Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ИХ РОЛЬ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 16
1. Рассуждения и доказательства в математике как элемент общего образования 16
2. Существующий опыт обучения проведению доказательств в курсе геометрии средней школы и пути его совершенствования 48
Выводы по главе 75
ГЛАВА 2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВАМ ПРИ ИЗУЧЕНИИ КУРСА ГЕОМЕТРИИ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ 76
1. Методика изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм» 76
2. Методика решения задач повышенной сложности по теме «Параллелограмм» 105
3. Организация и проведение педагогического эксперимента и анализ его результатов 131
Выводы по главе 146
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 147
БИБЛИОГРАФИЯ 149
ПРИЛОЖЕНИЕ 1 166
ПРИЛОЖЕНИЕ 2 180
- Рассуждения и доказательства в математике как элемент общего образования
- Существующий опыт обучения проведению доказательств в курсе геометрии средней школы и пути его совершенствования
- Методика изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм»
Введение к работе
Современный этап исторического развития России способствует проведению реформирования и модернизации системы образования. На каждом этапе развития перед обществом возникают новые задачи, которые требуют переосмысления имеющихся у человечества теоретических знаний и практических умений.
Приоритетным направлением в современном образовательном процессе называют гуманизацию и гуманитаризацию. Новые целевые установки в системе образования предполагают направленность обучения на развитие личности, в частности на формирование логического мышления, чему способствует обучение доказательству.
Формирование и использование умений рассуждать, проводить доказательства, аргументировать высказывания проводится во всех учебных предметах. Однако бесспорно, что развитию способностей школьников анализировать данные, принимать решения и обосновывать свой выбор в наибольшей мере способствует изучение математики.
Основную нагрузку по формированию у учащихся умения доказывать несёт курс геометрии. Д. Пойа указывал на важную роль, которую играют доказательства при построении геометрической системы: «Геометрическая система цементирована доказательствами. Каждая теорема связана с предшествующими аксиомами, определениями и теоремами каким-нибудь доказательством. Без понимания таких доказательств нельзя понять самую сущность системы» [150, с. 85-91]. Исторически сложилось так, что геометрия как учебный предмет имеет большое значение для изучения окружающего мира и создаёт благоприятные условия для приобщения учащихся к творческой исследовательской деятельности. Изучение геометрии способствует развитию умения доказывать, т.е. умения логически мыслить и рассуждать. Развитие логического мышления происходит в ходе изучения приводимых в учебниках и учителем доказательств теорем, при решении задач.
А.В. Погорелов цель преподавания геометрии в школе выразил так: «Главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из окончивших школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдётся хотя бы один, которому не придётся рассуждать, анализировать, доказывать» [149, с. 261].
Методы рассуждения и доказательства, обоснование собственного мнения и психическая деятельность, связанная с поиском доказательства, сходны и в жизненных, и в производственных, и в школьных задачах. Поэтому ознакомление учащихся с методами и приёмами рассуждения и доказательства является средством улучшения учебных навыков учащихся, их воспитания и подготовки к будущей производственной деятельности.
Обучение учащихся проведению доказательства - проблема сложная и многоаспектная. Она занимала и занимает в психолого-педагогической науке и в теории обучения математики одно из ведущих мест. Вопросам понимания сущности доказательства, поиска доказательства, обучения проведению доказательства посвящено огромное количество исследований.
Дадим краткий анализ этой литературы.
Вопрос о сущности математического доказательства изучается в работах И.И. Баврина, В.Г. Болтянского, Ф.Н. Гоноболина, И.С. Градштейна, В.А. Далингера, Я.С. Дубнова, И.В. Игошина, С.К. Клини, Ю.М. Колягина, Л.И.Креера, И. Лакатоса, В.Л. Матросова, Ю.А.Моторинского, А.Х. Назиева, В.А. Оганесяна, Ф.Ф. Притуло, А.П. Савина, З.И. Слепкань, А.А. Столяра, А.И.Фетисова, Г. Фройденталя и др.
А.А. Столяр считает, что в строгом смысле о доказательстве можно говорить лишь в рамках какой-нибудь формальной аксиоматической системы. По его мнению, любое доказательство представляет собой конечную последовательность предложений математической теории.
Ф.Ф. Притуло рассматривает доказательство как мыслительный процесс обоснования какого-либо суждения с помощью ранее известных истинных суждений.
Вопрос о сущности доказательств раскрыт в первом параграфе первой главы.
Существует очень большое количество работ, связанных с осуществлением обучения школьников поиску и проведению доказательств при изучении геометрии.
Этими проблемами занимались Г. Абдуллаев, Э.И. Айвазян, А.К.Артёмов, Ж.Д. Ахмедов, В.А. Г.Д. Балк, М.Б. Балк, В.Г. Болтянский, В.М.Брадис, Г.Р. Бреслер, М.И. Бурда, Г.А. Буткин, М.Б. Волович, И.Г.Габович, А.Д. Гибш, В.Е. Гмурман, Я.И. Груденов, В.А. Гусев, В.А. Далингер, Е.Ф.Данилова, В.П. Демидов, К.К. Джумаев, М.Е. Драбкина, Я.С. Дубнов, О.Н.Журавлёва, Д. Икрамов, Ю.М. Колягин, Н.К. Комлева, В.И. Крупич, А.Купиллари, И.Я. Лернер, И.М. Лысова, СЕ. Ляпин, Е.И. Лященко, П.СМарголите, В.Н. Медведская, Н.В. Метельский, А.И. Мостовой, Г.Л.Муравьёва, Ф.Ф. Нагибин, X. Насибуллов, П.А. Немытов, И.Л. Никольская, В.А. Оганесян, O.K. Огурцова, М.И. Орленко, О.И. Плакатина, Д. Пойа, Н.Н.Пономарёва, Ф.Ф. Притуло, A.M. Пышкало, Т.Б. Раджабов, Ю.Й. Ревуцкас, В.В. Репьев, Ю.А. Розка, П.И. Самсонов, Г.И. Саранцев, Е.Е. Семёнов, А.Д.Семушин, З.И. Слепкань, СИ. Смирнова, В.Г. Соболева, А. Сонцов, А.А.Столяр, Т.В. Столярова, М.Е. Тимощук, Е.Н. Турецкий, В.М. Туркина, А.И.Фетисов, Д.М. Фрейверт, Л.М. Фридман, И. Хан, Р. Хашимов, З.П.Чиркина, П.М. Эрдниев и др.
Среди всех этих работ можно выделить несколько направлений исследований.
Проблеме подготовки учащихся к проведению математических доказательств посвящены исследования Ж.Д. Ахмедова, Г.Р. Бреслера, В.А.Далингера, Т.А. Кондрашенковой, В.И. Медведской, СИ. Смирновой и ДР-).
В исследованиях Ж.Д. Ахмедова, Г.Р. Бреслера и др. сквозным понятием является понятие о дедуктивном умозаключении. В этих работах выделен состав логических правил, обеспечивающих изучение доказательств в курсе математики 6 — 8 классов, предложена методика постепенного подведения учащихся к их осознанию; предложена методика обучения учащихся применению этих правил в доказательствах.
В.Н. Медведская рекомендует на подготовительном этапе обучения учащихся проведению доказательства активнее использовать средства наглядности. В.Н. Медведская считает, что лучший способ раннего введения доказательств - через игру, в ходе которой у детей формируется готовность к мыслительной работе по убеждению другого человека.
СИ. Смирнова предлагает на уроках математики в 5 - 6 классах осуществлять систематическое и целенаправленное обучение доказательствам посредством построения локальных теорий и последующим их применением при решении математических задач.
Во второй группе работ затрагивается проблема усвоения учащимися готовых доказательств (Э.И. Айвазян, В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, Я.И.Груденов, В.А. Далингер, В.П. Демидов, О.Н. Журавлёва, Ю.М. Колягин, Н.В. Метельский, А.И. Мостовой, Ф.Ф. Нагибин, В.А. Оганесян, М.И. Орленко, Ф.Ф. Притул о, A.M. Пышкало, Ю.И. Ревуцкас, В.В. Репьев, П.И. Самсонов, Г.И. Саранцев, А.Д. Семушин, З.И. Слепкань, А.А. Столяр, Т.В. Столярова, М.Е. Тимощук, А.И. Фетисов, Л.М. Фридман, П.М. Эрдниев и др.).
По мнению З.И. Слепкань, готовые доказательства занимают в процессе обучения математике значительное место, и надлежащая постановка обучения готовым доказательствам способствует формированию у школьников необходимых компонентов самостоятельного поиска доказательств. Для того, чтобы учащиеся лучше осознали и запомнили структуру доказательства, З.И.Слепкань предлагает записывать в тетради краткое изложение доказательства в символической форме.
Для усвоения содержания теоремы Г.И. Саранцев предлагает использовать цепочки взаимосвязанных упражнений на выделение условия и заключения теоремы, на вычленение на чертежах и моделях таких фигур, которые удовлетворяли бы условию теоремы, на выполнение чертежа, моделирующего условие и заключение теоремы.
Т.В. Столярова рекомендует в процессе обучения школьников доказательству теорем кроме традиционных методов обучения и контроля использовать «специальные дидактические тесты, позволяющие проанализировать формулировку теоремы, выдвинуть идею и сконструировать доказательство теоремы, применить её в стандартных и нестандартных ситуациях» [179, с. 3]. В своём диссертационном исследовании Т.В. Столярова показала, что тесты можно использовать на всех этапах изучения теоремы. При этом тесты не только помогают формировать определённые знания и умения, но и позволяют определить уровень усвоения школьниками учебной программы.
Ю.И. Ревуцкас раскрывает содержание обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса; предлагает систему упражнений как средство обучения доказательству теорем в курсе геометрии 6 класса.
Я.И. Груденов, Д.М. Фрейверт и др. рекомендуют изучать доказательства теорем с помощью составления плана.
Третье направление исследований посвящено проблеме обучения учащихся поиску доказательств и самостоятельному осуществлению доказательств при изучении геометрии.
Много в этом направлении сделано Д. Пойа. Он разработал общую методику решения математических задач, в частности задач на доказательство, методику использования методов научного познания в решении задач. Д. Пойа считал, что у учащихся необходимо развивать не только логические рассуждения, но и навыки эвристического мышления.
Вопрос формирования эвристических приёмов, использования эвристик в процессе обучения учащихся поиску доказательств изучали А.К. Артёмов, Г.Д.Балк, А. Сонцов, Л.М. Фридман и др.
И.Г. Габович, В.А. Гусев, Г.Л. Муравьёва, Е.Н. Турецкий, Л.М. Фридман, И. Хан и др. разрабатывают наиболее общий подход - сведение задачи к подзадачам. Сами подзадачи в этом случае называются базисными или опорными. Эти подзадачи могут являться составной частью решаемой сложной задачи и входить в её решение в качестве готовых блоков.
Ряд исследований посвящен обучению поиску решения геометрических задач через специальную реорганизацию теоретического материала путем выделения операционной основы теоретических знаний (Н.Н. Пономарева), составления эвристических инструкций и картотек понятий, облегчающих выбор при решении задач необходимых теоретических фактов (В.М. Туркина), выделения ориентировочной основы поиска решения задач (Г. Абдуллаев, М.И.Бурда, Ю.А. Розка).
Вопросы использования приёмов мыслительной деятельности при проведении доказательств при изучении геометрии затрагиваются в исследованиях А.К. Артёмова, Г.Х. Воистиновой, В.А. Гусева, В.И. Крупича, Е.В. Ларькиной, В.И. Осинской, Н.Н. Поспелова, И.Н. Поспелова, Е.В. Силаева, В.И. Тамоченко, Н.С. Тюиной, Фрундина, И. Хана и др.
А.К. Артёмов отмечал важность механизма мышления, который принято называть анализ через синтез, и предпринимал попытки его формирования у младших школьников.
Н.С. Тюина выявила состав приёма мыслительной деятельности анализ через синтез. Он состоит из пяти взаимосвязанных, взаимозависимых блоков действий и операций: 1) включение объекта в новые связи и отношения; 2)фиксация новых свойств и качеств объекта; 3) «исчерпание» из объекта новых свойств и качеств имплицитно (неявно) заданных; 4) разноаспектное изучение объекта; 5) альтернативность мышления. Н.С. Тюина выделила центральный блок: разноплановое, разноаспектное рассмотрение математических объектов. Она экспериментально доказала, что формирование умения использовать анализ через синтез как средство учения осуществляется через выполнение специально подобранных упражнений.
Г.Х. Воистинова исследовала возможности использования задач на построение в качестве средства формирования приемов мышления учащихся. Ею выделены основные пути и методы обучения приемам мыслительной деятельности при решении задач на построение. Г.Х. Воистинова разработала методику обучения решению задач на построение, обеспечивающей эффективное формирование основных приемов мыслительной деятельности учащихся в массовой школе и в классах с углубленным изучением математики.
Результаты названных исследований имеют большое значение для совершенствования методики обучения учащихся проведению доказательств. Однако практика свидетельствует о низком уровне умения школьников доказывать, показывает наличие формализма в их знаниях. В современных учебниках геометрии работа по обучению учащихся проводить доказательства проводится недостаточно хорошо: там не обучают школьников правилам и приемам рассуждения, а увлекаются, как указал в М. Клякля, "готовой математикой": «Такую математику можно найти в любой научной диссертации по математике, где дана система определений, теорем и их доказательства, примеры и контрпримеры, а все это дается согласно логически обоснованной очереди. Читая такие исследования, мы часто увлекаемся красотой, сжатостью, логической конструкцией такого "готового здания математических знаний". Иногда, к сожалению, именно только такие знания, такая "готовая математика" преподается в школе для заучивания наизусть. Неудивительно, что многие учащиеся не в состоянии понять ни того, как можно все это предвидеть и составить так, чтобы одно следовало за другим, что то или иное вытекает из другого, что то или иное надо заранее таким образом определить или подготовить; они впадают часто в комплексы неполноценности, говоря себе, что я никогда не в состоянии придумать такое умное изложение, я — плохой ученик» [93, с. 34].
Ещё Г. Фройденталь отмечал: «Математические работы пишутся для специалистов, знающих все тонкости, привыкших прочитывать в готовых трудах между строк, как они были созданы. Авторы, украшающие таким стилем школьные учебники, забывают, что пишут не для математиков, что школьники понятия не имеют, как браться за подобный текст» [196, с. 78].
Наша задача - уйти от командного стиля при изучении доказательств и постараться преодолеть причины неумения доказывать, среди которых можно назвать:
Отсутствие сложившейся системы обучения учащихся доказательству как логической категории. Учителя не уделяют достаточного внимания учащихся на логическую структуру доказательства, на высказывания, используемые при доказательстве теорем, на средства вывода и т.п.
Основное внимание при изучении теорем обращается на доказательство истинности высказывания, сформулированного в теореме, а не на формирование понятия о доказательстве.
Не проводится целенаправленной систематической работы по формированию у учащихся умений и навыков самостоятельно доказывать теоремы.
Противоречие между потребностью в научно обоснованной методике обучения проведению доказательств и реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования.
Проблема диссертационного исследования заключается в уточнении теоретических основ понятия доказательства геометрических утверждений, а также в разработке методики обучения проведения доказательств геометрических утверждений в курсе геометрии основной школы.
Цель исследования состоит в разработке методики обучения учащихся проведению доказательств на уроках геометрии в основной школе с учетом психолого-педагогических особенностей и способностей школьников на базе использования и формирования приемов мыслительной деятельности Объектом исследования является процесс обучения учащихся геометрии в основной школе (на примере изучения темы «Параллелограмм»).
Предметом исследования является процесс обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений и систематизация задач в курсе планиметрии основной школы (на примере изучения темы «Параллелограмм»).
В ходе исследования была выдвинута следующая гипотеза. Предполагается, что целенаправленное обучение учащихся 7-9 классов проведению геометрических доказательств с опорой на аналитико— синтетическую деятельность позволит повысить результативность обучения доказательствам в курсе геометрии основной школы, а предложенная на этой основе система геометрических задач будет способствовать успешному изучению геометрии в основной школе.
Проблема, предмет и гипотеза исследования определили следующие задачи:
Проанализировать существующие взгляды в теории методики преподавания математики на процесс доказательства математических утверждений.
На основании анализа психолого-педагогической и методической литературы изучить вопрос использования приемов мыслительной деятельности при обучении учащихся проведению доказательств математических утверждений.
Выявить возможности эффективной организации процесса обучения учащихся проведению доказательств в курсе геометрии основной школы.
Разработать методику целенаправленного обучения проведению доказательств на примере изучения темы «Параллелограмм», обеспечивающую формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности.
Составить систему задач, обеспечивающую реализацию разработанной нами методики обучения учащихся проведению доказательств, при изучении темы «Параллелограмм».
Экспериментально проверить эффективность и целесообразность разработанной методики обучения учащихся проведению доказательств.
При решении поставленных задач использовались следующие методы исследования;
изучение и анализ психолого-педагогической, методической и математической литературы по проблеме исследования;
изучение и обобщение опыта обучения школьников проведению доказательств математических утверждений;
анализ школьных программ, учебных пособий и сборников задач по геометрии;
посещение и анализ уроков в школе, наблюдение за учебным процессом и деятельностью учащихся;
изучение и анализ письменных работ учащихся по геометрии;
беседы и анкетирование школьников и учителей;
анализ личного опыта работы соискателя в школе и работы других учителей;
педагогический эксперимент по проверке основных теоретических положений исследования;
количественная, качественная и статистическая обработка данных, полученных в результате эксперимента.
Научная новизна проведенного исследования состоит в следующем.
1. На основе анализа сущности процесса доказательств математических утверждений, накопленного методического опыта разработана методика обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений в курсе геометрии основной школы, включающая в себя следующие основные положения:
необходимость чёткой формулировки посылок и заключения математических утверждений, без вьывления которых невозможен процесс доказательства;
выделение каждого шага доказательства и их мотивирование, явное выявление общей стратегии проведения доказательств;
аргументация каждого шага проведённого доказательства в виде ссылок на соответствующие определения, аксиомы, теоремы, ранее решенные задачи;
- чертежи, используемые при доказательстве, должны приводиться в соответствии с выполняемыми шагами доказательства; не следует все построения выполнять на одном чертеже.
2. Предлагаемая методика базируется на использовании приёмов мыслительной деятельности синтез, анализ, синтез через анализ, анализ через синтез, что позволяет учитывать индивидуальные особенности и способности учащихся.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что уточнена теоретическая база обучения проведению доказательств в курсе геометрии основной школы, разработана методика обучения проведению доказательств при изучении геометрии в основной школе, основанная на использовании приёмов мыслительной деятельности учащихся, определено содержание системы задач по теме «Параллелограмм».
Практическая значимость исследования заключается в следующем:
разработана и внедрена методика обучения проведению доказательств, обеспечивающая формирование и использование основных приемов мыслительной деятельности учащихся;
разработана и внедрена система задач по теме «Параллелограмм», способствующая формированию у учащихся основных приемов мыслительной деятельности, обеспечивающая овладение всеми учащимися необходимыми умениями для проведения доказательств в геометрии;
разработаны практические рекомендации для учителей по организации работы по обучению учащихся проведению доказательств и решению задач на доказательство.
Обоснованность и достоверность проводимого исследования, его результатов и выводов обеспечиваются:
- системным и целостным подходом к исследуемой проблеме;
использованием научных достижений в области психологии, педагогики, методики преподавания математики;
широким набором различных методов исследования, соответствующих поставленным задачам;
результатами опытно-экспериментальной работы;
обсуждением и использованием полученных результатов и выводов с методистами и учителями математики.
На защиту выносятся следующие положения:
Разработанная теоретическая база процесса обучения проведению доказательств, включающая в себя умозаключение, рассуждение, вывод, доказательство, способствует эффективной организации обучения учащихся проведению доказательств при изучении геометрии в основной школе.
Методика обучения учащихся проведению доказательств математических утверждений при изучении геометрии в основной школе способствующая формированию и развитию основных приёмов мыслительной деятельности учащихся.
Система геометрических задач по теме «Параллелограмм», построенная с учётом всех особенностей изучения этой темы и позволяющая реализовать разработанную нами методику проведения доказательств.
Этапы исследования. Исследование проводилось поэтапно с 2000 года по 2004 год.
На первом этапе осуществлялись изучение и анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по теме диссертации, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике, разрабатывались гипотеза, задачи исследования и теоретические основы методики обучения школьников проведению доказательств, проводился констатирующий и поисковый эксперимент.
На втором этапе проводился обучающий эксперимент по проверке эффективности предложенной методики, обобщались и оформлялись результаты, полученные в ходе исследования.
Апробация и внедрение результатов исследования. Основные положения и результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на заседаниях кафедры алгебры и геометрии КГПИ, на научно-методическом семинаре при этой кафедре, на научных конференциях студентов и аспирантов КГПИ; на педагогических чтениях КГПИ, на заседаниях городских методических объединений учителей математики г. Коломны, на региональной конференции «История и перспективы развития образования Московской области» (Коломна, 2002), на Всероссийской научной конференции «Геометрия «в целом». Преподавание геометрии в вузе и школе» (Великий Новгород, 2004). Результаты исследования отражены в 5 публикациях и нашли применение в практике работы учителей математики школ г. Коломны Московской области.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения поставленных задач. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы, приложений.
Объём диссертации. Общий объём диссертации составляет 196 страниц. Основное содержание изложено на 165 страницах машинописного текста. Библиография составляет 210 наименований.
Рассуждения и доказательства в математике как элемент общего образования
Начнём с рассмотрения исходных, родственных понятий "предложение", "высказывание", "суждение", "утверждение" и определяемых не их основе понятий "аксиома" и "теорема".
В основе человеческого общения лежат грамматические предложения.
СИ. Ожегов описывает предложение как «синтаксически и интонационно оформленную конструкцию, выражающую сообщение» [142, с. 570].
Проще говоря, предложением называется сочетание слов или слово, выражающее законченную мысль. Предложение выполняет познавательную и коммуникативную функцию.
В «Логическом словаре-справочнике» даётся такое описание предложения: «Предложение - грамматически и интонационно оформленная по законам языка минимальная целостная единица человеческой речи (соединение слов или слово), обладающая непосредственной действительностью логического суждения, его звуковой материальной оболочкой» [103, с. 474].
В математике мы изучаем логические предложения. Различие между грамматическим и логическим предложением выражается и в том, что грамматический строй предложений различен в разных национальных языках, а логический строй у всех народов одинаков, общечеловечен.
Логическое предложение о математических объектах, называют математическим предложением.
Каждая математическая теория представляет собой множество предложений, описывающее какую-то структуру (если теория излагается содержательно) или какой-то аксиоматизируемый класс структур (если она излагается абстрактно, т.е. полуформально или формально).
Среди математических предложений выделяют высказывания и суждения.
«Словарь по логике» определяет высказывание как «грамматически правильное повествовательное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом» [85, с. 56].
«Логический словарь-справочник» даёт такую трактовку высказывания: «Высказывание - термин математической логики, которым обозначается предложение какого либо языка (естественного или искусственного), рассматриваемого в связи лишь с теми или иными оценками его истинностного значения (истинно, ложно, вероятно, возможно, необходимо и т.д.)» [103, с. 104].
В.Г. Болтянский и А.П. Савин пишут о высказывании, что это «предложение, о котором можно однозначно установить, истинно оно или ложно» [25, с. 221].
В «Математическом энциклопедическом словаре» высказывание определяется как «предложение естественного или формального языка, для которого имеет смысл говорить о его истинности или ложности. Этим высказывания отличаются, например, от повелительных или вопросительных предложений естественного языка» [124, с. 130].
В «Малой математической энциклопедии» под термином высказывание подразумевается «такое изъявительное предложение, которое является однозначно или правильным, или ложным; итак:
а) оно не может одновременно быть и правильным, и ложным (принцип непротиворечивости);
б) исключено, чтобы оно было и неправильным, и неложным (принцип исключения третьей возможности)» [119, с. 632].
Первое систематическое исследование о высказываниях и операциях над ними было предпринято гениальным древнегреческим учёным Аристотелем, который заложил начала логики. Математическое исследование этих вопросов ведёт своё начало от основополагающего труда Дж. Буля, изданного в Лондоне в 1854 году.
Близко по смыслу, но не тождественно, к понятию "высказывание" понятие "суждение".
СИ. Ожегов в «Толковом словаре русского языка» так пишет о суждениях: «Суждение - форма мышления, представляющая собой сочетание понятий, из которых одно (субъект) определяется и раскрывается через другое (предикат)» [142, с. 767].
«Логический словарь-справочник» объясняет так: «Суждение — форма мысли, в которой утверждается или отрицается что-либо относительно предметов и явлений, их свойств и отношений и которая обладает свойством выражать либо истину, либо ложь» [103, с. 574].
Существующий опыт обучения проведению доказательств в курсе геометрии средней школы и пути его совершенствования
Во введении мы кратко говорили о существующем опыте обучению доказательствам. Теперь мы опишем накопленный опыт в обучении доказательствам подробнее.
Проблема обучения учащихся проведению доказательства математических утверждений является одной из важнейших в курсе методики преподавания математики средней школы.
Доказательство развивает навыки логических рассуждений, приучает учащихся обосновывать свои суждения, дает возможность осознать дедуктивный характер математики. В ходе доказательства теорем развиваются также умения расчленять рассуждения на отдельные логические шаги, получать следствия, анализировать формулировку теоремы, умения, связанные с поиском доказательства, с исследованием математической ситуации.
Доказывая утверждения, учащиеся сознательно и прочно овладевают системой математических знаний, навыков и умений, предусмотренных программой, глубже проникают в смысл получаемых знаний, приобретают опыт применения их и правильного понимания сущности аксиоматического построения современного курса школьной геометрии.
При обучении проведению доказательства выделяют три основных этапа:
1) подготовку к проведению доказательства;
2) изучение готовых доказательств;
3) обучение самостоятельному поиску и проведению доказательства. Рассмотрим пути осуществления этих этапов, которые предлагаются современными методистами.
2.1.1. Рассмотрим группу исследований, посвященных работе по подготовке учащихся к проведению доказательств при изучении геометрии.
Успех в формировании у учащихся умений доказывать во многом зависит от готовности школьников уже в начале изучения курса геометрии к выполнению различных видов деятельности, связанной с проведением доказательных рассуждений. Практика свидетельствует о том, что многие учащиеся недостаточно подготовлены к такой деятельности. Поэтому важным этапом обучения учащихся проведению математических доказательств считается работа по пропедевтике доказательств, которую необходимо проводить не только в средних, но и в начальных классах.
В.А. Далингер выделил ряд основных направлений работы по подготовке учащихся к доказательству: формирование у учащихся умения подмечать закономерности; воспитание у школьников понимания необходимости доказательства; обучение учащихся умению выделять условие и заключение в математических утверждениях; знакомство учащихся с высказываниями; обучение учащихся пользоваться контрпримерами; обучение учащихся умению выполнять геометрические чертежи и читать их; формирование у учащихся умения выводить следствия из заданных условий и т.д.
Безусловно, перечисленные выше цели важны, но достичь их всех сразу трудно, кроме того, при таком подходе происходит смешение подготовительного этапа к доказательству и самого процесса доказательства.
В своём диссертационном исследовании В.Н. Медведская пришла к выводу о необходимости использования в начальном курсе математики специфических "доказательств", в которых строгость дедуктивных рассуждений дидактически правильно сбалансирована с наглядностью. Их она называет предматематическими доказательствами (ПМД). В своём исследовании она разработала методы предматематического доказательства, среди которых: эксперимент, неполный индуктивный вывод, моделирование, вывод по аналогии, вычисление, несложный дедуктивный вывод.
Обучение ПМД В.Н. Медведская предлагает осуществлять поэтапно. На первом этапе учитель даёт образец правильно построенного рассуждения, при анализе которого выделяется основа умственного действия. На втором этапе этой основе придаётся соответствующая форма (словесная или наглядно-образная). На третьем этапе ведётся обучение школьников построению рассуждений по опорной схеме. А на заключительном этапе доказательства строятся детьми уже без опоры на схемы.
Ж.Д. Ахмедов считает, что основным средством логической подготовки учащихся к проведению доказательств является использование средств наглядности: заранее подготовленных плакатов, с чётким указанием частей полного умозаключения. Подобные записи создают у учащихся прочный зрительный образ структуры доказательства, что позволяет значительно экономить время на уроке.
И.А. Гибш, А.Д. Семушин, А.И. Фетисов считают необходимым постепенно приучать учащихся выделять условие и заключение математических утверждений, а также посылки, и заключения всех промежуточных умозаключений, которые приходится проводить при доказательстве утверждения или в ходе решения задачи.
Обучение учащихся выделению посылок и заключений должно начинаться с того, что сам учитель, излагая решение новой задачи или доказательство теоремы, должен отчётливо выделить посылки и заключения на каждом этапе решения задачи или доказательства теоремы. Учащимся остаётся лишь запомнить, как в этих конкретных условиях появляются посылки и заключения, и в сходных задачах узнавать подобные типы умозаключений.
Созданию навыков сознательного выделения условия и заключения, по мнению И.А. Гибш и др., помогает изложение учеником текста теоремы или задачи с «закрытым» учебником. При этом учитель должен задавать уточняющие, проверяющие вопросы.
Методика изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм»
Так сложилось наше исследование, что мы начали заниматься проблемой обучения учащихся проведению доказательств при изучении темы «Параллелограмм», которая позволяет достаточно широко исследовать эту проблему.
В приложении к работе мы поместили системы задач по теме «Параллелограмм», имеющиеся в различных учебниках по геометрии. Из этого приложения и комментариев видно, что авторы учебников к составлению системы задач подходят субъективно.
При проведении исследования мы решали четыре взаимосвязанные задачи:
а) Какие разделы должна содержать система задач по данной теме?
б) Как составлять систему задач, чтобы она была реализуема и чтобы она развивала мыслительную деятельность учащихся?
в) Как в процессе решения этой системы задач обучать учащихся эффективному рассуждению и доказательству?
г) Как организовывать индивидуальную работу с учащимися при решении задач повышенной трудности?
1.1. Поскольку изучение любого раздела курса геометрии традиционно начинается с изучения определений и доказательства основных теорем, то рассмотрим сначала методику изучения теоретического материала и решение подготовительных задач по теме «Параллелограмм». Как и в первой главе, мы будем цитировать доказательства, приведённые в различных школьных учебниках, отмечать их достоинства и недостатки и приводить доказательства по разработанной нами методике.
Мы не встретили различий в определении параллелограмма в современных школьных учебниках. Везде «четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом». Лишь в экспериментальном учебном пособии для 6 класса В.Г. Болтянского, М.Б. Воловича, А.Д. Сёмушина дано иное определение параллелограмма: «Параллелограммом называется пересечение двух полос, края одной из которых не параллельны краям другой» [23, с.93].
В подавляющем большинстве учебников не говорится о периметре, диагонали, высоте параллелограмма. Авторы учебников, видимо, считают, что эти понятия должны дать учителя.
В учебнике А.Д. Александрова и др. кроме определения параллелограмма помещено ещё и определение высоты параллелограмма:
«Высотой параллелограмма называют общий перпендикуляр его противоположных сторон (или содержащих их прямых) (рис. 2.1). Высотой называется также длина этого перпендикуляра» [4, с. 102].
Только в некоторых учебниках по геометрии рассматривается вопрос о способах получения и Р задания параллелограмма. Так А.П. Киселёв пишет, что параллелограмм (рис. 2.2) можно получить, если R. /А «какие-нибудь две параллельные прямые KL и MN к пересечём двумя другими параллельными прямыми RS и PQ» [92, с.65].
А.Д. Александров и др. говорят о том, что «параллелограмм можно получить пересечением двух полос» [4, с. 100].
Г.П. Бевз и др. указывают способы задания параллелограмма. Они пишут: «Чтобы задать параллелограмм, достаточно указать длины его соседних сторон и угол между ними или длины соседних сторон и одной диагонали» [46, с. 67].
Вместе с тем, эти вопросы в системах задач не затрагиваются.
Перейдём к рассмотрению вопроса об изучении доказательств основных теорем по теме «Параллелограмм». Прежде всего, перечислим, какие свойства и признаки параллелограмма доказываются в школьных учебниках, и в каком порядке это происходит.
Сразу отметим, что в изучении теоретического материала по теме «Параллелограмм» имеются два основных подхода. Первый подход характеризуется тем, что при доказательстве теорем используются признаки равенства треугольников (А.П. Киселёв, А.В. Погорелов, А.Д. Александров и др., Л.С. Атанасян и др., Г.П. Бевз и др., И.М. Смирнова и В.А. Смирнов, И.Ф. Шарыгин). Второй подход основан на использовании понятия симметрии (В.Г. Болтянский и др., А.Н. Колмогоров и др., Г.Д. Глейзер, В.А. Гусев). Мы будем исследовать первый подход.
Для удобства мы вводим нумерацию свойств и признаков параллелограмма, которую в дальнейшем будем использовать для всех учебников.
В учебнике А.П. Киселёва рассматриваются следующие теоремы.
Свойство 1. «Во всяком параллелограмме противоположные стороны равны, противоположные углы равны» [92, с. 65-66].
Свойство 2. «Во всяком параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 2d» [92, с. 65-66].
Заметим, что в отличие от А.П. Киселёва, Свойство 2 авторы почти всех современных учебников не формулируют.
Далее А.П. Киселёв помещает два признака параллелограмма.
Признак 1. «Если в выпуклом четырехугольнике противоположные стороны равны между собой, то такой четырехугольник есть параллелограмм» [92, с. 66].
Признак 2. «Если в выпуклом четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то такой четырехугольник есть параллелограмм» [92, с. 66].
Только после доказательства этих признаков параллелограмма в учебнике помещено Свойство 3: «Если четырехугольник — параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, делятся пополам» [92, с. 67].
Признак 3 параллелограмма по диагоналям А.П. Киселёвым доказывается как теорема, обратная свойству диагоналей параллелограмма: «Если в четырехугольнике диагонали точкой их пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник — параллелограмм» [92, с. 67].
Последней теоремой в пункте «Параллелограмм» учебника А.П. Киселёва является Свойство 4 - теорема о центре симметрии параллелограмма: «Параллелограмм имеет центр симметрии, причем центром симметрии служит точка пересечения диагоналей» [92, с. 67].
