Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. ОПОРНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ В СТЕРЕОМЕТРИИ 8
1 Проблема обучения решению геометрических задач 8
2 Обзор некоторых существующих курсов стереометрии 17
3 Методы стереометрии 36
4 Систематизации опорных конфигураций школьного курса стереометрии
ГЛАВА П. МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ОПОРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ ПРИ ОБУЧЕНИИ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
5 Методика использования опорных конфигураций 67
6 Соотнесение совокупности опорных конфигураций с логикой развертывания учебного материала в учебнике И.Ф. Шарыгина
7 Экспериментальное преподавание стереометрии и его основные результаты
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 104
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 106
- Проблема обучения решению геометрических задач
- Обзор некоторых существующих курсов стереометрии
- Методика использования опорных конфигураций
Введение к работе
Гуманизация и гуманитаризация образования, провозглашенные современной реформой школы, являются основой для разработки концепций обучения различным предметам. Так, обращение к личности школьника в разрабатываемой сотрудниками ИОСО РАО концепции школьного математического образования определило выдвижение в качестве ведущего принципа в «математике для всех» задачи общеинтеллектуального развития учащихся: центром методической системы обучения математике становится не изучение основ математической науки как таковой, а познание окружающего человека мира средствами математики». (122, с. 103)
Большую роль в построении научной картины мира играет школьная геометрия, обладающая своим - геометрическим - методом познания действительности, объектом изучения которой являются абстрактные -геометрические - модели объектов реального мира. Осознание специфики школьной геометрии как учебного предмета, апеллирующего по преимуществу к образному компоненту мышления, на первый план выдвигает цели выработки наглядных представлений о геометрически описываемых фактах и закономерностях окружающего мира, формирования и развития пространственного воображения учащихся. Существенной чертой новой концепции обучения геометрии становится повышенное внимание к наглядной ее стороне.
Однако в настоящее время это требование находится в противоречии с действующими курсами геометрии: и учебник А.В. Погорелова (172), и учебник авторского коллектива под руководством Л.С. Атанасяна (25), построенные на аксиоматической основе, своим содержание и структурой выделяют логическую сскягавляющую геометрической подготовки.
Излишняя формализация этих курсов и игнорирование (особенно в курсе стереометрии) имманентных геометрии наглядных методов ее изучения привели, по мнению многих ученых, методистов и учителей (В .И. Арнольд, Тихомиров В.М., И.Ф. Шарыгин и др.) к краху геометрической подготовки школьников.
За годы функционирования этих учебников предпринимались попытки «смягчить» жесткое требование логической обоснованности «всех фактов» посредством введения определенных систем задач, развивающих пространственные представления (52, 115, 221), применения эвристических приемов решения задач, основанных на создании и изучении чертежа (рисунка) (165, 216, 223Х использования различных организационных форм и методов изучения теории, организации повторения и обучения решению задач (156).
Однако преодоление трудностей, испытываемых учащимися при изучении геометрии, и в особенности стереометрии, из-за несформированности пространственного мышления, является актуальной проблемой и сегодняшнего дня, требующей решения в русле гуманитарной концепции математического образования.
Анализ ошибок, допускаемых учениками старших классов и абитуриентами при решении стереометрических задач, показывает, что затруднения возникают уже на первом этапе решения, когда условие задачи нужно соотнести с некоторым геометрическим образом и отразить его на чертеже или рисунке. Часто даже знание определений геометрических тел и формальное перечисление их характеристических свойств не помогает в решении: отсутствие мысленных образов, несформированность изобразительно-графических умений старшеклассников становятся непреодолимой преградой в поиске решения задачи.
Возникает гипотеза о том, что у учащихся в процессе изучения стереометрии должны накапливаться образы памяти геометрических ситуаций, наиболее часто встречающихся в теории и в задачном материале, которые в нужный момент извлекаются из памяти и адаптируются к конкретной задачной ситуации.
Общая цель исследования заключается в разработке методики обучения стереометрии на основе введения совокупности опорных конфигураций;, позволяющей усилить наглядную составляющую курса стереометрии и создать общую картину идей и методов, применяемых при решении стереометрических задач.
Проблема исследования в определении и теоретическом обосновании совокупности опорных конфигураций, установлении возможности и целесообразности их применения при изучении теоретического материала курса стереометрии и обучении рещению задач.
Объектом исследования является процесс изучения стереометрии в старших классах общеобразовательной школы, а предметом исследования -совокупность опорных конфигураций, применяемых при обучению решению стереометрических задач.
Исследование поставленной проблемы потребовало решения следующих частных задач: теоретически обосновать необходимость создания и использования мысленных образов памяти конкретных геометрических ситуаций; выявить опорные конфигурации, соответствующие основному теоретическому и задачному материалу курса стереометрии общеобразовательной школы; провести классификацию опорных конфигураций по специально выделенным критериям;
4) разработать методику использования опорных конфигураций.
Для решения поставленных задач использовались теоретические и практические методы педагогического исследования, в число которых вошли:
Ш анализ психолого-педагогической литературы по проблеме исследования; анализ программ, учебников и задачников по стереометрии изучение практического опыта преподавания стереометрии путем наблюдений, бесед с учителями, анализа собственного опыта преподавания в школе и проведения вступительных экзаменов в ВУЗы; проведение педагогического эксперимента.
Научная новизна исследования состоит в том, что выявлена совокупность опорных конфигураций, используемых в решении большинства стереометрических задач, и осуществлена их классификация по объектам, методам и отношению к учебной, конкурсной и олимпиадной стереометрии.
Практическая значимость исследования определяется тем, что разработанная совокупность опорных конфигураций и методика ее применения могут быть использованы в школе как при изучении теоретических сведений из стереометрии, так и при обучении учащихся специфическим методам и приемам решения стереометрических задач, а также для совершенствования методических разработок.
Обоснованность и достоверность результатов исследования обеспечивается опорой на фундаментальные исследования педагогов, психологов и математиков-методистов, на опыт преподавания стереометрии в школе; согласованностью полученных результатов с основными положениями новых методических концепций, результатами экспериментального преподавания.
На защиту выносятся:
Теоретическое обоснование выделения совокупности опорных конфигураций и их классификация.
Методика использования опорных конфигураций, включающая в себя определения роли и места опорных конфигураций в обучении стереометрии, распределение «сетки опорных конфигураций» в соответствии с различными программами и учебниками геометрии, приемы использования ОК при обучении решению стереометрических задач.
Апробация работы. Основные положения и результаты исследования докладывались и обсуждались на заседании отдела математического образования ИОСО РАО (г. Москва, 1995-1998 гг.), на заседаниях кафедры геометрии и методики преподавания математики Ставропольского государственного университета (г. Ставрополь, 1997-1998 гг.), на заседании методического объединения учителей школы-комплекса «Царицыно» X* 548 г. Москвы (г. Москва, 1996 г.).
Основные положения и результаты исследования отражены в публикациях.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.
Проблема обучения решению геометрических задач
Геометрии как учебному предмету принадлежит приоритетное значение в развитии таких психологических феноменов как восприятие, представление, образы памяти и воображения, пространственные представления и др. Формирование этих феноменов осуществляется и в ходе изучения теоретического материала, и в процессе решения задач, причем большую нагрузку несет именно задачный материал. Обучение через задачи - один из главных методов обучения. Умение решать задачи является надежным критерием сознательного и прочного овладения знаниями, умениями и навыками. Поэтому разработка эффективных методик обучения решению задач, исследование основных механизмов деятельности по решению задач неизменно привлекает внимание педагогов и психологов.
Проблема формирования приемов поиска решения задач по геометрии поставлена давно. В этом направлении проделана большая и плодотворная работа, однако, как свидетельствуют данные специальной литературы и проведенных экспериментов, достигнутые успехи не снижают актуальности проблемы: обладая определенными знаниями теории, учащиеся затрудняются использовать их при решении геометрических задач.
Психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоят в том, что у школьников специально не вырабатываются умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач, не стимулируется постоянный анализ учащимися своей деятельности по решению задач и выделению в них общих подходов и методов, их теоретического осмысления и обоснования.
Анализ учебно-методической литературы по вопросам обучения учащихся использованию различных методов при решении задач обнаруживает, что авторы ряда работ (28, 34, 51, 79, 107, 142, 162) стремятся показать эффективность применения отдельных методов к решению различных типов задач. Другие (65, 78, 88, 123) указывают на целесообразность решения задачи несколькими методами. Третьи (57, 66, 103, 155) отмечают полезность сочетания различных методов при решении задач.
Представители гештальтпсихологии (Келлер, Вертгеймер, Дункер и др.) сущность решения задачи рассматривали в раскрытии свойства объекта, детерминированного восприятием его в новых отношениях. По их мнению, в процессе решения задачи части проблемной ситуации начинают восприниматься в новых отношениях. В результате проблемная ситуация переконструируется и перецентрируется, вследствие чего предметы поворачиваются новыми сторонами, обнаруживая при этом новые свойства.
Установление существенных признаков понятий, входящих в условие и заключение задачи, - одна из главных целей, выдвинутых К. Дункером. Он, в частности, отмечает, «... что при поисках решения надо возможно четче иметь в виду заданную задачей ситуацию. Тот, кто просто будет пытаться воспроизвести в памяти нечто относительно «решения данной задачи», может остаться слепым к внутренней природе стоящей перед ним проблемы». По мнению К. Дункера, отыскание ранее скрытых отношений, приводящих к решению задачи, осуществляется на основании «анализа ситуации», «анализа цели», «анализа материала». Последние автор называет «методами рационального исследования задачи». (94, 95)
Большую работу по выделению и анализу эвристических приемов, сопоставимую по объему с работой Дункера, проделал известный американский педагог математики Д. Пойя, (174, 175, 176) Он рассматривает эвристические приемы в привязке к фазам решения задачи. Согласно Пойя, на первой, начальной фазе решения происходит определение типа задач (на доказательство, на построение, на нахождение), выяснение того, что представляет собой неизвестное (конец), данные (начало) и условия (требования), определение их составных частей. К этой фазе процесса решения также относится выяснение вопросов: определено ли неизвестное данными задачи или они недостаточны (или чрезмерны, или противоречивы), построение чертежа, введение обозначений, разделение условий на части, запись условий, поиск другой формулировки, развертывание определения.
Обзор некоторых существующих курсов стереометрии
Обучение геометрии в школе включает три взаимосвязанных компонента: наглядное представление, логику, практическое применение, и в связи с этим развитие у учащихся трех элементов мышления - пространственного воображения, логики и практического понимания - является целью изучения этого учебного предмета.
Рассматриваемое разделение целей обучения геометрии носит чисто формальный характер вследствие их глубокого взаимопроникновения и взаимосвязи. Тем не менее, на каждом отрезке времени одна из них выделяется как доминантная, что определяется так называемым социальным заказом. Совсем недавно этот социальный заказ выделял развитие логики как приоритетную цель обучения вообще, и, в частности, обучения геометрии, передачу некоторой суммы (объема) знаний по тому или иному предмету.
Так, например, А.В. Погорелов среди выделенных целей на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Предлагая свой курс геометрии, он исходит из того, что главная задача преподавания геометрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. «Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать». (173, с.8) Формирование логической культуры - важной составляющей общей культуры человека - главная цель преподавания геометрии в основной школе (по мнению Погорелова), которая в старших классах, при изучении стереометрии, остается доминирующей: «Основная задача - в ходе изучения теорем о взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве и решении задач продолжить начатую в 8-летаей школе работу по формированию у учащихся логической культуры...» И для 11 класса основной целью считается «продолжить работу по формированию логических ... умений».
Гипертрофирование логической составляющей школьной геометрии с очевидностью ведет к принижению роли образного компонента мышления, в частности, к ослаблению внимания к развитию пространственного мышления, в то время как последнее является существенным компонентом в подготовке к практической деятельности по многим специальностям. (Более точно следовало бы говорить о мышлении пространственными образами). Формирование пространственных представлений и пространственного воображения учащихся - всегда было одной из важнейших целей школьного обучения. По словам А.Н. Колмогорова, «геометрическое воображение, или, как говорят, геометрическая интуиция играет большую роль при исследовательской работе почти во всех разделах математики, даже самых отвлеченных». (124, с. 10) Кроме того, хорошее пространственное воображение, указывает Н.Ф. Четверухин, - нужно конструктору, создающему новые машины, геологу, разведывающему недра земли, архитектору, сооружающему здания современных городов, хирургу, производящему точнейшие операции среди сложной системы кровеносных сосудов и нервных волокон, скульптору, художнику и т.д. Более того, реалии сегодняшнего дня и, безусловно, будущего, таковы, что использование компьютеров людьми самых разных профессий заставит работать с образами, виртуальной реальностью как в статичном, так в динамичном состоянии. Поэтому недооценка работы по развитию пространственного воображения учащихся возникает в тех случаях, когда вольно или невольно принижается прикладное значение школьного курса, роль его изучения для подготовки выпускников школы к предстоящей им трудовой и учебной деятельности, нарушается связь абстрактного геометрического пространства с реалиями жизненного пространства.
На современном этапе математического образования в качестве основополагающего принципа концепции школьного образования в аспекте «математика для каждого» на первый план выдвинут принцип приоритета развивающей функции в обучении математике. Иными словами, «обучение математике ориентировано не столько на собственно математические образование, в узком смысле слова, сколько на образование с помощью математики.
В соответствии с этим принципом главной задачей обучения математике становится не изучение основ математической науки, как таковой, а общеинтеллектуальное развитие - формирование у учащихся в процессе изучения математики качеств мышления, необходимых для полноценного функционирования человека в современном обществе, для динамичной адаптации человека к этому обществу». (93, с. 235)
Методика использования опорных конфигураций
После определения содержания опорных конфигураций (4 гл. J) перед нами встала задача развертывания совокупности опорных конфигураций в процессе обучения в соответствии с последовательностью изложения теоретического материала курса стереометрии. Различные учебные пособия по стереометрии, в соответствии с концепцией авторов, имеют иазную логическую структуру учебного материала (2, гл.1), поэтому простое наложение сетки опорных конфигураций на теоретическую и задачную части учебников оказалось невозможным. Нами предпринята попытка соотнесения совокупности опорных конфигураций с различными программами преподавания по этим учебникам геометрии.
Рассмотрим, например, учебник стереометрии А.В. Погорелова. (172) Первый год изучения стереометрии (10 класс) посвящен аксиомам стереометрии, параллельности и перпендикулярности в пространстве, декартовым координатам и векторам в пространстве, т.е. тема «Многогранники» отсутствует в содержании 10 класса вообще. Поэтому выделенные нами опорные конфигурации по отдельным объектам стереометрии здесь окажутся нелегальными, их введение теоретически необоснованно и практически (в задачах) невостребованно.
Многогранники, круглые тела и задачи, связанные с нахождением их элементов, отнесены к изучению в 11 классе. По мере введения основных геометрических объектов можно наполнять банк опорных конфигураций. Этот процесс следует начать с выработки умений и навыков по изображению основных геометрических объектов: призм, пирамид, круглых тел. Как показывает опыт, выпускники не владеют навыками изображения этих геометрических тел, не знают правил изображения и требований, к ним предъявляемым, не умеют, при необходимости, варьировать изображение одной и той же геометрической ситуации, затрудняются в декодировании информации, содержащейся в графических представлениях объектов. Одна из причин этого видится в отсутствии банка опорных конфигураций и методов работы с основными геометрическими объектами стереометрии.
При изучении темы «Пирамида» предъявляются учащимся опорные конфигурации, связанные с правильными пирамидами: общий вид изображения и выносные чертежи: основание пирамиды, боковая грань, сечения - через боковое ребро и противоположную апофему для треугольной пирамиды, диагональное сечение, сечение, проходящее через апофемы противоположных боковых граней для четырехугольной пирамиды. Задачи этой темы используют именно эти конфигурации, количество простых задач в данном учебном пособии позволяет выработать навык по вычислению элементов пирамид: различных углов, высоты, апофемы, бокового ребра, стороны основания и т.д. Аналогичная схема может быть применена и в теме «Призма», тем более, что эти две темы в рассматриваемом учебнике объединены в один параграф. В задачах этого параграфа встречаются и усеченные правильные пирамиды, для которых также следует привести соответствующие конфигурации с оговоркой, что они все же получены из ОПОРНЫХ конфигураций для правильных пирамид.
Следующий параграф посвящен телам вращения: цилиндру, конусу, шару. К сожалению, нигде в тексте учебника не сказано о трудностях изображения круглых тел и не предложены средства для того, чтобы избежать долгих, не всегда верных и часто неоправданных построений и рисунков. Вполне логично здесь вписываются опорные конфигурации соответствующих геометрических объектов: осевые сечения, сечения, перпендикулярные основаниям - для конуса и цилиндра, различные сечения шара. Задачи, предлагаемые в этом параграфе, ограничены по сложности и не позволяют применить весь набор методов стереометрии.
Дополнение банка опорных конфигураций происходит еще за счет введения конфигураций на комбинацию пространственных тел (многоіранников с шарами), хотя в тексте учебника нет упоминания о таких возможностях, лишь в 8 задачах параграфа «Тела вращения» присутствует описанный или вписанный шар. Рассмотрение даже такого малого количества задач все оавно позволяет отнести конфигурации многогранников, конусов и цилиндров с шарами к числу опорных. Например, вместо предъявленной в учебнике задачи: Сторона основания правильной п-уголъпой пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен (р. Найдите радиус шара вписанного в пирамиду, можно было бы рассмотреть задачу на нахождение радиусов вписанного и описанного шаров в правильную п-угольную пирамиду, заданную различными элементами и в связи с этим появляются опорные конфигурации, связанные с комбинацией пирамиды и этих шаров.
Следующий параграф посвящен изучению объемов тел, и опорные конфигурации становятся рабочим материалом при вычислении объемов по различным заданным параметрам.
