Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОБУЧЕНИЯ ЭВРИСТИКАМ В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
1. Анализ проблемы исследования в учебно-методической и научной литературе 11
2. Роль эвристик в обучении математике 34
3. Систематизация эвристик 49
3.1. Базовые эвристики 50
3.2. Специальные эвристики 52
3.3. Эвристические приемы 54
3.4. Общие эвристики 56
4. Эвристики в курсе геометрии 64
ГЛАВА П. МЕТОДИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ФОРМИРОВАНИЯ ЭВРИСТИК У УЧАЩИХСЯ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ НА УРОКАХ ГЕОМЕТРИИ
1. Пропедевтический этап обучения эвристикам в 5 - 6 классах 80
2. Методические аспекты обучения эвристикам в 7 - 9 классах 96
2.1. Методика обучения эвристикам в 7 классе 101
2.2. Методика обучения эвристикам в 8 - 9 классах 124
3. Эксперимент 144
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 157
ЛИТЕРАТУРА 159
- Анализ проблемы исследования в учебно-методической и научной литературе
- Пропедевтический этап обучения эвристикам в 5 - 6 классах
- Методика обучения эвристикам в 7 классе
Введение к работе
Социально-экономические изменения в обществе находят свое отражение в сфере образования и предъявляют новые требования к его результатам. В связи с этим особое внимание уделяется становлению и развитию личности. Современный выпускник школы должен уметь целенаправленно организовать свою интеллектуально-практическую деятельность для разрешения проблемной ситуации, что значительно усиливает внимание к проблеме обучения учащихся эвристикам.
Анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы позволяет констатировать, что эвристика является предметом исследования многих научных областей. Для более глубокого проникновения в сложную структурно-функциональную сущность данного понятия, требуется комплексный подход с целью оптимального разрешения и реализации поставленной проблемы на современном этапе развития науки. Вопросам, связанным с изучением эвристик, уделяли внимание психологи (П.Я. Гальперин, Л.Л. Гурова, К. Дункер, И.И. Ильясов, Ю.Н. Кулюткин, A.M. Матюшкин, ЯЛ. Пономарев, В.Н. Пушкин, С.Л. Рубинштейн, В.Ф. Спиридонов, O.K. Тихомиров, А.Ф. Эсаулов и др.), склоняясь к мнению о том, что эвристика представляет науку о закономерностях организации процессов творческого мышления. Не зная особенностей творческого мышления, возникающего в результате эвристической деятельности, нельзя эффективно управлять процессом обучения.
Мысль о важности изучения эвристик высказывали многие педагоги (В.И. Андреев, Г.Э. Армстронг, П.Ф.Каптерев, В. Н.Соколов, А. В. Хуторской и др.), под эвристикой они понимают системные знания о принципах, методах, формах и средствах, обеспечивающих успешные исследования и поиск решения дидактических задач в ситуациях полной неопределенности для учащихся. Педагоги затрагивают широкий и важный спектр проблем, который необходимо учитывать при построении учебного процесса.
Объем понятия эвристики настолько широк, что каждый автор наполняет определение собственным пониманием, которое зависит от того, с позиций какой науки ведется исследование. Ученые раскрывают сущность понятия на частных, конкретных примерах, иллюстрирующих только отдельные аспекты.
Особое внимание исследованию эвристики уделялось в теории и методике обучения математике. Методические основы необходимости построения математического образования с использованием эвристик выявлены в работах многих учёных (В.М. Брадис, В.А. Гусев, Н.А. Извольский, Ю.М. Колягин, Лезан, Д. Пойа, В.В. Репьев, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, СИ. Шохор-Троцкий и др.); вели активные поиски новых видов эвристик (А.К. Артемов, Г.Д. Балк, ЯМ. Груденов, О.Б. Епишева, Е.Е. Семенов и др.), говорили о важности использования эвристик при решении геометрических задач (Г.Р. Бреслер, С.Н. Дорофеев, М.Н. Ерохина, М.И. Зайкин, Л.И. Кузнецова, O.K. Огурцова, И.М. Смирнова). Несмотря на всю ценность исследований по проблеме обучения эвристикам на уроках математики, необходимо отметить, что многие важные вопросы остаются малоразработан-ными. Каковы этапы формирования эвристик и действия, адекватные им? Что значит усвоить эвристику? Как связаны эвристики с учебным материалом? Как самостоятельно выделять эвристики, которые объективно заложены в конкретной теме школьного курса математики? Это объясняет низкий уровень умения школьников использовать эвристики на уроках геометрии, формализм в знаниях и стремление учеников запомнить приведенные рассуждения. Учащиеся затрудняются в осуществлении поиска решения задач, требующих применения эвристик. Все это подтверждает констатирующий эксперимент, наблюдение за ходом уроков геометрии.
В качестве наиболее вероятной причины, вызывающей трудности в обучении эвристикам, следует считать недостаточную разработанность методики обучения эвристикам, которая'не учитывает введение эвристик на уроках геометрии. Необходима систематизация результатов выполненных
5 исследований, оценка рекомендаций. Решение вопроса о включении их в программу по математике для основной школы с указаниями на то, какие эвристики, в каком классе, разделе следует изучать, внесло бы ясность в работу учителей и помогло бы усилить контроль над знаниями учащихся.
К проблеме разделения эвристик можно подходить с разных позиций, учитывая, что процесс решения задачи, доказательства теоремы есть деятельность, обусловленная совокупностью эвристик. Значит, более удобно рассматривать их как отдельные составляющие системы эвристик. Возникает проблема систематизации эвристик, их взаимодействия, без которого отсутствует целостное представление об их роли в процессе обучения решению задач и доказательства теорем. Знание структуры системы эвристик может влиять на успешность обучения математике: позволяет рассматривать процесс решения задач и доказательства теорем с помощью эвристик как определенную деятельность, придает поисковым действиям направленность, осознанность, позволяет получать новые способы разрешения проблем. Это придает учащимся уверенность в своих силах, развивает инициативность, способствует целенаправленному поиску дополнительной информации, позволяет установить общность действий, создает предпосылки к переносу полученных в процессе обучения знаний и навыков в новую сферу деятельности.
Из вышесказанного следует, что состояние теоретической разработанности основ обучения школьников эвристикам таково, что перечисленные механизмы изучаются разрозненно, нет четкого представления о структуре поиска эвристик, поэтому они не нашли должного применения в обучении математике. Кроме того обучение эвристикам и их использование на уроках геометрии оторвано от общего контекста обучения доказательству и поиску решения задачи.
Таким образом, противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике обучения эвристикам и ее реальным состоянием определяет актуальность проблемы исследования, которая заключается в
уточнении, где и когда должны изучаться эвристики, взаимосвязи, в систематизации, в нахождении путей и средств формирования умений самостоятельно находить эвристики, которые объективно заложены в конкретной теме школьного курса геометрии основной школы. Речь должна идти о целенаправленном формировании эвристик в условиях школьных учебников математики, в уточнении школьной программы. Целостный подход к проблеме открывает её новые аспекты, требующие дальнейшего изучения.
Цель исследования состоит в разработке теории и методики обучения эвристикам учащихся основной школы.
Объектом исследования является обучение геометрии в основной школе.
Предмет исследования — цели, содержание, формы, методы и средства обучения эвристикам в курсе геометрии основной школе.
Гипотеза исследования: если раскрыть и обосновать содержание понятия «обучение эвристикам», указать виды эвристик, встречающиеся в курсе геометрии, выявить и соотнести с этапами учебно-поисковой деятельности уровни обучения эвристикам, разработать методику обучения эвристикам и внедрить ее в учебный процесс, то обучение умению использовать эвристики в процессе решения задач будет более эффективным.
В соответствии с выдвинутой целью и гипотезой были поставлены следующие задачи:
Провести анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы с целью определения состояния проблемы обучения эвристикам учащихся основной школы.
Раскрыть цель изучения эвристик, показать роль и функции эвристик при обучении геометрии в основной школе.
Выделить основные виды эвристик, используемых на уроках геометрии при решении задач по классам, объединить их в группы, систематизировать.
Уточнить содержание понятия обучение эвристикам в рамках системного представления его компонентов, определить структуру, состав действий, составляющий эвристики, выделить основные уровни обучения эвристикам, этапы их обучения.
Разработать методику обучения эвристикам на уроках геометрии в основной школе, проверить экспериментально эффективность разработанной методики.
Разработать серию специальных упражнений для формирования эвристик, расширить круг задач с использованием эвристик.
Для решения сформулированных задач были использованы следующие методы исследования: системный анализ; деятельностный подход; изучение и анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы по проблеме исследования, а также изучение результатов диссертационных исследований по данной проблеме; анализ программ, различных школьных учебников и учебных пособий по геометрии; изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики по проблеме исследования; проведение эксперимента по проверке основных положений работы, статистические методы обработки его результатов.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялось изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования и проводился ее анализ с целью выявления предпосылок для разработки теоретических основ методики обучения эвристикам на уроках геометрии в основной школе, изучалось состояние исследуемой проблемы в школьной практике; проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывалась теория и методика обучения эвристикам учащихся основной школы, апробировались возможные варианты ее использования в практике обучения с целью отбора наиболее эффективных методических решений в аспекте проблемы исследования, проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности использования предложенной методики, изучались его результаты, формулировались выводы, полученные в ходе теоретического и экспериментального исследования, оформлялась диссертационная работа.
Научная новизна исследования заключается в том, что впервые раз-работана методика обучения эвристикам, основанная на уровневом подходе. Эта методика отражает поэтапное формирование действий, составляющих основу эвристик, позволяет скорректировать программный материал путем введения эвристик в различные разделы курса геометрии. В рамках разработанной методики охарактеризована подготовка школьников к изучению эвристик.
Теоретическая значимость исследования заключается в: расширении содержания методики обучения геометрии за счет изучения эвристик, выделении их функций, основных видов эвристик, встречающихся в школьном курсе геометрии, объединений их в группы и систематизации, раскрытии содержания понятия обучения эвристикам, выделении совокупности действий, составляющих основу эвристик, разработке методики обучения эвристикам и отработке умений, адекватных уровням формирования.
Практическая значимость результатов исследования состоит в том, что разработанная методика обучения учащихся эвристикам на уроках геометрии в основной школе, может быть использована в практической деятельности учителя математики, а также авторами учебно-методических пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся. Представлены методические указания по формированию у школьников действий, составляющих основу эвристик, на каждом этапе обучения эвристикам.
Методологическими предпосылками исследования послужили: концепция деятельностного подхода к обучению математике, системный анализ, труды психологов, педагогов и методистов по вопросам исследования эвристики, работы по теории и методике изучения теорем, использования задач в обучении математике.
Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов, выводов и рекомендаций обусловлены методологическими основами исследования, опорой на основные теоретические положения в области теории и методики обучения математике, с учетом современных достижений в области педагогики и психологии, комплексом методов педагогического исследования, адекватных его задачам, положительными итогами проведённого эксперимента.
На защиту выносятся следующие положения:
Обучение эвристикам необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников поиску решения задач и доказательства теорем на всех ее этапах. Процесс формирования умений, адекватных применению эвристик, представляет собой иерархию определенных уровней, каждый из которых реализуется через комплекс составляющих его действий.
В содержание понятия обучение эвристикам входит формирование потребности в их использовании, выделение умений, составляющих основу применения эвристик, распознавание их при разборе готовых доказательств, их формирование с помощью упражнений, перенос полученных знаний в новую ситуацию, самостоятельное применение эвристик в процессе решения различного рода задач и в конечном итоге систематизация эвристик.
Характер конструирования системы задач для формирования умения использовать эвристики должен определяться качественным составом эвристик, включающим базовые, специальные, общие эвристики и эвристические приемы и последовательностью этапов такого формирования: мотивация, введение, усвоение, формирование, применение, контроль и самоконтроль, систематизация эвристик.
Апробация основных положений и результатов исследования проводилась через публикацию статей, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университе-
10 та имени В. Г. Белинского (2005-2008 годы), на Всероссийской научно-практической конференции (Пенза, 2008 год). По теме исследования имеется 9 публикаций, из них 2 в научных журналах, рекомендованных ВАК.
Внедрение разработанных методических материалов осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе обучения геометрии в многопрофильной гимназии при ПГПУ им. В.Г.Белинского и в общеобразовательных школах №12 и № 48 города Пензы.
Структура диссертации определена логикой и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения, списка использованной литературы и приложений. Основное содержание работы изложено на 173 страницах машинописного текста. Библиография составляет 169 наименования. В тексте диссертации имеются рисунки (42), таблицы (13).
Анализ проблемы исследования в учебно-методической и научной литературе
В разное время вопросами, связанными с обучением эвристикам, занимались преподаватели различных школ и направлений. Анализ литературы позволяет выделить три периода, каждый из которых характеризуются своим представлением о формировании понятия эвристика: античность, на рубеже 19-20 веков, современный.
Понятие эвристика возникло достаточно давно, своими корнями уходит во времена античности. С эвристикой (от греч. heurisko - нахожу, открываю) в древней Греции связывали метод обучения, заключающийся в искусстве постановки вопросов, применявшийся Сократом (469 — 399 г.г. до н. э.), от которого и произошло понятие «сократическая беседа» [122, с. 106]. Для того времени такой подход в обучении носил прогрессивный характер. Понимание эвристики Сократом связано с его философией, которую он реализо-вывал в форме диалога, предпочитая непосредственный контакт собеседников. Это объясняет тот факт, почему Сократ не оставил письменного изложения своего учения, которое основывалось на обобщении и развитии идей более древних ученых.
В дидактическом арсенале современного педагога эвристическая беседа является элементарным средством развития мышления обучаемых, их сознательности и активности в творческой учебной деятельности, однако стимулирующее влияние вопросно-ответного продвижения в познании, которое использовал Сократ, эффективно и затрагивает глубинные механизмы стремления человека к истине.
Одновременно учёные древности связывали эвристику с различными методами решения новых проблем. Интересным источником, в котором от и, ражено применение эвристик, является творчество древнегреческого ученого Архимеда (287-212 гг. до н. э). Архимед вычислял площади и объемы сложных фигур с помощью метода исчерпывания и широко применял метод механического интегрирования, которые в то время строгого обоснования не имели и носили эвристический характер. Искусство решения трудных проблем, для которых не существует простых и легко выбираемых способов, получило своё название от известного ликующего возгласа «Эврика!» («Нашёл!») в момент, когда учёный понял, как можно точно определить объём короны неправильной формы.
Интересным источником, связанным с эвристикой, является трактат древнегреческого математика Паппа Александрийского «Искусство решать задачи». Автор обобщил труды античных математиков, выделил методы, отличающиеся от чисто логических, и объединил их под условным названием «эвристика». Его трактат можно считать первым методическим пособием, показывающим, как поступать, если задачу нельзя решить с помощью логических приемов [157].
Значительный толчок в направлении научной мысли на изучение эвристики как деятельности, непосредственно связанной с открытием нового, осуществил Ренэ Декарт (1596 - 1650 гг.). Свою главную цель ученый видел в нахождении способа, позволяющего устанавливать истину в любой области, и посвятил этому основной свой труд «Рассуждения о методе». В результате многочисленного обобщения вместо большого числа правил старой логики Р. Декарт предложил четыре правила, на которых предполагал основывать любое исследование. Исследования Р. Декарта послужили стимулом заняться данной проблемой для многих ученых (Г. Лейбниц, А. Сен-Симон, Д. Буль и др.), так как в его системе эвристических правил была осуществлена попытка, выразить организационно-стимулируюпгую функцию эвристик [136].
Много внимания вопросам методологии науки и самой эвристики уделял ученый Б. Больцано (1781 - 1848 гг.), который назвал эвристикой учение о том, как надо поступать при поиске истины. Он выделил 14 общих правил эвристической деятельности и 33 особых правила, в которых впервые отметил эвристическую функцию вспомогательных задач и элементов, которую позже детализирует в своих работах Д. Пойа.
Данные исследования имеют неоценимое значение для развития эвристики. Методы, разработанные учеными античности, привлекли внимание различных ученых, педагогов, методистов, исследовавших возможности использования эвристик не только в научно-исследовательской деятельности, но и в педагогической.
Период становления эвристики на рубеже 19-20 веков (после работ Б.Больцано и до начала 40-50-х годов 20 века) характеризуется формированием разнообразных подходов к методам организации и управления поисково-эвристической деятельностью. Обобщая исследования в области эвристики в данный период, мы можем отметить следующую тенденцию: эвристики широко используются в различных научных областях, в педагогике, психологии, философии, инженерии, физике, математике, информатике, кибернетике и в других науках. Специалисты каждой из этих наук рассматривают эвристику со своих позиций, придают своеобразное толкование ее основным понятиям и положениям. Более того, эвристика стала отчетливо формироваться как самостоятельная научная область, представляет собой исследование по научно-техническому творчеству, в котором рассматривались общие вопросы создания целой науки - эврологии. [165].
Современный этап развития эвристики начинается со второй половины XX века и связан с необходимостью развития поисковых эвристических систем для научной деятельности; возросшей необходимостью в целенаправленно организованной научной деятельности; формированием новых методов и типов обучения (проблемное, развивающее), которые ставят новую образовательную цель - создание условий по развитию творческих качеств личности в процессе усвоения опыта - и требуют в своей структуре применение эвристик. Анализ литературы позволяет рассмотреть изучение понятия эвристики и практическое применение выявленных закономерностей в различной научной деятельности. Особое внимание уделим следующим направлениям:
1) психология (П.Я. Гальперин, Л.Л. Гурова, К. Дункер, И.И. Ильясов, Ю.Н. Кулюткин, A.M. Матюшкин, Я.А. Пономарев, В.Н. Пушкин, С.Л. Рубинштейн, В.Ф. Спиридонов, O.K. Тихомиров, А.Ф. Эсаулов и др.);
2) педагогика (В.И. Андреев,. Г.Э. Армстронг, П.Ф.Каптерев, В.Н. Соколов, А.В. Хуторской и др.);
3) методика обучения математике (А.К. Артемов, В.М. Брадис, В.А. Гусев, О.Б. Епишева, Н.А. Извольский, Ю.М. Колягин, В.И. Крупич, Л.И. Кузнецова, Лезан, O.K. Огурова, Д. Пойа, В.В. Репьев, Г.И. Саранцев, Л.М. Фридман, СИ. Шохор-Троцкий и др.).
Пропедевтический этап обучения эвристикам в 5 - 6 классах
Педагогические эксперименты показывают, что учащиеся, впервые сталкиваясь с эвристиками при изучении систематического курса геометрии, имеют определенные трудности, они не только не видят надобности в их применении, не понимают их сути, но и плохо справляются с действиями, составляющих их основу.
Ранее было отмечено, что подготовительную работу по обучению учащихся эвристикам следует начинать уже в 5 - 6 классах. Известно, что на данной ступени обучения математике доказательства еще не вводятся, следовательно, нет основы для систематического изучения различных эвристик. Однако при выполнении специальных упражнений, предназначенных для подготовки учащихся к восприятию эвристик, формированию потребности в них, учащиеся приобретают новые умения, которые способствуют поиску решения задачи, наталкивают на правильную мысль.
Любой процесс обучения должен учитывать возрастные особенности учащихся, закономерности формирования и развития определенных компонентов мышления. Пропедевтический уровень формирования эвристик у учащихся 5-6 классов должен основываться на учете принципа наглядности, который реализуется через использование большого числа рисунков и моделей, построение графов, выполняемых учащимися в процессе рассуждений при решении задач и принципа прикладной направленности, который отражает связь математики с окружающим миром и практической деятельностью учащихся, реализуемый через прикладные задачи.
Решая задачу формирования тех или иных умений, необходимо учитывать и имеющийся опыт учащихся. Развитие ученика в процессе обучения эффективно лишь при формировании личностно значимых знаний, а это невозможно без опоры на опыт ученика. Задаваемое в обучении содержание (понятия, правила, приемы, эвристики) в ходе усвоения обязательно переосмысливается учеником, воспринимается через призму его собственного опыта. Таким образом, новая информация должна согласовываться с имеющимися у ребенка представлениями, понятиями, правилами выполнения действий.
С позиций сказанного естественно поставить вопрос об использовании в 5 - 6 классах достаточного количества специальных упражнений, предназначенных для подготовки учащихся к обучению эвристикам при изучении геометрии в последующих классах. Эти упражнения должны быть направлены, прежде всего, на формирование умений, составляющих основу базовых эвристик, выделенных выше (гл. I, 4), поскольку базовые эвристики входят в основу всех других эвристик. Затем, основываясь на полученные знания, можно перейти к пропедевтике формирования специальных эвристик. Это не только будет соответствовать возрастным способностям учащихся, но и подчеркивать общую схему систематизации эвристик (гл. I, 3).
Анализ задачного материала учебников по математике за 5 - 6 класс [81, 82, 83, 84] показал, что в них содержатся упражнения, формирующих лишь отдельные виды умений, однако" и их число невелико. Поэтому мы предлагаем добавить следующие виды упражнений, помогающие воспитать у учащихся потребность в эвристиках, позволяющие дать им первичное представление об их сущности.
Обучение эвристикам не может обойтись без формирования умения анализировать структуру и содержание задачи, которое входит в состав любой базовой эвристики, поэтому пропедевтический этап целесообразно начать с его формирования. Это умение включает в себя более конкретные действия: выделение условия и требования (заключения) в теореме или задаче, фиксировать их словесно.и графически, извлекать информацию из данных задачи, теоремы, построение объектов, о которых говорится в задаче или теореме. Для их формирования в 5 - 6 классах необходимо предлагать упражне 82 ния с требованием выделить условие и заключение в известных утверждениях. Например.
1) Через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.
2) В треугольнике сумма всех углов равна 180.
3) Квадрат площадью 4 см имеет периметр 8 см;
4) Если две прямые на плоскости не пересекаются, то эти прямые параллельны.
Для обучения разбирать содержание задачи можно предлагать упражнения на построение чертежа по словесному описанию.
1) Начертите три прямые, так чтобы, каждая прямая пересекала две другие.
2) Начертите многоугольник, такой чтобы две его стороны лежали на одной прямой.
3) Начертите две окружности, так, чтобы расстояние между их центрами было меньше суммы длин их радиусов.
Для формирования многих базовых эвристик важно уметь оперировать определениями понятий, которое включает в себя множество действий. Разработке упражнений для формирования данного умения посвящено много работ различных авторов (Я. И. Груденов, Ю. М. Колягин, В. В. Репьев, Г. И. Саранцев, 3. И. Слепкань, Н. Ф. Талызина) [27, 88, 114, 122, 141], которые в основном используются при изучении понятий. Мы предлагаем подчеркнуть, что данные умения входят в деятельность по применению эвристик и использовать их для обучения эвристикам. Например, отработка умений, таких как выделять свойства понятий, устанавливать различные связи между различными объектами, способствует формированию базовой эвристики выведение следствий, в частности из факта принадлежности объекта понятию.
Методика обучения эвристикам в 7 классе
Во время изучения раздела учащиеся получают большой объем новых понятий, их свойств. Осмыслению входной информации способствуют умения делать выводы по некоторым данным, перечислять свойства понятий, заменять понятия определениями, выводить одни утверждений из других, находить условия для выполнения какого-либо факта, которые объединяются умением использовать базовую эвристику выведение следствий. Учитель сообщает учащимся, что достаточно часто при решении задач, доказательстве теорем приходится выводить следствия, которые могут натолкнуть на разные мысли. Нередко таким путем удается найти путь решения. Но из одного правила, аксиомы или определения можно сделать несколько выводов, не каждое из которых может продвинуть решение задачи, использование некоторых следствий может удлинить решение, поэтому использование выведение следствий не гарантирует получения нужного результата, но может и привести к нему. Даже, если ожидаемый результат не достигнут, то и в этом случае проделанная работа не является бесполезной, так как полученные выводы позволяют глубже уяснить содержание данной задачи.
Далее учитель, подчеркивает, что такую совокупность действий, рекомендательного характера, повышающее эффективность процесса поиска решения задачи, но не гарантирующее получение результата будем называть эвристиками. В дальнейшем, при изучении геометрии, чтоб научиться решать сложные задачи, мы продолжим выделять различные эвристики.
После этого учитель предлагает решить несколько задач, используя данную эвристику (это нужно обязательно указать)..
1) На прямой (рис. 19) отмечены точки О, А и В так, что О А = 12 см, ОБ = 9 см. Найдите расстояние между серединами отрезков ОА и ОВ, если точка О: а) лежит на отрезке АВ; б) не лежит на отрезке АВ.
2) Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка В разделять точки А и С, если АС = 7 см, ВС = 7,6 см. Объясните ответ.
3) Может ли луч с проходить между сторонами угла (ab), если: 1) Z (ас) = 30, Z (сЪ) = 80, Z (ab) = 50; 2) угол Z (ас) больше угла (ab)?
В процессе работы над поиском ответов вначале учитель демонстрирует способ рассуждения с помощью эвристики, постепенно включая учащихся в коллективную и самостоятельную работу по применению указанной эвристики. Покажем методику работы над задачей № 1(a). Учитель: Какие данные нам даны в условии?
Ученик: Точка ОеАВ, N - середина от А N О М в резка АО, М - середина отрезка ОБ,
Учитель: Какие следствия можно сделать из факта принадлежности точки отрезку? (По ходу ответа, данные записываются в тетрадь, предварительно сообщив учащимся, что следствия записываются после знака = ). Ученик: ОеАВ = точка О лежит между А и В, NeAO= N лежит между А к О,
Ме 42?= Млежит между О и В (рис. 19 ). Учитель: Можно ли продолжить цепочку получения следствий из новых данных? И какие из следствий нам бы могли пригодиться для поиска ответа на поставленный вопрос? Ученик: Из того, что N лежит между А и О и М лежит между О и В= О лежит между N и M= NO+OM = NM. Учитель: Таким образом, с помощью различных выводов следствий мы подошли к способу решения задачи. В 7 классе в процессе изучения различных тем так же необходимо уделять внимание упражнениям, формирующие умения, входящие в состав этой эвристики (гл. I, 4), но применяющие в совокупности. Это закрепляет полученные навыки, позволяет применять их в новой ситуации, строить цепочки рассуждений.
1) Назовите несколько признаков, свойств характеризующих понятие: смежные углы, а) Если один из них в два раза больше другого, то какие следствия можно получить? б) Если известно, что некоторые два угла имеют одну общую сторону, следует ли что углы смежные?
