосова выделяют разновидности задач провоцирующего характера. В работах (([35]),.([44])) рассматривается большое количество задач каждого вида. В нашей работе мы приведем несколько примеров. Пример. Назовите самое большое число. Ответ. 31-е число месяца.
Анализ литературы показал, что ряд авторов, так или иначе, обращались к проблеме использования провоцирующих задач на уроках математики.
И. С. Григорьева предлагает еще один, шестой вид провоцирующих задач с условным названием «Верно ли, что ...?». Автор разъясняет данный вид задач: «Он состоит в том, что ученикам предлагается рассуждение с замаскированной ошибкой, из которого следует абсурдный или явно неверный вывод» ([18], с. 72).
И. С. Григорьева отмечает, что провокацию можно ввести, если на каждом этапе рассуждения спрашивать, верное ли оно. Обычно ученики отвечают «Да», не замечая подвоха, и тем самым принимают чужую ошибку на себя». Классические примеры таких задач: «доказательство» того, что 2=3 с использованием неправильного извлечения корня; превращение прямоугольника 7 х 9 с площадью 63 разрезанием в квадрат 8x8 (суть ошибки в том, что на эскизном чертеже не видно узкую щель между фигурами площадью как раз 1).
В работе авторов Я. И. Груденова, А. М. Середа, В. И. Середа ([20]) рассматривается использование провоцирующих задач с точки зрения психоло 63 гии. Авторы отмечают, что систематическое использование провоцирующих упражнений повышает внимание, точность рассуждений, развивает самоконтроль.
Для того чтобы избежать негативных явлений, приводящих к появлению ошибок, учитель должен опираться на следующие психолого-дидактические закономерности ([115]).
Свертывание рассуждений — естественный процесс. Однако не у всех учащихся обратный процесс — развертывание — происходит без потерь каких-либо существенных элементов рассуждения. Поэтому в интересах лучшего усвоения материала желательно в некоторых случаях замедлить процесс свертывания, добиваясь того, чтобы при выполнении упражнений учащиеся как можно чаще обращались к непосредственному использованию изученных определений и теорем.
Методика работы с провоцирующими задачами в теме «Площади многоугольных фигур» в 8 классе
При выполнении таких заданий от ученика требуется выбрать из нескольких предложенных возможных ответов один, иногда несколько правильных. При этом возникает возможность угадывания. Однако такая вероятность для одного задания с двумя — четырьмя ответами колеблется от 0,5 до 0,25. Поэтому ожидать положительной оценки от школьника, не знающего соответствующий программный материал, не приходится ([48], с. 41).
Задачи, содержащие неоднозначное решение. Рассмотренные нами учебные пособия содержат задачи, которые близки к задачам данного вида, но в каждом пособии в формулировке задачи содержится вопрос: Сколько решений имеет задача? Если убрать этот вопрос из условия задачи и предложить ее учащимся в определенное время изучения темы, то она может стать провоцирующей.
Задачи на выбор ответа по предложенному чертежу. Источником задач данного вида может быть не только литература, но составление аналогичных задач по теме. Рассмотрим источники и примеры задач, из которых можно составить провоцирующие задачи.
Таким образом, нами перечислены источники и способы составления провоцирующих задач, направленных на предупреждение ошибок учащихся при обучении геометрии в 7-9 классах и развитие самоконтроля.
Заметим, что именно в этом школьном возрасте происходит усиленное умственное развитие учащихся, рост сознательного интереса к учебе, что становится одним из действенных мотивов их учебной деятельности. Вместе с тем, учащиеся в этом возрасте не склонны к самоконтролю, они стремятся выполнять все как можно быстрее, не оценивая качество результата.
Кроме того, учащиеся привыкают к контролю учителя, который к 7-9 классам становится неотъемлемой частью процесса обучения. Но самоконтроль не менее важен в обучении учащихся. Подчеркивая это Н. Ф. Талызина ([96], с. 11-16) считает необходимым пооперационный самоконтроль выполняемых действий, который дает возможность точно фиксировать допущенные ошибки и тут же исправлять их. Если следить, отмечает она, лишь за конечным результатом, то невозможно корректировать действия во время процесса усвоения.
Выводы к Главе 1. В методической литературе по математике рассмотрены различные типологии математических ошибок школьников. В качестве оснований используются различные принципы: предметный, потемный, при 105 чинный, деятельностный и другие. Методический анализ ошибок предполагает демонстрацию ошибки, выявление ее математической сущности и указание возможных причин появления этой ошибки, среди которых возможны:
Одним из компонентов методической работы с математическими ошибками школьников является предупреждение ошибок. Использование провоцирующих задач может стать одним из средств предупреждения ошибок на уроках математики.
Единообразие задач на предупреждение математических ошибок школьников, свойственные большинству современных учебников по геометрии для 7-9 классов, можно преодолеть посредством описания задач, которые содержат провокацию на основе выделенного набора ошибок. Практическая реализация методики использования провоцирующих задач на уроках геометрии в 7-9 классах связана с включением задач, содержащих провокацию, с целью предупреждения ошибок учащихся.
Среди всего многообразия аспектов совершенствования методической работы с ошибками учащихся мы остановились на одном из направлений, а именно на предупреждении ошибок с помощью провоцирующих задач.
В Главе 1 мы говорили о том, что задачи, содержащие провокацию, могут быть использованы учителем при обучении решению геометрических задач. Мы отмечали, что провоцирующие задачи позволяют выявить, насколько осознанно учащиеся выполняют различные действия при решении геометрических задач.
Кроме того, ошибки учащихся, которые учитель выявляет на уроках геометрии, а также их анализ, могут служить источником для составления провоцирующих задач. Учитель может использовать задачи, содержащие провокацию, как средство предупреждения ошибок учащихся при изучении понятий и их определений, теорем и их доказательств, при решении задач.
Учитывая все вышесказанное, сформулируем основные положения методики применения провоцирующих задач на уроках геометрии в 7-9 классах.
Использование провоцирующих задач при изучении геометрии направлено на осознание учащимися теории и на овладение этапами решения геометри ческих задач.
Провоцирующие задачи предъявляются учащимся до самостоятельного выполнения ими соответствующих действий, связанных с усвоением содер жания темы.
Виды провоцирующих задач, отобранных для использования при изучении темы, определяются, исходя из содержания темы и типичных ошибок учащихся.
Типичные ошибки учащихся и причины их появления при обучении геометрии рассмотрены в Главе 1 п. 1.1, 1.2. Это ошибки связанные с изучением теории (понятий и их определений, теорем и их доказательств) и с обучением решению геометрических задач (на каждом этапе их решения). Виды и источники провоцирующих задач представлены в Главе 1 п. 1.3.
Рассмотрим реализацию методики использования провоцирующих задач и ее основных положений на примере темы «Площади многоугольных фигур» курса геометрии 7-9 классов. Обоснуем выбор темы.
В программе для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев ([76]) отмечается, что основное внимание при изучении темы «Площади многоугольных фигур» уделяется решению задач, в ходе которых отрабатываются практические умения применять свойства и признаки трапеции, параллелограмма и его частных видов, необходимые для распознавания конкретных видов четырехугольников и вычисления их элементов.
Методика использования провоцирующих задач на уроках геометрии при изучении темы «Площади многоугольных фигур» позволит учителю отрабатывать перечисленные выше умения, а также формировать у учащихся понятие площади многоугольника, развивать умение вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы.
Основные этапы и результаты экспериментального исследования
Учитель. - Что можно сказать о существовании ромба, заданного в условии задачи? Ученик. - Такого ромба не существует. На этом заканчивается этап составление плана решения задачи с использованием провокации (противоречие в условии). Вид 6. К задаче предлагается чертеж, который подсказывает неверное решение.
К данному виду провокации относятся задачи с выполненными по условию чертежами, когда в распоряжении учащихся при решении задачи есть 137 только данные, приведенные на рисунке. Провокация в таких задачах заключается в том, что чертеж подсказывает неверное решение. Приемы работы с провоцирующими задачами 6 вида.
Когда учитель разбирает такую задачу на доске, то он вместе с учащимися анализирует чертеж, вносит дополнительные построения в предложенный чертеж так, чтобы решение задачи стало наглядным.
После этого на доске осуществляется план решения задачи либо учителем, либо учащимся.
Организация учителем деятельности учащихся при решении задач 6 ви Учитель вызывает к доске ученика решать задачу, к которой предложен чертеж, подсказывающий неверное решение: 1) ученик видит провокацию на чертеже и рассказывает верное решение задачи. 2) ученик не видит провокацию на чертеже и либо не может решить задачу, либо решает ее неверно. Учитель дает ему возможность записать решение на доске и обращается к классу с целью выявить тех учащихся, которые увидели провокацию на чертеже и решили задачу верно. Если такие учащиеся есть, то они выходят к доске и рассказывают свое решение задачи. Если таких учащихся нет, то учитель задает наводящие вопросы ученику, который решает задачу у доски, помогая ему выявить провокацию на чертеже и правильно решить задачу.
Ошибки учащихся, которые можно предупреждать с помощью задач вила 6. 1) ошибки, связанные с усвоением понятия и его определения, 2) ошибки, связанные с построением учащимися нецелесообразных (с точки зрения решения задачи) чертежей.
Умение учащихся, которое формируется при решении задач вида 6: умение анализировать предложенный для решения задачи чертеж. Примеры задач вида 6 и методика работы с ними.
Тема «Площадь многоугольных фигур» начинается с параграфа «Площадь многоугольника». Назначение параграфа — формировать представление об измерении площадей многоугольников, рассмотреть основные свойства площадей. Рассмотрим примеры использования провоцирующих задач в системе задач на усвоение понятия «площадь многоугольника» и его определения.
Приведем примеры провоцирующих задач на актуализацию знаний и умений, необходимых при формировании данного понятия.
Перед тем как непосредственно приступать к изучению нового материала, учащимся необходимо вспомнить понятие многоугольника как части плоскости, понятие равенства фигур, виды многоугольников.
Задача 23 позволяет выявить ошибки, связанные с распознаванием изученных видов многоугольников. Например, когда ученик, твердо зная определение и умея повторить чертеж учебника, затрудняется при распознавании фигуры не в стандартной ситуации.
Для выявления рассмотренных пробелов в знаниях учащихся им предлагается следующая провоцирующая задача.
Задача 23. Постройте равносторонний треугольник. Через точку во внутренней области равностороннего треугольника проведите две прямые, параллельные двум сторонам треугольника. Какие виды многоугольников получились на чертеже? Определите количество многоугольников каждого вида (вид провокации: использование чертежа, в котором фигуры заданы не в стандартной ситуации).
Функция этой задачи заключается в актуализации знаний в начале изучения темы «Площади многоугольных фигур». Причина использования учителем такой задачи состоит в проверке знания учащимися определений четырехугольников, которые изучались в предыдущей теме.
Рассмотрим пример работы над задачей, содержащей провокацию (использование предложенного чертежа) на этапе составления плана решения задачи направленной на предупреждение рассмотренных выше ошибок учащихся.
В геометрических задачах очень важную роль играет чертеж. «Удачно и верно построенный, он помогает установить связи между отдельными элементами и найти идею решения. А неудачный чертеж может направить мысль по ложному пути» ([110], с. 37).
С помощью провоцирующих задач, содержащих предложенный «неудачный чертеж», можно ликвидировать пробелы в знаниях учащихся, показать им особые методы решения задач, дать опыт построения целесообразных чертежей. Рассмотрим пример такой задачи.
