Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1. ГУМАНИТАРНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ
ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 33
§1.1. Гуманитаризация образования как элемент стратегии развития современного образования 33
§ 1.2. Роль прикладной математической подготовки в гуманитаризации высшего математического образования 45
§ 1.3. Обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений как фактор расширения мировоззрения студентов 87
§ 1.4. Психологические аспекты обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 117
§ 1.5. Развитие логической культуры мышления при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений 148
§ 1.6. Межпредметные связи и прикладная направленность курса обратных задач для дифференциальных уравнений 157
§ 1.7. Историко-математическая линия обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 177
Общие выводы по главе 1 184
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ МЕТОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬГХ УРАВНЕНИЙ 187
§2.1. Существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений 187
§ 2.2. Цели и принципы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 217
§ 2.3. Отбор и формирование содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 232
§ 2.4. Формы организации учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений 273
§ 2.5. Методы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 295
§ 2.6. Подходы к индивидуализации обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 318
§ 2.7. Проектирование системы гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений 322
Общие выводы по главе 2 335
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 338
§ 3.1. Психолого-педагогические основы использования компьютерных математических пакетов в вузе 338
§ 3.2. Сравнительный анализ исследований методических. аспектов использования компьютерных математических пакетов в вузе при обучении дифференциальным уравнениям 347
§ 3.3. Особенности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений с использованием информационных технологий 356
§ 3.4. Методика учебного исследования модельных обратных задач для дифференциальных уравнений с использованием компьютерных математических пакетов 363
Общие выводы по главе 3 380
ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОБУЧЕНИЯ ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 383
§4.1. Организация экспериментальной проверки эффективности применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений 383
§ 4.2. Влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов 388
Общие выводы по главе 4 393
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 394
ЛИТЕРАТУРА 398
ПРИЛОЖЕНИЯ 441
Приложение 1. Математические постановки обратных задач для дифференциальных уравнений 441
Приложение 2. Конспект лекционного занятия "Дельта-функция Дирака и ее свойства 456
Приложение 3. Конспект семинарского занятия "Дельта-функция Дирака в задачах для дифференциальных уравнений" 473
Приложение 4. Акты о внедрении результатов диссертационного исследования 480
Введение к работе
Экономический рост современного общества, как известно, инициируется научным потенциалом, в том числе и прикладной математики, и образованностью членов этого общества. Это необходимые условия прогресса общественных отношений, но они не являются достаточными. Для решения задач обеспечения экономического роста недостаточно подготовить высококвалифицированных, исполнительных работников. Современное информационное общество и его развивающаяся экономика нуждаются в энергичных и инициативных высококвалифицированных специалистах, умеющих принимать и грамотно реализовывать самостоятельные творческие решения, отвечать за их осуществление. В современной России в условиях перехода к правовому государству, к демократическому обществу, к рыночной экономике интересы общества, в целом, и ее отдельных личностей начинают объективно совпадать. Запросы развития экономики и социальной сферы, науки, техники, технологий, федерального и территориальных рынков труда, а также перспективные потребности их развития выступают в качестве основного фактора реформирования такого важного института социальной сферы, как система образования. К образованию предъявляются новые духовно-нравственные и социально-экономические требования, предусматривающие качественное обновление педагогической науки, усиление внимания к личности, развитию ее сознания и самосознания, профессионального потенциала.
Государство делает важные шаги в сторону образования, для того, чтобы стать в нем гарантом качества образовательных программ и услуг, предоставляемых как общеобразовательными, так и профессиональными образовательными учреждениями, независимо от организационно-правовых форм. В докладе рабочей группы президиума Государственного совета Российской Федерации по вопросам реформы образования "Образовательная политика России на современном этапе" от 9 августа 2001 года отмечается, что образо вательная политика является важнейшей составляющей политики государства, инструментом обеспечения фундаментальных прав и свобод личности, повышения темпов социально-экономического и научно-технического развития, гуманизации общества, роста культуры.
Стратегия развития современного российского образования, общие ее принципы определяются в Законах РФ "Об образовании", "О Высшем и послевузовском профессиональном образовании", в которых государство провозглашает приоритетной область образования. В национальной доктрине образования, утвержденной постановлением Правительства РФ от 4 октября 2000 г. (№ 751) и являющимся основополагающим государственным документом, устанавливается приоритет образования в государственной политике на период до 2025 года, стратегия и основные направления его развития; определяются цели воспитания и обучения. В концепции модернизации российского образования на период до 2010 года (распоряжение Правительства РФ от 29 декабря 2001 г. № 1756-р) определяется главная задача российской образовательной политики - обеспечение современного качества образования на основе сохранения его фундаментальности и соответствия актуальным и перспективным потребностям личности, общества и государства. Одним из ключевых инструментов программно-проектной деятельности Министерства образования и науки РФ, фиксирующая основные положения политики государства в области образования и определяющая меры по реализации стратегии развития образования является концепция Федеральной целевой программы развития образования на 2006-2010 годы (утверждена 3 сентября 2005 г. № 1340-р). В рамках подпрограммы "Педагогические кадры России" Федеральной программы развития образования предусматриваются меры по преодолению негативных тенденций в кадровом обеспечении образования, повышению социального статуса и профессионализма педагогических работников.
Российская Федерация в 2000 г., как и большинство стран, входящих в Организацию Объединенных Наций, подписала Дакарские соглашения по реализации программы "Образование для всех", а в 2003 г. вошла в состав европейских стран - участников Болонского процесса.
В 2005 г. президент Российской Федерации В.В. Путин объявил ряд национальных проектов, в том числе - в области образования, приоритетами государственной политики России. Для обеспечения координации усилий всех участников проектов был создан Совет во главе с президентом Российской Федерации. В состав Совета вошли представители всех уровней исполнительной и законодательной власти, гражданского общества, эксперты. Председателем президиума Совета при президенте Российской Федерации по реализации приоритетных национальных проектов и демографической политике был назначен первый заместитель председателя правительства Российской Федерации Д.А. Медведев. Это говорит о том, что в реализации национальных проектов будут сконцентрированы усилия всех ветвей и уровней власти государства. Одним из элементов информационного сопровождения реализации социальных инициатив в здравоохранении, образовании, жилищной сфере и агропромышленном комплексе является сайт: http://www.rost.ru. В приветствии посетителям портала Д.А. Медведев подчеркнул: "...Нам важно, чтобы каждый гражданин нашей страны знал, что и как делается для реализации приоритетных национальных проектов... На сайте Вы сможете узнать и о самих национальных проектах, и о том, как выполняются поставленные задачи. Оценить прозрачность принимаемых решений и высказать свое мнение...".
В ходе интернет-пресс-конференции в РИА "Новости" 21 сентября 2006 г. директор департамента государственной политики в сфере образования Министерства образования и науки РФ И. Калина заявил, что финансирование национального проекта "Образование" в 2007 г. будет увеличено в полтора раза - до 40 млрд. рублей. По словам И. Калины, почти 15 млрд. рублей планируется выделить для поддержки вузов. Директор департамента также сообщил, что в текущем году в рамках национального проекта "Образование" появляется два новых направления финансирования: "Первое - поддержка субъектов Федерации, реализующих комплексные проекты модернизации образования. Второе - поддержка учреждений начального и среднего образования, реализующих инновационные образовательные программы...".
Сегодня со стороны государства большое внимание уделяется и развитию в российской высшей школе научных исследований и разработок, оказывающих решающее влияние на укрепление кадрового и технологического уровня народного хозяйства страны. Тем более, что в Российской Федерации накоплен огромный положительный опыт формирования различных форм интеграции науки и высшего образования, в их числе: базовые кафедры институтов Российской академии наук в ведущих высших учебных заведениях, кафедры вузов в научных институтах и другие. В посланиях Президента Российской Федерации В.В. Путина Федеральному собранию подчеркивается, что: "...сегодня должен быть изменен сам подход к образованию. В эпоху глобализации и новых технологий - это не просто социальная сфера. Это -вложение средств в будущее страны, в котором участвуют государство и общество, предприятия, организации, граоїсдане - все заинтересованные в качественном образовании... (2001 г.); "...развитие вузовской науки и крупных научно-образовательных центров доллсно стать приоритетной задачей. .."(2004 г.). В.В. Путин на совещании по вопросам развития информационных технологий в г. Новосибирске 11 января 2005 года уделил особое внимание вопросам интеграции науки, высшего образования и производства в едином территориальном комплексе в целях формирования условий для развития наукоемких производств.
На основании всестороннего обсуждения основных направлений интеграции образовательной и научной деятельности, вопросов развития вузовской науки и образовательных центров, проведенного 11 мая 2005 г. в рамках заседания Совета Российского Союза ректоров с участием представителей Министерства образования и науки Российской Федерации, Российской академии наук, Федерального Собрания Российской Федерации, руководства Администрации и научно-педагогической общественности Белгородской области, участниками заседания были выработаны ряд важных документов. В этих документах акцентируется внимание на подготовку специального проекта федерального закона "О государственной политике в области интеграции высшего образования и науки", регламентирующего юридический статус, вопросы собственности, функциональные полномочия и источники финансирования традиционных и новых институциональных форм интеграции; сохранение целевого бюджетного финансирования комплекса мероприятий по интеграции науки и высшего образования, увеличение ежегодных объемов финансирования до уровня 1500-2000 млн. рублей [332].
Под воздействием вышеотмеченных позитивных перемен определяются приоритеты и меры в реализации генеральной, стратегической линии в среднесрочный период - модернизации российского образования, предусматривающей качественное обновление педагогической науки, построение принципиально новых моделей прикладных исследований, способствующих развитию педагогической науки и распространению образовательных инноваций; усиление внимания к личности, развитию ее сознания и самосознания, культурного и профессионального потенциала, целевое финансирование перспективных прикладных исследований и социально-образовательных проектов.
Большую роль в системе человеческих знаний и человеческой культуры современного общества играет прикладная математика. Существенные результаты в области прикладной математики получены А.А. Андроновым, С.Н. Бернштейном, О.М. Белоцерковским, Е.П. Велиховым, В. Вэлковичем, Н.М. Гюнтером, Н.Е. Жуковским, М.В. Келдышем, А.Н. Колмогоровым, СП. Королевым, Н.Е. Кочиным, Н.Н. Красовским, А.Н. Крыловым, М.А. Лаврентьевым, A.M. Ляпуновым, О.Э.Х. Лявом, Г.И. Марчуком, Ю.Н. Павловским, Л. Прандтлем, О. Рейнольдсом, А.А. Самарским, Л.И. Седовым С.Л. Соболевым, Д.Г. Стоксом, А.Н. Тихоновым, С.А. Чаплыгиным, В.Н. Челомеем, Э. Шредингером и другие учеными. Фундаментальные результаты отмеченных авторов внесли весомый вклад в научно-технический прогресс, ставший неотъемлемой гранью современной цивилизации. Отметим такие его составляющие как атомная энергетика, термоядерный синтез, освоение космического пространства, спутниковое телевидение, прогнозирование погоды, предупреждение атмосферных катастроф, исследование земной среды и мирового океана, поиск полезных ископаемых и др. При этом человеческая цивилизация, в том числе "благодаря" и достижениям прикладной математики, за свое существование, к сожалению, накопила немало печальных фактов научной деятельности и экспериментов над природой, повлекших за собой ряд экологических катастроф, истощение природных ресурсов, гибель и страдания людей.
Ученые, фактически, были освобождены от моральной ответственности за последствия открытий и применения полученных результатов на практике. Создавались и испытывались, в том числе и на людях, химические, атомные, ядерные, бактериологические и другие виды оружия. В последние десятилетия из-за создавшихся экологических проблем происходят необратимые изменения климата Земли, появляются и расширяются озонные дыры, гибнет фауна Мирового океана и т.д. Это может способствовать тому, что глобальный климат и окружающая среда понесут непоправимые потери, и вследствие чего может произойти гибель всего живого на Земле. Широкими слоями человеческого сообщества стал подвергаться сомнению тот факт, что научно-технический прогресс является главным критерием развития цивилизации. Достаточно вспомнить критику проектов гонки вооружений, ядерных испытаний, строительства атомных электростанций, поворота некоторых западносибирских рек в Среднюю Азию, тотальной мелиорации и др., реализация которых не имела никаких морально-этических оснований и приводила к конфликтной ситуации технологичности науки и ее моральных ограничений.
На современном этапе эти проблемы должны осознавать не только ученые. Идеями гуманизации и сопутствующей ей гуманитаризации должно быть пронизано и вузовское прикладное математическое образование. Неслучайно современное развитие российского общества характеризуется совершенствованием системы образования, в основе которой лежат принципы гуманизации и гуманитаризации, направленные на развитие общекультурных компонентов и формирование личностной зрелости обучаемых. Как известно, одним из направлений реформирования системы российского образования в настоящее время является гуманитаризация математического образования, концепция содержания которого активно стала разрабатываться с девяностых годов прошлого столетия.
В высших учебных заведениях России в настоящее время находит свое развитие идея гуманитаризации математического образования, существенный вклад в развитие которой внесли А.Д. Александров [4, 5], СИ. Архангельский [24 - 26], М.И. Башмаков [41], В.Г. Болтянский [64], Н.Я. Ви-ленкин [87], М.Б. Волович [91], Е.Г. Глаголева [38], Т.Д. Глейзер [108, 109], Б.В. Гнеденко [111 - 113], В.А. Гусев [128, 129], Г.В. Дорофеев [141], Т.А. Иванова [164, 165], Н.Б. Истомина [171], А.Н. Колмогоров [190], Ю.М. Колягин [191 - 193], В.И. Крупич [148], Г.Л. Луканкин [248], А.И. Марку-шевич [254], В.Л. Матросов [263], Н.В. Метельский [266, 267], Т.Н. Ми-ракова [271], В.М. Монахов [278], А.Г. Мордкович [279, 280], К.И. Нешков [290], И.Л. Никольская [291], Г.И. Саранцев [387, 388], А.И. Семушин [393], Е.И. Смирнов [406], И.М. Смирнова [407], Н.Л. Стефанова [414], А.А. Столяр [416], Н.А. Терешин [421], Л.М. Фридман [448-450], А.Я. Хинчин [454], В.Н. Худяков [457], Р.С. Черкасов [461], И.Ф. Шарыгин [469], Р.И. Шварцбург [471] и другие. Гуманитаризация математического образования предполагает изучение математики в контексте всех достижений мировой культуры, что несомненно способствует воспитанию высокой духовности, формированию культуры будущих выпускников вузов, в том числе выпускников физико-математических факультетов.
В процессе обучения любой учебной дисциплине реализуются идеи развития творческой личности студентов. Определенный вклад в развитие творческой личности студентов физико-математических специальностей вузов вносит обучение учебному курсу обратных задач для дифференциальных уравнений, содержание которого формируется на основе теории обратных задач для дифференциальных уравнений — одной из современных и сравнительно молодых направлений прикладной математики. Обычно в основе получаемых дифференциальных уравнений, при исследовании какого-либо реального процесса или явления, лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое число произвольных функций (в случае линейных уравнений - это коэффициенты уравнений), определяющие свойства физической среды. Если свойства среды известны, то дифференциальное уравнение в сочетании с краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для дифференциальных уравнений. В теории обратных задач подобные задачи называются "прямыми". В докторских диссертациях P.M. Асланова [27], Г.Л. Луканкина [248], А.Г. Мордковича [280], Ю.В. Сидорова [398], М.И. Шабунина [466], кандидатских диссертациях Г.И. Бав-рина [31], Х.А. Гербекова [103], Т.И. Глушковой [ПО], Б.А. Найманова [285], К. Сурганова [417] и других находит свое развитие профессиональная и прикладная направленность обучения дифференциальным уравнениям в высших учебных заведениях.
При исследовании прикладных задач типична ситуация, когда интересующие характеристики объекта недоступны или труднодоступны для непосредственного наблюдения (например, глубинные свойства Земли и Мирового океана, астрофизические явления, проблема неразрушающего контроля качества изделий и конструкций, выявление дефектов внутри работающего объекта, медицинские исследования, направленные на выявление патологий внутренних органов человека, и многие другие исследования). Проведение самого эксперимента может быть вообще невозможно, потому что он либо запрещен (например, исследование здоровья человека), либо слишком опасен (например, при исследование экологических явлений), либо исследуемый объект существует в единственном экземпляре. Наконец, эксперимент может быть связан с очень большими финансовыми затратами. В этом случае собирается некоторая косвенная информация об исследуемом объекте. Эта информация определяется природой исследуемого объекта и используемым при этом экспериментальным комплексом. Так как основные законы природы выражаются, как правило, на языке дифференциальных уравнений, то исходная задача сводится к задаче определения коэффициентов дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных), правой части, начальных условий по некоторым известным функционалам их решения. Такие задачи, в отличие от обычных задач для дифференциальных уравнений, когда уравнение задано, а требуется отыскать его решение (прямые задачи), получили название обратных задач для дифференциальных уравнений — обратных в причинно-следственном отношении (восстановление неизвестных причин известных следствий). При этом "причины" конкретизируются в виде неизвестных коэффициентов, правой части, начальных условий. В качестве "следствий" выступают функционалы от решения дифференциального уравнения.
Основы теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений заложены и развиты фундаментальными работами А.С. Алексеева [8 - 10], В.А. Амбарцумяна [487], Г. Борга [489], И.М. Гельфанда [101], И.С. Красновидовой [216], М.Г. Крейна [217], М.М. Лаврентьева [230-238], Б.М. Левитана [241], М.Т. Нужина [296, 435], А.И. Прилепко [336-338], B.C. Рогожина [216], В.Г. Романова [233, 237, 364 - 373], А.Н. Тихоно ва [426-431], Г.Г. Тумашева [435] и других. В настоящее время это научное направление активно развивается представителями как отечественных математических школ: Ю.Е. Аниконовым [15 - 17], А.В. Баевым [34, 35], А.С. Барашковым [37], М.И. Белишевым [43, 44], А.С. Благовещенским [44, 52 -54], А.Л. Бухгеймом [76, 77], П.Н. Вабишевичем [382], А.О. Ватульяном [83, 84], А.В. Гончарским [117], A.M. Денисовым [136, 137], В.И. Дмитриевым [138, 139], СИ. Кабанихиным [54, 176, 370, 373, 496], В.И. Прийменко [334, 335], Т.П. Пухначевой [349, 350, 370], A.M. Федотовым [441], В.А. Че-вердой [325], В.Г. Чередниченко [459, 460], В.А. Юрко [479], В.Г. Яхно [238, 371, 372, 485, 486] и другими, так и зарубежными учеными: G. Anger [488], H.D. Bui [73], Y. Chen [491], D. Colton [492], R. Durridge [490], H.W. Engl [493], J.Gottlieb [497], M. Grasselli [496], G.Q. Xie [506], R. Kress [492], G. Kunetz [500], J.Q. Lin [491], A. Lorenzi [496], J.M. Mendel [501], R.D. Murch [502], A. Roger [503], M. Sondhi [495], G. Stoyan [505], M. Hanke [493], M. Yamamoto [508] и другими.
Учебный курс обратных задач для дифференциальных уравнений, с одной стороны, весьма сложен, имеет свою специфичную терминологию, использует сложные математические модели и методы исследования. В процессе обучения студенты не всегда понимают значение полученных знаний по обратным задачам в своей будущей профессии. С другой стороны, в учебном курсе присутствуют широкие межпредметные связи изучаемых вузовских математических курсов. Опыт показывает, что решение обратных задач способствует реализации мотивационной, познавательной, развивающей, воспитывающей, управляющей, иллюстративной, образовательной функций обучения, формированию и развитию межпредметных и общеучебных умений и способностей студентов, функции контроля проверки знаний и умений студентов. В процессе обучения студентам прививаются черты самой гуманитаризации - применение методов рассуждений, свойственных гуманитарным наукам: словесный способ построения исследования, широкое применение аналогий, убедительных рассуждений, полемика, научный спор, апелляция к чувству, к воображению.
При этом, до настоящего времени не проводилось исследований в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование существенного гуманитарного потенциала обучения обратным задачам, а также на создание научно-обоснованных методических систем обучения соответствующим учебным курсам, что могло бы внести весомый вклад в пропагандируемую сегодня гуманитаризацию математического образования.
Учитывая вышеизложенное, следует отметить, что традиционная система прикладного математического образования испытывает противоречие между необходимостью гуманитаризации математического образования, возможностью использования обратных задач для дифференциальных уравнений как фактора гуманитаризации математического образования и отсутствием систем обучения обратным задачам, способствующих формированию у студентов общекультурных компонентов, таких, как прикладная математическая культура мышления, волевые качества личности, эстетика, базирующаяся на способности оценить красоту математических идей и формул, истории создания теории обратных задач, основ гуманитарного анализа прикладных исследований, в том числе и с использованием современных информационных и телекоммуникационных технологий.
Необходимость устранения указанного противоречия за счет разработки методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, по которым педагогические исследования практически отсутствуют, делает актуальной тему, выбранную для исследования.
Указанные доводы и вышеотмеченное противоречие определяют научную проблему настоящей диссертационной работы, заключающуюся в отсутствии методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, ориентированной на подготовку студентов - будущих специалистов в области прикладной математики, обучающихся на физико-математических специальностях высших учебных заведений, в условиях гуманитаризации высшего математического образования. Для устранения указанного противоречия необходимо провести целостное педагогическое исследование, посвященное выявлению гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; разработке учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации математического образования; выявлению вклада обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в гуманитаризацию прикладного математического образования.
Целью исследования является разработка теоретических и методических основ обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования, позволяющих подготовить специалистов в области прикладной математики, понимающих гуманитарный потенциал обратных задач, умеющих применять знания в области обратных задач для дифференциальных уравнений в практике и видеть последствия практической реализации прикладных исследований.
Объектом исследования выступает прикладная математическая подготовка студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений.
Предмет исследования - методическая система обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования.
Гипотеза исследования заключается в том, что обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений на основе использования специально разработанных методических систем и теоретических подходов будет способствовать гуманитаризации подготовки специалистов в области прикладной математики, что позволит:
- повысить эффективность обучения студентов физико-математических специальностей;
- выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;
- повысить готовность будущих специалистов в области прикладной математики к применению знаний в области обратных задач для дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований;
- приобрести еще один инструмент для познания мира и сформировать образное и научное представления о реальном физическом пространстве.
Цель, предмет и гипотеза исследования определили постановку и необходимость решения следующих задач:
1) проанализировать содержание понятия "гуманитаризация математического образования" и выявить вклад прикладного математического образования в гуманитаризацию высшего математического образования;
2) выявить гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающий в себя расширение мировоззрения, психологические аспекты обучения, логическую культуру мышления, межпредметные связи и прикладную направленность обучения, историко-математическую линию обучения;
3) проанализировать существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений;
4) сформулировать цели и раскрыть основные принципы обучения обратным задачам в условиях гуманизации и гуманитаризации обучения; ввести классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений;
5) разработать содержание учебного курса обратных задач для дифференциальных уравнений, типовую программу, методы обучения обратным задачам, подходы к индивидуализации обучения; спроектировать систему гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений;
6) разработать методику обучения обратным задачам с применением информационных и телекоммуникационных технологий и выявить их роль как дидактического средства интенсификации обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений;
7) экспериментально подтвердить эффективность применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования и ее влияние на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.
Для решения задач, поставленных перед исследованием, использовались следующие методы: анализ отечественных и зарубежных научных трудов по педагогике, психологии, философии, обратным задачам для дифференциальных уравнений; обобщение опыта преподавания обратных задач; анализ учебных программ, пособий, диссертаций, материалов конференций; беседа; наблюдение; проведение лекционных и практических занятий со студентами; педагогический эксперимент и анализ экспериментальной деятельности.
Теоретическую и методологическую основу исследования составляют фундаментальные работы в области гуманитаризации образования (А.Д. Александров, Ю.Н. Афанасьев, М.Н. Берулава, С.Э. Зуев, М.С. Каган, А.С. Кра-вец, В.В. Мадер, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, И.М. Орешников, В.И. Рыжик, И.М. Смирнова, В.М. Тихомиров и др.); профессиональной подготовки специалистов и проблем развития личности средствами обучения математике (СИ. Архангельский, И.И. Баврин, В.В. Грушин, В.А. Гусев, В.П. Добри-ца, Г.В. Дорофеев, Ю.Г. Игнатьев, Т.А. Иванова, А.Н. Колмогоров, Г.Л. Лу-канкин, В.Л. Матросов, Т.Н. Миракова, А.Г. Мордкович, Н.Х. Розов, А.С. Симонов, Е.И. Смирнов, Г.Г. Хамов, В.Н. Худяков, М.И. Шабунин и др.); по общедидактическим принципам и критериям оптимизации организации обучения (Ю.К. Бабанский, В.П. Беспалько, В.И. Загвязинский, B.C. Ильин, B.C. Леднев, И.Я. Лернер, М.Н. Скаткин, А.В. Усова и др.); по проблемам информатизации образования (Е.Ы. Бидайбеков, Т.А. Бороненко, С.Г. Григорьев, В.В. Гриншкун, С.А. Жданов, А.А. Кузнецов, СИ. Макаров, Е.В. Огородников, Е.С. Полат, И.В. Роберт, А.Н. Тихонов и др.); по проблеме реализации межпредметных связей (Р.Л. Исаева, Б.С. Каплан, О.Е. Кириченко, Я.М. Котляр, А.А. Кузнецова, Г.М. Морозов, Н.К. Рузин, А.А. Столяр, В.Н. Федорова Н.В. Чхаидзе и др.); в области обратных задач для дифференциальных уравнений (А.Л. Бухгейм, П.Н. Вабищевич, A.M. Денисов, СИ. Кабанихин, М.М. Лаврентьев, А.В. Поляков, А.И. Прилепко, В.Г. Романов, Ю.М. Тимофеев, А.Н. Тихонов, В.Г. Яхно и др.); по методическим аспектам использования информационных и телекоммуникационных технологий в вузе при обучении физико-математическим дисциплинам (В.В. Алейников, И.В. Беленкова, Д.П. Голоскоков, И.Б. Горбунова, Е.А. Дахер, В.П. Дьяконов, СА. Дьяченко, Е.В. Клименко, Т.Г. Кузьмичева, СВ. Поршнев, СЕ. Савотченко и др.).
Базой научного исследования и опытно-экспериментальной работы явились кафедра информатики и прикладной математики Московского городского педагогического университета, Курский государственный университет, Курский государственный технический университет.
Научная новизна исследования:
1) выявлен гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, заключающийся в том, что такое обучение является фактором расширения мировоззрения студентов, развития логической культуры мышления, позволяющим правильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов и явлений, реализовать межпредметные связи и прикладную направленность обучения, что способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей. Обосновано, что решение обратных задач выполняет мотивационную, познавательную, развивающую, воспитательную и другие функции, что приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов. Показано, что осмысление истории развития теории и практики исследования обратных задач для дифференциальных уравнений формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире, о развитии методов познания, позволяет увидеть прикладную математику с "живым лицом", глубже осознать гносеологический процесс познания в прикладной математике;
2) выявлено влияние обучения обратным задачам на формирование личностных качеств студентов в рамках гуманитаризации математического образования. Показано, что при обучении обратным задачам студенты овладевают словесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, применением аналогий; умением формулировать гипотезы, аксиомы, постулаты и убедительно рассуждать; научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта, способностью проводить логические выводы прикладного и гуманитарного характера, способностью построения и корректировки модели исследуемого объекта. Вышеотмеченные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях, которые в процессе человеческого познания одинаковы для гуманитарных, социальных или естественнонаучных дисциплин, и каждый из которых выражает определенную часть реальности;
отобраны существующие и разработаны новые обратные задачи для дифференциальных уравнений, необходимые для обучения. Среди них: одномерные обратные задачи определения неизвестных коэффициентов, входящих в телеграфное уравнение, в уравнение колебания струны, в волновое уравнение; двумерная обратная задача одновременного определения двух ко эффициентов, входящих в гиперболическое уравнение, многомерная обратная задача одновременного определения всех коэффициентов, входящих в многомерное гиперболическое уравнение и др. Эти задачи могут быть применены для исследования свойств процессов и явлений, порожденных импульсными источниками типа дельта-функции Дирака. Для вновь сформулированных обратных задач доказаны конструктивные теоремы существования, единственности и условной устойчивости решений в пространствах непрерывных функций, в банаховых пространствах аналитических функций и др. Обосновано, что овладение математическими методами решения таких задач способствует гуманитаризации подготовки студентов - будущих специалистов в области прикладной математики;
4) определены научные основы для проектирования гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающие математический и дидактический анализ содержания учебного материала; отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам, которые ориентированы на создание ситуаций, требующих от студента принятия решений по важным для человечества вопросам, обоснованного выбора правильной позиции в обществе, преодоления нравственных противоречий. Подобные занятия должны приобщать студентов, как к проблеме гуманитаризации математического образования, так и к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований, которым необходим гуманитарный анализ с участием экспертов-гуманитариев и для которых необходимо рассматривать обратные задачи как морально-нравственное приложение к различным физическим, экологическим, социальным, экономическим и другим процессам и явлениям;
5) раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам с использованием математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab, среди которых: принципы творчества и инициативы студентов, научности, системности, межпредметных связей, опережающего обучения с передачей студентам мирового научного и культурного наследия и другие. У студентов должен формироваться необходимый уровень знаний, умений и навыков анализировать, сравнивать, обобщать полученные результаты по обратным задачам, которые позволяют в дальнейшем применять их в своей профессиональной деятельности, что характеризует высокий уровень усвоения знаний.
Теоретическая значимость проведенного исследования заключается в выявлении гуманитарного потенциала обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений и его роли в формировании и развитии у будущих специалистов в области прикладной математики гуманного отношения к обществу и окружающей среде; обосновании целесообразности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений студентов физико-математических специальностей высших учебных заведений как фактора гуманитаризации высшего математического образования; раскрытии принципов отбора содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, среди которых: принципы единства учебного материала и содержательных линий, обобщенности, полноты, оптимальности, дидактической значимости и др., а также принципов отбора модульных обратных задач как самостоятельной дидактической единицы усвоения содержания обучения; разработке теоретических основ обучения, позволяющих обеспечить высокий уровень предметных знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений, осознать необходимость проведения гуманитарного анализа результатов прикладных исследований, использовать информационные и телекоммуникационные технологии в решении прикладных задач.
Практическая значимость полученных результатов заключается в том, что:
1) описаны методы рациональных рассуждений, применяемые в обучении обратным задачам, среди которых: гипотезы, разумные аналогии при решении задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи и др.;
2) разработаны методические рекомендации по проектированию системы гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, включающей: математический и дидактический анализ содержания учебного материала, отбор системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи излучения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие; постановку учебных целей и планирование системы учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений; разработана типовая программа по курсу обратных задач для дифференциальных уравнений;
3) разработаны рекомендации по использованию компьютерных математических пакетов Maple и Mathematica на лабораторных занятиях в процессе решения учебных обратных задач для дифференциальных уравнений;
4) создано учебное пособие, включающее описание математических методов исследования обратных задач для дифференциальных уравнений.
Результаты и рекомендации, полученные в ходе исследования, могут быть использованы при обучении дисциплинам прикладной математики в вузах в условиях гуманитаризации математического образования, при написании учебных пособий по курсам прикладной математики, теории и методике обучения прикладной математике для студентов и преподавателей вузов.
Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивалась непротиворечивостью логических выводов в ходе теоретического анализа проблем исследования и их согласованностью с концепциями приклад ных и педагогических наук и принципиальным соответствием основным результатам других исследователей; четкостью методологических, математических, историко-математических, психолого-педагогических, дидактических и методических позиций; корректным применением к проблеме исследования системного, деятельностного, культурологического и исторического подходов; использованием известных методов исследования прямых и обратных задач для дифференциальных уравнений; согласованностью результатов исследования с 20-летним опытом проведения автором исследований в данной научной области и 15-летним опытом обучения студентов обратным задачам для дифференциальных уравнений в высших учебных заведениях, учетом опыта коллег по работе, использованием в обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений информационных и телекоммуникационных технологий, повышением качества обучения и характеристик личностного развития студентов.
Работы в рамках исследования проводились с 1986 по 2008 годы и могут быть условно разделены на три основных этапа.
На первом этапе (1986-2000 г.г.) исследовались новые постановки как модельных, так и учебных обратных задач для дифференциальных уравнений, имеющих реальную физическую интерпретацию, результаты которых отвечают внутренним потребностям развития теории обратных задач для дифференциальных уравнений; анализировались философские, психолого-педагогические, методолого-математические, методические источники, диссертационные исследования по вопросу трактовки понятия гуманитаризации математического образования.
На втором этапе (2001-2005 г.г.) выявлялся гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; анализировались существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений; разрабатывались теоретические и методические основы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования.
На третьем этапе (2006-2008 г.г.) проводилась экспериментальная проверка эффективности применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений; исследовалось влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики. Описание основных положений и результатов исследования оформлялось в виде диссертационной работы.
На защиту выносятся следующие положения:
1) обучение обратным задачам для дифференциальных уравнений способствует гуманитаризации подготовки специалистов в области прикладной математики, поскольку такое обучение обладает высоким гуманитарным потенциалом, влекущим за собой расширение мировоззрения студентов, развитие логической культуры мышления, способность правильно устанавливать причинно-следственные связи физических процессов, реализацию межпредметных связей и прикладную направленность обучения. В свою очередь, это способствует более глубокому усвоению студентами дисциплин прикладной математики и других предметных областей, приводит к позитивным изменениям в знаниях, структуре деятельности и психике студентов, формирует у студентов правильное представление о путях приобретения человечеством знаний об окружающем мире и развитии методов познания;
2) сформулированные научные основы для проектирования гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений способствуют формированию и развитию гуманного отношения к окружающей среде, приобщают будущих специалистов в области прикладной математики к проблеме моральной ответственности перед обществом за последствия практической реализации прикладных исследований. Отмеченное влияние достигается благодаря формированию специфического содержания обучения и отбору системы обратных задач, в числе которых обратные задачи геофизики, обратные экстремальные задачи теории распространения примеси, обратные задачи распространения звука в подводной акустике, обратные задачи для телеграфного уравнения и другие, постановке учебных целей и планированию системы учебных занятий по обратным задачам, ориентированных на создание ситуаций, требующих от студента умений принимать решения по важным для человечества вопросам, обосновано занимать правильную позицию в обществе, преодолевать нравственные противоречия;
3) внедрение разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений обеспечивает высокий уровень предметных знаний по обратным задачам, способствует приоритетному рассмотрению общекультурных компонентов, таких как прикладная математическая культура мышления, волевые качества личности, эстетика, базирующаяся на способности оценить красоту математических идей и формул, история создания теории обратных задач. Отмеченная эффективность обучения достигается за счет того, что в разработанной методической системе учтены принципы отбора содержания обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, такие как единство учебного материала и содержательных линий, обобщенность, полнота, оптимальность, дидактическая значимость и другие, отобраны модульные обратные задачи как самостоятельные дидактические единицы усвоения содержания обучения, среди которых обратные задачи аналитического конструирования регуляторов, распространения электрических колебаний в проводах, определения концентрации вещества, определения свойств струн, мембран, процессов гидродинамики, акустики и другие, применены методы рациональных рассуждений, среди которых гипотезы, разумные аналогии при решении задачи, контроль замкнутости полученной системы уравнений обратной задачи, осмысление физических свойств исследуемого объекта в процессе решения обратной задачи и другие;
4) выявленные подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений, в числе которых выполнение курсовых и дипломных работ, написание рефератов по материалам научных статей, посвященным обратным задачам, самостоятельная работа по выполнению индивидуальных учебных заданий по обратным задачам для дифференциальных уравнений с логическими выводами прикладного и гуманитарного характера и другие оказывают позитивное влияние на формирование у студентов личностных качеств, среди которых овладение словесным способом описания хода исследования, методами формирования образных представлений, научной полемикой, апелляцией к чувству и к воображению, восприятием чувственного опыта. Перечисленные качества реализуются на символическом, интуитивном, логическом, образном и других уровнях. Разработанные подходы повышают готовность будущих специалистов в области прикладной математики к применению знаний по обратным задачам для дифференциальных уравнений в гуманитарном анализе прикладных исследований;
5) информатизация обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений, основанная на использовании компьютерных математических пакетов Maple, Mathematica, MathCad, Matlab, способствует повышению эффективности подготовки будущих специалистов в области прикладной математики. Это обусловлено возможностью реализации дидактических принципов обучения, среди которых, принципы творчества и инициативы студентов, коллективного характера в сочетании с развитием индивидуальных особенностей личности каждого студента, научности, системности, наглядности, межпредметных связей. Это способствует формированию высокого уровня знаний, умений и навыков, необходимых для решения обратных задач, анализа, сравнения, обобщения полученных результатов;
предложенные критерии, в числе которых коэффициент и полнота усвоения содержания понятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений, уровень гуманитарной составляющей обучения и другие крите рий, могут использоваться для выявления степени влияния обучения обратным задачам на формирование профессиональных качеств и воспитание студентов физико-математических специальностей вузов, а также позволяют оценить эффективность использования разработанной методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений в условиях гуманитаризации высшего математического образования при подготовке специалистов в области прикладной математики. Экспериментальная деятельность, осуществленная с использованием предложенных критериев, позволила подтвердить гипотезу исследования.
Результаты исследования внедрены в учебный процесс Московского городского педагогического университета, Курского государственного университета, Курского государственного технического университета.
Апробация результатов исследования. Полученные результаты докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции "Теория и практика решения обратных задач геоэлектрики" (Алма-Ата, КазПТИ, 1991); Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики и анализа", посвященной 60-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, ИМ СО РАН, 1992); II Республиканской конференции "Научно-практические основы повышения качества подготовки учителей математики и информатики в условиях многоступенчатого образования" (Алма-Ата, АТУ, 1994); Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи", посвященной памяти академика А.Н. Тихонова (Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 1996); 1-ом Съезде математиков Казахстана (Чимкент, 1996); Международной конференции "Обратные задачи математической физики" (Новосибирск, ИМ СО РАН, 1998); Международной научно-практической конференции "Проблемы вычислительной математики и информационных технологий" (Алма-Ата, КазГУ, 1999); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, КрасГУ, 1999); Международном симпозиуме "Академик К.И. Сатпаев и его роль в развитии науки, образования и индустрии в Казахстане", (Алма-Ата, КазНТУ, 1999); Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Алма-Ата, ИМ МОН РК, 2001); Международной конференции "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, ИВМ СО РАН, 2001); Первой Международной научно-практической конференции "Наука и образование на современном этапе развития общества" (Алма-Ата, АР, 2002); Международной конференции "Некорректные и обратные задачи", посвященной академику М.М. Лаврентьеву (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2002); Международном симпозиуме "Обратные задачи в прикладной механике (ISIP 2003)" (Япония, Ногано, 2003); XIV, XV Международных конференциях-выставках "Информационные технологии в образовании (ИТО)" (Москва, МИФИ, 2004, 2005); I, II, III Международных научно-методических конференциях "Математическое моделирование и информационные технологии в образовании и науке (ММ ИТОН)" (Алма-Ата, АТУ, 1998, 2003, 2005); XXIV Всероссийском семинаре преподавателей математики университетов и педагогических вузов "Современные проблемы школьного и вузовского математического образования" (Саратов, СГУ, 2005); VI Международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения (СКМП-2005)" (Смоленск, СГПУ, 2005); Международной научной конференции "МГПУ в Московском и Российском образовательном пространстве" (Москва, МГПУ, 2005); Международных научно-практических конференциях "Информационные технологии в образовании" ("ИТО-Поволжье 2006", Самара, СФ МГПУ, 2006; "ИТО-Черноземье 2006", Курск, КГУ, 2006; "ИТО-Сибирь - 2007", Иркутск, ИГУ, 2007); XV, XVI, XVII, XVIII Международных конференциях "Применение новых технологий в образовании" (Троицк, ФНТО "БАЙТИК", 2004, 2005, 2006, 2007); Международной научно-практической конференции "Информационные технологии в образовании и науке" (Казань, ТГГПУ, 2007); Международной конференции "XXI век: Проблема подготовки специалистов в системе педагогического образования" (Москва, МГПУ, 2007); Научно-практическом семинаре "Нечеткое и четкое математическое моделирование" (Курск, КГТУ, 2008) и др.
Основные результаты исследования опубликованы в 75 научных работах общим объемом более 90 печатных листов, в том числе в одной монографии, двух учебных пособиях, семи типовых программах и десяти публикациях в журналах, рекомендованных ВАК РФ.
Структура диссертации. Логика исследования и изложения его результатов определили структуру диссертации, состоящую из введения, четырех глав, заключения, литературы и четырех приложений.
Во введении обосновывается актуальность проблемы исследования, сформулирована цель исследования, его объект, предмет, гипотеза и задачи, характеризуются методы, научная новизна и практическая значимость исследования, приводятся основные положения, выносимые на защиту, данные об апробации и внедрении разработанных результатов, краткое содержание диссертации.
В первой главе "Гуманитарный потещиал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений анализируются процессы гуманитаризации математического образования, вузовская система прикладной математической подготовки, ее вклад в гуманитаризацию высшего математического образования; выявляется гуманитарный потенциал обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений.
Во второй главе "Построение методической системы обучения обратным задачам для дифферетщалъных уравнений" проанализированы существующие подходы к обучению обратным задачам для дифференциальных уравнений; сформулированы цели и раскрыты основные принципы обучения; введены классификационные признаки и целевые модули, играющие роль инструментария для составления и анализа учебных программ, формирования содержания курсов обратных задач для дифференциальных уравнений; разработано содержание обучения, описаны организация лекционных и семи нарских занятий, методы обучения, подходы к индивидуализации обучения, самостоятельной работы, методы проверки знаний, умений и навыков студентов; спроектирована система гуманитарно-ориентированных учебных занятий по обратным задачам для дифференциальных уравнений.
В третьей главе "Использование информационных технологий при обучении обратным задачам для дифференциальных уравнений" проведен психолого-педагогический анализ использования компьютерных математических пакетов в высших учебных заведениях; сравнительный анализ исследований методических аспектов использования компьютерных математических пакетов в вузе при обучении дифференциальным уравнениям; описана организация проведения лабораторных работ по обратным задачам с использованием компьютерных математических пакетов; раскрыты дидактические принципы обучения обратным задачам при использовании компьютерных математических пакетов; излагается методика учебного исследования модельных обратных задач для дифференциальных уравнений с использованием компьютерных математических пакетов.
В четвертой главе "Экспериментальная проверка эффективности обучения обратным задачам для дифференциальных уравнении описана организация экспериментальной проверки эффективности применения методической системы обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений. Проанализировано влияние обучения обратным задачам для дифференциальных уравнений на формирование профессиональных качеств и воспитание будущих специалистов в области прикладной математики.
В заключении отражены основные результаты проведенного исследования, а также выводы по их использованию в дальнейших исследованиях в области педагогики и методики обучения математике, нацеленных на обоснование гуманитарного потенциала обучения физико-математическим дисциплинам в вузе.
Литература, использованная в процессе проведенного исследования представлена списком из 508 наименований.
В приложениях помещены: математические постановки обратных задач, вошедшие в разработанный учебный курс обратных задач для дифференциальных уравнений; конспект лекционного занятия по теме "Дельта-функция Дирака и ее свойства" и конспект семинарского занятия на тему "Дельта-функция Дирака в задачах для дифференциальных уравнений"; акты о внедрении результатов исследования.
