Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Теоретические основы обучения решению математических задач с экономическим содержанием в основной школе с применением компьютера 12
1. Педагогические возможности усиления прикладной на правленности курса математики основной школы через решение математических задач с экономическим содержанием 12
2. Математические модели в задачах с экономическим со держанием 28
3. Психолого-педагогические основы компьютеризации обучения школьной математике 50
4. Возможности использования компьютера в обучении математике при решении прикладных задач с экономическим содер жанием 60
ВЫВОДЫ ПО I ГЛАВЕ 66
ГЛАВА II. Методическое обеспечение решения задач с экономиче ским содержанием при изучении отдельных тем курса алгебры с применением компьютера 67
1. Методика использования задач финансовой математики на уроках алгебры в основной школе 72
1.1. Простые проценты 73
1.2. Сложные проценты 97
2. Элементы математической статистики в курсе алгебры основной школы 114
3. Функции компьютера на уроках математики при решении задач с экономическим содержанием в основной школе 133
4. Организация педагогического эксперимента и его результаты 144
ВЫВОДЫ ПО II ГЛАВЕ 160
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 161
ЛИТЕРАТУРА 163
ПРИЛОЖЕНИЕ № 1 183
ПРИЛОЖЕНИЕ № 2 184
- Педагогические возможности усиления прикладной на правленности курса математики основной школы через решение математических задач с экономическим содержанием
- Математические модели в задачах с экономическим со держанием
- Методика использования задач финансовой математики на уроках алгебры в основной школе
Введение к работе
В настоящее время, когда происходит стремительный переход России к рыночным отношениям, претерпевают изменения большинство сфер человеческой деятельности. Развитие банковской системы, инвестиционной и страховой деятельности, развитие предпринимательства - все это требует привлечения специалистов к новой для нашей страны области - области финансовой математики. Эти преобразования происходят на фоне бурного развития информационных технологий, которые, в свою очередь, накладывают отпечаток на происходящие процессы. Школа как социальный институт, безусловно, не может остаться в стороне от проблем, возникающих при формировании нового экономического уклада российского общества, требующего качественного повышения общей экономической грамотности, достижения каждым выпускником школы определенного уровня экономической культуры. И на этом пути сразу же обнаружились пробелы в школьных курсах математики, полностью игнорирующих многие элементарные, но очень важные для повседневной жизни приемы анализа экономических процессов. Это подтверждает необходимость обновления устоявшейся образовательной системы в сложившихся условиях.
В восьмидесятые годы прошлого столетия в работах ряда исследователей, таких, как В.В. Фирсов [213], Б.В. Гнеденко [66-68], В.М. Монахов [150], А.Н. Колмогоров [101], А.Г. Мордкович [158], А.Д. Мышкис [160], Р.С. Черкасов [46], СИ. Шварцбурд [224], была поставлена проблема модернизации системы школьного математического образования путем усиления прикладной направленности школьного курса математики. В дальнейшем идея модернизации российского образования получила продолжение в работах этих и других авторов, таких, как В.И. Арнольд, В.Л. Матросов, В.М. Филиппов, Ю.М. Колягин, Л.Д. Кудрявцев, В.А. Трайнев, В.Д. Шадриков и др. [1; 19; 95; 104; 105; 106; 124; 125; 141; 160; 210].
Усвоение школьных математических знаний и овладение определенными математическими умениями и навыками являются основными задачами школьного математического образования. Формирование всесторонне и гармонично развитой личности - главная цель, которая стоит перед современной российской школой. Комплексный подход к воспитанию является важным средством для достижения этой цели, а усиление прикладной направленности обучения - одним из ее методов.
Проблемой прикладной направленности математики в разное время занимались такие ученые, как Г.Д. Глейзер [65], Б.В. Гнеденко [67; 69], Г.В. Дорофеев [83], А.Д. Мышкис [94; 160-162], В.В. Фирсов [213], И.М. Шапиро [223] и др. Основные методические разработки такого обучения раскрыты в исследованиях и методических работах А. Ахлимирзаева [25], И.И. Бав-рина [30], B.C. Былкова [50], Н.Я. Виленкина [54], Н.Р. Колмаковой [100], Л.М. Коротковой [107], В.М. Монахова [149; 151], Е.В. Сухоруковой [201], Н.А. Терешина [204], Ю.М. Фоминых [214], Л.Э. Хайминой [218], СИ. Шварцбурда [224] и др.
Все это должно выражаться, прежде всего, в повышенном внимании к вопросам, имеющим прикладное значение. Так, усиление прикладной направленности школьного курса математики может осуществляться при помощи насыщения его задачами практического характера, на примере которых раскрываются особенности применения математики к изучению действительности, формируются умения и навыки, необходимые в жизни, сближаются школьные методы решения задачи с методами, применяемыми на практике.
«Практическая направленность курса математики в наше время, - писал академик С.Л. Соболев, - означает, прежде всего, то, что учащихся надо познакомить с соотношениями между явлениями реального или проектируемого мира и его математическими моделями» [196, с. 5].
Вопросу введения понятий, связанных с математическим моделированием в обучении математике, традиционно уделяют большое внимание известные отечественные математики и методисты. В частности, ряд проблем,
5 связанных с применением математического моделирования при решении прикладных задач, рассмотрен в работах В.А. Арнольда [20], Н.Я. Виленкина [54], Б.В. Гнеденко [67], О.О. Замкова [91], В.М. Монахова [129; 149], А.Д. Мышкиса [160], А.А. Самарского [187], А.С. Симонова [188], А.Н. Тихонова [207] и др.
Несмотря на многочисленные исследования по данной проблематике, результаты анализа методических работ и школьного опыта преподавания обнаруживают недостаточное использование приемов математического моделирования в практике обучения учащихся основной школы при изучении курса алгебры.
На современном этапе развития общества одной из центральных задач, стоящих перед отечественной школой, является качественное базовое образование всех учащихся, которое невозможно без использования компьютерных технологий обучения. Поэтому вопросам использования современных информационных технологий в образовании посвящены работы и исследования таких ученых как М.Ю. Афанасьев [23; 24], Н.Б. Бальцюк [33; 35; 36; 37], М.М. Буняев [35], Б.С. Гершунский [63], И.В. Дробышева [33; 86], А.П. Ершов [88], Э.И. Кузнецов [117], В.Л. Матросов [136; 138], Е.И. Машбиц [62; 139], И.В. Роберт [179], Н.Ф. Талызина [202], В.А. Трайнев [138] и др.
Другой немаловажной задачей современного школьного образования является овладение основными методами и приемами использования изучаемого математического аппарата в различных областях человеческой деятельности. В частности, он может быть использован на практике при решении задач с экономическим содержанием, эффективность освоения которых напрямую зависит от успешного использования математических знаний и применения современных компьютерных технологий.
На сегодняшний день, когда остро встает вопрос об экономической грамотности общества, его экономической культуре, выпускники современной школы должны иметь ясное представление об общечеловеческой значи-
мости экономики, не уступающей всем тем наукам, которые они в течение нескольких лет изучали в школе.
В связи с этим существует значительное количество работ, посвященных включению в курс математики различных прикладных задач экономического содержания. В исследованиях Э.С. Беляевой [41], С. Гараева [61], В.Ф. Любичевой [127], Н.Б. Мельниковой [142], Е.Ю. Никоновой [168], Л.Д. Рябоконевой [185], А.Г. Еленкина [87], С.Г. Григорьева [74], А.С. Симонова [188], Н.А. Бурмистровой [48], Э.А. Локтионовой [122], А.А. Коротчен-ковой [108], Д.В. Никаноренкова [165], Н.А. Хоркиной [220], О.А. Клименко-вой [98] и др.; в научно-методических работах И.И. Баврина [30], Т.В. Малко-вой [129; 151], В.М. Монахова [149; 151], А.С. Симонова [189-193], Н.А. Те-решина [204], И.М. Шапиро [223] и других ученых рассматриваются вопросы использования математического аппарата для решения задач экономического содержания в школе и в вузе.
Данные научные исследования вносят большой вклад в теоретическое и практическое решение задач обучения математике учащихся на основе реализации прикладной направленности математики. В этих работах обосновано использование в курсе изучения математики средней школы экономико-математического моделирования.
Так, например, в работах Е.Ю. Никоновой, Н.А. Бурмистровой, Л.Д. Рябоконевой сделана попытка выявить особенности содержания и методики преподавания математики в классах экономического профиля, то есть с учащимися, чья будущая деятельность возможно будет связана с экономикой. В диссертационных исследованиях Э.С. Беляевой, Н.А. Хоркиной, О.А. Кли-менковой предложено изучение прикладных математических задач с экономическим содержанием проводить на факультативных занятиях в старших классах средней школы.
Диссертационные исследования Д.В. Никаноренкова и А.А. Коротчен-ковой акцентируют использование современных информационных технологий при решении задач с экономическим содержанием, при обучении студен-
7 тов вузов или учащихся старшей школы, с требованием специальных знаний информатики.
В докторской диссертации А.С. Симонова экономическая составляющая школьного курса математики представлена как отдельная содержательно-методическая линия. В данной работе показано, что обучение учащихся построению математических моделей экономических процессов является одним из эффективных путей усиления прикладной и практической направленности процесса обучения математике в средней школе.
В настоящее время решается вопрос о включении в курс школьного математического образования разделов математической статистики. Это нашло отражение в работах В.В. Фирсова [213], Г.В. Дорофеева [83; 131-133], Е.А. Бунимовича [47; 131-133], В.А. Булычева [47] и др.
Тем не менее, следует отметить, что использование в процессе обучения математических задач с экономическим содержанием, которые показывали бы на доступном материале практическое применение математического аппарата в курсе алгебры основной школы, рассматривалось в перечисленных работах недостаточно широко. Так, педагогическая действительность свидетельствует о том, что проблеме включения задач финансовой математики и математической статистики в процесс обучения математике не уделяется должного внимания.
Все вышесказанное определяет актуальность тематики данного исследования.
Объектом исследования является процесс обучения учащихся алгебре в основной школе.
Предмет исследования составляет методика решения задач с экономическим содержанием при изучении основных тем курса алгебры основной школы в условиях применения компьютера.
Проблема исследования состоит в поиске путей реализации прикладной направленности курса алгебры основной школы через решение задач с экономическим содержанием.
Гипотеза исследования заключается в том, что включение задач с экономическим содержанием в курс алгебры основной школы с соответствующей методикой их решения в условиях применения компьютерных технологий обучения способствует раскрытию и расширению прикладного аспекта изучаемого математического материала.
Целью исследования является создание программно-методического обеспечения решения задач с экономическим содержанием в основной школе, позволяющего реализовать прикладную направленность курса математики.
Реализация поставленной цели потребовала решения следующих конкретных задач:
Изучение психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования и определение дидактических и методических возможностей реализации прикладной направленности через решение математических задач с экономическим содержанием.
Выявление взаимосвязи экономических задач и математического аппарата, изучаемого в основной школе.
Исследование возможности использования компьютерных технологий обучения при решении задач с экономическим содержанием.
Разработка и обоснование методики решения задач с экономическим содержанием на уроках алгебры в основной школе с применением компьютерных технологий обучения.
Проведение экспериментальной проверки эффективности разработанной методики решения задач финансовой математики и математической статистики с применением компьютера.
Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования:
теоретический анализ философской, психолого-педагогической и научно-методической литературы по проблеме исследования;
анализ программ по математике, государственных стандартов среднего образования, учебных пособий и дидактических материалов по матема-
9 тике, информатике и дисциплинам экономического цикла для вузов финансового профиля;
проведение анкетирования и тестирования учащихся, опрос преподавателей математики и информатики;
наблюдение и анализ педагогических ситуаций, изучение и обобщение опыта преподавания, направленного на интеграцию учебных дисциплин;
экспериментальная проверка эффективности предложенной методики обучения решению задач с экономическим содержанием;
статистическая обработка результатов исследования.
Научная новизна исследования состоит в том, что впервые в методической литературе вопрос усиления прикладной направленности курса алгебры основной школы решается путем включения в отдельные его темы задач финансовой математики и математической статистики. При решении прикладных задач с экономическим содержанием использованы возможности компьютерных технологий обучения.
Теоретическая значимость работы заключается в следующем:
теоретически обоснована методика решения прикладных задач с экономическим содержанием в курсе алгебры основной школы;
раскрыты основные этапы моделирования задач финансовой математики и математической статистики с учетом особенностей курса алгебры основной школы;
теоретически обоснованы возможности использования компьютера при решении математических задач с экономическим содержанием.
Практическая значимость исследования состоит в том, что разработанная методика решения задач с экономическим содержанием может быть использована в образовательном процессе в курсе алгебры основной школы в условиях применения компьютерных технологий обучения. Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при подготовке учителей математики в педвузах, в работе институтов повышения квалификации работников образования.
Обоснованность и достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием в ходе исследования современных достижений педагогики, психологии и методики преподавания математики, многосторонним изучением проблемы, согласованностью полученных выводов с основными положениями методики обучения математике и концепцией современного школьного математического образования, последовательным проведением педагогического эксперимента и положительными результатами экспериментального обучения.
На защиту выносятся следующие положения:
Включение задач с экономическим содержанием в курс алгебры основной школы способствует раскрытию и расширению прикладного аспекта изучаемого математического материала.
Методика решения задач финансовой математики в курсе алгебры основной школы в условиях применения компьютерных технологий обучения усиливает практическую значимость курса.
Апробация и внедрение результатов исследования.
Основные теоретические положения и результаты диссертационного исследования докладывались автором на научно-практической конференции МПГУ (2000 г.); межшкольной конференции школ Международного Бакалавриата школ России, г. Тольятти (2001 г.); международном семинаре школ Международного Бакалавриата, г. Бонн, Германия (2001 г.); научно-методическом семинаре кафедры методики преподавания математики МПГУ (2002 г.); межшкольном методическом семинаре, г. Пермь (2003 г., 2004 г.); международном семинаре для преподавателей математики школ Международного Бакалавриата, г. Хильверсум, Голландия (2003 г.); аспирантском семинаре «Современные проблемы методики преподавания математики в системе школа-педвуз» (МПГУ, 2004 г.).
Внедрение результатов диссертационного исследования осуществлялось путем проведения занятий по разработанной методике. Эксперимент проводился в 1998-2004 гг. в VII-IX классах в Центре образования № 654 и
ННОУ школа «Европейская гимназия» г. Москвы, являющейся базовой школой Государственного Университета - Высшей школы экономики. В экспериментальной проверке было задействовано в общей сложности более 150 учащихся.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Педагогические возможности усиления прикладной на правленности курса математики основной школы через решение математических задач с экономическим содержанием
Прикладная направленность обучения математике, являясь одной из содержательно-дидактических линий, тесно связанной с другими линиями (функциональной, числовой и пр.) в школьном курсе математики, предполагает ориентацию его содержания и методов на связь с практической деятельностью, основами других наук, на подготовку школьников к использованию математических знаний в предстоящей профессиональной деятельности.
Методическая наука имеет в своем активе значительное количество исследований, связанных с проблемой обучения учащихся практическому применению математических знаний. Центральные идеи прикладной направленности обучения математике выявлены в работах Б.В. Гнеденко [67-69], А.Д. Мышкиса [94; 160-162], А.Н. Тихонова [207], В.В. Фирсова [213], И.М. Шапиро [223] и др. Основные методические разработки такого обучения раскрыты в работах И.И. Баврина [30], В.М. Монахова [148; 149], СИ. Шварцбурда [224], Н.А. Терешина [204] и др.
Прикладная направленность обучения математике предусматривает ориентацию его содержания и методов на изучение математической теории в процессе решения практических задач, на формирование у школьников прочных навыков самостоятельной деятельности с использованием справочной литературы, на воспитание устойчивого интереса к предмету.
В статье В.В. Фирсова [213, с. 215-239] практически впервые был введен термин «прикладная направленность» и раскрыто его содержание: «Существо прикладной направленности среднего математического образования заключается в осуществлении целенаправленной содержательной и методологической связи школьного курса математики с практикой, что предполагает введение в школьную математику специфических моментов, характерных для исследования прикладных проблем математическими методами».
В указанной статье были сформулированы и общие требования, выполнение которых необходимо для решения проблемы прикладной ориентации курса математики. Компоненты математической культуры, вовлекаемые в процесс обучения математике, должны формировать правильные представления о математике и ее приложениях.
Под прикладной направленностью обучения математике понимается обучение, ориентированное на применение математики в смежных науках и технике, в профессиональной и хозяйственной деятельности. Таким образом, прикладная направленность математики предполагает формирование у школьников умений, необходимых для решения прикладных задач.
Необходимость усиления прикладной направленности при обучении математике особо подчеркивается учеными-математиками А.Н. Колмогоровым, Н.Я. Виленкиным, В.И. Арнольдом, И.И. Бавриным, В.Л. Матросовым и др. Учащиеся должны овладеть теми математическими понятиями, с которыми им придется встречаться в жизни, в практической деятельности. Прикладная направленность школьного курса математики должна выражаться не только при изучении разделов прикладного характера, но и в формировании у школьников конкретных, осознанных представлений о значении математики в смежных науках, в народном хозяйстве, в умении применять математические знания на практике.
Прикладную направленность математики невозможно рассматривать в отрыве друг от друга, они тесно взаимосвязаны в реальном учебно-воспитательном процессе. Остановимся кратко на некоторых проблемах peaлизации прикладной направленности, являющихся объектами многолетних исследований отечественных и зарубежных педагогов и методистов.
Цель, которую ставит общество перед школой, - обеспечить такую математическую подготовку, при которой каждое новое поколение людей будет способно осуществлять на современном и перспективном уровнях научно-технический прогресс во всех областях применяемости математических знаний. Цель человека при получении образования состоит в раскрытии своего внутреннего потенциала, достижении высокого уровня духовного, нравственного и интеллектуального развития. Осуществление этой цели позволит человеку занять в обществе положение, дающее возможность максимально реализовать свои возможности и обеспечивающее одновременно адекватную оценку своего труда, уважение со стороны общества к его личности как к самостоятельной ценности. Таким образом, максимальное раскрытие творческих способностей является благом одновременно и для общества, и для человека. Гуманизация школьного математического образования предполагает, что общество берет обязательство предоставить каждому человеку все возможности для получения математической подготовки, максимально соответствующей его индивидуальным интересам и склонностям, способностям и возможностям.
Математические модели в задачах с экономическим со держанием
При решении математических задач с экономическим содержанием не просто перечисляются типы задач, а дается их экономическое описание, строятся математические модели, четко формулируются цели, которые должны быть реализованы при их решении. Здесь перед учащимися раскрываются новые свойства математической модели, отражаются конкретные особенности экономических ситуаций. Знакомство учащихся с основными типами таких задач выполняет важную функцию формирования мировоззрения учащихся: перед учениками раскрывается главный объект — математическая модель, исследованием которого они займутся дальше с помощью математических методов.
Как правило, процесс изучения, связанный с использованием моделей и называемый моделированием, не заканчивается созданием одной модели. Построив модель и получив с ее помощью какие-либо результаты, их соотносят с реальностью.
Моделирование как метод научного познания стал применяться еще в глубокой древности и постепенно охватывал все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX век. Однако, в философии и математике, методология моделирования долгое время развивалась независимо друг от друга. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.
В настоящее время в науке широко используются различные модели. Метод моделирования стал одним из основных методов научного познания мира. Этот метод, в отличие от других, является всеобщим, используемым во всех науках, на всех этапах научного исследования. Суть метода моделирования состоит в том, что изучение какого-либо реального объекта сводится к изучению более простого аналога этого объекта (модели), при этом несущественные (или незначимые на данный момент исследования), свойства реального объекта будут отбрасываться тем самым, упрощая его.
Каждая наука решает три основные задачи:
1) На основе непосредственного изучения объектов соответствующих областей действительности она конструирует разные модели этих объектов.
2) Разрабатывает специальные методы изучения построенных моделей, для чего создает особый научный аппарат.
3) Разрабатывает методы применения результатов изучения построенных моделей на практике.
В соответствии с этим основа науки, составляющая содержание учебного предмета, содержит и систему научных моделей, и аппарат для их исследования, и методы использования результатов изучения моделей для решения прикладных задач.
Моделью называется материальный или идеальный объект, который строится для изучения исходного объекта (оригинала), и который отражает наиболее существенные (важные) качества и характеристики оригинала [109, с. 10].
Модель — это своего рода абстракция, промежуточное звено между теорией и объективной действительностью. Качество модели зависит от ее способности отражать и воспроизводить предметы и явления объективного мира, их структуру и закономерный порядок. Модели можно разделить на материальные и идеальные. Примерами материальных моделей служат фотографии, макеты и т.д. Идеальные модели часто носят знаковую форму. Реальные понятия заменяются при этом некоторыми знаками, которые легко нятия заменяются при этом некоторыми знаками, которые легко зафиксировать.
Термин математическая модель обозначает модель, построенную на основе использования математических знаков и символов. Таким образом, под математическим моделированием понимается «приближенное описание какого-либо явления внешнего мира, выраженное с помощью математической символики и заменяющее изучение этого явления исследованием и решением математических задач» [190, с. 4].
Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Вопрос применяемости данной модели является очень важным; он решается путем сравнения модели с оригиналом, путем сравнения предсказаний, полученных с помощью модели, и объективной реальности.
Главная особенность моделирования заключается в том, что это — метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.
Математическое моделирование относится к классу знакового моделирования. При этом модели могут создаваться из любых математических объектов: чисел, функций, уравнений и т.д.
Методика использования задач финансовой математики на уроках алгебры в основной школе
При рассмотрении некоторых математических задач экономического содержания, использующих для своего решения простые проценты, можно показать широту использования простых процентов в финансовой математике.
С понятием простого процента, как уже отмечалось, учащиеся впервые знакомятся в V—VI классах. Однако, в проанализированных учебниках и учебных пособиях по школьной математике практически отсутствуют задачи с экономическим содержанием, где в качестве математического аппарата выступают простые проценты.
При решении подобных задач обращается внимание школьников на понятие простых процентов, способ их начисления и на вывод формулы (построении модели) простого процентного роста.
Конечно, самой доступной в настоящее время и для школьников, да и для взрослых, чья профессия не связана с экономикой, моделью начисления процентов является начисление процентов на депозит. В связи с этим знаком ство с финансовой математикой рекомендуется начинать с задач начисления простого процента на банковские вклады физических лиц.
Например, следующая задача, вычисляющая будущую сумму вклада по схеме простых процентов, может использоваться при обучении уже в VII классе.
Задача 2.1. Вкладчик открыл счет и положил на него сумму в 25000 р. сроком на 4 года под простые проценты по ставке 13,5 % годовых. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращения?
Решение:
1 этап. Предмет исследования — функционирование денежного капитала.
Цель исследования — нахождение суммы капитала через определенный про межуток времени.
2 этап. Структурные элементы, соответствующие данной экономиче ской ситуации:
— первоначальный капитал;
— годовая процентная ставка;
— способ начисления - простые проценты;
— срок вложения.
3 этап. Наращенная сумма получается путем сложения начальной суммы и дохода, полученного от вложения денег.
Ввиду того, что в данной ситуации полученный доход зависит от времени, то мы будем строить динамическую модель. 4 этап. Обозначим через S0 — первоначальный капитал, р — процентная ставка, п — количество полных лет, Sn — сумма капитала с начисленными процентами на конец п -го года.
Тогда модель функционирования вклада путем начисления простых процентов будет выглядеть следующим образом:
Данная формула и будет выражать математическую модель данной экономической задачи.
