Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Теоретические основы развития логического мышления учащихся 5-7 классов посредством обучения решению задач с геометрическим содержанием
1.1. Развитие логического мышления как элемент математического образования учащихся 13
1.2. Психолого-педагогические основы развития логического мышления учащихся 5-7 классов 21
1.3. Развитие логического мышления школьников при обучении математике 30
1.4. Задачи с геометрическим содержанием и их дидактические возможности 49
Глава 2. Методические основы развития логического мышления учащихся 5-7 классов посредством обучения решению задач с геометрическим содержанием
2.1. Задачи с геометрическим содержанием как средство развития логического мышления 58
2.2. Содержание курса «Развивающая логика» для 5-7 классов 77
2.3. Методика обучения решению задач с геометрическим содержанием 83
2.4. Проблема контроля и оценки развития логического мышления учащихся 96
2.5. Основные задачи, методы, организация и результаты проведения педагогического эксперимента 112
Заключение 140
Библиографический список использованной литературы 143
- Развитие логического мышления как элемент математического образования учащихся
- Психолого-педагогические основы развития логического мышления учащихся 5-7 классов
- Задачи с геометрическим содержанием как средство развития логического мышления
Введение к работе
Современную школу отличает гуманизация образования, усиление внимания к ученику, к его саморазвитию. В последнее время все большее признание получает развивающее обучение, которое формулирует по существу одну цель, состоящую в том, что обучение должно вести к умственному, нравственному и физическому развитию учащихся. Одна из целей школьного обучения математике - способствовать развитию логического мышления учащихся.
В обширной психолого-педагогической литературе (Л.С. Выготский, С.Л. Рубинштейн, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин, Н.И. Чуприкова, Л.М. Фридман, A.M. Матюшкин и др.) рассматриваются особенности развития логического мышления. Умение логически мыслить считается важным компонентом образования, и обучение этому умению является такой же необходимой задачей школы, как и передача знаний.
Однако в современной общеобразовательной школе логике учащихся специально не обучают, и задача развития логического мышления не ставится как отдельная и важная задача обучения. Большие возможности для развития логического мышления школьников содержит математика, где усвоение знаний и логических приемов мышления по овладению этими знаниями могут совершаться в органическом единстве, но они используются недостаточно.
Особенно трудно приходится учащимся седьмых классов, впервые приступающим к изучению систематического курса геометрии, для успешного усвоения которого необходим достаточно высокий уровень развития логической культуры. Им «очень трудно дается даже умение держать нить рассуждения, не говоря уже о том, чтобы освоить такие приемы, как абстрагирование или обобщение» [106, с.34]. Некоторые ученики не могут самостоятельно сформулировать утверждение, вытекающее из приведенных ранее рассуждений. Иногда, в ходе решения они только намечают схему доказательства и обосновывают некоторые, часто не основные утверждения, не понимая необходимости обоснования каждого отдельного этапа решения, ссылаясь на их очевидность или на рисунок к задаче. Если же в задаче есть вычисления, то начинают решение с них, пропуская доказательную часть. Многие учащиеся не чувствуют потребности в доказательстве, логическая сущность доказательства от них ускользает. В результате они просто механически заучивают доказательства. Для некоторых школьников связь между теоремами также остается невыясненной.
Учащиеся не умеют анализировать заданный рисунок к задаче (разбить его на части и снова объединить части в целое). Нечетко у учащихся представление о методах математического доказательства, например, о методе от противного, о значении таких слов как «все», «каждый», «необходимо», «достаточно», «равносильно», «следует», «тогда и только тогда, когда», о том, что для опровержения какого-либо утверждения достаточно указать только один случай, в котором это утверждение не выполняется. Таким образом, можно сделать вывод о недостаточном развитии логического мышления учащихся 7-х классов.
Целесообразность развития логического мышления у школьников бесспорна. Развивать его нужно начинать как можно раньше на разнообразном материале. Необходим этап в обучении, который позволит подготовить учащихся к восприятию и самостоятельному проведению доказательств в 7 классе, будет способствовать становлению правильных логических структур. Решение данной проблемы имеет особое значение для дальнейшего совершенствования обучения математике в 5-6 классах, так как в мышлении именно этой возрастной группы происходит переход от конкретно-образного мышления к абстрактно-логическому.
Действующие программы по математике не нацеливают учителя на формирование логического мышления школьников. О его развитии идет речь только при перечислении целей изучения курса геометрии в 7-9 и 10-11 классах. В перечне же целей изучения математики в 5-6 классах, алгебры в 7-9 классах и алгебры и начал анализа в 10-11 классе такой цели нет, видимо развитие логического мышления считается побочным или необязательным результатом обучения.
В содержании обучения и в требованиях к математической подготовке учащихся нет никаких указаний на ознакомление школьников с основными логическими понятиями, на формирование у них логической грамотности и логической культуры. Только в результате изучении геометрии от учащихся требуется уметь решать задачи на вычисление геометрических величин, проводя аргументацию в ходе решения задач, а также уметь решать задачи на доказательство. Таким образом, не используются возможности математики 5-6 класса для развития логического мышления. Как следствие, учитель не уделяет должного внимания этому вопросу.
Проблемой развития логического мышления школьников разного возраста занимались А.А. Столяр, И.Л. Никольская, В.И. Крупич, Г.Д. Глейзер, Н.Я. Виленкин, Л.Н. Удовенко, СИ. Смирнова, В.Н. Руденко, B.C. Нодельман. Большое значение в их работах придается как общим, так и конкретным путям решения этой проблемы.
В настоящее время появились новые учебники для 5-6 классов (Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, СБ. Суворова, Л.Г. Петерсон), которые нацелены на развитие мышления, творческих способностей ребенка. Но в учебниках авторов Г.В. Дорофеева и Л.Г. Петерсон недостаточно задач с геометрическим содержанием и они не систематизированы, а ведь именно при изучении геометрии возникают проблемы, связанные с низким уровнем развития логического мышления. Учебники авторов Г.В. Дорофеева, И.Ф. Шарыгина, СБ. Суворовой и др. обогащены геометрическим содержанием. Но поисковые, проблемные задачи, решение которых как раз и развивает логическое мышление, расположены в учебнике для 5 класса под заголовком «Для тех, кому интересно», а значит, не предназначены для всех учащихся. И, на наш взгляд, в учебниках и для 5, и для 6 класса содержится недостаточное количество таких задач.
Требует глубокой научной проработки, теоретического обоснования возможность развивать логическое мышление учащихся на уроках математики в 5-6 классах, геометрии в 7 классе или на уроках развивающей логики в 5-7 классах с помощью задач с геометрическим содержанием (задачи с геометриче ским содержанием - задачи, направленные на развитие логического мышления, базирующиеся на геометрическом материале, по форме - сюжетные задачи).
Актуальность настоящего исследования определяется необходимостью разрешения следующих противоречий:
- между сравнительно высоким уровнем требований к логической культуре учащихся при изучении систематического курса математики (особенно геометрии - с 7 класса) и низким уровнем логической культуры учеников, имеющейся к этому моменту;
- между широкими возможностями формировать логическое мышление учащихся на уроках математики (например, с помощью задач с геометрическим содержанием) и недостаточной разработкой методических аспектов, обеспечивающих развитие логического мышления;
- между продекларированной в нормативных документах основной целью обучения математики (развитие мышления учащихся) и формализмом знаний, который определен организацией и содержанием учебного процесса.
Разрешение этих противоречий предполагает:
- теоретическое обоснование разработки содержания, средств и методов обучения, обеспечивающих развитие логического мышления учащихся;
- определение роли и места задач с геометрическим содержанием как средства развития логического мышления учащихся 5-7 классов, создание методики, обеспечивающей развитие логического мышления с помощью этих задач.
Проблемой исследования является устранение несоответствия между высоким уровнем требований к логической культуре учащихся при изучении систематического курса математики (особенно геометрии) и практикой обучения, при которой задачам, требующим логических рассуждений (особенно задачам с геометрическим содержанием) уделяется совершенно недостаточное внимание.
Целью исследования является выявление дидактических возможностей задач с геометрическим содержанием, обоснование места и времени их применения в процессе обучения математике в 5-7 классах с целью развития логиче ского мышления учащихся, разработка методики обучения учащихся решению этих задач.
Объектом исследования является обучение математике в 5-7 классах.
Предметом исследования является содержание учебного материала, способствующего развитию логического мышления учащихся 5-7 классов и разработка методики обучения решению задач с геометрическим содержанием как средства развития логического мышления.
Гипотеза исследования: если организовать обучение учащихся 5-7 классов решению задач с геометрическим содержанием по специально разработанной методике, то это будет способствовать развитию у них логического мышления, а именно:
- повышению уровня развития комбинаторного мышления;
- овладению наиболее употребительными приемами рассуждения и доказательства: рассуждением по аналогии, обоснованием или опровержением на примере, дедуктивным рассуждением, доказательством от противного;
- формированию мыслительных операций;
- формированию умения проводить логический анализ при решении задачи;
- формированию умения организовывать поиск решения таким образом, чтобы ни одно решение не потерять;
- формированию умения анализировать чертеж, повышению уровня развития «геометрического зрения»;
- формированию умения выявлять логические закономерности;
В соответствии с целью, гипотезой, объектом и предметом исследования были определены следующие частные задачи:
1) провести анализ влияния решения задач с геометрическим содержанием на развитие логического мышления;
2) определить место использования задач с геометрическим содержанием в курсе математики 5-6 класса и геометрии 7 класса как на уроках, так и на факультативе;
3) разработать методику обучения решению задач с геометрическим содержанием;
4) осуществить экспериментальную проверку эффективности использования разработанной методики.
Методологической основой исследования являются: деятельностный подход к обучению (Л.С. Выготский, А.Н. Леонтьев, А.А. Столяр, Н.Ф. Талызина, П.Я. Гальперин и др.), концепция развивающего обучения (Д.Б. Элько-нин, В.В. Давыдов, Х.Ж. Танеев, И.С. Якиманская).
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
- анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования;
- анализ программ по математике, учебных и учебно-методических пособий, дидактических материалов по математике;
- изучение педагогического опыта работы учителей математики; анализ личного опыта работы в качестве учителя математики в различных классах;
- педагогический эксперимент;
Исследование проводилось в три этапа с 1995 г. по 2002 г. На первом этапе (1995 - 1996 гг.) был проведен анализ психолого-педагогической, методической и учебной литературы по проблеме исследования, констатирующий эксперимент, проанализировано влияние решения задач с геометрическим содержанием на развитие логического мышления;
На втором этапе (1996 - 2000 гг.) был проведен поисковый эксперимент, определено место использования задач с геометрическим содержанием в курсе математики 5-6 класса и геометрии 7 класса, разработана методика обучения решению задач с геометрическим содержанием;
На третьем этапе (2000-2002 гг.) осуществлялась экспериментальная проверка эффективности использования разработанной методики во время обучающего эксперимента, обобщены все полученные экспериментальные и теоретические результаты, сделаны выводы.
Достоверность и обоснованность полученных в исследовании результатов и выводов обеспечивается результатами педагогического эксперимента и их статистической обработкой, опорой на основные положения современных методологических, психолого-педагогических и научно-методических исследований, использованием разнообразных методов исследования.
Научная новизна исследования заключается в том, что в нем:
- систематически исследованы возможности задач с геометрическим содержанием для развития логического мышления учащихся 5-7 классов; впервые в практике преподавания геометрии 7 класса для развития логического мышления предлагается систематически использовать задачи о раскраске графов (цветные ребусы), задачи о раскраске многогранников;
- разработаны научно-методические рекомендации по использованию задач с геометрическим содержанием с целью совершенствования процесса обучения математике в 5-7 классах; предлагается использовать такой метод в решении задач, как построение графа поиска решений; идеи симметрии; при доказательстве невозможности того или иного построения (например, разбиения фигуры, подчиненного определенным условиям) применяется раскраска чертежа; систематически используется логический анализ, рассуждения по схеме «необходимо и достаточно», «оценка плюс пример», и т.д.;
- разработана структура и содержание нового курса «Развивающая логика» для 5-7 классов.
Теоретическая значимость исследования состоит в том, что в нем:
- определены методические условия использования задач с геометрическим содержанием для обеспечения развития логического мышления учащихся;
- разработано новое содержание в организации уроков математики в 5-7 классах, ориентированное на развитие логической культуры учеников;
Практическая значимость исследования состоит в том, что в результате экспериментально-педагогической работы разработаны учебные материалы, развивающие логическое мышление учащихся 5-7 классов, методика обучения решению задач с геометрическим содержанием, основанная на концепции раз вивающего обучения и использующая групповые технологии, структура и содержание специального курса «Развивающая логика» для 5-7 классов. На защиту выносятся следующие положения:
1. Разработанная методика обучения решению задач с геометрическим содержанием учащихся 5-7 классов, основанная на концепции развивающего обучения и использующая групповые технологии (включающая новые дидактические материалы - задачи с раскраской в условии) способствует развитию логического мышления учащихся 5-7 классов до уровня, достаточного для эффективного усвоения систематического курса математики (в особенности геометрии) в 7-11 классах.
2. Предлагаемая методика обучения решению задач с геометрическим содержанием позволяет ускорить развитие логического мышления учащихся, что показали результаты диагностических срезов, в том числе разработанных в диссертации. Логическое мышление учащихся обогащается посредством привлечения большого числа математических и логических идей: построения графа поиска решений, использования идеи симметрии, раскраски чертежа для проведения доказательства невозможности того или иного построения, логических схем «необходимо и достаточно», «оценка плюс пример» и т.д.
Апробация и внедрение результатов исследования осуществлялись в школе-лицее № 74 г. Омска, в гимназии № 147 г. Омска, в лицее № 64 г. Омска. Некоторые теоретические и практические положения диссертационного исследования докладывались на III Сибирских методических чтениях (г. Омск, 1999 г.). Элементы предлагаемой методики прошли также апробацию в гимназии № 10 г. Тобольска, в Летних математических школах для школьников Омской области. Как элемент апробации и внедрения, можно назвать публикации автора, в которых отражены основные результаты работы. В сборнике трудов [1, список публикаций автора], [2, список публикаций автора] опубликованы полные тексты двух докладов автора на III Сибирских методических чтениях. В журнальных статьях [3, список публикаций автора], [4, список публикаций автора] описаны элементы организации педагогического эксперимента и анализ роли и места развивающих задач (задач с геометрическим содержанием) в школьных учебниках математики для 5-6 классов. Книга [5, список публикаций автора] написана для учителей математики 5-7 классов и посвящена задачам с геометрическим содержанием.
Развитие логического мышления как элемент математического образования учащихся
В теориях обучения центральным для психологов и педагогов является понятие мышления. «Мышление - это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью психический процесс поисков и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза. Мышление возникает на основе практической деятельности из чувственного познания и далеко выходит за его пределы» [96, с. 315].
«Отличие мышления от других психологических процессов состоит также в том, что оно почти всегда связано с наличием проблемной ситуации, задачи, которую нужно решить, и активным изменением условий, в которых эта задача задана» [88, с. 275].
Существуют разнообразные классификации видов мышления ([28], [121], [88], [112], [23]). Одна из классификаций [88] представлена на схеме:
«Теоретическое понятийное мышление - это такое мышление, пользуясь которым человек в процессе решения задачи обращается к понятиям, выполняет действия в уме, непосредственно не имея дела с опытом, получаемым при помощи органов чувств» [88, с. 275].
«Теоретическое образное мышление отличается от понятийного тем, что материалом, который здесь использует человек для решения задачи, являются не понятия, суждения или умозаключения, а образы» [88, с. 276], которые или извлекаются из памяти или воссоздаются воображением мыслящего человека.
Особенность наглядно-действенного мышления состоит в том, что «процесс мышления представляет собой практическую преобразовательную деятельность, осуществляемую человеком с реальными предметами» [88, с. 277].
Отличительная особенность наглядно-образного мышления заключается в том, что «мыслительный процесс в нем непосредственно связан с восприятием мыслящим человеком окружающей действительности и без него совершаться не может» [88, с. 277].
Перечисленные виды мышления одновременно выступают и как уровни его развития. Но, с другой стороны, каждый из перечисленных видов мышления может развиваться независимо от других и достигать значительной высоты.
Существуют и другие классификации видов мышления. «Если мышление направлено на реальные предметы, то оно называется конкретным, если мышление направлено на идеальные предметы или на представляемое, то речь идет об абстрактном мышлении. Оба способа мышления переходят один в другой». [121, с. 281]. Х.Ж. Танеев отмечает, что «основное направление развития мышления в школьном возрасте - переход от конкретно-образного к абстрактно-логическому мышлению» [16, с. 15].
В.В. Давыдов выделяет два типа мышления: эмпирическое - мыслительная деятельность, «направленная на расчленение и регистрацию результатов чувственного опыта» [28, с.89] и теоретическое мышление - мышление, «раскрывающее сущность объектов, внутренние законы их развития» [28, с.89].
При изучении школьных предметов учащиеся сталкиваются с задачами двух типов: практическими и абстрактно-формальными. С решением практических задач справляется большинство школьников, но абстрактно-формальные задачи, требующие навыков теоретического обобщения, решают наиболее способные из них. Поэтому система обучения должна обеспечивать умение переходить от эмпирического уровня мышления к теоретическому.
В этой связи важным является вопрос о соотношении эмпирического и теоретического уровня познания в обучении. В.В. Давыдов, Х.Ж. Танеев отмечают, что в школьном преподавании необходимо единство эмпирического и теоретического уровней познания. Учителю не нужно пытаться все показать на конкретном примере, чрезмерно увлекаться наглядными образами, такая постоянная опора на чувственное восприятие учащихся тормозит их развитие и, что немаловажно, замедляет темп проведения урока. Можно, например, увидеть на уроках, как простейшие арифметические задачи сопровождаются записью краткого условия, выполнением рисунков, причем на это оформление ученик тратит больше времени, чем собственно на решение поставленной задачи. Нежелательно и поспешно переходить к теоретическому уровню познания без опоры на эмпирический уровень. Это также может привести к торможению развития детей. Примером здесь может служить неудачная попытка раннего изучения элементов математической логики в школе или попытка построения школьного курса геометрии на векторной основе.
Согласно А.А. Столяру, логическое мышление определяется как «правильное мышление, посредством которого достигается истина, мышление, выводы которого полностью соответствуют положению вещей в окружающей нас действительности» [114, с.З]. Степень совершенства мышления определяется мерой соответствия его содержания содержанию объективной реальности. Логичность мысли при достоверности исходных посылок является гарантией не только ее правильности, но и истинности. В этом заключается познавательная сила логического мышления.
Психолого-педагогические основы развития логического мышления учащихся 5-7 классов
Проведем характеристику развития мышления в подростковом возрасте (существует несколько периодизаций возрастного развития, в основном подростковым считается возраст от 11-12 до 14-15 лет, ведущей деятельностью в этом возрасте считается учение). Но сначала сравним мышление ребенка раннего, дошкольного и школьного возраста, сопоставим их и поймем то новое, что возникает в мышлении подростка.
Вопрос о том, как развивается мышление ребенка, давно обсуждался в психологической литературе. Большой вклад в решение этого вопроса внесли исследования и эксперименты Ж. Пиаже, Л.С. Выготского, А Н. Леонтьева, С.Л. Рубинштейна и др. В исследованиях швейцарского психолога Ж. Пиаже разработана периодизация умственного развития ребенка. Кратко остановимся на ней.
Данные исследований Ж. Пиаже показывают, что мышление ребенка проходит (если мы оставим в стороне мышление ребенка самого раннего детства) в развитии через три фазы. «В период с 4 до 7-8 лет образуется интуитивное (наглядное) мышление» [98, с. 177]. Умственная деятельность ребенка состоит в основном в установлении связи между опытом и действием. Интерес ребенка сводится к манипулированию предметами и овладению окружающим его миром через действия. Ребенок мыслит целостными, связными, образными впечатлениями, которые обычно называют синкретическими.
«С 7-8 до 11-12 лет формируются конкретные операции, то есть операционные группировки мышления, относящиеся к объектам, которыми можно манипулировать или которые можно схватывать в интуиции» [98, с. 177]. Пиаже считает, что в 7-8 лет логическое мышление проявляется только в плане конкретного мышления, в плане же словесного мышления ребенок продолжает еще стоять на дологической стадии развития. Начиная с 7 лет в мышлении ребенка происходит глубокий подъем, состоящий в том, что ребенок переходит от субъективных синкретических связей к комплексным объективным связям. Поэтому может создаться впечатление, что ребенок 7 лет мыслит как взрослый, что он способен к применению наших мыслительных операций. Но это не более как иллюзия, показывает Пиаже. «До 11-12 лет одна и та же форма еще не является независимой от разных проявлений своего конкретного содержания» [98, с. 202].
Отметим, что мешает с психологической стороны возникновению абстрактного мышления в эту пору. «Исследования показывают, что ребенок школьного возраста еще недостаточно осознает собственные мыслительные операции и поэтому не может в полной мере овладеть ими» [12, с. 98]. А логическое мышление становиться возможным только тогда, когда ребенок овладеет своими мыслительными операциями, подчинит их себе, начнет их регулировать и управлять ими.
С 11-12 лет «субъект становится способен рассуждать гипотетико-дедуктивно, то есть на основе одних общих посылок, без необходимой связи с реальностью или собственными убеждениями, иными словами, отдаваясь необходимости самого рассуждения в силу одной его формы, в противоположность согласованию выводов с результатами опыта» [98, с. 202]. Появляется абстрактное мышление. Подростки уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. Мышление подростка характеризуется стремлением к широким обобщениям.
Известный психолог Л.С. Выготский также отмечает три основные стадии в развитии мышления ребенка. Первая стадия в развитии мышления - построение синкретических образов - «кучи предметов, соответствующей значению слова» [12, с. 137], неупорядоченного, неоформленного множества.
Вторая стадия - так называемое мышление в комплексах, «обобщения, создаваемые с помощью этого способа мышления представляют по своему строению комплексы отдельных конкретных предметов или вещей, объединяемых уже не на основании субъективных связей, устанавливаемых во впечатлении ребенка, но на основе объективных связей, действительно существующих между этими предметами» [12, с. 139].
Третья стадия - мышление в понятиях. Л.С. Выготский отмечает, что «лишь после 12 лет, то есть с началом переходного возраста, у ребенка начинают развиваться процессы, приводящие к образованию понятий и абстрактному мышлению» [12, с. 122], «подросток совершает в эпоху полового созревания важнейший переломный шаг на пути интеллектуального развития. Он переходит от комплексного мышления к мышлению в понятиях. Образование понятий и оперирование ими - вот то существенно новое, что приобретается в этом возрасте. В понятиях интеллект подростка находит не просто продолжение прежних линий», .и далее «это качественно новое образование, несводимое к более элементарным процессам, которые характеризуют развитие интеллекта на ранних ступенях. Мышление в понятиях - это новая форма интеллектуальной деятельности, новый способ поведения, новый интеллектуальный механизм» [13, с. 54]. В подростковом и раннем юношеском возрасте приобретают окончательные формы умственные действия и операции с понятиями, опирающиеся на логику рассуждений и отличающие абстрактное мышление от наглядно-образного. В своих работах Л.С. Выготский дает определение логическому мышлению, отмечая, что оно «не складывается из понятий, как из отдельных элементов, оно не добавляется к понятиям, как нечто стоящее над ними и возникающее после них - оно есть сами же понятия в их действии, в их функционировании» [13, с. 78]. И поэтому только в переходном возрасте овладение логическим мышлением становится реальным фактом. Исследования многих отечественных и зарубежных авторов приурочивают развитие логического мышления к переходному возрасту. Г. Ормиан считает, что овладение логическим мышлением начинается с 11 лет. Г. Ролофф показал, что функция определения понятия усиленно растет у ребенка между 10 и 12 годами. Э. Мейман считает, что у ребенка к 14 годам происходит окончательное овладение логическим мышлением. Г. Мюллер показал, что логическое мышление становится господствующей формой мышления у мальчиков с 13, а у девочек с 12 лет [13].
Задачи с геометрическим содержанием как средство развития логического мышления
В предыдущей главе мы показали, что с помощью задач с геометрическим содержанием возможно развитие как формально-логических, так и интуитивных компонент логического мышления. В этом параграфе рассмотрим на примерах, каким образом и какие именно умения и навыки формируются при решении этих задач.
Задачи с геометрическим содержанием:
1. Развивают комбинаторные навыки.
Покажем, как при решении следующей задачи развиваются комбинаторные навыки учащихся:
Задача. Составьте все возможные фигуры пентамино (от греч. "пента" — пять). Сколько их получилось?
В этой задаче нужно найти все фигурки, поэтому нужно правильно осуществить перебор вариантов. Фигурки пентамино будем получать из фигурок тетрамино, приставляя к ним пятый квадрат всеми различными способами. Фигурок тетрамино всего пять (см. рис. 2, их можно получить из фигурок тримино таким же способом). Возьмем первую фигуру тетрамино и, приставляя к ней пятый квадрат всеми возможными способами, получим девять различных фигурок пентамино (рис. 3). Далее возьмем вторую фигуру тетрамино и проделаем аналогичные операции и т.д. Понятно, что при этом могут получиться и одинаковые фигурки, мы учитываем только различные.
2. Формируют логику поиска решения, когда решение нужно организовать таким образом, чтобы найти все решения и ни одно не потерять.
Для примера рассмотрим задачу.
Задача. Найдите пять способов разрезания прямоугольника размерами 3x4 клетки на две равные части так, чтобы линия разреза шла по сторонам клеток (способы разрезания считаются различными, если части, полученные при одном способе разрезания, не равны частям, полученным при другом способе). Дополнительный вопрос: есть ли еще способы разрезания на две равные части этого прямоугольника?
Учащиеся анализируют условие задачи и отвечают на вопрос: «Возможно ли такое разрезание в принципе?». В прямоугольнике содержится 12 клеток, значит разрезание возможно. Каждая из частей будет содержать 6 клеток, и разрезание будет проводиться по сторонам клеток. Найти несколько решений этой задачи не так уж сложно. Но чтобы сформировать теоретическое мышление нужно предоставить обобщенный прием решений для такого типа задач. Необходимо организовать поиск решения таким образом, чтобы найти все способы разрезания. Заметим, что части, на которые мы разрезаем фигуру, должны быть равными, а значит, они должны быть одинаковы по форме. Поэтому линия разрезания (а это ломаная линия) будет симметрична относительно центра прямоугольника. Это наблюдение позволяет нам шаг за шагом рисовать ломаную с двух концов. Например, если начало ломаной в точке А, то конец ее будет в точке В (рис. 4). Для данной задачи начало и конец ломаной можно нарисовать тремя способами, показанными на рис. 4.
Чтобы не потерять ни одно решение, поиск всех способов разрезания можно организовать следующим образом. Если следующее звено ломаной можно нарисовать двумя способами, то сначала нужно заготовить второй такой же рисунок и выполнить этот шаг на одном рисунке первым, а на другом вторым способом (на рис. 5 показаны два продолжения рис. 4, а). Аналогично нужно поступать, когда способов не два, а три. Учащиеся учатся строить граф поиска решений. Построив граф, они могут с уверенностью сказать, что нашли все решения.
