Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретические основы обучения опровержению доказательств в школьном курсе математики 10
1. Проблема обучения опровержению доказательств в учебной и научной литературе -
2. Логические основы опровержения доказательства 22
2.1. Ошибки в доказательстве 24
2.2 Приемы опровержения доказательства 31
3. Методическая концепция обучения опровержению доказательств математических утверждений 50
ГЛАВА II. Методические аспекты формирования у учащихся умения опровергать доказательства в курсе математики средней школы 76
1. Пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений -
2. Обучение школьников опровержению математических доказательств 96
2.1. Формирование умения опровергать доказательства на первых уроках алгебры и геометрии -
2.2. Обучение приемам опровержения математических доказательств 106
2.3 Формирование умения самостоятельно опровергать предложенные математические доказательства 130
3. Эксперимент 137
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 151
ЛИТЕРАТУРА 153
- Проблема обучения опровержению доказательств в учебной и научной литературе
- Пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений
- Обучение школьников опровержению математических доказательств
Введение к работе
В школьном математическом образовании доказательство, как известно, представляет наиболее существенный вклад математики в общую культу-ру человека. .Однако автоматический перенос понимания строгости доказательства, принятого в математической науке, на школьное преподавание привносит в него существенные сложности, связанные с убедительностью обоснований рассматриваемых содержательных утверждений. Решение данной проблемы в рамках деятельностного подхода предполагает рассмотрение доказательства как системы специфических приемов учебной деятельности, среди которых одно из наиболее важных мест занимает прием опровержения учебных математических доказательств.
Мысль о важности обучения опровержению математических доказа-тельств подчеркивалась в работах В. М. Брадиса, С. И. Векслера, Я. С. Дубнова, О. Н. Журавлевой, М. И. Зайкина, Д. И. Икрамова, И. Лакатоса, В. Литцмана, В. Л. Минковского, В. И. Обреимова, Д. Пойа, Ф. Ф. Притуло, М. А. Родионова, Г. И. Саранцева, Д. С. Скрыпника, А. И. Фетисова, А. К. Харчевой, Р. Хашимова, 3. П. Чиркиной, П. М. Эрдниева. Большая значимость умения опровергать доказательства в математике и других науках обусловила появление многочисленных исследований, посвященным различным аспектам обучения опровержению.
Анализ работ, в которых рассматривается проблема обучения опровержению, показывает, что в ее решении можно выделить несколько подходов. Представители первого (В. М. Брадис, Я. С. Дубнов, В. Л. Минковский, Ф. Ф. Притуло, А. И. Фетисов, А. К. Харчева, 3. П. Чиркина и др.) решают данную проблему при помощи внедрения в учебный процесс работы по разбору софизмов. Исследования данных авторов, выполненные в основном на материале геометрии, посвящены изучению отклонений рассуждений учащихся от логически верных математических рассуждений и построению на их основе содержания обучения умению опровергать. Однако развитию личности
ученика в процессе обучения умению опровергать предложенные рассуждения, которое сводилось к разбору софизмов, практически не уделялось внимания. Ученики не привлекались к открытию фактов, поиску закономерностей, высказыванию гипотез, и поэтому не испытывали потребности в поиске и устранении ошибок, допущенных в рассуждениях. Кроме того, рассмотрение ошибок в математических рассуждениях было оторвано от общего контекста обучению доказательству. Второй подход связан с формированием логических приемов, правил опровержения утверждений. Это направление получило развитие в основном в работах Д.Пойа. В основе третьего направления решения проблемы обучения умению опровергать лежит современная методическая концепция обучения доказательству в средней школе. В настоящее время обучение доказательству рассматривается с позиций целостного (логико-эвристического) подхода. Его представители (И. Лакатос, Г. И. Саранцев, О. Н. Журавлева) рассматривают опровержение предложенных доказательств в качестве отдельного (завершающего) этапа в концепции обучения доказательству.
Анализ учебно-методической литературы, результаты констатирующего эксперимента, наблюдение за уроками учителей позволяют сделать вывод о том, что проблема обучения опровержению доказательств, в целом, еще далека от полного разрешения. В частности, как показывает практика преподавания математики, у большинства школьников приемы опровержения формируются спонтанно. С другой стороны, как отмечается в литературе, имеет место значимая взаимосвязь между успешностью самостоятельного поиска и конструирования доказательства и умением опровергать математические доказательства. С целью совершенствования методики обучения опровержению целесообразно с новых позиций проанализировать содержание понятия «обучение опровержению»; определить структуру деятельности по обучению опровержению, и в частности, действия, входящие в ее состав; выделить уровни овладения умением опровергать, соотнести их со структурой деятельности по обучению доказательству.
Таким образом, противоречие между потребностью в научно-обоснованной методике обучения опровержению доказательств и реальным состоянием сформированности умения опровергать у школьников определяет актуальность проблемы исследования. Сама же проблема заключается в поиске путей и средств совершенствования обучения опровержению доказательств математических утверждений.
Цель исследования состоит в разработке теории и методики обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений.
Объектом исследования является обучение доказательству и опровержению в курсе математики средней школы.
Предмет исследования - цели, содержание, методы, формы и средства обучения опровержению доказательств в курсе математики средней школы.
Гипотеза исследования: если уточнить содержание понятие обучения опровержению, выделить уровни обучения опровержению, соотнести их с этапами деятельности по обучению доказательству, разработать методику их формирования и внедрить ее в практику обучения школьной математике, то это позволит успешно обучать опровержению доказательств учащихся сред-ней школы.
Проблема, цель, предмет и гипотеза исследования обусловили следующие задачи:
1. Провести анализ состояния проблемы обучения опровержению доказательств в учебно-методической и научной литературе и практике обучения школьной математике.
2. Уточнить содержание понятия обучения опровержению доказательств математических утверждений.
3. Выделить совокупность действий, составляющих основу обучения доказательств математических утверждений, и соотнести их со структурой деятельности по обучению доказательству.
4. Разработать методику формирования компонентов умения опровергать доказательства математических утверждений.
5. Экспериментально проверить эффективность разработанной методи-ки и составить рекомендации для ее использования в практике обучения.
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: системный анализ; деятельностный подход; анализ психолого-педагогической, учебно-методической литературы по проблеме исследования, анализ школьных учебников, программ и учебных пособий; изучение и обобщение педагогического опыта учителей математики; проведение эксперимента по проверке основных положений работы, статистические методы обработки его результатов.
Исследование проводилось поэтапно.
На первом этапе осуществлялся анализ учебно-методической и научной литературы по проблеме исследования с целью выявления предпосылок для разработки теоретических основ методики обучения опровержению в курсе школьной математики, изучалось состояние исследуемой проблемы в практике обучения, проводился констатирующий эксперимент.
На втором этапе разрабатывалась теория и методика обучения учащихся средней школы опровержению доказательств математических утверждений, апробировались возможные варианты ее использования в практике обучения с целью отбора наиболее эффективных методических решений в ас-пекте проблемы исследования, проводился поисковый эксперимент.
На третьем этапе проводился обучающий эксперимент с целью проверки эффективности разработанной методики, изучались его итоговые результаты, формулировались выводы исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что в нем решение проблемы обучения опровержению доказательств математических утверждений происходит на основе концепции единства логики и эвристики. Впервые обоснована и реализована на практике возможность организации процесса формирования готовности школьников к опровержению математических до
казательств в адекватном соотнесении с известными стадиями обучения доказательным рассуждениям.
Теоретическая значимость работы заключается в:
- уточнении содержания понятия обучения опровержению;
- выделении совокупности действий, составляющих его основу, и соотнесении их со структурой деятельности по обучению доказательству;
- построении динамической модели формирования умения опровергать математические доказательства, отражающей адекватное соотнесение этапов деятельности по опровержению со средствами обучения и достигаемыми результатами.
Выводы, полученные в результате проведенного исследования, позволяют определить конкретные роль и место опровержения в обучении математике, расширить представление об обучении доказательству, раскрыть содержание понятия «обучение опровержению».
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная методика обучения опровержению доказательств в курсе математики средней школы может быть использована учителями, а также авторами учебных пособий, предназначенных для учителей, студентов и учащихся.
Методологической основой исследования послужили: системный анализ и концепция деятельностного подхода; работы по теории и методике обучению доказательству; работы по проблеме обучения школьников приемам опровержения; теория развития личности; труды известных методистов, психологов.
Достоверность и обоснованность проводимого исследования, его результатов и выводов обусловлены опорой на основные теоретические положения в области теории и методики обучения математике, учетом современных достижений в области педагогики и психологии и обработкой экспериментальных данных.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Под обучением опровержению доказательств математических утверждений мы будем понимать обучение учащихся нахождению и исправлению ошибок в предложенных рассуждениях и в своих собственных, разбор готовых опровержений предложенных рассуждений, обучение восстановлению неполных доказательств, обучение приемам опровержения отдельных частей доказательства, самостоятельному проведению опровержений готовых математических доказательств.
2. Обучение опровержению доказательств необходимо рассматривать как естественный компонент деятельности по обучению школьников математическим доказательствам на всех ее этапах. Процесс формирования умений, адекватных опровержению доказательств математических утверждений, представляет собой иерархию определенных уровней, каждый из которых реализуется через комплекс составляющих его действий.
3. Характер конструирования системы задач для формирования умения опровергать математические доказательства должен определяться качественным составом приемов опровержения и последовательностью этапов такого формирования.
Апробация основных положений и результатрв исследования проводилась через публикацию статей и тезисов, в форме докладов и выступлений на заседаниях научно-методического семинара кафедры теории и методики обучения математике Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского (2002-2005 годы), на Всероссийской научной конференции (Пенза, 2005 год). По теме исследования имеется 11 публикаций.
Внедрение разработанных методических материалов осуществлялось в ходе экспериментальной проверки в процессе обучения математике в многопрофильной гимназии при ПГПУ им. В.Г.Белинского и в общеобразовательной школе №12 города Пензы, на практических занятиях по решению геометрических задач, на лабораторных занятиях и спецсеминаре по теории и
методике обучения математике в Пензенском государственном педагогическом университете имени В. Г. Белинского.
Структура диссертации определена логикой «и последовательностью решения задач исследования. Она состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Основное содержание работы изложено на 166 страницах машинописного текста. Библиография составляет 154 наименования. В тексте диссертации имеются рисунки (34), таблицы (8) и схемы (2).
Проблема обучения опровержению доказательств в учебной и научной литературе
В учебно-методической литературе существуют различные точки зрения на сущность понятия «обучение опровержению». Анализ работ, в которых рассматривается проблема обучения опровержению, показывает, что в ее решении можно выделить несколько подходов.
В рамках первого направления в основе обучения опровержению лежит работа по разбору софизмов.
Софизм - рассуждение, кажущееся правильным, но содержащее скрытую логическую ошибку и служащее для придания видимости истинности ложному утверждению [19]. Разобрать софизм - значит указать ту ошибку, которая была допущена в рассуждении и из-за которой получился нелепый вывод [52].
Математические ошибки софистического характера интересовали еще древних греков. Первый сборник математических софизмов был составлен Евклидом. Но этот труд под названием «Псевдария» считается безнадежно утерянным. О его назначении писал Прокл: он отмечал, что работа Евклида ставила своей целью научить обнаруживать ложные умозаключения и тем самым иметь возможность их избегать.
Классификацию софизмов впервые дал Аристотель в сочинении «О софических опровержениях». Он выделял:
1) ошибки, относящиеся к тезису доказательства («подмена тезиса»);
2) ошибки, относящиеся к основанию доказательства, когда:
а) тезис доказывается ложными доводами;
б) в основу доказательства кладется предположение, которое как раз и следует доказать, чтобы считать доказанным тезис; в) «круг в доказательстве» - тезис доказывается аргументами, истинность которых доказывается тезисом;
3) ошибки, относящиеся к способу доказательства, к демонстрации (все ошибки, связанные с нарушением правил умозаключений)[7].
Аристотель писал, что «опровержение есть умозаключение, стоящее в противоречии с заключительным тезисом противника». В своем произведении он ставил себе задачу - разоблачить логические приемы софистов и показать те ошибки, с помощью которых им удавалось незаметно «опровер-гать» неопровержимые, иногда совершенно очевидные положения. Аристотель часто употреблял «доказательство» и «опровержение» как равнозначные, синонимичные слова.
Математическими софизмами (рассуждениями, в которых умышленно допущена ошибка) и паралогизмами (рассуждениями, в которых ошибка допущена неумышленно) в разное время занимались Б.Паскаль, П.Ферма, В.Больцано, Г.Кантор, Д.Гильберт и др. Следует отметить, что этих авторов интересовал прежде всего критический разбор софизмов, а не их роль в преподавании математики.
В России литература, специально посвященная математическим софизмам, начинает издаваться с последней четверти 19 века. Первой книгой стал сборник И. Виола «Математические софизмы», вышедший в Санкт-Петербурге в 1883году с переводом В. И Обреимова. Книга содержала 18 упражнений на отыскание ошибок в математических рассуждениях. Выпуская сборник, Виола исходил не только из критических побуждений. Его занимал вопрос о педагогическом эффекте, которого можно достигнуть в преподавании математики включением разбора ложных доказательств. По мнению автора «отыскание настоящей причины, от которой происходят такие ошибки, служит не только для начинающего, но и вообще для всякого занимающегося математикой хорошим средством для усвоения математических правил, развития сообразительности и умения согласовывать условия с действительностью решения». Наблюдая большую популярность сборника, В. И. Обреимов отмечал, что «представляя материал для удивления и размышления, ложные доказательства заставляют учащихся анализировать сущность тех действий, которые в системе гимназического образования преподносятся им, как правило, для чисто механического усвоения. Эти же доказательства дают пищу для вопросов учителю, для товарищеских элементарно-научных собеседований и способствуют пробуждению интереса к генезису математических понятий». Однако в то же время в журнале «Педагогический сборник» публикуется рецензия на «Математические софизмы», в которой утверждается, что большинство учащихся будет интересовать не отыскание ошибок, а сами ошибки, дающие возможность озадачить товарищей, блеснуть перед ними своими по-знаниями. В рецензии отмечалось, что далеко не все ученики сумеют раскрыть логико-математическую сущность того или иного софизма, поэтому можно говорить лишь об относительной пользе (для отдельных учеников), выраженной в выработке должной осмотрительности и в воспитании сознательного отношения к проведению математических преобразований и выводов. Таким образом, авторы рецензии призывают к отказу от использования математических софизмов в педагогических целях.
Пропедевтика обучения опровержению ложных математических утверждений
Ранее было отмечено, что, по мнению психологов, критическое мышление созревает у школьников в основном к 14-15 годам. Однако, педагогические эксперименты показывают, что учащиеся, впервые сталкиваясь с необходимостью проведения опровержения предложенных доказательств лишь в старших классах, не только плохо справляются с этим действием, затрудняются при отыскании ошибок в ложных рассуждениях, но, главное, не видят надобности в самом процессе опровержения, не понимают его сути. Известно, что 5-7 классы являются наиболее ответственным этапом в обучении школьников логическим рассуждениям, призванным сформировать стереотипный стандарт доказательства. Но рассуждения учащихся могут содержать различного рода ошибки, которые требуют исправления. Отметим, что исследования психологов свидетельствуют о том, что мышление человека уже в младшем школьном возрасте становится чувствительным к разного рода противоречиям. Способность улавливать нелепости, абсурды, распознавать ложные суждения входит в возрастные возможности школьников младших классов. Все это убеждает нас в необходимости и эффективности пропедевтического этапа формирования умения опровергать.
Работу по обучению учащихся опровержению готовых доказательств утверждений следует начинать уже в младших классах. Эксперименты пока-зывают, что к началу систематического обучения в школе ученики не владеют приемами опровержения, не исправляют ошибок в предложенных рассуждениях (что соответствует нулевому уровню сформированности умения опровергать). Известно, что на данной ступени обучения математике дедуктивные доказательства не вводятся, а, значит, не может быть речи и об опровержении готовых доказательств. У учащихся еще нет основы для его проведения. Естественно поставить вопрос об использовании в 1-6 классах достаточного количества специальных упражнений, предназначенных для подготовки учащихся к проведению опровержений обоснований утверждений при изучении математики в последующих классах. Эти упражнения должны быть направлены, прежде всего, на обучение школьников распознаванию истинных и ложных суждений, а также на обучение умению находить и исправлять ошибки в простейших рассуждениях, простейших дедуктивных выводах. У учащихся младших классов необходимо сформировать понимание того, что истинные суждения нуждаются в обосновании, а ложные - в опровержении. При этом следует учесть, что на данной ступени обучения нахождении ошибок и их обосновании учащиеся в большей степени опираются на свои наглядно-интуитивные представления и «здравый смысл».
Поскольку в основе опровержения ложных доказательств лежат такие умения, как оперирование определениями понятий, правилами, свойствами, работа с текстом задачи, теоремы, работа с чертежом, выбор необходимых знаний, использование логических правил, то пропедевтика обучения опровержению должна строиться вокруг перечисленных умений.
Выше было отмечено, что обучение школьников опровержению предложенных рассуждений должно идти по пути целенаправленного формирования у них приемов опровержения. Овладение логическими приемами опровержения невозможно без овладения учащимися действиями, которые составляют указанные приемы (гл.1, 2). Некоторые из этих действий, такие как выделение условия и заключения предложенного утверждения, приведение контрпримеров, определение истинности (ложности) математических предложений, формулирование утверждения, противоречащего данному, а также подготовка к использованию логических правил вывода, можно формировать у школьников младших и 5-6 классов. Средством формирования перечисленных действий должны являться специальные упражнения. Мы предлагаем следующую типологию упражнений, помогающих воспитать у учащихся потребность в опровержении, дать им первичное представление о его сущности:
Обучение школьников опровержению математических доказательств
Учащиеся 7 класса уже хорошо знакомы с такими понятиями как «теорема», «правило» и «доказательство». Причем, при достаточно хорошо организованной работе на первом этапе, школьники знают, что доказательства, рассуждения, приведенные в защиту какого-либо положения, могут быть неверными, т.е. содержать ошибку; умеют находить и исправлять ошибки в простейших рассуждениях, неверных доказательствах, опираясь при этом на свой опыт и изученные ранее правила. Учитель должен заострить внимание ребят на том, что ошибка в доказательстве утверждения может находиться как в самом утверждении, так и в его обосновании (рассуждениях, приводя-щих к доказываемому тезису). Надо разъяснить школьникам, что умение опровергать готовое доказательство (находить и исправлять в нем ошибки, показывать его несостоятельность) столь же необходимо, как и умение доказывать.
Вопрос о проведении работы по обучению опровержению приобретает определенный смысл только тогда, когда удается очертить круг относительно требований, принимаемых за критерий строгости и истинности рассуждений на том или ином этапе обучения. Учителю следует точно знать и определить для учащихся рамки «строгости» обоснований на каждом этапе обучения. Хинчин А. Я. писал: «Аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается «как лишенная какой бы то ни было силы». Ни один из школьных предметов не отвечает этому принципу в такой явной форме, как математика.
В начале обучения учащимся требование обоснования или опроверже-ния утверждения кажется излишним, особенно в тех случаях, когда интуиция убеждает их в справедливости или несправедливости какого-либо утверждения, что часто подсказывается наглядностью или опытом.
Известно, что евклидова геометрия, изложенная на строгой аксиоматической основе (по Д.Гильберту), как и всякая математическая теория, исходит из трех обязательных положений.
1. Основные объекты (в виде понятий) называются; отношения между ними перечисляются и определяются, но объектам не придается конкретный смысл (в том понимании, что они не опредмечиваются). Это отвлеченные символы.
2. Ряд общих отношений между первичными понятиями задается в виде основных предложений, выражающих различные независимые друг от друга связи (аксиомы). Эти связи должны удовлетворять определенным требованиям (гл.1, 2).
3. Каждое новое предложение доказывается с помощью только основных утверждений этой теории и средств логики. Процесс доказательства, конечно, не всегда в явной форме протекает в таком виде, так как доказанная теорема в построении теории часто принимается как предложение, на кото-ром можно основываться в такой же мере, как и на аксиоме и определении.
Но в общеобразовательной школе неприемлемо преподавание на строго аксиоматической основе. Невозможно и аксиоматическое изложение, при котором изучаемым объектам придается конкретный смысл, когда они опредмечиваются идеальными образами определенной конструкции. Остается такое изложение систематических курсов школьной математики, в которой приведена избыточная или неполная аксиоматика, а изучаемым объектам придается конкретное содержание. О такой необходимости говорит вся история преподавания математике в школе. Это подтверждается и многими неудачными модернизациями, которыми занимались в прошлом. Усиление же строгости изложения должно нарастать по мере изучения материала за счет соблюдения законов логики и обогащающего аппарата самого предмета.
Основным условием эффективного обучения опровержению должен стать его развивающий характер, порождающий у школьников интерес и потребность в исследовательской работе.
Начальная стадия обучения опровержению доказательств должна учитывать житейский опыт учащихся, носить в какой-то мере наглядно-индуктивный характер с постепенным расширением элементов доказательности нарастающей трудности. В это время учитель должен на примерах показывать, как следует находить и исправлять ошибки в предложенных рассуждениях, знакомить учеников с «готовыми опровержениями».
