Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Некоторые психолого-педагогические проблемы формирования у учащихся умений самостоятельно доказывать теоремы с помощью системы задач 17
I. Обучение через задачи как один из методов организации учебного процесса по геометрии и его значение для активизации познавательной деятельности учащихся 18
2. Психологические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теоремы 35
3. Необходимость и объективные предпосылки совершенствования обучения доказательству теорем через задачи 49
4. Основные пути управления деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем. 67
Глава II. Методические основы применения системы задач для формирования у учащихся умений самостоятельно "открывать" и доказывать теоремы 80
I. Система задач, направленная на формирование у учащихся приемов поиска самостоятельного доказательства теорем 80
2. Методика применения системы задач для обучения учащихся доказательству теорем 97
3. Использование дидактических наглядных средств для изучения доказательств теорем 112
4. Исследование эффективности использования системы задач и дидактических наглядных средств при изучении доказательств теорем 125
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 140
ЛИТЕРАТУРА 147
Приложение I. Система задач для 6-7 классов 162
Приложение 2. Система наглядных таблиц для 6-7 классов . 171
- Обучение через задачи как один из методов организации учебного процесса по геометрии и его значение для активизации познавательной деятельности учащихся
- Психологические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теоремы
- Система задач, направленная на формирование у учащихся приемов поиска самостоятельного доказательства теорем
Введение к работе
Актуальность проблемы» В условиях продолжающейся научно-технической революции, когда наблюдается быстрый рост научных зна -ний и их широкое внедрение в производство, перед школой стоит задача вооружить своих выпускников умением самостоятельно пополнять знания, развивать их познавательные способности. Поэтому и проблема формирования и развития у школьников активного, самостоятельного, творческого мышления продолжает привлекать внимание психологов, педагогов и педагогов математики.
Перестройка школы, осуществляемая на основе программных установок ХХУІ съезда КПСС, июньского (1983 г.), февральского и и апрельского (1984 г.) Пленумов ЦК КПСС и основных направлений реформы общеобразовательной и профессиональной школы,одобренных Верховным Советом СССР, охватывает различные стороны жизни и деятельности школы, в том числе формы и методы обучения в сторону всемерного развития самостоятельности и инициативы учащихся. В Основных направлениях реформы отмечается, что одной из главных задач, способствующих осуществлению реформы школы,является повышение качества образования и воспитания; обеспечение более высокого научного уровня преподавания каждого предмета, прочное овладение основами наук, улучшение идейно-политического, трудового и нравственного, эстетического и физического развития; усовершенствование учебных планов и программ, учебников и учебных пособий, методов обучения и воспитания; устранение пере -грузки учащихся, чрезмерного усложнения учебного материала. [4, с. 40] .
Все это требует глубокого и всестороннего изучения и обобщения передового опыта работы школы, разработки и эксперимен-
4 тальной проверки новых, более активных методов обучения.
Решение этих задач влечет за собой применение целого комп -лекса мер, среди которых ведущей является совершенствование методических подходов к изложению материала в учебных пособиях, а также методики обучения. Совершенствование методики обучения предполагает осуществление широкого круга мероприятий, без которых невозможно прочное и сознательное овладение основами знаний, умений и навыков, необходимых для продолжения образования в высших и средних специальных учебных заведениях, для самообразования.
В советской педагогике одним из исходных положений проблемы развития самостоятельности учащихся является тезис В.И. Ленина: "...без человеческих эмоций никогда не бывало, нет и быть не может человеческого искания истины" [3, с.112] . В связи с этим одной из ведущих проблем в современной методике преподавания любого предмета, и в частности геометрии, является управление познавательной деятельностью школьников, развитие их умствен -ных способностей в процессе изучения нового материала. Обучение должно идти по пути общего развития учащихся, повышения их активности, самостоятельности, способствовать формированию у них широты наблюдательности, полноты, гибкости, абстрактного мышления.
В формировании теоретических знаний по геометрии, умений и навыков важную роль играет применение школьных задач в процессе обучения - одного из основных практических методов, которому принадлежит значительное место в преподавании предмета на разных этапах обучения.
Решая задачи, учащиеся сознательно и прочно овладевают системой математических знаний, навыков и умений, предусмотренных программой, глубже вникают в смысл приобретаемых знаний, выра-
5 батывают практический опыт их применения. "Необходимо помнить, - отмечает И.Т.Огородников, - что теоретический материал курса осознается и усваивается в основном в процессе его применения в задачах" [іІЗ, с.Іб] . Однако наибольшую пользу в практике преподавания геометрии могут принести те задачи, с помощью которых учитель вовлекает учащихся в познавательную работу на уроке, активизирует процесс их умственной деятельности. В свя -зи с этим важной и актуальной задачей в методике преподавания геометрии является проблема разработки и исследования системы учебных задач, с помощью которых формируются у учащихся умения самостоятельно "открывать" теоремы и способы их доказательства.
Возможности существенного усовершенствования методики доказательства теорем с помощью задач значительно расширились благодаря результатам исследований С.И.Шохор-Троцкого, Д.ПоЙа , Ю.М.Колягина, П.М. Эрдниева, Л.М.Фридмана, А.А. Столяра, Я. И.Гру -денова и др.
В этих исследованиях было установлено, что при систематическом изучении нового материала через задачи обеспечивается бо -лее сознательное, а следовательно и более прочное усвоение знаний, умений и навыков всеми учащимися класса; формируется правильное отражение в сознании учащихся изучаемых ими новых фактов, явлений и связей между ними; создаются условия для перехода знаний в действие, в практику.
Все это привело к обогащению теории обучения и отразилось на практической работе учителей.
Однако, в этих и других исследованиях не нашли отражения следующие вопросы:
I. Четкое определение того, что понимается в литературе под обучением через задачи.
2. Недостаточно полно изучена роль задач на этапе изучения учащимися нового материала, хотя как известно, что "учить ду -мать" означает, что учитель математики должен не только слу -жить источником информации, но обязан также стараться разви -вать способности учащихся по использованию этой информации; он должен развивать у своих учеников умение думать, относящиеся сюда навыки, определенный склад ума" [131, C.287J .
Ценные рекомендации и предложения, соответствующие решению актуальной задачи повышения активизации умственной деятельно -сти учащихся в процессе решения поисковых задач, содержатся в исследованиях С.И.Шохор-Троцкого, Ю.М.Колягина, А.А. Столяра, М.П.Понарина, Р.И.Иванова, И.Я.Лернера, И.Т. Федоренко и других.
С.И.Шохор-Тропкий следующим образом определил цели подготовительных (целесообразных) задач: с помощью надлежащих задач ученик может не только усвоить себе важный в практическом отношении навык в употреблении "чертежных инструментов, но и прийти к мысли о необходимости доказательств и набрести (в случае, если задача преследует эту цель) на самый способ доказательства некоторой геометрической истины" [173, с.5] .
Я.П.Понарин считает, что "из рассматриваемых задач следует извлекать возможно больше пользы для развития учащихся, для этого необходимо применять такие задачи, которые либо используют математические понятия в конкретной ситуации и тем самым полезны на практике, либо связаны с рядом ранее изученных вопросов, либо заключают в себе потенциальную возможность создания новых задач" [132, с.з] . "Если преподавание, - считает А.А.Столяр, - нацелено главным образом не на заучивание уже построенной системы, а на организацию рассуждений учащихся с тем, чтобы они были в состоя-
7 ний открывать для себя те факты, которые составляют содержание предложений системы, а затем и логически упорядочить их, то это приводит к более быстрому развитию мышления учащихся и к пони -манию изучаемого материала" [бб, с.12] .
Ю.М. Колягин, рассматривая обучение через задачи, выделяет два аспекта использования задач и упражнений, решение которых способствует: а) глубокому и прочному усвоению школьниками той системы ма тематических знаний и умений, которые предусмотрены программой; б) формированию тех или иных математических навыков [202, с. 166] .
А.Б.Василевский, А.П. Громов, Ф.А. Орехов рассматривают некоторые примеры применения поисковых задач на уроках алгебры и геометрии в средних и старших классах общеобразовательной школы. Ф.А.Орехов считает, что "при изучении лобого материала целесообразно подготавливать ученика к изучению последующего не только конечным результатом, но также содержанием упражнений, накоплением запаса представлений" [121, с. 7] . Б графических лабора -торных работах сочетаются повторение ранее известного и изучение нового материала, создаются необходимые предпосылки для изучения последующих тем, на основе накопления геометрических представлений. Цель этих работ Ф.А.Орехов видит в том, чтобы развивать у учащихся навыки логического мышления; дать им материал для последующего обобщения; облегчить усвоение новых знаний.
Психологами установлено, что активная работа мысли начинается у человека тогда, когда перед ним возникает проблема([13|, [53], [бЗ], [65] ). Учитель должен стимулировать мыслительную деятельность учащихся, побуждать учеников осуществлять самостоятельные попытки доказательства теорем, учить учащихся самостоятель-
8 но "открывать" новые для них знания, самостоятельно добывать часть информации, вести исследовательский поиск. Основной упор при этом делается не на память, а на умение ученика самостоя -тельно добывать знания и творчески усваивать новое. "Основные черты, - отмечает Э.Стоуне, - помогающие разви -вать у учащихся способности к решению проблем являются: первое -это то, что решение проблем весьма полезно рассматривать как частный случай научения, второе - это то, что при решении проблем оказываемая ученикам помощь должна быть минимальной, поскольку, находя собственное решение, они научаются более эффективно" [155, с.267].
И.Я.Лернер отмечает, что возможность управления формированием познавательной самостоятельности возникает лишь тогда, когда учащиеся включаются в процесс самостоятельного решения субъек -тивно новых для них проблем, изоморфных уже решенным обществом проблемам, и тем самым содержащих запрограммированную деятель -ность, благодаря которой у учащихся формируются необходимые творческие потенции к решению новых проблем. [88, с.112].
В структуру познавательной самостоятельности И.Я.Лернер включает следующие элементы: а) средства (знания, навыки и умения, опыт творческой дея - тельности); б) положительные мотивы, без которых независимо от их харак тера, познавательная самостоятельность не проявляется; в) процесс поисковой деятельности; г) продукты этой деятельности (новые знания, новые способы деятельности, новый опыт творческой деятельности) [88, с. III].
Рассмотренные выше вопросы, связанные с использованием поисковых задач для развития познавательной самостоятельности, отра-
9 кают самые разные подходы авторов к определению роли и места задач. На наш взгляд, эти подходы не противоречат друг другу, они дополняют одно другое, раскрывают многообразие аспектов проблемного обучения.
Вместе с тем разработка системы задач, позволяющей ученику самому находить и "открывать" теорему и способ ее доказательства, представляется актуальной, так как она, во-первых,позволит более рационально использовать задачи на всех этапах обучения учащихся доказательству теорем; во-вторых, будет содействовать решению актуальной проблемы обучения - активизации познавательной деятельности учащихся в процессе изучения нового материала; в-третьих, поможет преодолеть существенный недостаток в обучении геометрии - устранение разрыва между теоретическими знаниями и их практическим применением.
Можно предположить, что эффективным способом формирования умственных способностей учащихся является обучение доказательству геометрических теорем через задачи, основанное на знании закономерностей мыслительной деятельности школьников.
Психологический анализ процесса обучения геометрии через задачи - это анализ того: а) как учитель с помощью системы задач подводит учащихся к самостоятельному "открытию" теоремы и способа ее доказательства; б) как происходит восприятие,осознание этих ситуаций учащимися и постановка ими проблемы,установление нового способа действия; в) как практически реализовывает' ся этот метод; г) как осуществляется само решение проблемы , ее проверка и оценка.
С 1982 учебного года в школах страны введено новое учебное пособие по геометрии академика А.Б. Погорелова "Геометрия 6-Ю" [128] . В связи с переходом на обучение школьников по новому
10 учебному пособию по геометрии возникает ряд новых проблем,связанных с методикой изложения материала и организацией учебного процесса.
В этом учебном пособии изложено содержание учебного материала, подлежащего усвоению с помощью учителя, а в конце каждого параграфа предложены система вопросов для повторения и задачи. Однако среди вопросов и задач совершенно недостаточно заданий, которые бы знакомили учащихся с приемами познавательной деятельности, наталкивали бы их на самостоятельное доказательство задачи или теоремы, прививали бы им умения и навыки самостоятельной работы, развивали бы их интересы, способности.
В пособиях для учителя "Методические рекомендации к преподаванию курса 6-7 класса по учебному пособию "Геометрия 6-Ю" [34], [35],[57] предлагается на уроке изучать ряд теорем с по -мощью системы практических задач (лабораторных работ), решение которых должно подготавливать учеников к доказательству теоремы. Однако, вся нагрузка по изучению теоремы по-прежнему падает на учителя.
Создавая пособия нового типа [l08],[l09] и используя их в практической работе, мы имели в виду содействовать, во-первых, увеличению объема самостоятельной работы каждого ученика на этапе изучения доказательства им теорем, привитию ему навыков са -мостоятельного овладения новыми знаниями, во-вторых, повышению самостоятельности на этапе подготовки школьников к усвоению теорем и их доказательств в процессе группировки фактов, приведе -ний в готовность определенной совокупности ранее усвоенных аксиом,определений и теорем, необходимых для успешного доказательства изучаемой теоремы; в-третьих, активизации познавательной деятельности каждого ученіїка при восприятии, осмыслении до- казательства теоремы, привитию умений наблюдать, находить признаки, в результате поиска самостоятельно формировать новые теоремы, обосновывать свои практические действия; в-четвертых,повышению развивающей роли упражнений и задач, обеспечению умственной активной деятельности учащихся по углублению и осмыслению знаний, на которых основываются совершенствующиеся в процессе решения задач практические действия; в-пятых, организованности и созданию на уроке и дома благоприятных возможностей для изучения новых теорем.
Итак, I) обучение доказательству теорем занимает одно из основных мест в процессе изучения геометрии, поскольку именно теоремы дают необходимые факты для решения геометрических задач на доказательство. Поэтому обучение доказательству теорем связано с эффективностью изучения самого курса геометрии. Оно оказывает непосредственное влияние на умение учащихся решать задачи,которое является основным показателем успешного усвоения изучаемого материала; умственная деятельность учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем является своеобразной моделью дея -тельности ученого по открытию новых фактов ранее в науке неиз -вестных; обучение учащихся самостоятельному применению знаний при доказательстве теорем, нахождение способа доказательства теоремы и ее формулировки являются необходимыми условиями успешного обучения умению решать нестандартные задачи.
Поэтому, если удастся сформулировать у школьников эти умения, то в значительной степени будут сняты трудности усвоения нового материала по геометрии, поскольку каждая задача на дока-
12 зательство является теоремой, а в свою очередь теоремы и задачи на доказательство являются составными частями задач на вычисление и построение. Отсюда,умение учащихся доказывать теоремы является важным условием умения решать задачи различных типов.
Именно это и обусловило выбор нами темы исследования "Обучение учащихся УІ-УП классов доказательствам геометрических теорем через задачи".
Объектом исследования является процесс обучения учащихся УІ-УП классов доказательству теорем через задачи.
Предметом исследования явились дидактические и методические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теорем.
Проблема исследования: разработка таких систем задач, которые обеспечивали бы оптимальные условия для развития умений у учащихся самостоятельно "открывать" и находить способ доказательства теоремы каждым учеником.
Оптимальными условиями мы считаем такие, которые создают возможность для проявления способностей,творческих сил каждого ученика в полной мере.
Целью исследования является выявление и обоснование целе -сообразной структуры системы задач, реализация которой будет способствовать выработке у учащихся умений самостоятельно доказывать теоремы и решать геометрические задачи.
Анализ психолого-педагогической и методической литературы и результатов практики работы учителей математики позволили сформулировать гипотезу: Поскольку задачи являются важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, ведущей формой учебной деятельности в процессе изучения математики, то обучение доказательству теорем через задачи, ве- ІЗ роятно, будет способствовать выработке у учащихся умений самостоятельно находить путь к доказательству теоремы, с одной стороны, и формированию творческой активности и самостоятельности, с другой стороны. Если обеспечить управление умственной дея -тельностью учащихся при изучении доказательств теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства теоремы, то одновременно осуществляется постепенное, целенаправленное и планомерное развитие математического мышления учащихся, а следовательно и формирование у них творческих познавательных способностей.
В ходе решения поставленной проблемы и проверки сформулированной гипотезы необходимо было решить следующие частные задачи исследования:
Изучить и обосновать психолого-педагогические и методические аспекты использования задач при изучении нового материала и доказательстве теорем.
Разработать дидактические требования, которые необходимо предъявлять к системе задач и логико-структурным схемам доказательства теоремы, обеспечивающие формирование у учащихся твор -ческой активности и самостоятельности.
Разработать содержание и методику обучения учащихся доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем и экспериментально проверить эффективность предлагаемых положений.
Проблема, гипотеза и задачи исследования обусловили выбор следующей совокупности методов исследования:
I. На этапе теоретического состояния проблемы проводился анализ литературных источников из области философии, педагогики и психологии.
Анализ научных работ, программ, учебных и методических пособий по теме и близких к теме исследований.
Изучение опыта работы учителей математики г.Шнека.
Личное преподавание в общеобразовательной школе № 130 г.Минска в 6-7 классах.
Практический эксперимент, анализ письменных работ и протоколов уроков, анкетирование.
Методологической основой исследования явились положения марксистско-ленинской теории познания и связи теории и практики, руководящие документы Коммунистической партии и Советского правительства о воспитании подрастающего поколения, подготовке его к активному, творческому труду.
Научная новизна исследования заключается в том, что: уточнено содержание понятия "обучение доказательству теорем через задачи", разработаны конкретные требования к содержанию системы задач, позволяющих готовить детей к самостоятельному "открытию" теорем и их доказательств; составлена и опубликована система задач, позволяющая ученику самостоятельно находить и формулировать теорему и способ ее доказательства, разработан один из вариантов методики обучения учащихся самостоятельному "открытию" теоремы и способа ее доказательства на основе сочетания прямого и косвенного управления деятельностью учащихся; разработана и опубликована система логико-структурных схем, описывающих ход доказательства теоремы по данному учебному пособию, предложен один из вариантов методики работы с ними.
Теоретическое значение исследования заключается в том, что создана научно-обоснованная концепция управления умственной дея-
15 тельностью учащихся в процессе самостоятельного "открытия" теоремы и способа ее доказательства с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства теоремы.
Практическое значение работы заключается в том, что обучение доказательству теорем с помощью системы задач дает возможность учителю более широко использовать задачи в своей практике для повышения самостоятельности и творческой активности каждого школьника в условиях классно-урочной системы обучения. Предложена конкретная методика обучения учащихся доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем.
На основании материалов данного диссертационного исследования разработаны методические рекомендации для учителей математики, работающих по учебному пособию А.В.Погорелова "Геометрия-6-10" в 6-в классах. Рекомендации обсуждались на заседаниях методического объединения средней школы й 130 г. Шнека, а также на конференциях профессорско-преподавательского состава 1982-1984 гг., молодых ученых МГПИ им. А.М.Горького, на заседаниях кафедры методики преподавания математики и были одобрены.
На защиту выносятся следующие основные положения:
Обучение учащихся УТ-УП классов доказательствам геометрических теорем с помощью системы задач должно стать органической частью изучения геометрии. Совершенствование управления умственной деятельности школьников в процессе изучения доказательств теорем возможно при использовании системы задач,обеспечивающей: а) повышение эффективности усвоения доказательств теорем, б) развитие математического мышления, в) развитие творческой активности и самостоятельности учащихся.
Развитие творческой активности учащихся в процессе изу- чения геометрии происходит более интенсивно, если основными путями изучения доказательств теорем являются решение специальной системы задач и использование логико-структурных схем доказательства.
На защиту выносятся также: система требований, предъявляемых к организации обучения доказательству теорем через задачи; содержание и методика обучения доказательству теорем с помощью системы задач и логико-структурных схем доказательства.
Обучение через задачи как один из методов организации учебного процесса по геометрии и его значение для активизации познавательной деятельности учащихся
Педагогическая наука и передовая школьная практика выработали немало средств и приемов, с помощью которых учитель вовлекает учащихся в познавательную работу на уроке, активизирует процесс их мыслительной деятельности. Особое место среди них занимает обучение через задачи. Это одно из действенных средств побуждения учащихся к активной умственной работе.
В настоящее время обучение через задачи все более пронизывает учебный процесс и метод решения задач становится ведущим не только в математике. В то же время задачи в обучении выступают и как цель, и как средство обучения.
Понятие задачи весьма многопланово, однако до настоящего времени нет общего его определения.
В психологической литературе имеются различные трактовки понятия задачи.
Г.А.Балл в статье "О психологическом содержании понятия "задача" отмечает, что термин "задача" употребляется в психологической и педагогической литературе для обозначения объектов, относящихся к трем различным категориям:
1) к категории цели действий субъекта, требования,поставленного перед субъектом;
2) к категории ситуации, включающей наряду с целью условия, в которых она должна быть достигнута; 3) к категории словесной формулировки этой ситуации" [16, с. 75].
Так к первой категории можно отнести определение,предложенное А.Н. Леонтьевым. Задачу он определяет как "цель плюс условие" [83, с.7] ,а действие - как "относительно самостоятельный процесс, признаком которого является направленность на достижение сознательной цели" [83, с.6] .
Определение Г.А. Балла такое как "задача есть ситуация,требующая от субъекта некоторого действия" [16, с. 79 ] можно отнести ко второй категории.
К третьей категории можно отнести понимание термина "задача", предложенного С.Л.Рубинштейном и его учениками. "Задача заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида,соотнесенную с условиями, которыми она задана" [146, с.347].
Однако, приведенная Г.А.Баллом последовательность определений не охватывает многих точек зрения на понятие задачи,имеющихся в педагогической и психологической литературе.
Психологические основы управления умственной деятельностью учащихся в процессе самостоятельного доказательства теоремы
Проблема активизации при обучении геометрии предполагает эффективную организацию учебной деятельности учащихся и управление ею в процессе изучения теорем.
Методологической основой управления познавательной деятельностью учащихся является марксистско-ленинская теория познания. Успешное управление познавательной деятельностью учащихся невозможно без глубокого понимания сущности ленинской теории отражения, раскрывающей характер, форму, структуру и сущность познания.
В.И.Ленин определил общую закономерность познавательного процесса. Формула - "от живого созерцания к абстрактному мышлению и от него к практике - таков диалектический путь познания истины, познания объективной реальности" [I,с.152-153]- выражает структуру познавательного процесса,взятого в целом. Процесс усвое 36 ния учеником знаний является также познавательным процессом,таккак ученик, овладевая знаниями, проникает в сущность предметови явлений объективного мира, т.е. познает его.
Раскрывая процесс перехода от конкретно-чувственного вое -приятия к логическому мышлению, В.И.Ленин указывал: "Сначала мелькают впечатления, затем выделяется нечто, - потом развиваются понятия качества (определения вещи или явления) и количества. Затем изучение и размышление направляют мысль к познанию тождества - различия - основы - сущности TTVWU. явления, - причинность, eta" [і, С. ЗОІ] .
Рассмотрение обучения как процесса управления учебной дея -тельностью позволило психологам и педагогам решить ряд теоретических проблем обучения, обнаружить зависимость процесса и результатов учения от особенностей управления и разработать приемы эффективного управления процессом обучения (Д.Н.Богоявленский, П.Я. Гальперин, В.В. Давыдов, її.А. Менчинская, Н.Ф. Талызина, Д.Б.Эльконин и др.).
Известно, что под управлением в кибернетике понимают такое воздействие на объект (процесс), которое выбрано из множества возможных воздействий с учетом поставленной цели и состояния объекта (процесса), ведущее к улучшению функционирования или развитию данного объекта, т.е. к приближению цели. В случае обучения цель управления состоит в формировании нового вида дея -тельности или в повышении качества деятельности по одной или нескольким характеристикам.
"Управлять, - пишет Н.Ф. Талызина, - это не подавлять, не навязывать процессу ход, противоречащий его природе, а наоборот, максимально учитывать природу процесса, согласовывать каждое воздействие на процесс с его логикой. При управлении процессом учения, как и любым другим, свобода выступает как познанная необходимость" [158, с. 161].
Система задач, направленная на формирование у учащихся приемов поиска самостоятельного доказательства теорем
Обучение учащихся доказательствам теорем через задачи несомненно является эффективным средством формирования и развития их логического мышления. Такой вывод можно увидеть в высказываниях многих ученых-дидактов, психологов, методистов. Так, например, Ю.М.Колягин отмечает: "Именно в ходе решения математических задач самым естественным способом можно формировать у школьников элементы творческого математического мышления наряду с реализацией непосредственных целей обучения математике. В свою очередь целенаправленное развитие математического мышления учащихся необходимо предполагает наличие в школьном курсе математики определенной методической системы задач, процесс решения которых, хотя бы локально, отвечал характеристике развивающегося математического мышления" [133, с. 120].
Опыт работы школ по учебному пособию А.Н.Колмогорова [70] показывает, что формирование у учащихся умений самостоятельно изучать новый материал вызывает определенные трудности [ЮО] . Эти трудности связаны как с недостатком задач в учебниках (в основном это задачи на закрепление изученного материала), так и с методикой обучения (недостаточное использование системы задач для развития самостоятельности учащихся).
Переход на новое учебное пособие академика А.В. Погорелова "Геометрия 6-Ю" поставил перед учителями школ и методистами ряд довольно СЛОЕНЫХ методических проблем. Одной из них является проблема усовершенствования системы задач и упражнений. "... Развитие методики преподавания математики идет по пути внедрения новых форм и видов математических упражнений, вызывающих у школьников большую мыслительную активность" [178, с. 16].
Известно, что термин "упражнение" означает не только многократное выполнение учащимися определенных действий с целью их усвоения, но и употребляется для обозначения задания, даваемого с целью совершенствования в выполнении какой-либо деятельности. Такими учебными заданиями являются разнообразные по объему и содержанию задачи и лабораторные работы.
Системой упражнений является совокупность упражнений различных типов, которые взаимосвязаны, взаимообусловлены логической структурой учебного материала и психолого-педагогическими закономерностями процесса формирования знаний, умений и навыков.
В методической литературе встречаются различные подходы к построению систем упражнений по различным разделам и учебным предметам. Общепризнанной является мысль о том, что необходимо включать в изучение нового материала системы таких упражнений, выполнение которых требовало бы от школьников взаимосвязи умственных и практических действий.
